503811287-Pertemuan-4-MATRIK-Eselon-Baris-Tereduksi-3.ppt

matriks

2. SOLUSI SPL MENGGUNAKAN
MATRIKS
SPL berbentuk :
dapat dibawa ke persamaan :
atauA x = b
Sistem diatas disebut dengan
sistem non homogen
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa







2211
22222121
11212111





































mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa





2
1
2
1
21
22221
11211

3. Definisi #1
Suatu matriks mxn dikatakan berbentuk
eselon baris tereduksi, jika memenuhi sifat
berikut :
1.Jika ada baris yang terdiri dari nol
semuanya, maka baris tersebut terletak
paling bawah dari matriks.
2.Elemen pertama yang tidak nol dari tiap
baris adalah elemen 1, dan ini disebut
dengan leading element dari baris tersebut.

4. Definisi #2
3. Jika baris ke-i dan ke-i+1 adalah dua
baris yang berurutan yang tidak terdiri
dari nol semuanya, maka leading
element dari baris i+1 terletak
disebelah kanan dari leading elemen
dari baris i.
4. Jika satu kolom memuat leading
elemen dari sebarang baris, maka
semua elemen selain leading elemen
adalah nol.

5. Contoh matriks eselon baris tereduksi











2100
5010
4001
A











01000
10100
20021
B

















00000
00000
10000
00100
03001
C
1.Jika ada baris yang terdiri dari nol
semuanya, maka baris tersebut
terletak paling bawah dari matriks.
2.Elemen pertama yang tidak nol dari
tiap baris adalah elemen 1, dan ini
disebut dengan leading element dari
baris tersebut.
3.Jika baris ke-i dan ke-i+1 adalah dua
baris yang berurutan yang tidak
terdiri dari nol semuanya, maka
leading element dari baris i+1
terletak disebelah kanan dari
leading elemen dari baris i.
4. Jika satu kolom memuat leading
elemen dari sebarang baris, maka
semua elemen selain leading
elemen adalah nol.

6. 











3100
0000
4021
D











2100
5220
4301
E














0000
2210
5210
4301
F














0000
2100
5210
4321
G
Contoh matriks yang bukan eselon baris
tereduksi

7. Bagaimana membentuk
sebarang matriks menjadi
matriks eselon baris
tereduksi ?
1.Menukar sebarang dua baris dari suatu matriks
2.Mengalikan satu baris dengan konstanta tak nol
3.Mengalikan satu baris dengan konstanta tak nol
kemudian menjumlahkannya ke baris yang lain.
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

8. Contoh penggunaan OBE:
Diberikan matriks :
1. Menukar baris 1 dengan baris 3 dari A :
2. Mengalikan baris 3 dari A dengan :












9633
2032
2100
A













2100
2032
9633
1A
3
1












3211
2032
2100
2
A

9. Contoh penggunaan OBE : (lanjt.)
3.Mengalikan baris 2 dari A dengan –2 dan
menjumlahkannya ke baris 3 :












5631
2032
2100
3
A












9633
2032
2100
A

10. Contoh membentuk sebarang matriks
menjadi bentuk eselon baris tereduksi :
Diberikan matriks :
Langkah 1 :
Carilah pada kolom pertama dalam A
yang tidak mengandung nol semuanya.
Kolom ini disebut dengan kolom pivot.
















79602
42522
43200
14320
A
















79602
42522
43200
14320
A
kolom pivot
Bisa saja bukan kolom yg ke 1, tapi mungkin ke
2, 3 atau seterusnya

11. Contoh membentuk sebarang matriks
menjadi bentuk eselon baris tereduksi :
Langkah 2 :
Perhatikan elemen tak nol pertama dalam kolom pivot.
Elemen ini disebut dengan elemen pivot.
















79602
42522
43200
14320
A
pivot

12. Langkah 3
Tukarkan baris 1 dengan baris yang
ada elemen pivotnya sedemikian hingga
elemen pivot terletak pada baris 1
Langkah 4
Kalikan baris 1 dari A
1 dengan kebalikan
dari elemen pivot (1/2). Tujuannya adalah
menghasilkan elemen pivot bernilai 1.
Mengalikan baris 1 dari A
1 dgn
















79602
14320
43200
42522
1
A


















79602
14320
43200
2111
2
5
2
A
2
1
Menukar baris 1 dan 3 dari A
















79602
42522
43200
14320
A

13. Langkah 5
Gunakan OBE no.3 untuk mengubah semua
elemen dalam kolom pivot selain elemen pivot
menjadi elemen nol
(-2) kali baris 1 ditambah baris 4


















37120
14320
43200
1111
2
5
3
A


















79602
14320
43200
2111
2
5
2
A

14. Langkah 6
Ulangi langkah 1 s/d 5 untuk
kolom – kolom yang lain, dgn
menganggap baris pertama
tadi tidak ada


















37120
14320
43200
1111
2
5
4
A
Kolom pivot
Elemen pivot


















37120
43200
210
1111
2
1
2
3
2
5
6
A
2
1
Mengalikan baris 2 dari A
5 dgn


















37120
43200
14320
1111
2
5
5A
Menukar baris 1 dan 2 dari A
4

15. Langkah 6 (lanjt.)

















43200
43200
210
1111
2
1
2
3
2
5
7
A
2 kali baris 2 ditambah
dengan baris 4

















43200
43200
210
3401
2
1
2
3
2
1
8
A
-1 kali baris 2
ditambahkan ke baris 1


















37120
43200
210
1111
2
1
2
3
2
5
6A

16. Dengan menganggap 2 baris pertama dari A
7
tidak ada, maka diperoleh :
-2 kali baris 3
ditambahkan ke
baris 4
kolom pivot
elemen pivot

















43200
43200
210
3401
2
1
2
3
2
1
8A

















43200
2100
210
3401
2
3
2
1
2
3
2
1
9
A

















00000
2100
210
3401
2
3
2
1
2
3
2
1
10
A
Mengalikan baris
3 dengan 1/2

17. 
















00000
2100
010
3401
2
3
2
5
4
17
2
1
11A
-3/2 kali baris 3
ditambahkan ke baris 2
















00000
2100
010
9001
2
3
2
5
4
17
2
9
12
A
4 kali baris 3
ditambahkan
ke baris 1
….lanjutan…

















00000
2100
210
3401
2
3
2
1
2
3
2
1
10
A

18. METODE REDUKSI
GAUSS-JORDAN
Ax = b bA
Matriks diperbesar
(Augmented Matrices)
SPL non homogen
dibentuk
bA
Matriks eselon
baris tereduksi
diubah

19. Contoh Soal
Carilah solusi dari SPL berikut :
1. x + 2y + 3z = 9
2x – y + z = 8
3x – z = 3
2. x + y + 2z – 5w = 3
2x + 5y – z – 9w = -3
2x + y – z + 3w = -11
x – 3y + 2z + 7w = -5
3. x + 2y + 3z + 4w = 5
x + 3y + 5z + 7w = 11
x – z – 2w = -6

20. sampai jumpa
pada pertemuan berikutnya

21. Persamaan Linier
•2x-5y=7
•4x +8y=2
•
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa







2211
22222121
11212111

22. SPL Homogen
•Suatu persamaan linear disebut homogen
jika semua bentuk konstantanya adalah
nol. Dengan bentuk umum:



•2x-5y=0
•4x +8y=0