100 Problemas Resueltos de Geometría Analítica

Lista de problemas resueltos de geometría analítica: plano coordenado y la recta, aplicaciones a las ciencias económicas

1. PROBLEMAS
1.Obtenga para los puntosAyBdirigidos las distanciasAByBA:
a)A(3;4)yB(5;4)
b)A(2;8)yB(2;12)
Solucion:
a)d(A; B) = +
p
(53)
2
+ (44)
2
= +
p
2
2
+ 0
2
= +
p
4 = +2
d(B; A) =
p
(53)
2
+ (44)
2
=
p
2
2
+ 0
2
=
p
4 =2
b)d(A; B) = +
p
(22)
2
+ (812)
2
= +
p
0
2
+ (20)
2
= +
p
400 = +20
d(B; A) =
p
(22)
2
+ (812)
2
=
p
0
2
+ (20)
2
=
p
400 =20
2.La abscisa de un puntoQes -2 y su distancia al puntoP(3;6)es
p
5. Hallar
la ordenada del puntoQ.
Solucion:
Sea el puntoQ(2; x), entonces:
d(P; Q) =
p
(2(3))
2
+ (x6)
2
p
5 =
p
(2 + 3)
2
+ (x6)
2
(
p
5)
2
= (
p
(1)
2
+ (x6)
2
)
2
5 = 1 + (x6)
2
5 = 1 +x
2
12x+ 36
x
2
12x+ 32 = 0
(x8)(x4) = 0
x8 = 0; x4 = 0
x= 8; x= 4
Por tanto, la ordenada esx= 8 ox= 4.
1

2. 2
3.Uno de los extremos de un segmento rectilneo es P(4;2)y el
punto medio del segmento e M(3;1). Obtenga las coordenadas del otro
extremo del segmento.
Solucion:
Seal el otro extremo del segmentoQ(x; y), entonces comoMes punto medio se tiene:
3 =
4 +x
2
;1 =
2 +y
2
6 =4 +x ;2 = 2 +y
6 + 4 =x ;22 =y
x= 10; y=4
Por tanto, el otro extremo esQ(10;4).
4.Determine la distancia entreP(2;3)y el punto medio del segmento de recta
que une los puntosA(2;2)yB(4;3)
Solucion:
Hallando el punto medio deAB:
x=
2 + 4
2
; y=
2 + 3
2
x= 1; y=
1
2
se tiene entonces el punto medioM(1;
1
2
). Luego la distancia dePaMes:
d(P; M) =
r
(21)
2
+ (3
1
2
)
2
=
r
(3)
2
+ (
5
2
)
2
=
r
9 +
25
4
=
r
61
4
=
p
61
2
5.Hallar la ecuacion de a recta que pasa por los puntosPyQ:
a)P(1;1)yQ(4;6)
b)P(2;3)yQ(3;2)
Solucion:
a) la pendiente es:
m=
61
41
=
5
3

3. 3
y la ecuacion es:
L:yy0=m(xx0)
y1 =
5
3
(x1)
3y3 = 5x5
5x+ 3y3 + 5 = 0
5x+ 3y+ 2 = 0
L: 5x3y2 = 0
b) la pendiente es:
m=
23
32
=
5
5
= 1
y la ecuacion es:
L:yy0=m(xx0)
y3 = (1)(x2)
y3 =x2
x+y3 + 2 = 0
x+y1 = 0
L:xy+ 1 = 0
6.Hallar la ecuacion de a recta que pasa por el puntoP, y tiene pendientem:
a)P(7;3)ym= 4
b)P(2;2)ym=5
Solucion:
a) La ecuacion es:
L:yy0=m(xx0)
y(3) = 4(x7)
y+ 3 = 4x28
4x+y3 + 21 = 0
4x+y+ 19 = 0
L: 4xy19 = 0

4. 4
b) La ecuacion es:
L:yy0=m(xx0)
y2 = (5)(x(2))
y2 =5x10
5x+y2 + 10 = 0
L: 5x+y+ 8 = 0
7.Trace la graca de las ecuaciones siguientes:
a)4x+ 3y+ 4 = 0
b)5x+ 7y+ 12 = 0
Solucion:
gracando las rectas:
8.Obtener el valor dekpara que las rectas:
a)3x+ 6ky7 = 0y9kx+ 8y15 = 0sean paralelas
b)3kx+ 8y5 = 0y6y4ky+ 1 = 0sean perpendiculares
Solucion:
a) Dadas las rectas:
L1: 3x+ 6ky7 = 0
L1: 9kx+ 8y15 = 0

5. 5
donde sus pendientes son:m1=
3
6k
ym2=
9k
8
. Se sabe que las rectas son
paralelas si:
m1=m2
3
6k
=
9k
8
3(8) = 6k(9k)
24 =54k
2
k
2
=
24
54
k
2
=
4
9
k=
r
4
9
k=
2
3
b) Dadas las rectas:
L1: 3kx+ 8y5 = 0
L1: 6y4ky+ 1 = 0
donde sus pendientes son:m1=
3k
8
ym2=
(4k)
6
. Se sabe que las rectas son
paralelas si:
m1:m2=1
3k
8
:
(4k)
6
=1
12k
2
48
=1
k
2
4
= 1
k
2
= 4
k=
p
4
k=2
9.Obtenga las ecuaciones de las tres rectas que contienen a las
medianas del trianguloA(3;2),B(3;4)yC(1;1).
Solucion:
Las medianas son los segmentos que pasan un vertice y el punto medio del lado opuesto,
calculando los puntos medios:
MAB= (
3 + 3
2
;
2 + 4
2
) = (3;1)
MAC= (
3 +1
2
;
2 + 1
2
) = (1;
1
2
)
MBC= (
3 +1
2
;
4 + 1
2
) = (1;
5
2
)

6. 6
luego:
i) recta que contiene a la mediana que pasa porAyMBC:
y(2) =
2
5
2
31
(x3)
y+ 2 =
9
5
2
(x3)
y+ 2 =
9
10
(x3)
10y+ 20 =9x+ 27
L1: 9x+ 10y7 = 0
ii) recta que contiene a la mediana que pasa porByMAC:
y4 =
4
1
2
31
(x3)
y4 =
7
2
2
(x3)
y4 =
7
4
(x3)
4y16 = 7x21
L2:7x+ 4y+ 5 = 0
iii) recta que contiene a la mediana que pasa porCyMAB:
y1 =
11
3(1)
(x(1))
y1 =
0
4
(x+ 1)
y1 = 0
L3:y1 = 0
10.Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta2x3y+ 6 = 0, que se
encuentra a una distancia de 4 del puntoQ(3;1).
Solucion:
Sea la recta paralela:L: 2x3y+c= 0, luego por condicion del problema:
d(L; Q) = 4
j2(3)3(1) +cj
p
3
2
+ 1
2
= 4
j63 +cj
p
9 + 1
= 4
j3 +cj
p
10
= 4
j3 +cj= 4
p
10
3 +c= 4
p
10 3 + c=4
p
10
c= 4
p
103 c=4
p
103

