18. Extremos de funciones.pdf

extremos de funciones

1. 2Extremos de funciones
IntroducciónAhora abordaremos el problema de encontrar los valores máximo y mínimo
de una función fsobre un intervalo I. Veremos que al encontrar estos extremosde f(en caso de
haber alguno) en muchos casos es posible trazar fácilmente su gráfica. Al encontrar los extre-
mos de una función también es posible resolver ciertos tipos de problemas de optimización. En
esta sección establecemos algunas definiciones importantes y mostramos cómo puede encontrar
los valores máximo y mínimo de una función fque es continua sobre un intervalo cerrado I.
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2. Los extremos absolutos también se denominan extremos globales.
A partir de su experiencia al graficar funciones debe serle fácil, en algunos casos, ver
cuándo una función posee un máximo o un mínimo absoluto. En general, una función cuadrá-
ticaf(x) =ax
2
+bx+ctiene un máximo absoluto o un mínimo absoluto. La función
tiene el máximo absoluto f(0) =4. Una función lineal no
tiene extremos absolutos. Las gráficas de las funciones conocidas y=1x, y=x
3
, y=tanx,
y=e
x
y y=ln xmuestran que éstas no tienen extremos absolutos. Las funciones trigonomé-
tricas y=sen xy y=cos xtienen un máximo absoluto y un mínimo absoluto.
EJEMPLO 1Extremos absolutos
Para f(x) senx, f(p2) =1 es su máximo absoluto y es su mínimo absoluto.
Por periodicidad, los valores máximo y mínimo también ocurren en y
respectivamente.
El intervalo sobre el que la función está definida es muy importante en la consideración
de extremos.
EJEMPLO 2Funciones definidas sobre un intervalo cerrado
a) definida sólo sobre el intervalo cerrado [1, 2], tiene el máximo absoluto
f(2) =4 y el mínimo absoluto f(1) =1. Vea la FIGURA 5.2.2a).
b)Por otra parte, si f(x) =x
2
está definida sobre el intervaloabierto(1, 2), entonces f
no tiene extremos absolutos. En este caso, f(1) y f(2) no están definidos.
c)f(x) =x
2
definida sobre tiene el máximo absoluto f(2) =4, pero ahora el
mínimo absoluto es f(0) =0. Vea la figura 5.2.2b).
d)f(x) =x
2
definida sobre (-1, 2), tiene un mínimo absoluto f(0) =0, pero no un
máximo absoluto.
Los incisos a) y c) del ejemplo 2 ilustran el siguiente resultado general.
[1, 2],
f (x)x
2
,
x3p>22np, n1, 2, . . . ,
xp>22np
f (3p>2)1
>
f (x)axb, a0,f (x)4x
2
x
y
ƒ(c
1
)ƒ(x)ƒ(c
2
)
para axb
ƒ(c
1
)
ƒ(c
2
)
a b
c
1
c
2
FIGURA 5.2.3La función ftiene
un máximo absoluto y un mínimo
absoluto
a) ƒ definida sobre [1, 2]
máximo
absoluto
mínimo
absoluto
y
x
12
máximo
absoluto
mínimo
absoluto
y
x
21
b) ƒ definida sobre [1, 2]
FIGURA 5.2.2Gráficas de
funciones en el ejemplo 2
Teorema 5.2.1Teorema del valor extremo
Una función fcontinua sobre un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene un máximo absolu-
to y un mínimo absoluto sobre el intervalo.
En otras palabras, cuando fes continua sobre [a,b], hay números f(c
1) y f(c
2) tales que
para toda xen [a,b]. Los valores f(c
2) y f(c
1) son el máximo absoluto y
el mínimo absoluto, respectivamente, sobre el intervalo cerrado [a,b]. Vea la FIGURA 5.2.3.
