2017 Flotacion estabilidad.ppt

Mecanica de fluidos Tema Flotacion estabilidad

1. MECANICA DE LOS FLUIDOS
Temas:
1. Estabilidad de cuerpos flotantes
2. Fluidos en traslación y rotación

2. Tema 2
Dentro de los objetivos de este subtitulo el estudiante será
capaz de:
Escribir la ecuación para la fuerza boyante.
Analizar el caso de cuerpos que flotan en un fluido.
Definir las condiciones que deben cumplirse para que un
cuerpo este estable cuando se encuentre sumergido o
flotando.
Definir Metacentro y poder calcular su localización

3. Tema 2
Los submarinos y los globos climatológicos son dos
ejemplos de cuerpos que se encuentran completamente
sumergidos en un fluido.
Para este tipo de artefactos es importante mantener una
orientación específica a pesar de la acción de las corrientes,
de los vientos o de las fuerzas de las maniobras.

4. Flotabilidad
La flotabilidad es la característica por la cual un fluido tiende a ejercer una
fuerza de apoyo sobre un cuerpo colocado en el mismo.
Un cuerpo es empujado hacia arriba en un fluido por una fuerza igual al peso
del fluido desplazado. Esa fuerza (Fuerza de empuje, o boyante) actúa a través
del centroide.

g
f: Peso específico del fluido; V
d:Volumen desplazado
Peso del sólido sumergido:
g
: Peso específico del Sólido; V
:Volumen del sólido
Si:
F
B> W (g
f> g) El cuerpo flota sobre la superficie del líquido
F
B= W (g
f= g) El cuerpo flota con flotabilidad neutra
F
B< W (g
f< g) El cuerpo se hunde
F
B= g
fV
d
W = g V

5. Estabilidad
Estabilidad:Serefierealacapacidadquetieneun
cuerpoderegresarasuposiciónoriginalluegode
haberseinclinadorespectoaunejehorizontal.
Seaplicaacuerpossumergidosporcompletoenun
fluido,comolossubmarinosylosglobos.
Condicióndeestabilidad:queelcentrodeflotabilidad
estéporencimadesucentrodegravedad.
Elcentrodeflotabilidadseencuentraenelcentroidedel
volumendefluidodesplazado.

6. Estabilidad de cuerpo completamente
sumergidos
Un objeto completamente sumergido es rotacionalmente estable
solamente cuando su centro de gravedad se encuentre por debajo
del centro de boyamiento.
Cuando este rota en sentido contrario a las
agujas del reloj, la fuerza de boyamientoy el
peso producen un par en la dirección de las
manecillas del reloj.
La condición de estabilidad de cuerpos completamente
sumergidos en un fluido es principalmente que el centro de
gravedad del cuerpo debe estar por debajo del centro de
flotabilidad.
Este centro de flotabilidad de los cuerpos se encuentra en el
centroidedel volumen del fluido desplazado, y es a través de este
punto como actúa la fuerza boyante en dirección vertical.

7. Estabilidad de cuerpo completamente sumergidos
El peso del cuerpo actúa verticalmente hacia abajo a través del centro de
gravedad.
Se muestra a continuación una sección transversal de un vehiculosubmarino
La circular es un cilindro hueco que sirve como cabina para la tripulación y
como almacén para el instrumental delicado y los sistemas de apoyo vital.
La sección rectangular que se encuentra en el
Fondo contiene baterías pesadas y otro tipo de
equipo duradero.
Con esta distribución de peso y volumen,
el centro de gravedad (cg) y el centro de
flotabilidad (cb) están localizados
aproximadamente como se muestra el la Figura a