7. 7
11.Los lados de un triangulo estan sobre las rectasx5y7 = 0,3x2y4 = 0,
7x+y+ 19 = 0. Hallar sus angulos interiores.
Solucion:
Calculando las pendientes:
m1=
1
5
=
1
5
m2=
3
2
=
3
2
m3=
7
1
=7
Luego los angulos son:
tan1=j
m1m2
1 +m1:m2
j
tan1=j
1
5

3
2
1 +
1
5
:
3
2
j
tan1=j
13
10
13
10
j
tan1=j 1j
tan1= 1
1= arctan (1)
1= 45

tan2=j
m1m3
1 +m1:m3
j
tan2=j
1
5
(7)
1 +
1
5
:(7)
j
tan2=j
36
5
2
5
j
tan2=j 18j
tan2= 18
2= arctan (18)
2= 93:18

8. 8
tan3=j
m2m3
1 +m2:m3
j
tan3=j
3
2
(7)
1 +
3
2
:(7)
j
tan3=j
17
2
19
2
j
tan3=j
17
19
j
tan3=
17
19
3= arctan (
17
19
)
3= 41:82

12.Hallar las ecuaciones de los lados de un triangulo, si uno de sus vertices es
P(4;1)y las ecuaciones de dos bisectrices esx1 = 0yxy1 = 0.
Solucion:
Las ecuaciones de los lados son:
L1: 12:5x2;5y+ 12:5 = 0
L2: 11x+ 3y41 = 0
L3:1:5x+ 5:5y+ 11:5 = 0
13.Una recta pasa porP(2;3)y la suma de las medidas de los segmentos que
determina sobre los ejes coordeandos es 10. Hallar la ecuacion de la recta.
Solucion:
Sean los interceptos de la recta con los ejes coordenados: (a;0) y (0; b), se sabe que
a+b= 10, de dondeb= 10a. Por otro lado, la ecuacion de la recta es:
x
a
+
y
b
= 1
como el punto (2;3) pertence a la recta entonces:
2
a
+
3
b
= 1
reemplazandob= 10ay reduciendo la ecuacion se obtiene:
a
2
9a+ 20 = 0
de dondea= 4 ya= 5. Sia= 4 entoncesb= 6, y sia= 5 entoncesb= 5. Por tanto
las ecuaciones de la recta pedida son:
L:
x
4
+
y
6
= 1
o
L:
x
5
+
y
5
= 1

9. 9
14.Hallar la ecuacion de la recta equidistante de las rectas paralelas:L1: 2x
y4 = 0yL2: 2xy+ 8 = 0.
Solucion:
Sea la recta pedida:
L: 2xy+c= 0
entonces, por dato:
d(L1; L) =d(L2; L)
j 4cj
2
=
j8cj
2
j 4cj=j8cj
4c=(8c)
de donde se obtiene quec= 2. Por tanto la ecuacion de la recta pedida es:
2xy+ 2 = 0
15.Los lados de un triangulo estan en las rectas:L1: 4xy7 = 0,L2:x+3y= 31,
L3:x+ 5y7 = 0. Dar el punto de interseccion de sus alturas.
Solucion:
Hallando primero los vertices del triangulo mediante la interseccion de las
rectas dos a dos:
i) ParaL1\ L2:
(
4xy7 = 0
x+ 3y31 = 0
multiplicando por 3 a la primera ecuacion:
(
12x3y21 = 0
x+ 3y31 = 0
sumando ambas ecuaciones:
13x52 = 0
x= 4
reemplazandox= 4 en la ecuacion:x+ 3y31 = 0
4 + 3y31 = 0
y= 9
as se tiene el primer verticeV1(4;9).

10. 10
ii) ParaL1\ L3:
(
4xy7 = 0
x+ 5y7 = 0
multiplicando por 5 a la primera ecuacion:
(
20x5y35 = 0
x+ 5y7 = 0
sumando ambas ecuaciones:
21x42 = 0
x= 2
reemplazandox= 2 en la ecuacion:x+ 5y7 = 0
2 + 5y7 = 0
y= 1
luego, el segundo vertice esV2(2;1).
iii) ParaL2\ L3:
(
x+ 3y31 = 0 = 0
x+ 5y7 = 0
multiplicando por -1 a la primera ecuacion:
(
x3y+ 31 = 0 = 0
x+ 5y7 = 0
sumando ambas ecuaciones:
2y+ 24 = 0
y=12
reemplazandoy=12 en la ecuacion:x+ 5y7 = 0
x+ 5(12)7 = 0
x= 67
y el ultimo vertice es:V3(67;12).
Segundo, se hallan las ecuaciones de las alturas correspondientes a los lados:
i) SeaH1la altura correspondiente al verticeV1. Notar que esta es ortogonal aL3,
por tanto su pendiente esmH1
= 5. La ecuacion deH1es:
y9 = 5(x4)
y9 = 5x20
5x+y+ 11 = 0

11. 11
ii) SeaH2la altura correspondiente al verticeV2. Por la misma propiedad que la
anterior,H2? L2, en consecuenciamH2
= 3. La ecuacion deH2es:
y1 = 3(x2)
y1 = 3x6
3x+y+ 5 = 0
iii) SeaH3la altura correspondiente al verticeV3. Puesto queH3? L3, la pendiente
esmH3
=
1
4
. La ecuacion deH2es:
y(12) =
1
4
(x67)
4y+ 48 =x+ 67
x+ 4y19 = 0
Formando un sistema lineal con las ecuaciones de las alturas:
8
>
>
<
>
>
:
5x+y+ 11 = 0
3x+y+ 5 = 0
x+ 4y19 = 0
multplicando por -5 a la segunda ecuacion:
8
>
>
<
>
>
:
5x+y+ 11 = 0
15x5y25 = 0
x+ 4y19 = 0
sumando las tres ecuaciones:
11x33 = 0
x= 3
reemplazandox= 3 en la primera ecuacion:
5(3) +y+ 11 = 0
y= 4
Por tanto, la interseccion de las alturas del triangulo dado es el puntoH(3;4).

