1_ANO_-_Trigonometria_no_Triângulo_Retângulo - convertido.pptx

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1. Trigonomet ria no Tr i ângulo Retângulo Pro f . J orge

2. Re l a c i o nand o lados e ângu l os A trigo no me t ria tem s u a o rigem , p ortanto, na nec e ss i da d e d e relacion a r l a d o s e ân g u l os d e um triâ n gul o . a hi potenusa BC = a o catet o A C = b o catet o A B = c A B C a b c ✓ A = 90º Pro f . J orge ✓ B + C = 90º

3. Re l a c i o nand o lados e ângu l os A C b c a 2 = b 2 + c 2 ⍺ catet o oposto a ⍺ hip o tenusa = se n ⍺ = c a catet o a d jacente a ⍺ hip o tenusa = co s ⍺ = b a B  Pro f . J orge a

4. Re l a c i o nand o lados e ângu l os A B  Pro f . J orge C a b c a 2 = b 2 + c 2 ⍺ catet o oposto a ⍺ = tg ⍺ = c catet o a d jacente a ⍺ b os número s se n ⍺ , co s ⍺ e tg ⍺ sã o chama d a s de ra z ões trigono métrica s d o âng ul o ⍺ .

5. E x e m plo s O triâ n gu l o AB C d a f igura é r e tân gul o e m A. Obt e r a s ra z õ e s trig o nom é tricas d o ângulo B . 12 Pro f . J orge 16 A B C Teore m a de P i tágor a s B C 2 = A B 2 + AC 2 x 2 = 16 2 + 12 2 x 2 = 256 + 144 x 2 = 400 x = 20 20

6. E x e m plo s catet o oposto a B hip o tenusa se n B = = 12 20 = 3 5 = 0,6 catet o a d jac. a B hi p o t e n usa co s B = = 16 20 = 4 5 = 0,8 O triâ n gu l o AB C d a f igura é r e tân gul o e m A. Obt e r a s ra z õ e s trig o nom é tricas d e B . A Pro f . J orge 12 16 B C 20

7. E x e m plo s catet o oposto a B catet o a d jac. a B t g B = = 12 16 = 3 4 = 0,75 O triâ n gu l o AB C d a f igura é r e tân gul o e m A. Obt e r a s ra z õ e s trig o nom é tricas d e B . A Pro f . J orge 12 16 B C 20

8. E x e m plo s Cal cula r o s ângu l os agu d o s d e um triâ n g u l o retân g ul o cu j os lad o s m e d e m 5 c m e 6 cm . 5 cm 16 6 cm x y t g y = 6 5 = 1,2 ⇒ y ≈ 50º Pro f . J orge x + y = 90º ⇒ x ≈ 40º

9. Outra s r azões trig o nométricas Pro f . J orge

10. B  a c ⍺ Ou t ra s raz õ e s trig o n o m étri c a s A C b catet o oposto a ⍺ hipotenusa = co s e c ⍺ = a c catet o a d jacente a ⍺ hip o tenusa = se c ⍺ = a b = 1 se n ⍺ = 1 co s ⍺ Pro f . J orge

11. B  a c ⍺ Ou t ra s raz õ e s trig o n o m étri c a s A C b catet o adjacente a ⍺ catet o oposto a ⍺ Pro f . J orge = cot g ⍺ = b c 1 = t g ⍺

12. Seno , c o -sen o e t a nge n te de ângu l os complementares Pro f . J orge

13.  Â n gu l os co m plem e nt ares A B C 5 4 3 ⍺ +  = 9 º ⍺ tg ⍺ = 3 4 ⇒ O s â n g ul o s ⍺ e  são co m pl e m e nt a r e s se n ⍺ = 3 5 co s ⍺ = 4 5 tg  = 4 3 se n  = 4 5 co s  = 3 5 Pro f . J orge

14.  Â n gu l os co m plem e nt ares A B C a c b ⍺ +  = 9 º ⍺ 1 tg ⍺ = t g  ⇒ Pro f . J orge O s â n g ul o s ⍺ e  são co m pl e m e nt a r e s se n ⍺ = co s  co s ⍺ = se n  se c ⍺ = co s e c  co s e c ⍺ = se c  cot g ⍺ = tg 

