410607172 m11-s1-sucesiones-geometricas

matematica

1. 1Módulo 11
Representaciones simbólicas y algoritmos
Sucesiones geométricas
Sucesiones
geométricas
Puedes observar que cada número se multiplica por 2:
Se trata de una sucesión o progresión que es una lista de números en un
orden específico, es importante que distingas entre la sucesión aritmética
y la geométrica, veamos un ejemplo del uso de estas:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…
2×2=4; 4×2=8; 8×2=16;16×2=32
Observa los siguientes números y analiza cuál es el
patrón que guardan.
Aumento de $2,000 cada año. A continuación, se muestra el salario que recibirías:
Aumento del 5% cada año. El salario que recibirías será:
Supón que te ofrecen un trabajo con un salario inicial de $10,000 y te dan dos opciones para
su aumento salarial anual:
Opción 1
Opción 2
Año 1 2 3 4 …
Salario$ 10,000$ 12,000$ 14,000$ 16,000 …
Año 1 2 3 4 …
Salario$ 10,000$ 10,500$ 11,025$ 11,576.25…
Como ves, cada año el salario es $2000 mayor que el año anterior, se trata de una
sucesión aritmética al sumar dicha cantidad en el mismo tiempo.
Con esta opción, el salario es 5% mayor que el salario del año anterior, esto implica
que multipliquemos la cantidad de cada año por 5%, es decir, haremos una
sucesión geométrica.
Las sucesiones geométricas podemos observarlas en cálculos bancarios, por ejemplo, cuando invertimos
nuestro dinero y nos ofrece un interés, reinvertimos éste junto con las ganancias y hacemos lo mismo cada
año, veremos cómo nuestro dinero aumenta de manera geométrica.
Los tres puntos
indican que la
lista continua de
la misma manera
indefinidamente.

2. 2Módulo 11
Representaciones simbólicas y algoritmos
Sucesiones geométricas
Determinar la razón común en una sucesión geométrica
Recapitulemos, una sucesión o progresión geométrica es una sucesión donde cada término después de
primero es el mismo múltiplo del término que le precede. Retomemos el problema previo:
Determinar el n-ésimo término de una sucesión geométrica
En general, una sucesión geométrica con primer término a
1
y razón común (r) tiene los siguientes términos:
Así, podemos ver que el n-ésimo término de una sucesión geométrica está dado por la fórmula siguiente.
$ 10,000, $ 10,500, $ 11,025, $ 11,576.25, …
En un trabajo ofrecen un salario inicial de $10,000, con la opción de aumento salarial de
5% cada año. Esto daría como resultado la siguiente sucesión:
Entre los términos consecutivos, encontramos un patrón común en cada uno, a esto le denominamos razón
común (r), la cual podemos encontrar dividiendo cualquier término, excepto el primero, entre el término que
le precede.
En la sucesión geométrica anterior, la razón común es
Veamos otro ejemplo, considera la sucesión geométrica:
La razón común es 3, ya que 3 ÷ 1 = 3 ó 9 ÷ 3 = 3, y así sucesivamente.
10,500
1.05 ó 105%
10,000
=
1, 3, 9, 27, 81, 243, …
a
1
,a
1
r

,a
1
r
2
,a
1
r
3
,a
1
r
4
,…a
1
r
n-1
,…
Primer
término
Segundo
término
Tercer
término
Cuarto
término
Quinto
término
n-ésimo
término
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
n
a
n
=a
1
r
n-1
Recuerda, n es el número de la
posición del término en la sucesión.
Considera la siguiente sucesión:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …
El primer término es 2. Indicamos esto escribiendo a
1
=2.
Como el segundo término es 4, a
2
=4, y así sucesivamente,
hasta que llegamos a los tres puntos, los cuales indican que
la sucesión continua de manera indefinida y es una sucesión
infinita.

3. 3M?dulo 11
Representaciones simb?licas y algoritmos
Sucesiones geométricas
Veamos algunos ejemplos de determinación de término n-ésimo y la razón común en la sucesión geométrica:
Sucesión geométrica Razón común
a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, ..., a
1
r
n-1
4, 8, 16, 32, 64, …, 4(2
n-1
), … 2
3, 12, 48, 192, 768, …, 3(4
n-1
), … 4
7777 n-11
24816 2
7 ...7 ,...

