Activa 2 matamatica 2

CONTENIDOS
1 Números naturales.
Prop edad distribut1va
2 Operic,onts comb,na¡las
con nlimeros naturales.
S Dtv sibilldad MlJ Uplo
común mtnor y d'vlsor
común mayO<.
.. HGmms tntms Orden y
rtpresentac16n.
~ Adk16n y sustracd6n.
fe\z
6 Mult•pUc;.,d6n y c1Msl6n.
7. Dporadones combinadas
cump\e
con números tnteros.
8. Pottndat16n y sus
Mara
propiedades.
9 Radicación v sus
propiedades.
10. Operaciones combinadas
con potencias v ralees.
SITUACIÓN tNtCW. o¡ APR,NDIZAI¡
1. Observtn la lmartn y resuelvan.
a.
lQu~ dfa de la semana serl el
12 de sepdembre? Tengan en cuenta que agosto tiene 31 días.
b. Si se s abe que el año en el que Mara cumple 13 y los dos años siguientes no son bisiestos
(tienen 365 dlas), <qué dla de la semana cumplirá 15 años?
c. Calculen qu~ dfa de la semana cumpllrAn ustedes 18 años. Tengan en cuenta si hay años
bisiest os en el medio.
d. Comparen las respuestas con sus compañeros.

ACTIVIDADES
Números naturales. Propiedad dlsbibutiva
L Resuet v~n apUcando la prop~dad distributiYll cuando sea posible.
L (9-3}. 4 = -------
b. 3 . (3 + 7} --------
(. (12 + 6} . 9 ---------
d. 8. (14-8} ---------
•• 90 : (30-1S} ~ -------
f. (1S + 6) : 3 = --------
•· 84 : (14 + 28} ~ -------
h. (64 24): 8 ~ --------
2. úpresen el itN de cada ft¡ura de dos formas distintas.
L ~
3
6 4
), Completen USllndo la propiedad distributiva .
•• 9 + 12 -o. o+ o
b.6-s·(0-Q:O
4. Marquen con una X el resultado correcto.
L(U-n'=/ 160
b. (lS : )' = S o
c. ..J64: 16- 2 o
d . ..J169 144 - 1 o
S. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.
L (4 + 6) . S • 4 . S + 6 . 5 o
b. (U -S)' = 12' -S' o
c. ..;16 + 9 -~16 + ~9 o
d. lO' : S' = (10 : S)' o
•. (36 -12) : 6 -36 : 6 12 : 6 o
7 2 4
c. 28 -10-o. o-o
d.7+4 =(0•0:0
f. (8 . 4}' = 8' . 4' o
c. 20 : (5 -4) • 20 S -20 : 4 o
h. -136 : ../9 -.f36 : o
l 12' - 2' - (12 -2)' o
J.~- ..J121 . {9 o
LEs derto que Diego no pue~ resolver ..fii . ~'3 sin la calculadora? ¿por qué?
o
i..)

•
•
•
Operaciones combinadas con n6meros naturales
-~~---·---- ...
dOS
Para resolver un cálculo combinado donde aparecen paréntesis, se separa en términos. Luego, se
pueden seguir estos pasos:
,
4. (65-5) + 22:
4.60+22:
240+ 22:262
t. Se resuelven las operaciones entre paréntesis.
l. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
l. Se resuelven las sumas y restas.
Para resolver un cálculo comblnando las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división)
se separa en términos. Los signos + y-separan en términos. Luego, se pueden seguir estos pasos:
,...., ,..---,
3. (5-2)-5 + 21:7:
3.3-5+21 :7:
9-5+3:7
t. Se resuelven las operaciones entre paréntesis.
2. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
3. Se resuelven las sumas y restas.
Para resolver un cálculo combinando las cuatro oper aciones con la potenclaclón y radicacl6n,
pueden seguir estos pasos:
~~ r--'1,...,
4
2
• ?J
+ ~6: 4 -{.4 . 8 + 5 = t. Se separa en términos y se resuelven las potencias y raioes.
16.3 + 36:4-2.8 + 5 = 2. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
3. Se resuelven las sumas y restas.
Las operaciones que están en el radicando o que son base en una potencia se deben resolver antes
de calcular la rail o la potencia (siempre se separa en términos) .
141·3+ -J3 9+3
2
.6-(18·3-4)
2
=
'---' ~ '----' '-'
141 :3+-J27+9.6 -(6-4)
2
=
47 +-J27+54-2
2
•
47d81 -4=
47+9-4=52
1. R~spondan y expliquen las respuestas.
a. Estos cálculos ldan el mismo resultado?
En el siguiente erUte pueden ver INs ejemplos.
l.lngre~ en https;//goo.gVWJq61o' y
obseM!l el.,deo.
• Enoo nrullo do llnP<;/~.Y'IJ1llbuonV"
wald>~I'E .
50 + JO : 2 = (SO + JO) : 2 •
• b. En una operación combinada, icuáles son los signos que separan en términos?
c. lCuflntos términos hay en 24 . (5 + 3) : 2?
,..., ~ ,........, ,...,
d. En el cfllculo 8 -8 : 4" + ..[ii -3", ise separó bien en términos? lCuál es el resultado correcto?
~ =------------------------------
---Fodla--1--1--

ACTIVIDADES
Operaciones combinadas con números naturales
6. Resuelvan lu siguientes operaciones.
a. 24 + 43 -15 . 4 + 36 : 6 •
b. 27 + 19 -32 : 8 + 35 : 7 . 1 -
c. 5 + 150 . -25 . 3 + 160 : -
7. Marquen con una X et resultado correcto.
L 16 . 4 + 40 : -4 650
b. 16 . (4 + 40 : 8) -4 so O
c. 16 . (4 + 40) : 8 -4 740
d. 16 . 4 + 40 : (8 -4) 740
e. 16 . (4 + 40 : 8 -4) 650
d. 43 + 12 . 8 -320 : 32 -16 . ) + 5 -
e. 104 + 22 . 36 -225 : 25 -15 5 + 5 •
f. 12 13 . o . 3 + 1200 : 80 + 70 . 5 -
740 840
840
1400
840 1400
so O 840
8o0 1400
8. Coloquen palintiSis, si es neasarlo, para que et resultado sea verdadero.
•· 75 -8 -3 • 70 e. 33 -30 -15 • 18
b. 3 + 20 -9 + 12 = 2 f. 4 + 8 . 5 + 5 -120
c. 24 : 8 . 4 -12 g. 6 . + 7 + 2 -62
d. 7 . 9 -2 -49 h. 25 : 8 -3 + 3 • 4 17
9. Separen en tfrmlnos y resuelvan.
a. 24 -4 . 5 + 12 : (2 + 4)' + 24 : (20 -8) • el. (2
1
-5) . 3 + 2 . (.JTI1 4) (-m; + 13) : 3 •
b. 48 , "' • , ... 3) . 3 -36 , ..;34 • 2 • e. (3' • 5'l , (24 -n • (m -2> . <4 • 1) •
c. 105 + (4' + 12 -5') . (3' -2') -.Jo'-u' -f. m. (12 -2)
0
+ (..J5' + 12' + 24 : (12 -4)1 -
..

•
•
Divisibilidad. Múltiplo común menor y divisor común mayor
~ si
,. < • ·.~
Un número es dMslble por otro cuando la división entre ellos es exacta, es dedr, tiene resto cl'ro.
15 e& ....,,;lblc por 5 1 6 ~!1 dM!III>Ie por 4
los criterios de dllllslbllldad sirven para saber si un número es divisible por otro sin hacer la cuenta.
El múltiplo común menor (mcrw) entre dos o m<is números es el menor de los múlbplos que
tienen en común esos números, sin tener en cuenta el cero.
El divisor común mayor ( dcm) entre dos o más números es el mayor de los divisores que tienen
en
común
esos números.
Para hallar el mcm y el dcm entre dos o m~s números se puede factorear cada número, es decir,
descomponerlos en factores primos.
El mcm entre dos o m<is nGmeros se calcula multiplicando los factores comunes y no comunes
con su mayor exponente.
El dcm entre dos o más números se calcula multiplicando los factores comunes con su menor
exponente.
27 3
9 3
3 3
1
27·3' 18 2
9 3
3 3
1
1. Respondan y expliquen las respuestas •
mcm(27:1~)· :?l' .2-54
acn' (27 :1~}. :?l • 9
a. Si un número es divisible por 9, i.también lo es por 3?
b. tE! número 160 es divisible por 100?
c. LEs cieno que el dan entre 20 y 80 es 10?
N~E ------------------------ ------
---ft<llo __ , __ , __

ACTIVIDADES
DivlsibiUdad Múltiplo común menor y divisor común mayor
10. Marquen con una X las allrmadones COI'TK!as.
L Los n~meros primos son aquellos que tienen mAs de dos divisores. O
b. Factorizar un número significa expresarlo como producto de números primo~. O
c. Para que un número sea divisible por 4, debe ser par. O
d. El número 1 no es dMsor de todos los n~meros. O
t. El número O es múltiplo de todos los n~eros . O
11. Completen con siempft, a..,_ o nuna, ses\in corresponda.
a. Un número cuya última cirra es 5 ( 1 es múltiplo de 5.
b. Un n~me ro que es par ( 1 es múltiplo de 6.
c. Un n~mero que es múltiplo de 9 ( 1 es m~ltlplo de 3.
>=====<
d. Un n~mero que es múltiplo de 4 ( ) es múltiplo de 8.
e. Un número ( ) puede ser dividido por O.
12. Factorizar los sl¡ulentes número5. Luego calculen ti mcm y dCJn y completen
•• 66 42
b. 80 35
c. 130 78
el. 48 36 40
66=------
42•-------
mcm (66:42) • ------
dcm (66:42) • -------
80-------
35=------
mcm (80;35) • ------
dcm (80;35) •
130--------
78•-------
mcm (130;78) -------
dcm (130;78) = -------
48·-------
36=------
40 =
mcm (48;36;40) • ------
dcm (48;36;40) --------

•
Integración
13. Marquen con una X los últulos en doode
se puede apUcar la propiedad dlstributfv~
•• 6 . (7 + 5) o f . ..J189 -64 o
b.-.19+160 h.(l8-7-9).20
c. .J784 : 49 o l (20 -15)' o
d. os : s)' O J. :J2s6 . 625 O
.. (6 . 2)
1
o k. (65 + 85 -4S) : 5o
f. (11 + 15)' o l 48 : (8 + 12 -16) o
14. Resuelvan apUcando, si es posible, la pro
piedad distributiva.
L
32 : (6 + 10) + (48 + 30) : 6 •
b.
o
+ 4) . 4 -4' + (3 • 2)' -
c. 4 . (2 + 5) + 3 (2 + 4)' -
d. (7 -S)'+ (7 . 2)' -15 •
.. V60 + 4 + 30 -3 . 8 + (11 + 4 -3) . S -
f • ..Jm + 4' -3 . (4 + 6 s) -
g. (4 + 8 -3)'-25 + 5 . .,¡¡oo -64 -
h. lf216 -3 + (25 + 15 -5) : 5 -
l (14 + 12 -S)'+ 4 . (4 + S -n•-51 : 17 a
15. Una• coo una ftecha cada número con su
factoriz¡¡c16n.
.. 126 • 7 11.13
b. 540
• 3' . S'
c. sso
•2.3'.7
d. 1001 • 3. 7'. u
•. 1125
• 2' . S' . 17
f. 1617
• 2' . 3' . S
... 17000
• 2. S'. U
16. ... uen et mcm y el dcm entre los sl!ulen·
tas números.
L 12 y 30
b. 16 y 42
c. 18, 36 y 90
41. 15, 45 y 60
e. 10. 40 y 80
f. 14, 28 y 70
&-16, 20 y 44
h. 24, 42 y 84
l. 32, 48 y 160
17. Tensan en cuenta c.ada condlcl6n y~
ban lo ~dlclo .
a. Tres números primos mayores que 60 .
b. Tres números compuestos mayores que
190.
c. El número 40 como suma de dos números
primos.
d.
El número 12
como diferent1a de dos
números primos.
a. El número 31 como suma de dos números
compuestos.
18. lean atentamente y resuelvan.
a. En un negado mayorista se está preparan·
do una oferta con paquetes de ndeos talfari·
nes y fideos mostacholes. Tienen 39 paquetes
de talf.:Jrlnes y 18 paquetes de mostacholes.
Todas las bolsas deben tener fa misma canti·
dad de paquetes de cada tipo. iCu~l es la
cantidad m~xima de bolsas que pueden pre
parar'? lCu3ntos paquetes de ndeos de cada
tipo conliene cada bolsa?
b. Zaira va a la peluquerfa cada 18 dfas,
Glullana va cada 30 días y Celeste va cada
45 dias. Se encontraron en fa ~luquería el
día 15 de septiembre. iC~ndo se volverán a
encontrar?
c. Se necesita alambrar un terreno con forma
de cuadrilátero cuyos lados miden: 360 m,
60 m, 180 m y 270 m. los postes deben
estar a la misma distancia uno de otro y cada
v~rtlcc debe tener uno. iCuál es la mayor dls·
tancia a la que pueden colocarse los postes?
41. Dos carteles luminosos se encienden simul·
t3neamente. Uno de ellos se endende cada
35 segundos y el otro cada 40 segundos.
i.En qu~ momento se vuelven a encender al
mismo tiemp
o? e. Para festejar el cumple de Euge, su mamA
quiere armar la mayor cantidad posible de
cajitas de souvenirs. Si compró 64 alfajores,
128 chocolates y 160 caramelos, ewintas caii·
tas puede armar? <Qué cantidad de alfa¡ores,
chocolates y caramelos hay en cada bolsa?
---...,.. __ ,_,__

