7 procesos estocásticos

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About This Presentation

Definición
Clasificación de Procesos Estocásticos
Ejemplos de Procesos Estocásticos
Momentos de Procesos Estocásticos
Procesos Estocásticos usuales
Estacionalidad de procesos estocásticos
Densidad espectral de potencia
Procesos Estocásticos y sistemas lineales
Procesos Estocásticos gaussian...


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"UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA

Francisco A. Sandoval

AGENDA

CAP. 7: Procesos Estocasticos

D ends

CAP.7: Procesos Estocasticos

Definición

Clasificación de los Procesos Estocásticos
Ejemplos de Procesos Estocásticos
Especificación de Procesos Estocásticos
Momentos de Procesos Estocásticos
Algunos Procesos Estocästicos Usuales
Estacionariedad de*Procesos Estocásticos
Densidad Espectrahde.Potencia
Caracterización Conjunta de Procesos Estocásticos
Procesos Estocásticos y Sistemas Lineales
Procesos Estocásticos Gaussianos

7 Obie;

Introducir las nociones básicas necesarias para el.estudio de
procesos estocásticos.

Presentar ejemplos de carácter práctico.

Introducir diversas maneras de especificar los procesos y la noción
de momento.

Presentar ejemplos de procesos estocásticos específicos y el
concepto de estacionariedad.

Elaborar un concepto de especificación, definiendo la especificación
conjunta de procesos.

Introducir las nociones de independencia, descorrelación y
ortogonalidad entre procesos.

Estudiar una clase particular de procesos estocásticos, los Procesos
Gaussianos.

Analizar el paso de procesos estocásticos a través de sistemas
lineales.

Definir la densidad espectral de potencia

DEFINICION

BE Definición

Eu Definiciôn

Definición 1: Procesos Estocásticos ù
Un mapa que asocia a cada punto de muest NE Q una función
real de un parámetro t perteneciente un,cö nto Y (en la mayoría
de los procesos estocásticos, el pará tá asociado al
tiempo). Se crea de esta manera una a F de funciones de t,

(t € Y).

De este modo se puede decir sor estocástico (P.E.) es un

F

mapa definido por
x
¢ N x(t,w), tEY

UTPL

Eu Definiciôn

BE Definición

+ Un PE. es una función de dos variables, w y t,
cuyos dominios son 0 y Y C ¡R, respectivamente.

+ Es común denominar cada función perteneciente
a la familia F por función-muestra del PE. y el
conjunto de todas las/funciónes por ensemble.

+ Una interpretación interesante es obtenida al fijar,
por ejemplo, elkvaler w; para w. En este caso el
PE. pasa »representar una única función x(t, w;)
de t.

BE Definición
+ Si el valor t, es fijado para el parámetro t, lo que se

obtiene es una v.a. que asocia a cada\punto de muestra
un número real x(tı,@).

+ De manera análoga, al fijar n valores t,, tz, ...,t, del
parámetro t se obtiene un vector aleatorio
x(ty w)
(Cy w)

X(ty, 0)

* Finalmente, si loswalores de t y w son ambos fijos, el
PE. represénta apenas un número real.

BE Definición
La notación, x(t, w), usada para representar un/PE, será
simplificada al omitirse la variable w, Sendo (geb la

representación x(t). ON

x(t) puede representar cinco situaciones diferentes:

Una familia de funciones (t'y w variables);

Una única función del tiempo (t variable y w fijo);
Una v.a. (t fijo y &, variable);

Un vector aleatorio (t,, tz, ..., tn fijos y w variable); y
Un único número real (t y w fijos).

Mn awN —

UTPL

CLASIFICACION DE LOS PROCESOS
ESTOCASTICOS

A Clasificación de P.E.

* Los PE. pueden ser clasificados de acuerdo
con los valores que asume o.de:acuerdo con
los valores que su parámetro.puede asumir.

