7 procesos estocásticos
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Jul 07, 2014
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About This Presentation
Definición
Clasificación de Procesos Estocásticos
Ejemplos de Procesos Estocásticos
Momentos de Procesos Estocásticos
Procesos Estocásticos usuales
Estacionalidad de procesos estocásticos
Densidad espectral de potencia
Procesos Estocásticos y sistemas lineales
Procesos Estocásticos gaussian...
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"UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA
Francisco A. Sandoval
Francisco A. Sandoval
AGENDA
CAP. 7: Procesos Estocasticos
CAP. 7: Procesos Estocasticos
D ends
CAP.7: Procesos Estocasticos
Definición
Clasificación de los Procesos Estocásticos
Ejemplos de Procesos Estocásticos
Especificación de Procesos Estocásticos
Momentos de Procesos Estocásticos
Algunos Procesos Estocästicos Usuales
Estacionariedad de*Procesos Estocásticos
Densidad Espectrahde.Potencia
Caracterización Conjunta de Procesos Estocásticos
Procesos Estocásticos y Sistemas Lineales
Procesos Estocásticos Gaussianos
CAP.7: Procesos Estocasticos
Definición
Clasificación de los Procesos Estocásticos
Ejemplos de Procesos Estocásticos
Especificación de Procesos Estocásticos
Momentos de Procesos Estocásticos
Algunos Procesos Estocästicos Usuales
Estacionariedad de*Procesos Estocásticos
Densidad Espectrahde.Potencia
Caracterización Conjunta de Procesos Estocásticos
Procesos Estocásticos y Sistemas Lineales
Procesos Estocásticos Gaussianos
7 Obie;
Introducir las nociones básicas necesarias para el.estudio de
procesos estocásticos.
Presentar ejemplos de carácter práctico.
Introducir diversas maneras de especificar los procesos y la noción
de momento.
Presentar ejemplos de procesos estocásticos específicos y el
concepto de estacionariedad.
Elaborar un concepto de especificación, definiendo la especificación
conjunta de procesos.
Introducir las nociones de independencia, descorrelación y
ortogonalidad entre procesos.
Estudiar una clase particular de procesos estocásticos, los Procesos
Gaussianos.
Analizar el paso de procesos estocásticos a través de sistemas
lineales.
Definir la densidad espectral de potencia
Introducir las nociones básicas necesarias para el.estudio de
procesos estocásticos.
Presentar ejemplos de carácter práctico.
Introducir diversas maneras de especificar los procesos y la noción
de momento.
Presentar ejemplos de procesos estocásticos específicos y el
concepto de estacionariedad.
Elaborar un concepto de especificación, definiendo la especificación
conjunta de procesos.
Introducir las nociones de independencia, descorrelación y
ortogonalidad entre procesos.
Estudiar una clase particular de procesos estocásticos, los Procesos
Gaussianos.
Analizar el paso de procesos estocásticos a través de sistemas
lineales.
Definir la densidad espectral de potencia
DEFINICION
BE Definición
Eu Definiciôn
Definición 1: Procesos Estocásticos ù
Un mapa que asocia a cada punto de muest NE Q una función
real de un parámetro t perteneciente un,cö nto Y (en la mayoría
de los procesos estocásticos, el pará tá asociado al
tiempo). Se crea de esta manera una a F de funciones de t,
(t € Y).
De este modo se puede decir sor estocástico (P.E.) es un
F
mapa definido por
x
¢ N x(t,w), tEY
UTPL
Definición 1: Procesos Estocásticos ù
Un mapa que asocia a cada punto de muest NE Q una función
real de un parámetro t perteneciente un,cö nto Y (en la mayoría
de los procesos estocásticos, el pará tá asociado al
tiempo). Se crea de esta manera una a F de funciones de t,
(t € Y).
De este modo se puede decir sor estocástico (P.E.) es un
F
mapa definido por
x
¢ N x(t,w), tEY
UTPL
Eu Definiciôn
BE Definición
+ Un PE. es una función de dos variables, w y t,
cuyos dominios son 0 y Y C ¡R, respectivamente.
+ Es común denominar cada función perteneciente
a la familia F por función-muestra del PE. y el
conjunto de todas las/funciónes por ensemble.
+ Una interpretación interesante es obtenida al fijar,
por ejemplo, elkvaler w; para w. En este caso el
PE. pasa »representar una única función x(t, w;)
de t.
+ Un PE. es una función de dos variables, w y t,
cuyos dominios son 0 y Y C ¡R, respectivamente.
+ Es común denominar cada función perteneciente
a la familia F por función-muestra del PE. y el
conjunto de todas las/funciónes por ensemble.
+ Una interpretación interesante es obtenida al fijar,
por ejemplo, elkvaler w; para w. En este caso el
PE. pasa »representar una única función x(t, w;)
de t.
BE Definición
+ Si el valor t, es fijado para el parámetro t, lo que se
obtiene es una v.a. que asocia a cada\punto de muestra
un número real x(tı,@).
+ De manera análoga, al fijar n valores t,, tz, ...,t, del
parámetro t se obtiene un vector aleatorio
x(ty w)
(Cy w)
X(ty, 0)
* Finalmente, si loswalores de t y w son ambos fijos, el
PE. represénta apenas un número real.
+ Si el valor t, es fijado para el parámetro t, lo que se
obtiene es una v.a. que asocia a cada\punto de muestra
un número real x(tı,@).
+ De manera análoga, al fijar n valores t,, tz, ...,t, del
parámetro t se obtiene un vector aleatorio
x(ty w)
(Cy w)
X(ty, 0)
* Finalmente, si loswalores de t y w son ambos fijos, el
PE. represénta apenas un número real.
BE Definición
La notación, x(t, w), usada para representar un/PE, será
simplificada al omitirse la variable w, Sendo (geb la
representación x(t). ON
x(t) puede representar cinco situaciones diferentes:
Una familia de funciones (t'y w variables);
Una única función del tiempo (t variable y w fijo);
Una v.a. (t fijo y &, variable);
Un vector aleatorio (t,, tz, ..., tn fijos y w variable); y
Un único número real (t y w fijos).
Mn awN —
UTPL
La notación, x(t, w), usada para representar un/PE, será
simplificada al omitirse la variable w, Sendo (geb la
representación x(t). ON
x(t) puede representar cinco situaciones diferentes:
Una familia de funciones (t'y w variables);
Una única función del tiempo (t variable y w fijo);
Una v.a. (t fijo y &, variable);
Un vector aleatorio (t,, tz, ..., tn fijos y w variable); y
Un único número real (t y w fijos).
Mn awN —
UTPL
CLASIFICACION DE LOS PROCESOS
ESTOCASTICOS
ESTOCASTICOS
A Clasificación de P.E.
