2.10 graficas de funciones racionales

graficas de funciones racionales

1. Gráficas de funciones racionales http://www.lahc.edu/math/precalculus/math_260a.html

2. Gráficas de funciones racionales Las funciones racionales son funciones de la forma R(x) = donde P(x) y Q(x) son polinomios. P(x) Q(x)

3. Gráficas de funciones racionales Una función racional es factorizable si P(x) y Q(x) son factorizables . Las funciones racionales son funciones de la forma R(x) = donde P(x) y Q(x) son polinomios. P(x) Q(x)

4. Gráficas de funciones racionales Una función racional es factorizable si P(x) y Q(x) son factorizables . Asumiremos que las funciones de esta sección son funciones racionales factorizables reducidas . Las funciones racionales son funciones de la forma R(x) = donde P(x) y Q(x) son polinomios. P(x) Q(x)

5. Gráficas de funciones racionales Una función racional es factorizable si P(x) y Q(x) son factorizables . Asumiremos que las funciones de esta sección son funciones racionales factorizables reducidas . Los principios para graficar funciones racionales son los mismos que para polinomios, estudiamos su comportamiento y esbozamos partes de la gráfica en regiones importantes, luego completamos la gráfica conectando estas regiones. Las funciones racionales son funciones de la forma R(x) = donde P(x) y Q(x) son polinomios. P(x) Q(x)

6. Gráficas de funciones racionales Una función racional es factorizable si P(x) y Q(x) son factorizables . Asumiremos que las funciones de esta sección son funciones racionales factorizables reducidas . Los principios para graficar funciones racionales son los mismos que para polinomios, estudiamos su comportamiento y esbozamos partes de la gráfica en regiones importantes, luego completamos la gráfica conectando estas regiones. Sin embargo, el comportamiento de funciones racionales es más complicado debido a los denominadores. Las funciones racionales son funciones de la forma R(x) = donde P(x) y Q(x) son polinomios. P(x) Q(x)

7. Asíntotas verticales Gráficas de funciones racionales

8. Asíntotas verticales La función y = 1/x no está definida en x = 0. Gráficas de funciones racionales

9. Asíntotas verticales La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que esta gráfica no es continua en x = 0. Gráficas de funciones racionales

10. Asíntotas verticales La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que esta gráfica no es continua en x = 0. Para x's positivas, y = 1/x es muy grade. Gráficas de funciones racionales

11. Asíntotas verticales La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que esta gráfica no es continua en x = 0. Para x's positivas, y = 1/x es muy grade. Entre más cercano esté x a 0, menor será, Gráficas de funciones racionales

12. Asíntotas verticales La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que esta gráfica no es continua en x = 0. Para x's positivas, y = 1/x es muy grade. Entre más cercano esté x a 0, menor será, y mayor será el punto y = 1/x Gráficas de funciones racionales

13. Asíntotas verticales La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que esta gráfica no es continua en x = 0. Para x's positivas, y = 1/x es muy grade. Entre más cercano esté x a 0, menor será, y mayor será el punto y = 1/x que le corresponde. Gráficas de funciones racionales

14. Asíntotas verticales La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que esta gráfica no es continua en x = 0. Para x's positivas, y = 1/x es muy grade. Entre más cercano esté x a 0, menor será, y mayor será el punto y = 1/x que le corresponde. Gráficas de funciones racionales (1, 1) x=0

15. Asíntotas verticales La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que esta gráfica no es continua en x = 0. Para x's positivas, y = 1/x es muy grade. Entre más cercano esté x a 0, menor será, y mayor será el punto y = 1/x que le corresponde. Gráficas de funciones racionales (1, 1) (1/2, 2) x=0

16. Asíntotas verticales La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que esta gráfica no es continua en x = 0. Para x's positivas, y = 1/x es muy grade. Entre más cercano esté x a 0, menor será, y mayor será el punto y = 1/x que le corresponde. Gráficas de funciones racionales (1, 1) (1/2, 2) (1/3, 3) x=0

17. Asíntotas verticales La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que esta gráfica no es continua en x = 0. Para x's positivas, y = 1/x es muy grade. Entre más cercano esté x a 0, menor será, y mayor será el punto y = 1/x que le corresponde. La gráfica corre alrededor de x = 0 pero nunca lo toca. Gráficas de funciones racionales (1, 1) (1/2, 2) (1/3, 3) x=0

18. Asíntotas verticales La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que esta gráfica no es continua en x = 0. Para x's positivas, y = 1/x es muy grade. Entre más cercano esté x a 0, menor será, y mayor será el punto y = 1/x que le corresponde. La gráfica corre alrededor de x = 0 pero nunca lo toca. Gráficas de funciones racionales (1, 1) (1/2, 2) (1/3, 3) x=0 La linea x = 0 es llamada asíntota vertical .