DI) Clasificación de P.E.
a(t, w) x(t, w)

Processo estocástico conti Asti
es ontinuo Tocesso estocásti i
de parámetro contínuo © + de parâmetro dach

z(t,w)

-t

AS E

Processo estocástico discreto P: i
de parämetro continuo de parämetro discreto

EJEMPLOS DE PROCESOS
ESTOCASTICOS

* Recordando el ejemplo de un determinado
número de usuarios llamando.auna central
telefónica, es de interés conocer como varía, a
partir de un instante (tomado como origen), el
número de llamadas que llega a la central. Ese
número n, función del tiempo, es un proceso
estocástico discreto de parámetro continuo.

+ El movimiento térmico de electrones libres en
un conductor (ej. resistor) da-origen a una
tensión de ruido cuya variación a lo largo del
tiempo no es posible representar
deterministicamente.

+ Esta tensión constituye un PE. continuo de
parámetro continuo.

»o &
pre
N t
RS

* Laseñal de voz transmitida por un sistema de
comunicaciones es esencialmente no-deterministica,
constituyendo claramente un P.E.

+ Cuando se trata de transmitir esta,señal en forma
digital, el primer paso en el proceso de la señal de voz
consiste en muestrearla a una determinada frecuencia
de muestreo (f, muestras,por segundo, ej.).

+ Resulta de esta operación Una secuencia de valores de
tensión en puntos aislados del eje del tiempo que,
debido a lo impredecible de su variación, es
adecuadamente modelada por un PE. Se trata
claramentedeun P.E. continuo, de parámetro discreto.

+ El problema de las variaciones impredecibles
de la amplitud de la señal recibida»en una
llamada radioeléctrica constituye el fenómeno
de desvanecimiento.

* La imposibilidad de describir estas variaciones
determinísticamente; leva a modelar la
amplitud de la señal'recibida por un PE.
continuo de parámetro continuo, con función
muestra(s(é, wy.

ESPECIFICACION DE PROCESOS
ESTOCASTICOS

Eu Especificaciôn de P.E.

* Al fijar el parámetro t, (t € Y) de Un PE. x(t),
se obtiene una v.a., representada aquí por X¢.

* Asociada a esta v.a. se tiene una FDP E, (X) y,
consecuentemente una fdpP.., (X).

« Para cada valor distinto’de t € Y, se obtiene
una v.a. diferente,

Eu Especificaciôn de P.E.

Definición 2: Especificación de 1° Orden de u A
Se dice que un PE. está especificado hasta ehprimer orden cuando

la fdp px,(X) es conocida para cualquier Fein

+ Las fdp’s (px. (X),t € Y) son denominadas
fdp’s de primer orden del PE. x(t).

forma

x(t) = at + ag
donde a; y a; son v.a. conjuntamente/gaussianas, o sea, ellas
forman un vector gaussiano a. Suponga que:

Ma (Y; 6)

Rh NIP

Determinar la fap de 1° orden de este PE.

La v.a. x, es función del vector aleatorio a. En
particular.
X = at + (007)

o sea

x, A a
donde À es una matriz de dimensión 1 x 2 dada
por

A=(t1)

Como a es un vector gaussiano se-tiene que
x, es Una v.a. gaussiana. Además

Mx, = AMG 0

y
0%, = AK@AU= t?+t+1
se tiene así:
x2
~2(t2-+t41)

1
Pre X) = Van Vt2+t+1

* Lafdp de 1° orden del PE. x(t) puede ser utilizada para
calcular la probabilidad de algunos eventos definidos sobre el
PE. x(t).

* Ejemplo: suponga que se desea calcularla probabilidad de
tener una función muestra del procesos que, en el instante
t = 5, exceda el valor 0.

P(x(5) > 0) =P (xs > 0) = [par
0

donde p,,(X) es obténido haciendo t = 5 en la fdp p,, (X).
Finalmente se Obtiene

P(x(5) > 0) =

oo 1 vad ( 1
e 8 dX = Q(0) =>
[ V2r V31 sn”

Eu Especificaciôn de P.E.

* El conocimiento de la fdp de I°,örden de un
PE. no siempre es suficiente para determinar
las probabilidades deseadas:

+ Existen ejemplos que requieren el
conocimiento de las fdp’seconjunta de dos
vas, ambas definidas sobre el mismo proceso
x(t).

+ Este hecho induce a la definición de
especificación de 2” orden de un PE.

