2- Bentuk Tak Tentu versi tahun 2017.pdf

2- Bentuk Tak Tentu versi tahun 2017.pdf

1. Bab II
Bentuk Tak Tentu dan
Integral Tak Wajar

2. Inherent K-1 2008 2
Isi Bab
Pendahuluan
Bentuk tak-tentu
Integral tak-wajar:
Batas tak-terhingga
Integran tak-terhingga

3. Inherent K-1 2008 3
Pendahuluan
G.F.A. de l’Hôpital sebenarnya bukan
penemu Aturan l’Hôpital. Penemu
sebenarnya adalah gurunya, Johann
Bernoulli.
Penggunaan Aturan L’Hopital perlu
ditekankan di sini mengenai syarat dapat
diberlakukan Aturan l’Hopital.
Tidak semua perhitungan limit
memerlukan Aturan l’Hopital.

4. Inherent K-1 2008 4
Bentuk Tak Tentu()
lim
()
fx
gx
xu
Bentuk tak-tentu:
Bentuk ini memperlihatkan persaingan kekuatan berlawanan:0 00
0 0 1
0
, , . , - , , ,
 
   

a x 0 = 0, a/0 = ∞, jadi 0/0 = ?
a x ∞= ∞, a/∞= 0, jadi ∞/∞= ?

5. Inherent K-1 2008 5
Bukan bentuk tak-tentu (Bentuk Tentu):
Bentuk ini punya kekuatan yang saling mendukung:0
. , 0
0
, , , ,
 
    

a x 0 = 0, a/∞ = 0, jadi 0/∞= 0

6. Inherent K-1 2008 6
ATURAN L’HÔPITAL:
Diketahui 0)(lim)(lim 



xg
ux
xf
ux
Jika )('
)('
lim
xg
xf
ux ada, yaitu L,  atau -
maka )('
)('
lim
)(
)(
lim
xg
xf
ux
xg
xf
ux 


u mewakili simbol , , ,a a a

 atau  
(bentuk 0 / 0)

7. Inherent K-1 2008 7
Contoh:1)0cos(
1
cos
lim
sin
lim
00


x
x
x
xx
L
Beberapa hal penting penggunaan Aturan l’Hopital:
1.Syarat awal harus dipenuhi.
2.Dapat dilakukan berkali-kali.
3.Harus mengetahui kriteria kapan berhenti
menggunakan.

8. Inherent K-1 2008 8?
3
3
lim
3



x
x
x
3
1
3
lim
3
3
3
lim
3





x
L
x
x
x
Manakah yang benar di bawah ini?





















3
3
9
lim
3
3
3
9
3
)3(3
lim
3
3
9)3(3
lim
3
3
3
lim
3
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x


1.
2.
Yang benar adalah yang nomor 2, karena soal di atas
adalah bentuk tentu di mana syarat awal Aturan
L’Hopital tidak terpenuhi.

9. Inherent K-1 2008 92
1
2
cos
lim
32
sin
lim
3
cos1
lim
00
2
0




x
x
x
xx
x
xxx
L L ? 


 xx
x
x 3
cos1
lim
2
0
Manakah yang benar di bawah ini?0 L 


 32
sin
lim
3
cos1
lim
0
2
0 x
x
xx
x
xx
1.
2.
Yang benar adalah yang nomor 2, karena pada bagian
kedua sudah menjadi bentuk tentu atau syarat awal
Aturan L’Hopital tidak terpenuhi.

10. Inherent K-1 2008 10 ...lim lim lim
1 2 3
2
x x x
e e e
LL
x x xxxx
  

  
  
Bagaimana bila terjadi hal berikut:
Penggunaan Aturan l’Hopital berkali-kali tidak
membuat limit menjadi bentuk tentu.?




x
x
x
x e
x
x
e
limlim
1
(bentuk /) 

11. Inherent K-1 2008 11
ATURAN L’HÔPITAL
Diketahui ( ) ( )lim limf x g x
x u x u
  

Jika '( )
lim
'( )
fx
gx
xu ada, yaitu L,  atau -
maka )('
)('
lim
)(
)(
lim
xg
xf
ux
xg
xf
ux 


u mewakili simbol , , ,a a a

 atau  
(bentuk /)  

12. Inherent K-1 2008 12
Contoh:0
1
limlimlim
1





x
x
x
x
x
x e
L
e
x
x
e

Aturan l’Hopital bentuk tak tentu ini juga dapat
dilakukan berkali-kali. Namun perlu ekstra hati-
hati apabila limit sudah menjadi bentuk tentu
walaupun belum nampak jelas.