8. Estabilidad de cuerpos flotantes
La condición para la estabilidad de cuerpos flotantes es diferente de la de los cuerpos
que se encuentran completamente sumergidos; la razón de esto se debe a que su
centro de gravedad (cg) se encuentra por encima de su centro de flotabilidad (cb).
La recta vertical que pasa por estos dos puntos se le conoce como eje vertical del
cuerpo.
Con el fin de establecer la condición de estabilidad de un cuerpo flotante, debemos
definir un nuevo termino,
El metacentro (mc), esté definido como el punto de intersección del eje vertical
de un cuerpo cuando se encuentra en su posición de equilibrio y la recta vertical
que pasa por la nueva posición del centro de flotabilidad cuando el cuerpo es girado
ligeramente.
 “Un cuerpo flotante será estable si su centro de gravedad esta por debajo del
metacentro”.
 Es posible determinar si un cuerpo flotante es estable, mediante la ubicación
del mecacentro.
La distancia del metacentro al centro de flotabilidad se denota con MB, y se calcula a
partir de la ecuación: MB = I/V
d

9. Estabilidad de cuerpo flotante
Un cuerpo que flota en un líquido estático tiene una estabilidad
vertical,un pequeño desplazamiento hacia arriba disminuye el
volumen del líquido desplazado, lo cual da como resultado una
fuerza no balanceada hacia abajo que tiende a retornar el cuerpo a
su posición original.
Similarmente, un pequeño desplazamiento hacia abajo genera una
fuerza de boyamientomayor, la cual causa un desbalance hacia
arriba.
La fuerza resultante ejercida a un cuerpo por un fluido estático que se
encuentra sumergido o flotando se llama fuerza de boyamiento
Un cuerpo tiene una estabilidad lineal cuando un pequeño
desplazamiento lineal, en cualquier dirección, genera fuerzas de
restablecimiento que tienden a retornarlo a su occisión original.
Tiene estabilidad rotacional cuando se genera un par restaurador
por cualquier pequeño desplazamiento angular.

10. Estabilidad de cuerpo flotante
Un cuerpo puede flotar en equilibrio estable, inestable o
neutro.
Cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio inestable,
cualquier pequeño desplazamiento angular genera un par
que tiende a incrementar dicho desplazamiento.
Si el cuerpo se encuentra en estado neutral, cualquier
pequeño desplazamiento angular no genera ningún par.
Se ilustran los tres casos de equilibrio en la .

11. Estabilidad de cuerpo flotante
Normalmente, cuando un cuerpo es demasiado pesado para flotar, se
hunde y baja hasta el fondo, a pesar de que el peso especifico del
liquido aumenta ligeramentecon la profundidad, las altas presiones
tienden a comprimir el cuerpo o hacen que el liquido penetre en los
poros de sustancias sólidas, disminuyendo por esto la fuerza de
boyamiento, por ejemplo un barco es seguro que se hunda hasta el
fondo una vez que se encuentre completamente sumergido, debido a
la compresión del aire atrapado en sus diferentes partes.
 Cualquier objeto flotante con su centro de gravedad por debajo
de su centro de boyamiento(centroidedel volumen desplazado) flota
en equilibrio estable.
Sin embargo, ciertos objetos flotantes se encuentran en equilibrio
cuando su centro de gravedad esta por encima del centro de
boyamiento.

12. Estabilidad de cuerpos
flotantes y sumergidos
La estabilidad de un cuerpo parcial
o totalmente sumergido es vertical
y obedece al equilibrio existente entre el peso del
cuerpo () y la fuerza de flotación (
F):
F
F= W(en el equilibrio)
ambas fuerzas son verticales y actúan a lo largo de la
misma línea.
La fuerza de flotación estará aplicada en el centro de
flotación (CF) y el peso estará aplicado en el centro de
gravedad (CG).
12

