ACB CEDADCS parte 3 Ajuste no Centrado.pdf

analisis de datos

1. 4.4AJUSTEMINIMOCUADRÁTICO DELASNUBESDE
PERFILESFILAYPERFILESCOLUMNAS
Losprocedimientosmatemáticosdelosajustesenlos
espacios�
�
y�
�
serealizaránentérminosdelasmatrices
deperfilesfilasycolumnasquesemostraránenlas
seccionessiguientes
Enlaprimeradeellassetrabajaránlasmatricesdeperfiles
sinningunatransformaciónysincentramientos,valedecir,
setrataránlasmatricesdelosperfilesdeambasnubes�(�)
y�(�)deacuerdoasudefiniciónoriginalyposteriormente
enlasdosseccionessiguientesserealizaránalgunas
transformacionessobreambasmatricesdeperfilesque
permitiránestablecercorrespondenciasdirectasconla
técnicadelAnálisisGeneralexplicadoenelCapítulo2.

2. Losdosprimerosprocedimientosmatemáticosse
basanenlasmatricesdeperfilesnocentradasy
producenresultadossimilares,mientrasqueenel
últimoprocedimientoelajustesebasaenlas
matricesdeperfilescentradosconrespectoalos
perfilespromediosdeambasnubes,siendolaúnica
diferenciaelnúmerodeautovaloresyautovectores.

3. Losprocedimientosmatemáticosdelosajusteen�
�
y
�
�
serealizaránentérminosdelasmatricesdeperfiles
filasycolumnasnocentradas,yaquelosresultadosson
muyparecidosalosajustesdelasmatricescentradas,
siendolaúnicadiferenciaelnúmerodeautovaloresy
autovectores.
Enelcasodelosajustesparalasmatricesnocentradas
presentanunautovaloryunautovectorextra,conocido
comotriviales.Elautovalortrivialvale1yelautovector
trivialesigualalperfilpromediodelanubedepuntos
correspondientealajuste.
Notomandoencuentaelautovectortrivialyelautovalor
trivial,elrestodelosresultadoscoincidenconlosdel
ajustedelasmatricescentradas.
4.4.1AJUSTESENLOSESPACIO�
�
YENELESPACIO�
�

4. 4.4.1.1 AJUSTEENELESPACIO�
�
Sebasaenelanálisisgeneralytomacomobasela
�matrizdeperfiles�
−�
�,cadaunodelosperfiles
filastieneunpesodadoporsufrecuenciarelativa��.
ylamatrizdepesosdelosperfilesfilas��.
Elespacio�
�
secaracterizaporqueestádotadode
unadistanciaEuclídeaponderada(Distancia??????
�
)en
laquecadadimensióntieneasignadounpeso
definidoporelinversodelafrecuenciarelativade
lascolumnas�/�.�delamatrizdedatosF.Estos
pesosseorganizanenunamatrizdiagonal??????
�
−�
.

5. �
�
−�
=
1/??????.1
1/??????.2
⋱
1/??????.??????

6. Laideaconsisteenbuscarelsubespaciodemejor
ajusteparalanubedepuntosperfilesfilas��
ubicadasenelespacio�
�
;cadaunodelosperfiles
filastieneasociadounpesodadoporsufrecuencia
relativa��.;�=�,�,⋯,�.
Enresumenlamatrizdeperfilesseexpresaatravés
�delamatriz:�
�
�cuyotérminogenéricoseexpresa
como:
���/��.;�=�,�,⋯,�;�=�,�,⋯,�
Elpesodelosperfilesfilasseexpresaatravésde
unamatrizdiagonaldeorden�quesedenotacomo
��.

7. ��=
??????1.
??????2.
⋱
????????????.
Deacuerdoalanálisisgeneralelajusteeneste
espacionoesmásquelabúsquedadelsubespacio
demejorajusteparalanubedeperfiles�(�)en
�
�
.