15. 1 cm t 2 cm A ( s ) a f irm a tiv a (s ) verdad e ira( s ) é(são ) : a) I b ) II c ) III d ) II e III e ) I, II e III E x e m plo N o triâ n gul o retâ n gul o d a figura , temo s : I. se n t = ½ I I . se c t = II I . t g t = 2 Pro f . J orge √5 2

16. Seno , c o -sen o e tangente d e 30 º , 45º e 6 º. Pro f . J orge

17. Seno , c o -se n o e tangente de 30º, 45º e 60º. Pro f . J orge 3 º 4 5 º 6 º sen ½ √ 2 /2 √ 3 / 2 cos √ 3 / 2 √ 2 /2 ½ tg √ 3 /3 1 √3

18. E x e m plo s A parti r d o s d a d o s aprese n tados na d e ter m inar as m e di d as in dicada s p o r x e y . f ig u ra, x 16 30º y se n 30º = x 12 ⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm co s 30º = y 12 ⇒ x = 12 . √ 3 /2 ⇒ x = 6 √ 3 cm Pro f . J orge

19. E x e m plo s 30º Os triâ n g u l os AB C e BCD d a figur a s ã o retâ n gulos e m B , se n d o conhe c id o s o s â ngulo s B A C = 3 º e B D C = 60 º, a lém d e AD = 2 c m . Cal cula r os valores d e x , y e z . C y x A B D 2 cm z 60º Pro f . J orge

20. Identid ades t r ig o nomét r icas Pro f . J orge

21. Ident i d a de s trig o n o m étri c a s Pro f . J orge Ferra m e n tas d e grande apli cab i l id a de sen d o uti l iz a da s pa r a: O b ter u m a ra z ão trigono m étrica , p a r a u m d a do â n g u lo, a p artir de outra ra z ão cuj o v a lor seja con h ecid o. Si m pli f icar ex p ressõe s extens a s en v ol v en d o v á rias relaç õ e s trigono métrica s p a r a u m mes m o ân gul o .

22. Ident i d a de s trig o n o m étri c a s A parti r d o triâ n g u l o re t â n gu l o d e du z ir algum a s d e ssa s rela ç õe s . ab a i xo v am o s  A C B a c b ⍺ b 2 + c 2 = a 2 ( : a 2 ) b 2 a 2 + c a 2 2 = a a 2 2 b a 2 + c a 2 = 1 se n ⍺ 2 + Pro f . J orge co s ⍺ = 1 2 ⇒ se n 2 x + co s 2 x = 1

23. b/a c/a Ident i d a de s trig o n o m étri c a s A parti r d o triâ n g u l o re t â n gu l o d e du z ir algum a s d e ssa s rela ç õe s . ab a i xo v am o s  A C B a c b ⍺ se n ⍺ co s ⍺ = = b a . a c = b c = t g ⍺ Pro f . J orge sen x t g x = co s x

24. c/a b/a Ident i d a de s trig o n o m étri c a s A parti r d o triâ n g u l o re t â n gu l o d e du z ir algum a s d e ssa s rela ç õe s . ab a i xo v am o s  A C B a c b ⍺ co s ⍺ se n ⍺ = = c a . a b = c b = cot g ⍺ Pro f . J orge cos x cot g x = se n x

25. Ident i d a de s trig o n o m étri c a s - Resumo 1) se n 2 x + co s 2 x = 1 R elação f und a men t al 2) tg x = se n x co s x 3) cot g x = co s x se n x 1 (cos x ≠ 0) (sen x ≠ 0) = 1 t g x 4) se c x = co s x 5) cose c x = 1 se n x (cos x ≠ 0) Pro f . J orge (sen x ≠ 0)

26. E x e m plo s De m onst r e qu e se c 2 x = 1 + t g 2 x . se c x = 1 co s x ⇒ sec 2 x = 1 cos 2 x ⇒ sec 2 x = se n 2 x + co s 2 x co s 2 x ⇒ sec 2 x = se n 2 x co s 2 x co s 2 x + co s 2 x ⇒ Pro f . J orge se c 2 x = tg 2 x + 1