Eu Especificaciôn de P.E.

Definición 3: Especificación de 2° Orden de u N
Se dice que un PE. está especificado hasta e o orden

cuando la fdp conjunta Pre, Xt, (X1,X2) (fi gundo orden del
PE.x(t)) es conocida para cualquier alores det, € Y,t, €
Y.

{ l (5 definido en el ejemplo anterior. Determine la
fdp de 2° orden de este proceso estocástico.

Eu Especificaciôn de P.E.

Definición 4: Especificación de Orden m de un. P.EN

Se dice que un PE. está especificado hasta ehorden m cuando la fdp
conjunta Px, xyz... m, (X1,X2, ...,Xm) (fd den m del PE. x(t))
es conocida para cualquier conjunto s de (ty, tz, ..., tm),
tales que t, € Y,t, E Y,...,tm EY.

Un PE. especificado hasta el orden m, estátambién especificado hasta cualquier orden
inferior am.

Definición 5: LY" completa de un P.E.
Se dice que un á éspecificado completamente se el está
especificado nn, orden m, para cualquier valor entero m.

UTPL

MOMENTOS DE PROCESOS
ESTOCASTICOS

Eu Momentos de Procesos Estocasticos

* Los momentos de un proceso estocástico son
los momentos de variables aleatorias definidas
en cualquier instante del proceso.

Definición 6: Media de un Proceso Estocastico
La media de un proceso estocdsticd x(t), representada por m,(t),
es definida como la med variable aleatoria x(t) (en

notación más compac; ¿J'aSociada a un instante cualquiera
tE Y, osea,
¡A x(t) = Elx(0]:t EY

Eu Momentos de Procesos Estocasticos

Definición 7: Función Autocorrelación de un Proceso Estocástico
La función Autocorrelación de un procesos estocástico x(t),
representada por R,(t:, tz), es definida Ya correlación entre
las variables aleatorias x(t,) y x(t2) rl da más compacta
Xt, Y Xt,) asociadas a dos valores cualquiera t, € Y yt, € Y del

parámetro del proceso, o sea, A
LAGE t2) = ELO if, € Y,b EN

El valor de la función de,un,P:E. cuando t; = tz = t es denominado
valor medio cuadrático del proceso estocástico, siendo dado por
A ,t) =Elx?(0]:te Y

UTPL

Eu Momentos de Procesos Estocasticos

Definición 8: Función Autocovarianza de un PEN

La función autocovarianza de un PE. x(t), r presentada por
K,(t:, tz), es definida como la covarianz las variables
aleatorias x(t,) y x(tz) asociadas a a cualquiera t, € Y
y tz E Y del parámetro del proceso, o.se

Ky(t1,t2) = El(«(t) = moti) = mx(t2))| 54, EY, t¿ EY

Es posible llegar a la relación
Ks(tytY FR (tr, 12) = Max (1 )mx (2)

C 2 x(t), definido en el ejemplo anterior. Determine la
media, la función autocorrelación y la función autocovarianza.

PROCESOS ESTOCASTICOS USUALES

Eu Transmisiôn Binaria Semi-Aleatoria

* Considere el PE. x(t) que caracteriza Unatransmisiön
binaria semi-aleatoria, definida de la siguiente manera:
durante cualquiera de los intervalos

I, = ((n - DT, nT) ; meentero
el proceso x(t) puede asumir unö-de entre dos valores,
A y — À. 4 x)

RTL ESS

BD | 3T 5T 5

Eu Transmisiôn Binaria Semi-Aleatoria

+ Considerar que el valor del PE. en ún
determinado intervalo es estadísticamente
independiente de su valor en Jösdemäs
intervalos. Se supone además que los valores A y
— A ocurren con probabilidad}p y (1 — p),
respectivamente.

