2. Persamaan Linier pada mata kuliah Kalkulus

ppt education

1. Persamaan Linier dan Persamaan Kuadrat Wardhani Utami Dewi, M.Mat .

2. Pengertian Persamaan Linear Definisi Persamaan dengan satu variabel yang mempunyai pangkat bulat positif dan pangkat tertinggi variabelnya satu Bentuk Umum ax + b = 0 dengan a, b ∈ R dan a ≠ 0 Komponen x disebut variabel; a, b disebut konstanta Dalam menyelesaikan persamaan linear dapat dilakukan dengan memisahkan variabel dengan variabel dan konstanta dengan konstanta pada ruas yang berbeda.

3. Contoh Penyelesaian Persamaan Linear Contoh 1: 5x - 2 = 3x + 10 Contoh 2: (7x+2)/3 = 4x-1

4. Latihan Soal Persamaan Linear Tentukan himpunan penyelesaian -8 + 5x = 17 3x + 6 = 4x - 1 3(2x+3) = 5(7x-4) Persamaan dengan pecahan 2x - 1/3 = 4x + 5/6 (3x-4)/5 = (5x-2)/3 + (3x+4)/2

5. Persamaan Kuadrat ax² + bx + c = 0 Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan pangkat tertinggi dari variabelnya dua. Syarat a, b, dan c ∈ R dan a ≠ 0 Koefisien x² Nilai a Koefisien x Nilai b Konstanta Nilai c

6. Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat Memfaktorkan Menggunakan sifat faktor nol: p·q = 0 maka p = 0 atau q = 0 Melengkapkan Kuadrat Mengubah persamaan menjadi bentuk kuadrat sempurna Rumus ABC Menggunakan rumus x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)

7. Memfaktorkan Jenis ax² + bx = 0 Untuk persamaan kuadrat dengan bentuk ax² + bx = 0, faktorkan dengan memisahkan x. Contoh 1: x² - 5x = 0 x = 0 atau x = 5 HP = {0, 5} Contoh 2: 4x² + 3x = 0 x = 0 atau x = -3/4 HP = {-3/4, 0}

8. Memfaktorkan Jenis ax² + bx + c = 0 Untuk persamaan kuadrat lengkap, cari nilai p dan q dimana p + q = b dan p·q = ac. 01 x² - 5x - 14 = 0 p + q = -5, p·q = -14. Didapat p = -7, q = 2 02 (x - 7)(x + 2) = 0 x = 7 atau x = -2 03 Himpunan Penyelesaian HP = {-2, 7}

9. Contoh Melengkapkan Kuadrat x² - 6x + 2 = 0 HP = {3 - √7, 3 + √7}

10. Rumus ABC (Rumus Kuadrat) x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a) Rumus ini dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis persamaan kuadrat. Contoh: x² - 4x - 1 = 0 a = 1, b = -4, c = -1 x = (4 ± √20)/2 = 2 ± √5 Langkah Penyelesaian Identifikasi a, b, c kemudian substitusi ke rumus

11. Diskriminan dan Jenis Akar Diskriminan D = b² - 4ac menentukan jenis akar persamaan kuadrat. D > 0 Dua akar riil berbeda. Jika D kuadrat sempurna: akar rasional. Jika bukan: akar irasional. D = 0 Dua akar riil sama (akar kembar) D < 0 Tidak memiliki akar riil

12. Contoh Analisis Diskriminan 2x² + 3x - 14 = 0 D = 3² - 4(2)(-14) = 9 + 112 = 121 Karena D > 0 dan 121 = 11², maka memiliki 2 akar riil berbeda dan rasional. 4x² - 12x + 9 = 0 D = (-12)² - 4(4)(9) = 144 - 144 = 0 Karena D = 0, maka memiliki akar kembar.

13. Jumlah dan Hasil Kali Akar Untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan akar x₁ dan x₂: -b/a Jumlah Akar x₁ + x₂ = -b/a c/a Hasil Kali Akar x₁ · x₂ = c/a Rumus ini berguna untuk mencari hubungan antar akar tanpa menyelesaikan persamaan terlebih dahulu.

14. Bentuk Simetri Akar-Akar Jumlah Kuadrat Jumlah Kubik Contoh: Untuk x² - 3x + 5 = 0, x₁ + x₂ = 3 dan x₁ · x₂ = 5, maka x₁² + x₂² = 9 - 10 = -1