27. E x e m plo s De m onst r e qu e cose c 2 x = 1 + cot g 2 x . co s e c x = 1 se n x ⇒ cose c 2 x = 1 sen 2 x ⇒ cose c 2 x = se n 2 x + co s 2 x se n 2 x ⇒ cose c 2 x = se n 2 x se n 2 x se n 2 x + co s 2 x ⇒ Pro f . J orge sec 2 x = 1 + cot g 2 x

28. E x e m plo s Sab e ndo - se qu e o sen o d e um ân g u l o agu d o é igu a l a 3 / 5 , dete r min e o c o -seno, ta n gen t e , c o - tangente, secant e e a co - secant e d e ss e ângul o . ⇒ se n 2 x + co s 2 x 2 3 5 9 + co s 2 x = 1 ⇒ 25 + co s 2 x = 1 ⇒ 9 25 cos 2 x = 1 – = 25 – 9 25 ⇒ co s x = = 16 25 ± 4 / 5 Pro f . J orge ⇒ co s x = 4 / 5

29. E x e m plo s tg x = se n x co s x = Sab e ndo - se qu e o sen o d e um ân g u l o agu d o é igu a l a 3 / 5 , dete r min e o c o -seno, ta n gen t e , c o - tangente, secant e e a co - secant e d e ss e ângul o . 3 5 4 5 = 3 4 cot g x = 1 t g x = 1 3 4 = 4 3 Pro f . J orge

30. E x e m plo s Sab e ndo - se qu e o sen o d e um ân g u l o agu d o é igu a l a 3 / 5 , dete r min e o c o -seno, ta n gen t e , c o - tangente, secant e e a co - secant e d e ss e ângul o . se c x = 1 co s x = 1 4 5 = 5 4 cose c x = 1 se n x = 1 3 5 = 5 3 Pro f . J orge

31. E x e m plo s Simp lifi ca r as ex p ressõe s: a) E 1 = tg x + cot g x – se c x . cose c x cot g x . se c x b ) E 2 = cose c 2 x E 1 = tg x + cot g x – se c x . c osec x E 1 = se n x co s x co s x se n x + – 1 co s x 1 se n x . E 1 = se n x . co s x se n 2 x + co s 2 x – 1 = se n x . co s x 1 – 1 Pro f . J orge =

32. cos x . se n x 1 co s x 1 se n 2 x E x e m plo s Simp lifi ca r as ex p ressõe s: E 1 = tg x + cot g x – se c x . cose c x cot g x . se c x b ) E 2 = cose c 2 x cotg x . sec x E = = cose c 2 x 2 = 1 se n x 1 se n 2 x E 2 = 1 se n x . sen 2 x 1 = s e n x Pro f . J orge

33. Ângu l os e arcos na ci r cun f erên c ia Pro f . J orge

34. O Ci r cun f erência A Pro f . J orge B C D E P r r r r r r

35. Ele m ent o s B A B A O O Corda AB Pro f . J orge Di â metr o AB

36. Ele m ent o s A B Arc o AB Arc o BA Pro f . J orge

37. A r co s e ângu l os A ≡ B A ≡ B Pro f . J orge arco com p leto a rc o n u lo

38. A r co s e ângu l os A B Arc o BA Arc o d e m ei a v o lta O Arc o AB Pro f . J orge

39. A r co e ângu l o c e nt ral A B  O  C  D E F ✓ m ( AB ) = ⍺ ✓ m ( CD ) =  Pro f . J orge ✓ m (E F ) = 

40. o Pro f . J orge 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o 100 o 110 o 120 o 130 o 14 o 150 o 160 o 170 o 180 o 190 o 200 o 210 o 220 o 230 o 24 o 250 o 260 o 270 o 280 o 290 o 300 o 310 o 330 o 320 o 34 o 350 o O g ra u co m o u n idade d e m edida

41. o 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o 100 o 110 o 120 o 130 o 14 o 150 o 160 o 170 o 180 o 190 o 200 o 210 o 220 o 230 o 24 o 250 o 260 o 270 o 280 o 290 o 300 o 310 o 330 o 320 o 34 o 350 o O g ra u co m o u n idade d e m edida Pro f . J orge