* Para un instante genérico cualquiera t, la fdp de
19 orden del PE.se expresa

Dx,(X) = pô A) + (1 — p)d(X + A)

» La media(de este’ proceso estocástico es

my(t) = Elx] = [7 XPx,(X)dX = A(2p — 1)

Eu Transmisiôn Binaria Semi-Aleatoria

* Para calcular la función autocorrelación, considere la
va. y = x(t,) x(t,) donde t, y tz son instántes
cualquiera satisfaciendo la condición

ty € Ing

+ Se consideran dos situaciones:
— Los instantes t, yal ¿que definen las v.a’s x;, y x,
pertenecen al mismo, intervalo, o sea ny = Nz. En este
caso, la va. y asum&siempre el valor A“.
Consecuentemente;

Byin; En; N = 5(Y — A?)
— n, # Nz, lawa”y puede asumir los valores A? y —A?. Por
tanto

Eu Transmisiôn Binaria Semi-Aleatoria

P(y = A?|n, # nz)
= P(x, = A,x%, = Alh#n)
+ P(xe, = -A,% Am + nz)

PO = -A?In, # ny)
= P(x, aut, = -Alnı + nz)
+ POL = A, Xp, = Alnı # nm)

dado que ny # Mz, la va. x(t,) toma valores
independientemente de la v.a. x(t,), se obtiene

Eu Transmisiôn Binaria Semi-Aleatoria

P(y = Am + nz) = p? +4 Sp)?
= 2p? — 2p +1

y
P(y = -A?|Inı # nz) = 2p(1- p) = 2p — 2p?
Consecuentemente
Pyinı#n, (X)
= (2p? 2p + 1)6(Y — 4?)
+ (2p — 2p?)ö(Y + A?)
Como
Ry (ty t2) = Elx(t,)x(t2)] = Ely]

Eu Transmisiôn Binaria Semi-Aleatoria

* se obtiene que SY
A? ply = N2
R,(ty, t2) =
x(t1, 62) Cer > ¡uy En

Eu Onda Senoidal con Fase Aleatoria

* Considere el PE. x(t) definido por unafseñal sinosoidal
con un angulo de fase aleatorio, o sea
x(t) =A sinQrfyt +0)
donde 8 es una va. uniformemente distribuida en el
intervalo, (0, 277] o sea,
_(1m21,,*0€(0,211]
PORT oem]

Eu Onda Senoidal con Fase Aleatoria

* La media de este PE. es dada por
m,(t) = E[Asin(2rfot + 0)]

=| AsinQr fot

=> 27
+0) p9(0)d0 = | AsinQTft + 0) do = =0
La Función autocorrelaciön del PE. es*dada por
Ry (ty, t2) = = 2 CQNE Ela? Got + 6) sin(27fotz + 0)]

= E eloos(zmfaths™ t,)) ]- À Blcos(er f(t = t,) + 20)]
Finalmente

Roto) = cos(2nfalts — 4)

UTPL

ESTACIONARIEDAD DE LOS P.E.

Eu Estacionariedad de un P.E.

+ Un PE. puede ser estacionario en diversos
grados de estacionariedad.

Definición 9: Estacionariedad de ro den
Un proceso estacionario x(t) es dicho e onario de orden m
cuando su fdp de orden m no “Oy un desplazamiento en el

tiempo, o sea, cuando
Doc xt3203 ty Air X20 e. 7 New at%ty ro taa Av X2, N) VE

UTPL

Eu Estacionariedad de un P.E.

Observaciones:

+ Un PE. x(t) es dicho estacionario de 1° orden

cuando
Px, (X) = ¡20 9) ; VT
» Un PE. x(t) es dicho estacionario de 2° orden
cuando
Px,Px> (XX) = Pie, +, +0 (Ar, X2) ; VT
+ Si x(t) es un PE/estacionario de orden m, el es

también estacionario de orden k, para cualquier
valor k < m.

Eu Estacionariedad de un P.E.

Definición 10: Estacionariedad en el sentido Estricto

Un PE. es dicho estacionario en el sentid rícto; o estrictamente
estacionario, cuando él es estacionario d en m para cualquier
valor entero de m. C $

Definición 11: Estacionariedadien el sentido Amplio
Un PE. x(t) es dicho estatiohario en sentido amplio, si
mio = Nx ; VT

y if NS

iO = nn; T=t2,—-ty
osea, cuando sted es constante y su función autocorrelación
depende de la diferencia tz — t1.

