14 produto misto volume paralelepipedo

matemática

1. PRODUTO MISTO
Dados os vetores �⃗ ,� e �⃗⃗ , o produto misto destes três vetores é o
escalar representado por: (�⃗ ⨯ � ) .�⃗⃗
 Quanto à ordem das operações: primeiro o produto externo e
em seguida o produto interno.
 Indica-se o produto misto por ( �⃗ ,�,⃗⃗⃗ �⃗⃗ )
 Os sinais · e ⨯ permutam entre si no produto misto. Logo:
(�⃗ ⨯ � ).�⃗⃗ = �⃗ .(� ⨯ �⃗⃗ )

Nulidade do produto misto: (�⃗⃗ ⨯ �⃗⃗ ).�⃗⃗⃗ =?????? se:
 Pelos menos um dos vetores for nulo;
 �⃗ for paralelo a � , pois (�⃗ ⨯ � )=0;
 os três vetores forem coplanares.

Interpretação Geométrica do produto misto:
VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO

Geometricamente o produto misto entre 3 vetores representa o
volume de um paralelepípedo de arestas �⃗ , � e �⃗⃗ .

2. Sejam os vetores não coplanares �⃗ , � e �⃗⃗ , que representam as
arestas de um paralelepípedo:








 O volume do paralelepípedo, determinado por �⃗ , � e �⃗⃗ é igual ao
produto da área da base pela altura.
 Lembrar que, o vetor (�⃗ ⨯ � ) é ortogonal a base, logo θ é o
ângulo entre o vetor �⃗⃗ e (�⃗ ⨯ � ).
 Pela definição do produto vetorial a área da base é igual a
|�⃗ ⨯ � |, então, o volume será dado por: Volumep =
|�⃗ ⨯ � | · h
Mas, como vemos na figura, a altura é
cos??????=
�??????���� ??????��??????�����
ℎ��������??????
 cos??????=
ℎ
|�⃗⃗ |

Logo, a altura é: h = |w| cos θ, o que implica:
Volumep = |�⃗ ⨯ � | ·|�⃗⃗ | cos θ
É um vetor

3. Mas, o módulo de um vetor |�⃗ ⨯� | pelo módulo de outro vetor
|�⃗⃗ | multiplicado pelo cos θ é a definição de ângulo entre dois
vetores, ou seja, definição de produto interno :
�⃗ .� = |�⃗ |.|� | cos θ , ou melhor: �??????????????????=
�⃗⃗ . �⃗
|�⃗⃗ |.|�⃗ |

Logo, temos o produto interno do primeiro vetor pelo segundo
vetor: (�⃗ ⨯ � ).(�⃗⃗ )
Para este caso: cos θ=
(�⃗⃗ ⨯ �⃗ ) . (�⃗⃗ )
|�⃗⃗ ⨯ �⃗ | ·|�⃗⃗ |

então: |�⃗ ⨯ � | ·|�⃗⃗ | · cos θ = (�⃗⃗ ⨯ �⃗⃗ ) · �⃗⃗⃗
Assim, Volumep = (�⃗⃗ ⨯ �⃗⃗ ) · �⃗⃗⃗

O produto misto pode ser calculado fazendo-se:
(�⃗⃗ ,�,⃗⃗⃗ �⃗⃗⃗ )=(�⃗⃗ ⨯ �⃗⃗ ).�⃗⃗⃗

Ou pelo cálculo de determinante
 O produto misto, bem como o cálculo do volume de um
paralelepípedo pode ser escrito na forma de um determinante:
(�⃗ ,� ,�⃗⃗ )=|
�
1�
1�
1
�
2�
2�
2
�
3�
3�
3
|

Isso é o produto interno entre dois vetores

4. Obs.:
 quando nos referirmos ao volume consideramos o módulo:
(�⃗ ,� ,�⃗⃗ ) ⩾0
 quando nos referirmos ao produto misto: 0⩽(�⃗ ,� ,�⃗⃗ )⩽ 0