8. Enlaprimeraetapasetratadeconstruirun
subespaciodedimensión1,talquelasumadelas
distanciasalcuadradodetodoslospuntosdel
espaciooriginalalosperfilesfilas�proyectados
sobreelsubespaciogeneradoporelvector
unitario�
�
seamínima.Estoesequivalentea:
���෍
�=�
�
൯�
�
(�,�
��
�����????????????�
�
�
=�

9. Donde���,eslaproyecciónortogonaldelperfil�
sobreelvector�
�
,valedecirsobreelsubespacio
quegeneraestevector.Gráficamente:
Figura 4.1
Ajustedelaprimeradirecciónfactorial

10. Elproblemademinimizacióndelaformacuadrática
planteadaarribasetransformaenlamaximización
deotraformacuadráticasujetaaunarestricción
cuadrática:
Laexpresiónenlasumatoriaconstituyelasumatoria
detodaslasproyeccionesdelosperfilesfilas�
sobreelvector�
�
elevadasalcuadrado,talcomo
semostróenelCapítulodelAnálisisGeneral.
�????????????෍
�=�
�
൯�
�
(�,�
��
�����????????????�
�
�
=�

11. Laexpresióndemaximizaciónanteriorseexpresa
entérminosmatricialescomo:
�??????��
−�
��
−�
�
�
��
�
����
−�
���
−�
�
�
Sujetaa�
�
�
�
�
−�
�
�
=�

12. Comosetratadeunproblemadeoptimización
sujetaarestriccionesnolinealesdeigualdadse
abordarámedianteelmétododelosmultiplicadores
deLagrange,entalsentidosedefinelafunción
Lagrangiana:
��
�
,??????�=�
�
�
�
−�
�
�
�
−�
��
−�
�
�
−??????�
�
�����
�
�
−�
�
�
−�
�
−�
�
�
�
−�
��
−�
�
�
=??????�
−�
�
�
�����
Derivandoparcialmenteconrespectoa�
�
�??????
�;y
operandoconvenientementesellegaalsiguiente
autosistema:

13. Laexpresiónamaximizarenlaformacuadrática,
sumatoriadelasproyeccionesdelosperfilesfilas
elevadasalcuadrado,esigualprimerautovalor
Luego�
�
esunvectorunitarioasociadoalmayor
−��−�−�
autovalor??????�delamatriz��������
Alpremultiplicarelautosistemaporelvector
�
�
�
setieneque
�
�
�
??????
�
−�
�
�
??????
�
−�
�??????
�
−�
�
�
=??????
��
�
�
??????
�
−�
�
�
=??????
�

14. Ahorasedebeencontrarunsegundovectordirector
�
�
denorma1queseaortogonala�
�
yque
maximicelasumadelasproyeccionesdetodos
lospuntosdelespaciooriginalproyectadossobre
elvector�
�
elevadasalcuadrado,
siendolaprimeradirecciónlageneradamedianteel
primerajuste.EnlaFigura4.2,setiene:

15. Figura 4.2
Ajustedelasegundadirecciónfactorial

16. DefiniendolafuncióndeLagrangeyoperando
ellasellegaalconvenientementecon
autosistema
siguiente
Entérminosmatemáticos,elproblemagráfico
planteadoconsisteenlamaximizacióndeunaforma
cuadráticasujetaadosrestriccionesnolinealesysu
formalizaciónmatemáticasemuestraacontinuación:
�??????????????????
�
−�
�??????
�
−�
�
�
�
??????
�??????
�
−�
�??????
�
−�
�
�
�����????????????�
�
�
??????
�
−�
�
�
=�
�
�
�
??????
�
−�
�
�
=�
�
−�
�
�
�
−�
��
−�
�
2
=??????�
−�
�
2
���2�

17. ����
�
�
�
�
−�
�
�
�
−�
��
−�
�
�
=??????�
�
�
�
−�
�
�
=??????
��
Laecuaciónmuestraqueelvalormáximoobtenido
medianteelprocesodeoptimizaciónatravésdel
Lagrangianoesigualalautovalor??????
�.Dichodeotra
manera,lasumatoriadelasproyeccionesdelos
perfilesfilassobreelvector�
�
,elevadasal
cuadradoesigualalautovalor??????�.
Luego�
�
esunvectorunitarioasociadoalsegundo
���mayorautovalor??????�delamatriz�
−�
�
�
�
−�
��
−�
,ya
queporconstrucciónenlaprimeraetapaseobtuvoel
mayorautovalor??????�.
Siesteautosistemasepremultiplicaporelvector
�
�
�
seobtienelasiguienteigualdad