PI) Ergodicidad

Eu Propiedades de la Funciôn Autocorrelaciôn de

P.E. Estacionarios en el Sentido Amplio.

* En el caso de PE. en el sentido amplio, por el
hecho de que la función autocorrelación
Ry(t,, t2) depende apenas-de Ja diferencia
tz — ty, es usual representar la función
autocorrelación como*función de una única
variable T = tat,

R,@)SElx@xC + N]

Eu Propiedades de la Funcion Autocorrelacion de P.E.

Estacionarios en el Sentido Amplio

|. La función autocorrelacion de PE.E.S.A. es par, o sea
R(t) = LAS)
2. El valor de la función autocorrelación de PE.E.S-A ent = 0 es igual al
valor medio cuadratico del proceso, o sea
Ry, (0) = Elx2@)]
3. Si un PE.E.S.A. contiene una componente periódica de periodo T, o sea,
si
x(t) = x(t nT);n entero
entonces, su función autocorrelaciönposee una componente periódica del
mismo periodo que
Ry (Tr=R,At + nT); n entero
4. Siun PE.E.S.A. no contiene\componentes periódicas, entonces
ARCO = mie) = 12
5. La función autocorrelación de PE.E.S.A.es máxima para T = 0, o sea,
IR, (t)| < R,(0) ; VI #0

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

Eu Densidad Espectral de Potencia

+ En el análisis o proyección de sistemas, el
conocimiento de la manera por. la.cual la potencia
se distribuye a lo largo del espectro de frecuencia
es de extrema importancia.

+ La Densidad Espectral de,Potencia de una señal
es una función devia frecuencia f que, cuando se
integra a lo largo dewina banda de frecuencias
proporcionasel valor de la potencia de la señal
existente-é€n la banda de frecuencias considerada.

Eu Densidad Espectral de Potencia

* En el caso de una señal deterministica cualquier x(t), la
función densidad espectral de potencia,a ella asociada es

definida por
X À
SC = Im PQ!
donde
Xx NAPO]
con
T
x(t) ; Its 3
xr (O7

0 ; tej > E
’ 2

Eu Densidad Espectral de Potencia

+ En el caso de PE.E.S.A, la densidadfespectral de
potencia es dada por la transformada de su
función autocorrelación.

5,(f) = | R(De Mr = FIR, (0)

* La potencia media de.un*proceso x(t) en una
banda de frecuencias caracterizadas por el
intervalo [f,, f2)*es*dada por

1 fi
Pray „Dar + [ “Seah

Eu Densidad Espectral de Potencia

* La potencia media total del proceso,puede ser
obtenida de la ecuación anterior, haciendo
fi =0y fo = oo. Se tiene-asi

P = PSA + LS af = SS Mar

* En el caso de que, X(t) sea un PE.E.S.A. se
puede escribir
R= Ry (0) = E[x?(t)]

Eu Densidad Espectral de Potencia

Definición 12: Ruido Blanco AN
Un PE. x(t), E.S.A. es dicho un proceso de ul Banco si su densidad

espectral de potencia es constante a lo lar do el espectro de

frecuencias, o sea, si ©
Sf) =

+ La función autocorrelaciön de un proceso de

ruido blanco es
R,(T) = Cé(t)

CARACTERIZACION CONJUNTA DE
PE:

Eu Especificacion Conjunta de dos P.E.

Definición 13: Especificación Conjunta de Orden Mot n de Dos

P.E’s
Ha!

Definición 14: Especificaciön-COnjunta Completa de Dos P.E.’s
Se dice que dos PE. RS stan conjunta o completamente

especificados cuando án conjuntamente especificados
hasta el orden n + cualquier valor de m + n.

Eu Momentos Conjuntos de Dos P.E.’s

Definición 15: Función Correlación Cruzada

La función correlación cruzada Ry (t1, t2) de dos, PE. x(t) y y(t) es

definida como la correlación entre las v.aés® (ty) ) y y(t,) definidas

sobre cada uno de los procesos, respectivamente. Esto significa que
Ry (Ey t2) = Elx(t,Jy(t2)1

Definición 16: Función Covarianza Cruzada

La función covarianza cruzada Ky (t,, t2) de dos P.E.'s x(t) y y(t)
es definida como la covari ¡za ventre las v.a.'s x(t,) y y(t2)
definidas sobre cada ún los procesos, respectivamente, o sea,

IO)

| Kyy (ty, ta) = RAGE t2) — my(t,)m, (t2)

UTPL

Eu Estacionariedad Conjunta de dos P.E.’s

Definición 17: Estacionariedad Conjunta de denn + n de dos

P.E’s
Ha!