12. 12
16.Hallar la ecuacion de la recta situada a 8 unidades del origen y pasa por el
puntoA(20;0)y corta la parte positiva del ejeY.
Solucion:
Hallando la tangente del angulo generado por la recta y el primer cuadrante en el punto
(20;0), se obtiene:
tan=
8
p
20
2
8
2
=
8
4
p
21
=
2
p
21
Luego, la tangente del angulo adyacente es tan=
2
p
21
. Por tanto, la ecuacion de la
recta que pasa por (20;0) y tiene pendientem=
2
p
21
es:
L:y0 = 0
2
p
21
(x20)
reduciendo se obtiene:
L: 2x+
p
21y40 = 0
17.Dadas las rectasL1: 2x+y+ 2 = 0,L2:x2y+ 1 = 0. Hallar los puntos
situados enL1cuya distancia aL2sea
p
5.
Solucion:
Sean los puntosP(a; b)2L1, entonces reemplazando:
2a+b+ 2 = 0
b=2a2
Por otro lado se sabe:
d(P; L2) =
p
5
ja2b+ 1j
p
1
2
+ (2)
2
=
p
5
ja2(2a2) + 1j
p
5
=
p
5
j5a+ 5j=
p
5:
p
5
j5a+ 5j= 5
5a+ 5 = 5;5a+ 5 =5
a= 0; a=2
Sia= 0 entoncesb=2(0)2 =2. Y sia=2 entoncesb=2(2)2 = 2. Por
tanto los puntos son (0;2) y (2;2).
18.SeanL1yL2dos rectas ortogonales tales queL1pasa por(3;2)y(2;5)yL2
pasa por(2;1). Hallar la interseccion de ambas rectas. Solucion:
Hallando la rectaL1:
y2 =
52
23
(x3)
y2 =3(x3)
L1: 3x+y11 = 0

13. 13
ademasm1=3 entoncesm2=
1
3
. Luego la ecuacion deL2es:
y1 =m2(x2)
y1 =
1
3
(x2)
3y3 =x2
L2:x3y+ 1 = 0
La interseccion deL1yL2se obtiene resolviendo:
3x+y11 = 0
x3y+ 1 = 0
cuya solucion esx=
16
5
,y=
7
5
. Por tanto, el punto de interseccion es: (
16
5
;
7
5
).
19.Sean las rectasL1: 3x4y+ 6 = 0,L2:P= (4;1) +t(2;4); t2R. Hallar:
a) La distancia del puntoA(4;1)a la rectaL1.
b) La tangente del angulo formado por las rectas.
Solucion:
a) calculando:
d(A; L1) =
j3(4)4(1) + 6j
p
3
2
+ (4)
2
=
j14j
p
25
=
14
5
b) Hallando la ecuacion vectorial de la rectaL2:
y1 = =
4
2
(x1)
y1 =2(x1)
2x+y3 = 0
Luego las pendientes son:m1=
3
4
,m2=2. Seael angulo generado por las
rectas, entonces:
tan=j
3
4
(2)
1 +
3
4
:(2)
j
=
11
2

14. 14
20.Hallar el valor dektal que el puntoP(k;4)sea equidistante de las
rectas:L1: 13x9y10 = 0,L2:x+ 3y6 = 0.
Solucion:
Por la formula de las distancias:
d(P; L1) =d(P; L2)
j13k9(4)10j
p
13
2
+ (9)
2
=
jk+ 3(4)6j
p
1
2
+ 3
2
j13k46j
p
250
=
jk+ 6j
p
10
j13k46j
5
p
10
=
jk+ 6j
p
10
j13k46j
5
=jk+ 6j
j13k46j= 5jk+ 6j
13k46 = 5(k+ 6);13k46 =5(k+ 6)
k=
19
2
;
8
9
21.Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas
L1: 3x4y+ 8 = 0,L2: 6x8y+ 9 = 0.
Solucion:
dividiendo la rectaL2entre 2:
L2: 3x4y+
9
2
= 0
Luego la distancia es:
d(L1; L2) =
j8
9
2
j
2
)
=
7
4
22.Hallar la ecuacion de la recta paralela a la rectaL1: 5x+ 12y12y que diste
4 unidades de ella.
Solucion:
Sea la recta paralela aL1:
L2: 5x+ 12y+c= 0
Luego:
d(L1; L2) = 4
j 12cj
2
= 4
j 12cj= 8
12c= 8;12c=8
c=20; c=4

15. 15
Luego, la rectaL2tiene dos ecuaciones: 5x+ 12y20 = 0 o 5x+ 12y4 = 0.
23.La distancia de la rectaL: 4x3y+ 1 = 0al puntoPes 4. Si la ordenada de
Pes3. Hallese su abscisa.
Solucion:
Sea el puntoP(a;3). Luego:
d(P; L) = 4
j4a3(3) + 1j
p
4
2
+ (3)
2
= 4
j4a8j
p
25
= 4
j4a8j
5
= 4
j4a8j= 20
4a8 = 20;4a8 =20
a= 7; a=3
24.Hallar la ecuacion de la recta cuyos puntos equidistan de las dos rectas
paralelasL1: 12x5y+ 3 = 0,L2: 12x5y6 = 0.
Solucion:
El conjunto de puntos que equidistan de las rectas paralelas dadas es otra recta paralela
a ellas. Sea la recta paralela:L3: 12x5y+c= 0. Luego:
d(L1; L3) =d(L2; L3)
j3cj
2
=
j 6cj
2
j3cj=j 6cj
3c=6c ;3c=(6c)
3 =6 (absurdo); c=
3
2
Por tanto, la recta esL3: 12x5y
3
2
= 0.
25.Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el puntoP(3;1)y tal que la
distancia de esta recta al puntoA(1;1)sea igual a2
p
2.
Solucion:
Sea la recta pedidaL:y1 =m(x3), reduciendo se obtiene:
mxy3m+ 1 = 0

16. 16
Ademas se sabe:
d(L; P) = 2
p
2
jm(1)13m+ 1j
p
m
2
+ (1)
1
= 2
p
2
j 4mj
p
m
2
+ 1
= 2
p
2
j 4mj= 2
p
2
p
m
2
+ 1
elevando al cuadrado y resolviendo la ecuacion se obtiene:
16m
2
= 8m
2
+ 8
m=1
Por tanto la ecuacion deLes:xy2 = 0 oxy+ 4 = 0.
26.La distancia de una recta al origen es 3. La recta pasa por el puntoA(3
p
5;3).
Hallar su ecuacion.
Solucion:
La ecuacion de la recta es:
3x+ 11
p
5y
79
2
p
5
= 0
27.Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vertices del triangulo
A(5;4),B(1;3),C(3;2)y son paralelas a los lados
opuestos.
Solucion:
Hallando las ecuaciones de los lados del triangulo:
L1: 7x+ 6y11 = 0
L2:x4y11 = 0
L3: 5x2y+ 11 = 0
La ecuacion que pasa porA(5;4) y es paralela aL3es 5x2y33 = 0.
La ecuacion que pasa porB(1;3) y es paralela aL2esx4y+ 11 = 0.
La ecuacion que pasa porC(3;2) y es paralela aL1es 7x+ 6y+ 33 = 0.
28.Hallese la tangente del angulo que forma la recta que pasa por(5;6)y(1;2)
con la que pasa por(4;7)y(8;7).
Solucion:
Sean:
m1=
62
51
=
2
3
m2=
77
8(4)
= 0