13. Inherent K-1 2008 13?
csc
/1
lim
cot
ln
lim
2
00



 x
x
L
x
x
xx

Apakah Aturan l’Hopital dapat terus dilakukan?x
x
x
x
x
x
x sin
sin
sin
csc
/1
2
2

 010
sin
sinlim
cot
ln
lim
00









 x
x
x
x
x
xx
Jadi,
Tidak, karena bagian akhir adalah bentuk
tentu, karena:

14. Inherent K-1 2008 14
Bentuk tak tentu yang lain
Ubah menjadi bentuk tak tentu
Lalu selesaikan menggunakan Aturan l’Hopital.
Contoh: 

atau
0
0 11
11
2
1
1 ln 1
lim - lim
1 ln 1 ln
/ ln 1 ln
lim lim
( 1)(1/ ) ln 1 1/ ln
1/ 1
lim
1/ 1/ 2
xx
xx
x
x x x - x
x x (x ) x
x x x x
L
x x x x x
x
L
xx












   

 1
1
lim - ?
1 lnx
x
xx







15. Inherent K-1 2008 15
y=ey=
y=x ln x
y=x
y=ln x
y=2
x x x
Dengan mengamati hasil perhitungan limit, kita
akan mendapatkan perilaku dari beberapa
fungsi seiring dengan pertambahan absis x,
yaitu meningkat secara cepat atau lambat.

16. Inherent K-1 2008 16

17. Inherent K-1 2008 17
Integral Tak Wajar
Perhitungan integral tidak memenuhi teorema di atas
disebut integral tak wajar, yaitu memiliki:
-Batas interval (a atau b atau keduanya) tak
terhingga.
-Fungsi integran tidak terbatas atau bernilai tak
hingga pada suatu titik dalam interval.
Teorema:
Fungsi f dapat diintegralkan pada [a,b] jika
1. f terbatas pada [a,b]
2. f kontinu kecuali di sejumlah berhingga titik

18. Inherent K-1 2008 18
Definisi: Batas interval tak terhingga







b
a
b
a
b
a
a
b
dxxff(x)dx
dxxff(x)dx
)(lim
)(lim
Ingat: jangan lupa menuliskan tanda limit.

19. Inherent K-1 2008 19
Contoh: 11lim
lim
lim
0
0
00



















bb
b
b
x
b
x
b
b
x
b
x
ebe
dxexe
dxxedxxe

20. Inherent K-1 2008 20
Integral Tak Wajar
Batas tak terhingga
Definisi:
Jika 0
( ) f x dx
 dan( )
0
f x dx

 keduanya konvergenmaka ( ) f x dx



juga konvergendan( ) f x dx



= 0
( ) f x dx
 + ( )
0
f x dx


Jika sebaliknya, maka( ) f x dx


 divergen.

21. Inherent K-1 2008 21
Contoh 1: 
2
0
1
?
16
dx
x



   16
1
16
1
16
1
lim
16
1
lim
16
1
00
2













bx
dx
x
b
b
b

22. Inherent K-1 2008 22
Contoh 2:?
16
1





dx
x
Bermasalah di x = -16, dan integral dengan
salah satu batasnya merupakan takhingga. 16
161
lim ln( 16)
16
b
dx x
x







 

Karena hasil diatas divergen maka dapat
disimpulkan integral semula divergen1
divergen
16
dx
x





23. Inherent K-1 2008 23
Fungsi Integran tak wajar1
1
?
2
2
dx
x


1-2
Menurut gambar di atas, luas daerah yang dihitung
adalah tak-terhingga, karena luas daerah tak terbatas
di sekitar 0. Jadi tidak benar nilai integralnya -3/2.(?)
2
3
2
1
1
1
1
2










1
2-
x
1
2
x
dx

24. Inherent K-1 2008 24
Definisi:
Misalkan f kontinu pada ba, kecuali di bca , c
dan 

f(x)
cx
lim . Didefinisikan:
b
c
dxxf
c
a
dxxf
b
a
dxxf )( )( )(
jika sudah diketahui bahwa kedua integral di ruas
kanan adalah konvergen.
Jika sebaliknya, maka divergen.
b
a
dxxf)(

25. Inherent K-1 2008 25
Contoh:
?
1
3/1


3
0x
dx  
  12
2
3
2
2
3
lim)1(
2
3
lim
1
lim
1
3/23/23/2
1
3
3/2
1
3/1
1
3/1






tx
x
dx
x
dx
t
t
tt
3
t
3
1  
 
2
3
0
2
3
lim)1(
2
3
lim
1
lim
1
3/2
1
0
3/2
1
3/1
1
3/1






tx
x
dx
x
dx
t
t
tt
t
0
1
0
maka  
 
3/1
3/2
3/13/13/1
2
3
2
3
12
2
3
111







3
1
1
0
3
0 x
dx
x
dx
x
dx
Integran akan bernilai takhingga bila x = 1, maka

26. Inherent K-1 2008 26

27. Inherent K-1 2008 27