Definición 18: Estacionariedad RTS el Sentido Estricto de
dos P.E.’s

WX

UTPL

Eu Estacionariedad Conjunta de dos P.E.’s

Definición 19: Estacionariedad S en Sentido Amplio de
dos P.E.’s

Definiciön 20: Densidad <> de Dos P.E.’s

UTPL

Eu Independencia, Descorrelaciôn y
Ortogonalidad

Definiciôn 21: P.E.’s Estadisticamente Independientes (e.i.)

Dos P.E.’s x(y) y y(t) son dichos e.i. cuando, para cualquiera de los
valores enteros positivos m y n, y para cualquier conjunto de
valores {t1, tz, ...,tm, ty, €2, ...,t,}, la fdp conjunta de las v.a.’s
{x(t),x(t2), ..., X(t), V(t), y (2), ««- »y(t!,)), puede ser escrita
como el producto de la función densidad de probabilidad conjunta
de las v.a.’s {x(tı), x(t2),%.. 9% con la fdp conjunta de las v.a.’s

Dt), vy), BERN
Pneu fd REN)

— aiii, mt Xm) Py ryt Y, Cn Grp coon Va) Vie
a 2

Eu Independencia, Descorrelaciôn y
Ortogonalidad

Definición 22: Procesos Estocásticos Descorrelacionados
Dos PE. x(t) y y(t) son dichos descorrelacionados cuando su
función covarianza cruzada es nula para © de los valores

de t, y tz, o sea,
Kyy(t, tz) = ofv & 2

Una condición equivalente para PE.’s descorrelacionados es
Ko Esyta) Slt Im, (t2)

Definición 23: Procesos Estocásticos Ortogonales
Dos P.E.'s x(t) y y(t) Son dichos ortogonales cuando su función
correlación N nula para cualquiera de los valores de t, y

ty, 0 sea,

Ryy (ty, t2) = 0; Vty, te

Propiedades de la Función Correlación
Cruzada de P.E. Conjuntamente E.S.A.

PROCESOS ESTOCASTICOS Y
SISTEMAS LINEALES

Eu P.E. y Sistemas Lineales

+ Las representaciones matemáticas de PE!s presentadas
anteriormente pueden ser utiles para caracterizar la
salida de un sistema lineal, cuando-este,es excitado por
un proceso estocastico.

+ Se considerará únicamente sistemas lineales invariantes
en el tiempo, cuyo comportamiento puede ser
representado alternativamente por su respuesta al
impulso h(t) o su respuesta de frecuencia H(f),
definida como la transformada de Fourier de su
respuesta al impulso:

+ Con conveniencia en la mayoría de los casos las
condiciones iniciales son nulas. Cualquier condición
inicial no nulaypuede considerarse a partir de los
métodos usuales de análisis de sistemas lineales.

Eu P.E. y Sistemas Lineales

x(t) yO
EEE RCE) rar

L____ —

* La Figura representa un sistema lineal
invariante en el tiempo; en el dominio del
tiempo.

* x(t) y y(t) representan, respectivamente, la
entrada y la salida del sistema lineal y h(t) su
respuesta al impulso.

Eu P.E. y Sistemas Lineales

+ La salida de un sistema lineal invariante enfehtiempo se
relaciona con su entrada a través de la integral de

convolución, o sea,
oo

y(t) = x(t) * h(t) = J x(a)n(t — a)da

+ Los resultados siguientes se-restringen al caso de sistemas
físicamente realizables y estables en el sentido BIBO
(bounded input — bounded@*output). Restricción matemática
que puede expresarse por

h(t)=0;t<0

| |A(t)| dt < +00

Eu P.E. y Sistemas Lineales

* Satisfaciendo la condición anteriorfla\integral de
convolución se reduce a

yOu j OM Oda

» Equivalente a
y(t) & | Xt - B)h(B)dß
0

realizando unafcambio de variables de integración
B=t-a.