13. Procedimiento para evaluación de estabilidad de
cuerpos flotantes
Determinar la posición del cuerpo flotante, utilizando los principios de la
flotabilidad.
Localizar el centro de flotabilidad, cb, y calcular la distancia desde algún eje de
referencia a cb, “Y
cb”.
Por lo general se toma el fondo del objeto como el eje de referencia.
Localizar el centro de gravedad, cg, y calcular “Y
cg”, medida desde el mismo
eje de referencia.
Determinar la forma del área en la superficie del fluido y calcular el menor
momento de inercia,”I”.
Calcular MB = I/V
Si Y
mc> Y
cg, el cuerpo es estable. Si Y
mc< Y
cg, el cuerpo es inestable.
Las condiciones para la estabilidad de cuerpos en un fluido pueden resumirse
en puntos:
Los cuerpos completamente sumergidos son estables si el centro de gravedad esta por
debajo del centro de flotabilidad.
Los cuerpos que se encuentran flotando son estables si el centro de gravedad esta por
debajo del metacentro
13

14. E
A B
C
D
H
F1
F2
FR
A
C
B
E
H
A
C
B
E
D
PRINCIPIODEARQUIMIDES:Todocuerposumergidoenunfluidoexperimentaun
empujeascendenteigualalpesodelliquidoquedesaloja.-
SUPERFICIES CURVAS TOTALMENTE SUMERGIDA
LA FUERZA RESULTANTE
C
E
D
H
F
1=γ*V
ABCHE
F
1=γ*V
ABCDE
F
R= F
2-F
1=
F
R=γ*V
HCDE

15. A
C
B
D
CUERPOS SUMERGIDOS
h
ds
a1 a2
df1 df2
Las Componentes Horizontalesdel
Empuje Hidrostático en a
1y a
2valen:
h1
h2
dp1
dp2
ds
b1
b2
El cuerpo no tiene tendencia a
moverse en sentido horizontal.-
LasComponentesVerticalesdelEmpuje
Hidrostáticoenb
1yb
2valen:
ElEMPUJEquesoportauncuerposumergido,esigualalproductodelpeso
especificodelliquidoporelvolumendelcuerpo;
esteproductorepresentaelpesodelliquidodesplazadoporelcuerpo.-
df
1=γ*h*d
s
df
2=γ*h*d
s
df
1=df
2
dp
1=γ*h
1*d
s
df
2=γ*h
2*d
s
dE=dp
2–dp
1=γ*d
s*(h
2-h
1)
E=ʃdE=γ*ʃ(h
2-h
1)*d
s=γ*ʃZ*d
s
E =γ*V
c

16. EQUILIBRIO DE CUERPOS SUMERGIDOS
E
W
Si W > E
elcuerposehundehastaelfondo.-
Si W < E
el cuerpo flota parcialmente
sumergido.
Si W = E
el cuerpo se mantiene sumergido
en equilibrio.
Ahorabien,como:
Resultaque:
W =γ
c*V
c
E =γ
L*V
D =γ
L*V
cW=E = γ
C*V
c=γ
L*V
c
Si γ
c= γ
L el cuerpo queda neutro
Si γ
c< γ
L el cuerpo Flota
Si γ
c> γ
L el cuerpo se hunde

17. La estabilidad de un cuerpo parcialmente o
totalmente sumergido es de dos tipos:
ESTABILIDAD LINEAL
->Se pone de manifiesto cuando desplazamos el cuerpo
verticalmente hacia arriba.
ESTABILIDAD ROTACIONAL
->Este tipo de estabilidad se pone de manifiesto cuando el
cuerpo sufre un desplazamiento angular.
1.
17
La estabilidad de un cuerpo parcialmente o
totalmente sumergido es de dos tipos:

18. ->Se pone de manifiesto cuando desplazamos el cuerpo
verticalmente hacia arriba.
Este desplazamiento provoca una disminución del volumen de
fluido desplazado cambiando la magnitud de la fuerza de
flotación correspondiente.
Como se rompe el equilibrio existente entre la fuerza de
flotación y el peso del cuerpo ( F
FW ), aparece una fuerza
restauradora de dirección vertical y sentido hacia abajo que hace
que el cuerpo regrese a su posición original, restableciendo así el
equilibrio.
De la misma manera, si desplazamos el cuerpo verticalmente
hacia abajo, aparecerá una fuerza restauradora verticaly hacia
arriba que tenderá a devolver el cuerpo a su posición inicial.
En este caso el centro de gravedad y el de flotación permanecen
en la misma línea vertical.
18
1. ESTABILIDAD LINEAL