* Los PE. pueden ser clasificados de acuerdo
con los valores que asume o.de:acuerdo con
los valores que su parámetro.puede asumir.
* Los PE. pueden ser clasificados de acuerdo
con los valores que asume o.de:acuerdo con
los valores que su parámetro.puede asumir.
DI) Clasificación de P.E.
a(t, w) x(t, w)
Processo estocástico conti Asti
es ontinuo Tocesso estocásti i
de parámetro contínuo © + de parâmetro dach
z(t,w)
-t
AS E
Processo estocástico discreto P: i
de parämetro continuo de parämetro discreto
a(t, w) x(t, w)
Processo estocástico conti Asti
es ontinuo Tocesso estocásti i
de parámetro contínuo © + de parâmetro dach
z(t,w)
-t
AS E
Processo estocástico discreto P: i
de parämetro continuo de parämetro discreto
EJEMPLOS DE PROCESOS
ESTOCASTICOS
ESTOCASTICOS
* Recordando el ejemplo de un determinado
número de usuarios llamando.auna central
telefónica, es de interés conocer como varía, a
partir de un instante (tomado como origen), el
número de llamadas que llega a la central. Ese
número n, función del tiempo, es un proceso
estocástico discreto de parámetro continuo.
número de usuarios llamando.auna central
telefónica, es de interés conocer como varía, a
partir de un instante (tomado como origen), el
número de llamadas que llega a la central. Ese
número n, función del tiempo, es un proceso
estocástico discreto de parámetro continuo.
+ El movimiento térmico de electrones libres en
un conductor (ej. resistor) da-origen a una
tensión de ruido cuya variación a lo largo del
tiempo no es posible representar
deterministicamente.
+ Esta tensión constituye un PE. continuo de
parámetro continuo.
un conductor (ej. resistor) da-origen a una
tensión de ruido cuya variación a lo largo del
tiempo no es posible representar
deterministicamente.
+ Esta tensión constituye un PE. continuo de
parámetro continuo.
»o &
pre
N t
RS
pre
N t
RS
* Laseñal de voz transmitida por un sistema de
comunicaciones es esencialmente no-deterministica,
constituyendo claramente un P.E.
+ Cuando se trata de transmitir esta,señal en forma
digital, el primer paso en el proceso de la señal de voz
consiste en muestrearla a una determinada frecuencia
de muestreo (f, muestras,por segundo, ej.).
+ Resulta de esta operación Una secuencia de valores de
tensión en puntos aislados del eje del tiempo que,
debido a lo impredecible de su variación, es
adecuadamente modelada por un PE. Se trata
claramentedeun P.E. continuo, de parámetro discreto.
comunicaciones es esencialmente no-deterministica,
constituyendo claramente un P.E.
+ Cuando se trata de transmitir esta,señal en forma
digital, el primer paso en el proceso de la señal de voz
consiste en muestrearla a una determinada frecuencia
de muestreo (f, muestras,por segundo, ej.).
+ Resulta de esta operación Una secuencia de valores de
tensión en puntos aislados del eje del tiempo que,
debido a lo impredecible de su variación, es
adecuadamente modelada por un PE. Se trata
claramentedeun P.E. continuo, de parámetro discreto.
+ El problema de las variaciones impredecibles
de la amplitud de la señal recibida»en una
llamada radioeléctrica constituye el fenómeno
de desvanecimiento.
* La imposibilidad de describir estas variaciones
determinísticamente; leva a modelar la
amplitud de la señal'recibida por un PE.
continuo de parámetro continuo, con función
muestra(s(é, wy.
de la amplitud de la señal recibida»en una
llamada radioeléctrica constituye el fenómeno
de desvanecimiento.
* La imposibilidad de describir estas variaciones
determinísticamente; leva a modelar la
amplitud de la señal'recibida por un PE.
continuo de parámetro continuo, con función
muestra(s(é, wy.
ESPECIFICACION DE PROCESOS
ESTOCASTICOS
ESTOCASTICOS
Eu Especificaciôn de P.E.
* Al fijar el parámetro t, (t € Y) de Un PE. x(t),
se obtiene una v.a., representada aquí por X¢.
* Asociada a esta v.a. se tiene una FDP E, (X) y,
consecuentemente una fdpP.., (X).
« Para cada valor distinto’de t € Y, se obtiene
una v.a. diferente,
* Al fijar el parámetro t, (t € Y) de Un PE. x(t),
se obtiene una v.a., representada aquí por X¢.
* Asociada a esta v.a. se tiene una FDP E, (X) y,
consecuentemente una fdpP.., (X).
« Para cada valor distinto’de t € Y, se obtiene
una v.a. diferente,
Eu Especificaciôn de P.E.
Definición 2: Especificación de 1° Orden de u A
Se dice que un PE. está especificado hasta ehprimer orden cuando
la fdp px,(X) es conocida para cualquier Fein
+ Las fdp’s (px. (X),t € Y) son denominadas
fdp’s de primer orden del PE. x(t).
Definición 2: Especificación de 1° Orden de u A
Se dice que un PE. está especificado hasta ehprimer orden cuando
la fdp px,(X) es conocida para cualquier Fein
+ Las fdp’s (px. (X),t € Y) son denominadas
fdp’s de primer orden del PE. x(t).
forma
x(t) = at + ag
donde a; y a; son v.a. conjuntamente/gaussianas, o sea, ellas
forman un vector gaussiano a. Suponga que:
Ma (Y; 6)
Rh NIP
Determinar la fap de 1° orden de este PE.
x(t) = at + ag
donde a; y a; son v.a. conjuntamente/gaussianas, o sea, ellas
forman un vector gaussiano a. Suponga que:
Ma (Y; 6)
Rh NIP
Determinar la fap de 1° orden de este PE.
La v.a. x, es función del vector aleatorio a. En
particular.
X = at + (007)
o sea
x, A a
donde À es una matriz de dimensión 1 x 2 dada
por
A=(t1)
particular.
X = at + (007)
o sea
x, A a
donde À es una matriz de dimensión 1 x 2 dada
por
A=(t1)
Como a es un vector gaussiano se-tiene que
x, es Una v.a. gaussiana. Además
Mx, = AMG 0
y
0%, = AK@AU= t?+t+1
se tiene así:
x2
~2(t2-+t41)
1
Pre X) = Van Vt2+t+1
x, es Una v.a. gaussiana. Además
Mx, = AMG 0
y
0%, = AK@AU= t?+t+1
se tiene así:
x2
~2(t2-+t41)
1
Pre X) = Van Vt2+t+1
* Lafdp de 1° orden del PE. x(t) puede ser utilizada para
calcular la probabilidad de algunos eventos definidos sobre el
PE. x(t).