18. Enconclusión,elproblemadelajustesereducea
maximizarlasiguienteformacuadrática:
�??????�
�
��
−�
��
−�
�
??????
���
�
−�
��
−�
�
??????
��
Repitiendoesteprocesohastaobtenertodoslos
autovectoresasociadossetieneunabase
ortonormalizadadelsubespaciodedimensión�+1de
mejorajusteparalanubedepuntosfilas�(�).En
general�
??????
eselautovectorunitariocorrespondiente
al??????−é����mayorautovalor,??????
??????,delamatriz
??????
�
−�
�
�
??????
�
−�
�??????
�
−�
.
�����????????????�
??????�
??????
�
−�
�
??????
=�;??????=�,�,⋯,�+�
Todoslosposiblesparesdeautovaloresdiferentes
�
??????
sonortogonalesentresi

19. Esteproblemademaximizaciónconduceal
siguienteautosistem??????
(�)
:
�� ??????
�
�
�
−�
��
−�
�
??????
=��
??????
=??????�
??????
??????=�,�,⋯,�+�
Lasolucióndeestesistemageneraelsistemadeautovectores
unitarios�
�
,�
�
,⋯,�
�+�
queestánasociadosalosautovalores
??????
1,??????
2,⋯,??????
�+1.
Donde�+�=����,�
Resueltoelproblemadelasimetrizacióndelamatriz
�elautosistemadarálugara�+1autovaloresmayores
quecero??????�>??????�>⋯>??????�>??????�+�conigualcantidadde
autovectoreslinealmenteindependientes�
�
,�
�
,⋯,�
�
,�
�+�
.
(�)
Elautosistemapresentadoarribasebasaenunamatriznosimétrica,estasituación
seresuelvemedianteunprocesodeSimetrizaciónquesemuestraenelAnexoNo.2

20. Enelcasodeesteajustesegeneran(�+�)
autovectoresyautovalores;siendoelprimer
autovalor(autovalortrivial)a1yelprimer
autovector(autovectortrivial)igualalperfilfila
promedio.
Losautovalores??????
??????;??????=�,�,⋯,�+�;representanlas
inerciasexplicadas(enelcasodelACBlafuerzadela
asociaciónentrelasdosvariablesnominales)porcada
unadelasdimensionesasociadasacadaautovector�
??????
.

21. Elprimerautovaloryelprimerautovector(los
triviales),nosetomanencuentayseestableceel
ordenapartirdelsegundodeellos.En
consecuenciasetendrán:
Losautovalores:????????????:??????�,??????�,⋯,??????�
Losautovectores:�
??????
:�
�
,�
�
,⋯,�
�

22. Lasproyeccionesdelosperfilesfilasdelamatriz
��=�
−�
�sobrelosvectores�
??????
,sedenotan
como�
??????
yseexpresancomo:
�
??????
=��
−�
�
??????
=�
−�
��
−�
�
??????
������??????=�,�,⋯,�+1
??????
�=
��??????
��??????
⋮
��??????
=��
−�
�
??????
=
�
�
�
�
�
�
�
⋮
�
�
�
−�??????
���=
��
�
�
�
−�
�
??????
�
�
�
�
−�
�
??????
�
⋮
��
�
�
�
−�
�
??????
Desarrollandoestasúltimasexpresiones
matriciales,setiene:
4.4.1.1.1CORDENADASDELOSPERFILESFILASSOBRELOSVECTORES
GENERADORESDELSUBESPACIODE�
�
DEMEJORAJUSTEDELANUBE�(�)

23. Enelcasodelproblemaprácticoqueseestá
desarrollandoenestecapítulosepresentanlos
resultadoscorrespondientealajusteen�
�
en
términosdelosautovaloresyalasproyeccionesde
losperfilesfilassobrelosautovectores
�
??????
;??????=�,�,⋯,�+1.
Enestecasoparticularelvalorde�esiguala2.
�
�??????=෍
�=�
�
Τ�
���
�,�
.��
�??????
�=����−�;�−�=����;�=�
Laproyeccióndelperfilfila�;�=�,�,⋯,�;sobreelvector
�
??????
seexpresacomo:

24. Enprimerainstanciaseobservaelhistogramadelos
autovalores,loquepermiteestablecerelnúmerode
factores.Dadalascaracterísticasdelproblemase
establecequeson2factores.
Losautovalores??????
??????;??????=�,�,⋯,�+�;representanlas
inerciasexplicadas(enelcasodelACBlafuerzadela
asociaciónentrelasdosvariablesnominales)porcada
unadelasdimensionesasociadasacadaautovector
�
??????
;??????=�,�,⋯,�+�;

