1. Sistemas de coordenadas y vectores

Fisica Avanzada

1. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 1 UPAO DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS Docente: Segundo Lizardo Gallardo Zamora Trujillo-2019-00 UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO FÍSICA AVANZADA SISTEMAS DE COORDENADAS VECTORES

2. 22/03/2016 09:03 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 2 SISTEMA DE COORDENADAS Sistema Tridimensional. E s el sistema de referencia constituido por tres rectas numéricas mutuamente perpendiculares. Plano (X,Y) Plano (Y,Z) Plano( X,Z) Figura 1. Sistema tridimensional (X,Y,Z) + Y - Y o + X - X + Z - Z Por ejemplo, el sistema tridimensional de ejes coordenados cartesianos ( X ,Y, Z ) de la Fig.1 se obtiene intersectando tres planos mutuamente perpendiculares.

3. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 3 SISTEMA DE COORDENADAS Este sistema tridimensional también se puede representar mediante las tres aristas de un paralelepípedo rectangular con vértice común, tal como se muestra en las Fig.2. Y - Y X - X Figura 2. Sistema cartesiano tridimensional (X,Y,Z) formado por las aristas de un paralelepípedo rectangular Z - Z

4. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 4 SISTEMA DE COORDENADAS Para ubicar un punto P( x ,y, z ) en el sistema de coordenadas tridimen-sional de la Fig.3 seguimos los siguientes pasos: Figura 3. Ubicación de un punto en el sistema (X,Y,Z) Z Y X P( x, y, z ) P´ x y z Trazamos, por P´, un segmento de recta paralelo y de igual magnitud a la coordenada z . El extremo fi- nal de este segmento ubica al punto P. Visualizamos mejor la perpendicu-laridad de las coordenadas pintan- do dos planos perpendiculares . Trazamos las coordenadas ( x ,y, z ) sobre cada uno de los semiejes según su magnitud y signo. Trazamos dos rectas paralelas de igual magnitud a las coordena -das ( x , y). La intersección de es-tas rectas determinan el punto P´ que es la proyección de P sobre el plano ( X,Y). Trazamos la diagonal OP´ y luego una paralela por el extremo de z. O

5. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 5 SISTEMA DE COORDENADAS Ejemplo 1. Ubicar el punto P(10,12,9) Figura 4. X - X Z Y - Z - Y o + 10 P ( 10 ,12, 9 ) + 12 P´ +9 Ejemplo 2. Ubicar los puntos: A( 7 , - 13, - 8 ); B(-5, -7, -9); C (3,- 7,- 4); D(4,0,5) Figura 5. - 8 - 13 A ( 7 , - 13, -8 ) + 7 Los puntos B, C y D quedan como ejercicios para el estudiante X -X Z Y -Z -Y o

6. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 6 ESCALARES Y VECTORES Vector posición de un punto en el sistema tridimensional (X,Y,Z) El vector posición de un punto en el sistema (X,Y,Z) es el vector que va desde el origen O hasta el punto que se quiere ubicar. = x + y + z   (8) r x = x, r y = y , r z = z La representación gráfica de la Ec .(8) es un polígono en el espacio expresado en fun-ción de sus componentes como el de la Fig.6. El vector posición se expresa usando las coordenadas del punto como componentes del vector. Esto significa que: Por ejemplo, para el punto R( x,y,z ) las componentes del vector posición son :   P Q Figura 6. R´ X Y Z     R( x,y,z ) x   y       z  

7. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 7 ESCALARES Y VECTORES El gráfico de la Fig.6 se demuestra que el módulo del vector posición esta definido por: r = x 2 + y 2 + z 2 (2) La dirección del vector posición respecto al sistema ( X,Y,Z ) se defi-ne mediante los denominados án-gulos directores o direccionales :   θ   P S Q Figura 7. R´   X Y Z       y   x   z   R  : ángulo director que forma con el semieje + Y   θ : ángulo director que forma con el semieje + Z    : ángulo director que forma con el semieje + X   Los ángulos directores están en triángulos rectángulos formados por el del vector posición y las líneas perpendiculares trazadas desde el extremo final del vector a cada uno de los semiejes, como en la Fig. 7.  

8. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 8 ESCALARES Y VECTORES θ  Y X Z Figura 8   x z y  90° R( x,y,z ) O S P Q Para visualizar mejor los triángulos rectángulos y los respectivos ángulos, giramos la Fig. 7 en 90° alrededor del eje Z obteniendo la Fig.8. En el triángulo rectángulo OPR de la Fig.8 observamos que el ángulo director  , está formado por la componente x , y el vector posición . Por lo tanto:   de donde: x = r cos  (3) cos  = x/ r En cada uno de los triángulos rectángu -los se tiene que: el cateto adyacente del ángulo direc-tor es la componente del vector para-lela al respectivo semieje , el cateto opuesto es la perpendicular trazada al semieje y la hipotenusa es el vector posición .  

9. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 9 ESCALARES Y VECTORES De igual forma, en la Fig.8 observamos que en el triángulo rectángu - lo OSR el ángulo director θ está formado por a la componente z y el vector posición . Entonces   θ  Y X Z (Figura 8)   x z y  90° R( x,y,z ) O S P Q De donde, el módulo de la compo-nente z = z del vector es:   z = r cos θ (4) Siguiendo la misma lógica observa- mos que, en el triángulo rectángulo OQR de la Fig.8, el ángulo director  está formado por la componente y , el vector . Entonces   De donde, el módulo de la componente y = y del vector es:   y = r cos  (5) Usando estas componentes el vector se puede definirse como:   cos θ = z/ r cos  = y/ r

10. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 10 ESCALARES Y VECTORES Solución. En la Fig.9 ubicamos el punto A en el sistema ( X,Y,Z ) y luego usamos las coordenadas como componentes del vector posición Esto es:   a x = – 4, a y = 5, a z = – 8 y   z   x   o Y X Z Figura 9       A(– 4, 5, – 8 )     θ = - 4 + 5 - 8   a =  10,25   de módulo y dirección determinada por los ángu -los directores :  = cos -1 ( - 4/ )  113,0°    = cos -1 ( 5 / )  60,8º   θ = cos -1 ( - 8/ )  141,3º   Por lo tanto, el vector posición es la suma Ejemplo 3 . Graficar y definir el vector posición del punto A (– 4 , 5 ,–8 ). = r cos  + r cos  + r cos    (6)

11. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 11 ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 4. Una fuerza F = 125 [N] forma los ángulos  = 62 o ,  = 56 o y θ = 48 º con los semiejes positivos del sistema (X,Y,Z). Expre - sar la fuerza en función de sus componentes rectangulares. Solución Como en este caso nos dan el módulo del vector y su dirección, calculamos el módulo de cada componente y las dibujamos sobre el respectivo semieje del sistema (X,Y,Z), tal como se ilustra en la Fig.10. X Y Z Figura 10 x   y   z   48 o 62 o 56 o   F x = 125 cos 62° = 58,68 [ N] , compo-nente paralela al semieje + X F y = 125 cos 56° = 69,90 [ N] , compo-nente paralela al semieje + Y. F z = 125 cos 48° = 83,64 [ N] , compo-nente paralela al semieje + Z. Ahora, sumamos estas componentes para obtener el vector fuerza   = 58,68 + 69,90 + 83,64 N  

12. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 12 ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 5. Un avión vuela con una rapidez de V = 680 Km/h y una dirección definida por los ángulos  = 125 o ,  = 48 o y θ = 142 º con respecto a un sistema ( X,Y,Z ) ubicado en Tierra. Expresar la velo- cidad en función de sus componentes rectangulares. X Y Z Figura 11 Solución Este ejemplo es similar al ante- rior , entonces, calculamos el módulo de ca -da una de las componentes y las dibujamos en el sistema ( X,Y,Z ) de la Fig.11. V x = 680 cos 125° = - 390,03 Km/h, para- lela al semieje X negativo V y = 680 cos 48° = 455,01 Km/h, para-lela al semieje Y positivo V z = 680 cos 142° = - 535,85 Km/h, para-lela al semieje Z positivo z   x   142 o 125 o 48 o   y   = - 390,03 + 455,01 - 535,85 [km/h]   Ahora, sumamos estas componentes y obtenemos el vector velocidad

13. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 13 ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 6. Las componentes de una fuerza son: F x = 480 N, F y = - 310 N y F z = - 390 N. Expresar el vector fuerza en función de sus compo-nentes y calcular su módulo y dirección. Solución: Como en este caso nos dan las componentes, las dibujamos en el sistema ( X,Y,Z ) de la Fig.12 y formamos el vector fuerza total. Y Z X - 310   480   - 390     Figura 12 = 480 - 310 - 390   F = = 10  691,81 [N]   de módulo: y dirección definida mediante los ángu -los directores:  = cos -1 [480/(10 )] = 46,1°    = cos -1 [ - 310/(10 )] = 116,6°   θ = cos -1 [ - 390/(10 )] = 124,3°     

14. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 14 ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 7. Hallar la resultante de los siguientes vectores fuerza ex- presados en Newtons : 1 = 8 – 7 – 5 ; 2 = 8 – 6 ; 3 = – 9 + 3 – 9 ; 4 = – 3 + 5   Solución, Simbólicamente la resultante de estas fuerzas está definida por la expresión: Para facilitar esta suma, escribimos los vectores en filas, de manera tal que sus componentes se muestren en columnas con los vectores unitarios. si faltara una componente se deja en blanco o coloca cero. Luego sumamos algebraicamente por columnas los coeficientes de cada vector unitario. 1 + 2 + 3 + 4 = (8 – 9 – 3) + ( – 7+8 +3) + ( – 5 – 6 – 9+5)   = 1 + 2 + 3 + 4   1 = 8 – 7 – 5   2 = 8 – 6   3 = – 9 + 3 – 9   4 = – 3 + 5  

15. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 15 ESCALARES Y VECTORES Este proceso de sumar los coeficientes de los vectores unitarios , , equivale a sumar las componentes de cada uno de los vectores sobre los semiejes de coordenadas. Es decir que:   Este vector y sus respectivas componen- tes se muestran en la Fig.13. y su dirección esta definida por los ángulos directores: El módulo de la resultante es: R = ( - 4) 2 + (4) 2 + ( - 15) 2 = 257  16,03 [N] Finalmente, el vector resultante es : = - 4 + 4 – 15   R x =  F x = ( 8 – 9 – 3 ) = – 4 suma de componentes sobre el eje X R y =  F y = ( – 7+8+3 ) = 4 suma de componentes sobre el eje Y R z =  F z = ( – 5 – 6 – 9+5 ) = –15 suma de componentes sobre el eje Z     Figura 13 Z X Y - 1 5   -   4     = cos -1 ( – 4/ 257 )  104,4°  = cos -1 ( 4/ 257)  75,6° º  = cos -1 ( – 15/ 257)  159,3 o

16. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 16 ESCALARES Y VECTORES Vector posición relativo entre dos puntos. Es el vector que ubica un punto respecto a otro, cuando ambos están ubicados respecto al mismo sistema de coordenadas. En la Fig.14, ubicamos los puntos R 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ) y R 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 ) mediante los vectores posición 2   21   1   Gráfica y simbólicamente este vector se define como la diferencia del vector posición del punto final menos el vector posición del punto inicial (7) 21 = 2 – 1   Entonces, el vector posición relativo del punto R 2 respecto al punto R 1 es el vector que va desde R 1 (punto de referencia o punto inicial) hasta R 2 (punto que se quiere ubicar o punto final). 1 = x 1 + y 1 + z 1   2 = x 2 + y 2 + z 2   o X Z Y Figura 14       R 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 )  R 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 ) 

17. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 17 ESCALARES Y VECTORES Efectuando la resta con las componentes se tiene NOTA .- Según esta la Ec .(8), una forma práctica de obtener las componentes del vector posición, consiste en restar las coor-denadas del punto final del vector menos las coordenadas del punto inicial. 2 = x 2 + y 2 + z 2   – 1 = – x 1 – y 1 – z 1   (x 2 – x 1 ) = ( r 21 ) x que es la componente del vector posición 21 paralela al eje X.   21 = 2 – 1 = (x 2 – x 1 ) + (y 2 – y 1 ) + (z 2 – z 1 )   (8) Donde: (y 2 – y 1 ) = ( r 21 ) y que es la componente del vector posición 21 paralela al eje Y.   (z 2 – z 1 ) = ( r 21 ) z que es la componente del vector posición 21 paralela al eje Z.  

18. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 18 ESCALARES Y VECTORES El módulo del vector posición relativo 12 se obtiene con:   r 21 = ( x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 + (z 2 – z 1 ) 2 (9) y su dirección con:  = cos -1 [(x 2 – x 1 ) / r 21 )]  = cos -1 [(y 2 – y 1 ) / r 21 )] θ = cos -1 [(z 2 – z 1 ) / r 21 )] (10) De igual forma, en la Fig.15, graficamos y definimos el vector posición relativo del punto R 1 respecto al punto R 2 mediante la expresión: R 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 )  2   12   1   R 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 )  o X Z Y Figura 15       (11) 12 = 1 – 2   12 = 1 – 2 = (x 1 – x 2 ) + (y 1 – y 2 ) + (z 1 – z 2 )   De módulo: r 12 = ( x 1 – x 2 ) 2 + ( y 1 – y 2 ) 2 + (z 1 – z 2 ) 2 (12) y dirección :  = cos -1 [( x 1 – x 2 ) / r 12 )];  = cos -1 [( y 1 – y 2 ) / r 12 )]; θ = cos -1 [( z 1 – z 2 ) / r 12 )] (13)

19. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 19 ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 8. Dados los puntos R 1 (6, - 7, 8) y R 2 ( - 7, 7 ,4 ); hallar el vector posición del punto R 2 respecto al punto R 1 . 2   1   21   1 = 6 - 7 + 8   El vector posición de R 1 es: 6 -7 R 1 (6,-7,8) 8 o X Y Z Figura 16       2 = - 7 + 7 + 4   El vector posición de R 2 es: de módulo: r 12 =  381  19,52 y 2 = - 7 + 7 + 4   - 1 = - 6 + 7 - 8   21 = - 13 + 14 - 4   y el vector posición de R 2 respecto a R 1 , esta dado por el vector diferencia : 21 = 2 – 1   Solución. Dibujamos y definimos los vectores posición de cada uno de los punto respecto al sistema (X,Y,Z), como se muestra en la Fig.16. Restando: R 2 (-7,7,4) -7 7 4 dirección:  = 131,8 o ,  = 44,2 o , θ = 101,8°

20. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 20 ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 9. Los puntos M (9, - 8,14); N (6, 12, - 3) y P ( - 6,10,5) están definidos en el sistema de coordenadas (X,Y,Z). a) Definir los vectores posición , , de estos puntos usando los vectores unitarios , , , para luego determinar: b) el vector posición pm del punto P respecto al punto M, c) el vector posición pn del punto P respecto al punto N, d) el vector posición m n del punto M respecto al punto N y e) el vector = 2 - - ( / 3 ).     1   = 9 - 8 + 14   El vector posición de M es: o X Y Z Figura 17       = 6 + 12 - 3   El vector posición de N es: y el vector posición de P es: Solución. a) Dibujamos y definimos los vector posición de cada punto respecto al sistema (X,Y,Z), como se muestra en la Fig.17. P (-6,10,5) -6 10 5 = - 6 + 10 + 5   9 -8 M (9,-8,14) 14 12 6 -3 N (6,12,-3)  

21. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 21 ESCALARES Y VECTORES b) Según la (Fig. 17), el vector posición de P respecto a M es: pm = -       o X Y Z (Figura 17)       P (-6,10,5) -5 M (9,-8,14)   N (6,12,-3) pm = ( - 6 - 9) + (10 + 8) + (5 - 14)   Aplicando la NOTA de la Diap.17 calcu-lamos las componentes del vector posi-ción pm restando las coordenadas del extremo final (P) menos las coordena -das del extremo inicial (M) del vector. Por lo tanto:   pm = - 15 + 18 - 9   de módulo pm = y dirección  = cos -1 ( - 15/ ) = 126,7°;  = cos -1 (18 / ) = 44,2°;  = cos -1 ( - 9 / ) = 111,0°   c) Según la (Fig . 17), el vector posición de P respecto a N es: pn = -   pn   pn = - 12 - 2 + 8   de módulo pn = y dirección  = cos -1 ( - 12/ ) = 145,5°;  = cos -1 (-2 / ) = 97,9°;  = cos -1 ( 8 / ) = 56,7°   pm   pn = (-6-6) + (10 - 12) + (5+3)  

22. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 22 ESCALARES Y VECTORES d) Según la Fig. 17, el vector posición de M respecto a N es: Queda como ejercicio para el estudiante desarrollar esta pregunta mn = -   e) El vector = 2 - - ( / 3 ) se obtiene definiendo los vectores y luego colocándolos en filas y columnas en base a los vectores unitarios.   2 = 2( - 6 + 10 + 5 )   - = - (9 - 8 + 14 )   - / 3 = - ( 6 + 12 - 3 )/3   - / 3 = - 2 - 4 +   2 = - 12 + 20 + 10   - = - 9 + 8 - 14   = ( - 12 - 9 - 2) + (20 + 8 - 4) + (10 - 14+1)   = - 23 + 24 - 3   Con módulo = y dirección  = cos - 1 ( - 23/ ) = 133,6°;  = cos - 1 (24 / ) = 44,0°;  = cos - 1 ( - 3 / ) = 95,2°  

23. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 23 ESCALARES Y VECTORES a) Dibujar y definir los vectores posición de cada uno de los puntos de la Fig. 18 y luego su-marlos, b) Dibujar y definir el vector posición del punto B respecto al punto A y c) Dibujar y definir el vector posición del punto D respecto al punto C. Z Figura 18 Y X A(-6,-5,8) C( 7,-9,0) B( - 12,10, - 9) D(10,9, - 7) Para los puntos: L ( - 9 , - 3 , 6); M (7, - 5,4 ) y N (8, 7, - 9) ubicados en el sistema (X,Y,Z). a) Definir y graficar el vector posición de cada punto usando los vectores unitarios , , . Luego , usando estos vectores calcular: b) el vector : = - - , c) el vector posición del punto M respecto al punto L y d) un vector unitario paralelo al vector posición del punto M respecto al punto L.   Ejercicio EV-02 3.- Obtener un vector de magnitud 14 que tenga la misma dirección que el vector = 7 - 5 - 8 .  

24. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 24 ESCALARES Y VECTORES 4.- Para los puntos A( – 3 – 5 , 4 ), B( – 5,7,3) y C(6,10, –1 4 ) definir los vectores posición , , , usando los vectores unitarios , , , y lue-go determinar: a) el vector = 3 + - ( )/2, b) el vector posición de A respecto a B y c) el vector posición de C respecto a B .   5.- La posición de un avión que vuela a 5,0 km de altura, la situamos a 1,5 km Norte y a 2,5 km Este. a) ¿cuál es la distancia directa del avión medida desde la posición de observación? b) ¿Con qué ángulo, res-pecto al norte observamos al avión? y c) ¿con que ángulo de elevación observamos el avión? Producto escalar o producto punto de dos vectores . θ o     Figura 19 El producto escalar de los vectores y de la Fig. 19 se define mediante el producto aritmético de los módulos de los vectores y el coseno del ángulo que forman en un origen común.   Donde: = A B cos θ   • (14) A , es el módulo del primer factor y B es el el módulo del segundo factor.

25. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 25 ESCALARES Y VECTORES  , es el ángulo entre los vectores con origen común, tal que : °  θ  180 o El punto entre los vectores es el símbolo de esta operación y • Propiedades fundamentales : 1. • = • Propiedad Conmutativa.   2. • ( + ) = • + • Propiedad Distributiva   3. Si • = 0, sabiendo que: A  0 y B  0 , entonces los dos vectores son perpendiculares.   Si los vectores se expresan en función de sus componentes rec-tangulares 4. • = A A cos 0° = A 2 , entonces A = • , permite calcular el módulo del vector .   Forma canónica = A x + A y + A z = B x + B y + B z   Se demuestra que el producto escalar de ellos se calcula mediante la expresión: • = A x B x + A y B y + A z B z   (15)

26. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 26 ESCALARES Y VECTORES Algunas aplicaciones. Cálculo del ángulo entre dos vectores o rectas. θ = cos - 1 [ ( • )/ A B ]   (16) que permite calcular el ángulo  entre los vectores y .   Cálculo de la ´proyección ortogonal de un vector sobre otro. = A ( B cos θ )   • De la definición del producto escalar se obtiene la expresión La definición del producto escalar podemos escribirse como Donde ( B cos θ ) = B A , define la proyec-ción ortogonal (o perpendicular) del vector sobre el vector como se muestra en la Fig.20. Esto es:   θ o     Figura 20 B A = B cos θ B A = ( • ) / A   (17) La Ec .(17) también se puede escribir en la forma: B A = ( /A) • , donde ( /A ) = A es un vector unitario paralelo a . Por lo tanto:   (18) B A = •  

27. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 27 ESCALARES Y VECTORES De igual forma la proyección ortogonal de A sobre B esta defini -da por: A B = ( • )/ B = • ( /B) , donde ( /B ) = B es un vector unitario paralelo a . Por lo tanto: A B = • B     θ = 29 Figura 21   Solución Como en este caso = ten-dremos W = • = F x cos θ   Ejemplo 10. Hallar el trabajo que realiza la fuerza F = 582 [N], al desplazar el bloque de la Fig.21 una distancia x = 5 [m]. X Para explicar mejor esta definición dibujamos los vectores y con origen común O, tal como se muestra en la Fig.22.   Entonces, según la definición: W = (582)(5) cos 29° = W = 2545,14 [J]   θ = 29   o Figura 22 3.- El trabajo realizado por una fuerza se define como el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento . W = • = F r cos θ  

28. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 28 ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 11. Si = – 8 + 7 – 12 , = – 5 + 8 y = 9 + 4 + 6 Calcular : a) • , b) • , c) el ángulo entre y , d) la componente de sobre , e) • ( + ), f) • , y g ) el ángulo entre ( – ) y ( + )   Solución . a) Para ejecutar el producto escalar ordenamos los vectores en filas y columnas en base a los vectores unitarios = – 8 + 7 – 12   = – 5 + 0 8   • = (– 8)(– 5) + (7)( 0)+ (– 12)(8) • = –56   b) Esta pregunta queda como ejercicio para el estudiante. c) El ángulo θ entre los vectores se obtiene despejándolo de la fórmula del producto escalar. Esto es: θ = cos -1 [ ( • )/ A B ]   y en el denominador tenemos los módulos de los vectores. ( • ) = –56 (valor obtenido en la pregunta (a)   Donde , el numerador es el producto escalar: A = 257  16,03 y B = 89  9,43

29. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 29 ESCALARES Y VECTORES Por lo tanto, reemplazando valores obtenemos : θ = cos -1 [– 56/ (257)(89) ]  111,7 o d) La componente de sobre se obtiene aplicando la fórmula:   A B = ( • ) / B   Donde: ( • ) = –56, según la respuesta obtenida en (a) y   B = 89  9,43     111,7 O A B = – 5.94 Figura 23 El signo negativo en la respuesta significa que la componente A B está en sentido opuesto al vector , tal como se muestra en la Fig.23.   Las preguntas: e ) y f) quedan como ejercicios para el estudiante. Reemplazando valores se obtiene: A B  (– 56)/ 89  – 5.94

30. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 30 ESCALARES Y VECTORES Una forma de resolver este problema es renombrando a los dos vectores por: = ( – ) y = ( + ), para luego calcular el ángulo entre y usando la expresión:  = cos - 1 [ ( • )/DS]   ( – ) = (– 5 – 9) – 4 + ( 8 – 6)   = – 14 – 4 + 2   = + 11 – 6   ( + ) = (–8+9) + (7+4) + (–12+6)   = 9 + 4 + 6   = – 8 + 7 – 12   de módulo: =   de módulo: =   – = – 9 – 4 – 6   = – 5 + 8   Ahora calculemos los nuevos vectores. El producto escalar de estos vectores es: = – 14 – 4 + 2   = + 11 – 6   ( • ) = ( – 14)( 1) + ( – 4)(11) + ( 2)(–6 )   ( • ) = –70    = cos - 1 ( ) –70   Por lo tanto, el ángulo es:  = 112,3°

31. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 31 ESCALARES Y VECTORES Ejemplo 12. Para los puntos P (8, – 9, – 10); Q ( 12, – 16, – 8) y T ( 15, – 11,7) ubicados en el sistema ( X,Y,Z). a) Definir los vectores posición , , de cada uno de los puntos, b) calcular la proyección del vector ( + ) sobre el vector ( - ), c) calcular el ángulo que forma el vector ( – 3 ) con el vector [ – ( /4 )] y d) vectores unitarios paralelos a: , , .   Solución . a) Los vectores posición de los puntos P, Q, T son respectivamente. = 8 – 9 – 1   = 12 – 16 – 8   = 15 – 11 + 7   b) Para calcular la proyección de ( + ) = sobre ( - ) = primero definimos estos vectores mediante las siguientes operaciones:   = 15 – 11 + 7 ,   = 8 – 9 – 1   = 8 – 9 – 1   – = –12 +16 + 8   ( + ) = (15+8) + ( – 11 – 9) + (7 – 10)   ( – ) = (8 – 12) + ( – 9 + 16) + ( – 10+8)   = 2 – 2 – 3   = – 4 + 7 – 2  

32. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 32 ESCALARES Y VECTORES Si = ( + ) = 23 – 2 –3 y = ( – ) = –4 + 7 – 2 , con D =   Donde: = 23 – 20 –3 = – 4 + 7 –2   Por lo tanto, reemplazando valores obtenemos : La proyección de sobre se obtiene usando: S D = ( • )/ D   ( • ) = (23)( – 4) + ( – 20)( 7 ) + ( – 3)( – 2) = – 226   S D = ( - 226))/ = - 27,2   El signo negativo en la respuesta significa que la componente S D está en sentido opuesto al vector , como se mostró en la Fig.23, pag.29.   c) Para calcular el ángulo simplificamos las definiciones haciendo: = ( – 3 ) y = [ – ( /4 )].  

33. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 33 ESCALARES Y VECTORES Esto es: El ángulo es entonces: θ = cos -1 (–421/  162,7 o   d) El vector unitario paralelo al vector es:   = / p      – 0,5 – 0,6   = 8 – 9 – 1   = (15 – 24) + ( – 11+27) + (7 +30 )   de módulo: m =   = – 9 + 16 + 37   – = –3 + 4 +   = (8 – 3 + ( – 9 +4) + ( – 10+2)   de módulo: n =   = 5 – 5 – 8   Ahora: = – 9 + 16 + 37   = 5 – 5 – 8   = ( –9)(5) + (16)(–5) + (37)(–8)   = –421   = 15 – 11 + 7   – 3 = –24 + 27 + 3   =   (8 – 9 – 1 )/ =   – –  

34. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 34 ESCALARES Y VECTORES El vector unitario paralelo al vector es: = / q   =   (12 – 16 – 8 )/      – 0,7 – 0,37   El vector unitario paralelo al vector es: = / t   =   (15 – 11 + 7 )/      0,75 – 0,5 + 0,35   Tarea: Verificar que estos vectores son efectivamente unitarios Producto Vectorial o producto aspa de dos vectores. El producto vectorial de los vectores y que forman el ángulo  en el origen común, es el vector definido mediante la expresión:   Figura 24     θ o El vector producto es perpendicular a los vectores , y de un sentido igual al de avance de un tornillo de giro a la derecha , cuando es girado de hacia tal como se ilustra en la Fig.24.     Donde el “aspa x “ entre los vectores e s el símbolo de esta operación . = x   (19)  

35. 08/01/2019 04:54 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 35 ESCALARES Y VECTORES Usando el vector unitario perpendicular al plano que forman y , el producto vectorial también se define mediante la expresión:   = x = A B sen    (20) El sentido también se determina mediante la regla de la mano derecha usando el dedo pulgar para indicar el sentido del vector producto ( ) cuando el índice (vector ) gira hacia el dedo medio (vector )   Donde A y B s on los módulos de los vectores que se multiplican y θ es el ángulo que ambos forman en el origen común, tal que (0 o  θ  180 º . Propiedades fundamentales del producto vectorial: 2.- x ( + ) = x + x , propiedad distributiva.   1.- x = - x , no es conmutativo   3.- x = A A sen o =  

36. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 36 ESCALARES Y VECTORES 4.- Si los vectores y se expresan en función de sus componen- tes rectangulares en el sistema (X,Y,Z )   El producto vectorial se obtiene desarrollando un determinante for -mando con los vectores unitarios en la primera fila y las compo-nentes de y en la segunda y tercera fila, respectivamente.   = A x + A y + A z , = B x + B y + B z   x =   A y A z B y B z A x A z B x B z A x A y B x B y (+) ( - ) (+) ( - ) (+) ( - ) =   -   +   A x A y A z B x B y B z   - [ A x B z – A z B x ]   + [ A x B y – A y B x ]   x =   Luego, en cada menor , multiplicamos sus elementos en forma diagonal. Al producto diagonal hacia abajo le restamos el producto diagonal hacia arriba. (21) [ A y B z – A z B y ]   Si aplicamos el método de menores complementarios en el desa-rrollo de este determinante anulamos fila y columna donde se ubica cada vector unitario a fin de obtener tres determinantes de menor orden .

37. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 37 ESCALARES Y VECTORES El signo negativo que antecede al vector unitario se debe a su posición en el determinante (según la matemática), (primera fila, segunda columna ) .   Algunas Aplicaciones El módulo del vector producto es igual al área del paralelogramo formado por lo vectores y con origen común. S = A B sen    θ Figura 25       h = B sen θ Si en este paralelogramo elegimos el vector como base del paralelogra-mo , la altura estará definida por :   Entonces, el área del paralelogramo es: (23) S = A h h = B sen θ Esto se demuestra en la Fig.25, donde hemos girado la Fig.24 alrededor del vector , para observar mejor el paralelogramo .   Introduciendo el signo negativo de en el paréntesis y reordenando obte-nemos :   [ A y B z – A z B y ] + [ A z B x – A x B z ] + [ A x B y – A y B x ]   x =   (22)

38. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 38 ESCALARES Y VECTORES 2. El cálculo de un vector perpendicular a dos vectores coplanarios a la vez. Un ejemplo de este tipo de vector es el Torque o Momen - to de una fuerza aplicada a un cuerpo que lo hace rotar con res- pecto a un eje de rotación. Ejemplo 13. Para abrir la puerta como la de la Fig. 26 se aplica una fuerza F = 380 [N] en un punto ubicado a una distancia r = 1,20 [m] de las bisagras. Si y están en el plano (X,Y) forman-do un ángulo  = 49°, calcular el momento o torque de esta fuerza respecto al eje Z .   Solución . X Y Z Eje de rotación     Figura 26     θ E l momento o torque de la fuerza, respecto al eje Z de las bisagras, se obtiene mediante el producto vectorial.   = x   Como los vectores y están en el plano (X,Y), el vector producto es paralelo al eje Z (eje de las bisagras) y perpendicular a tal plano.  