Extremos de un punto fronteraCuando un extremo absoluto de una función ocurre en un
punto frontera de un intervalo I, como en los incisos a) y c) del ejemplo 2, decimos que se
trata de un extremo de un punto frontera. Cuando Ino es un intervalo cerrado; es decir,
cuando Ies un intervalo como (a,b], ( o entonces aunque fsea continua no
hay garantía de que exista un extremo absoluto. Vea la FIGURA 5.2.4.
[a, q),q, b]
f (c
1)f (x)f (c
2)
y
x
10
8
6
4
2
11 234
mínimo absoluto
yx
2
3x4
FIGURA 5.2.1Mínimo absoluto
de una función
Definición 5.2.1Extremos absolutos
i) Un número f(c
1) es un máximo absolutode una función fsi para toda xen
el dominio de f.
ii) Un número f(c
1) es un mínimo absolutode una función fsi para toda xen
el dominio de f.
f (x) f (c
1)
f (x)f (c
1)
Extremos absolutosEn la FIGURA 5.2.1se ha ilustrado la gráfica de la función cuadrática
. A partir de esta gráfica debe resultar evidente que el valor de la función
es la coordenada ydel vértice, y como la parábola se abre hacia arriba, en el rango
de fno hay número menor que . Decimos que el extremo es el mínimo absoluto de f.
A continuación se definen los conceptos de máximo absoluto y mínimo absoluto de una función.
f A
3
2B
7
4
7
4
f A
3
2B
7
4
f (x)x
2
3x4
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3. Extremos relativosEn la FIGURA 5.2.5a)se ha ilustrado la gráfica de
Debido a que el comportamiento final de fes el de cuando y
cuando Con base en esta observación es posible concluir que esta fun-
ción polinomial no tiene extremos absolutos. No obstante, suponga que centramos la atención
en valores de xpróximos a, o en una vecindadde, los números c
1y c
2. Como se muestra en
la figura 5.2.5b), f(c
1) es el valor mayor o máximo de la función fcuando se compara con
todos los demás valores de la función en el intervalo abierto (a
1, b
1); en forma semejante, f(c
2)
es el valor mínimo de fen el intervalo (a
2, b
2). Estos extremos relativos, o locales, se defi-
nen como sigue.
xSq.f (x)Sq
xSqyx
3
, f (x)Sq
f (x)x
3
5x8.
x
y
y3x
4
4x
3
12x
2
10
321
10
10
20
1
a) Mínimo relativo próximo a x2
Máximo relativo próximo a x0
Mínimo relativo próximo a x1
x
yxlnx
y
1
1
1
b) Mínimo relativo próximo a x0.4
FIGURA 5.2.6Ubicación aproximada de extremos relativos
Como consecuencia de la definición 5.2.2 podemos concluir que
• Todo extremo absoluto, con excepción de un extremo de un punto frontera,
también es un extremo relativo.
Un extremo absoluto de un punto frontera se excluye de ser un extremo relativo con base en
el tecnicismo de que alrededor de un punto frontera del intervalo no puede encontrarse un
intervalo abierto contenido en el dominio de la función.
Hemos llegado al planteamiento de una pregunta evidente:
• ¿Cómo se encuentran los extremos de una función?
Incluso cuando tenemos gráficas, para la mayor parte de las funciones la coordenada xen que
ocurre un extremo no es evidente. Con ayuda de la herramienta para acercar o alejar una página
de un dispositivo para graficar, es posible buscar y, por supuesto, aproximar tanto la ubicación
como el valor de un extremo. Vea laFIGURA 5.2.6. A pesar de lo anterior, resulta aconsejable
poder encontrar la ubicación exacta y el valor exacto de un extremo.