* Ejemplo: suponga que se desea calcularla probabilidad de
tener una función muestra del procesos que, en el instante
t = 5, exceda el valor 0.
P(x(5) > 0) =P (xs > 0) = [par
0
donde p,,(X) es obténido haciendo t = 5 en la fdp p,, (X).
Finalmente se Obtiene
P(x(5) > 0) =
oo 1 vad ( 1
e 8 dX = Q(0) =>
[ V2r V31 sn”
calcular la probabilidad de algunos eventos definidos sobre el
PE. x(t).
* Ejemplo: suponga que se desea calcularla probabilidad de
tener una función muestra del procesos que, en el instante
t = 5, exceda el valor 0.
P(x(5) > 0) =P (xs > 0) = [par
0
donde p,,(X) es obténido haciendo t = 5 en la fdp p,, (X).
Finalmente se Obtiene
P(x(5) > 0) =
oo 1 vad ( 1
e 8 dX = Q(0) =>
[ V2r V31 sn”
Eu Especificaciôn de P.E.
* El conocimiento de la fdp de I°,örden de un
PE. no siempre es suficiente para determinar
las probabilidades deseadas:
+ Existen ejemplos que requieren el
conocimiento de las fdp’seconjunta de dos
vas, ambas definidas sobre el mismo proceso
x(t).
+ Este hecho induce a la definición de
especificación de 2” orden de un PE.
* El conocimiento de la fdp de I°,örden de un
PE. no siempre es suficiente para determinar
las probabilidades deseadas:
+ Existen ejemplos que requieren el
conocimiento de las fdp’seconjunta de dos
vas, ambas definidas sobre el mismo proceso
x(t).
+ Este hecho induce a la definición de
especificación de 2” orden de un PE.
Eu Especificaciôn de P.E.
Definición 3: Especificación de 2° Orden de u N
Se dice que un PE. está especificado hasta e o orden
cuando la fdp conjunta Pre, Xt, (X1,X2) (fi gundo orden del
PE.x(t)) es conocida para cualquier alores det, € Y,t, €
Y.
Definición 3: Especificación de 2° Orden de u N
Se dice que un PE. está especificado hasta e o orden
cuando la fdp conjunta Pre, Xt, (X1,X2) (fi gundo orden del
PE.x(t)) es conocida para cualquier alores det, € Y,t, €
Y.
{ l (5 definido en el ejemplo anterior. Determine la
fdp de 2° orden de este proceso estocástico.
fdp de 2° orden de este proceso estocástico.
Eu Especificaciôn de P.E.
Definición 4: Especificación de Orden m de un. P.EN
Se dice que un PE. está especificado hasta ehorden m cuando la fdp
conjunta Px, xyz... m, (X1,X2, ...,Xm) (fd den m del PE. x(t))
es conocida para cualquier conjunto s de (ty, tz, ..., tm),
tales que t, € Y,t, E Y,...,tm EY.
Un PE. especificado hasta el orden m, estátambién especificado hasta cualquier orden
inferior am.
Definición 5: LY" completa de un P.E.
Se dice que un á éspecificado completamente se el está
especificado nn, orden m, para cualquier valor entero m.
UTPL
Definición 4: Especificación de Orden m de un. P.EN
Se dice que un PE. está especificado hasta ehorden m cuando la fdp
conjunta Px, xyz... m, (X1,X2, ...,Xm) (fd den m del PE. x(t))
es conocida para cualquier conjunto s de (ty, tz, ..., tm),
tales que t, € Y,t, E Y,...,tm EY.
Un PE. especificado hasta el orden m, estátambién especificado hasta cualquier orden
inferior am.
Definición 5: LY" completa de un P.E.
Se dice que un á éspecificado completamente se el está
especificado nn, orden m, para cualquier valor entero m.
UTPL
MOMENTOS DE PROCESOS
ESTOCASTICOS
ESTOCASTICOS
Eu Momentos de Procesos Estocasticos
* Los momentos de un proceso estocástico son
los momentos de variables aleatorias definidas
en cualquier instante del proceso.
Definición 6: Media de un Proceso Estocastico
La media de un proceso estocdsticd x(t), representada por m,(t),
es definida como la med variable aleatoria x(t) (en
notación más compac; ¿J'aSociada a un instante cualquiera
tE Y, osea,
¡A x(t) = Elx(0]:t EY
* Los momentos de un proceso estocástico son
los momentos de variables aleatorias definidas
en cualquier instante del proceso.
Definición 6: Media de un Proceso Estocastico
La media de un proceso estocdsticd x(t), representada por m,(t),
es definida como la med variable aleatoria x(t) (en
notación más compac; ¿J'aSociada a un instante cualquiera
tE Y, osea,
¡A x(t) = Elx(0]:t EY
Eu Momentos de Procesos Estocasticos
Definición 7: Función Autocorrelación de un Proceso Estocástico
La función Autocorrelación de un procesos estocástico x(t),
representada por R,(t:, tz), es definida Ya correlación entre
las variables aleatorias x(t,) y x(t2) rl da más compacta
Xt, Y Xt,) asociadas a dos valores cualquiera t, € Y yt, € Y del
parámetro del proceso, o sea, A
LAGE t2) = ELO if, € Y,b EN
El valor de la función de,un,P:E. cuando t; = tz = t es denominado
valor medio cuadrático del proceso estocástico, siendo dado por
A ,t) =Elx?(0]:te Y
UTPL
Definición 7: Función Autocorrelación de un Proceso Estocástico
La función Autocorrelación de un procesos estocástico x(t),
representada por R,(t:, tz), es definida Ya correlación entre
las variables aleatorias x(t,) y x(t2) rl da más compacta
Xt, Y Xt,) asociadas a dos valores cualquiera t, € Y yt, € Y del
parámetro del proceso, o sea, A
LAGE t2) = ELO if, € Y,b EN
El valor de la función de,un,P:E. cuando t; = tz = t es denominado
valor medio cuadrático del proceso estocástico, siendo dado por
A ,t) =Elx?(0]:te Y
UTPL
Eu Momentos de Procesos Estocasticos
Definición 8: Función Autocovarianza de un PEN
La función autocovarianza de un PE. x(t), r presentada por
K,(t:, tz), es definida como la covarianz las variables
aleatorias x(t,) y x(tz) asociadas a a cualquiera t, € Y
y tz E Y del parámetro del proceso, o.se
Ky(t1,t2) = El(«(t) = moti) = mx(t2))| 54, EY, t¿ EY
Es posible llegar a la relación
Ks(tytY FR (tr, 12) = Max (1 )mx (2)
Definición 8: Función Autocovarianza de un PEN
La función autocovarianza de un PE. x(t), r presentada por
K,(t:, tz), es definida como la covarianz las variables
aleatorias x(t,) y x(tz) asociadas a a cualquiera t, € Y
y tz E Y del parámetro del proceso, o.se
Ky(t1,t2) = El(«(t) = moti) = mx(t2))| 54, EY, t¿ EY
Es posible llegar a la relación
Ks(tytY FR (tr, 12) = Max (1 )mx (2)
C 2 x(t), definido en el ejemplo anterior. Determine la
media, la función autocorrelación y la función autocovarianza.
media, la función autocorrelación y la función autocovarianza.