19. EscrfNn el cálailo y rtiU6lvanlo.
L la suma entre el cubo de la mitad de ocho
y el doble del cuadrado de se•s.
b. a diferencia entre el cubo de dos y la
mitad de la raíz cúbica de sesenta y cuatro.
t. El doble del producto entre el cuadrado de
ci,co y la raíz cuadrada de nueve.
d. La raíz cuadrada de la diferencia entre el
cubo de diez
y el cuadrado de
diez.
20. Resuelvan.
L 154 · 7 -S • ~t¡> + ~247 + 153. 10 •
b. 192 : 8 + (S' -..J3 . 7>-l ) . 2 -
c.((85 + 30 : S -4n . 3-10'(-~,7,..,'•'11,........,5"'2 •
d. 27 + (76 -,1(14 -8) . 28 + 1) : 9 =
•• (5 + 4° . 2)' + -.!6' + 27 . 7 -1
8
•
21. Marquen CXIII una X l.ls al!rmadones correctas.
L El dcm entre dos números coprlmos
estO
b. La potenciación es distributiva con respec·
to a la mulliplicación y división. O
c. La radicación es distributiva con respecto a
la suma v la resta. O
d. Un número es primo cuando ti ene solo dos
diV1sores distintos. O
e. El 1 es un número pnmo. O
22. Completen con una X según corresponda.
23. Completen con el nOmero que veriRca la
Igualdad.
•. (15 • t7) . O -128
b. 5 . i/343 + 8 . 16 -o -63
c. o -48 : 6 • 12 • 32
24. Urwon con lledlas cada ~Hi ón con su
tqulvllente.
L (135 39) : 4 •
b. (2 . 8)' -6' =
c. (18 -15) . 7 =
d. -n;r;sr + 6 -
e.~ .s•
t. 2
1
+ 3' + 2' =
• 6' -4' -5
1
• -f18. 8 + 9
• 52-36
• S' -2°
• ..¡w. -{10': 14
• 21 + 19
25. Escriben, en cada caso, un par de nú meros
que cumplan con In condlcionH dadas.
L El mcm es 1050 y el dcm es 5.
Los números son compuestos.
b. El mcm es 37. El segundo número no es ni
primo ni compuesto .
c. El mcm es 2 210 y son coprimos.
d. El mcm es 121 y el dcm es un número
primo El primer número es mayor qul' l'i
segundo.
26. Resuelvan.
•· )lmena organiza las actividades en su jar·
dln de la siguiente manera: cada 3 días riega
las plantas, cada 9 días poda los árboles y
cada 7 días abona la tierra. lCada cuántos
días realiza las tres actividades simultánea·.
mente?
b. Rkl<y colecciona figurttas. T'ene 56 de
dibu¡•tos, 98 de artistas famosos y 28 de
deportistas. Quiere armar sobres igual es que
contengan la mayor cantidad posible de cada
tipo. lCuántos sobres n ecesitará? t}
lCuántas debe colocar en cada sobre?
c. Julia instaló un antivirus en su teléfono
m6vll que se actuaUza cada 8 días, otro en
su toblet que se actualiza cada 10 d1as v otro
en su compu que se actualiza cada 12 días.
Si los instaló todos al mismo tiempo. <cada
cuántos dlas se actualizan simultáneamente
los trl's antiv~rus?
d. En una ONG juntar on 120 pares de zapati·
llas, 150
colchones
y 210 frazadas. Si quieren
repartirlos en camiones con el mismo conteni·
do. lcuál es la mayor cantidad de camiones
que se deben tener? lCuántos artículos de '-
cada tipo llevará cada camión.

•
•
•
Números naturales. Propiedad distributiva
~ ~
(5 + 7).3-5 3+ 7.3 ~ 15 + 21 ·36 8.(3+ 5) = 8.3 +8. 5" 24 + 40-64
~ ~
(9-2). 6 59 6-2. 6-54-12 "42 2 . (8 -6) -2 8 -2 6 -16 -1 2 4
l..l dNisi6n H tfistrllutiv¡ con rtsp«to ¡ la ad c•ón y a la sustraaion
solo si la ¡díc:ión y !UStf~ soo ri div dendo.
dividendo 8 : • 2 cocltnte
~
( 45 -15): 5 = 45 5 -15 5 -9 -3 -6
divlsz_/
La potenciad6n es distributiva con respecto a la multipli caci6n y a la d1víst6n.
La radicación es dlsbibutlva con respecto a la multiplícaci6n y a la dtvtsión .
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿[S cierto que 48 · (12 + 4) • 48 : 12 + 48 : 4?
En el siguente enL¡ce podtin ~s;¡r algun¡s
propiedades de Las operacme5 con IÚI\eros
Ntu~
l. tqesen en ftt!V>J/rplrj/S
obser>en ri VIdeo.
• f;tll>(t-clt ltJV,J~.uxrl
-hlvo.(loupYII(k
b. <Con respec.ro a qué operaciones son distribut•vas la potenciación y la rad•cación?
c. i.EstA bien resuelto el siguiente c.álculo? 15' • (lO+ 5)' • 10' + 9
·--------------(\110 ___ , __ , __

Números enteros. Orden y representación
El conjunto de los nOmeros enteros (se lo simboliza con la letra Z) está formado por los enteros
negativos, el
cero y los enteros positivos .
...
-4, -3, -2, -1. o. 1, 2, 3, 4 ...
El cero no es "'n~\10 ni posrtillo.
Para representar números en una recta numfrica, se debe marcar el cero y establecer una unidad
que debe ser respetada para ubitllr el resto de los números. Por convención, los enteros positivos
se ubican a la derecha del cero y los n~ativos, a la izquierda.
4 -) -2 -1 o 1 2 3
En la recta num~r~ca un número es mayor que cualquier o1ro que se encuentre a su izquierda y
menor que cualquier otro que se encuentre a su derecha.
-7 ~menor que -~. 5e eecrlbls -7 < -5
15 e& mayor que -15. Se e6Cn1>e 1 5 > -15
Se denomina módulo o valor absoluto de un número entero a la distancia que existe entre el
número y el cero.
El módu o áe 3 es 3. Se ee<:nt>e l:3r : 3
El módulo áe -:3 e5 :3. Se e9Crlbe l-:31 = :3
El m6dulo áe 7 ee 7. Se eocnbe 171• 7
El módulo áe -7 es 7. Se e5Ciibe l-71• 7
Dos números son opuestos cuando ti enen distintos
signos e igual módulo.
4 y -4 ~n opue5toe
16 y -16 son opueetoe.
En gellfral el opuestO de o se escribe -o
l. Respondan y eJllllk¡uen las respuestas.
l. lnqresen eo htt~://g·Jo gV18iOQZ" y obscf
ven el video donde óllliftetn !OS ll~ros
trie os en cornxto< mtidiaoos.
"lrúcl-~ /~ /
r<WISOI/'<fliltoSOIOO&r ... rtntt'et\JCI!•nt"-
a. iEn qué situaciones se usan los números negativos? Escriban ejemplos.
b. <Es deno que el o es mayor que cualquier número negallvo?
c. lQué unidad conviene tomar para representar en la recta 24, 80 y 120?
~t -------------- --------------
-----falli---

ACTIVIDADES
Números enteros. Orden y representación
Calculen el saldo anterior en c.ada caso.
b.
28. Representen en la recta numéml tos números Indicados, considerando la unidad m6s conveniente.
L 2, 7, 0, 2, 3, -4 b. -100,-200,0,-150,300,-350
29. Completen con < o), s.,On corresponda.
Ll o -7 d. -10 o 9
b. -5 O O e. -5 O -2
c.-490-so f.-301
30. Ordenen los siguientes números enteros de menor a mayor.
g. -1000 o ·999
h. -25 o -26
L -1200-80
-36; 20; -15; 4; 9; -SO; ""'; 13; 22; -24
31. Completen el cuadro.
Antf'rior NúmP.rO Siguiente Modulo Nllm¡pro Opuesto
-18 -22
-39 -46
16 30
o o
-a 6
32. Completen con el número correspondiente. luego, repres4nttnlos en la reáa num6r1a.
1. El número a es el opuesto de -7.
b. El número b es el siguiente del opuesto de a.
c. El número e es el doble del opuesto de a.
d. El número d es igual al módulo de -S.
o
a•O
b-0
C•B
d-

•
•
Adición y sustracción
Para sumar (o restar) números entaros pueden seguir estos pasos:
• Se eliminan los paréntesis.
·Si el signo que lo precede es +, el signo del número encemdo entre los pa~ntesis no cambia.
8+(+5)=8+5
6+(-2)=6-2
-17+(+12)= -17+12
-15+(-8)a -15-8
·Si el signo que lo precede es -, el signo del número encerrado entre los paréntesis cambia.
16-(+14)=16-14
15-(-7)=15+7
-17-(+ 12) = -17-12
-4 -(-9)= -4+ 9
• Se suma (o resta) teniendo en cuenta las siguientes reglas.
SI "!116U•os_....._...._~. -••u U iloeY 3+9-12
.......... 11•!11 ...... ~ ,;. >,' · .. -17-12s-29
sUbhlll!wKdt'T ......;:,¡ ,..Ua ;. • ., •. ,..v 8-3-5
•••• ~.;;¡ .......... tal ... ,.-; .... -11 +2--9
Suma algebraica
Una suma algebraica es una sucesión de sumas y restas .
Para resolver una suma algebraica, a la suma de los t~nninos positivos se le resta la suma de
los módulos de los
términos negativos.
2 +
6 -9-1 + 12 -3 = (2 + 6 + 1 2 )-(9 + 1 + 3)
-----
= 20 13
= 7
1. Respondan y expUquen las respuestas.
a. SI a un número se le resta su opuesto, <cu~l es el resultado?
b. Si la suma entre dos números enteros es O, <cómo son esos números?
• c. iEstá bien resuelta la siguiente suma algebraica?
9 -15 + 16 -7 = (9 + 16) -(15 -7) - 25 -8 -17
~ '------------------------------ -------1--1--

ACTIVIDADES
Ad1 n y sust'acci,;.n
33. Supriman los pa~ntesls y resuelvan.
L -7 + (+16) • o g. -45 + (-37) = o m. 63-(+35) • O
b. 8 + (+9) -o h. -(--14) + (+9) -o
c. 7 + (-15) • o l -62 + (+84) -o
n. 28 -(-5) • O
ñ. -52 -(-U) • o
d. -24 + (+8) w o J. S -(+12) • o o. -36-(+55) -o
e. 33 + (-11) • O k. -22- (-8) • O p. 38 -(+70) -o
f. -9 + (-6) -o l -54 (+6) -o q. -66 -(-66) -o
34. lean atenamente y comp~ten la tabla.
Lo ompUtud tlrm•ca es lo diferencia entre lo temperaruro mdximo y la mínima.
Ciudad Temp. min. r~mp. max. Amplitud térmica
La ... 8 •e
Olio -10 oc
lllllle soc
-
-15 oc
35. Resuelv3n tu siguientes sumas atsebralcas.
a. -13 + 19 - 15 •
b. -25 + 26 -28 + 22 =
c.-9+5-4-6+1•
d. -24
+
40 -16 + 52 -5 -
e. -66 + 78 -42 -26 •
15 oc
10 oc
12 oc
22 •e
f. 57 -120 + 48 -16 + 72 -
,. -20 + 5 -13 -4 + 8 -
h. -55 + 42 -37 + so -
l 240 + 280 -320 -170 -
¡. -355 • 516-ss-n •
36. Completen La tabla con tos resultados de cada operacl6n.
m p q m+p+q m-p+q m -(p-q)
13 12 -11
-40 so 30
-32 66 -28
o 35 -53
-m-P-q
Los alumnos de segundo año realizaron un ell¡lerimento con el profesor de Biologfa. En la prime
ra etapa del ell¡lenmento lograron congelar una sustancia que onginalmente estaba a 26 OC y la
disminuyeron 32 •c. En la segunda etapa lograron llevarla a -15 •c.
a. ¿Qué temperatura alcanzó en la primera etapa?
b. ¿cu~ntos grados tuvieron que enfriar la sustancia en la segunda etapa?
l

•
Programas y software educativos
Para esta propuesta, pueden usar diferentes programas gratuitos (o software) de matemática
como el Geogebra o CarMetal. A través de los siguientes enlaces, pueden acceder a estos programas
y a sus tutoriales.
Programa Descripción Enlaces gratuitos de descarga
Geopbra Programa interactivo de fácil https://www.geogebra.org/
aprendizaje, que puede utilizarse para download?lang=es
graftcar ecuaciones y funciones, para http://www.geogebra.org/manuaVes/
realizar construcciones
geométricas Tutoriales
dinámicas o estáticas.
para conectar
slmbolos algebraicos
con
gráficas
geométricas, etc.
Carmetel Programa de geometrla dinámica https://carmetal.uptodown.com/Windows
escrito
en Java que permite realizar
http://carmetal.org/index.php/e5/tutoriels·3
construcciones geométricas, interactuar
coo ellas moviéndolas o
modificándolas, haciendo que
las
relaciones geométricas se mantengan.
Antes de hacer construcciones es recomendable que hagan un recorrido por las diferentes
opcio·
nes que brinda el menú de cada programa.
Adic:ión y sustracción de enteros
Si bien todos los PfOCJ''""S menciONdos si""" para oealizar 1> p<op.esw.paro f.l<1ütar la "''l(ia<IÓ!llos pases ooallados ..Un
basado•"' uno JOID de ellos (•1 Googtb<a) y~· Jlgúntipo dt ajuste l>ilr.J •l resto.
Para sumar y restar enteros se puede seguir los siguientes pasos.
• Se abre un archivo del programa elegido y se trabaja solo con la vista del eje x. Para ello se
sitúa el cursor sobre el eje y, se presiona el botón derecho y se selecciona Propiedades. En la
solapa "EjeY" se desactiva la opción "Eje-y".
• En el menú, se selecciona "Deslizador" (o "Dial") y desde la ventana de diálogo emergente, se
especifica el nombre (a). el intervalo mínimo (-15), el intervalo máximo (S). el incremento (1) y DK.
• En el menú, se selecciona "Deslizador" (o "Dial") y desde la ventana de diálogo emergente, se
especifica el nombre (b). el intervalo mínimo {-15). el intervalo máximo {S), el incremento (1) y OK .
• • 3
Aclara;;lcne!l: !le puea" olls.,rvar qu" c:tlsltuarse sol;re
los punto!; a o llyguiando wn el mol15e.los valores 5e
mueven de a una unidad en su •ntervalo
~ '--~-----------------------
~~
------ft<lv ____ ¡_¡ __ __