17. 17
Luego, seael angulo generado:
tan=j
2
3
0
1 +
2
3
:0
j
=
2
3
29.Hallar los valores deAyCpara que las rectas:Ax2y1 = 0,
6x4y+C= 0
a) tengan un solo punto en comun
b) sean paralelas
c) sean perpendiculares
d) sean iguales o coincidentes
Solucion:
a) para que tengan un solo punto en comun:
4A6(2)6= 0;
de dondeA6= 3 yC2R.
b) son paralelas si:
A
6
=
2
4
;
de dondeA= 3 yC2R.
c) son perpendiculares si:
A
2
:
6
4
=1;
de dondeA=
4
3
yC2R.
d) son coincidentes si:
A
6
=
2
4
=
1
C
;
de dondeA= 3 yC=2.
30.Encontrar la recta que pasa por la interseccion de las rectas:7x2y= 0,
4xy1 = 0y es perpendicular a la recta3x+ 8y= 19.
Solucion:
la interseccion de las rectas:
7x2y= 0
4xy1 = 0

18. 18
esx= 2 ey= 7. y aemas la pendiente de la recta pedida esm=
8
3
(perpendicular a a
recta 3x+ 8y= 19). Por tanto la recta que pasa por (2;7) y tiene pedientem=
8
3
es:
L: 8x3y+ 5 = 0
.
31.Calcular la pendiente de los segmentos determinados por los siguientes pares
de puntos:
a)(3;2)y(5;4)
b)(4;1)y(6;3)
c)(2;5)y(7;5)
d)(5;1)y(5;6)
Solucion:
hallando las pendientes:
a)m=
42
53
= 1
b)m=
31
64
= 1
c)m=
5(5)
7(2)
=2
d)m=
6(1)
55
=
1
2
32.Calcular la distancia entre los siguientes puntos:
a)(6;5)y(2;3)
b)(4;5)y(1;1)
c)(7;3)y(1;2)
d)(0;9)y(0;3)
Solucion:
hallando las distancias:
a)d=
p
(35)
2
+ (26)
2
=
p
80 = 4
p
5
b)d=
p
(51)
2
+ (4(1))
2
=
p
41
c)d=
p
(23)
2
+ (17)
2
=
p
89
d)d=
p
(39)
2
+ (00)
2
= 12

19. 19
33.Hallar el punto medio del segmento de recta que une los siguientes puntos:
a)(2;4)y(4;1)
b)(8;5)y(1;0)
c)(5;2)y(10;0)
d)(0;7)y(0;11)
Solucion:
hallando los puntos medios:
a)M= (
2+4
2
;
4+1
2
) = (2;
5
2
)
b)M= (
8+1
2
;
5+0
2
) = (
9
2
;
5
2
)
c)M= (
5+10
2
;
2+0
2
) = (
5
2
;1)
d)M= (
0+0
2
;
7+11
2
) = (0;9)
34.Calcular la distancia de los puntos y las rectas dadas:
a)(5;3)y3x2y+ 1 = 0
b)(1;4)y5x2y+ 8 = 0
c)(5;3)y2x6y+ 9 = 0
Solucion:
hallando las distancias
a)d=
j3(5)2(3) + 1j
p
3
2
+ (2)
2
=
10
p
13
b)d=
j5(1)2(4) + 8j
p
5
2
+ (2)
2
=
5
p
29
c)d=
j2(5)6(3) + 9j
p
2
2
+ (6)
2
=
17
p
40
35.Obtener la ecuacion general de la recta que pasa por los puntos:
a)(2;5)y(3;4)
b)(3;5)y(1;2)
c)(5;7)y(3;9)
Solucion:
hallando las ecuaciones de las rectas:
a)L: 9x+ 5y7 = 0
b)L:3x+ 4y11 = 0
c)L:x+y12 = 0

20. 20
36.Obtener la ecuacion principal de la recta que pasa por los puntos:
a)(0;0)y(1;6)
b)(1;2)y(0;5)
c)(3;1)y(2;3)
Solucion:
hallando las ecuaciones principales de las rectas:
a)L:y6 = 6x
b)L:y5 =3(x1)
c)L:y3 = 2(x+ 2)
37.Obtener en forma general la ecuacion de la recta que pasa por el punto
(1;2)y cuya pendiente es3.
Solucion:
La ecuacion viene dada por:
y2 =3(x(1))
y2 =3x3
L: 3x+y+ 1 = 0
38.Una empresa de turismo ha observado que cuando el precio de un viaje es $
15000 se vender cuarenta asientos, pero si el precio sube a
$ 180000 las ventas bajan a 30 asientos.
a) Encuentre la ecuacion de la recta que representa la situacion y dibuje
su graco.
b) Determine el precio del pasaje si la venta sube a 56 asientos.
Solucion:
a) la recta pasa por los puntos (15000;40) y (18000;30), y cuya ecuacion es:
L:y30 =
4030
1500018000
(x18000)
reduciendo:
L:x+ 300y27000 = 0;
dondexes el precio eyson los asientos.
b) Siy= 56, entonces:
x=300y+ 27000 =300(56) + 27000 = $10200

21. 21
39.Se~nale si las sigientes ecuaciones son paralelas o perpendiculares:
6x2y1 = 0,3xy+ 2 = 0
Solucion:
hallando las pendientes:m1=
6
2
= 3 ym2=
3
1
= 3. Comom1=m2entonces las
rectas son paralelas.
40.Se~nale si las sigientes ecuaciones son paralelas o perpendiculares:
3x2y+ 10 = 0,2x+ 3y+ 3 = 0
Solucion:
hallando las pendientes:m1=
3
2
=
3
2
ym2=
2
3
. Comom1:m2=1 entonces las
rectas son perpendiculares.
41.Dada la rectakxy=k+ 3, determinar el valor dekpara que el punto(3;7)
pertenezca a dicha recta.
Solucion:
Reemplazandox= 3 ey= 7 en la ecuacion:
k(3)7 =k+ 3
3k7 =k+ 3
2k= 10
k= 5
42.Dada la recta5kx+y= 9, determinar el valor dekpara que el punto(8;4)
pertenezca a dicha recta.
Solucion:
Reemplazandox= 8 ey= 4 en la ecuacion:
5k(8) + 4 = 9
40k+ 4 = 9
40k= 5
k=
1
8
43.Dada la rectax+y= 2k, determinar el valor dekpara que el punto(5;9)
pertenezca a dicha recta.
Solucion:
Reemplazandox= 5 ey= 9 en la ecuacion:
5 + 9 = 2k
14 = 2k
k= 7

22. 22
44.Dada la recta2x6y=k, determinar el valor dekpara que el punto(5;9)
pertenezca a dicha recta.
Solucion:
Reemplazandox=5 ey=9 en la ecuacion:
2(5)6(9) =k
10 + 54 =k
k= 34
45.Obtener en forma general la ecuacion de la recta que satisfaga la
condicion dada:
a) Pasa por el punto(2;1)y tiene pendiente 12.
b) Pasa por el punto(3;5)y es paralela a la rectax+ 3y+ 1 = 0.
c) Pasa por el punto(5;2)y es perpendicular a la recta5x3y= 4
Solucion:
a) La ecuacon es:
y1 = 12(x2)
reduciendo:L: 12xy23 = 0
b) Por ser paralela, la pendiente es
1
3
, luego la ecuacion es:
y5 =
1
3
(x3)
reduciendo:
L:x+ 3y18 = 0
c) Por ser perpendicular la pendiente es
3
5
entonces la ecuacion es:
y(2) =
3
5
(x(5))
reduciendo:
3x+ 5y+ 25 = 0
46.Uno de los vertices de un paralelogramoABCDes el puntoA(1;2)y dos de
los lados estan sobre las rectasL1: 3x5y2 = 0,L2: 6x7y1 = 0. Calcular
los demas vertices.

