2 metodos de discretizacao

Metodos de discretizacao

1. F6D370 - CONTROLE E SERVOMECAMISMOS II
Prof. Carlos Raimundo Erig Lima
2. METODOS DE DISCRETIZA ÃAO

Existem muitos m etodos de discretiza ãao que podem ser aplicados a
funãoes de transfer ˆncia anal ágicas. Um dos m etodos de discretiza ãao e a jü
conhecida aplica ãao da transformada Z a fun ãao analágica discretizada. Porem
este m etodo de discretiza ãao nem sempre leva em conta particularidades do
processo de discretiza ãao. Por outro lado, alguns m etodos apresentam um custo
computacional menor, permitido algoritmos menores, mais simples e r üpidos.
Sao apresentados os seguintes m etodos de discretizaãao:

· Transfomada Z do sinal discretizado.
· Funãao de Transfer ˆncia pulsada e seguidores
· Metodo das diferen ãas
· Transforma ãao bilinear
· Transforma ãao bilinear e com pr e-distorãao de freq uˆncia


A seleãao adequada apropriada do m etodo de disc retizaãao deve levar em
conta o que se espera do algoritmo de controle discretizado em compara ãao
com o desempenho do sistema anal ágico. Algumas propriedades mais utilizadas
sao:

· NÉmero de p álos e zeros.
· A largura de banda e a freq uˆncia de corte.
· O ganho DC.
· A margem de fase e margem de ganho.
· A resposta temporal.

E possıvel que alguma destas propriedades n ao sejam preservadas
durante o processo de discretiza ãao. A escolha de um m etodo de discretiza ãao
tambem estü relacionada com a facilidade de implem entaãao computacional.

2. 1
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2.1 Transformada z do sinal discretizado

Dado um sistema cont ınuo, define-se a transformada z do sinal
discretizado como:



Propriedades:

· H(z) tem a mesma resposta ao impulso que H(s)

· Se H(z) e estüvel, H(z) tambem o ser ü.

· H(z) n ao preserva a resposta em freq uˆncia (alising). E vülido se n ao for
observado o teorema da amostragem de Niquist. Ou seja pode ser
resolvido se a freq uˆncia de amostragem for aumentada.

· Se H(s) e uma fun ãao complicada e n ao tabulada, ser ü necessürio utilizar
expansao em fraãoes parciais para encontrar a fun ãao discretizada final.

· Nao considera os elementos introduzidos no sistema durante o processo
de discretiza ãao.

2.2 Transformada z da fun ãao de transferencia pulsada com
seguradores

Uns dos elementos introduzidos em um sistema discreto ao discretizar um
sistema anal ágico s ao os seguradores. E interessante definir um segurador de
ordem zero. Pode -se considerar um sistema de controle digital, parc iamente
representado na figura 2.1. E inevitüvel a exist ˆncia de um bloco que converta
F(z)=Z[{f
k k
k
k
fz}]=
-
=
¥
å
D
0

3. 2
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sinais discretos em sinais cont ınuos (conversor D/A). Entre um convers ao e
outra, o sinal de entrada e segurado na sa ıda do bloco. Esta opera ãao de
memoriza ãao da ultima amostra at e uma nova entrada introduz um novo termo
na funãao discreta resultante do sistema.

t

PLANTA
Contınua
G(s)
Conversor A/D
Conversor D/A
Sequencia Impulso
k
1
uk
Funcao Resultante
T
1
ut


FIGURA 2.1 - Representa ãao parcial de um sistema de controle discreto onde e
enfatizado a opera ãao de um segurador.

Em funãao da figura pode-se escrever:

Us
s
e
s
sT
()=-
-
1
, ou seja, Ys
e
s
Gs
sT
() ()=
-
-
1
,

onde a funãao
1-
-
e
s
sT
e conhecida como segurador de ordem zero.

4. 3
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Para um segurador de ordem zero (ZOH)

DzZ
e
s
Ds
sT
() ()=
-é
ë
ê
ù
û
ú
-
D1
ou ainda,




Propriedades:

· Se D(s) e estüvel, D(z) tambem o serü.

· Se D(s) e nao tabulada, ser ü necess ürio utilizar expans ao em fra ãoes
parciais.

· D(z) nao preserva a resposta ao impulso e a resposta em freq uˆncia.