• Se selecciona del men(l ·semlctrcunfere nc•a" (o
"Semicircunferencia dado dos puntos") y sobre e eje x
se marcan dos puntos A (en O) y B (por efemplo, en 3).
( 1
-2 o 1 2 J
• Se selecciona del menú "Elige y mueve• y se marca el punto "8" de la recta, se cUquea dos
veces y se redefine escribiendo "(a;O)" y OK.
Aclorac;16n·"' pued" ol>selwr qt.~e als•tuorse so~ 111 punto ay
guiando lll mov55. el punto 6 va cami>\Qndo ae posición en llilntervao
correspondiente.
•
Se seiKcíona
del menú "Semicircunferencia" (o
"Sem•circunrerencia dado dos puntos'1 y se marca el
punto B ya creado y sobre el e¡e x un punto e (por
efemplo, en -1).
-2
• Se selecciona del menO "Elige y mueve• y se marca el punto ·e· de la recta, se cltquea dos
veces y se redefine escribiendo "(a+b:O)" y OK.
Acloroción: ee putlde ollserva que a 5it!Jarse sol>~ el punto ¡,y
0u1ando e -.lll punto C va caml>lando oe ~le Ión en ell~tervdo
eo~"Tespond ente
• A partir de la construcción realizada se pueden realizar
sumas de números enteros. Si. por ejemplo, desliza·
mos o p~ra que valga 3 y b par¡ que valga -5, resulta
o + b • J + (-S) • -2.
1. Resuelvan las si(Uientes operadones usando el procedlmleniD aprendi do.
L 2 • e-n - b. -3 • e-s> - c. -15 • s -
2-Verifiquen los multados de la ectlvlded 33 de la ¡IA(IM 20 uHndo el procedimiento apren·
dldo.
\.
:)

•
Multiplicadón y división
Para multipUcar (o dividir) números ~nteros se deben tener en cuenta las siguientes reglas de los signos.
Regla de los signos
1::1~~
+. +. + +: + = +
-.-. +
+.-=- + •-a-
-o+=- -: + =-
El,..,.. d4t dos n6meros eneeros de 5.4-20
lpll s1tno es un n6111110 1111•11. -7. (-2)-+14
El procludt de dos n6meros enteros de 8.(-7)~ -56
._.IIIID ....... un nGmtro 111111110. (-9).2·-18
El cecl1nt1 de dos n6rneros de lpll llpe 21 :7•3
es un ntlmero ........_ -16. (-2) -8
El CHI k de dos l'l6mlros de 1 '11 6o (-12)--5
..... es un nCnero • 1 ••••
15.5-3
SI se multiplican o dividen mas de dos números, se deben aplicar las reglas ant~nores resolvien
do las operaciones de izquierda a derecha.
(+8).( -4).( -3):
(-32). (-3). 96
(-36): (+9): (-4) =
(-4): (-4)-1
1. Respondan y uptiquen las r~spuHtas.
a. <Cuál es el resultado de O : (-5)?
b. lCu61 es el resultado de -500 . 100 . <P.
(-6) ( -8): (-12)
(+48)·(-12)--4
(+85): ( -17). (+18)
(-5) (+18)--90
c. <Qué signo tiene el resultado de una multipllcacl6n de quince factores negati11os? ¿y una
de dieciséis factores negativos?
Ho<ol><t -------------Cuno ___ F«<io--1--1-

ACTIVIDADES
Multlpllcaclon y división
• Resuet~n !ti slplentts mulllpllcadones y divisiones.
a. -8 . (-7) • ( 1
b. 15 . 4 -,~=~1
c.12.(-6)-[ 1
d. -t5 . (-2o) .... _ r=¡ =~1
e. -40 . (-5) • ( 1
r. -32 . 8-'( ~===\1._¿
g. 198 : (-9) -( 1
>===<
h. -255 : 15 -1._ _ ___,1
l. -204 : (-12) -'::=====<1
J. -300 : ( -1 S) ,...• '~="""1
k. -136 : 17 -''-;==!.,1
L 243: (-27) • (._ _ ___,1
38. Rolhetl con color el resultado correáo en cada caso.
a. -60 : (-12) . (-7) -
b, -42 . (-3) : (-ó) -
c. -17 • 4 : (-34) -
d. -14 • (-15) : (-21) -
e. -24 . 10 : (-60) •
f. -120 . 35 : (-140) -
39. Resuelvan tu siguientes operadones.
-35
35
-42
-14
-4
-40
1 28 35
1 -21 35
1 -2). 2
1 10 1 -10
1 4 1 6
1 -30 1 30
L -6() : (-12) . 7 • ( 1 f. -U . 35 : 28 • ( 1
b. -42 . (-3) : (-6) -( 1 S. -135 : (-9) ; (-3) -( 1
c. -V . 4 : (-34) • ( 1 h. -900 . 3 : (-10) : (-9) -( 1
d. -14 . (-15) : (-21) -( 1 t 1368 : 12 : 38 . -16) -( 1
e. -16 • 5 20 = ( 1 ~ -1950 : (-78) . (-98) : (-35) -( 1
40. Mlrquen con una X las eflrmldones correctas.
L El producto entre dos n~meros enteros negatiVos es poshlvo. O
b. El cociente entre un n~me ro entero (diferente a cero) v su módulo siempre es l. O
c. SI se multiplica un número por (-1), se obtiene su opuesto. O
d. El producto entre siete números enteros negativos es negativo. O
e. El codente entre un número entero negativo y su opuesto es siempre -L O
41. Complet en la tabla.
•
b e a.b b.c a . b : • : b . e
-
24 -8 4 -42 6 -3
200 10 -5000
75 5 - 15
-36 -1 -18
-7 -2 196

Operaciones combinadas con números enteros
El siguiente ~lculo se puede resolver de dos formas distintas.
Procedimiento t
7-(-15 + 2-19) ... (-16 14)-
7+15 2+19-16-14·
(7 + 15 + 19)-(2 + 16 + 14) = 9
Procedimiento 2
7-(-15 + 2 19) + (-16-14) =
1. St suprimen los paréntesis. •
2. Se resuelve la suma algebraica
7-(-32) + (-30) = 1. Se resuelven las operadooes que encierran los parémesis.
7 + 32 -30 • 9 2. Se suprimen los paréntesiS.
Para resolver un cilallo combinando las cuatro operaciones pueden seguir estos pasos:
,....,
.
-16:4 5+ 3-6.(-7)- L Se separa en términos.
-4.5+3+42- 2. Se rtsuelven las multiplicaciones y divisiones.
-20 + 3 + 42 = 25 3. Se resuelven las sumas y restas.
Para resolver un cálculo combi!Qdo en donde hay parfmesls y corthetes pueden seguir estos pasos:
[(-8-4. 6). (-3-2)]: (-3) + 5-
[(-32) (-5)]. (-3) + 5"
160:(-3)+5-
-20+5= 15
t. Se separa en términos.
2. Se resuelven las operaciones que encierran los paréntesis.
3. Se resuelven las operaciones que encien'an los corcheles.
4. Se resuelven todas las operaciones.
l. Respondan y expUquen IIIS respuems.
a. En el cAlculo [(9 + J : J) + l], i.se resuelve primero el par~ntesis o el corchete?
b. En el cálculo -7 + 3 . (-8), les correcto rtsolver -7 + 3 y luego multiplicar por -8?
,....---,
c. En el cálculo -3 + 9 (4 -lO)-S, i.es correcta la separación de los términos?
~ ------------ ------------ --- ---FaN----'-1----

ACTIVIDADES
Operaciones combinadas con números enteros
42. Resuelvan de dos formas distintas.
a. 7 -15 -(14 -18 + 5) + (-15 + 6) =
Procedimiento 1:
b. -33 + 18 + (29 -45 - 4) -(30 -58) -
Procedimiento 1:
43. Escriban un soto cálculo y respondan.
Procedimiento
2:
Procedimiento 2:
a.
Azul llene $750 ahorrados y quiere gasta~os de la siguiente manera: $260 para unos zapatos,
$350 para unos jeans y $170 para un perfume. ae alcanza el dinero para comprar lo que quiere?
b. Marcelo estaba en el segundo subsuelo y subió 5 pisos. iEn qué piso se encuentra?
c. Laura estaba en el primer subsuelo y bajó 2 pisos. iEn qué piso se encuentra?
d. A las 6:00 h, la temperatura era ele 8 OC bajo cero. Si aumentó U OC, i.cuál es la nueva temperatura?
e. A las 15:30 h, la temperatura era de 3 °( bajo cero. Si bajó 7 OC, l.cuál es la nueva temperatura?
44. Rodeen con color el resullado corredo en cada caso.
a. -8 + 3 . (-14) = -50 34 1 so
b. 8 . (-7) -15 - - 71 -41 1 41
c. (-7) . (-6) + 16 = -58 1 -26 1 58
d. (-16) . 3 -19 - -67 1 -29 1 67
e. 120 : (-2) -(-8) = -68 1 -52 1 68
f. -22 -72 : (- 1) - -94 1 50 1 94

~
i 7····
ACTIVIDADES
Operaciones combinadas con números enteros
•
4S. Resuelvan los slgulentH cil.culos.
a. 15 : (-7 + 2) --------- d. (128-53) : (-3 -12) -
b. (8 -Hl . H -3) • e. (-22 - 6) : (-25 + 11) •
c. -8 . (-7 + 3) ---------f. (-34 -36) . (19- 23) : (-73 + 53) - --
46. Completen el siguiente cuadro.
1 b e d a.b >c.d a . (b + e) -d (a -b) : (e -d)
-24 6 14 8
2 -48 -2 23
8 40 -10 -2
100 4 16 4
-65 -9 13 6
47. ~en corchetes pa111 que los resultados sun correctos.
•• 42 -18 : (-6) --4 d. 90 : 3 . 6 - 3 ~ 2
b. 50 : (-10) : 5 • -25 e. 3 . 9 . - 5) -7 • -156
c. -36 + 20 : (-4) -4 r. 18 • 23 -7 . s -110
48. Marquen con una X ti úlculo que representa el problema y resuehtan.
Mariela fue de compras con $1500 y gastó la m•tad en el shopplng, $160 en la panadería y la ter·
cera parte de lo que gastó en el shopping, en cosmétkos. Kuánto dinero le quedó?
a. 1500 -1 500 : 2 + 160 -160 : 2 : 3 O
b. 1 500 -1500 : 2 + 160 + 1500 : 2 : 3 o
c. 1500 -(1 500 : 2 + 160 + 1 500 : 3) o
49. Marquen con una X el resultado corTecto de cada cákulo.
.. Hl . e-n . <-3l. <- 6l - -900
b. H> . <-n . <-3l -<•6l -990
c. -30 + (-18 + 6) . (-3) - -120
d. -(-30) + (-18 + 6) . (-3) - -760
e. 42 . (-2) -(-7 + 16) . (-12) -(-55) --790
f. 42 . (- 2) + (-7 + 16) . (-12) -(-55) --m O
-450
-900
-60
660
-380
-370
-------------Cui!O Ftdl.l-- ~--1-

ACTIVIDADES
Operaciones combinadas con números enteros
SO. Completen con un número para que se veriHque la Igualdad.
a. O . {-8) + {-2) = -50 d. (-8) . [(-7) + O) • 72
b. (-5) . (-15) -O = 80 e. (-12) . (-4) . O : (-16) • 21
c. <O+ 18) , c-2> = -7 f. -13 -15 . O • 32
51. Resuelvan suprimiendo paréntesis y corchetes.
a. -2 . [-8 -{-16 + 6) : {-2))-H-12 + 16) : (-4)) =
b. [(-24 + 19-15) . {-7 - 2)]-[-(-58) + {- 22)). 4 -
c. <-32 + 55 -s> . <-16 • 8l + J(-22 • 29 -m . (-28 + 34ll •
d. [-24 + (-8 + 2 - S) . (-3) -(-15 + 26)[ : {- 2) =
e. 152 -[135 + (-4 + 25) . (-6) -(-19 + 3 -8))-(-19) . 4 =
f. -128 + [35 -(-40 + 18 -19) -(-8))- (-300) : (-7 -8) -
¡. [(-245 + 185 -32) : (-1 - 3) + (-7 + 4) . 18)-{-18 + 15) -
h. l-84 + <-8-4) . e-n • <-9l . <-16 + nlJ + <-162l , {-5 -4l =
El nivel de agua de un rlo ha disminuido 5 cm diarios durante 15 dias. A causa de las intensas
lluvias. los 7 días siguientes ha subido el nivel 18 cm diarios. El niv el de agua <aumentó o
dismin
uyó en esos días?
<Cuánto?

lntegra.:ión
52. Escriban el n6mero entero que corresponde.
L Un helicóptero se encuentra a 350 metros
de altura.
b. El segundo subsuelo de un shoppong.
c. Natalia tiene ahorrados S7 200.
d. Claudia tiene una deuda de $4 800.
53. Representen en la recta num~r lca, los
números indic3dos, considerando la unidad
mh conveniente.
a. -9, 6. o. -s. 1-31. _.
b. -45, o, -1SO, 90, -225, -15
54. Resuelvan.
•• (-9) + (-11) -
b. (-8) -(-12) -
(. (-35) + (-54) -
d. (-2 22) + (-458) -
55. Completrn ~ UbiL
e. 54 -(-15) •
r. 74. (-18) •
g. 58 -(-17) -
h. (-135) + {-71)•
56. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).
ExpUquen cómo lo pensaron.
a. El producto de dos números enteros nega·
tivos es mayor que cero. O
b. El opuesto de un nOmero entero es siem·
pre menor que cero O
c. El producto entre un número a y 1 es
Igual al opuesto de o. O
d. El cociente entre un número entero (distin·
to de cero) y su opuesto es L O
CONTENIDOS
....
57, Observen et Cillculo y expUquen por qué se
ucharon los nOmeros.
-46 + 59 ~ ~ -64 +-st'• S
58. Resuelvan lu siguientes sumas algebraicas.
a. -32 + 74-SS-62 + 104-1 47 + 208 =
b. 135 -163 + 48-52 79 + 61 -
c. 366 - 178 + 142 - 82 -76 -
d. 45 144 + 89 -45 + 244 -89 -
e. -240 + 208 -18 + 240-146 -
59. Completen con <, > o • se¡(ln correspondL
.. 1-81 -1-61 o 1-8 -61
b. -1-141 -1-181 o -1-14 -(-18)1
c. {-7) . (-10) o -7 ( -2) . (5)
d. {-30) : 3 o {-30) : (-3)
e. 13 -101 O 131 -1101
60. Resuelvan.
a. Escriban cuatro números o. b, e, d que
cumplan con las condiciones.
O•l-!9+171 b•-4.0
e • -b d -e: 8
o-0 b·O e O d=O
b. Representen sobre la recta numérica los
números que escribieron.
61. Resuelvan la siguiente sltuacl6n planteando
el cálculo correspondiente.
Estas son las ganancias y pérdidas de un ne·
gocio a lo l<lrgo det primer trimestre del año.
MPS G•MI1c la~ Pérdidas
111110 ... $380
febiWO $270 ...
...,., ... $750
Mili - $330 -
SI el saldo al iniciar el año era de -$500.
lcuál fue el saldo al finalizar el mes de abril?
--------------(0110 _ __ , __ --