19. Asíntotas verticales La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que esta gráfica no es continua en x = 0. Para x's positivas, y = 1/x es muy grade. Entre más cercano esté x a 0, menor será, y mayor será el punto y = 1/x que le corresponde. La gráfica corre alrededor de x = 0 pero nunca lo toca. y = 1/x será negativo, Gráficas de funciones racionales (1, 1) (1/2, 2) (1/3, 3) x=0 La linea x = 0 es llamada asíntota vertical . Para x’s negativos,

20. Asíntotas verticales La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que esta gráfica no es continua en x = 0. Para x's positivas, y = 1/x es muy grade. Entre más cercano esté x a 0, menor será, y mayor será el punto y = 1/x que le corresponde. La gráfica corre alrededor de x = 0 pero nunca lo toca. y = 1/x será negativo, así que la gráfica correspondiente baja a lo largo de esta línea. Gráficas de funciones racionales (1, 1) (1/2, 2) (1/3, 3) x=0 La linea x = 0 es llamada asíntota vertical . Para x’s negativos,

21. Asíntotas verticales x=0 La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que esta gráfica no es continua en x = 0. Para x's positivas, y = 1/x es muy grade. Entre más cercano esté x a 0, menor será, y mayor será el punto y = 1/x que le corresponde. (1, 1) (1/2, 2) (1/3, 3) La gráfica corre alrededor de x = 0 pero nunca lo toca. y = 1/x será negativo, así que la gráfica correspondiente baja a lo largo de esta línea. (-1, -1) (-1/2, -2) (-1/3, -3) La linea x = 0 es llamada asíntota vertical . Para x’s negativos, Gráficas de funciones racionales

22. Gráfica de y = 1/x x=0 Conforme x crece, y = 1/x disminute . Esto significa que la gráfica se acerca cada vés más al eje x mientras se acerca a la d erecha o a la izquierda. Puesto que para x > 0, y = 1/x es positivo, la gráfica de esta sección se encuentra por encima del eje x. Para x < 0, y = 1/x e s negativo y esta parte de la gráfica permanece por debajo del eje x. A medida (1, 1) (2, 1/2) (3, 1/3) (-1, -1) (-2, -1/2) (-3, -1/3) que xtiende a - ∞ o ∞, la gráfica se acerca al eje x. Así, este eje es una asíntota horizontal . Gráficas de funciones racionales

23. Asimismo, y = 1/x 2 tiene una asíntota vertical en x = 0. Gráficas de funciones racionales

24. Asimismo, y = 1/x 2 tiene una asíntota vertical en x = 0. Sin embargo 1/x 2 siempre es positivo, así que su gráfica sube a lo largo de ambos lados de la asíntota . Gráficas de funciones racionales

25. Asimismo, y = 1/x 2 tiene una asíntota vertical en x = 0. Sin embargo 1/x 2 siempre es positivo, así que su gráfica sube a lo largo de ambos lados de la asíntota . gráfica of y = 1/x 2 Gráficas de funciones racionales

26. Asimismo, y = 1/x 2 tiene una asíntota vertical en x = 0. Sin embargo 1/x 2 siempre es positivo, así que su gráfica sube a lo largo de ambos lados de la asíntota . Las asíntotas de una función racional reducida: gráfica of y = 1/x 2 Gráficas de funciones racionales

27. Asimismo, y = 1/x 2 tiene una asíntota vertical en x = 0. Sin embargo 1/x 2 siempre es positivo, así que su gráfica sube a lo largo de ambos lados de la asíntota . Las asíntotas de una función racional reducida: gráfica of y = 1/x 2 I. Se presentan cuando el denominador es 0, es decir, en las raíces de Q(x). Gráficas de funciones racionales