39. 08/01/2019 04:52 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 39 ESCALARES Y VECTORES Para visualizar mejor el vector torque en la Fig.27, dibujamos los vectores y a partir de un origen común O   49 o     Figura 27 Usando valores, el módulo del torque o momento es:  = r F sen θ = ( 380 )( 1,20 )( sen 49°) Como el torque es un vector perpendicular al plano (X,Y ) entonces es paralelo al vector unitario , por lo tanto su forma vectorial es:   = 344,15 [ m.N ]       o Solución: Para obtener el producto vectorial formamos el determinante y lo resolvemos por el método de los menores complementarios. Ejemplo 14. Dados los vectores: = 5 + 8 – 7 , = – 9 – 3 + 6 , calcular: a) x , y b) el área del paralelogramo formado por y .   8 - 7 - 3 6 =   ( - ) ( + ) 5 - 7 - 9 6 5 8 - 9 - 3 ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) 5 8 -7 -9 -3 6   a) = x =   -   +    = 344,15 [ m.N ]

40. 08/01/2019 05:09 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 40 ESCALARES Y VECTORES =   [(8)(6) –(–3)(–7)]   – [(5)(6) – (– 9)(– 7)]   + [(5)(– 3) – (– 9)(8)]   Simplificando: = x = 27 + 33 + 57   Con módulo: C = x = 27) 2 +(33) 2 +(57) 2 = 5067  71,18   y dirección:   67,7 º ;   62,4 º ; θ  36,8 o b) El área del paralelogramo formado por y es igual al módulo del vector producto. Esto es: Area = C = 71,18 unidades de superficie   Ejemplo 15. Los puntos A(7, - 10,13), B(5,6, - 6), C ( - 9,11,7), son los vértices de un triángulo en el espacio (X,Y,Z). Calcular el área del triángulo usando el producto vectorial. A C B X Y Z Figura 28 Solución : En la Fig.28 ubicamos los puntos y los unimos para formar el triángulo . Figura 29 Este triángulo es la mitad del paralelo-gramo de la Fig.29. Por lo tanto: Área Triángulo = ½ (Área paralelogramo )

41. 08/01/2019 05:14 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 41 ESCALARES Y VECTORES Por lo tanto, el área de nuestro triángulo puede obtenerse dividiendo entre dos al producto vectorial de dos vectores con vértice común. En la Fig.30, definimos los vectores y con vértice común en A.   Usando estos vectores el triángulo se puede representar como la mitad de su producto vectorial. = [– 9 – 7] + [11 –(–10)] + [7 –13)]   = [5 – 7] + [6 – (– 10)] + [-6 – 13]   = – 16 + 21 – 6   = –2 + 16 – 19   =     – 2 16 –19 –16 21 – 6   = ½   = ½ [(–96+399) –(12–304) + (–42+256)]   A(7,-10,13) C(-9,11,7) B(5,6,-6) X Y Z Figura 30       = 151,5 + 146 + 107   Área Triángulo = T = 55717,25  236,05 unidades de superficie

42. 08/01/2019 04:53 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 42 ESCALARES Y VECTORES Triple Producto Escalar El triple producto escalar de los vectores no coplanarios , y de la Fig.31 es el escalar definido mediante la expresión:   • ( x )   (24)     o    Figura 31 El paréntesis indica que prime-ro debemos ejecutar el produc -to vectorial ( x ) y luego el pro-ducto escalar ( • ) Mediante esta operación obte - nemos un escalar que represen- ta el volumen del paralelepípedo formado por los vectores , y , como aristas de origen común.   Al ejecutar primero el producto vectorial ( x ), obtenemos un vector perpendicular a la base del paralelepípedo, el mismo que está ubicado dentro de éste, tal como se muestra en la Fig . 32 que sigue.  

43. 08/01/2019 04:53 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 43 ESCALARES Y VECTORES En la Fig.32 la base del paralelepípedo esta representado por el producto vectorial . h      o    Figura 32 S x     Si ahora ejecutamos el produc -to escalar de con el vector producto anterior se tiene:   ( x ) = B C sen    Cuyo módulo es igual al área S de la base del paralelepípedo B C sen  = S • ( x ) = • ( B C sen  )   Donde: A cos  = h, es la altura del paralelepípedo y = A ( B C sen  ) cos  Que puede reordenarse en la forma: • ( x ) = ( A cos  ) ( B C sen  )   B C sen  = S, es el área del paralelogramo base • ( x ) = h S = V, es el volumen del paralelepípedo   Por lo tanto: (25)

44. 08/01/2019 04:53 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 44 ESCALARES Y VECTORES Si los vectores se dan en función de sus componentes cartesianas. El triple producto escalar se obtiene desarrollando el determinante formado por las componentes de los vectores en el siguiente orden = A x + A y + A z = B x + B y + A z = C x + C y + C z   = Volumen del paralelepípedo formado por tres vectores no coplanarios Desarrollando el determinante por menores complementarios se tiene: • ( x ) =   (27) • ( x ) =   A x A y A z B x B y B z C x C y C z = V (26) ( B y C z – B z C y ) A x – ( B x C z – B z C x )A y + ( B x C y – B y C x ) A z

