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1. CARRERA DE INGENIERIA DE MINAS Integrantes: Cabanillas Salazar Diana Paico Fernández César Hugo Cruzado Villanueva Deisy Mariela Curso: Mecánica de Fluidos Tema: Teorema de Vaschy Buckingham o teorema de PI Docente: Ing.Oscar Arturo Vásquez Mendoza FACULTAD DE INGENIERIA

2. No todos los problemas de ingeniería pueden resolverse mediante ecuaciones basadas en leyes o balances (de materia, energía, cantidad de movimiento...), debido a que por un lado pueden resultar muy complejos y por otro lado los problemas involucran un gran número de variables. Nos referimos al análisis dimensional como aquellos procedimientos que basados en el análisis de las variables y parámetros que gobiernan un fenómeno, y más específicamente en las magnitudes físicas que dichas variables involucran, permiten encontrar relaciones entre las variables que forman parámetros adimensionales. INTRODUCCION

3. 2.OBJETIVOS 2.1. Objetivo general -Resolver ecuaciones de manera dimensional aplicando el teorema de π 2.2. Objetivo especifico -Similitud y semejanza dinámica Estudio de modelos

4. Teorema de π El Teorema de Π (pi) de Vaschy -Buckingham es el teorema fundamental del análisis dimensional. El teorema establece que dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas “n “ magnitudes físicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de “k” cantidades físicas dimensionalmente independientes, entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de “n – k” números adimensionales construidos con las variables originales. Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida. De todas formas la elección de parámetros adimensionales no es única y el teorema no elige cuáles tienen significado físico.

5. Si tenemos una ecuación física que refleja la relación existente entre las variables que intervienen en un cierto problema debe existir una función  f  tal que: En donde    son la “n” variable o magnitudes físicas relevantes, y se expresan en términos de “ k”   unidades físicas independientes. Entonces la anterior ecuación se puede reescribir como: ɸ ( , ,…, ) = 0 En donde   son los parámetros adimensionales construidos de  n  −  k   ecuaciones de la forma: = … En donde los exponentes  m i   son  números enteros . El número de términos adimensionales construidos n - k es igual a la nulidad de la  matriz dimensional en donde k es el  rango de la matriz .  

6. Similitud y Semejanza Dinámica. Estudio de modelos La similitud es el estudio de la predicción de las condiciones de un prototipo a partir de observaciones realizadas con modelos. La similitud es el fundamento de la modelación física. Se emplea cuando. - No es posible o no resulta práctico tratar de obtener una solución analítica o numérica. - No es practicable realizarlas con un prototipo a escala natural, sea porque es demasiado grande o demasiado pequeño .

7. Similitud Geométrica. Representa la proporcionalidad de las dimensiones del modelo con las del prototipo. Similitud Dinámica Representa la proporcionalidad de las fuerzas que actúan sobre masas correspondientes en el flujo modelo y el flujo prototipo en todos los puntos del campo de flujo La existencia de similitud dinámica implica la existencia de similitud geométrica y similitud cinemática.

8. Todas las longitudes se deben reducir (o amplificar) en la misma proporción. Si el subíndice p se refiere al prototipo y el m al modelo, las longitudes x, y, z deben, entre modelo y prototipo estar relacionadas de la siguiente manera:

9. Similitud Cinemática.

10. Se define entre dos sistemas que sólo se diferencian en un factor de escala de sus medidas, como la condición que lleva a determinar el comportamiento mecánico de un de los sistemas bajo ciertas condiciones, conociendo los valores de las propiedades del otro S IMILARIDAD DINÁMICA En un sistema se conoce como prototipo y el otro es el real el cual va entrar en operación. Es claro que el diseño de un nuevo vehículo terrestre, marino o aéreo o un edificio, pasa primero por la construcción del prototipo con el que se va a predecir el comportamiento del real en ciertas condiciones, que normalmente son simuladas en un túnel de viento o en una cámara de agua.

11. Caso práctico TEOREMA DE BUCKINGHAM – VASCHY Sea el conjunto de n variables fundamentales EJEMPLO: Se está entregando agua a 10ºC hacia un tanque sobre el techo de un edificio, como se muestra en la figura. ¿Qué presión indica un manómetro en el punto A para que se entreguen 200 L / min de agua?. Sugerencia: use la información adicional adjunta.

12. Tabla i : Dimensiones de tubos de  acero . Calibre 40 Tabla ii : Rugosidad de conducto . Valores  de diseño.

13. Tabla iii : Resistencia en  válvulas  y junturas expresada como longitud equivalente en diámetros de conducto

14. Tabla iv : Propiedades del agua. Unidades SI .

15. SOLUCION

16. 2. Método Matemático

17. 2. Método Experimental: Cálculo de la pérdida primaria

18. Ecuación dimensional que caracteriza el problema. Contiene 13 variables. Se pueden volver a agrupar en dos categorías: Variables superfluas: Variables fundamentales, que caracterizan el problema fluido dinámico:

19. Teorema de Pi o Buckingham

20. Ejemplo:

21. CONCLUSIONES -Los procedimientos analíticos basados en las ecuaciones generales por el teorema de PI en la Mecánica de los fluidos, no permiten resolver, adecuadamente, todos los problemas que se presentan en esta área del conocimiento. Por ello se deben utilizar procedimientos experimentales, que combinados con las ecuaciones analíticas den una respuesta real a la situación estudiada. -Existiendo una similitud dinámica debe producirse una relación fija entre fuerzas, esfuerzos, velocidades, aceleración, etc. Con ayuda de uno o varios parámetros adimensionales.