Propriedades do produto misto

(PM1)    wvuwvuwvuu

,,,,,,
2121 
   wvuwvuwvvu

,,,,,,
2121 
   
2121 ,,,,,, wvuwvuwwvu




(PM2)     wvuwvuwvuwvu

,,,,,,,, 

(PM3) O produto misto  wvu

,, muda de sinal permutando-se
dois vetores:    uwvwuvwvu

,,,,,, 
   vuwuvwwvu

,,,,,, 
   vuwvwuwvu

,,,,,, 


(PM4) O produto misto não se altera se permutarmos os símbolos
e : wvu

 = wvu



5. Exercício
1. Sejam os vetores �⃗ = (2, 3, 5) , � = (-1, 3, 3) e �⃗⃗ = (4, -3, 2),
calcule (�⃗ ,� ,�⃗⃗ ). R: 27
2. Os vetores � = (2, -1, -3) �⃗ = (-1, 1, -4) e � = (m+1, m, -1)
determinam um paralelepípedo de volume igual a 42. Calcular
m. R: m = 2 e m =
−8
3

3. Dados os vetores �⃗ = (x, 5, 0), � = (3, -2, 1) e �⃗⃗ = (1, 1, -1)
calcule x para que o volume determinado por �⃗ , � e �⃗⃗ seja de
24 u. v. R: 4
4. Calcule ( �⃗ ,� ,�⃗⃗ ), sendo �⃗ =2�−�+3� ,� ⃗⃗⃗ = −�+4�+� e
� ⃗⃗⃗⃗ =5�+�−2�. ??????: ( �⃗ ,� ,�⃗⃗ )=−84
5. Sejam � =4�,� ⃗⃗⃗⃗ = 2�+5� e � ⃗⃗⃗ =3�+3�+4�, calcule o
volume do paralelepípedo com um vértice na origem e as
arestas determinadas por � ,�⃗⃗ e �⃗ . ??????:( � x �⃗⃗ ).�⃗ =80


Resolução:

1. Calcular o produto misto dos vetores �⃗ = (2, 3, 5) , � = (-1, 3, 3)
e �⃗⃗ = (4, -3, 2)
(�⃗ ,� ,�⃗⃗ )=|
235
−133
4−32
| 
|
|
23 5
−1 3 3
4−3 2
2 3 5
−1 3 3
|
|
= 27

6. 2. Os vetores � = (2, -1, -3) �⃗ = (-1, 1, -4) e � = (m+1, m, -1)
determinam um paralelepípedo de volume igual a 42. Calcular
m.
(� ,�⃗ ,� )=|
2 −1−3
−1 1−4
m+1m−1
| 
|
|
2 −1−3
−1 1−4
m+1m−1
2 −1 −3
−1 1 −4
|
|

= -2 + 3m + 4m + 4 + 3m + 3 + 3 + 8m +1 = 18m + 6
Vp = |18 m + 6 |
42 = 18 m + 6 42 = - 18 m - 6
m = 2 m =
−8
3

3. Dados os vetores �⃗ = (x, 5, 0) , � = (3, -2, 1) e �⃗⃗ = (1, 1, -1)
calcule x para que o volume determinado por �⃗ , � e �⃗⃗ seja de
24 u. v.
(�⃗ ,� ,�⃗⃗ )=|
x50
3−21
11−1
| 
|
|
x50
3−21
11−1
� 5 0
3−2 1
|
|
= 24

2x + 0 + 5 + 0 – x + 15 = 24
x = 24 – 20

7. x = 4

4. Calcule ( �⃗ ,� ,�⃗⃗ ), sendo �⃗ =2�−�+3� ,� ⃗⃗⃗ = −�+4�+� e
� ⃗⃗⃗⃗ =5�+�−2�. ??????: ( �⃗ ,� ,�⃗⃗ )=−84
(�⃗ ,� ,�⃗⃗ )=|
2−13
−141
51−2
|= [
2−13|2−1
−141|−14
51−2|51
]
−16−5−3−60−2+2= −84
??????: ( �⃗ ,� ,�⃗⃗ )=−84

5. Sejam � =4�,� ⃗⃗⃗⃗ = 2�+5� e � ⃗⃗⃗ =3�+3�+4�, calcule o
volume do paralelepípedo com um vértice na origem e as
arestas determinadas por � ,�⃗⃗ e �⃗ . ??????:( � x �⃗⃗ ).�⃗ =80

(� ,�⃗⃗ ,�⃗ )=|
400
250
334
|=| [
400|40
250|25
334|33
]|=80
(� ,�⃗⃗ ,�⃗ )=80

Referências Bibliográficas

BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-
Hill, 1987.

NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR.

STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.

VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990.