8.0 formas integrales de leyes fundamentales

fluidos 1

1. LAS TRES LEYES BASICAS
Las cantidades integrales de interés principal en la mecánica de
fluidos están contenidas en las tres leyes básicas: conservación de
la masa, primera ley de la termodinámica y la segunda Ley de
Newton Estas leyes básicas se expresan usando una descripción
lagrangianaen términos de un sistema, un conjunto fijo de
partículas de un material.
Por ejemplo, si consideramos el flujo a través de un tubo,
podríamos identificar una cantidad fija del fluido en un instante t,
este sistema se movería entonces debido a la velocidad de
ubicación corriente abajo en el instante t+Δt. Cualquiera de las
tres leyes básicas podría aplicarse a este sistema aun cuando esto
no es fácil
•

2. CONSERVACION DE LA MASA
Laleyqueexpresaquelamasadebeconservarsees:
Lamasadeunsistemapermanececonstante
Lamasadeunapartículadefluidoesρ.dV,dondedVesel
volumenocupadoporlapartículayρessudensidad.
Sabiendoqueladensidadpuedecambiardeunpuntoaotro
enelsistema,laconservacióndelamasapuedeexpresarse
deformaintegralcomo:
??????
????????????
න
�??????��
ρ.��=0
Donde D/Dtse usa porque estamos siguiendo un grupo especifico de partículas de un
material, un sistema

3. PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA
Laleyquerelacionalatransferenciadecalor,eltrabajoyelcambiode
energíaeslaPrimeraLeydelaTermodinamicayestableceque:
Larazóndetransferenciadecalordeunsistemamenoslarapidezala
queelsistemarealizatrabajoesigualalarapidezalaquelaenergíadel
sistemaestacambiando
Reconociendoqueladensidadylaenergíaespecificapuedencambiarde
unpuntoaotroenelsistema,puedeexpresarsecomo:
??????−�=
??????
????????????
න
�??????��
�.ρ.��
Donde la energía especifica e constituye la energía cinetica, la energía potencial y la
energía interna por unidad de masa.

4. SEGUNDA LEY DE NEWTON
Estambiénconocidocomoecuacióndelacantidaddemovimiento,
estableceque:
Lafuerzaresultantequeactúasobreunsistemaesigualalarapidezala
queestacambiandolacantidaddemovimientodelsistema
Lacantidaddemovimientodeunapartículadefluidoconmasaesuna
cantidadvectorialdadaporVρ.dV,enconsecuencia,lasegundaleyde
Newtonpuedeexpresarseenunmarcodereferenciainercialcomo:
෍??????=
??????
????????????
න
�??????��
�ρ.��
Reconociendo que tanto la densidad como la velocidad pueden cambiar de un
punto a otro en el sistema. Esta ecuación se reduce a σ??????=�??????.
Si V y ρson constantes en todo el sistema; ρes con frecuencia una constante,
pero en mecánica de fluidos el vector velocidad invariablemente cambia de un
punto a otro. De nuevo se usa D/Dtpara dar la rapidez de cambio porque la
Segunda Ley de Newton se aplica a un sistema

5. ECUACION DEL MOMENTO DE LA
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
SeoriginaenlaSegundaLeydeNewton,estableceque:
Elmomentoresultantequeactúasobreunsistemaesigualala
rapidezecambiodelacantidaddemovimientoangulardel
sistema
Enformadeecuaciónestoseconvierte,respectoaunmarcode
referenciainercial:
෍�=
??????
????????????
න
�??????��
??????∗�ρ.��
Donder*Vρ.dVrepresentalacantidaddemovimientoangulardeunapartículade
fluidoconmasaρ.dV.ElvectorrubicaelelementodevolumendVysemide
desdeelorigendelosejescoordenados,elpuntorespectoalcualsemideel
momentoresultante

6. Encadaunadelasleyesbásicaslacantidadintegral
esunapropiedadextensivadelsistema.Seutilizara
elsímboloN
sistparadenotarestapropiedad
extensiva,porejemploN
sistpodríaserlamasa,la
cantidaddemovimientoolaenergíadelsistema.
Entonceslaecuaciónpodríaexpresarse:
??????�
�??????��
??????
Donde N
sistrepresenta una cantidad integral, o una
cantidad escalar o una cantidad vectorial

7. Tambiénesútilintroducirlavariableηparalapropiedadintensiva,lapropiedaddeun
sistemaporunidaddemasa.LarelaciónentreN
sistyηestadadapor
�
�??????��=න
�??????��
ηρ��
Comoejemplo,lapropiedadextensivadelasegundaleydeNewtoneslacantidadde
movimiento
�??????�????????????�??????�����????????????�??????��??????�
�??????��??????????????????=න
�??????��
�ρ��
LacualesunacantidadvectorialLapropiedadintensivacorrespondienteseriaelvector
velocidadV.Ladensidadyvelocidad,lascualespuedenvariardeunpuntoaotrodel
sistema,tambiénpuedeserfuncionesdeltiempo,comoenunflujodiscontinuo.
ElVolumendecontrol,esunaregióndelespacioelcualentraelfluidoy/odesdeelcual
sale.
Ladiferenciaentrevolumendecontrolyunsistema,esqueelsistemaocupaelvolumende
controlenelinstanteryparcialmentesehasalidoenelinstanter+Δt
Ejemplo de un volumen de control y un sistema fijos a) instante r , b)instante r+Δt