28. Asimismo, y = 1/x 2 tiene una asíntota vertical en x = 0. Sin embargo 1/x 2 siempre es positivo, así que su gráfica sube a lo largo de ambos lados de la asíntota . Las asíntotas de una función racional reducida: gráfica of y = 1/x 2 I. Se presentan cuando el denominador es 0, es decir, en las raíces de Q(x). II. La gráfica se extiende a lo largo de ambos lados de las asíntotas verticales . Gráficas de funciones racionales

29. Asimismo, y = 1/x 2 tiene una asíntota vertical en x = 0. Sin embargo 1/x 2 siempre es positivo, así que su gráfica sube a lo largo de ambos lados de la asíntota . Las asíntotas de una función racional reducida: gráfica of y = 1/x 2 I. Se presentan cuando el denominador es 0, es decir, en las raíces de Q(x). II. La gráfica se extiende a lo largo de ambos lados de las asíntotas verticales . Podemos determinar si el gráfico va hacia arriba o hacia abajo a lo largo de la asíntota por medio de la tabla de signos. Gráficas de funciones racionales

30. Asimismo, y = 1/x 2 tiene una asíntota vertical en x = 0. Sin embargo 1/x 2 siempre es positivo, así que su gráfica sube a lo largo de ambos lados de la asíntota . Las asíntotas de una función racional reducida: gráfica of y = 1/x 2 I. Se presentan cuando el denominador es 0, es decir, en las raíces de Q(x). II. La gráfica se extiende a lo largo de ambos lados de las asíntotas verticales . Podemos determinar si el gráfico va hacia arriba o hacia abajo a lo largo de la asíntota por medio de la tabla de signos. Tenemos cuatro casos: Gráficas de funciones racionales

31. Los cuatro casos de gráficas y asíntotas verticales: Gráficas de funciones racionales

32. + E j. y = 1/x Los cuatro casos de gráficas y asíntotas verticales: Gráficas de funciones racionales

33. E j. y = -1/x + E j. y = 1/x + Los cuatro casos de gráficas y asíntotas verticales: Gráficas de funciones racionales

34. Ej. y = 1/x 2 E j. y = -1/x + E j. y = 1/x + + + Los cuatro casos de gráficas y asíntotas verticales: Gráficas de funciones racionales

35. Ej. y = 1/x 2 E j. y = -1/x Ej. y = -1/x 2 + E j. y = 1/x + + + Los cuatro casos de gráficas y asíntotas verticales: Gráficas de funciones racionales

36. Ej. y = 1/x 2 E j. y = -1/x Ej. y = -1/x 2 + E j. y = 1/x + + + Los cuatro casos de gráficas y asíntotas verticales: Ejemplo A: Dadas las siguientes raíces, tablas de signos y asíntotas verticales, esboza la gráfica. Gráficas de funciones racionales

37. Ej. y = 1/x 2 E j. y = -1/x Ej. y = -1/x 2 + E j. y = 1/x + + + Los cuatro casos de gráficas y asíntotas verticales: Ejemplo A: Dadas las siguientes raíces, tablas de signos y asíntotas verticales, esboza la gráfica. raíz asíntota vertical asíntota vertical Gráficas de funciones racionales + +

38. Ej. y = 1/x 2 E j. y = -1/x Ej. y = -1/x 2 + E j. y = 1/x + + + + + Los cuatro casos de gráficas y asíntotas verticales: Ejemplo A: Dadas las siguientes raíces, tablas de signos y asíntotas verticales, esboza la gráfica. raíz asíntota vertical asíntota vertical Gráficas de funciones racionales

39. Ej. y = 1/x 2 E j. y = -1/x Ej. y = -1/x 2 + E j. y = 1/x + + + + + Los cuatro casos de gráficas y asíntotas verticales: Ejemplo A: Dadas las siguientes raíces, tablas de signos y asíntotas verticales, esboza la gráfica. raíz asíntota vertical asíntota vertical Gráficas de funciones racionales

40. + + Ej. y = 1/x 2 E j. y = -1/x Ej. y = -1/x 2 + E j. y = 1/x + + + Los cuatro casos de gráficas y asíntotas verticales: Ejemplo A: Dadas las siguientes raíces, tablas de signos y asíntotas verticales, esboza la gráfica. raíz asíntota vertical asíntota vertical Gráficas de funciones racionales