42. o 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o 100 o 110 o 120 o 130 o 14 o 150 o 160 o 170 o 180 o 190 o 200 o 210 o 220 o 230 o 24 o 250 o 260 o 270 o 280 o 290 o 300 o 310 o 330 o 320 o 34 o 350 o 1 o 1º = Pro f . J orge 1 360 O g ra u co m o u n idade d e m edida

43. E x e m plo s N a f igura, os p o n t o s A, B , C, D , E e F di v idem a circun f e r ê nci a e m sei s a rco s congr u en t e s . Cal cular , e m graus , as me d i d as d o s ar c os AB e CE e d o s ângu los cent r ais correspondente s . A B O C  D E F  A B = 36 0º 6 = 60º Pro f . J orge CE = 2 . 60º = 120º ⍺ = 6 º e  = 120º

44. E x e m plo s A c ircu n f e r ênci a d a f igura tem 12 m d e raio . Su p on d o qu e o arc o A B m e d e 2  m , c alcu l ar em graus , a me d ida d o arco e do correspondent e . ângulo cent r al O  A 2  m B A r co (e m gr au s) ⍺ = 3 6 . 2  24 24  m 2  m A r co (e m metros) 360º ⍺ = 3 º C = 2  r C = 2.  . 12 C = 2 4  Pro f . J orge

45. O r a diano com o un i d a d e d e m edida A R O R  R Pro f . J orge B C om p rime n to d o a r c o ( A B) = R ⇓ m ( AB ) = 1 r a di a no ⇓  = m ( A B) = 1 r a d

46. E x e m plo A R O R  1,5R B C om p rime n to d o a r c o ( A B) = 1,5 R ⇓ m ( AB ) = 1,5 r a d ⇓  = m( A B) = 1,5 r a d  = m ( AB ) = co m pri m ento R Pro f . J orge

47. A r co co m pleto  = co m p r i m e n to R  = 2  R R R Pro f . J orge A ≡ B O   = 2  rad

48. E x e m plo s B 1 ,8 cm A circ u n f erênci a d a figur a tem rai o igual a 9 c m e o comp riment o d o arco A B assin alado é 1 , 8 cm. Cal cu l ar, e m radianos , a me d ida d e A B . O A  = com p rimento R  = 10 , 8 cm 9 cm = 1,2 rad Pro f . J orge

49. E x e m plo s B 30º O arco A B d a figur a tem m e did a d e 3 º e o rai o da circ u n f erênci a é d e 4 cm . Calcular, e m cm , o comp riment o d o arco AB. O A ân gulo x = 2  R x 2  .4.30 360 com p rimento 360º 30º 2  3 = ≈ 2, 1 cm Pro f . J orge

50. R E x e m plo s B 40 cm Numa circ u n f erência , o com p riment o d e u m arc o é d e 4 cm . E s s e mesm o arco me d e 5 rad . Calc u lar a me d ida d o rai o d a circ u n f erência. A O R  = com p rimento R 40 cm 5 = R 5R = 40  ⇒ R = 8 cm Pro f . J orge

51. A r co s e s pe c iais Pro f . J orge R e pres e n - tação Medi d a e m gr aus Medi d a em r a d i a n o s Ar co co m p l eto O 360º 2  A r c o de mei a -volta O 180º  A r c o d e ¼ de volta O 90º  /2 A r c o nulo O o

52. T r ansfo r mando un i d a des Pro f . J orge As medi d as de um arco e m grau s e radiano s são uma pro p orcionais . Po r isso p o d e mo s tran sformar un i da d e e m outra p o r um a re g r a d e trê s . 180º corres p ond e m a  rad

53. 2  5 E x e m plo s T r ansformar 72 º e m radian o s. 180º  rad x Pro f . J orge 72º x = 72 .  180 = rad

54. 4  ra d equi v ale a 180º. 5 .  5 . 180 x = = = 225º 4 4 E x e m plo s Exprimir ra d e m g ra u s. 5  Pro f . J orge