62. Resuei'Bn.
lll slgu,ente tabla mu&ra las temperaturas
promedio de la ciudad de Ushuala durante una
semana.
a. Ordenen las temperaturas desde la más
baja a la más alta.
b. Representen en la recta numérica las tem·
peraturas.
63. Marquen con una X la respuest& correcta.
•. (-9 + 3 -8) . ( -7 -5) -((-48) + (-53)) =
-2690 670 1630
b. -120 : (-1S) -(- 18-(14 + 16)) -
s60 400 -400
c. 112 : (-9 + 2) + [-(-1S + 6 3) . (-4 + t)) •
s20 -200 200
d. (-99 + 45 -128) : (-2) + (18 -72) -
-1460 -370 370
•• (-45 + 126 - 189) : (-9) + (-48 + 32) -
40 280 40
f. (-160 + 148) . (-3 -5) -( 140 -180) : 80 -
-920 1ooO 920
64. Supriman par~ntes ls y corchetes. luego,
resuelvan.
•.
8-(17 + 5) =
b. -9 + (12 - 21 + 15) - 6 -
c. -16 + 27 -32 + 43 -(14 -36) -
d. -24 -3S -10 + (-20 -40) -
•. 48 -134 -<n • m -1s1-8 -
f. -l-82-(42 - 35) + 38)-56 -
65. A¡re,uen a cada cálculo p1rfntesls o
corchetes para que se verifique la ISU~Idld .
•. (-6) -5 (-12) - 9 (-3) --29
b. (-6) -S (-12) - 9 (-3) • 51
c. (-6) 5 (-12) -9 (-3) -39
d. (-6) -5 (-12) -9 (-3) -135
66. Completen con e, ) o •.
a. -38 : (-19) -(-6. (-9 + 4)) o -30
b. -6. Hl9-n , <-3>1-<-2s • s> , <-4> O 29
c. -(-9 (-22 + 16)) + 42 : (-3-4) o -3
d. -72 : (-21 -(-8 + 14) . (-5)] o -14
e. 96 : (-S -3) -(-(-12) + 1 . (-14)) O 10
67. Unan con un1 flecha cada c61culo con su
,_su liado.
a. (-19 + 2S -31) . (-S -3) -128 • • -12
b. (· 135 + 128) . 3 -68 : 4 - • -88
c. (-75 + 42) : (-16 + 5) -15 - • 72
d. -123 : (-21 -(-18 + 13) . (-4)1-• 3
e. -15 . 8 -(-128 + 256) : (-7 + 3) • • -38
68. Resuelvan las slsulentes situaciones pro
blem6tlcas.
a.
El encarsado de un ediflcio realiza el reparto
de la correspondencia. Parte en ascensor desde
el segundo piso y subió 6 p1sos. luego baja 10,
sube 4 y baja 3. i.En qué piso se enwentra?
b.
El
dla 25 de julio, el termómetro marcó en
Trelew una temperatura mfnlma de -10 •e y
en Posadas. de 11 •c. i.Cuál es la diferencia
de temperatu ra entre ambas dudades?
c. Un submarino se encuentra a 50 meuos
ba¡o el nivel del mar. SI desc,ende 65 metlos
y lueso asciende 100 metros, (a qué distancia
de la superficie estará?
d. El duerlo de un negocio estA controlando la
caja al final del día. Compró mercaderfa por
$3 400, por las ventas obtuvo $4 250 y pagó
$1100 de Impuestos. SI al empezar el dla
habla
$450 en
la caja. icuAnto dinero ttene?
e. Matias tenia en su cuenta del banco un
saldo negativo de $569. Si depositó $2 000 y
gast6 $1480, icuAI es su saldo iKtual?

Potenciación y sus propiedades
la potenciación ~s una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.
a.a a a ... a
n veces
4':4. 4. 4:64
El signo de la potenc1a depende del signo de la base y d~l exponente.
• SI la base es positiva. la potencia siempre es positiva
4" ·1024
• Si la base ~s negadva y el exponente es par, la potencia es posltfva.
{-7)
2
~( 7) { 7) .. 49
• SI la base es negativa y el exponente es Impar, la potencia es negativa.
(-8?=(-8).(-8) (-8)·-512
la potenciación cumple con las siguientes proplld1des:
PropiPdAd~5
El producto de poUndes de igual base ~s otra
potencia de la misma base, wyo exponente es
la suma de los exponentes dados.
El cociente de potencias de Igual base es otra
potencia de
la misma base. cuyo exponente es
la
resta de los exponentes dados.
la potencia de una potencia es otra potencia
de
la misma base. cuyo
exponente es igual al
produao de los exponentes dados.
la potenciación es dlstrfbulfva con respecto a
la mullipticación y la división.
1. Respondan y expUquen las respuestas.
a. Kwl es el resultado de (-1)"'1 ¡y de (-l)''?
b. lEs ci~rto que (-7)' . (-lr es igual a (-7)"?
L teuál es el resultado de [(-1)']"?
EjPmplos
3'.32-3.3.3 3.3
-:3'· 2 = 3'
.. 24:3
3
':3
2
(3. 3 :3) (:3. :3) .. :3'"' = 3'
·:3
(3')
2
a (:3. :3. :3)
2
3333:33
~3
6
~729
(2. 6) -2'. 6' = 144
(12 :4)' -12
2
.4'• 9
En símbolos
a".O"·rf"""
0':11' ao·•
IO')'•d'
(o bl" • O" ti'
(o b) • el' : 11'
--------------Cuno Ftda--1-/-

ACTIVIDADES
Potenciación y sus propiedades
L
o 1 2 3 5
b.
o 1 2 3 5
70. Calculen las slgulutes potendiS.
a.(-2)' = O d. (-3)' • O
b. (-5)' • O e. (-6)' • O
6 7
6 7 8 9
J. -6'-o
k. -3'-o
10
c. (-7)' • o f. HW • o
S· (-2)' • o
h. (-4)'-o
l. (-3)'-o L (-13)
0
• o
71. Escriban V (VeJdadero) o F (Falso) sin hacer el dlculo .
•• (-5)' ( o o c. (-22)' ) o o e. (-25)' < O O
b. (-8)' ( o o d. (-8)' ) o o f. (-7)') o o
72. Completen la siguiente tabla.
a b ¡' b' a' b' a' b' at + b'
3 -s
-4 -2
9 7
-1 -a
-6 1
73. Tengan en cuenta las propiedades y marquen con una )( las Igualdades correctas. ,
a. (5 . 3)' -S' . 3' O e. (-5 + 4)' = (-5)' + 4' O
b. (-5)' . (-S)' • (-S)' o f. ((-5)')" = 1 o
c. <-n" : <-n'" • (-7)' 0 8· ((-2l'P -(-2)' 0
d. (S' 6'') : (5' . 6") s> • 6' o h. S' . 2' • 10' o
7 4. Resuelvan apUcando propiedades.
a. (-S)' . (-5)' : (-5)' • ------e. ((-5) • (-2) . (-3))' • ------
b. [(-4)'P : (-4)' • -------
c. [(-2) . (-2) . (-2)1' : IOn • ----
d. (4 . 3)' : (4 . 3)'
f. ((-6)' : (-6l'P = --------
8· ((-1)"' : (-t)"f --------
h. (7' . 3')' : (7" . 3"') -------

Radicación y sus propiedades
la radlcad6n es una operación entre dos números o y n llamados radicando e fndlce, respect~
vamentl'.
~..r'\
fnd/ce .:rCJ • b rodkal
radican~ ~ rafz
..[36 ~ 6 porque 6' • ~ "1-27 = -3 pon:¡ue (-3)' • -27
• Si el radiando es positivo, la raíz es positlv&.
• SI el radicando es negativo y el fndice es Impar, la rafz es negativa.
r-243=-5
• SI el radiando es negativo y l'l índice l'S par, la raíz no tiene sotud6n en el conjunto de los
números enteros, Vll que ningún número entero elevado a un exponente par da por resultado un
número nl'gativo •
..r-:9 y ~ -81 no tienen 501ucién en el COf1JUnto de los n~ ~·
..J5i • 'l/5"' • S' • 25
m-~27L1- tJn9 -3
..Jrsi = '~r¡¡r -\181 -3
la radicación es distributiva con respecto a la multipllcaclOn y la división. •
,,...--·~ .~
~a. 11• vo. ~~~
1. Respondan y upllquen las respuestas.
a. i.Es cierto que '1-25 no t1ene solución? ;por qué?
b. Observen la tabla de la actividad de la página anterior. ¿Qué rafees perm1te calcular?
c. la radicación <es distributi va con respecto a la suma y la resta?
-t'---------------,.,., ___ f«ha __ , __ , __

ACTIVIDADES
Radtcaci6n y sus propiedades
75. Calculen las slBUientes ralees, cuando sea posible.
•· ..fii9 • 0 •· V-m • 0
b • .Jffi -o f. V"Tffi -o
c.ra -o c-~2744-0
d. lA -o h. \81 -o
76. Resuelvan aplicando propiedades.
L -H625 • ------
b. ~-125 8 -----------
c. l.J 1728 : (-216) -
d. lf r-m> , C-11 --------
'·'~
f. l.J 2 744 : (-8)----------
77. Marquen con una X las afirmaciones correctas.
•. lH • v::a • l[..g -!J::s o d. V6 . {10 + 12} -.J6:10 + .,¡'6,T2 o
11. ~~6 .n • V32 O .. m ·ns O
c. ~36 .. 81 -~6 + -.'81 o f. 1.[:5 lf-5 . !,{:S-'1 f-5). ( 5). ( S) o
78. Completen la tab111. Pueden ayudarse con las tablas de 11 actividad 69.
Cálculo iE~ PX3cla? SI no es exact.1. ¿tontiP cu.tlr ~ númPros
enteros se encuentr~ el result~do?
'~
,'ijij
V~
..t6o
-
lJ8i
'
~rm
!;soo
"512
79. SimpUftquen los lndlces de las relees con los exponentes.
•· 1!(-W -( ) d. !f(=W-( )
b. Vi6• ( ) e. ill1 = ( )
c. V(-m)' ( ) f. m•-(
80. Completen los espacios vados par1 que se veriftquen las lcualdades.
L ..frñ'= Orm' b. ;fñi • {nO c. \'jil• ~ ·

Operaciones combinadas con potencias y rafees
Para re50lver un cálculo combinando todas las operadones estudiadas, pueden seguir estos pasos.
,..---, ,....-----,
1. Se separa en términos. .,f81. 3 • 32 : 2 -7 . 22 =
9.3+ 16 -7 .4:
27 + 16-28·15
2. Se resuelven las potend. as y raíces.
3. Se resuelven las multiplicaci ones y divisi ones .
._ Se resuelven las sumas y restas.
(-7 +2)Z+ ..J16+8.6 -(-45:9+4)': 1. Se separa en términos.
(-5)
2
+ ..J16+ 48 -(-5 + 4)3 a
25 + ..J&+ (-1)' : 2. Se resuelven l as potencias y ralees.
25 + 8 (-1) =
25 + 8 + 1 = 34 3.. Se resuelven l as sumas y restas.
Un cálculo combinado p uede presentarse a través de una expresl6n coloquial.
lenguaje coloquial lenguaje algebraiCO
La ralz cuadrada de la suma entre 9 y el anterior al opuesto de -8. .J9 + (8-1)
El cubo de la diferencia entre el opuesto de 18 y el siguiente de -16. (-18-(-16 .. 1))'
La suma entre la ralz cúbica del opuesto de 216 y el ante(ior a -13. !J-216 + (-13 -1)
El cociente entre el cuadrado de -8 y la mitad de 32. (-8)' : (32 : 2)
En el siguiente enlace podr.in accede< a una explicación paso a paso de la rl'Sdución de una operación combinada
con números enteros donde 01parece una potenCia.
l.lngrese1 en ht!ps://goo.gi/M-4cVI(m' y observen el video.
• Eni><e a<ort>óo de h~ ,..._ ,...,ubo .co"""'tcliJv. AeiiW8 9QYWnU .
L Respondan y expliquen las respuestas.
L iES COrrecto el Siguiente procedimien to? (,('§ + 5)" e 14
b. <Es correcta la separación en términos del siguiente cálculo combinado?
.Jn + 21 . 7 -(-5 )' + 8
L......J l...--....J L..._...l L..J
~------------------ ------------
---~-- 1-- l--

ACTIVIDADES
Operaciones combinadas con potencias y raíces
L (-4)' • v 125 -(-6)'-.Jns - h. IJ-a-24 • (-15 • 7 • 6)'-o: u •
b. (-16)
0
+ (-S)' . 8 : 4 -IJ-729 + tRi • l. (-3)
1
• (-2) -2 052 : (-6)' + ~-27 -!J27i:9 •
c. (-8)' + -.'100 -l.!-27 o l.!-243 - J. -8 o (-4)' o (-3)'-192: (-3)
1 + 1/-117 + 198 -
d. (-3)'. <-8l'. W1i -IJ-2160: 3. (-300) • k. V ·1024 • (-tos •18): (-4 • 9) • -fl . ..fi8 •
e. (-7)'-(-30): 6. t4 + ..Js
1
•
20 tO' • 101. 1. .J26'. 211.
(-7)'-(-170. 240-65)'
f. VHa6) : (-6) + (-6)' : 4- (1 + 4 . 4)' • m • .Jsl • 12' + (-14)'-(- 155 + 84 • 78)'-
•· IJ-n9 . (-2 -5)-(-18)
0
•
(4'-5 1) •
a. (-2) . (-2)'. (-2)' • 240 : {-15) • .J( 32• • 44s •

ACTIVIDADES
Operaciones combinadas con potend;:~~ v raíces
82. Completen los espacios para que se verifiquen las Igualdades .
.. dCl • 6 -(-3)' -243
b. (-5 + 4 -6)' -!J=I!8 16 -(0)· -50
c. ~-2o1-U. (-12) -(-ts)•. -2o
d. !J-9 .27 +(- 4)' . (0)· -61
e.. 1<-n . <-2lf -(0)• -228
f. ~o .l/108 _ -8)' • -76
83. Resuelvan aplicando las propiedades de 11 radicación y de la potendacl6n.
a. ~~.Hl. Hl
9
•
VRP-
b . ..¡rr . ..') + '.J-243 + [\'S'f -
c. ~~(-5)1' ( s)": ( s)• + ¡~N)po •
d. !J(-2)
11
: (-1)1! -
e. lJ18 . 'f-96 + ~ •
f. [(-10)
1
(-10) .(-10 )']' : ((-10)
0P + ·HOO •
&. !J=t6 . !J-20 .V-2s -1<-n'l', t<-7l"r. u. 6, 18-
~-------------- ------ ------
___ f .... __ ,_, __