PROCESOS ESTOCASTICOS USUALES
Eu Transmisiôn Binaria Semi-Aleatoria
* Considere el PE. x(t) que caracteriza Unatransmisiön
binaria semi-aleatoria, definida de la siguiente manera:
durante cualquiera de los intervalos
I, = ((n - DT, nT) ; meentero
el proceso x(t) puede asumir unö-de entre dos valores,
A y — À. 4 x)
RTL ESS
BD | 3T 5T 5
* Considere el PE. x(t) que caracteriza Unatransmisiön
binaria semi-aleatoria, definida de la siguiente manera:
durante cualquiera de los intervalos
I, = ((n - DT, nT) ; meentero
el proceso x(t) puede asumir unö-de entre dos valores,
A y — À. 4 x)
RTL ESS
BD | 3T 5T 5
Eu Transmisiôn Binaria Semi-Aleatoria
+ Considerar que el valor del PE. en ún
determinado intervalo es estadísticamente
independiente de su valor en Jösdemäs
intervalos. Se supone además que los valores A y
— A ocurren con probabilidad}p y (1 — p),
respectivamente.
* Para un instante genérico cualquiera t, la fdp de
19 orden del PE.se expresa
Dx,(X) = pô A) + (1 — p)d(X + A)
» La media(de este’ proceso estocástico es
my(t) = Elx] = [7 XPx,(X)dX = A(2p — 1)
+ Considerar que el valor del PE. en ún
determinado intervalo es estadísticamente
independiente de su valor en Jösdemäs
intervalos. Se supone además que los valores A y
— A ocurren con probabilidad}p y (1 — p),
respectivamente.
* Para un instante genérico cualquiera t, la fdp de
19 orden del PE.se expresa
Dx,(X) = pô A) + (1 — p)d(X + A)
» La media(de este’ proceso estocástico es
my(t) = Elx] = [7 XPx,(X)dX = A(2p — 1)
Eu Transmisiôn Binaria Semi-Aleatoria
* Para calcular la función autocorrelación, considere la
va. y = x(t,) x(t,) donde t, y tz son instántes
cualquiera satisfaciendo la condición
ty € Ing
+ Se consideran dos situaciones:
— Los instantes t, yal ¿que definen las v.a’s x;, y x,
pertenecen al mismo, intervalo, o sea ny = Nz. En este
caso, la va. y asum&siempre el valor A“.
Consecuentemente;
Byin; En; N = 5(Y — A?)
— n, # Nz, lawa”y puede asumir los valores A? y —A?. Por
tanto
* Para calcular la función autocorrelación, considere la
va. y = x(t,) x(t,) donde t, y tz son instántes
cualquiera satisfaciendo la condición
ty € Ing
+ Se consideran dos situaciones:
— Los instantes t, yal ¿que definen las v.a’s x;, y x,
pertenecen al mismo, intervalo, o sea ny = Nz. En este
caso, la va. y asum&siempre el valor A“.
Consecuentemente;
Byin; En; N = 5(Y — A?)
— n, # Nz, lawa”y puede asumir los valores A? y —A?. Por
tanto
Eu Transmisiôn Binaria Semi-Aleatoria
P(y = A?|n, # nz)
= P(x, = A,x%, = Alh#n)
+ P(xe, = -A,% Am + nz)
PO = -A?In, # ny)
= P(x, aut, = -Alnı + nz)
+ POL = A, Xp, = Alnı # nm)
dado que ny # Mz, la va. x(t,) toma valores
independientemente de la v.a. x(t,), se obtiene
P(y = A?|n, # nz)
= P(x, = A,x%, = Alh#n)
+ P(xe, = -A,% Am + nz)
PO = -A?In, # ny)
= P(x, aut, = -Alnı + nz)
+ POL = A, Xp, = Alnı # nm)
dado que ny # Mz, la va. x(t,) toma valores
independientemente de la v.a. x(t,), se obtiene
Eu Transmisiôn Binaria Semi-Aleatoria
P(y = Am + nz) = p? +4 Sp)?
= 2p? — 2p +1
y
P(y = -A?|Inı # nz) = 2p(1- p) = 2p — 2p?
Consecuentemente
Pyinı#n, (X)
= (2p? 2p + 1)6(Y — 4?)
+ (2p — 2p?)ö(Y + A?)
Como
Ry (ty t2) = Elx(t,)x(t2)] = Ely]
P(y = Am + nz) = p? +4 Sp)?
= 2p? — 2p +1
y
P(y = -A?|Inı # nz) = 2p(1- p) = 2p — 2p?
Consecuentemente
Pyinı#n, (X)
= (2p? 2p + 1)6(Y — 4?)
+ (2p — 2p?)ö(Y + A?)
Como
Ry (ty t2) = Elx(t,)x(t2)] = Ely]
Eu Transmisiôn Binaria Semi-Aleatoria
* se obtiene que SY
A? ply = N2
R,(ty, t2) =
x(t1, 62) Cer > ¡uy En
* se obtiene que SY
A? ply = N2
R,(ty, t2) =
x(t1, 62) Cer > ¡uy En
Eu Onda Senoidal con Fase Aleatoria
* Considere el PE. x(t) definido por unafseñal sinosoidal
con un angulo de fase aleatorio, o sea
x(t) =A sinQrfyt +0)
donde 8 es una va. uniformemente distribuida en el
intervalo, (0, 277] o sea,
_(1m21,,*0€(0,211]
PORT oem]
* Considere el PE. x(t) definido por unafseñal sinosoidal
con un angulo de fase aleatorio, o sea
x(t) =A sinQrfyt +0)
donde 8 es una va. uniformemente distribuida en el
intervalo, (0, 277] o sea,
_(1m21,,*0€(0,211]
PORT oem]
Eu Onda Senoidal con Fase Aleatoria
* La media de este PE. es dada por
m,(t) = E[Asin(2rfot + 0)]
=| AsinQr fot
=> 27
+0) p9(0)d0 = | AsinQTft + 0) do = =0
La Función autocorrelaciön del PE. es*dada por
Ry (ty, t2) = = 2 CQNE Ela? Got + 6) sin(27fotz + 0)]
= E eloos(zmfaths™ t,)) ]- À Blcos(er f(t = t,) + 20)]
Finalmente
Roto) = cos(2nfalts — 4)
UTPL
* La media de este PE. es dada por
m,(t) = E[Asin(2rfot + 0)]
=| AsinQr fot
=> 27
+0) p9(0)d0 = | AsinQTft + 0) do = =0
La Función autocorrelaciön del PE. es*dada por
Ry (ty, t2) = = 2 CQNE Ela? Got + 6) sin(27fotz + 0)]
= E eloos(zmfaths™ t,)) ]- À Blcos(er f(t = t,) + 20)]
Finalmente
Roto) = cos(2nfalts — 4)
UTPL
ESTACIONARIEDAD DE LOS P.E.
