3. Pertemuan ke-3 (PDB eksak+non eksak).ppt

ppt

1. JUHARI, M.Si

2. Suatu PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikatakan
PD Eksak jika ada suatu fungsi F(x,y) sehingga :
dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy …….(1)
Rumus differensial :

Maka dari (1) dan (2) diperoleh :



2).........(....................
y
F

x
F
dydxdF






(3)..............................y)........M(x,
x
F



.(4)..............................y)........N(x,
y
F




3. Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD
eksak
adalah :
Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui
persamaan (3) atau persamaan (4).
Dari persamaan (3)
Untuk mencari c(y) turunkan F(x,y) terhadap y
x
N






y
M
c(y)y)A(x, dx y)M(x, y)F(x, y)M(x,
x
F




y)N(x, (y)c'
y
F






y
A







 cdy)
y
A
- y)N(x, (c(y)
y
A
- y)N(x, (y)c'

4. Dari persamaan (4)
Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x
c(x)y)B(x, dy y)N(x, y)F(x, y)N(x,
F




y
y)M(x, (x)c'
F






x
B
x







 cdx
B
)
x
- y)M(x, (c(x)
x
B
- y)M(x, (x)c'

5. Contoh 1 :
1. (x
2
– y) dx – x dy = 0

 

Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x

Jadi,
1
y
M
),(
2



 yxyxM
1
x
N
.............),( 


xyxN
c(x)-xyxdy- dy y)N(x, y)F(x, y)N(x,
y
F
 



yy
x



2
x y)M(x, (x)c'
F

 cxdx
322
3
1
xc(x) x(x)c'
cx
3
1
xy- y)F(x,
3
 Lakukan pengecekan

6. Contoh 2 :

8. 3. (x
2
+ y
2
) dx + 2xy dy = 0
4. (2x + e
y
) dx + x e
y
dy = 0
5. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0
6. (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0
7. ( 3y – 2x + 4) dx – ( 4x – 3y – 2 ) dy = 0

9. REDUKSI KE PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK
Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD tidak
eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi I(x,y)
sedemikian sehingga PD :
I(x,y) { M(x,y) dx + N(x,y) dy } = 0
merupakan PD eksak, maka fungsi I(x,y)
dinamakan factor integrasi dari PD tersebut.
Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain :
1. Jika suatu fungsi dari x saja,

maka adalah faktor integrasi dari
PD tsb.
)(xf
N
x
N
y
M







dxxf
e
)(

10. 2. Jika suatu fungsi dari y saja
maka adalah faktor integrasi dari PD tsb.
3. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 merupakan
PD Homogen dan xM + yN
≠ 0 ,
maka , adalah faktor integrasi dari PD tsb.
4. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis
dlm bentuk : y f(x,y) dx + x g(x,y) = 0 , dimana
f(x,y)
≠ g(x,y) , maka adalah faktor integrasi
dari PD tersebut.
)(yg
M
x
N
y
M







 dyyg
e
)(
yNxM
1
yNxM
1

13. Contoh:
1. (2y –x
3
) dx + x dy = 0
2. 3x
2
y
2
dx + (4x
3
y – 12 ) dy = 0
3. (x
2
+ y
2
+ x) dx + xy dy = 0
4. (x
2
+ 3y
2
) dy – 2xy dx = 0
5. (xy + y
2
) dx – x
2
dy = 0
6. (x
2
y
3
+ 2y) dx + (2x - 2x
3
y
2
) dy = 0

14. Latihan :
1. (x
2
– y) dx – xdy = 0
2. (x + ycos x)dx + sin x dy = 0
3. (1 + e
2
)dr + 2re
2
d = 0
4. (4x
3
y
3
+ x
-1
)dx + (3x
4
y
2
– y
-1
)dy = 0
5. {x (x
2
+ y
2
) – y}dx + {y (x
2
+ y
2
)- x}dy = 0