1
2
5555 n-11
392781 2
5 ...5 ,...
1
2
Ejemplo, determine los primeros cinco términos de la sucesión geométrica si
a
1
= 6 y r =
1
2
a
1
= 6
=3
1
2
a
2
= 6

=
1
2
3
2
a
3
= 3
=
1
2
3
4
3
2
a
4
=

=
1
2
3
8
3
4
a
5
=
Así, los primeros cinco términos de la sucesión geométrica son

6, 3,
333
248
Determinación de los términos de la sucesión geométrica
Para determinar los términos de una sucesión geométrica iniciando con el término a
1

deberemos multiplicar
éste por la razón, y su resultado nuevamente por la razón y así sucesivamente.

4. 4M?dulo 11
Representaciones simb?licas y algoritmos
Sucesiones geom?tricas
a
9
= a
1
r
n-1
a
9
= 10000(1.05)
9-1
a
9
= 10000(1.05)
8
a
9
= 10000(1.477)
8
a
9
= 14770
Determinación de un término en una sucesión geométrica
Si queremos determinar un término en la sucesión geométrica, teniendo el primer término y la razón común
debemos usar la fórmula:
a
1
r
n-1
Ejemplo:
Si quisiéramos saber cuánto vamos a ganar después
de 9 años trabajando con la razón común de 1.05 y el
primer término es 10000.
Ejemplo:
Resolvamos un problema con todo lo visto:
Escriba una expresión para el término general o n-ésimo, a
n
de la sucesión geométrica
con a
1
=3 y r =-2 y determine el décimo segundo término de esta sucesión
Solución
El término n-ésimo de la sucesión es a
n
= a
1

n-1
, al sustituir a
1
=3 y r =-2 tenemos:
Ahora busquemos el término 12:
a
n
= a
1
r
n-1
= 3(-2)
n-1
a
n
= 3(-2)
n-1
a
12
= a
1
(r)
n-1
a
12
= 3(-2)
12-1
a
12
= 3(-2)
11
a
12
= 3(-2048)
a
12
= -6144
El décimo segundo término de la sucesión
es -6144. Los primeros doce términos de la
sucesión son 3, -6, 12, -24, 48, -96, 192, -384,
768, -1536, 3072, -6144.

5. 5Módulo 11
Representaciones simbólicas y algoritmos
Sucesiones geométricas
Aplicaciones de series geométricas
Veamos aplicadas las sucesiones geométricas en un tema cotidiano:
Pedro invierte en una cuenta de ahorros $1000 al 5% de interés compuesto cada año. Determine la
cantidad en su cuenta y el monto de interés generado al final de 10 años.
Solución
Suponga que P representa el capital invertido. Al inicio del segundo año, el monto crece a P + 0.05P o
1.05P. Este monto será el capital invertido durante el segundo año. Al inicio del tercer año, el capital del
segundo año crecerá 5% a (1.05P)(1.05) o (1.05)
2
P. El monto en la cuenta de Pedro al inicio de los años
sucesivos es
Conclusión
Así como se pueden resolver diferentes tipos de problemas en el área de la matemática, las sucesiones se
pueden encontrar en diversas situaciones de la vida, como: el aumento de velocidades por segundo en la
prueba de un carro de carreras, la medición de infraestructuras, para calcular el incremento en el que se ha
dado la tasa de mortalidad y natalidad de una ciudad, para ver el comportamiento de variables económicas,
entre otras.
Esta es una serie geométrica con r =1.05. El monto en su cuenta al final en 10 años será la misma cantidad
en su cuenta que al inicio del año 11. Por lo tanto:
Traduciendo, tenemos una sucesión geométrica con a
1
= 1000, r=1.05 y n=11. Al sustituir estos valores
en la fórmula, obtenemos lo siguiente:
Al cabo de 10 años, el monto en la
cuenta es alrededor de $1628.89.
El monto del interés ganado es:
Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
P 1.05P (1.05)
2
P (1.05)
3
P
a
n
=a
1
r
n-1
Donde r=1.05
n=1.05
n=11
a
n
= a
1
r
n-1
a
11
= 1000(1.05)
11-1
a
11
= 1000(1.05)
10
a
11
= 1000(1.62889)
a
11
= 1628.89
$1628.89 - $1000 = $628.89