41. Ej. y = 1/x 2 E j. y = -1/x Ej. y = -1/x 2 + E j. y = 1/x + + + Los cuatro casos de gráficas y asíntotas verticales: Ejemplo A: Dadas las siguientes raíces, tablas de signos y asíntotas verticales, esboza la gráfica. + + raíz asíntota vertical asíntota vertical Gráficas de funciones racionales

42. Asíntotas horizontales Gráficas de funciones racionales

43. Asíntotas horizontales Para x's tales que |x| es muy grande, Gráficas de funciones racionales

44. Asíntotas horizontales Para x's tales que |x| es muy grande, la gráfica de una función racional se asemeja al cociente de los términos principales del numerados y del denominador. Gráficas de funciones racionales

45. Asíntotas horizontales Para x's tales que |x| es muy grande, la gráfica de una función racional se asemeja al cociente de los términos principales del numerados y del denominador. R(x) = Ax N + términos de orden menor Bx K + términos de orden menor Específicamente, si Gráficas de funciones racionales

46. Asíntotas horizontales Para x's tales que |x| es muy grande, la gráfica de una función racional se asemeja al cociente de los términos principales del numerados y del denominador. R(x) = Ax N + términos de orden menor Bx K + términos de orden menor Específicamente, si entonces para x's tales que |x| es muy grande, la gráfica de R(x) se asemeja a (cociente de los términos principales). Ax N Bx K Gráficas de funciones racionales

47. Asíntotas horizontales Para x's tales que |x| es muy grande, la gráfica de una función racional se asemeja al cociente de los términos principales del numerados y del denominador. R(x) = Ax N + términos de orden menor Bx K + términos de orden menor Específicamente, si entonces para x's tales que |x| es muy grande, la gráfica de R(x) se asemeja a (cociente de los términos principales). Ax N Bx K La gráfica puede o no estabilizarse horizontalmente. Gráficas de funciones racionales

48. Asíntotas horizontales Para x's tales que |x| es muy grande, la gráfica de una función racional se asemeja al cociente de los términos principales del numerados y del denominador. R(x) = Ax N + términos de orden menor Bx K + términos de orden menor Específicamente, si entonces para x's tales que |x| es muy grande, la gráfica de R(x) se asemeja a (cociente de los términos principales). Ax N Bx K La gráfica puede o no estabilizarse horizontalmente. Si es así, tendremos una asíntota horizontal. Gráficas de funciones racionales

49. Gráficas de funciones racionales

50. Teorema (Comportamiento horizontal): Gráficas de funciones racionales

51. Dado R(x) = Ax N + términos de menor orden Bx K + términos de menor orden Teorema (Comportamiento horizontal): Conforme x  ∞ o x  - ∞ , la gráfica de R(x) se comporta como Ax N / Bx K = Ax N -K /B. , Gráficas de funciones racionales

52. Dado R(x) = Ax N + términos de menor orden Bx K + términos de menor orden Teorema (Comportamiento horizontal): Conforme x  ∞ o x  - ∞ , la gráfica de R(x) se comporta como Ax N / Bx K = Ax N -K /B. I. Si N > K, , Gráficas de funciones racionales

53. Dado R(x) = Ax N + términos de menor orden Bx K + términos de menor orden Teorema (Comportamiento horizontal): Conforme x  ∞ o x  - ∞ , la gráfica de R(x) se comporta como Ax N / Bx K = Ax N -K /B. I. Si N > K, R(x) se asemeja al polinomio Ax N -K /B. , Gráficas de funciones racionales

54. Dado R(x) = Ax N + términos de menor orden Bx K + términos de menor orden Teorema (Comportamiento horizontal): Conforme x  ∞ o x  - ∞ , la gráfica de R(x) se comporta como Ax N / Bx K = Ax N -K /B. I. Si N > K, R(x) se asemeja al polinomio Ax N -K /B. , Denotamos esto como lim y = ± ∞. x  ± ∞ Gráficas de funciones racionales

55. Dado R(x) = Ax N + términos de menor orden Bx K + términos de menor orden Teorema (Comportamiento horizontal): Conforme x  ∞ o x  - ∞ , la gráfica de R(x) se comporta como Ax N / Bx K = Ax N -K /B. I. Si N > K, R(x) se asemeja al polinomio Ax N -K /B. II. Si N = K, , Denotamos esto como lim y = ± ∞. x  ± ∞ Gráficas de funciones racionales