25. 4.4.1.1.2 Unamiradaalascoordenadasdelosfactores
(ajusteen�
�
)
EnlaFigura4.4sepuedeobservarelcomportamientode
lasdimensionesasociadasalajusteen�
�
Primerfactor:
AlobservarlascoordenadasdelavariableGruposetarios
sobreelprimerfactorseobservaunordenamientodelas
edadespartiendodelladonegativoconelgrupode
“Menosde18años”enelladonegativo(-1.08)hastael
grupode“Másde50años”con(0.68).
Segundofactor:
EnestefactorseobservaunaseparacióndelGrupoetario
“De19a30años”enelladonegativo(-0,20)delrestode
lasedadesenelladopositivodelfactor.

26. Figura 4.3
Histograma de los dos primeros autovalores
Figura 4.4
Proyección de los perfiles filas, pesos relativos y su distancia al perfil
promedio elevadas al cuadrado

27. 4.4.1.2 AJUSTEENELESPACIO�
�
Comoenelcasodelajusteen�
�
sebasaenelanálisis
generalytomacomobaselamatrizdeperfiles
�columnas�
−�
�
�
,cadaunodeestosperfilestiene
asociadounpesodadoporsufrecuenciarelativa�.jyse
organizaenlamatrizdepesosdelosperfilescolumnas
��
Elespacio�
�
secaracterizaporqueestádotadodeuna
distanciaEuclídeaponderada(Distancia??????
�
)enlaque
cadadimensióntieneasignadounpesodefinidoporel
inversodelafrecuenciarelativadelasfilasdelamatriz
dedatos�/��..Estospesosparaoperacionalizarla
�distanciaseorganizanenunamatrizdiagonal�
−�
.

28. �
�
−�
=
�/��.
�/��.
⋱
�/��.
Laideaconsisteenbuscarelsubespaciodemejor
ajusteparalanubedepuntosperfilescolumnas
��ubicadasenelespacio�
�
;cadaunodelos
perfilescolumnastieneasociadounpesodadopor
sufrecuenciarelativa�.�;�=�,�,⋯,�.

29. Enresumenlamatrizdeperfilescolumnasse
�expresaatravésdelamatriz:�
−�
�
�
cuyotérmino
genéricoseexpresacomo:
���/�.�;�=�,�,⋯,�;�=�,�,⋯,�
��=
Elpesodelosperfilescolumnasseexpresaatravés
deunamatrizdiagonaldeorden�quesedenota
como��.
�.�
�.�
⋱
�.�

30. Deacuerdoalanálisisgeneralelajusteenesteespacio
noesmásquelabúsquedadelsubespaciodemejor
ajusteparalanubedeperfilescolumnas�(�)en�
�
.
Enlaprimeraetapa,comoenelcasodelajusteen�
�
,se
tratadeconstruirunsubespaciodedimensión1,talque
lasumadelasdistanciasalcuadradodetodoslos
puntosdelespaciooriginalalospuntosproyectados
sobreelsubespaciogeneradoporelvectorunitario�
�
seamínima.Estoesequivalentea:
���෍
�=�
�
൯�
�
(�,�
��
�����????????????�
�
�
=�

31. Donde,���eslaproyecciónortogonaldelperfil
columna�sobreelvector�
�
,valedecirsobrela
dimensiónquegeneraestevector.Gráficamentese
tiene:
Figura 4.3
Ajustedelaprimeradirecciónfactorial
�
�
�
�
��
�
�
�

32. Elproblemademinimizacióndelaformacuadrática
planteadaarribasepuedetransformarenla
maximizacióndeunaformacuadrática:
Laexpresiónenlasumatoriaconstituyelasumade
todaslasproyeccionesdelosperfilescolumnas�
elevadasalcuadrado,similaralajusteen�
�
mostradoanteriormente.
�????????????෍
�=�
�
൯�
�
(�,�
��
�����????????????�
�
�
=�

33. Laexpresiónanteriorseexpresaentérminos
matricialescomo:
�??????��
−�
�
�
�
−�
�
�
�
�
���
�
−�
�
�
�
−�
�
�
��
Sujetaa�
�
�
�
�
−�
�
�
=�
Elprocedimientoserepitecomoenelcasodel
ajustedelanubedeperfilesfilas�(�)conlas
obtieneunabasedeortonormalizada
adecuacionesdelasfórmulasrespectivas,se
del
demejorajustesubespaciodedimensión�+�
paralanubedepuntoscolumnas�(�).