23. 23
47.Dado el triangulo de verticesA(1;2),B(9;4)yC(4;6):
a) Prueba que es un triangulo rectangulo
b) Calcula la ecuacion de la mediatriz de la hipotenusa
c) Halla el punto de corte de la mediatrz con el cateto mayor
Solucion:
a) En efecto:mAB=
2(4)
19
=
3
4
ymAC=
62
41
=
4
3
, Luego se tiene que
mAB:mAC=1, con esto se demuestra queAB?AC, es decir, el triangulo
es rectangulo.
b) la mediatrz de la hipotenusa tiene por ecuacion:
L:x2y+ 3 = 0
c) el punto de corte es (5;4).
48.Escribe la ecuacion de la rectaLque pasa porA(2;3)yB(5;6)y halla la
ecuacion de una recta paralela aL, cuya distancia aLsea igual a la distancia
entreAyB.
Solucion:
La ecuacion que pasa porAyBes:
L:xy+ 1 = 0
ademasd(A; B) =
p
(25)
2
+ (36)
2
=
p
18 = 3
p
2 Sea la rectaL1paralela aL,
entonces:
L1:xy+c= 0;
pero se sabe qued(L; L1) = 3
p
2, resolviendo se halla que:c= 16
p
2 o
c= 1 + 6
p
2. Por tanto:
L1:xy+ 16
p
2 = 0
o
L1:xy+ 1 + 6
p
2 = 0
49.Calcula las rectas que pasan por el puntoA(1;1)y distan 2 unidades del
puntoB(4;3)
Solucion:
Sea la rectaL:y=mx+b, comoA(1;1)2L, entonces:
1 =m+b
es decir:
b= 1m

24. 24
Pero pot otro lado:
d(B; L) = 2
jm(4) + 3 +bj
p
m
2
+ 1
= 2
j4m+ 3 + 1mj
p
m
2
+ 1
= 2
j3m+ 4j= 2
p
m
2
+ 1
elevando al cuadrado y reduciendo se obtiene:
5m
2
+ 24m+ 12 = 0
solucionando la ecuacion se tiene:m=0:567 om=4:233.
Sim=0:567, entoncesc= 1:567 y sim=4:233 entoncesc= 5:233. Por tanto:
L:y=0:567x+ 1:567
o
L:y=4:233 + 5:233
50.Halla el valor del parametrokpara que los puntosA(2;1),B(3;5)yC(4; k)
formen un triangulo de area 6.
Solucion:
Por la formula del area de un triangulo:

Area =
1
2
j(2(5) +3k+ 4(1))(3(1) + 4(5) + 2(k))j
6 =
1
2
j143k(17 + 2k)j
12 =j 5k31j
de donde se obtienen:k=
43
5
ok=
19
5
.
51.Los puntosB(1;3),C(3;3)forman el lado desigual de un triangulo isosceles
ABC. Calcula el verticeAsabiendo que eta situado en la recta
L:x+ 2y15 = 0.
Solucion:
Sea el punto A(x; y), luego se sabe por ser triangulo isosceles que
d(A; C) =d(B; C), es decir:
d(A; C) =d(A; B)
p
(x(1))
2
+ (y3)
2
=
p
(x3)
2
+ (y(3))
2
(x+ 1)
2
+ (y3)
2
= (x3)
2
+ (y+ 3)
2
elevando los cuadrado y reduciendo se obtiene:
8x12y8 = 0

25. 25
y ademas se tiene la tcondicion queA2L, esto es,x+ 2y15 = 0.
Resolviendo ambas ecuaciones se obtiene quex= 7 ey= 4.
52.La rectaL: 2x+y+ 1 = 0es la bisectrz del angulo recto cuyo vertice es el
puntoA(1;1). Hallar las ecuaciones de los lados del angulo recto. Solucion:
Las ecuaciones del angulo recto son:
L1:2x+
2
3
y
8
3
y
L2:x3y+ 2 = 0
53.Dada la rectaL: 2x+ 3y= 0. Halla una recta paralela aLque forme con los
ejes de coordenadas un triangulo de area3.
Solucion:
Sea la rectaL: 2x+ 3y+c= 0. Los interceptos son (0;
c
3
) y (
c
2
;0). Calculando el
area del triangulo:

Area =
1
2
:(
c
3
)(
c
2
)
3 =
c
2
12
c
2
= 36
c=6
Por tanto, la recta pedida tiene por ecuacion:
L: 2x+ 3y+ 6 = 0
o
L: 2x+ 3y6 = 0
54.Por el puntoA(2;4)trazamos las rectasL1yL2perpendiculares a la bisectrz
del primer y segundo cuadrante, respectivamente. Calcula:
a) Ecuaciones deL1yL2.
b) Vertices del triangulo formado por la recta L:x5y6y as rectasL1
yL2.
c)Area del triangulo anterior.
Solucion:
a) Las bisectrices de los cuadrantes tienen por pendientesm1= 1 ym2=1. Luego
las ecuaciones de las rectasL1yL2por la formula punto - pendiente son:
L1:x+y6 = 0
y
L2:xy+ 2 = 0

26. 26
b) Resolviendo los sistemas dos a dos se obtienen los verties: (2;4);(6;0) y (4;2).
c) El area del triangulo anterior es: 24u
2
.
55.Dada la rectaL:x+ 2y+ 1 = 0y el puntoA(1;1)situado en dicha recta,
calcula:
a) La rectaL1paralela aLy que pasa por el puntoB(0;3).
b) El puntoCde la rectaL1que forma conAyBun triangulo rectangulo
enA
Solucion:
a) La rectaL1jjLtiene por ecuacion:
L1:x+ 2y+c= 0
comoB2L1, entonces al hacerx= 0 ey= 3 se obtienec=6. Por tanto:
L1:x+ 2y6 = 0
b) El puntoCes (
11
2
;
1
4
).
56.Si las funcionesf(x) = (4k)x+ 3yg(x) = (2k+ 1)x+ 5representan rectas
paralelas, entonces encuentre el valor dek.
Solucion:
Sifygrepresentan rectas paralelas entonces sus pendientes son iguales, esto es:
4k= 2k+ 1
k2k= 14
3k=3
k= 1
57.Si la funcionf(x) = (k
2
3
)x+ 2es paralela con la funcion
g(x) = (
1
3
+ 2k)x1. Encontrar el valor dek.
Solucion:
Siguiendo el mismo criterio que el problema anterior:
k
2
3
=
1
3
+ 2k
k2k=
1
3
+
2
3
k= 1
k=1