8. SISTEMA
Se trata de una región del espacio de la cual existen diferentes
componentes que interactúan entre si, intercambiando
energía y en ocasiones masa.
Un sistema posee una frontera que lo delimita. Esta frontera
puede ser material (las paredes de un recipiente por ejemplo)
o imaginaria (una sección transversal de un tubo de escape
abierto).
SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL

9. LA FRONTERA DE UN SISTEMA PUEDE SER
Fija(ejm: las paredes de un recipiente).
Móvil(ejm: el pistón de un motor de explosión).
Permeable a la masa(ejm: Un motor en el que entra gasolinapor un
lado y salen gases por otro).
Impermeable a la masa(ejm: El circuito de refrigeración de una nevera,
el gas freón que circula por los tubos nunca sale al exterior).
Permeable al calor(diaterma).
Impermeable al calor(adiabática).

10. TIPOS DE SISTEMA
CERRADO
Es una región que contiene una masa constante; se
denomina masa de control. A través de sus limites
solo se permite la transferencia de energía, pero no
de materia. La pared que rodea el sistema es
impermeable.

11. ABIERTO
En un sistema abierto es posible la transferencia de masa y de energía
a través de sus limites; la masa contenida en el no es necesariamente
constante.
RÍGIDO
No permite el cambio de volumen.
AISLADO
Es aquel sistema que no puede transferir energía ni materia con su
entorno.
ADIABÁTICO
Solo permite intercambio en forma de trabajo entre el sistema y su
entorno.
DIATÉRMICA
Permite intercambio de energía de otra forma que no son trabajo.

12. VOLUMEN DE CONTROL
Serefiereaunaregiónenelespacioyesútilenelanálisis
desituacionesdondeocurreflujodentroyfueradel
espacio.Eltamañoyformadelvolumendecontrolson
arbitrariosyestándelimitadosporunasuperficiede
control.

13. SUPERFICIE DECONTROL
Es la frontera del volumen de control y separa el
volumen de control del exterior. Esta frontera
puede ser real o imaginaria

14. Debido al interés sobre las propiedades de cambio del sistema que se
quieren expresar en función del volumen de control.
Estas propiedades extensivas del sistema será representadas por N
sist, las
propiedades intensivas relacionadas a las N
sist, serepresentaran por η
La Derivación significa flujos de propiedades extensivas ( flujo es la medida
de la velocidad con la que una propiedad cruza un área)
TRANSFORMACION DE UN SISTEMA A UN
VOLUMEN DE CONTROL

15. Entonces de laimagen anterior y el análisisde lapropiedades extensivas del sistema se dice:
Del grafico se puede observar que :
Sumando y restando la expresión N
1(t+Δt)seobtienelo siguiente
Se puede observar que el primer límitese refiere alvolumen de controlpor lo que se
puede escribir

16. Entonces el primer limite se puede expresar como:
Analizando el sistema en los estados N
3(t+Δt) y N
1(t+Δt) se obtiene:

17. Reconociendo que A
3mas A
1rodean por completo el volumen de
control. Estas se suman dando lugar a:
Reemplazando esto en la ecuación anterior (#) se obtiene
O su equivalente
Esta es una transformación Lagranguianaen Eulerianade velocidad de cambio
de una propiedad integral extensiva

19. Simplificación de la transformación a un
sistema de control
Muchos flujos deinterésson continuos demodo de que
Entonces la transformación a un sistema de control se hace mas sencilla

20. Y se concluye que:
Esta forma se usa a menudo en la aplicación de las leyes básicas
en problema

21. Teorema del Transporte de Reynolds
Considérese una región de flujo donde se ha delimitado
un volumen de control y se ha seleccionado un sistema
de manera que en el instante inicial las partículas del
sistema están todas dentro del volumen de control y el
volumen de control no contenga ninguna otra partícula.
Con el paso del tiempo laspartículas del sistema viajan a
través de la superficie de control abandonándolo yotras
partículas cruzarán lasuperficie de control desde
elexterior. Otras partículas del sistemapermanecerán
dentro del volumen de control al cabo del intervalo de
observación.En ese momento se tendrá una
configuración similar a la siguiente:

22. La región de flujo queda ahora dividida encuatro espacios
•El espacio ocupado por las partículas que pertenecen al sistema y han
abandonado el volumen de control a través de la superficie de control.
•El espacio ocupado por las partículas que pertenecen al sistema y no han
abandonado el volumen de control.
•Las partículas que no pertenecen al sistema y han ingresado al volumen
de control desde el exterior através de la superficie de control.
•Las partículas que no pertenecen al sistema y no se encuentran dentro
del volumen de control.

