08 esfera

1. MATEMÁTICA 

Editora Exato 25
ESFERA 
1. SUPERFÍCIE ESFÉRICA 
1.1.Definição 
Define-se como superfície esférica o conjunto
de todos os pontos do espaço cuja distância a um
ponto fixo (denominado centro) é R(denominado rai-
o).
1.2. Área da superfície esférica 
A área de uma superfície esférica de raio R
pode ser determinada pela relação
2
sup
A 4 R= π.
R
superfície
esférica
A      =4 R
πsup
2

2. ESFERA  
2.1. Definições 
Define-se como esfera o conjunto de pontos
limitados pela superfície esférica, bem como os que
a compõem.
2.2. Volume da esfera 
O volume de uma esfera de raio R pode ser de-
terminado pelas relações
3
4 R
V
3
π
=
R

3
4 R
V
3
π
=
A esfera representa a união entre os pontos in-
ternos à superfície esférica e os pontos limitantes.
2.3. Plano secante a uma esfera 
α
R
r
d
P
O

OP representa a medida do raio da esfera (R).
d representa a distância do plano ao centro da
esfera.
r representa a medida do raio do círculo deter-
minado pela intersecção do plano e a esfera.
⇒ Relação entre os elementos:
2 2 2
R r d= +.
2.4. Área do fuso esférico()
F
A 
Sendo α a medida do ângulo diedro do fuso es-
férico, a área do fuso pode ser obtida pela seguinte
proporção:
2
0 2 0
Af 4 R
Af
360 4 R 360
α ⋅ π ⋅ ⋅ α
= ⇒ =
π
(αem graus) ;
2
2
R2Af
R4
Af
2
radianos)em(α ⋅α⋅=⇒
π
=
π
α
.
r
O
α

2.5. Volume da cunha esférica  ()
c
V 
Se uma cunha esférica tem raio R e a medida
de seu ângulo diedro é α, então seu volume Vc é ob-
tido pela proporção:
r
O
α

(α em graus)
º270
R
V
3
R4
V
º360
3
c
3
c ⋅π⋅α
=⇒
π
=
α
;
(α em radianos)
3
R
V
3
R4
V
2
3
c
3
c ⋅π⋅α
=⇒
π
=
π
α
.

2. Editora Exato 26
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 Determine o volume e a área da superfície esféri-
ca de uma esfera de raio 10 cm.
Resolução:
π π
= ⇒=
3
3 34. .10 4000
V cm V cm
3 3

= π
⇒= π
2 2 2
A 4. .10 cm A 400 cm

2 Calcule a área do círculo determinado por uma
secção esférica feita a 5 cm do centro de uma es-
fera de raio 13cm.
Resolução:
13
r
5

Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
= +
⇒=
2 2 2
13 5 r r 12 .
Logo, a área da secção é dada por
= π =
2 2 2
A .12 cm 144cm

3 (PUC-SP) A área de um fuso esférico cujo ângu-
lo mede rad,
3
π
em uma esfera de 12 cm de raio, é:
Resolução:
3
12
x rad
R cm
π
=


=

2
2
2
2. .
2. .12
3
288
2. .144
3 3
96
F
F
F F
F
A x R
A
A A
A cm
π
π
π
π
=
=
= → =
=















EXERCÍCIOS 
1 Uma laranja tem a forma de uma esfera, cujo di-
âmetro mede 8cm. Então a área aproximada da
casca dessa laranja é:
a) 190cm
2
.
b) 200cm
2
.
c) 210cm
2
.
d) 220cm
2
.
e) 230cm
2
.

2 Considere uma laranja como uma esfera compos-
ta de 12 gomos exatamente iguais. Se a laranja
tem 8cm de diâmetro, qual é o volume aproxima-
do de cada gomo?
a) 19cm
3
.
b) 20cm
3
.
c) 21cm
3
.
d) 22cm
3
.
e) 23cm
3
.

3 (UFRGS) São fundidas 300 esferas com 20mm
de diâmetro para fabricar cilindros circulares re-
tos com 20mm de diâmetro e 200mm de altura. O
número de cilindros resultantes é:
a) 2.
b) 5.
c) 20.
d) 25.
e) 30.

4 (CEFET-PR) A indústria de bolas de borracha
Cilimbola quer produzir embalagens cilíndricas
para colocar 3 bolas com 3cm de raio cada, con-
forme a figura.
A quantidade total de material utilizado para o
fabrico da embalagem, incluindo a tampa, em
cm
2
, será de:

a) 126π b) 108 π
c) 127π d) 72 π
e) 90π

3. Editora Exato 27
5 (UFO-MG) Uma casquinha de sorvete é um co-
ne de 10cm de altura e 4cm de diâmetro na base.
Duas bolas esféricas de sorvetes, também de 4cm
de diâmetro, são colocadas na casquinha. Se o
sorvete derreter na casquinha:
a) O sorvete encherá completamente a casquinha,
sem transbordar.
b) Transbordarão
3
8 cmπde sorvete.
c) Faltarão
3
8 cmπde sorvete para encher comple-
tamente a casquinha.
d) Transbordarão
3
6 cmπsorvete.
e) Faltarão
3
6 cmπ de sorvete para encher comple-
tamente a casquinha.

6 (CEFET-PR) Uma indústria de cosméticos dese-
ja embalar sabonetes esféricos de raio 3cm. A
embalagem deverá ter formato cilíndrico, de for-
ma a acondicionar 3 sabonetes, como mostra a fi-
gura (vista superior da embalagem aberta). A
medida do raio e a altura da embalagem, em cm,
deverão ser de aproximadamente: ( 3 1,73)=

a) 6,73 e 3. b) 3,46 e 6.
c) 6,73 e 6. d) 6,46 e 6.
e) 6,46 e 3.

GABARITO 
1 B
2 D
3 C
4 A
5 B
6 D










3. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 
DOMENICO, Luiz Carlos de. Matemática.. Vitória-
Régia. Editora IBEP.
SILVA, Jorge Daniel. e FERNANDES, Valter dos
Santos. Matemática – Curso Completo.. Hori-
zontes. Editora IBEP.
PAIVA, Manoel. Coleção Base Matemática - 2ª edi-
ção.. Editora Moderna.
BIANCHINI, Edwaldo. e PACCOLA, Herval. Cur-
so de Matemática - Volume único. 3ª edição.
Editora Moderna.
PAIVA, Manoel. Matemática - Conceitos, linguagem
e aplicações - volume 1.. Editora Moderna.
PAIVA, Manoel. Matemática - Conceitos, linguagem
e aplicações - volume 2.. Editora Moderna.
PAIVA, Manoel. Matemática - Conceitos, linguagem
e aplicações - volume 3.. Editora Moderna.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática - Contexto e A-
plicações - Volume Único.. Editora Ática.
GUELLI, Oscar, Matemática - Série Brasil - Volume
Único.. Editora Ática.