Eu Estacionariedad de un P.E.
+ Un PE. puede ser estacionario en diversos
grados de estacionariedad.
Definición 9: Estacionariedad de ro den
Un proceso estacionario x(t) es dicho e onario de orden m
cuando su fdp de orden m no “Oy un desplazamiento en el
tiempo, o sea, cuando
Doc xt3203 ty Air X20 e. 7 New at%ty ro taa Av X2, N) VE
UTPL
+ Un PE. puede ser estacionario en diversos
grados de estacionariedad.
Definición 9: Estacionariedad de ro den
Un proceso estacionario x(t) es dicho e onario de orden m
cuando su fdp de orden m no “Oy un desplazamiento en el
tiempo, o sea, cuando
Doc xt3203 ty Air X20 e. 7 New at%ty ro taa Av X2, N) VE
UTPL
Eu Estacionariedad de un P.E.
Observaciones:
+ Un PE. x(t) es dicho estacionario de 1° orden
cuando
Px, (X) = ¡20 9) ; VT
» Un PE. x(t) es dicho estacionario de 2° orden
cuando
Px,Px> (XX) = Pie, +, +0 (Ar, X2) ; VT
+ Si x(t) es un PE/estacionario de orden m, el es
también estacionario de orden k, para cualquier
valor k < m.
Observaciones:
+ Un PE. x(t) es dicho estacionario de 1° orden
cuando
Px, (X) = ¡20 9) ; VT
» Un PE. x(t) es dicho estacionario de 2° orden
cuando
Px,Px> (XX) = Pie, +, +0 (Ar, X2) ; VT
+ Si x(t) es un PE/estacionario de orden m, el es
también estacionario de orden k, para cualquier
valor k < m.
Eu Estacionariedad de un P.E.
Definición 10: Estacionariedad en el sentido Estricto
Un PE. es dicho estacionario en el sentid rícto; o estrictamente
estacionario, cuando él es estacionario d en m para cualquier
valor entero de m. C $
Definición 11: Estacionariedadien el sentido Amplio
Un PE. x(t) es dicho estatiohario en sentido amplio, si
mio = Nx ; VT
y if NS
iO = nn; T=t2,—-ty
osea, cuando sted es constante y su función autocorrelación
depende de la diferencia tz — t1.
Definición 10: Estacionariedad en el sentido Estricto
Un PE. es dicho estacionario en el sentid rícto; o estrictamente
estacionario, cuando él es estacionario d en m para cualquier
valor entero de m. C $
Definición 11: Estacionariedadien el sentido Amplio
Un PE. x(t) es dicho estatiohario en sentido amplio, si
mio = Nx ; VT
y if NS
iO = nn; T=t2,—-ty
osea, cuando sted es constante y su función autocorrelación
depende de la diferencia tz — t1.
PI) Ergodicidad
Eu Propiedades de la Funciôn Autocorrelaciôn de
P.E. Estacionarios en el Sentido Amplio.
* En el caso de PE. en el sentido amplio, por el
hecho de que la función autocorrelación
Ry(t,, t2) depende apenas-de Ja diferencia
tz — ty, es usual representar la función
autocorrelación como*función de una única
variable T = tat,
R,@)SElx@xC + N]
P.E. Estacionarios en el Sentido Amplio.
* En el caso de PE. en el sentido amplio, por el
hecho de que la función autocorrelación
Ry(t,, t2) depende apenas-de Ja diferencia
tz — ty, es usual representar la función
autocorrelación como*función de una única
variable T = tat,
R,@)SElx@xC + N]
Eu Propiedades de la Funcion Autocorrelacion de P.E.
Estacionarios en el Sentido Amplio
|. La función autocorrelacion de PE.E.S.A. es par, o sea
R(t) = LAS)
2. El valor de la función autocorrelación de PE.E.S-A ent = 0 es igual al
valor medio cuadratico del proceso, o sea
Ry, (0) = Elx2@)]
3. Si un PE.E.S.A. contiene una componente periódica de periodo T, o sea,
si
x(t) = x(t nT);n entero
entonces, su función autocorrelaciönposee una componente periódica del
mismo periodo que
Ry (Tr=R,At + nT); n entero
4. Siun PE.E.S.A. no contiene\componentes periódicas, entonces
ARCO = mie) = 12
5. La función autocorrelación de PE.E.S.A.es máxima para T = 0, o sea,
IR, (t)| < R,(0) ; VI #0
Estacionarios en el Sentido Amplio
|. La función autocorrelacion de PE.E.S.A. es par, o sea
R(t) = LAS)
2. El valor de la función autocorrelación de PE.E.S-A ent = 0 es igual al
valor medio cuadratico del proceso, o sea
Ry, (0) = Elx2@)]
3. Si un PE.E.S.A. contiene una componente periódica de periodo T, o sea,
si
x(t) = x(t nT);n entero
entonces, su función autocorrelaciönposee una componente periódica del
mismo periodo que
Ry (Tr=R,At + nT); n entero
4. Siun PE.E.S.A. no contiene\componentes periódicas, entonces
ARCO = mie) = 12
5. La función autocorrelación de PE.E.S.A.es máxima para T = 0, o sea,
IR, (t)| < R,(0) ; VI #0
DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
Eu Densidad Espectral de Potencia
+ En el análisis o proyección de sistemas, el
conocimiento de la manera por. la.cual la potencia
se distribuye a lo largo del espectro de frecuencia
es de extrema importancia.
+ La Densidad Espectral de,Potencia de una señal
es una función devia frecuencia f que, cuando se
integra a lo largo dewina banda de frecuencias
proporcionasel valor de la potencia de la señal
existente-é€n la banda de frecuencias considerada.
+ En el análisis o proyección de sistemas, el
conocimiento de la manera por. la.cual la potencia
se distribuye a lo largo del espectro de frecuencia
es de extrema importancia.