34. Enconclusiónelproblemadelajustesereduceal
demaximizarlasiguienteformaproblema
cuadrática:
�??????��
−�
�
�
�
−�
�
??????
�
�
���
�
−�
�
�
�
−�
�
??????
��
Sujetaa
�
�
??????�
�
−�
�
??????
=�
�����??????=�,�,⋯,�+�
Siendolosautovectores�
??????
ortogonales.
Esteproblemademaximizaciónconducealsiguiente
autosistema:
�� ??????��
−�
�
�
�
−�
�
??????
=��
??????
=??????�
??????
????????????�????????????=�,�,⋯,�,�+�

35. Resueltoelproblemadelasimetrizacióndelamatriz�el
autosistemadarálugara�+�autovaloresmayoresque
cero??????�>??????�>⋯>??????�>??????�+�con�+�autovectores
linealmenteindependientes�
�
,�
�
,⋯,�
�
,�
�+�
.
Siestaecuaciónsepremultiplicapor�
??????�
??????
�
−�
se
transformaen:
�
??????�
??????
�
−�
�??????
�
−�
�
�
??????
�
−�
�
??????
=??????
??????
Lasolucióndeestesistemageneraelsistemade
autovectoresunitarios:�
�
,�
�
,⋯,�
�
,�
�+�
queestán
asociadosalosautovalores??????�,??????�,⋯,??????�,??????�+�.
Donde�=����,�
Lamatriz�escuadradadeorden??????ynoessimétrica.
Existenprocedimientosmatemáticosparaabordareste
problema.

36. Elprimerautovaloryelprimerautovector(los
triviales),nosetomanencuentayseestableceel
ordenapartirdelsegundodeellos.En
consecuenciasetendrán:
Losautovalores:????????????:??????�,??????�,⋯,??????�
Losautovectores:�
??????
:�
�
,�
�
,⋯,�
�
Losautovalores????????????;??????=�,�,⋯,�;representan
lasinerciasexplicadas(enelcasodelACBlafuerza
delaasociaciónentrelasdosvariablesnominales)
porcadaunadelasdimensionesasociadasacada
autovector�
??????
.

37. 4.4.1.2.1 Coordenadasdelosperfilescolumnassobre
losvectores generadoresdelsubespaciode�
�
demejor
ajustedela nube�(�)
�matriz�=�
−�
�
�
sobrelosvectores�
??????
,
Lasproyeccionesdelosperfilescolumnasde la
se
denotancomo�
??????
yseexpresancomo:
�
??????
=��
−�
�
??????
=�
−�
�
�
�
−�
�
??????;
���
;??????=�,�,⋯,�
??????
�=
�
�??????
��??????
⋮
��??????
=��
−�
�
??????
=
�
�
�
�
�
�
�
⋮
�
�
�
�
−�
�
??????
=
�
��
�
�
�
−�
�
??????
�
�
�
�
−�
�
??????
�
⋮
��
�
�
�
−�
�
??????
Desarrollandoestasúltimasexpresionesmatriciales,setiene;

38. Laproyeccióndecualquier
seexpresacomo:
perfil�;�=1,2,…,p
��??????=∑
�
���/��.�.���??????�=�
delproblemaprácticoEnelcaso
desarrollandoenestecapítulosepresentan
resultadoscorrespondientealajusteen�
�
queseestá
los
en
términosdelasproyeccionesdelosperfilescolumnas
sobrelosautovectores�
??????
??????=�,�,⋯,�.
Lasproyeccionesdelosperfilescolumnas,perfilesde
respuestasdelosentrevistadosentérminosdesu
“ActitudhacialosPC”enfuncióndelajustesobreel
espaciodelosgruposetarios.