27. 27
58.Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto(1;2)y es perpendicular
a la recta que pasa por(3;1)y(2;3).
Solucion:
La ecuacion tiene por pendiente am=
1
m1
, donde:
m1=
3(1)
2(3)
=
2
5
por tanto,m=
5
2
. Lueog la ecuacion punto pendiente es:
y2 =
5
2
(x(1))
reduciendo se tiene:
L: 5x2y+ 9 = 0
59.Las ecuaciones de las rectasL1yL2sonL1:y=kx+x1,L2:y= 3x5. Si
L1?L2. Hallar el valor dek.
Solucion:
Como las rectas son perpendiculares, sus pendientes deben multiplicar -1, es decir:
(k+ 1):(3) =1
3k+ 3 =1
3k=4
k=
4
3
60.Determine la ecuacion de la recta que pasa por(3;2)y(4;0)y es perpen-
dicular en el segundo punto.
Solucion:
La ecuacion de la recta es:
y0 =
02
4(3)
(x4)
y=
2
7
(x4)
7y=2x+ 8
L: 2x+ 7y8 = 0

28. 28
61.Suponga que el valor de compra de una maquina que se deprecia linealmente
fue de 5000. Al cabo de 10 a~nos el valor de la maquina fue de 850 UM.
a) Encuentre una ecuacion que exprese el valor vde la maquina
despues deta~nos de la compra.
b) Calcule el valor de la maquina 5 a~nos despue de la compra.
c) Cuando se depreciara por completo la maquina?
d) Bosqueje la ecuacion, seleccionetcomo el eje horizontal. Cual es la
pendiente de la recta resultante?
Solucion:
a) La recta pasa por por los puntos (0;5000) y (10;850) y tiene por ecuacion:
v850 =
5000850
010
(t10)
reduciendo:
v=415t+ 5000
b) cuandot= 5, reemplazando:
v=415(5) + 5000 = 2925
c) La maquina se depreciara cuandov= 0, reemplazando:
0 =415t+ 5000
resolviendo se obtienet= 12:048, es decir, la maquina se depreciara dentro de
aproximadamente 12 a~nos.
d) Gracando:

29. 29
62.En analisis de produccion, una lnea de isocosto es una lnea cuyos
puntos representan todas las combinaciones de dos factores de
produccion que ser comprados por la misma cantidad. Suponga que un
granjero tiene asignados 20000 UM para la compra dextoneladas de fertil-
izantes (con un costo de 200 UM por kg) e yde
insecticida (con un costo de 2000 UM por galon). Determine una ecuacion de
isocosto que describa las distintas combinaciones que pueden ser compradas
con 20000 UM. Observe que ni xniypueden ser
negativas.
Solucion:
La ecuacion de isocosto es:
200x+ 2000y= 20000;
dondex0,y0.
63.Para efectos tributarios, las computadoras personales se deprecian lineal-
mente hasta llegar a cero en un perodo de 10 a~nos; es decir el valor de
las computadoras decrece a una razon constante, de manera que es igual a
cero al cabo de 10 a~nos. Si el valor de compra de una computadora fue de
1200 UM, exprese el valor de la computadora como una funcion de tiempo
y dibuje su graca.
Solucion:
La recta pasa por los puntos (10;0) y (0;1200) y tiene por ecuacion:
v0 =
12000
010
(t10)
reduciendo
L:v=120t+ 1200;
dondetes el tiempo yves el valor de la computadora.
64.Desde el comienzo del a~no el precio de la gasolina corriente ha
aumentado a una tasa constante de 0.02 UM por litro al mes. Si el primero
de junio el precio haba llegado a 1.2 UM por litro. Exprese el precio de la
gasolina corriente como una funcion del tiempo y dibuje su graca.
Solucion:
La recta pasa por los puntos (0;0:02) y (31;1:2) y tiene por ecuacion:
v1:2 =
1:20:02
310
(t31)
reduciendo:
L: 1:189x31y+ 0:62 = 0

30. 30
65.En una compa~nia un empleado recien contratado cobra 150 UM y el em-
pleado con cinco a~nos de antiguedad recibe un sueldo de 250 UM.
a) Hallar la ecuacion del sueldo en funcion de tiempo que lleva en la
compa~na, suponiendo que hay una relacion lineal entre el sueldo y
el numero de a~nos que lleva trabajando en la compa~na.
b) Cuanto cobrara un empleado que lleva en la empresa 10 a~nos de servi-
cio?
Solucion:
a) La recta pasa por los puntos (0;150) y (5;250), luego la ecuacion es:
L:c150 =
250150
50
(t0)
reduciendo se tiene la relacion lineal:
L: 20tc+ 150 = 0
b) haciendot= 10 se tiene:
c= 20t+ 150 = 20(10) + 150 = 350
Por tanto, cobrara 350 UM.
66.Una fabrica de zapatos elabora dos tipos de calzadoxey. Las horas de
trabajo por cada modelo estandadas en la tabla anexa:
Horas
calzadox1.25
calzadoy1.5
Si la fabrica dispone de maximo de 300 horas de trabajo. Encuentre la
relacion entre el numero de pares de zapatos de cada tipo que pueden
fabricarse si se utilizan por completo las horas de trabajo disponible.
Solucion:
La relacion viene dada por la ecuacion:
1:25x+ 1:5y= 300

31. 31
67.Se colocan 400 UM al 8 % de intere simple
a) Cual es el valor de la inversion al cabo deta~nos?
b) Cual es el valor de la inversion a los 5 a~nos.
Solucion:
a) viene dada por la formula:
monto = capital(1 + tasatiempo)
b) calculando
monto = 400(1 + 5(0:08)) = 560
69.PieGrande, una compa~na que fabrica pays de manzana, ja el
precio de cada pay en $60. Los costos jos mensuales de la empresa son
iguales a $ 40000. El costo variable unitario es de $20. Determine la cantidad
de pays que se deben producir y vender para no tener
ganancias o perdidas. Cuales son los costos totales de producir esa canti-
dad de pays?.
Solucion:
Sea la cantidad de pays a vender:x. Luego el problema se formula como costos totales:
CT= 20x+ 40000
y el precio de venta
P T= 60x
si no se pierde ni se gana entonces:
CT=P T
20x+ 40000 = 60x
40x= 40000
x= 1000
Por tanto, se deben vender 1000 pays y los costos totales seran de
CT= 20(1000) + 40000 = $60000:
70.Una empresa que fabrica lapices labiales para una prestigiosa marca de
cosmeticos en Europa tiene costos jos mensuales $ 200000. El costo variable
unitario es de $75 y el precio de cada lapiz labial es de $150. Encuentre el
punto de equilibrio en unidades y tambien en $ para esta situacion. Evalue el
cambio que tendran en el punto de equilibrio un aumento y una disminucion
de 20 % en el precio.
Solucion:
Seaxla cantidad de lapices labiales. Luego:
CT= 75x+ 200000