ACTIVIDADES
Operaciones combinadas con potencias y raíces
84. Coloquen corchet es para que se cumplan las Igualdades.
a. (-3)' . (-3 )' + (-3)' -.Jtoo . ~-27 e -240
b. (-3)' . (- 3)' + (-2)' --J1oo . ~-27 • 516
c. (-3)' (-3)' + (-3)' --J1oo . ~-27 = -2 268
d. (-3)' . (-3)' + (-3)' --J1oo . ~-27 • -132
85. Unan con una flecha los dlculos que tienen el mismo resultado.
a. 5-!Js-224 • (..[-:8)•-3. (-5)
0
+ (-8)'
b. (-6) .(-8)
+
1/1331 • 3
1
• .J841 + (-7)' + (-5)'
c. (-3) . ~· -(-2)' • (-4)' . 5 + (-2)' : 4
1
d • .J(-8)': (-2)' • [(-6)
2
• (-6)'. (-6))' : [(-6)'f : (-3)'
e. (-1)'. (-2)'. (-3)' • !./2744. 3
1-5 . 2' +24
86. Planteen el cAlculo y resuelvan
a. La diferencia entre el triple de la raíz cuadrada de 169 y la raíz cúbi ca de 8 000.
b. El cubo del cociente entre la ralz cuadrada de 576 y la raíz cúbica de (-8)'.
c. El producto entre el cubo de -3 disminuido en 4 y el cuadrado del opuesto de 4.
d. La suma entre la raíz cuarta del triple de 27 y el cubo del m6dulo de -25 + 16.
e. El producto entre el cubo de -4 y la suma de -18 y 14, dividido ..J'J4096.

lntegra(ión
87, Completen el exponente teniendo en cuen·
ta las propiecüdes de la potendad6n.
a. (-8)' . (-8)0 • (-8),.
b. (3
14
• 3) 3 . (3' . JI) o-3 '
c. 7"' : (70. 7')' -7'
d. (-15)0. H5l' : !(-15l'P • ts
e. (-2)' . (-2)' : [(-2)0. (-2))6 • 1
f. ((-22)'0: ((-22)' (-22)') - (-22)'
88. Completen con • o "·
•. (-6)" . (-6) : (-6)' o (-6)''
b. ,J64 + 36 o ,r¡;¡¡ + ~'36
c.(( n·r o 7 ...
d. -12s :9 O m . .J9
e. (-8) O -1
f. (-14)
1 o -14
89. Marquen con una X las afirmaciones
correctas.
a. Toda raíz de fndice Impar y radicando
negativo t iene resultado negativo. O
b. Si la suma de los cuadrados de dos núme·
ros enteros es mayor que cero, en tonces los
dos números son positivos. O
c. S al elevar al cubo un número entero, el
resultado es negativo, entonces el nú mero es
negativo. O
d. La raíz cuadrada de -16 es -4. O
e. Todo 11úmero negativo elevado
a a O da -1. O
90. Completen con <, > o •.
L (-5)' . (· 5) o 5
4
• S'
b. {-2)
6 o -4'
c. i/(-a) . (=27)~ o IJ8. \27}.1
CONTENIDOS
• •
91. Completen con el número correspondiente
teniendo en cuenta las propiedades de la ~di ·
caclón.
b.JJD S •. 10¡¡; 6
c. c07l• -343 f. (-7)0 -1
92. Resuelvan las slrutentes operaciones
combi nadas.
L ,¡17 . 15 +8° -({-5)
1
: (-5)
1
)-{8 -7 . 3)•
b.(~2' + (-18 + 6} • {-5) -(-8)'). (-2)
c. -1{-17 + 45 + 32) • {-13 + tS)). ~-1024-
d. -28-[-{ 3) . (-3))-~IT729 -
e. -52 + 16 {-12 + 7) -1.'96-26. (-52) + 36' -
f. -4 + 21. (-34 + 28) 14. :.1-1024 + 821 309-
93. Esa1ban los números enteros más prdxlmos
e cada ralz.
e. O• -lss <0
b.0,
lJ28, o
c. O· -118, O
d.O<..J-ss <O
e.O<illO<O
f. o ( {/-60() < o
94. Planteen la ope~cl6n y resuelvan.
1. El producto entre el cuadrado de -7 y la
rafz cúbica de 1 728.
b. El cubo del cociente entre la raíz cúbica de
-216 y la ra!z cuadrada de 36.
c. La raíz cuadrada de la suma entre el cua·
drado del siguiente de 7 y el cuadrado del
siguiente de
-7
d. El cubo del producto
entre la raíz cúbica
de 64 y la raíz cuadrada de 25.
e.
El
cuadrado de la suma entre la rafz cúbica
de 1331 y el cuadrado de 4.
f. La raíz cuadrada del producto entre ti cubo
de 4 y el cuadrado de 5.
---Fadla--'--'--

95. Simplifiquen las rakes y resuelvan.
a. ''l-8T
10
• d. ~(-9l' •
b.~ = e.~-
c. -vt=ñZ = f. w -
96. Completen. Tengan en cuenta las propleda·
des de la potenciación y de la radluclón.
.. <· n•. <-a>', <-2l'-(0. Ol' , <-2l'
b. (-3)' ((-3)'}' -(-3)0
c . ..g . ..g : {/-125 -o : o
d. (• 6)
1
o (-6)• o (-6)': (-6)" -(e 6)0
e. ~$1- 4)" . (-4)' • O . O
r.-/6 . .ffi.u•-0-0
97. Completen la tabla.
98. Resuelvan aplicando propiedades.
a. (-10)' . (-10)" · ( -10)n •
b. (-14)" : (-14)
10
• (-14)
1
-
c.. ((-ll)'P : (-11)u •
d. C\'36 l' + (-6l' -
99. Resuelvan.
a . .J4 + 28. S + [30 : (-6) . S] . S' •
b. ~-4 . 26 • 9 . 24 -6 H4) - H76 : 8 • 8') -
c. -13' + ~-8
1
-31 . 9 -(-7 + S . 4) •
d. -R16 -5 . (13 -5') + 10" : 10' -
e. ~-16. V12, ~ + s•-(18 6)
1
-7' =
100. Unan con una flecha cada célculo con su
resultado.
a. _,¡rr¡_-..2),...._'(-..,2)'.'(---.2") +~24 • (-3)'
b. (-3)" (-3)" : (-3)" • (-4)'
c. (tr))• • (-4)'
d. (-<\),. . (-4)'" : (-4)" • (-3)'
e. ~'Pi}li • (-4)'
101. Rasutlvan planteando un único c.élculo.
a. Andrea tenia $525. Two que pagar una
cuenta de $120, una de $48 v una de $172.
Ricky te pegó $82 que le debía, l cuánto dine·
ro tiene Andrea ahora?
b. Un submarino se encuentra a una profundl·
dad de 522 metros y comienza a subir
52 metros por minuto, 1a qu~ profundidad se
encuentra al cabo de 5 minutos? <Cuántos
metros le faltan para llegar a la superfici e?
102. Resuelvan.
a. .J5' . 3
1
•
9
5
=
b. .J5
1
•
10 •
2 37 -
c. -f7l + 3 . 19 -
d. V-2
1
• 45 -w -2' =
•. 'J-9' . 2 + (-3)
1
. 2 -
103. Encuentren el error en cada uno de los
siguientes úlculos. L.u~o. resuélvanlos corree·
lamente .
•• {4 7)' . (-5) -6' =
(64-343) . (- 5) -216 -1179
b. 3
1
• S' - 8 . 7 =
3'-56-187
c. (3')' 17
1
-
3"-289-440
d. (10 · S)' + (9 -15 + 4)
0
-S •
10' : ' + O-5 • -1
104. Coloquen corchetes para que se cumplan
las siguientes Igualdades.
••
(-5)' (-?)' -(-5)' : lfiE -600
b. ( 5)
1 (-5)
1
-
(-5)'
: 1[125 • -100
c. (-S)' (-5)
1
-(-S)' : V 125 -soo
tOS. Planteen ti dlculo y resuelvan.
a. El cuadrado de la suma entre la ralz cuadra·
da d~ d 1ecís~is y menos cinco.
b. La suma entre el cuadrado de seis y la ralz
cuadrada de ciento sesenta y nueve.
c. la tercera parte del produ cto ~ntre la raiz
cuadrada de cuarenta y nueve y menos nueve.
d. El cuádruple de la raíz cúbica del opuesto de
quinientos doce, disminuido en cuarenta y
cinco.

106. Resuelvan.
a. Completen con <, > o • según corresponda.
-150-16 oQ4 2oQ-19 1-610 161 -20-3
b. Representen en fa recta numéroca tos nú~ros del rtem anterior
107. Complettn la tabla.
a b e lal ·b -a +e b . (-<) 3. ve a' . b : (-2)
-4 2 -125
4 -27 32
-7 -512 -10
16 -3 -1
108. Planteen y resuelvan.
Esteban tiene una cuenta corriente con un saldo deudor de $8 4SO. Recibió tres depósitos de $1 SOO
cada uno y cinco dep6s'tos de S8SO cada uro. Unos dlas después extrajo dos veces $700 y una vez
$1 800. tcu~l es el saldo actual de la ruenta comente? iCuánto hay que extraer o depositar para que el
saldo sea O?
109. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. (-15 + SS) · (-8 + 3) ~ \'(-8 • 2)' + (-8) . 37 -(-14 + 2 -3) -(-5)' •
b. (-7 + 2 5}
2
• {l-7 + 4) . {-7 -5) • V'i5' e
c. [(12 -15 + 28) . (10 -7 • 8}P -(-8) : (-9 -2 + 7) -
d. ['1'625 • 3 + (-25 + 48 16) . (-9)] : (-15 + 13)' -

EJdesafio1
n~mero de la caa que
e!>tá apoyada en la
meoo.
CONTENIDOS
U. E.Kprcsloncs algebraicas.
Cuadrado y cubo del
binomio.
12. Ecuacio~es .
13 Ecua< o"es ton aplicación
de la propiedad
diW•butiva.
14
EcuaCiones
con
potenclad6n y rad1tac16 n.
15 Problemas con ecuaciones.
16.1ntcUICIOnes.
SITVAOÓII IIIIOAL Dl Al'llliiDIZAJl
1. Observen la lmqen y resuetv1n.
a. <Eslán de acuerdo con lo que dice el chico? ¿por qué?
El numero eo e 1
porque 105 C<lra5
opu~tmde~
ciO<:Io6 &itmpre
suman lo ml,;mo.
b. Resuelvan el desaffo 2: <.Cu31 es la suma entre el número de la cara apoyada sobre la mesa y
los
de las
caras que quedan entre los dados?
t. En el desafio 3 el mago dice que la suma entre el número de la cara apoyada sobre la mesa y
l
os de las caras que q uedan entre los dados da 18.
¿Qué número estA oculto por el sombrero?
d. Las siguientes expresiones sirven para resolver los desatros Gil es el número buscado).
lnd•quen a cuál corresponde ca<la una.
• 6~ + X = ] o • 21 -X = 18 o " X • 7 , 2 -1 o

Expresiones algebraicas. Cuadrado y cubo del binomio
La matemática utiliza un lenguaje d~nominado simbólico formado por núm~ros, sfmbolos y letras.
En est~ lenguaje, las letras representM números.
Una expresl6n elgebraica es una combinación de letras y números relacionados entre si por una
o más operaciones.
3n, 9p: 5x
2
CoeRcrentes: 3 9; 5. Parte itera!: ~;p. x .
Cuando una expresión está formada por un término, se denomina monomio: cuando está forma·
da por dos términos, se denomina binomio.
-12x es un monomro 8x + 9 es un l>rnom 10
Para su~Tl4!r o resbr monomios sem.;aniPS (con la mosma Para multipliur o divld" dos monomros. se
parte UteraO, se suman o restan los coeflcrentes y se mulliphum o dividen tos coefidentes y la
escñbe a continuocion la mtsma parte lrteral parte literal
-6w+ 16w •10w
7p-12q-9p ... 23q· -2p + 11q,
El cuadr'ldo de un binomio se puede resolver de la
siguiente forma
(o • b)' • o' • 2ob • tr
(x + 5)' .. x' + 2 x 5 + 5' • x' + 10x + 25
(x-5)• ~ x
2
+ 2 x (-5) +{-5)' •x -10u 25
El cubo de un binomio se puede resolver de la
siguiente forma:
(o • b)' • a' • 3a'b • 3otr • b'
5!f . 3b; 1 51r'
48171' : 8tl ~ 611'
-
l. Ingresen en http:.//goo.gi/IIFI(f 'l(,' y en
~'l/gooJNam70Nr " para observar la
dentostractOn ~ca del ruadrado 1
del Cúbo de un b ncl'1 o, r~rv¡¡:nffilt
'!Ntr-·~ .-~
~
-('lila-dt ~~-~ODrQ/..Vm\'0-
V.Offlh.
{8+y?. e•. 3 e• y+ 3 e.y> +y>; 512 + 192y + 24Y" +Y:
(8-y)'-(8+(-y)J'; 8'+3 8' {-y)+3.8 {·y)' +(-y)'=512-192y+24y-Y'
1. Respondan.
a. K6mo se escñbe en símbolos la mitad de un número? N la tercero portt ck un número?
b. ((uál es el coeficiente y la pane fiteral de -Urri'?
c. <Es verdadera la igualdad 8n • 8 . n?
d. <Es cierto que 5y + 6y' • Ilr'?
-·--------------, ____ f«hr __ ¡ __ ¡. __