56. Dado R(x) = Ax N + términos de menor orden Bx K + términos de menor orden Teorema (Comportamiento horizontal): Conforme x  ∞ o x  - ∞ , la gráfica de R(x) se comporta como Ax N / Bx K = Ax N -K /B. I. Si N > K, R(x) se asemeja al polinomio Ax N -K /B. II. Si N = K, R(x) tiene una asíntota horizontal en y = A/B. , Denotamos esto como lim y = ± ∞. x  ± ∞ Gráficas de funciones racionales

57. Dado R(x) = Ax N + términos de menor orden Bx K + términos de menor orden Teorema (Comportamiento horizontal): Conforme x  ∞ o x  - ∞ , la gráfica de R(x) se comporta como Ax N / Bx K = Ax N -K /B. I. Si N > K, R(x) se asemeja al polinomio Ax N -K /B. II. Si N = K, R(x) tiene una asíntota horizontal en y = A/B. Es decir, lim y = A/B. x  ± ∞ , Denotamos esto como lim y = ± ∞. x  ± ∞ Gráficas de funciones racionales

58. Dado R(x) = Ax N + términos de menor orden Bx K + términos de menor orden Teorema (Comportamiento horizontal): Conforme x  ∞ o x  - ∞ , la gráfica de R(x) se comporta como Ax N / Bx K = Ax N -K /B. I. Si N > K, R(x) se asemeja al polinomio Ax N -K /B. II. Si N = K, R(x) tiene una asíntota horizontal en y = A/B. Es decir, lim y = A/B. III. Si N < K, x  ± ∞ , Denotamos esto como lim y = ± ∞. x  ± ∞ Gráficas de funciones racionales

59. Dado R(x) = Ax N + términos de menor orden Bx K + términos de menor orden Teorema (Comportamiento horizontal): Conforme x  ∞ o x  - ∞ , la gráfica de R(x) se comporta como Ax N / Bx K = Ax N -K /B. I. Si N > K, R(x) se asemeja al polinomio Ax N -K /B. II. Si N = K, R(x) tiene una asíntota horizontal en y = A/B. Es decir, lim y = A/B. III. Si N < K, R(x) tiene a y = 0 como asíntota horizontal pues N – K e s negativo. x  ± ∞ , Denotamos esto como lim y = ± ∞. x  ± ∞ Gráficas de funciones racionales

60. Dado R(x) = Ax N + términos de menor orden Bx K + términos de menor orden Teorema (Comportamiento horizontal): Conforme x  ∞ o x  - ∞ , la gráfica de R(x) se comporta como Ax N / Bx K = Ax N -K /B. I. Si N > K, R(x) se asemeja al polinomio Ax N -K /B. II. Si N = K, R(x) tiene una asíntota horizontal en y = A/B. Es decir, lim y = A/B. III. Si N < K, R(x) tiene a y = 0 como asíntota horizontal pues N – K e s negativo. Denotamos esto como lim y = 0. x  ± ∞ x  ± ∞ , Denotamos esto como lim y = ± ∞. x  ± ∞ Gráficas de funciones racionales

61. Graficando funciones racionales R(x) = P(x) Q(x) Gráficas de funciones racionales

62. Graficando funciones racionales R(x) = I. Al igual que cuando graficamos polinomios, encontramos las raíces de R(x) y sus órdenes. P(x) Q(x) Gráficas de funciones racionales

63. Graficando funciones racionales R(x) = I. Al igual que cuando graficamos polinomios, encontramos las raíces de R(x) y sus órdenes. P(x) Q(x) II. Encontramos las asíntotas verticales de R(x) y sus órdenes resolviendo Q(x) = 0. Gráficas de funciones racionales

64. Graficando funciones racionales R(x) = I. Al igual que cuando graficamos polinomios, encontramos las raíces de R(x) y sus órdenes. P(x) Q(x) II. Encontramos las asíntotas verticales de R(x) y sus órdenes resolviendo Q(x) = 0. Los pasos I y II nos ayudan a hacer la tabla de signos alrededor de las raíces Gráficas de funciones racionales

65. Graficando funciones racionales R(x) = I. Al igual que cuando graficamos polinomios, encontramos las raíces de R(x) y sus órdenes. P(x) Q(x) II. Encontramos las asíntotas verticales de R(x) y sus órdenes resolviendo Q(x) = 0. Los pasos I y II nos ayudan a hacer la tabla de signos alrededor de las raíces y las gráfica a lo largo de las asíntotas. Gráficas de funciones racionales