2.3 TRANSFORMA ÃAO BILINEAR , DE TUSTIN OU TRAPEZOIDAL

Considerando -se o sistema
Us
Es
Hs
a
sa
()
()
()= =
+
e sua equa ãao diferencial
associada:

du(t
dt
au(tae(t
)
()
) )+ =
, pode-se resolver a equa ãao diferencial pela
integral:
[ ]ut au aed
t
() ()()=- +ò
t tt
0
, relaãao esta que pode ser discretizada:

Dz zZ
Ds
s
()( )
()
=-
é
ë
ê
ù
û
ú
-
D
1
1

5. 4
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[ ] [ ]ukT) au aed au aed
kTT
kTT
kT
( ()() ()()= - + + - + \
-
-ò ò
t tt t tt
0


[ ]ukT)ukTT) au aed
kTT
kT
( ( ()()= -+ - +
-ò
t tt
.

Segundo a prápria defini ãao de integral a integral [ ]- +
-ò
au aed
kTT
kT
()()t tt
e dada pela ürea de - +au ae()()t tpara (kTT) kT-<<t .
Se esta ürea e aproximada por um ret –ngulo tem -se uma aproxima ãao
pelo m etodo das diferen ãas Backward ou Forward , discutidas posteriormente . A
figura 2.2 representa esta apr oximaãao.
kT kT-T

Backward
kT kT-T
Area:
T[-au[kT-T]+ae[kT-T]]

Area:
T[-au[kT]+ae[kT]]

Forward

FIGURA 2.2 - Representa ãao da aproxima ãao da ürea sob a curva entre duas
amostras consecutivas, segundo o m etodo das diferen ãas.

Se a aproxima ãao for segundo um trap ezio, tem -se a aproxima ãao
trapezoidal, repre sentada graficamente na figura 2.3.

6. 5
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Trapezoidal
kT kT-T
Area:
T[-au[kT-T]+ae[kT -T] -au[kT]+ae[kT]]/2



FIGURA 2.3 - Representa ãao da aproxima ãao da ürea sob a curva entre duas
amostras consecutivas, segundo o m etodo bilinear, de Tustin ou trapezoidal.

Da figura 2.3 pode-se representar ainda:

[ ]ukT
aT
aT
ukTT
aT
aT
ekTTekT[]
(/
(/
[ ]
(/
(/
[ ][]=
-
+
-+
+
-+
1 2)
1 2)
2)
1 2)
,

de onde, pode-se obter a seguinte rela ãao:
Hz
a
T
z
z
a
()=
-
+
æ
è
ç
ö
ø
÷+
2 1
1
, ou seja:






Propriedades:

· E fücil aplicar, uma vez que trata -se de simples substitui ãao de vari üveis.

· Se D(s) e estüvel, D(z) tamb em o e.

ú
û
ù
ê
ë
é
+
-
=
=
D
1
12
)()(
z
z
T
s
sDzD

7. 6
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· Nao preserva a resposta ao impulso e a resposta em freq uˆncia de D(s).

A figura 2.4 apresenta o mapeamento realizado por este m etodo de
discretizaãao sobre o plano z.


s
2
jw
3
1
1
2
3
Im
Re
Plano s Plano z
TS
Ts
z
-
+
=
2
2
)1(
)1(2
+
-
=
zT
z
s


FIGURA 2.4 - Mapeamento do metodo de discretiza ãao bilinear sobre o plano Z.

2.4 M´todo das diferenãas - backward diference

Dado Ds
Us
Es
()
()
()
= , os term os em s (ou derivativos
d
dt
æ
è
ç
ö
ø
÷) serao
considerados como:

dyt
dt
ykyk
t
ykTykTT
T
()[][][][ ]
=
--
=
- -1
D


Aplicando-se a transformada Z:

YzzYz
T
z
T
Yz
() ()
()
-
=
-é
ë
ê
ù
û
ú
- -1 1
1

8. 7
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Logo, tem -se a relaãao:






Propriedades:

· E fücil aplicar, uma vez que trata -se de simples substit uiãao de vari üveis.

· Se D(s) e estüvel, D(z) tamb em o e.

· Nao preserva a resposta ao impulso e a resposta em freq uˆncia de D(s).

·
dyt
dt
ykyk
T
()[][]
=
--1



dyt
dt
ykyk yk
T
2
2 2
2 1 2]()[][][
=
- -+-



dyt
dt
ykyk yk yk
T
3
3 3
3 13 2] 3()[][][ []
=
- -+ ---


A figura 2.5 apresenta o mapeamento re alizado por este m etodo de
discretizaãao sobre o plano z.