45. 08/01/2019 04:53 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 45 ESCALARES Y VECTORES Nota. Es importante indicar que al definir el triple producto escalar debemos cuidar que el vector producto de dos de ellos sea un vector que al ubicarlo perpendicular a la base quede dentro del paralelepípedo. Porque de no ser así, el triple producto puede resultar negativo. Si este es el caso, aún podemos considerar el valor absoluto del resultado como el volumen del paralelepípedo . Solución Ubicamos los puntos, trazamos y definimos los vectores posición de cada uno de los vértices, tal como se muestran en la Fig.36. M P     N   Y Z X Figura 33 = 7 + 4 + 2   = - 5 + 6   = 2 - 4 + 8   Estos vectores son aristas del pa-ralelepípedo de la Fig.33, cuya base lo conforman los vectores y .   o Ejemplo 16. Sean M(7,4,2); N ( - 5,6,0 ) y P(2 , - 4,8) los vértices de un para- lelepípedo . Dibujar el paralelepípedo y calcular su volumen.

46. 08/01/2019 04:53 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 46 ESCALARES Y VECTORES 2 - 4 8 7 4 2 - 5 6 V = • ( x ) =   V = 2 [(4)( 0) – (6)(2)] V = 512 [unidades de volumen] 4 2 6 2 7 2 - 5 - ( - 4) 7 4 - 5 6 + 8 Para obtener el valor de este triple producto formamos un determinan-te con las componentes de los vectores, según el orden en que se multipliquen. (+) ( - ) (+) ( - ) (+) ( - ) + 4[(7)( 0) – (–5)(2)] + 8[(7)(6) – (–5)(4)] Desarrollamos este determinante usando el método de los menores complementarios (o cualquier otro método ). V = El volumen de este paralelepípedo se obtiene mediante el triple pro-ducto escalar V = • ( x )  

47. 08/01/2019 04:53 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 47 ESCALARES Y VECTORES Se demuestra que el triple producto escalar no cambia si permuta- mos los vectores alrededor del punto y el aspa en el siguiente orden : Ejercicio EV-03 Definir los vectores posición, , , de los puntos L (–7, – 8, 9); M (8, – 8,5) y N (9, 6, – 3) usando los vectores unitarios , , y luego con ellos calcular : a ) La proyección de sobre , b) El ángulo que forma el vector ( - ) con el vector [ x ( / 3)] y c ) el volumen del paralelepípedo formado por los vectores , y . Los puntos A (10, -5,-15); B (11, 14, -9) y C (6, -4,7) están ubicados en el sistema (X,Y,Z). Usando los vectores unitarios , , , defina los vectores posición: , , de cada uno de estos puntos, para luego calcular el ángulo que forma el vector ( 2 - ) con el vector [ x ( /5 )]   V = • ( x )   = • ( x )   = • ( x )   = • ( x )   1 (27)

48. 08/01/2019 04:53 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 48 ESCALARES Y VECTORES a) Calcular, usando métodos vectoriales, la altura del paralelepípedo determinado por los vectores = + + , = 2 + 4 - , = + + 3 , expresados en metros, considerando que y forman una de las bases del paralelepípedo y b) calcular las otras alturas. Calcular el vector unitario perpendicular a los vectores - 8 + 6 - 4 . Los puntos F (9, - 7, - 4); G (20, - 16,12) y H (11, 6, - 9) están defini -dos por sus coordenadas, en metros, en el sistema (X,Y,Z). a) Definir los vectores posición , , de cada uno de los puntos, usando los vectores unitarios , , ;   luego c alcular : b) el ángulo que forma el vector diferencia ( - ) con el vector producto ( / 4 ) x y c) el volumen del paralelepípedo formado por los vectores , y . En el sistema (X,Y,Z) se ubican los puntos: M (12, - 8, - 4); N (9, - 12,5) y P (9, 18, - 15) expresados en metros. a) Definir los vectores posición: , , usando los vectores unitarios , , , y b) ca lcular el ángulo que forma el vector suma de los tres vectores con el vector producto [( /3 ) x ].  

49. 08/01/2019 04:53 a.m. Segundo L. Gallardo Zamora 49 ESCALARES Y VECTORES Definir los vectores posición , , de los puntos P(–6, 9 ,– 12); Q (–11, –13, 7) y R (6, 8, –4), usando los vectores unitarios , , , y luego con ellos calcular: a) el ángul o que forma el vector [ – ( /3 ) ] con el vector ( x ) y b) e l volumen del paralelepípedo formado por los vectores , , Los puntos M (4,-5, 4); N (-4,-6, 5) y P (3, 5,-3) son los vértices de un triángulo en el sistema (X,Y,Z), expresados en metros. a) Ubicar los puntos y luego dibujar el triángulo, b) calcular el valor de los tres ángulos inter-nos y c) el área del triángulo usando métodos vectoriales . Los siguientes tres puntos están definidos respecto al sistema (X,Y,Z) mediante las coordenadas: A (12, -16,-8); B (6, -8,3) y C (9, 6, -15). Defina los vectores posición: a, b, c de cada uno de los puntos usando los vectores unitarios i, j, k. Luego, usando estos vectores, ca lcular el ángulo que forma el vector [ c – ( a/4 ) –b ] con el vector [( c/ 3 ) x b ] .