66. Graficando funciones racionales R(x) = I. Al igual que cuando graficamos polinomios, encontramos las raíces de R(x) y sus órdenes. P(x) Q(x) II. Encontramos las asíntotas verticales de R(x) y sus órdenes resolviendo Q(x) = 0. Los pasos I y II nos ayudan a hacer la tabla de signos alrededor de las raíces y las gráfica a lo largo de las asíntotas. Para esto construiremos la sección central de la gráfica como en el ejemplo A. Gráficas de funciones racionales

67. Graficando funciones racionales R(x) = I. Al igual que cuando graficamos polinomios, encontramos las raíces de R(x) y sus órdenes. P(x) Q(x) II. Encontramos las asíntotas verticales de R(x) y sus órdenes resolviendo Q(x) = 0. Los pasos I y II nos ayudan a hacer la tabla de signos alrededor de las raíces y las gráfica a lo largo de las asíntotas. Para esto construiremos la sección central de la gráfica como en el ejemplo A. Completaremos la gráfica con el paso III. Gráficas de funciones racionales

68. Graficando funciones racionales R(x) = I. Al igual que cuando graficamos polinomios, encontramos las raíces de R(x) y sus órdenes. P(x) Q(x) II. Encontramos las asíntotas verticales de R(x) y sus órdenes resolviendo Q(x) = 0. Los pasos I y II nos ayudan a hacer la tabla de signos alrededor de las raíces y las gráfica a lo largo de las asíntotas. Para esto construiremos la sección central de la gráfica como en el ejemplo A. Completaremos la gráfica con el paso III. III. Usado el teorema anterior, determinaremos el comportamiento de la gráfica Gráficas de funciones racionales

69. Ejemplo C: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica. x 2 – 4x + 4 x 2 – 1 Gráficas de funciones racionales

70. Ejemplo C: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica. x 2 – 4x + 4 x 2 – 1 Resolvemos x 2 – 4x + 4 = 0, x = 2 de orden = 2. Gráficas de funciones racionales

71. Ejemplo C: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica. x 2 – 4x + 4 x 2 – 1 Resolvemos x 2 – 4x + 4 = 0, x = 2 de orden = 2. Para las asíntotas , resolvemos Q(x) = x 2 – 1 = 0 Gráficas de funciones racionales

72. Ejemplo C: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica. x 2 – 4x + 4 x 2 – 1 Resolvemos x 2 – 4x + 4 = 0, x = 2 de orden = 2. Para las asíntotas , resolvemos Q(x) = x 2 – 1 = 0 Gráficas de funciones racionales x=2

73. Ejemplo C: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica. x 2 – 4x + 4 x 2 – 1 Resolvemos x 2 – 4x + 4 = 0, x = 2 de orden = 2. Para las asíntotas , resolvemos Q(x) = x 2 – 1 = 0  x = ± 1 de orden 1, así que hay cambios de signo. Gráficas de funciones racionales x=2

74. Ejemplo C: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica. x 2 – 4x + 4 x 2 – 1 Resolvemos x 2 – 4x + 4 = 0, x = 2 de orden = 2. Para las asíntotas , resolvemos Q(x) = x 2 – 1 = 0  x = ± 1 de orden 1, así que hay cambios de signo. Gráficas de funciones racionales + – x=2 + +

75. Ejemplo C: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica. x 2 – 4x + 4 x 2 – 1 Resolvemos x 2 – 4x + 4 = 0, x = 2 de orden = 2. Para las asíntotas , resolvemos Q(x) = x 2 – 1 = 0  x = ± 1 de orden 1, así que hay cambios de signo. Gráficas de funciones racionales + + – x=2 + +

76. Ejemplo C: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica. x 2 – 4x + 4 x 2 – 1 Resolvemos x 2 – 4x + 4 = 0, x = 2 de orden = 2. Para las asíntotas , resolvemos Q(x) = x 2 – 1 = 0  x = ± 1 de orden 1, así que hay cambios de signo. Gráficas de funciones racionales + + – x=2 + +