Definición 5.2.2Extremos relativos
i) Un número f(c
1) es un máximo relativode una función fsi para toda x
en algún intervalo abierto que contiene a c
1.
ii) Un número f(c
1) es un mínimo relativode una función fsi para toda x
en algún intervalo abierto que contiene a c
1.
f (x) f (c
1)
f (x)f (c
1)
y
xc
1
c
2
yƒ(x)
a)
y
x
a
1
c
1
b
1
a
2
c
2
b
2
yƒ(x)
máximo
relativo
mínimo
relativo
ƒ(c
1
)
ƒ(c
2
)
b)
a cb
x
y
no hay
máximo
absoluto de
punto frontera
no es un
extremo de
punto frontera
mínimo
absoluto
a) ƒ definida sobre (a, b]
b
x
y
mínimo
absoluto de
punto frontera
b) ƒ definida sobre ( , b]
x
y
no hay extremo absoluto
c) ƒ definida sobre [0, )
FIGURA 5.2.4Una función fcontinua sobre un intervalo que no tiene ningún extremo absoluto
FIGURA 5.2.5Máximo relativo
en c
1y mínimo relativo en c
2
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4. En algunos textos un número crítico x=cse denomina punto crítico.
EJEMPLO 3Determinación de números críticos
Encuentre los números críticos de f(x) xln x.
SoluciónPor la regla del producto,
La única solución de o ln x1 es Hasta dos cifras decimales, el número
crítico de fes
EJEMPLO 4Determinación de números críticos
Encuentre los números críticos de
SoluciónAl diferenciar y factorizar se obtiene
Por tanto, observamos que para x0, x2 y x1. Los números críticos de f
son 0, 2 y 1.
EJEMPLO 5Determinación de números críticos
Encuentre los números críticos de
SoluciónPor la regla de potencias para funciones,
En este caso observamos que f(x) no existe cuando x4. Puesto que 4 está en el domi-
nio de f, concluimos que éste es su número crítico.
EJEMPLO 6Determinación de números críticos
Encuentre los números críticos de
SoluciónPor la regla del cociente, después de simplificar encontramos,
Ahora, f(x) 0 cuando el numerador de fes 0. Al resolver la ecuación x(x2) 0 obte-
nemos x0 y x2. Además, cuando se inspecciona el denominador de fse encuentra que
f(x) no existe cuando x1. No obstante, al analizar fse observa que x1 no está en su
dominio, y así los únicos números críticos son 0 y 2.
f ¿(x)
x (x2)
(x1)
2
.
f (x)
x
2
x1
.
f ¿(x)
2
3
(x4)
1>3

2
3(x4)
1>3
.
f (x)(x4)
2>3
.

f ¿(x)0
f ¿(x)12x
3
12x
2
24x12x (x2)(x1).
f (x)3x
4
4x
3
12x
2
10.
e
1
0.36.
xe
1
.f ¿(x)0
En la figura 5.2.6a) se plantea que un mínimo relativo ocurre cercade x=-2. Con las
herramientas de una calculadora o un SAC es posible convencernos de que este mínimo rela-
tivo es realmente un mínimo absoluto o global, pero con las herramientas del cálculo es posi-
ble demostrar en verdad que éste es el caso.
Números críticosEl análisis de la FIGURA 5.2.7junto con las figuras 5.2.5 y 5.2.6 sugiere
que si ces un número en el que la función ftiene un extremo relativo, entonces la tangente
es horizontal en el punto correspondiente a xco no es diferenciable en xc. Es decir,
una de las dos: f(c) 0 o f(c) no existe. Este número crecibe un nombre especial.
Definición 5.2.3Número crítico
Un número críticode una función fes un número cen su dominio para el cual f(c) 0 o
f(c) no existe.
y
x
máximo
relativo
mínimo
relativo
mínimo
relativo
yƒ(x)
ƒ(c
2
)
ƒ(c
3
)ƒ(c
1
)
c
1
c
2
c
3
FIGURA 5.2.7fno es diferencia-
ble en c
1; fes 0 en c
2y c
3
f
¿(x)
x
.
1
x
1
.
ln x1ln x.