DzDs
s
z
T
()()=
=
-é
ë
ê
ù
û
ú
-
D
1
1

9. 8
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s
2
jw
3
1
1
2
3
Im
Re
s
z
T
=
-
-
1
1

z
sT
=
-
1
1

Plano s Plano z


FIGURA 2.5 - Mapeamento do m etodo de discretiza ãao das diferen ãas
backward.

2.5 M´todo das diferenãas - forwards diference

Dado Ds
Us
Es
()
()
()
= , os ter mos em s (ou derivativos
d
dt
æ
è
ç
ö
ø
÷) serao considerados
como:
dyt
dt
yk yk
t
ykTT]ykT]
T
()[][][ [
=
+-
=
+-1
D


Aplicando a transformada Z:

YzzYz
T
z
T
Yz
() ()
()
-
=
-é
ë
ê
ù
û
ú
1

Logo, tem -se a relaãao:




DzDs
s
z
T
()()=
=
-é
ë
ê
ù
û
ú
D
1

10. 9
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Propriedades:

· E fücil aplicar, uma vez que trata -se de simples substit uiãao de vari üveis.

· Se D(s) e estüvel, D(z) n ao o e necessariamente. Este m etodo tende a gerar
instabilidade.

· Nao preserva a resposta ao impulso e a resposta em freq uˆncia de D(s).

A figura 2.6 apresenta o mapeamento realizado por este m etodo de
discretizaãao sobre o plano z.

s
2
jw
3
1
1
2
3
Im
Re
s
z
T
=
-1

z Ts=+1

FIGURA 2.6 - Mapeamento do metodo de discretiza ãao das diferen ãas forward.

11. 10
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2.6 DISTORÃAO EM FREQU ENCIA NA TRANSFORMA ÃAO BILINEAR

O metodo de Tustin introduz uma distor ãao em freq uˆncia. Pode -se
apresentar esta distor ãao pelo exemplo de discretiza ãao do filtro Hs
a
sa
()=
+
.
Para obter a resposta em freq uˆncia faz-se s=jw.
Hjw
a
ajw
aajw
aw
()=
+
=
-
+
2
2 2, cujo mádulo e dado por:

Hjw
a
aw
a
aw
()=
+
=
+
2
2 2
2 2
, para um valor particular de freq uˆncia w
=a, tem -se:
Hjw()==
1
2

Discretizando o filtro pela transforma ãao bilinear:

Hz
a
T
z
z
a
()
()
()
=
-
+
+
2 1
1
, fazendo-se z = e
jwT
:
He
a
T
e
e
a
a
T
e
e
a
jwT
jwT
jwT
jwT
jwT
()
( )
( )
( )
( )
=
-
+
+
=
-
+
+
2 1
1
21
1


He
T
jtg
wT
a
jwT
()=
+
2
2
2
, que em mádulo e:

12. 11
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He
a
T
tg
wT
a
jwT
()=
+
4
2
2
2 2
, que para o mesmo valor de m ádulo obtido no
filtro contınuo:
He
a
T
tg
wT
a
w
T
arctg
aT
jwT
()=
+
= Þ =
4
2
1
2
2
2
2
2 2
, que e um valor
diferente da fr equˆncia para obten ãao do mesmo valor de m ádulo. Pode -se
ainda relacionar:

s
T
z
z
=
-
+
-
-
21
1
1
1
( )
( )
, fazendo-se s= jw
'
e z = e
jwT
:

jw
T
e
e
jwT
jwT¢=
-
+
-
-
21
1
( )
( )
, de onde obtem -se que : ¢=w
T
tg
wT2
2
.
A relaãao entre w' e w pode ser visualizada na f igura 2.7. Pode -se concluir
que a resposta em freq uˆncia e distorcida, sendo que esta distor ãao e menor
para baixos valores de w. Na pr ütica para wT/2<17 ° Þ w' » w.
A transforma ãao bilinear comprime a freq uˆncia cont ınua 0< w' < ¥ em
uma faixa digital limi tada a 0<wT< p.

FIGURA 2.7 à Representa ãao da distor ãao em freq uˆncia observada na
discretizaãao pela trasforma ãao bilinear.

13. 12
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A figura 2.8 apresenta a compara ãao da resposta frequencial de sistemas
discretizados segundo v ürio metodos de discretizaãao e um sistema cont ınuo.

FIGURA 2.7 à Resposta frequencial de sistemas discretizados em compara ãao
com um sistema cont ınuo.