32. 32
y el precio de venta
P T= 150x
el punto de equilibrio se da cuando:
CT=P T
75x+ 200000 = 150x
75x= 200000
x= 2666:67
Por tanto, el punto de equilibrio es (26667:67;400000).
71.Encuentre los puntos de interseccion de las gracas de las ecuaciones dadas:
a)2xy= 7,y= 83x
b)6xy= 2,y= 4x+ 7
c)y= 3x7,y= 7x+ 4
Solucion:
los puntos de interseccion son:
a) (3;1)
b) (
9
2
;25)
c) (
11
4
;
61
4
)
72.Un fabricante vende un producto a $8.35 por unidad, vendiendo todo lo
producido. El costo jo es de $2116 y el costo variable es de $7.20 por
unidad.
a) A que nivel de produccion existiran utilidades de $4600?
b) A que nivel de produccion ocurre el punto de equilibrio?
Solucion:
a) seaxla cantidad de productos, entonces se tiene:
CT= 7:20x+ 2116
y
P T= 8:35x
Luego:
U=P TCT
4600 = 8:35x(7:20x+ 2116)
4600 = 1:15x2116
x= 5840

33. 33
b) el punto de equilibrio ocurre cuando:
CT=P T
7:20x+ 2116 = 8:35x
x= 1840
73.La empresaDulces deliciosostiene costos jos semales de $306. Cada libra de
dulces producidos cuesta $1.20 y se vende a $2.10.
a) Especicar las funciones de ingresos y costos semanales.
b) Determinar el punto de equilibrio.
Solucion:
a) Seaxla cantidad de dulces por libra, entonces al funcion de ingresos es:
I(x) = 2:10x
y la funcion de costos es
C(x) = 1:20x+ 306
b) el punto de equilibrio ocurre cuando:
C(x) =I(x)
2:10x= 1:20x+ 306
x= 340
entonces six= 340 se tiene que:I= 2:10(340) = 714, es decir, el punto de equi-
librio es (340;714).
74.Una fabrica que produce ropa deportiva para damas vende al detallista a
36 dolares el conjunto. El detallista coloca un preciopa cada conjunto para
venta al publico. No obstante, durante una liquidacion, reduce el precio de
venta al publico en 20 %, mas sin embargo obtiene una ganancia del 15 %
sobre el precio de compra al fabricante. Que preciopcoloco a cada conjunto?
Solucion:
Seaxla cantidad comprada, la ecuacion que plantea el problema entonces es:
80 %px36x= 15 %(36x)
0:8p36 = 0:15(36)
0:8p36 = 5:4
p= 51:75

34. 34
75.Para la instalacion de una empresa se ha hecho una inversion de $28000.
Se sabe que para producir 1000 artculos se gastan $6000 en materia prima
y, ademas, que por cada unidad producida se pagan $8 de mano de obra
directa y $2 en otros gastos indirectos de la produccion. Si cada unidad se
vende a razon de $30.
a) Determine la funcion lineal de ingresos totales
b) Determine la funcion lineal de costos totales
c) Cuantas unidades se deben producir y vender para recuperar la
inversion?
d) Cuantas unidades se deben producir y vender para ganar $21000.
Solucion:
a) Sea el numero de unidades a producir:x. Luego la funcion de ingresos es:
I(x) = 30x
b) La funcion de costos totales es:
C(x) = 6000 + 8x+ 2x
c) Para recuperar la inversion:
I(x)C(x) = 28000
30x(6000 + 8x+ 2x) = 28000
x= 17000
Por tanto, debe producir 1700 unidades.
d) Para ganar 21000
I(x)C(x) = 21000
30x(6000 + 8x+ 2x) = 21000
x= 1350
Por tanto, debe producir 1350 unidades.

35. 35
76.Los propietarios de un estacionamiento han determinado que su ingreso
semanal y costo en dolares estan dados porI(x) = 80xyC(x) = 50x+ 2400,
dondexes el numero de autos estacionados durante perodos largos.
a) Encuentre el punto de equilibrio.
b) Trace las gracas en un mismo par de ejes.
c) Utilice el graco para estimar el ingreso y el costo se tienen 60 autos
estacionados.
Solucion:
a) el punto de equilibrio es:
I(x) =C(x)
80x= 50x+ 2400
x= 80
b) Las gracas son:
c) Parax= 60 se tiene queI(60) = 4800 yC(60) = 5400.

36. 36
77.El costo variable de producir un artculo es de $2.20 por unidad y los costos
jos son de $240 al da. El artculo se vende a $3.40. Cuantos artculos se
deben producir y vender para garantizar que no haya ganancias ni perdidas?
Solucion:
El problema se plantea como:
3:40x= 2:20x+ 240
3:40x2:20x= 240
1:20x= 240
x= 200
Por tanto, se deben producir 200 artculos.
78.El costo total diario (en dolares) de producirxsandalias esta dado por
y= 2:5x+300. Si cada sandalia se vende a $4, cual es el punto de equilibrio?. Si
el precio de venta se incrementa en $5, cual es el nuevo punto de equilibrio?
Si se sabe que se pueden vender al menos 150 sandalias al da, que precio
debera jarse de manera que se garantice que no habra perdidas?
Solucion:
El punto de equilibrio se encuentra haciendo:
4x= 2:5x+ 300
4x2:5x= 300
1:5x= 300
x= 200
Si el precio incrementa en $5, el nuevo precio es $9. El nuevo punto de equilibrio sera:
9x= 2:5x+ 300
9x2:5x= 300
6:5 = 300
x= 46:15

37. 37
79.El costo jo de produccion de un artculo es de $4500. El costo variabe es
60 % del precio de venta que es de $15 la unidad. Cual es la cantidad que
corresponde al punto muerto?
Solucion:
Seaxla cantidad de artculos. Planteando el problema:
15x= 4500 + 60 %(15x)
15x= 4500 + 0:60(15x)
15x= 4500 + 9x
15x9x= 4500
6x= 4500
x= 750
Por tanto, la cantidad del punto muerto es 750.
80.Un centro de comunicaciones tiene actualmente una tarifa de 3.5 UM el
minuto celulares. A ese precio tiene una demanda semanal de 2200
minutos. Estima que se aumenta el precio en 2 UM el minuto
entonces la demanda bajara 1600 minutos. Si el precio esta relacionado
linealmente con la demanda. Consiga una relacion lineal entre el precio y
los minutos consumidos semanalmente. Solucion:
La relacion es una recta que pasa por los puntos (3:5;2200) y (5:5;1600) y tiene por
ecuacion:
y2200 =
16002200
5:53:5
(x3:5)
reduciendo se obtiene:
y=300x+ 1250
81.Los extremos de un segmento son los puntos P1(7;4),P2(1;4). Hallar la
razonP1P:P P2en que el puntoP(1;2)divide al segmento.
Solucion:
Searla razon, luego se tiene:
1 =
7 +r(1)
1 +r
;2 =
4 +r(4)
1 +r
1 =
7r
1 +r
;2 =
44r
1 +r
1 +r= 7r ;22r= 44r
r= 3; r= 3
Por tanto, la razon esr= 3.