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5. DEMOSTRACIÓNSuponga que f(c) es un extremo relativo.
i) Si f(c) no existe, entonces, por la definición 5.2.3, ces un número crítico.
ii) Si f(c) existe, entonces hay tres posibilidades: f¿(c) 70, f¿(c) 60 o f¿(c) 0. Para aho-
rrar argumentos, también se supondrá que f(c) es un máximo relativo. Así, por la defini-
ción 5.2.2 hay algún intervalo abierto que contiene a cdonde
(1)
donde el número hes suficientemente pequeño en valor absoluto. Entonces, la desigual-
dad en (1) implica que
(2)
Pero como [f(ch) f(c)]hexiste y es igual a f¿(c), las desigualdades en (2)
muestran que y respectivamente. La única forma en que esto puede
ocurrir es cuandof¿(c) =0. El caso en que f(c) es un mínimo relativo se demuestra en forma
semejante.
Extremos de funciones definidos sobre un intervalo cerradoSe ha visto que una función
fque es continua sobre un intervalo cerradotiene tanto un máximo absoluto como un mínimo
absoluto. El siguiente teorema indica dónde ocurren estos extremos.
f ¿(c) 0,f ¿(c)0
lím
hS0
f (ch)f (c)
Teorema 5.2.3Determinación de extremos absolutos
Si fes continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces un extremo absoluto ocurre ya
sea en un punto frontera del intervalo o en un número crítico cen el intervalo abierto (a, b).
El teorema 5.2.3 se resume como sigue:
EJEMPLO 7Determinación de extremos absolutos
Encuentre los extremos absolutos de sobre el intervalo
a) b)
SoluciónDebido a que fes continua, sólo es necesario evaluar fen los puntos frontera de
cada intervalo y en los números críticos dentro de cada intervalo. A partir de la derivada
vemos que los números críticos de la función fson 2 y 4.
a)A partir de los datos que se muestran en la tabla siguiente resulta evidente que el
máximo absoluto de fsobre el intervalo es f(2) =30, y que el mínimo abso-
luto es el extremo de un punto frontera f(1) =-24.
[3, 1]
f ¿(x)3x
2
6x243 (x2)(x4)
[3, 8].[3, 1]
f (x)x
3
3x
2
24x2
Directrices para encontrar extremos sobre un intervalo cerrado
i) Evalúe fen los puntos frontera aybdel intervalo [a,b].
ii) Encuentre todos los números críticos en el intervalo abierto (a, b).
iii) Evalúe fen todos los números críticos.
iv) Los valores mayor y menor en la lista
son el máximo absoluto y el mínimo absoluto, respectivamente, de fsobre el inter-
valo [a,b].
f (a), f (c
1), f (c
2), . . . , f (c
n), f (b),
c
1, c
2, . . . , c
n
f
(c
h)f (c)
h
0 para h70 y
f (ch)f (c)
h
0 para h60.
Teorema 5.2.2Los extremos relativos ocurren en números críticos
Si una función ftiene un extremo relativo en xc, entonces ces un número crítico.
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6. Fundamentos
En los problemas 1-6, use la gráfica de la función dada como
ayuda para determinar cualquier extremo absoluto sobre los
intervalos indicados.
1.
a) b)[3, 7]c)(2, 5)d)[1, 4]
2.
a) b)[3, 7]c)(2, 5)d)[1, 4]
3.
a)[1, 4]b)[1, 3]c) d)(4, 5]
4.
a) b) c) d)
5.f(x) =tan x
a) b)
c) d)
6.f(x) =2 cos x
a) b)
c) d)
En los problemas 7-22, encuentre los números críticos de las
funciones dadas.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
En los problemas 23-36, encuentre los extremos absolutos de
la función dada sobre el intervalo indicado.
25.
26.