19. 2. ESTABILIDAD ROTACIONAL
->Este tipo de estabilidad se pone de manifiesto cuando el
cuerpo sufre un desplazamiento angular.
En este caso, el centro de flotación y el centro de gravedad no
permanecen sobre la misma línea vertical, por lo que la fuerza
de flotación y el peso no son colinealesprovocando la aparición
de un par de fuerzas restauradoras.
El efecto que tiene dicho par de fuerzas sobre la posición del
cuerpo determinará el tipo de equilibrio en el sistema:
19

20. Tipo de equilibrio en el sistema :
Equilibrio estable: cuando el par de fuerzas restauradoras
devuelve el cuerpo a su posición original.
Esto se produce cuando el cuerpo tiene mayor densidad en
la parte inferior del mismo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por
debajo del centro de flotación.
Equilibrio inestable: cuando el par de fuerzas tiende
a aumentar el desplazamiento angular producido.
Esto ocurre cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte superior del cuerpo, de
manera que el centro de gravedad se encuentra por encima del centro de flotación
Equilibrio neutro: cuando no aparece ningún par de
fuerzas restauradoras a pesar de haberse producido un desplazamiento angular.
Podemos encontrar este tipo de equilibrio en cuerpos cuya distribución de masas es
homogénea, de manera que el centro de gravedad coincide con el
centro de flotación.
20

21. EQUILIBRIO DE CUERPOS SUMERGIDOS
AdemásdelW(Peso)yelE(Empuje)elcuerpopuedeestar
sometidoaotrasfuerzasquelaapartendelequilibrio.-
C
E
G
W
M W
G
E
C
M
W
E
G=
C
ESTABLE INESTABLE INDIFERENTE
G
W
E

22. A
C
B
D
CUERPOS PARCIALMENTE SUMERGIDOS O FLOTANTES  
S2112
dzz'h'dp  
12
dpdpdE
Paraelprismaelementaldesecciónds,
elEmpujeHidrostáticoVerticalvale:
dp1
dp2
ds
b1
b2   
S2112
dzzh'dp  S11
dh'dp   
S2112
dzz'dpdpdE   S2S1
dzdz'dE   'V"V'E  
ElEMPUJEquesoportauncuerpoqueflotaentredosfluidos,esigualalasuma
delospesosdelosvolúmenesfluidosquedesaloja.-
h1
z2
z1 ' V”
V’
Siγ’esaire:'VE 
V’=Volumensumergido,odesplazado
VolumendeCarena
Integrando:

23. EQUILIBRIO DE CUERPO PARCIALMENTE SUMERGIDO
G
W
G:Centrodegravedaddelcuerpo
G
W
C
F
M
G
W
C
F
M
M
M
C
F
C:Centrodegravedaddelliquidodesalojado M:Metacentro
SiMG>0equilibrioESTABLE
SiMG<0equilibrioINESTABLE
SiMG=0equilibrioINDIFERENTE
1.-Si“C”seubicapordebajode“G”CG
V
J
MG
CARENA
E


24. EQUILIBRIO DE CUERPO PARCIALMENTE SUMERGIDO
G
W
G
W
M
C
E
Siempre el equilibrio del cuerpo flotante cuando el centro de
carena “C” esta por encima de “G” será ESTABLE
C
E
G
W
C
E
M
M
M
2.-Si “C” se ubica por encima de “G”

25. DETERMINACION DE LA DISTANCIA METACENTRICA0s
V)sumergido.volumen(V 
G
E
β
C
M
r
1.-Cuerpoenposicióninicial:
2.-Alaplicarunadesviaciónangular:
β
dS=dy.L
dy210S
VVV'V  'CC
3.-Determinaciónde“r”:221100S
V.yV.yV.yV.r  
2
V
2
1
V
1
0
V
0S dV.ydV.ydV.yV.r CG
V
I
MG
xx