ACTIVIDADES
Expres1ones algebraicas. Cuadrado y cubo de binomio
1. Completen la tllbla.
4
El doble
El triple
la mhad
El anterior
El siJUiente
El sisuiente del doble
la mlted del anterior
2. Es<tlban el cilculo y resuelvan.
a. la diferencia entre dncuenta y s1ete y
ochenta y dos.
b.
El triple
del opuesto de menos doce.
c. El cuadrado del opuesto de quince.
d. El cubo de la suma entre ocho y dos.
-12 X 2x
•· El producto entre la suma de tres y ocho y
la diferencia entre siete y doce.
h. El codente entre el doble de treinta y la
raíz cuadrada de ciento cuarenta y cuatro.
L La tercera pane de la suma entre el doble
de siete y la raíz cuadrada de dieciséis.
J. La raíz cuana de la diferen cia entre el cuá·
e. La raíz cCiblca de doscientos diKiséls. druple de veinticuatro y el triple de cinco.
f. La raíz cuadrada de la diferencia entre veln· k. La diferencia entre el cubo del opuesto de
ticlnco y nueve. tres y el cuadrado de ocho.
3. Escriban en len~aje coloquial los sl~lent:es dlculos y resuelvan.
a. 3. 8-S'- o
b. h024 + (-15) - o
C. {64 + )6 a_ o
d. -(2 + 10)' - o
e. {49 • S' • o
f. 10
1
11'• o

'
o
ACTIVIDADES
Expresiones algebraicas. Cuadrado y cubo de binomio
4. Aptlquen la propiedld distributiva.
a. (3a + 4) 4~ ' •
b. (-6b + 3) . (-3b}
c. (24c + 12) : (-6) -
d. (3d -d~ . (--4d) -
e. (9e' 12el : (-3e} •
f. (4f + 5} • (-S) •
,. (12g -14} : (-2) -
h. -2h'. (-3-h} -
5. Tenpn en cuenta el ejemplo y obtanpn el factor común.
15~ + 5"'' = Sx . (3 + ~~ 7y'-2ly' • 7y' (1 -3y)
a. 4a + 8 • -----------
b. 3b' + Sb • ---------
(. -9-3c
d. 14d-7d ----------
e. 4e' -16e = ----------
f. 6fl + 12fl + f- --------
,. 30g
1
-18g-6 --------
h. 15h' + 3h' + 3h ---------
6. ReaUcen las sl~ientes opet'aclones. lueeo, calculen el valor numérico de cada una sabiendo
que 11 • 2 y b • -1.
L 7a-2a + 4a a f. a . a + 8a
1
+-a"' : au •
Valor numérico: _ --------- Valor numérico: ---
b. 4a
+
Sa -4a = g. Sa' 3a + 7a' -8a =
Valor num~rlco : ---------Valor numérico: ---------
c. Sa + Sb • h. Sb + b -7a + a' -
Valor numérico:----------Valor numérico:
d. 4~ • 2a' • l. 2b . 3b • 8a . 2a' •
Valor numMco: _ Valor numérico:---------
e.. lSb' + 18b -22b' • J. -a' : a + 1Sb" : 3b
10
=
Valor nu~nco: ---------Valor numtrico: ---------
~~------------- -
______ , ____ _

ACTIVIDADES
Expresiones algebraicas. Cuadrado y cubo de binomio
7. Desarrollen los siguientes c.uadrados.
a.(m+6l'=
b. (m-6)' •
c. (m' + 6')' •
8. Desarrollen los siguientes cubos.
a. (n + 3)' •
b. (n -3)' •
c. (4n + 5)' =
9. Esai!Nn los términos que faltan.
a. (7+ a)' = ( ) + t4a + [,---.,)
b. (3b + 1)' • 9b' + ( 1 + ( 1
c. (-2c +5)' •( 1-20c + ( )
d. (4 - d)' -( 1 + ( 1 + d'
e. (2e - 8)' •( 1 -32e + ( )
f. (-f-9)' -( 1 + ( ) + 81
10. Resuelvan.
a. a' (a + 5)' =
b. 3b
1
+ (b-3)' =
d. (-m • 6)' •
e. (-m-6)' =
f. (m' -6')' •
d. (-n • 3)' =
e. (-n-3)' •
f. (4n - 5)
1
•
g. (7 + g)' • g' + ( ) + 147g + ( 1
h. (3h + 1)' • 27h''-•-¡.l =L..) + 9h + '¡:::( =~)
l (-2i + 5)' --8i' + 60i' + ( 1 + ( 1
'---;==:::!. ......... '---'
J.{4 -j)' -( 1-481 + ( ) -1'
~==-_,
k. (2k -8)' = ( ) + ( ) + 384k- 512 ú
t (-1 -9)' = e -o· • (.__---JI • [.__---JI -m
c. 4c' -12c + 12 + (e + 2 )'
d. 140d -36d' -400 + (8 -d)'

Ecuaciones
St denomina -Ión il toc1a ¡gualdild doodt apa¡ece un Villor desconoddo ILlmildo inalgnit&
)< + 9 • 15
'---' .........
J.•
miembro
1.
miembro
Resolver una ecuadón significa encontrar el o los valores que hacen verdadera la igualdad.
Vertflclr una ecuación consiste en reemplazar el o los valores encontrados en ella para compro·
bar si la igualdad se cumple. El valor o los valores encontrados forman el conjunto solución.
Para x + 9 = 15, 6 es el conjunto solución potque es el úntco valor que hace verdadera la ogualdad.
x" 6 Veroñcaclón: 6 + 9 • 15
Para resolver una ecuac.i6n se deben tener en cuenta las siguientes propledaclts. que permiten
obtener ecuaciones equivalentes, es dec.ir, con el mlsmo conjunto solucl6n.
• Si en una ecuación se suma o resta un mismo número a ambos miembros, se obtoene una
ec~Wción equivalente a la dada
x-8 .. 5
x-8+8:!::.+8
)(:13
Venflcaci6n: 13-8 = 5 V
x•11e25
X+ 11 -11 K 25 -11
xe14
Venflcocoón: 14 + 11 -25 V
• SI en una ecuac.ión se multiplica o divide por un mosmo número (distinto de cero) ambos
miembros, se obtiene una ecuación equovalente a la dada.
x.2•33
(x. 2) : 2 • 33 2
x=19
Verfflcoclón· 19 . 2 = 38 v
f~omprÉmsión AcTwA"dA.~
1. Respondan y uptlquen l as respuestas.
L La expresión 6o -4 ~ una ecuación?
b. Ku~l es la solución de 3x + lO • 34?
x:7•9
(x·7).7=9 7
Xe63
VenfiG<lCión 63:7 • 9 v
c. las ecuaciones Sx + 9 • 34 y Sx • 25. lson equivalent es?
______ ,. __ ¡_

ACTIVIDADES
Ecuaciones
11. Coloquen una X en la solución de la e<Uacl6n.
a.5x+18•8 •oO
b. 13x + ~ • 5x + 18 • O O
c.Sx+5+9•2.7-6x •oO
d. x' • 18 • 22 • O O
L 4 . (9x 5) • -11 + 63 ° 0 o
12. Resuelvan y verifiquen l&s slrulentes ta~adoaes.
a. 5x + 28 --32 h. 8x-32 = (-20x) : " + 46
•-20
•-20
•-20
•-20
•-20
b. 9x + 8 • 71 l. 4x -8x -4 . • -x -3x -12 . 3
c. 32 • 6x 7 . (-2) J. -sx -15 + x + 33 = -8 + 6x -14
d. x + 7x + 12 • 13 . 4 k. -tsx + 8x -36 = -21 : 3 + sx-17
e. -8 . 6 -3 . 14 • 12x + 6x l -5x + 8x + 20 • -Sx-22 + t2x -54 : (-9)
f. x -12 -6x • -18 + 6 m. 8x -(-15 + 3 -17) + 18 -2x -(-5)
g. 18 8x + 6x • Sx + 32 n. 18x-(-10) + (-68) = 13x-(-25 + 8)
La solución de la ecuación Bx + Jk • -12 -lile es x • 9. ¿cui'il es el valor de le?
ü

La ptanllla electr6nlca
En este apanado se trabaja con la planilla electrónica u hoja de cálculo. un tipo de documento
muy útil y fácil de usar que si !Ve, entre otras cosas, para realizar operaciones matemáticas, registrar
datos y presentar
en forma de
gráfico los resultados obtenidos.
Al abrirlo, se puede ver un "libro" similar al que se muestra en la imagen donde aparecen algu·
nos elementos como filas (indicadas con números), columnas (indicadas con letras) y cetdas. que
son recuadros dentro de los cuales se colocan los datos y que se representan colocando primero la
letra de la columna y luego el nOmero de la fila (por ejemplo: A3, 85, etc.).
-
Ce
1 [Al . )ll• < jx BAWOE FOIIMWS ~.
Idas-
!<'~ ~H
•
5 e o E f •
- Columnas
1 ~
l
"'
------
•
S Frias
Ac;laracl6~· como en una Planilla de cálculo hay muchas funciones, es reccmenaal>le explon:~r el
progroma (sus mentJ5. herramientas y l>amJ de fórmulas que aparec;en en la pantalla) y no olvi·
dor6e de guartlar todos los trabajos.
En una Plan,lla de cálculo, ceda fórmula ccmíenza con el6igno ·=·seguido de lo operooón y se
presiona
,ftt&. Para la muiUpllcación se usa
el signo···: para la división "F; pt:n~la &urna. ·+"y
paro la resta. "-•.
Ecuaciones
Para resolver ecuac.lones en una planilla de c~lculo, se pueden seguir los siguientes pasos.
• Se abre un libro en blanco eo una planilla de cálculo.
• En la celda At se escribe la ecuación a resolver, en este caso: "3• + 7 • 5• + 1" y se da "Enter".
AcldrQción:
para visualizar todo
lo tlpeado en una celda. S~e pu,ae ajustar el ancho de las
columnas ubicando el cur60r del mouse entre los letros de kt6 cclumnas y arrostrantlo hasta
con~uir et ancho necesario.
En la columna A se colocan posibles valores de ·,·.
• En la celda A3 se escribe el texto "Valores de x•.
• En la celda A4 se escribe el valor •o•.
• En la celda AS se escribe la fórmula "•M+t" y
se da "Enter•.
l
l
¡
•
l
Al .
•
5K_• 7• S ll, 1 1
r -do•
r o
1
"'
oM•I
•
e _j)
--------------"'""---fe<h¡ __ , __ (. __

• Se selecciona la celda A5 y se "copia~
• Se seleccionan l.:ls celdas desde A6 hasra A14, se sirúa el cursor del mouse
sobre la celda A6 v haciendo elle derecho se selecciona "pegar".
A....i:Jmclón: ~ puea~ vi-Jud wr qu~ 10 columna~ autocomp eta hasta la
ct:ldo q,;e se haya~~ como final
En la columna 8 se coloun posibles valores de "3x + r.
• En la celda BJ se escrrbe el texto "Valores de 3x+7".
• En la celda M se escnbe la fórmula "•3'M+7" y se da "Enter".
• Se selecciona la celda M v se "copia".
~ ·
-~
1 4
t 5
6
~1
7
a
t:
9
10
• Se seleccionan las celdas desde 85 hasta 814, se sitúa el cursor del mouse sobre la celda 85
y haciendo clic derecho se selecciona "pegar".
En la columna C se colocan po;ibles valores de "Sx + 1",
• En la celda C3 se escribe el texto "Valores de 5x+1".
• En la celda C4 se escr1be Lllórmula "=5'A4+1" y se da "Enrer".
• Se sele<dona la celda C4 y se "copia".
• Se seleccionan las c~ldas desde es hasta Ct4, se sitúa el cursor del mouse sobre la celda es
v haciendo elle clerecho se selecciona "pegar".
En la columna O se coloula fórmula que indica dónde está el valor de x que es solución de 1.1 ecuación.
• En la celda O 3 se escribe el lexto "fórmula igual".
• En la celda 04 se escribe la fórmula "•iguai(M;C4)" v se da "Enter".
• Se selecciona la celda D4 y se "copia".
• Se se ewonan las celdas desde 05 hasta 014, se sitiJa el cursor del mouse sobre
la celda 05 v haciendo die derecho se
--. se ecciona "pegar".
• En la celda 07 aparece "VERDADERO", que signl·
fica que para el valor de JC de la celda A7 (3). los
valores de "3x + 7" y "5x + 1" son iguales (16). Por lo
ranto,
JC
= 3 es la solución de la ec.uación.
N;lorot;;ton: !>< ro be !111CU<'flt.l'tl una 501uclón Gfl5
~ verdaden:r la ~tdLld se ambio el pr_mer
valof' de x t<:1r1t<»-como 5ea reGeSOno. Por
e emplo. para la Clctfvldad ~ta 5e puede
l
e6Cnl>tr '11" en la c.&~da ,._4 y al dar 'Enter', notoi"'~ c¡ue coml>lan tod05la!l volore!l d" la tat>la
Tamt>•én pueden daree valore,; negat.vo::; a x.
1. Resuetvan las siguientes ecuaciones usando u~ planilla de álculo.
a. 2 + 7x • 5x + 4 b. 3x + 23 -2.1. + 39 c. x-54 • Jx
2. Verifiquen las soludones de las acllvtdades 11 b y 1t e IN ¡. página 48 con une planilla ele
cálc.ulo.