27.f (x)x
3
6x
2
2; [3, 2]
f (x)x
2>3
(x
2
1); [1, 1]
f (x)x
2>3
; [1, 8]
f (x)
x4
1
3
x1
f (x)(x1)
2
1
3
x2
f (x)x
2>3
xf (x)(4x3)
1>3
f (x)
x
2
x
2
2
f (x)
1x
1x
f (x)x
2
(x1)
3
f (x)(x2)
2
(x1)
f (x)x
4
4x
3
7f (x)2x
3
15x
2
36x
f (x)x
3
x2f (x)2x
2
6x8
[p>2, 3p>2][p>3, 2p>3]
[p>2, p>2][p, p]
[0, p][0, p>3]
[p>4, p>4][p>2, p>2]
[1, 1][0, 3)(3, 3)[3, 3]
f (x)29x
2
(1, 3)
f (x)x
2
4x
[1, 2]
f (x)0x40
[1, 2]
f (x)x4
b)Sobre el intervalo a partir de la tabla siguiente observamos que f(4) 78
es un mínimo absoluto y que f(8) 130 es un máximo absoluto de un punto frontera.

[3, 8]
a)
y
x
yx
3
x
y
yx
13
b)
FIGURA 5.2.80 es un número
crítico para ambas funciones,
pero ninguna tiene extremos
Sobre [3, 8]
x 32 4 8
f (x) 20 30-78130
Sobre [3, 1]
x 32 1
f (x) 2030-24
NOTAS DESDE EL AULA
i) Una función puede, por supuesto, asumir sus valores máximo y mínimo más de una vez
sobre un intervalo. Usted debe comprobar, con ayuda de un dispositivo para graficar,
que la función f(x) sen xalcanza su valor de función máximo 1 cinco veces y su valor
de función mínimo 1 cuatro veces en el intervalo
ii) El converso del teorema 5.2.2 no necesariamente es cierto. En otras palabras:
Un número crítico de una función fno necesita corresponder a un extremo relativo.
Considere y Las derivadas y muestran
que 0 es un número crítico de ambas funciones. Pero a partir de las gráficas de fy gen
la FIGURA 5.2.8vemos que ninguna función posee algún extremo sobre el intervalo
iii) Hemos indicado cómo encontrar los extremos absolutos de una función fque es conti-
nua sobre un intervalo cerrado. En las secciones 5.4 y 5.5 usamos la primera y segun-
da derivada para encontrar los extremos relativos de una función.
(q, q).
g¿(x)
1
3 x
2>3
f¿ (x)3x
2
g(x)x
1>3
.f (x)x
3
[0, 9p].
f ¿(x)
.02.91
.22.12
.42.32f(x)
(x1)
2
; [2, 5]f(x) x
2
6x; [1, 4]
f(x)e
x
2xf(x)x
2
8lnx
f(x) cos 4xf(x) xsenx
05Zill(211-228)BachI.qxd 15/11/10 19:54 Página 221
2 DESARROLLE SU COMPETENCIAPágina 6 de 7 Página 6 de 7

7. 28.
29.
30.
31.
32.
En los problemas 37 y 38, encuentre todos los números crí-
ticos. Distinga entre extremos absolutos, extremos de un
punto frontera y extremos relativos.
37.
38.
39.Considere la función fcontinua definida sobre [a, b] que
se muestra en la FIGURA 5.2.9. Dado que de c
1a c
10son
números críticos:
a)Enumere los números críticos en los cuales f(x) 0.
b)Enumere los números críticos en los cuales f(x) no
está definida.
c)Distinga entre los extremos absolutos y los extremos
absolutos de un punto frontera.
d)Distinga entre los máximos relativos y los mínimos
relativos.
40.Considere la función Demuestre que el
mínimo relativo es mayor que el máximo relativo.
Aplicaciones
41.La altura de un proyectil lanzado desde el nivel del suelo
está dada por donde tse mide en
segundos y sen pies.
a)está definida sólo en el intervalo [0, 20]. ¿Por qué?
b)Use los resultados del teorema 5.2.3 para determinar
la altura máxima alcanzada por el proyectil.