Eu P.E. y Sistemas Lineales

+ Considerar que la entrada x(t)-de‘un sistema
lineal sea un PE.E.S.A. Determinar la media y
la función autocorrelacién-deLPE. y(t) que
caracteriza la salida del sistema lineal.

Eu media de y(t)

my(t) = DOI = [EXC wa

o sea

my(t) = m,(t) + RCE)
considerando que x(t) es E.S.A. y consecuentemente
m,(t) = nx, se tiene

my(t) = ma —ajda

ef Map = 1.100) = ny

Observar: la media’de y(t) es constante.Y si el sistema lineal
es estable la integral es finita y consecuentemente 7, < +00

Eu Funcion autocorrelacion de y(t)

Ry tute) = EDIC!
= | | roxana, DU - Pdadp

Ry (ty, t2) = Ely)
=| | regis ont: - paaas

considerando que x(t) es ES.A.,se obtiene
Ry(t1,€2) = Ely(t1)y(t2)]

= Je Ra - pt - tes - Pda

esta expresión puede simplificarse al considerar un cambio de las
variables de integración dados por

Eu Funcion autocorrelacion de y(t)

= ty —-a

y=t,-B

se tiene entonces, con T = ty — tz
Ry(t1,t2) = Ely(t)y(2)

= [ P R,.(ty — to — À
+ YRARG)dady = Ry(t)

y(t) es E.S.A.

Luego de algunas manipulaciones algebraicas, es posible
simplificar la expresión
RC) = h(=T) * A(z) * Rx (7)

Eu Funcion correlacion cruzada

La función correlación cruzada Rx,(£1,t2) de los
PE. x(t) y y(t) pueden ser obtenidas considerando

Rxy (tx, t2) = Elx(t1)y(t2)]
=| Elx(tN)x(a)]h(t, — a)da
haciendo $6 = t,5 0

oo

Ryy (tg ta) = | Ry (ty, t2 — B)hA(B)dB

Eu Funcion correlacion cruzada

como x(t) es E.S.A.

Ray (tty) = | Ry (ty (Et )NBAB

= Ryy(t); T= tp —tı

o en notación más simple
Rey OS Rx) * h(t)

Eu Densidad Espectral de Potencia

+ Se concluye, que en un sistema lineal invariante
en el tiempo y estable, si la entrada es un
PE.E.S.A., entonces los PE. de:entrada y de salida
del sistema lineal son conjuntamente E.S.A.

La densidad espectral/de pótencia del PE. y(t)
puede ser obtenida aplicando la transformada de
Fourier a ambos lados de la función
autocorrelaciön.

SA) = HN HIS

Eu Densidad Espectral de Potencia

o
s,N = IHNEN

De manera análoga, la densidad-éspectral

cruzada de los PE. x(t) y y(t) puede ser

obtenida aplicando la tränsformada de Fourier a

ambos lados de la,función correlación cruzada

Ney U) = HNOS:

Considere un PE. de ruido blanco x(t) con mediaen ula y densidad
espectral de potencia dada por

se tiene en este caso

R(t) =
Determinar la media, la Fe Moreton y la potencia
media del PE. y(t) obténida por el paso del proceso estocástico
x(t) a través del filtro,RC de la figura.

R
BÚNMNMNMNM NAAA o

Eta)

=

all

PROCESOS ESTOCASTICOS
GAUSSIANOS

REFERENCIAS

Eu Referencias

« ALBUQUERQUE, J. PA.; FORTES, J.M.; FINAMORE, WA.
(1993) Modelos Probabilisticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicagao CETUC.

+ Marco Grivet, Procesos Estocästicos-l, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones — CETUC;2006. [Slide]

+ Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría
de la Comunicación, Curso, 2007-2008. [Slide]

+ ALBERTO LEON-GARCIA; Probability, Statistics, and
Random Processes,For Electrical
Engineering, Third.Edition, Pearson — Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.

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