Ecuaciones con aplicación de la propiedad distributiva
la siguipnte ecuación se puede resolver de dos formas distintas.
Procedimiento 1= aplicando la propiead distrllulfva.
5 . (x + 4) ~ 55
5x + 5 . 4 • 55 • Se aplica la propiedad distributiva. •
5x+ 20· !:>5
5x + 20-20" 55-20 • Se resta 20 a ambos miembros.
5x .. 35
5x 5 • :35:5 • Se divide por 5 a ambos miembros.
x•7 Verificación: 5 . (7 + 4) "' 55 v
Procedimiento 2= sin aplicar la propiead distributiva.
5 . (x + 4) • 55
1!8. (x + 4) 55
~ A5
X+4•11
X+4-4a11-4
X• 7
• Se divide por S a ambos miembros.
• Se resta 4 a ambos miembros.
El siguiente problema se puede resolver a tra~s de una ecuad6n.
El triple del mtor1or de un número es igl.IGll a36. ¿Cuól es e5e número1
:3 (x-1)·36
3x 3 36
3x-3+:3 •:36::3
3x·39
:3x::3 •39::3
x~13
Vertflcaclón.. 3. (13-1) = 36 v
El número e~> 13
1. Respondan y expliquen las respuestils.
En ti. sigu ente m.xr. ent011Cral1~ ITIUdlOS
ejemp(os sobre b rrsdOCIOn de~
1 ~en l'cps ~ 'yO!
¡¡ Staién 'E(~ con !l'ffllflls'
·r.--•lltr¡r./~ <~ ·
Qfl~I!S .IIodidi<W""""""l'- .
......._~
a. las ecuaciones 6 . (o + 3) • S y 6o + lB • S. <son equivalentes?
b. lCu~l es la solución de 4 . (x -5) -4x -16?
c. <Se puede aplicar la propiedad distributiva en 8 : (32 + 5611) • 3?
--------------(.no fecrto __ t __ , __

ACTIVIDADES
.JJ
Ecuaciones con aplicación de la propiedad distributiva
13. Resuelva• Las slguien ~s twadones. Verifiqu en las soluciones.
a. 3 . (a + 6) • 27 e. 2 . (e + 3) • 2 + 6 . (e -10)
b. -48 • 18 = 15 . (b -n f. 3 . (.x -14) + 8 = 8 + 5 • (x -10)
c.()c-8).6•78 g. -2x-9 ()JI-14) • (9J~ + 12) : (-J)
d. (12d + 4) : 23 --4 h. -8 + 3 . (4 -8x) = -5 (2 + 4)) + 6
14. Esc.r1billl para cada •nuntlado la letra de la ecuad6n que le corresponda.
a. 4x -9 = x + 3 b. 4x + 9 • JI + 3 c. 4 . (.x + 9) • JI + 3 d. 4 . (x -9) • x + 3
• El cuádruple de la diferencia entre un número y nueve es igual a dicho núme
ro aumentado en tres.
• El cuádruple de la suma entre un número y nueve es Igual a dicho número
aumentado en tres.
• La diferenda entrt! el cu~druple de oo número y nueve es igual a dicho número
aumentado en tres.
• La suma entre el cutldruple de un número y nueve es Igual a dicho número
aumentado en tres.
15. Plant"n la ecuación y ~suelvan .
a. El anterior a un número es igual al doble de su siguiente. I.Cutll es el número?
b. La dtferenda entre el triple de un número y el doble de su consecutivo es Igual a cuatro.
Kuál es el número?
o
o
o
o
c. El cuádruple de la edad que tenia lucas hace dos a~os es igual al triple de la edad que ten·
drá dentro de dos años. <.Qué edad tiene lucas?

Integración
16. Esa1ban el c.llculo y resuelvan.
a. La suma entre el triple del opuesto de
quince y el doble de diecisiete.
b. La diferencia entre la mitad de cincuenta y
ocho y el doble del opuesto de trece.
c. El producto enrre el sigUiente de once y el
anterior de ocho.
d. El cociente entre la ralz cuadrada de
ochenta
v uno y el
opuesto de tres.
e. La rafz rublca de la diferencia entre el cua·
drado de tres y el cu~druple de nueve.
r. El producto entre la ralz cuarta del anter ior
de diecisiete y el cuadrado de di ez.
g. La ralz cuadrada del producto entre el
doble de treinta y dos v el siguiente de ocho.
h. El qufntuplo de la diferencia entre la terce·
ra parte del opuesto de veintiuno y la mitad
de dleaséis.
17. Escriban en lenguaje coloquial.
a. 8 + 12 + 15 h. -m¡-17
b. (2 . 5 + 8') l (25 - 13) . 2
c. ..JB ,(36 ~ 2 • (7' + 1)
c1. ..J4óó + 441 k. {39 • s'
e. 4' -..J121 l (16 -25) : 3
f. {S' -~25 6 m. ~-6'
g. 4 . (6 -15) n . ..J20 + 2 . 8
18. Tengan en cuenta la serie de figuras y
resuelvan con un compaftero.
a. Completen la tabla.
b. Dibujen
la
figura que ocupa el décimo
luga
r.
iCuántos segmentos tiene?
c. Escriban la e~presi6n que corresponde a la
cantidad de segmentos que forman la figura
que ocupa el lugar n.
CONTENIDOS
l•lz.l'
19. Escriban en lenguaje simbólico.
a. La suma entre by su consecutivo.
b. El doble del siguiente de b.
c. El siguiente del doble de b.
d. El anterior del doble de b.
e. El doble del anterior de b.
t. La mitad del anterior de b.
g. El anterior de la mitad de b.
h. la rafz cuadrada del siguiente del cuadra·
do de b.
l. El siguiente de la ralz cuadrada del cuadra·
do de b.
20. Marquen con una X la expresión que
corresponde
al perfmetro
de la figura.
a
21. Completen la tabla calculando el valor
num&ico de cada expresi ón.
Expresión a= -2 a • 5
3a'-la
a.(a'-1)
a•:a+a'
2a'-lla
a'. 02-a')
(a' + a') : a
22. Resuelvan las siguientes operaciones.
a. 7m - 2m + 15m -2m -2m •
b. 8 . (a -3) + 2a -15a + 18 =
c. 5 . (x -5) -6 . (x + 4) + lOX •
d. d . (d - a) + d . (d + a) •
a. (h + 7)' -4 . (8 - h) •
f. 15z
1
-10z -7z
1
+ 6z
S· -Sd' -20 + 2 . (d -4)
1
+ 7=
h. (n + 3)
1
+ 3n -3 . (n 3) -3
1
•
l. 5 . (t -s) • (t + s) •
~ (n -7)
1
-24n : 2 •
---f<d>o--l--1--

23. Realicen el desurotlo de cada a~adrado da
un binomio.
a.
(3~ + x')' •
b. (4x -a)' •
c. (7a' + 3)' -
d. (m' -m')' •
e. (--5x -1)' •
f. (-3 + ll)'-
8'· ót' 10)' -
h. (-4x' + 5xy')' -
24. Realicen el desarrollo de ceda cubo de un
binomio.
L (1' + l10
1
•
b. (6x + 1)
1
•
c. (3z -2)' •
d. (¡el. le')'-
e. (4y-z)' •
f. (-y> -3ll)' -
J. (5x 2)' •
h. (¡e' • 7)' -
l. (-2x + 3)
1
•
25. Resuelvan las siguientes situaciones pro
ble!Mtlcas.
a. Para una fiesta se compraron sándwlches,
gaseosas y souvenirs. Hay el triple de sánd
wlches que de gaseosas y los souvenirs son
6 !Ms que las gaseosas; si en total hay 46,
l.cuantos hay de cada uno?
b. La base y la altura de un triángulo equilá·
tero miden 7x -8 cm y 3x + 16 cm, respe<:ti·
vamente. SI su perfmetro es 60 cm, <cu31 es
el área del triángulo?
26. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
Verifiquen la solución.
a. 18x + 4x -52 • 58
b. -13 -15 • 3x -7x
c. (-13). (-5) (-2) • -17x -9x~ 26
d. 32~ -65 -40x • 47
e. s~ • 8x -32 • 76 -5x
f. -9x • 21 -10x • -3x + 15 -42
1· 3x -(-15 • 8-n --(-28 • 11)
h. 8x -(--4 + 18) • 3x -(-38 + 22)
l. 5 22 + 5x • -2x + (-39 -41)
). -8x -(-14 + 22 -5) = 15 + X
27. ExprtHn atgebraicamente al valor del ptiÍ·
metro de Las siguientes figuras.
L
)Jt. 7
b.
8x-3
c.
5x + 7
28. Resuelvan y veñftqu en las siguient es ecua
dones.
a. Sx + 3 . (l< + 12) = 9x • 30
b. -4x -5 • -U -2 . (l< -6)
c. s . (¡e -n • 3 . (¡e • 4) -3 . (¡e • 6> -21
d. 5 . (6 -x) -7x • 6 . (¡e + 11)
e. 8x -3 . (l< + 5) = -120 : + x + 17
f. 2 . (¡e -S) -4 . (3x -4) • -sx -9
J. --5x -2 • -3 (¡e-8) -18
h. 9 . (-x -4) + 4 = --8 . (¡e +2)
l. -5 . (l< -4) --4 . (x -7)
J. 4 . (¡e -9) + 8 - 6 . (l< -5) + 6
k. 12x + 8 . (x -16) -2 . (x + 3) -26
29. Completen la pimnide s.blendo que cea
upresl6n es Igual al produáo de las dos qua
--~T d
1
: •

Ecuaciones con potenciación y radicación
Para resolver ecuadones en las cuales la incógnlt¡t est.1 afectada por un exponent., se deben tener
en cuenta los siguientes casos:
• Si el exponente es par: :.;..r -Id sr 1t es par •
• Se aplica ralz cuadrada en ambos miembros.
x
4-25
-R--./25
lxl· 5
• Se aplica la definición Vi' cuando el indlce es par.
x• 5ox• -5 • Se aplica la deftnid6n de módulo.
• Se aplica ralz cuarta en ambos rn1embros.
.,;'S 256
~-~256
lxl•4 • Se aplica la definición Vi(' cuando el lndlce es par.
x 4ox•-4
• Si el exponente es Impar:
x'~ 125
~-~125
xa 5
x" ~-32
vxo :4-'32
x= -2
• Se aplica la definid6n de módulo.
V"11f" • x 5I n es 1mpor
• Se aplica rafz en ambos miembros.
• Se aplica la definición '!.Jii.
Las e<uadon6 en las cual6 la Incógnita está afectada por una ralz, se pueden resolver siguien·
do estos pasos:
{X. 7
(..fX)'. 72
xu49
:.rx. '3
c!/X)'-3'
x•27
1. R6pondan y expUqu.en las respuestas.
a. ¿Es igual .fXí • 9 que ({x)' • 91
• Se eleva al cuadrado en ambos miembros.
• Se simplifican lndlces con exponentes.
• Se eleva al cubo en ambos miembros
• Se simplifican lndlces con exponentes.
b. la raíz cúbica de un número aiene dos soluciones?
c. lCu~ l es la solución de (x + 3)' : 64?
----------------(ur« ___ fKN--1.----
.m
1

ACTIVIDADES
Ecuaciones con potenciación y radicación
Marquen con una X el resullado correcto de cada ecuación.
a. x' • 9
b. !,{X --4
c. .,[x = -3
d. x' = -125
e. x' • 36
f . .,[x = 16
31. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. x' + 11 • 47 f. 7x' • 112
b. x' -102 = 410 g. -J9X : (-4) = -3 L '-132 x = 6
1
: 3
2
c • .,[x -25 = -7 h. x' : 25 + 9 = 13 m . ..Jt69 -x' = -51
d . ..Jx -14 • 9 l. (x -9)' : 24 • 9 n. 4 . ..¡x;;:s • 64
e. x' : 27 • 3 ¡. ~19x + 153 • 7 ñ. !J2x +S • 3
<Cu~l es el ~rea de un cuad rado cuyo perlmet ro es 28 cm?

Problemas con ecuaciones
Hay problemas que se pueden resolver planleando una ecuación.
• Problema 1:
Facundo t<ene 180 OVO de 3 tipo$ aistrntoío: series de cv. pe~culas de dit>uJitoS y de animé
.ae. de d l:>uJitoS 50n et qurntupte de~ de los eenes. y los ae animé son el triple de 10t> ~ni:",..
zCuóntoí. OVO tiene de cada upo?
>t canudad de series
5>t G0'1Udad de pellcuias de dbujitos
3x-cantidad de pe rcu ~de anlm6
x+5x+3x= 100
9x= 100
)(;100·9
X• 20
Tene 20 OVO ae 51lries. 100dearl:>ujrto& y60dean mé
• Problema 2:
La altura ele un re~ ulo míae la ctuinto pGirl.e de la ~y su Crea miele 125 cm'
h El área ael ~ngulo ee ~ua l al proaucto
de la rose (1>) por la altura (h).
~ ·125crnl
n=11 5 t>U·125cm
Ir'. 5-125 cm!
¡,2" 125 cm2 5
¡,2 e625crnl
t>-..J625 cm'
t> = 25cm·
Ln e!lte caso. el valor de !>que verlflca el enunciado es poslt<vo,
y<1 que lo6 medidas de la !>ase y la altura no pueden 9er ~vos.
La uase miele 25 cm y la altura mide 5 cm
1. Responden y expliquen las respuestas.
a. El perlmetro de un rooángulo es 94 m. Si la ~se es & + 5 m y la a tura 5;c m, tcuál es e va or
de x. de la base y de la atllrcl?
b. El perímetro de un cuadrado es 80 cm, ltu6nto mide cada lado?
c. El perímet ro de un lñán gulo isósceles es 22 cm. Si el lado distinto mrde B cm. ltu~nto
miden los otros lados?
·--------------c..,. ___ (. __ , __

ACTIVIDADES
Problemas con ecuaciones
Planteen la ea~ad6 n y resuelnn.
•· El quíntuplo de la suma de dos números consecutivos es igual al triple de quince aumentado
en veinte unidades.
b. la suma entre un nOmero y su séxtuplo es Igual a la tercera parte de cincuenta y cuatro
aumentado
en diecisiete unidades.
c.
La suma entre un nOmero y el triple de su siguiente es Igual a setenta y uno.
d. la suma de tres númMos consecutiVos es igual al opuesto de doce.
33. Marquen con une X la upresl6n correcta.
a. En una panaderia tenemos el siguiente descuento: 'Cada 5 sAndwiches de miga, obtenemos
SS de descuento•. SI Nuria decide comprar 38 sAndwiches cuyo valor por unidad es de "Sw".
<Cuál es la expresi6n que representa el dinero que debe pagar Nuria por la compra?
o S(38w • 7 . S) o S(38w -5) o S(38w -7 . S) o S(38w -38 . 5)
b. Una fig1n está formada por S triángulos congruentes ouya base es b y su a1t1r.1 es h.
<Qué expresión representa el área de la figura?
o 5 . (b . 11) o (b . h : 2) . S o (Sb . Sh) : 2 o b' . h' :
c. El cuádruple de la edad que tenia Bianca hace 2 a"os es Igual al triple de la edad que tendrá
dentro
de 8
a~os.
o 48 -2 -38 • 8 o (B -2) : 4 -(B + 8) : 3 o (B -2) . 4 • (B + 8) . 3
34. Resuelvan.
a. El abuelo de Gimena, hoy, tiene la misma edad que el cuAdruple de la que ella tendrá den
tro de cinco años. 51 el abuelo hoy tiene 92 años, lcu6ntos años llene Gimena?
b. El triple de la l'dad que Lorenzo tenia hace 6 a~os es igual al doble de la que tendrA dentro
de 4 años. <CuAntos años t•ene Lorenzo?