14. 13
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Yr(s) U(s) Y(s) E(s)


D(s) Gp(s)
2.7 Exercıcio Resolvido - Discretiza ãao de Sistemas Cont ınuos (fonte:
Universidade Federal de Santa Catarina Programa de P ás-Graduaãao em
Engenharia El etrica, DAS 6653 à Controle Digital de Sistemas Din –micos)
Utilizando a aproxima ãao forward para a discretiza ãao do sistema, avaliar
o seu comportamento temporal para diversos per ıodos de amostragem (T s =
0.1; 0.2; 0.4; 0.6 e 0.8 segundos). Comparar os resultados e observar os p álos
de malha fechada. Para a aproxima ãao bilinear , observar a din–mica do sistema
para os mesmos valores do per ıodo de amostragem. Comparar os resultados.



Figura 1: Malha de Controle à Caso Contınuo.

)3s2.3s(
3
)s(G).s(D1
)s(G).s(D
)s(Y
)s(Y
)s(G
2
P
P
r
CL
++
=
+
==


)2(
1
)(
+
=
ss
sG
P
Þ
)2.3s(
)2s(3
)s(D
+
+
=
Discretiza ãao da planta:
1. Aproximaãao forward
s
T
1z
s
-
=
Þ
)1T2.3z(
)1T2z(
)z(D
s
s
f
-+
-+
=

2. Aproximaãao bilinear ÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
=
1z
1z
T
2
s
s
Þ
)2T2.3(z)2T2.3(
)1T(6z)1T(6
)z(D
ss
ss
b
-++
-++
=
Resultados de Simula ãao:
Foram realizadas simula ãoes para o sistema discretizado para dive rsos
perıodos de amostragem possibilitando a compara ãao entre os m etodos de

15. 14
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discretizaãao quanto aos p álos de malha fechada (Fig. 2) e quanto ` resposta
temporal do sistema (Fig. 3).
Discretiza ãao do Controlador:
O modelo discreto do controlador + hold foi obtido empregando -se a
funãao c2dm da linguagem MATLAB. Quanto aos p álos de malha fechada
observa -se que quanto maior o per ıodo de amostragem maior e a diferen ãa
entre aqueles obtidos pela aproxima ãao forward e pela aproxima ãao bilinear .
Para o caso do p erıodo T s = 0.8 seg (Fig. 2 -e) um p álo encontra -se fora do
cırculo unit ürio (z = -1.56) caracterizando a instabilidade do sistema.
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Root Locus
Real Axis
I
m
a
g
in
a
r
y

A
x
is
forward -
bilinear -

16. 15
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(a) Ts = 0.1 seg. (b) Ts = 0.2 seg.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
+ forward
x bilinear

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x bilinear
+ forward

(c) Ts = 0.4 seg. (d) Ts = 0.6 seg.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x bilinear
+ forward

(e) Ts = 0.8 seg.
Figura 2: Representaãao do Lugar das Raızes para diversos perıodos de amostragem.
A resposta temporal completa a an ülise em rela ãao ` diferen ãa entre
os dois tipos de aproxima ãao, observando -se tamb em a caracter ıstica de
instabilidade para a aproxima ãao forward com T s = 0.8 seg (Fig. 3 -e).

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
+ forward
x biline ar
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
+ forward
x bilinear

17. 16
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0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
bilinear
forward

0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
bilinear
forward

(a) Ts = 0.1 seg. (b) Ts = 0.2 seg.
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
bilinear
forward

0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
bilinear
forward

(c) Ts = 0.4 seg. (d) Ts = 0.6 seg.
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
bilinear
forward

(e) Ts = 0.8 seg.
Figura 3: Resposta ao degrau unit ürio para diversos per ıodos de amostragem.

18. 17
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Conclus ao
O estudo comparativo realizado entre a discretiza ãao utilizando
aproxima ãao forward e bilinear permitiu a observa ãao das principais
caracterısticas destes m etodos.
A aproxima ãao forward, embora apresente uma implementa ãao mais
simples, permiti u a degrada ãao na qualidade do modelo discreto na sua
capacidade de representa ãao da din –mica do processo cont ınuo. Observou -se
que, com o aumento do per ıodo de amostragem, pode ocorrer a instabiliza ãao
do sistema.
A aproxima ãao bilinear , de implementa ãao um mais complexa, apresentou
uma adequada representa ãao da din –mica do planta e, mesmo quando do
aumento do per ıodo de amostragem e conseq uente perda de informa ãoes a
respeito do processo, conseguiu manter a estabilidade apresentando uma
pequena redu ãao no desempenho.
Pela compara ãao entre as aproxima ãoes estudadas para a discretiza ãao de
um processo cont ınuo a t ecnica que utiliza aproxima ãao bilinear foi a que se
mostrou mais adequada para aplica ãao no processo avaliado.