77. Ejemplo C: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica. x 2 – 4x + 4 x 2 – 1 Resolvemos x 2 – 4x + 4 = 0, x = 2 de orden = 2. Para las asíntotas , resolvemos Q(x) = x 2 – 1 = 0  x = ± 1 de orden 1, así que hay cambios de signo. Gráficas de funciones racionales + + – x=2 + +

78. Ejemplo C: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica. x 2 – 4x + 4 x 2 – 1 Resolvemos x 2 – 4x + 4 = 0, x = 2 de orden = 2. Para las asíntotas , resolvemos Q(x) = x 2 – 1 = 0  x = ± 1 de orden 1, así que hay cambios de signo. Gráficas de funciones racionales + + – x=2 + +

79. Ejemplo C: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica. x 2 – 4x + 4 x 2 – 1 Resolvemos x 2 – 4x + 4 = 0, x = 2 de orden = 2. Para las asíntotas , resolvemos Q(x) = x 2 – 1 = 0  x = ± 1 de orden 1, así que hay cambios de signo. Así que cuando x  ± ∞, R(x) se asemeja a x 2 /x 2 = 1, la asíntota horizontal. Gráficas de funciones racionales + + – x=2 + +

80. Ejemplo C: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica. x 2 – 4x + 4 x 2 – 1 Resolvemos x 2 – 4x + 4 = 0, x = 2 de orden = 2. Para las asíntotas , resolvemos Q(x) = x 2 – 1 = 0  x = ± 1 de orden 1, así que hay cambios de signo. Así que cuando x  ± ∞, R(x) se asemeja a x 2 /x 2 = 1, la asíntota horizontal. Gráficas de funciones racionales + + – x=2 + +

81. Ejemplo C: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica. x 2 – 4x + 4 x 2 – 1 Resolvemos x 2 – 4x + 4 = 0, x = 2 de orden = 2. Para las asíntotas , resolvemos Q(x) = x 2 – 1 = 0  x = ± 1 de orden 1, así que hay cambios de signo. Así que cuando x  ± ∞, R(x) se asemeja a x 2 /x 2 = 1, la asíntota horizontal. + + – x=2 + + Gráficas de funciones racionales

82. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Gráficas de funciones racionales

83. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Resolvemos x 2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0 Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1. Gráficas de funciones racionales

84. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Resolvemos x 2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0 Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1. Para las asíntotas , x – 2 = 0, o x = 2. Gráficas de funciones racionales

85. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Resolvemos x 2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0 Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1. Para las asíntotas , x – 2 = 0, o x = 2. Haciendo las tablas de signos, Gráficas de funciones racionales

86. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Resolvemos x 2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0 Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1. Para las asíntotas , x – 2 = 0, o x = 2. Haciendo las tablas de signos, Gráficas de funciones racionales x=3

87. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Resolvemos x 2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0 Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1. Para las asíntotas , x – 2 = 0, o x = 2. Haciendo las tablas de signos, Gráficas de funciones racionales x=3 + – + –

88. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Resolvemos x 2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0 Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1. Para las asíntotas , x – 2 = 0, o x = 2. Haciendo las tablas de signos, esbozamos la parte central. Gráficas de funciones racionales x=3 + – + –

89. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Resolvemos x 2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0 Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1. Para las asíntotas , x – 2 = 0, o x = 2. Gráficas de funciones racionales x=3 + – + – Haciendo las tablas de signos, esbozamos la parte central.

90. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Resolvemos x 2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0 Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1. Para las asíntotas , x – 2 = 0, o x = 2. Gráficas de funciones racionales Haciendo las tablas de signos, esbozamos la parte central. x=3 + – + –

91. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Resolvemos x 2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0 Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1. Para las asíntotas , x – 2 = 0, o x = 2. Haciendo las tablas de signos, esbozamos la parte central. Gráficas de funciones racionales x=3 + – + –

92. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Resolvemos x 2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0 Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1. Para las asíntotas , x – 2 = 0, o x = 2. Mientras x  ± ∞, la gráfica de R(x) se asemeja al cociente x 2 /x = x, o y = x. Haciendo las tablas de signos, esbozamos la parte central. Gráficas de funciones racionales x=3 + – + –

93. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Resolvemos x 2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0 Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1. Para las asíntotas , x – 2 = 0, o x = 2. Mientras x  ± ∞, la gráfica de R(x) se asemeja al cociente x 2 /x = x, o y = x. Entonces no hay asíntota horizontal. Haciendo las tablas de signos, esbozamos la parte central. Gráficas de funciones racionales x=3 + – + –

94. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Resolvemos x 2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0 Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1. Para las asíntotas , x – 2 = 0, o x = 2. Mientras x  ± ∞, la gráfica de R(x) se asemeja al cociente x 2 /x = x, o y = x. Entonces no hay asíntota horizontal. Haciendo las tablas de signos, esbozamos la parte central. Gráficas de funciones racionales x=3 + – + –

95. Ejemplo D: Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) = Haz la tabla de signos y esboza la gráfica . x 2 – 2x – 3 x – 2 Resolvemos x 2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0 Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1. Para las asíntotas , x – 2 = 0, o x = 2. Mientras x  ± ∞, la gráfica de R(x) se asemeja al cociente x 2 /x = x, o y = x. Entonces no hay asíntota horizontal. x=3 Haciendo las tablas de signos, esbozamos la parte central. + – + – Gráficas de funciones racionales

96. Gráficas de Polinomios Factorizables Ejercicio A. Las siguientes son tablas de signos de f unciones racionales factorizables simplificadas con raíces , polos y multiplicidades . a. Escribe cualquier polinomio racional factorizado q ue satisfaga la tabla de signos correspondiente . b. Bosqueja su gráfica . –1 1. ord =1 ord =1 1 – – – –1 2. ord =2 ord =1 1 + + + –1 3. ord =1 ord =1 1 – – – –1 4. ord =2 ord =2 1 + + + –1 7. 1 3 –1 8. ord =1 ord =2 1 3 ord =2 + + – – = raíz = polo ( asíntota ) ord =2 ord =1 ord =1 –1 5. 1 3 –1 6. ord =1 ord =2 1 3 ord =2 + + – – ord =2 ord =1 ord =1

97. Gráficas de Polinomios Factorizables B. Identifica las raíces , polos y multiplicidades de las siguientes funciones racionales . a. Dibuj a su tabla de signos ( como en A) . b. Determina su comportamiento horizontal y bosqueja . 1. R(x) = 2. x – 3 x + 2 2 R(x) = –1 5. R(x) = 6. x – 3 x + 2 x – 3 R(x) = x + 2 3. R(x) = 4. 5 – x x + 1 –2 R(x) = 1 9. (x – 3) 2 R(x) = x – 2 7. R(x) = 8. 3 – 2x x + 2 –3x R(x) = x 10. (x + 3) 2 R(x) = x + 2 11. (x – 3)(x + 3) R(x) = x – 2 12. R(x) = (x – 3)(x + 3) x – 5

98. Gráficas de Polinomios Factorizables 13. (x – 2) 2 R(x) = 14. (x – 4)(x + 5) R(x) = 15. (x – 3)(x + 3) R(x) = 16. R(x) = (x – 3)(x + 3) (x – 3)(x + 3) (x + 2) 2 (x + 3)(x + 5) (2x – 1)(x + 1) (x – 4)(x + 5) 17. x(x – 3)(x + 3) R(x) = 18. R(x) = (x – 3) 2 (x + 3) (2x – 1)(x + 1) B. Identifica las raíces , polos y multiplicidades de las siguientes funciones racionales . a. Dibuj a su tabla de signos ( como en A) . b. Determina su comportamiento horizontal y bosqueja .

99. Gráficas de Polinomios Factorizables Ejercicio A. 1. 3. x – 1 x + 1 (x + 1)(x – 1) 1 – 5. (x + 1) 2 – (x – 1)(x – 3) 7. (x + 1) 2 (x – 3) (x – 1)

100. Gráficas de Polinomios Factorizables Ejercicio B 1. ord =1 – 2 + + + – – – 3. ord =1 –1 + + + – – – 5. –2 ord =1 ord =1 3 + + + + – – – 7. –2 ord =1 ord =1 + + + – – – – 9. –3 ord =1 ord =2 2 + + + – – – – –

101. Gráficas de Polinomios Factorizables 11. –3 ord =1 ord =1 2 + + – – – – – 3 ord =1 + + 13. –3 ord =1 ord =1 2 + + – – – 3 ord =1 + + – – – 15. 17. –5 ord =1 ord =1 -3 + + – – – ord =1 + + + + ord =1 3 – – – 4 –5 ord =1 ord =1 -3 – – ord =1 + + + + ord =1 3 – – 4 – – ord =1