42.El físico francés Jean Louis Poiseuilledescubrió que la
velocidad y(r) (en cm/s) del flujo sanguíneo que circula
por una arteria con sección trasversal de radio Restá
dada por donde P, ny lson
constantes positivas. Vea la FIGURA 5.2.10.
a)Determine el intervalo cerrado sobre el que está defi-
nida y.
b)Determine las velocidades máxima y mínima del
flujo sanguíneo.
Piense en ello
43.Elabore una gráfica de una función continua fque no
tenga extremos absolutos pero sí un máximo relativo y
un mínimo relativo que tengan el mismo valor.
44.Proporcione un ejemplo de una función continua, defi-
nida sobre un intervalo cerrado [a,b], para el cual el
máximo absoluto es el mismo que el mínimo absoluto.
45.Sea la función entero mayor. Demuestre que
todo valor de xes un número crítico.
46.Demuestre que no tiene
números críticos cuando ¿Qué ocurre
cuando
47.Sea f(x) x
n
, donde nes un entero positivo. Determine
los valores de npara los cuales ftiene un extremo relativo.
48.Analice: ¿por qué una función polinomial de grado n
puede tener a lo sumo n1 números críticos?
49.Suponga que fes una función par continua tal que f(a) es
un mínimo relativo. ¿Qué puede afirmarse sobre f(a)?
50.Suponga que fes una función impar continua tal que f(a)
es un máximo relativo. ¿Qué puede afirmarse sobre f(a)?
51.Suponga que fes una función par continua que es dife-
renciable en todas partes. Demuestre que x0 es un
número crítico de f.
52.Suponga que fes una función diferenciable que tiene
sólo un número crítico c. Si k0, encuentre los núme-
ros críticos de:
a) b) c) d)
Problemas con calculadora/SAC
53.a)Use una calculadora o un SAC para obtener la grá-
fica de f(x) =-2 cos x+cos 2x.
b)Encuentre los números críticos de fen el intervalo
c)Encuentre los extremos absolutos de fen el intervalo
54.En el estudio del crecimiento de los copos de nieve, la
fórmula
es un modelo matemático para la variación diaria en la
intensidad de radiación solar que penetra la superficie
de la nieve. Aquí trepresenta el tiempo medido en horas
después del amanecer (t0) y
a)Use una calculadora o un SAC para obtener la grá-
fica de Isobre el intervalo [0, 24]. Use b1.
b)Encuentre los números críticos de Ien el intervalo
[0, 24].
2p>24.
[0, 2p].
[0, 2p].
f (kx)f (xk)kf (x)kf (x)
adbc0?
adbc0.
f (x)(axb)>(cxd)
f (x):x;
R
r
Sección transversal circular
FIGURA 5.2.10Arteria para el problema 42
y(r)(P>4nl)(R
2
r
2
),
s(t)
s(t)16t
2
320t,
f (x)x1>x.
f (x)e
4x12,5x2
x
2
, 26x1
f (x)x
2
20x0; [2, 3]
f (x)
1x
x
2
1
; [
1
4,
1
2]
f (x)x
4
(x1)
2
; [1, 2]
f (x)x
4
4x
3
10; [0, 4]
f (x)x
3
3x
2
3x1; [4, 3]
f (x)x
3
x
2
5x; [2, 2]
I (t)
b
p
b
2
sen t
2b
3p
cos 2t
y
x
yƒ(x)
c
4
c
7
c
1ac
2c
3 c
5c
6 c
8c
9c
10b
FIGURA 5.2.9Gráfica para el problema 39
33.
34.
35.
36.f(x)
2xtanx; [ 1, 1.5]
f(x) 3 2 sen
2
24x; [0,p]
f(x) 1 5 sen 3x; [0, p>2]
f(x) 2 cos 2xcos 4x; [0, 2p]
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