38. 38
82.Uno de los extremos de un segmento es el punto(7;8), y su punto medio es
(4;3). Hallar el otro extremo.
Solucion:
Sea el otro extremo (x; y). Luego:
4 =
7 +x
2
;3 =
8 +y
2
8 = 7 +x ;6 = 8 +y
x= 1; y=2
Por tanto, el otro extremo es (1;2).
83.Uno de los extremos de un segmento rectilneo de longitud 5 es el punto
(3;2). Si la abscisa del otro extremo es 6. Hallar su ordenada.
Solucion:
Sea el otro extremo: (6; b). Como la longitud del segmento es 5, entonces:
p
(36)
2
+ (2b)
2
= 5
(3)
2
+ (2b)
2
= 25
9 + (2b)
2
= 25
(2b)
2
= 16
2b=
p
16
2b=4
2b= 4;2b=4
b=6; b= 2
Por tanto, la ordenada es6 o 2.
84.Pruebe que las rectasL1: 5xy6 = 0,L2:x+ 5y22 = 0,L3: 5xy32 = 0,
L4:x+ 5y+ 4 = 0forman un cuadrado.
Solucion:
Hallando las respectivas pendientes:m1= 5,m2=
1
5
,m3= 5,m4=
1
5
. Como
m1=m3ym2=m4entoncesL1jjL3yL2jjL4. Esto demuestra que se trata de un
paralelogramo. Por otro lado, se observa quem1:m2=1 ym3:m4=1, es decir,
L1?L2yL3?L4, entonces con esto se tiene que las rectas forman un rectangulo.
Calculando ahora la distancia entre ellas:
d(L1; L3) =
j 6(32)j
2
= 13
d(L2; L4) =
j 224
2
= 13
como las distancia son iguales, entonces las medidas de los lados son iguales. Por tanto,
las rectas forman un cuadrado.

39. 39
85.En las ecuacionesax+ (2b)y23 = 0,(a1)x+by+ 15 = 0. Hallar los valores
deaybpara que representen rectas que pasan por el punto(2;3).
Solucion:
reemplazandox= 2,y=3 en las rectas:
a(2) + (2b)(3)23 = 0
(a1)(2) +b(3) + 15 = 0 = 0
simplicando se tiene el sistema:
2a+ 3b29 = 0
2a3b+ 13 = 0
resolviendo se obtienen:a= 4 yb= 7.
86.Hallar la ecuacion de la recta situada a 8 unidades del origen y pasa por el
puntoA(20;0)y corta la parte positiva del ejeY.
Solucion:
Hallando la tangente del angulo generado por la recta y el primer cuadrante en el punto
(20;0), se obtiene:
tan=
8
p
20
2
8
2
=
8
4
p
21
=
2
p
21
Luego, la tangente del angulo adyacente es tan=
2
p
21
. Por tanto, la ecuacion de la
recta que pasa por (20;0) y tiene pendientem=
2
p
21
es:
L:y0 = 0
2
p
21
(x20)
reduciendo se obtiene:
L: 2x+
p
21y40 = 0
87.Dadas las rectasL1: 2x+y+ 2 = 0,L2:x2y+ 1 = 0. Hallar los puntos
situados enL1cuya distancia aL2sea
p
5.
Solucion:
Sean los puntosP(a; b)2L1, entonces reemplazando:
2a+b+ 2 = 0
b=2a2

40. 40
Por otro lado se sabe:
d(P; L2) =
p
5
ja2b+ 1j
p
1
2
+ (2)
2
=
p
5
ja2(2a2) + 1j
p
5
=
p
5
j5a+ 5j=
p
5:
p
5
j5a+ 5j= 5
5a+ 5 = 5;5a+ 5 =5
a= 0; a=2
Sia= 0 entoncesb=2(0)2 =2. Y sia=2 entoncesb=2(2)2 = 2. Por
tanto los puntos son (0;2) y (2;2).
88.SeanL1yL2dos rectas ortogonales tales queL1pasa por(3;2)y(2;5)yL2
pasa por(2;1). Hallar la interseccion de ambas rectas. Solucion:
Hallando la rectaL1:
y2 =
52
23
(x3)
y2 =3(x3)
L1: 3x+y11 = 0
ademasm1=3 entoncesm2=
1
3
. Luego la ecuacion deL2es:
y1 =m2(x2)
y1 =
1
3
(x2)
3y3 =x2
L2:x3y+ 1 = 0
La interseccion deL1yL2se obtiene resolviendo:
3x+y11 = 0
x3y+ 1 = 0
cuya solucion esx=
16
5
,y=
7
5
. Por tanto, el punto de interseccion es: (
16
5
;
7
5
).

41. 41
89.Sean las rectasL1: 3x4y+ 6 = 0,L2:P= (4;1) +t(2;4); t2R. Hallar:
a) La distancia del puntoA(4;1)a la rectaL1.
b) La tangente del angulo formado por las rectas.
Solucion:
a) calculando:
d(A; L1) =
j3(4)4(1) + 6j
p
3
2
+ (4)
2
=
j14j
p
25
=
14
5
b) Hallando la ecuacion vectorial de la rectaL2:
y1 = =
4
2
(x1)
y1 =2(x1)
2x+y3 = 0
Luego las pendientes son:m1=
3
4
,m2=2. Seael angulo generado por las
rectas, entonces:
tan=j
3
4
(2)
1 +
3
4
:(2)
j
=
11
2
90.Hallar el valor dektal que el puntoP(k;4)sea equidistante de las
rectas:L1: 13x9y10 = 0,L2:x+ 3y6 = 0.
Solucion:
Por la formula de las distancias:
d(P; L1) =d(P; L2)
j13k9(4)10j
p
13
2
+ (9)
2
=
jk+ 3(4)6j
p
1
2
+ 3
2
j13k46j
p
250
=
jk+ 6j
p
10
j13k46j
5
p
10
=
jk+ 6j
p
10
j13k46j
5
=jk+ 6j
j13k46j= 5jk+ 6j
13k46 = 5(k+ 6);13k46 =5(k+ 6)
k=
19
2
;
8
9