+ La Densidad Espectral de,Potencia de una señal
es una función devia frecuencia f que, cuando se
integra a lo largo dewina banda de frecuencias
proporcionasel valor de la potencia de la señal
existente-é€n la banda de frecuencias considerada.
Eu Densidad Espectral de Potencia
* En el caso de una señal deterministica cualquier x(t), la
función densidad espectral de potencia,a ella asociada es
definida por
X À
SC = Im PQ!
donde
Xx NAPO]
con
T
x(t) ; Its 3
xr (O7
0 ; tej > E
’ 2
* En el caso de una señal deterministica cualquier x(t), la
función densidad espectral de potencia,a ella asociada es
definida por
X À
SC = Im PQ!
donde
Xx NAPO]
con
T
x(t) ; Its 3
xr (O7
0 ; tej > E
’ 2
Eu Densidad Espectral de Potencia
+ En el caso de PE.E.S.A, la densidadfespectral de
potencia es dada por la transformada de su
función autocorrelación.
5,(f) = | R(De Mr = FIR, (0)
* La potencia media de.un*proceso x(t) en una
banda de frecuencias caracterizadas por el
intervalo [f,, f2)*es*dada por
1 fi
Pray „Dar + [ “Seah
+ En el caso de PE.E.S.A, la densidadfespectral de
potencia es dada por la transformada de su
función autocorrelación.
5,(f) = | R(De Mr = FIR, (0)
* La potencia media de.un*proceso x(t) en una
banda de frecuencias caracterizadas por el
intervalo [f,, f2)*es*dada por
1 fi
Pray „Dar + [ “Seah
Eu Densidad Espectral de Potencia
* La potencia media total del proceso,puede ser
obtenida de la ecuación anterior, haciendo
fi =0y fo = oo. Se tiene-asi
P = PSA + LS af = SS Mar
* En el caso de que, X(t) sea un PE.E.S.A. se
puede escribir
R= Ry (0) = E[x?(t)]
* La potencia media total del proceso,puede ser
obtenida de la ecuación anterior, haciendo
fi =0y fo = oo. Se tiene-asi
P = PSA + LS af = SS Mar
* En el caso de que, X(t) sea un PE.E.S.A. se
puede escribir
R= Ry (0) = E[x?(t)]
Eu Densidad Espectral de Potencia
Definición 12: Ruido Blanco AN
Un PE. x(t), E.S.A. es dicho un proceso de ul Banco si su densidad
espectral de potencia es constante a lo lar do el espectro de
frecuencias, o sea, si ©
Sf) =
+ La función autocorrelaciön de un proceso de
ruido blanco es
R,(T) = Cé(t)
Definición 12: Ruido Blanco AN
Un PE. x(t), E.S.A. es dicho un proceso de ul Banco si su densidad
espectral de potencia es constante a lo lar do el espectro de
frecuencias, o sea, si ©
Sf) =
+ La función autocorrelaciön de un proceso de
ruido blanco es
R,(T) = Cé(t)
CARACTERIZACION CONJUNTA DE
PE:
PE:
Eu Especificacion Conjunta de dos P.E.
Definición 13: Especificación Conjunta de Orden Mot n de Dos
P.E’s
Ha!
Definición 14: Especificaciön-COnjunta Completa de Dos P.E.’s
Se dice que dos PE. RS stan conjunta o completamente
especificados cuando án conjuntamente especificados
hasta el orden n + cualquier valor de m + n.
Definición 13: Especificación Conjunta de Orden Mot n de Dos
P.E’s
Ha!
Definición 14: Especificaciön-COnjunta Completa de Dos P.E.’s
Se dice que dos PE. RS stan conjunta o completamente
especificados cuando án conjuntamente especificados
hasta el orden n + cualquier valor de m + n.
Eu Momentos Conjuntos de Dos P.E.’s
Definición 15: Función Correlación Cruzada
La función correlación cruzada Ry (t1, t2) de dos, PE. x(t) y y(t) es
definida como la correlación entre las v.aés® (ty) ) y y(t,) definidas
sobre cada uno de los procesos, respectivamente. Esto significa que
Ry (Ey t2) = Elx(t,Jy(t2)1
Definición 16: Función Covarianza Cruzada
La función covarianza cruzada Ky (t,, t2) de dos P.E.'s x(t) y y(t)
es definida como la covari ¡za ventre las v.a.'s x(t,) y y(t2)
definidas sobre cada ún los procesos, respectivamente, o sea,
IO)
| Kyy (ty, ta) = RAGE t2) — my(t,)m, (t2)
UTPL
Definición 15: Función Correlación Cruzada
La función correlación cruzada Ry (t1, t2) de dos, PE. x(t) y y(t) es
definida como la correlación entre las v.aés® (ty) ) y y(t,) definidas
sobre cada uno de los procesos, respectivamente. Esto significa que
Ry (Ey t2) = Elx(t,Jy(t2)1
Definición 16: Función Covarianza Cruzada
La función covarianza cruzada Ky (t,, t2) de dos P.E.'s x(t) y y(t)
es definida como la covari ¡za ventre las v.a.'s x(t,) y y(t2)
definidas sobre cada ún los procesos, respectivamente, o sea,
IO)
| Kyy (ty, ta) = RAGE t2) — my(t,)m, (t2)
UTPL
Eu Estacionariedad Conjunta de dos P.E.’s
Definición 17: Estacionariedad Conjunta de denn + n de dos
P.E’s
Ha!
Definición 18: Estacionariedad RTS el Sentido Estricto de
dos P.E.’s
WX
UTPL
Definición 17: Estacionariedad Conjunta de denn + n de dos
P.E’s
Ha!
Definición 18: Estacionariedad RTS el Sentido Estricto de
dos P.E.’s
WX
UTPL
Eu Estacionariedad Conjunta de dos P.E.’s
Definición 19: Estacionariedad S en Sentido Amplio de
dos P.E.’s
Definiciön 20: Densidad <> de Dos P.E.’s
UTPL
Definición 19: Estacionariedad S en Sentido Amplio de
dos P.E.’s
Definiciön 20: Densidad <> de Dos P.E.’s
UTPL
Eu Independencia, Descorrelaciôn y
Ortogonalidad
Definiciôn 21: P.E.’s Estadisticamente Independientes (e.i.)
Dos P.E.’s x(y) y y(t) son dichos e.i. cuando, para cualquiera de los
valores enteros positivos m y n, y para cualquier conjunto de
valores {t1, tz, ...,tm, ty, €2, ...,t,}, la fdp conjunta de las v.a.’s
{x(t),x(t2), ..., X(t), V(t), y (2), ««- »y(t!,)), puede ser escrita
como el producto de la función densidad de probabilidad conjunta
de las v.a.’s {x(tı), x(t2),%.. 9% con la fdp conjunta de las v.a.’s
Dt), vy), BERN
Pneu fd REN)
— aiii, mt Xm) Py ryt Y, Cn Grp coon Va) Vie
a 2
Ortogonalidad
Definiciôn 21: P.E.’s Estadisticamente Independientes (e.i.)