Ixx:Momentodeinerciadelasup.deflotación.
Vs:Volumendecarena.-
V2
V1
F
L
C’
W
(Nuevovolumensumergido)M
(Metacentro)
(Nuevocentrodepresión)
(TeoremaVarignon)S1
d.tan.ydV  S2
d.tan.ydV  
2
A
1
A
S dS.tan.y.ydS.tany.y0V.r  xx
A
2
S
I.tandS.y.tanV.r   tan.CMr xxs
I.tanV.tan.CM  CGMG
V
I
CM
s
xx

β
y
Eje xx
Vs
V’sC

26. EJERCICIO N°:1QPEE
21

Unapasarelademaderasecomponededosfilasdetamboresde
seccióncircularsobrelasqueapoyauntablerodemaderapor
intermediodeperfilesdeacero,sepidedeterminar:
1°)lamagnituddelacargaPconcentradaparaqueelborde
inferiordeltableroquedeaunadistancia“h”delasuperficiedel
agua.-
2°)ladistancia“x”dedichacargaalapoyo1paraqueeltablero
quedehorizontal.-
E2
I I
P0,15 0,15
X
h=0,32
E1
0,10
f
L=3,55
R1 R2
PesodelTablero:40kg/m2
PesodelTambor1:30kg/m
PesodelTambor2:40kg/m
R1:0,60m;R2:0,90m
Lacondicióndeequilibrioes:
DATOS

27. SOLUCIONm
kg
995
m
kg
1000.m995,0E
3
2
1

E2
I I
P0,15 0,15
X
h=0,32
E1
0,10
f
L=3,55
R1 R2
1°.DeterminacióndelEMPUJE:
FA
AcC
VE   fR2ff
3
4
A   
2
1
m135,022,060,0222,022,0
3
4
A   
2
2
m173,022,090,0222,022,0
3
4
A  22
1
2
11C
m995,0135,060,0.AR.A   22
2
2
22C
m370,2173,090,0.AR.A   m
kg
2370
m
kg
1000.m37,2E
3
2
2


28. SOLUCION
2°.DeterminacióndelasCARGAS:
E1=995kg/m
E2=2370kg/m
q1= 30kg/m
T/2= 77kg/m
T/2= 77kg/m
q2= 40kg/m
TABLERO:sereparteenpartesigualesenambosapoyos
R1
R2
Lafuerza“P”tendráqueserigualalasumadelasreacciones
T=(40 kg/m2 *(3.55+0.30)) =145kg/m
R1 = E1 –(T/2)-q1 =995 -77 -30 =888kg/m
R2 = E2 –(T/2)-q2 =2370 -77 -40 =2253kg/m
P= R1 + R2888+2253 =3141 kg/m

29. SOLUCION
R2
I I
P0,15 0,15
X
h=0,32
R1
0,10
f
L=3,55
R1 R2
3°.Determinaciónde“x”:
Para determinar este valor
debemos tomar momento de la
fuerza “P” y las reacciones,
con respecto, por ejemplo a
O1.-

30. EJERCICIO N°:2
Un cajón de forma paralelepípedo rectangular de dimensiones: 6,00m de
ancho; 18,00m de largo y 3,00m de altura, pesa 160.000 kg; flota en agua
salada (γ:1025kg/m3), el centro de gravedad cuando esta cargado esta a
1,35m por debajo de la parte superior del cajón.-Se pide determinar: 1°)
el centro de empuje cunado flota horizontalmente en agua tranquila. 2°) la
longitud metacéntrica cuando ha girado alrededor del eje horizontal en
10°; y 3°) verificar la condición de equilibrio y calcular su ancho
mínimo.-
B:6,00m
DATOS
L:18,00m
H:3,00m
γ:1025kg/m3
P:160.000kg
1,35
hs
B
L
C
G