39. Unamiradaalascoordenadasdelosfactores(ajusteen�
�
)
Primerfactor:
LavariableActitudhaciaelPCseordenaalolargode
estefactorubicándoselamodalidad“AceptalosPC”del
ladonegativo(-0.97);luegocercanoalorigenseubicael
grupo“IndiferentealosPC”concoordenada(0.03)yen
elextremopositivoseubicaelgrupoque“Rechazalos
PC”con(0.56).
Segundofactor:
EnestefactorseobservaunaseparacióndelGrupoquees
“IndiferentealosPC”enelladonegativo(-0,20)del
restodelosgruposdeActitudhaciaelPC:“Aceptalos
PC”y“RechazalosPC”enelladopositivodelfactor
(0,06).

41. Larepresentacióngráficadelodichoparalosdos
factoressemuestraacontinuación.

42. Presentaciónenplanosfactoriales
Despuésdeestablecidosloscriterios
técnicos apropiados: número de
dimensionesquecaracterizanelproblemaen
estudio,lainterpretacióneidentificaciónde
losfactores;seprocedealarepresentación
enlosplanosfactoriales.
Enelcasodelaaplicaciónprácticasetiene
unsoloplanofactorial:
Enesteplanoseresaltanenalgunos
cuadrantes, mediante elipses,las
asociacionesmásimportantesexpresadasa
travésdelaatraccióndeperfilesde
respuestas.

43. Enelcuadrante1,seobservaelrechazoalos
PCpresenteasociadosagruposetariosde
mayoredad(De31a50añosyMásde50
años).
Enelcuadrante2,seobservangruposque
aceptanlosPCqueatraealosgruposetarios
másjóvenes.
Enloscuadrantes3y4seobserva
atracciónentrelosjóvenesadultos(De19a
30años)ylaindiferenciahacialosPC.

45. Anexo 1
Simetrizaciónde la matriz �
Lamatriz�esdeorden(���)reseñadaenelajusteen�
�
noessimétricaloquegeneraproblemasparaelcálculode
losautovaloresyautovectoresenelautosistema:
�
�
??????
�
−�
�??????
�
−�
�
??????
=��
??????
=??????
??????�
??????
;??????=�,�,⋯,�,�+�
Eltérminogeneraldelamatriz�seexpresacomo:
�
��′=∑
�=�
�
�
���
��′
��.��
;�,�
′
=�,�,…,�
Delaexpresiónmatricialde�:
�=�
�
??????
�
−�
�??????
�
−�

46. Esposibledefinirlasubmatriz??????=�
�
??????
�
−�
�queessimétrica.
Ademássetienequeeltérminogeneraldelamatrizdiagonal
??????
�
−�
esΤ1??????
.??????ysepuedeexpresarcomo:(Τ1??????
.??????)(Τ1??????
.??????),
enconsecuenciaestamatrizsepuedeescribircomo;
??????
�
−�
=??????
�
−�/�
??????
�
−�/�
Alsustituirestaexpresiónenlaformulacióndelamatriz�se
tieneque:
�=????????????
�
−�/�
??????
�
−�/�
ElautosistemaplanteadoalcomienzodeesteAnexose
puedeescribircomo:
????????????
??????
−�/�
??????
??????
−�/�
??????
??????
=??????
????????????
??????

47. Alpremultiplicarestaecuaciónmatricialpor??????
�
−�/�
el
autosistemasetransformaen:
??????
�
−�/�
????????????
�
−�/�
(??????
�
−�/�
�
??????
)=??????
??????(??????
�
−�/�
�
??????
)
Dondelamatrizdelautosistema??????
�
−�/�
????????????
�
−�/�
essimétricay
losautovectoressonigualesa(??????
�
−�/�
�
??????
).
Definiendolamatriz�
�yelvector�como:
??????
1=??????
�
−1/2
????????????
�
−1/2
��=??????
�
−1/2
�
??????
Elautosistemaplanteadoarribaesequivalentea:
�
��=??????
??????�

48. Lasoluciónaesteautosistemageneracomosoluciónlos
autovaloresλ
1,λ
2,⋯,λ
�,λ
�+1ylosautovectores
linealmenteindependientesW
1
,W
2
,⋯,W
�
,W
�+1
.
Apartirdelosvaloresdelosautovectores
W
α
;??????=1,2,⋯,�,�+1seobtienelosautovectoresdel
autosistemadefinidoapartirdelamatriz??????.
V
α
=??????
�
−�/�
�
??????
;??????=1,2,⋯,�,�+1
Enestasolucióndelautosistemaoriginalestánpresentesel
autovalortrivialyelautovectortrivial