Dos P.E.’s x(y) y y(t) son dichos e.i. cuando, para cualquiera de los
valores enteros positivos m y n, y para cualquier conjunto de
valores {t1, tz, ...,tm, ty, €2, ...,t,}, la fdp conjunta de las v.a.’s
{x(t),x(t2), ..., X(t), V(t), y (2), ««- »y(t!,)), puede ser escrita
como el producto de la función densidad de probabilidad conjunta
de las v.a.’s {x(tı), x(t2),%.. 9% con la fdp conjunta de las v.a.’s
Dt), vy), BERN
Pneu fd REN)
— aiii, mt Xm) Py ryt Y, Cn Grp coon Va) Vie
a 2
Eu Independencia, Descorrelaciôn y
Ortogonalidad
Definición 22: Procesos Estocásticos Descorrelacionados
Dos PE. x(t) y y(t) son dichos descorrelacionados cuando su
función covarianza cruzada es nula para © de los valores
de t, y tz, o sea,
Kyy(t, tz) = ofv & 2
Una condición equivalente para PE.’s descorrelacionados es
Ko Esyta) Slt Im, (t2)
Definición 23: Procesos Estocásticos Ortogonales
Dos P.E.'s x(t) y y(t) Son dichos ortogonales cuando su función
correlación N nula para cualquiera de los valores de t, y
ty, 0 sea,
Ryy (ty, t2) = 0; Vty, te
Ortogonalidad
Definición 22: Procesos Estocásticos Descorrelacionados
Dos PE. x(t) y y(t) son dichos descorrelacionados cuando su
función covarianza cruzada es nula para © de los valores
de t, y tz, o sea,
Kyy(t, tz) = ofv & 2
Una condición equivalente para PE.’s descorrelacionados es
Ko Esyta) Slt Im, (t2)
Definición 23: Procesos Estocásticos Ortogonales
Dos P.E.'s x(t) y y(t) Son dichos ortogonales cuando su función
correlación N nula para cualquiera de los valores de t, y
ty, 0 sea,
Ryy (ty, t2) = 0; Vty, te
Propiedades de la Función Correlación
Cruzada de P.E. Conjuntamente E.S.A.
Cruzada de P.E. Conjuntamente E.S.A.
PROCESOS ESTOCASTICOS Y
SISTEMAS LINEALES
SISTEMAS LINEALES
Eu P.E. y Sistemas Lineales
+ Las representaciones matemáticas de PE!s presentadas
anteriormente pueden ser utiles para caracterizar la
salida de un sistema lineal, cuando-este,es excitado por
un proceso estocastico.
+ Se considerará únicamente sistemas lineales invariantes
en el tiempo, cuyo comportamiento puede ser
representado alternativamente por su respuesta al
impulso h(t) o su respuesta de frecuencia H(f),
definida como la transformada de Fourier de su
respuesta al impulso:
+ Con conveniencia en la mayoría de los casos las
condiciones iniciales son nulas. Cualquier condición
inicial no nulaypuede considerarse a partir de los
métodos usuales de análisis de sistemas lineales.
+ Las representaciones matemáticas de PE!s presentadas
anteriormente pueden ser utiles para caracterizar la
salida de un sistema lineal, cuando-este,es excitado por
un proceso estocastico.
+ Se considerará únicamente sistemas lineales invariantes
en el tiempo, cuyo comportamiento puede ser
representado alternativamente por su respuesta al
impulso h(t) o su respuesta de frecuencia H(f),
definida como la transformada de Fourier de su
respuesta al impulso:
+ Con conveniencia en la mayoría de los casos las
condiciones iniciales son nulas. Cualquier condición
inicial no nulaypuede considerarse a partir de los
métodos usuales de análisis de sistemas lineales.
Eu P.E. y Sistemas Lineales
x(t) yO
EEE RCE) rar
L____ —
* La Figura representa un sistema lineal
invariante en el tiempo; en el dominio del
tiempo.
* x(t) y y(t) representan, respectivamente, la
entrada y la salida del sistema lineal y h(t) su
respuesta al impulso.
x(t) yO
EEE RCE) rar
L____ —
* La Figura representa un sistema lineal
invariante en el tiempo; en el dominio del
tiempo.
* x(t) y y(t) representan, respectivamente, la
entrada y la salida del sistema lineal y h(t) su
respuesta al impulso.
Eu P.E. y Sistemas Lineales
+ La salida de un sistema lineal invariante enfehtiempo se
relaciona con su entrada a través de la integral de
convolución, o sea,
oo
y(t) = x(t) * h(t) = J x(a)n(t — a)da
+ Los resultados siguientes se-restringen al caso de sistemas
físicamente realizables y estables en el sentido BIBO
(bounded input — bounded@*output). Restricción matemática
que puede expresarse por
h(t)=0;t<0
| |A(t)| dt < +00
+ La salida de un sistema lineal invariante enfehtiempo se
relaciona con su entrada a través de la integral de
convolución, o sea,
oo
y(t) = x(t) * h(t) = J x(a)n(t — a)da
+ Los resultados siguientes se-restringen al caso de sistemas
físicamente realizables y estables en el sentido BIBO
(bounded input — bounded@*output). Restricción matemática
que puede expresarse por
h(t)=0;t<0
| |A(t)| dt < +00
Eu P.E. y Sistemas Lineales
* Satisfaciendo la condición anteriorfla\integral de
convolución se reduce a
yOu j OM Oda
» Equivalente a
y(t) & | Xt - B)h(B)dß
0
realizando unafcambio de variables de integración
B=t-a.
* Satisfaciendo la condición anteriorfla\integral de
convolución se reduce a
yOu j OM Oda
» Equivalente a
y(t) & | Xt - B)h(B)dß
0
realizando unafcambio de variables de integración
B=t-a.
Eu P.E. y Sistemas Lineales
+ Considerar que la entrada x(t)-de‘un sistema
lineal sea un PE.E.S.A. Determinar la media y
la función autocorrelacién-deLPE. y(t) que
caracteriza la salida del sistema lineal.
+ Considerar que la entrada x(t)-de‘un sistema
lineal sea un PE.E.S.A. Determinar la media y
la función autocorrelacién-deLPE. y(t) que
caracteriza la salida del sistema lineal.