31. SOLUCION
1°)CentrodeEmpuje“C”,enaguastranquilas:
1,35
hs
B
L
C
G
E
Pm445,1
m6m18
m
kg
1025
kg000.160
h
3
S 


Alserunrectánguloel
centrodeempujeseubica
a:m7226,0
2
m445,1
2
h
C
S

E=γVcE=γ*B*L*hshs=P/ γ*B*L

32. 2°)LongitudMetacéntricaMG,paraungirodeφ=10°:
C
G
C’
M
x
x
P
E
φCG
V
I
MG
CARENA
xx
  
4
33
XX
m00,324
12
00,1800,6
12
LB
I 

 3
SC
m60,156hLBV  m925,0:35,1275,2
2
45,1
3CG   m93,0
m22,154
m00,324
MG
3
4 m17,1MG
Como:CG
V
I
CARENA
xx

Equilibrio
ESTABLE
SOLUCION m93,0m10,2MG

33. SOLUCION
3°)Determinacióndelanchomínimo:
C
G
C’
M
P
E
φ
Condición:CG
V
I
CARENA
xx

Equilibrio
ESTABLE
m93,0
h12
B
hLB12
LB
S
2
S
3




 m00,4B
min


34. EJERCICIO N°:3
Una válvula de flotante debe cerrarse cuando los 2/3 del volumen del
flotador esférico este sumergido en el agua.
La válvula tiene un diámetro de Ø=1/2 pulgada , el brazo de operacion gira
en el punto “O” que se encuentra a 10cm de la valvula y a 45cm del centro
del flotador.-
Calcular el mínimo diámetro del flotador si la válvula al cerrarse debe
vencer una presión de 1,4 kg/cm2.-
10cm
O
45cm

35. SOLUCION
10cm
O
45cmFa
Ff
3°)Diámetromínimodelflotador:γ=1000kg/m
3
2°) Fuerza en el flotador:
ƩMo=0 Ff*45cm = Fa *10cm Ff=Fa(10cm/45cm) =0.394kg

36. TRASLACION Y ROTACION DE
MASAS LIQUIDAS
-Estudio Fluidos sometidos a movimientos de
traslación o rotación con aceleración constante
-Fluidos están en equilibrio relativo
-Las partículas de los fluidos no se mueven
-Fluidos están libres de tensiones cortantes

37. Masas fluidas sometidas a
aceleración constante
 Cuando a una masa fluida se le aplica una aceleración
constante a, esta es adquirida por todas las partículas de
dicha masa y por lo tanto no existe movimientos relativos
entre estas.
Una vez aplicada y mantenida-permanentemente la
aceleración, la masa adquiere un equilibrio relativo, por
lo que puede ser analizada corno un fluido en reposo

38. Masas fluidas sometidas a aceleración
constante
En estática de fluidos la variación de la presión es simple de calcular,
gracias a la ausencia de esfuerzos cortantes.
En el movimiento de fluidos dado que ninguna capa se mueve con
relación a capas adyacentes, el esfuerzo cortante también es cero en todo
el fluido.
Un fluido en traslación con velocidad uniforme sigue aun las leyes de
la variación estática de la presión.
 Cuando el líquido se acelera de tal forma que ninguna capa se
mueve relativamente hacia una capa adyacente, es decir, cuando el
fluido se mueve como si fuera un solidó, no ocurren esfuerzos cortantes
y se puede determinar la variación de la presión planteando la ecuación
de movimiento para un cuerpo libre apropiado.
 Existen dos casos de interés, una aceleración lineal uniforme y
una rotación uniforme alrededor de un eje vertical.
Cuando se mueve de esta manera, se dice que el fluido se encuentra en
equilibrio relativo.


39. Masas fluidas sometidas a aceleración
constante


40. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS
LÍQUIDAS
Consideremos un recipiente abierto conteniendo un líquido tal
como se muestra en la Fig., sometido a una aceleración uniforme
horizontal.
En la figura se observa que después de ser sometido a dicha
aceleración el líquido por si mismo se dispone de tal forma que
se mueve como un sólido sometido a una fuerza aceleradora.


41. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS
LÍQUIDAS
Paradeterminarlavariacióndepresiónendirecciónverticalse
consideraelDCLdeunaporcióndefluidoenformaverticalyse
aplicalasegundaleydeNewton.21
21
21
21
(0)
()
yy
F ma
dF dF dW m
p dA p dA gdV
p p dA ghdA
p p gh




  




42. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS
Para determinar la variación de presión en la dirección
horizontal, se considera el DCL en la posición horizontal tal
como se muestra en la figura, y se aplica la segunda ley de
Newton, esto es
Simplificando se tiene  
12
0 1 0 1
()
yy
x
x
F ma
dF dF dm a
p gh dA p gh dA LdAa  


    12
12
()
()
x
x
x
g h h La
ahh
Lg
a
tg
g







43. TRASLACIÓN VERTICALDE MASAS LÍQUIDAS
Consideremos el movimiento de un depósito conteniendo un
fluido, en dirección vertical con una aceleración ay . La figura,
muestra en este caso la superficie libre permanece horizontal
durante el movimiento.
Es decir la presión en planos horizontales permanece constante,
pero en dirección vertical no, 21
21
21
21
()
()
()
()
yy
y
y
y
y
F ma
dF dF dm a
p p dA gdV dVa
p p dA ghdA hdAa
p p h g a





  
  
  
Esta ecuación indica que la presión varía con la
profundidad y con la aceleración del depósito

44. TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS
Siahoraeldepósitosemuevehaciaabajo,setiene
En el caso de que el tanque se suelta desde el reposo, es
decir tiene un movimiento de caída libre21
12
12
21
()
()
()
()
yy
y
y
y
y
F ma
dF dF dW dm a
p p dA gdV dVa
p p dA ghdA hdAa
p p h g a




   
  
  
   21
21
()p p h g g
pp
  


45. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
DelDCLdefluido,seobservaquelasvariacionesdelapresiónen
ladirecciónverticalesanálogaalcasohidrostático,estoes21
0
( ) ( )( )
zz
z
z
F ma
dF dF dW
p
pdA p dz dA g dz dA
z
p
g
z



  

  





46. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
Analizando el movimiento en dirección normal se tiene
En la dirección azimutal''
21
2
2
()
( ) ( )( )
nn
n
r
rr
r
F ma
dF dF dm a
p
p dr dA p dA dr dA r
r
p
r
z





  



 0
p






47. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
La variación total de la presión será
Integrando indefinidamente
La constante C esta dada por2
rz
ppp
dp dr dz d
rz
dp rdr gdz



 

  
  
 2
22
2
dp rdr gdz
r
p gz C
 



  
   00
00
p gz C
C p gz


  

Remplazando C se obtiene22
00
()
2
r
p p g z z

   

48. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
La forma que adopta la superficie libre del fluido se obtiene
haciendo debido a que en la superficie libre la presión es ,
entonces tenemos2
0 0 0
22
0
()
2
2
r
p p g z z
r
ZZ
g



   

Estaecuaciónindicaquelasuperficie
libreesunparaboloidederevolución
Cuando existe una superficie libre en el recipiente
que está girando el volumen que ocupa el fluido
que está debajo de la superficie libre del
paraboloide de revolución tiene que ser igual al
volumen de fluido que tenía cuando estaba en
reposo.

49. En el caso de un cilindro circular que gira alrededor de su eje, la
elevación del líquido desde el vértice hasta la pared del cilindro
es según la ecuación22
0
0
2
r
h
g


Por otro lado, debido a que el volumen del
paraboloide de revolución es igual a la mitad del
volumen del cilindro circunscrito, el volumen del
líquido por encima del plano horizontal es,2 2 4 2
2 00
0
1
( )( )
2 2 4
rr
Vr
gg
  


50. Movimiento Horizontal


51. Equilibrio en porción de fluido


52. Movimiento vertical


53. 