23. Ademáslaspartículasfluidassonposeedorasdemuchas
propiedadesquedependendelacantidaddesustanciaque
representecadapartícula,porejemplolaspartículasposeen
masa,poseencantidaddemovimiento,poseenmomento
delacantidaddemovimiento.Ycuandounapartículaviaja
enunaregióndeflujollevaconsigoesapropiedad,osea
quelapartículafluidatransportaconsigomúltiples
propiedades,ylastransportasimultáneamente.Entrelas
propiedadesquetransportalapartículafluidaestán
precisamentelamasa,lacantidaddemovimientoy
elmomentodelacantidaddemovimiento
LapropiedadquetransportaelflujoseráNylapropiedad
intensivaasociadaseráη

24. Elprimermiembrodelaecuaciónrepresentala
variacióninstantánea(oseaconeltiempo)dela
propiedadNenelsistema.
Elprimertérminodelsegundomiembro
representalavariacióninstantánea(oseaconel
tiempo)delapropiedadNdentrodelvolumen
decontrol.
Elsegundotérminodelsegundomiembro
representaelflujo(pasoinstantáneo)dela
propiedadNatravésdetodalasuperficiede
control

25. Conservación de la masa
Conservación de la masa integral
Si el principio que serequiere estudiar es el de conservación de
lamasa desde el punto de vista del análisis integral sepuede recurrir
a laecuación de transporte de Reynolds:
La rapidez de variación de lamasa dentro del sistema es iguala la
rapidez de variación de la masa dentro del volumen de control más el
flujo de masa a través de la superficie de control.
O más simplificadamente:
Rapidez de variación de la masa dentro delsistema = rapidez de
variación dela masa dentro del VC + flujo de masa a través de la SC:
En otros términos

26. t es el tiempo.
Ρes la densidad el fluido.
dvoles el diferencial de volumen dentro delvolumen de control.
es el producto escalar entre lavelocidad del flujo y
eldiferencial deárea quecruza.Tiene elsignificados devolumen
quepor unidad de tiempo cruza la superficie de control
El primer miembro de laecuación representa la variación instantánea (o sea con el
tiempo) de la masa en el sistema. pero el concepto de sistema exige que la cantidad
de sustancia, dada por el número de partículas o por la masa misma, sea constante
y por tanto no variará con el tiempo.Este término es nulo.
El primer términodel segundo miembro representa la variación instantánea(o sea
con el tiempo) de la masa dentro del volumen de control.
El segundo término del segundo miembro representa el flujo (pasoinstantáneo) de
la masaa través de todala superficie de control

27. Larepresentaciónpositivaparaeldiferencialde
áreaesaquelladondeelvectoráreaapunta
haciaelexteriordelvolumendecontrol.
Lavelocidaddelflujosedescribedesdeun
sistemaadosadoalvolumendecontrol.
Todoslostérminosdelaecuaciónsonescalares
Todoslostérminostienenunidadesdemasa
sobreunidaddetiempo.
Conunordendiferentelaecuaciónes:

28. Quedicequeelflujoenmasaatravésdelasuperficiedecontrolesiguala
menoselcambioinstantáneodemasaenelinteriordelvolumendecontrol.El
flujoenmasaseconocecomocaudalmásico.Estaecuaciónsesimplificaaún
másenestasdoscircunstancias
Si el flujo es permanente:
Quedicequeenunflujopermanenteelflujonetoenmasaatravésdela
superficiedecontrolesnulo.Enotraspalabras,lacantidaddesustancia
queingresaalVCenunintervaloesigualalacantidaddesustanciaque
abandonaelvolumendecontrolenesemismotiempo.Estaexpresiónse
satisfaceasíintervenganunoovariosfluidosoalgunodeellosvaríesu
densidadenlaregióndeflujo.

29. Si el fluido es incompresible
Quedicequeenunflujoincompresibleelflujonetoenvolumenatravésdela
superficiedecontrolesigualamenoselcambioinstantáneodevolumendefluido
dentrodelvolumendecontrol.Enotraspalabras,elvolumendefluidoquesale
delVCenunintervalomenoselvolumendefluidoqueingresaalVCenesemismo
tiempoesigualamenoslaacumulacióndevolumendefluidodentrodelvolumen
decontrol
Siademáselflujoespermanente:
Que dice que en un flujo incompresible permanente el flujo neto en volumen a
través de la superficie de control es nulo.Es decir, el volumen por unidad de
tiempo que ingresa al VC es igual al volumen por unidad de tiempo que sale
delVC.El flujoenvolumen seconoce comocaudal volumétrico.Cuando
semenciona "caudal",normalmente debeentenderse como caudal volumétrico