Eu media de y(t)
my(t) = DOI = [EXC wa
o sea
my(t) = m,(t) + RCE)
considerando que x(t) es E.S.A. y consecuentemente
m,(t) = nx, se tiene
my(t) = ma —ajda
ef Map = 1.100) = ny
Observar: la media’de y(t) es constante.Y si el sistema lineal
es estable la integral es finita y consecuentemente 7, < +00
my(t) = DOI = [EXC wa
o sea
my(t) = m,(t) + RCE)
considerando que x(t) es E.S.A. y consecuentemente
m,(t) = nx, se tiene
my(t) = ma —ajda
ef Map = 1.100) = ny
Observar: la media’de y(t) es constante.Y si el sistema lineal
es estable la integral es finita y consecuentemente 7, < +00
Eu Funcion autocorrelacion de y(t)
Ry tute) = EDIC!
= | | roxana, DU - Pdadp
Ry (ty, t2) = Ely)
=| | regis ont: - paaas
considerando que x(t) es ES.A.,se obtiene
Ry(t1,€2) = Ely(t1)y(t2)]
= Je Ra - pt - tes - Pda
esta expresión puede simplificarse al considerar un cambio de las
variables de integración dados por
Ry tute) = EDIC!
= | | roxana, DU - Pdadp
Ry (ty, t2) = Ely)
=| | regis ont: - paaas
considerando que x(t) es ES.A.,se obtiene
Ry(t1,€2) = Ely(t1)y(t2)]
= Je Ra - pt - tes - Pda
esta expresión puede simplificarse al considerar un cambio de las
variables de integración dados por
Eu Funcion autocorrelacion de y(t)
= ty —-a
y=t,-B
se tiene entonces, con T = ty — tz
Ry(t1,t2) = Ely(t)y(2)
= [ P R,.(ty — to — À
+ YRARG)dady = Ry(t)
y(t) es E.S.A.
Luego de algunas manipulaciones algebraicas, es posible
simplificar la expresión
RC) = h(=T) * A(z) * Rx (7)
= ty —-a
y=t,-B
se tiene entonces, con T = ty — tz
Ry(t1,t2) = Ely(t)y(2)
= [ P R,.(ty — to — À
+ YRARG)dady = Ry(t)
y(t) es E.S.A.
Luego de algunas manipulaciones algebraicas, es posible
simplificar la expresión
RC) = h(=T) * A(z) * Rx (7)
Eu Funcion correlacion cruzada
La función correlación cruzada Rx,(£1,t2) de los
PE. x(t) y y(t) pueden ser obtenidas considerando
Rxy (tx, t2) = Elx(t1)y(t2)]
=| Elx(tN)x(a)]h(t, — a)da
haciendo $6 = t,5 0
oo
Ryy (tg ta) = | Ry (ty, t2 — B)hA(B)dB
La función correlación cruzada Rx,(£1,t2) de los
PE. x(t) y y(t) pueden ser obtenidas considerando
Rxy (tx, t2) = Elx(t1)y(t2)]
=| Elx(tN)x(a)]h(t, — a)da
haciendo $6 = t,5 0
oo
Ryy (tg ta) = | Ry (ty, t2 — B)hA(B)dB
Eu Funcion correlacion cruzada
como x(t) es E.S.A.
Ray (tty) = | Ry (ty (Et )NBAB
= Ryy(t); T= tp —tı
o en notación más simple
Rey OS Rx) * h(t)
como x(t) es E.S.A.
Ray (tty) = | Ry (ty (Et )NBAB
= Ryy(t); T= tp —tı
o en notación más simple
Rey OS Rx) * h(t)
Eu Densidad Espectral de Potencia
+ Se concluye, que en un sistema lineal invariante
en el tiempo y estable, si la entrada es un
PE.E.S.A., entonces los PE. de:entrada y de salida
del sistema lineal son conjuntamente E.S.A.
La densidad espectral/de pótencia del PE. y(t)
puede ser obtenida aplicando la transformada de
Fourier a ambos lados de la función
autocorrelaciön.
SA) = HN HIS
+ Se concluye, que en un sistema lineal invariante
en el tiempo y estable, si la entrada es un
PE.E.S.A., entonces los PE. de:entrada y de salida
del sistema lineal son conjuntamente E.S.A.
La densidad espectral/de pótencia del PE. y(t)
puede ser obtenida aplicando la transformada de
Fourier a ambos lados de la función
autocorrelaciön.
SA) = HN HIS
Eu Densidad Espectral de Potencia
o
s,N = IHNEN
De manera análoga, la densidad-éspectral
cruzada de los PE. x(t) y y(t) puede ser
obtenida aplicando la tränsformada de Fourier a
ambos lados de la,función correlación cruzada
Ney U) = HNOS:
o
s,N = IHNEN
De manera análoga, la densidad-éspectral
cruzada de los PE. x(t) y y(t) puede ser
obtenida aplicando la tränsformada de Fourier a
ambos lados de la,función correlación cruzada
Ney U) = HNOS:
Considere un PE. de ruido blanco x(t) con mediaen ula y densidad
espectral de potencia dada por
se tiene en este caso
R(t) =
Determinar la media, la Fe Moreton y la potencia
media del PE. y(t) obténida por el paso del proceso estocástico
x(t) a través del filtro,RC de la figura.
R
BÚNMNMNMNM NAAA o
Eta)
=
all
espectral de potencia dada por
se tiene en este caso
R(t) =
Determinar la media, la Fe Moreton y la potencia
media del PE. y(t) obténida por el paso del proceso estocástico
x(t) a través del filtro,RC de la figura.
R
BÚNMNMNMNM NAAA o
Eta)
=
all
PROCESOS ESTOCASTICOS
GAUSSIANOS
GAUSSIANOS
REFERENCIAS
Eu Referencias
« ALBUQUERQUE, J. PA.; FORTES, J.M.; FINAMORE, WA.
(1993) Modelos Probabilisticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicagao CETUC.
+ Marco Grivet, Procesos Estocästicos-l, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones — CETUC;2006. [Slide]
+ Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría
de la Comunicación, Curso, 2007-2008. [Slide]
+ ALBERTO LEON-GARCIA; Probability, Statistics, and
Random Processes,For Electrical
Engineering, Third.Edition, Pearson — Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.
« ALBUQUERQUE, J. PA.; FORTES, J.M.; FINAMORE, WA.
(1993) Modelos Probabilisticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicagao CETUC.
+ Marco Grivet, Procesos Estocästicos-l, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones — CETUC;2006. [Slide]
+ Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría
de la Comunicación, Curso, 2007-2008. [Slide]
+ ALBERTO LEON-GARCIA; Probability, Statistics, and
Random Processes,For Electrical
Engineering, Third.Edition, Pearson — Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.
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