54. 

55. Ejemplo
Un recipiente con agua se mueve con
igual aceleración horizontal y vertical de
4,90 m/s².
Hallar la ecuacionde presiones y la
presión en los puntos A, B y C del
recipiente
SOLUCION

56. Para un punto en la superficie libre
del fluido:

57. Presión A (0 , 1,20 m). El fluido no alcanza este
punto P
A=0
Presión en el punto B (0, 0)
P
B=1650 kg/m
2
Presión en el punto C (1,2 m, 0)
P
C=1650kg/m
2
–[500 kg/m
3
*1.2m]
P
C=1050kg/m
2

58. MovRotación ( Recipientes Abiertos)


59. MovRotación ( Recipientes Cerrados)


60. Volumen paraboloide de revolución es la mitad
del volumen del cilindro circunscrito a dicho
paraboloide.
a) Eje de giro está fuera del recipiente:
Parte del paraboloide se forma dentro del
recipiente.
b) El recipiente se tapa sin añadir presión:
El paraboloide se considera sobre la tapa del
recipiente tangente a ella
c) El recipiente se tapa añadiendo presión
adicional:
Esta se considera como una altura sobre la
tapa del recipiente; sobre dicho nivel se forma el
paraboloide.

62. En la superficie libre del fluido P=Po
obtiene la ecuacion de la forma de la
superficie y de la forma de las
superficies de igual presión

63. EJEMPLO.
Un depósito de forma cilíndrica de 4 m de
altura y 2 m de diámetro contiene aceite hasta
3,2 m de altura.
A cuantas rpm debe girar el recipiente
alrededor de su eje para que el aceite alcance
el borde superior?
Volumen paraboloide = Volumen cilindro /2

65. EJEMPLO.
EJEMPLO:
Un cilindro de 1,8 m de diámetro y 2,70 m de altura
se llena completamente con glicerina de densidad
1,60 y al taparlo se añade al depósito una presión de
2,50 kg/cm². El material de que está hecho el
cilindro tiene 13 mm de espesor con un esfuerzo
admisible de trabajo de 850 kg/cm².
Determinar a qué velocidad máxima se puede hacer
girar el recipiente sobres su eje sin que se rompa
Solución
•De la figura se puede deducir que la presión será máxima en el borde
inferior externo del cilindro
•El esfuerzo tangencial en un cilindro de radio r, con presión interna P es:
σ=Pr/t t es el espesor del material de que está hecho el cilindro

67. En el caso de las bombas y turbinas la rotación de
una masa en un fluido, o en caso que gire el
recipiente que lo contiene, se genera un
incremento en la presión entre un punto situado en
el eje y uno a una distancia X del eje en el mismo
plano horizontal; y esta dada por :
Y el aumento de la altura de presión será
Que es una ecuación parecida a la aplicable a
recipientes abiertos en rotación. La velocidad
lineal Vy el termino da la altura de velocidad.

68. Bibliografía
1. Çengel, Y.A., y Cimbala, J.M.,
Mecánica de Fluidos, fundamentos y aplicaciones, 1ª ed., McGraw-Hill Interamericana,
2006.
2. Fox, R.W., & McDonald, A.T.,
Introductionto Fluid Mechanics, 4th ed., John Wiley& Sons, 1995.
3. Gerhart, P.M., Gross, R.J. y Hochstein, J.I.,
Fundamentos de Mecánica de Fluidos, 2ª ed., Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.
4. Shames, I.H.,
Mechanicsof Fluids, 2nd ed., McGraw-Hill, 1982.
5. Daugherty, R.L., & Franzini, J.B.,
Fluid MechanicswithEngineeringApplications, 6th ed., McGraw-Hill, 1977.
6. Franzini, J.B., y Finnemore, E.J.,
Mecánica de Fluidos con aplicaciones en Ingeniería, 9ª edición, McGraw-Hill, 1999.
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