ACTIVIDADES
Problemas con ecuaciones
a. Entre Natalla y Juan Cruz tienen $710. Natalla tiene $74 más que el doble del dinero de Juan
Cruz. iCuAnto dinero tiene cada uno?
b. tara leyó una novela de 540 pácinas en 3 ~manas. la segunda ~mana leyó el tnple que la
p~mera semana y la tercera ~mana el qulntuplo de la primera semana menos 108.
<Cuántas pásinas leyó en cada ~mana?
c. Un hotel tiene 50 hab,taciones entre dobles y triples. la cantidad de dobles es isual al triple
de
las triples
disminuido en 6. <Cuántas habitaciones dobles y triples hay?
36. Relacionen c.da slbad6n con t. ecuad6n corrft90ndlente.
L El lado del wadrado es lx -3 cm y su
perfmetro es el doble de 50 cm.
b. Los lados de un romboide miden
Sx + 3 cm y 4x -4 cm, respectivamente,
y su perlmetro es el culdruple de 31 cm.
c. En un hexágono regular cada lado mide
Sx + 1 cm y su perlmeuo, es la tmera parte
de 198 cm.
• l8x -2 an • 124 an
• (Sx + 3 cm) • 6 • 50 . 2 cm
• 28x-12 cm a 100 cm
37. Sabiendo que el periiMtro de cada ftgura " iBUill uo cm, avert&Oen el val« ele la lnc6s1~ta..
••
c.
3'-i ____,)/
b.
o
d.
o
7x-4 cm 3x-13
___ , __ , ___ _

ACTIVIDADES
Problemas on ecuaciones
38. Escribul para cada upresl6n la letra del e11undado que le c.orresponde.
e. El cubo del triple del anterior de s. ~ + 1) : 3
b. El siguiente del triple del cubo de s.
c. La tercera parte de la ralz cOblca del anterior de s.
d. El siguiente de la tercera parte de la rafz cliblca de s.
•· El triple del cubo del siguiente de s.
f. El anterior del triple ~1 cubo de s.
1· La ralz clibica de la tercera parte del anterior de s.
h. La raíz clibica de la tercera parte del siguiente de s.
..rs:-r: 3
3 . ,. -1
3 • ,. + 1
.\¡'(i""-1) : 3
\5:3+1
3 . (s + 1)'
39. Averigllen el valor de la lnc6plta y las longitudes de los segmentos pedidos.
a. Área del cuadrado • 144 cm' d. Área del paralelogramo • 1008 cm'
6x 7x
d e
a b
x -'--( ____ ) ab -'--[ ____ )
b. Área el rectángulo • 675 cm'
9x
e f
x • ~..-1 ___ l er -['----')
c. Área ~~ triángulo • 54 cm'
k
X • ..._( -~) ij • ~.._[ _ ___;)
m
X • \..( _ ___; lm •{ '-_ ___;
e. Área ~~ romboide -1176 cm'
6x
o
p
x •( .._ _ ___.) pr • (\.. _ __...))
n
f. Área del trapecio isósceles - 216 cm'
3x
X • \._( ____ ) UV • .._( _ __))

Inecuaciones
las siguientes desigualdades se denominan l~uado nes .
4. X> 20 x<3< 15
En los siguientes eJemplos pueden observar cómo se resuelve una inecuación.
><+7>-13
X+7-7 >-13-7
x>-20
~ vdorea de x que veriflcon esta
de51¡JUaidGid son todo5lo!l númef05
mayores que -20
Conjunto t>elucoón: -19, -1 a. 17 ....
3x-12~x+a
3x 12+12sx+a+12
:3xsx+20
3x X S X + 20 -X
2xs 20
2x 2s 20·2
xs10
~~de>< que venflca1 et.ta de5¡guaidad son
todo5 los númef05 menores o iguales que 1 O.
Conjurrta solución: 1 O. 9. 8 ....
En toda inec~aoon. si se mult'pl'ca o d1vlde ambos miembros por un numero negativo, se debe cambi¡r PI sentido de ¡¡
des1guald<id.
-7x> 56
-7x: (- 7) <56: (-7)
"< -8
ConJunto solución: -9,-10.-11,
X' (-4) 8
X (-4}. (-4) 8 (-4)
)( :32
Conjunto 5oluc;lón: -32, -:31. -30 ....
El conjunto solución puede representarse en la recta numMca.
u ••••• ,,, 1) ( ' • • • • • • • t)
·14 -13 -11 ll -10 --9 -8 -1 ~ -s -4 -) ·33 - 11 -JI -)() -29 -28 -27 ·16 · 2S
1. Respondan y expUquen las respuestas.
1. Las Inecuaciones x s 8 y x < 8 ltienen el mismo conjunto solución?
b. <Es lo mismo escnbir x O! ·5 y x < 2 que -S s x < 2?
c. <Es c1erto que si -6x ~ 48, entonces .11 ~ -tP.
d. i.Qué números enteros cumplen la siguiente condición? x > l v x < 8
~- ·---------- -----
---,.,. __ ,_, __

ACTIVIDADES
Inecuaciones
Traduzan al lenguaJe slmb6Uco e Indiquen el conJunto solud6n.
a. la mitad del anterior de un número es menor que dieciséis.
b.
la suma entre un número y su consecutivo es mayor o igual que el opuesto de veintiun o.
c. El quíntuplo de un nú mero aumentado en la tercera parte de veintisiete es mayor que
cuaren·
ta y nu
eve.
d. la diferencia entre el doble de nueve v el doble de un número es menor que trein ta v dos.
e. El cociente entre un número y la mitad del opuesto de dieciséis es mayor o igual que doce.
41. Resuelvan las siguientes Inecuaciones y rapresenten en la recta al conjunto solud6n.
a. 12x + 4 < 184 e. -24 -7x > -18x + 31
b. -SX + 32 < -8 f. -85 -4x < lOx + 167
c. -68 ~ -14x + 86 g. 5 . (¡<. + 7) ~ -4 . (¡<. + 4) + 17 . 3
d. 8x -14 S 3x + 36 h. 5 -7 . (x + 3) < 9 . (x + 4) + 19 . 4

lntegrarión
42. Escriban •n wnsuaje coloquial. luego,
resuelvan las etlladones.
L~: 6' 7
b. X-1 • {25
(. ,¡;. -4
1
-7'
d. x . 5
1
•
-$75
e. X+ 1 • ..JU1
f • ..:X-6'-8'
g.3x:9'•2
h. Cx -1) : 3 -V-64
L 4.fi • 32
J. 6
1
:
!J4096 •
x'
k. 7x-8 • ..J361 .ff6
l x' : 4 • -(-9)
m. ~ + 17' -53 . ..f36
n • ..Ji+8 • 2' + 3'
43. Escñban la KUadón y resuélvanla.
a. El doble de la suma entre un número y el
opuesto de siete es igual al anterior de dicho
número. iCu!l es el número?
b. El doble del opuesto de un número es igual
al cubo de cuatro. lCuAI es el número?
c. El produáo entre un número y la raíz cuadrada
de ciento sesenta y nueve es Igual a sesenta y
dnco. <Cuál es el número?
d. El triple de la suma entre el cuadrado de un
número y el opuesto de ocho es igual a cin
cuenta y uno. ¿cual es el número?
e. El cubo de un número disminuido en cinco
es igual al opuesto de ciento treinta. lCuAI es
el número?
f. El doble de la ralz cuadrada de un número.
aumentado en seis. es Igual al séxtuplo de die
cisiete. iCu31 es el número?
g. la suma entre el cuadrado de un número y el
opuesto de doscientos sesenta y ocho es Igual al
cu!druple de dowenta y cuatro. <Cuál es el
número?
h. El cubo de la suma de dos números conse
cutivos es igual a tres mil trtseientos setenta
y dnco. <Cuales son los números?
l. la raíz cuadrada de la suma entre el doble
de
un número y cinco es
igual a siete. i.Cuál es
el número?
CONTENIDOS
44. Resuelvan.
a. -x'-28 • 36
b. -x' -152 • 64
c. -x' -14 • -18
d. x' -415 • -72
e. (21<)' • 100
f. 13 . l[X--125 + 8
g. Sx' • 352 -~
h. x• + 5' = 269
l. (x + 7)' • x' + 14x + 49
J. ..J-aX+ 1• 5
k. ..J1tx 10 -12
l lJ-15)( + 118 --a
m. II=X-17 • -18
n. x' -2x + 25 • -2x + 20 + x•
11. (6~)· + ,¡;. -36x' + 4
45. "'-"een uu expltil6n que permita -np.r
el per1metro ele la parte sombreada de cada ftprL
a.
b. 2•
5x
46. Despejen el valor de x en wla expresl6n.
a.ax-b•c
b. x: a+ b • e
c.(x+a):b•c
d. a : (x + b) • e
e. (a + b) : x • e
f. x : (a + b) • e + d
g.a-(xb+c)•d
h . ..J3x-a •e
Lax'-b•c
______ , ___ _

1
47. tt.llen el valor ele cada lldo.
a. Peñmetro = 242 cm
4• + 9 cm
b. Perfmetro • 125 cm
X+ 3
c. Perímetro = 468 cm
5Jt+3cm
d. Perfmetro • 84 cm
sx
•· Perfmetro • 80 cm
2x + 4 cm
48. Ewfban cuatro wlcns det conjunto sotud6n
y ~plflhltenlos en una recta nurn61ica.
a, X > 15
b .... ~ -4
C. X< 0
d. X ( -8 Ó X 2: 8
e. X> 3 y X S 7
r. -1o < x < -3
8· -5 <X< -2
h. 0 ( X !: 1
l. 0 S X S 1
¡. X< -2 Ó X> 2
49. Escriban la lnecuad6n y ~suelvan .
a. La suma entre el quíntuplo de un número
y el opuesto de quince es mayor o Igual que
cuarenta y cinco.
b. El cociente entre un número y seis es
mayor que la raíz cuadrada de trescientos
ve,nticuatro.
c. El producto entre el triple de un número y
el opuesto de cuatro, aumentado en la raíz
cúbica de ocho, es menor que el opuesto de
cincuenta y ocho.
d. El producto entre el opuesto de quince y
un número es menor o rgual a la raíz cuadra·
da de novecientos.
e. La diferencia entre el cuádruple de un
número y el cubo de seis es menor que la
ratz cuadrada de sesenta y cuatro.
f.
El cociente entre un número
y el opuesto
de diecisiete es mayor o Igual que dos a la
quinta.
¡. La diferencia entre la tercera parte de un
número y el cuádruple de seis es menor o
igual que la raíz cuadrada de m1l veinticuatro.
h. La suma entre el cubo del triple de tres y
el producto ent re el opuesto de dieciocho y
un
número es mayor a nueve.
SO. Resuelvan las inecuaciones y escriban el
conlunto solución.
e. -5 . (x -2) -3x S 3 . (x + 2) -18
b. -16x -6x + 15 ~ 9 . (x • 12)
c. (24x - 15) : 3 + 32 2: -13
d. H• • 9) . 2 s -sx -18
e. 14x + (x -7) . 8 > -56

51. Traduzcan al lenguaje simbólico.
a. El triple del cuadrado del anterior de un número a. ( J
b. El cuadrado del anterior del triple de un número b. ( )
c. · 1 anterior del triple del cuadrado de un número c. ( )
52. Escriban en lenguaje coloquial
a. S • -iX+1
b • ..:s. (X. 1)
53. Planteen y resuelvan la ecuadón qu. permite encontrar el peómetro de la ftsura.
a. b.
CJ. .... ~
llx-4 cm
Perrmetro • (
'----'
6x
9x -6 ci_ \ sx • 18 cm
8x + 16cm
Perlmetro • ( J
'----'
54. Resuelvan las slruienws openclones. luego, encuentren el valor numérico si o • -3 y b • 8.
a. sa + (a + 3)' = b. (b -4)' + 2b' -Sb =
55. Realicen el dtsarTollo del cuadrado y del cubo.
a. (5x + U)' • b. (8 -3)()
1
•
56. Resuelvan.
la base y la altura de un trián¡ulo equilátero miden lx + J cm y 6x + 2,9 cm, respectivamente. Si
el perímetro es U4 cm, lcuál es el área del triángulo?
57. Resuelvan las lnecuadones y escriban el conjunto solución.
a. -55 + 5x < 7 . (x-13) b. -12. {3x + lS) ~ ·15x-12

CONTENIDOS
17 Fracciones y expresiones
decimales
18. Adlcl6n y sustracc16n.
19. Mulliplicacl6n y dlvis16n.
20. Operaciones combinadas l.
21. Potenciaci6n y radlcacl6n
Propiedades.
22. Operaciones comblnadolS 11.
23 Aproximaci6n. Nolaci6n
cientlfic.a.
24. Lenguaje simb61oco.
Ecuaciones.
25. Problemas con ecuiC ones.
51TUACI6N INICIAL DI APRENDIZA,IE
l. Ob54!rven la Imagen y resuelvan.
Cual;ro clt ces del
verde se pasaron al
azul y cLJOtro del azul
se pa5aron al verde.
L SI antes de pasa~. habfa 40 chicos en cada micro, lcuántos chicos de Los verdes y de Los
azules hay en cada m•cro?
b. <Cuáles de las siguientes fracciones representan la cantidad de chicos de Los verdes que hay
en el micro azul?
)6 4 2
·-·-·-40 40 20
18 . -
20
9 . -
10
1 . -
10
c. Si en lugar de cuatro chicos, se hubiesen pasado de micro cinco chicos, icu~les de las slsulen
tes fracciones representañan la cantidad de chicos de Los verdes que hay en el micro azul?
35 S 2 17 1 7
·-·-·-·-·-. 40 40 20 20 8 8

Fracciones y expresiones decimales
Un I'Ú'IIM)ACiorYI es u~ expresión de~ lormi ¡.dorode ay b son o~ MerOS enteros CDn b oistinlo de cero.
Dos friiCdones son equrvalentes cuando representan el mismo número racional.
5
_ _.__.___.4
Para obtener fracciones equivalentes se pueden usar los siguientes procedimientos.
Amplific•clón Simplifiución
10
8
Se multlpUca el numerador y el denominador
por
un m1smo número natural distinto de cero.
Se divide el numerador y el denominador por un
mismo número natural que sea divisor de los dos.
~ ~ ~ ~
l. -35 8 -56 U. 16 1oo.'o
14 7 " 9
~ 20 ) 11
\...:.VI' \..V \...2..1' ~
Una fracción es imeduclble cuando no se puede simpliHcar. En este caso, el numerador y el deno
minador son coprimos.
Una fraccl6n es decimal cuando el denominador es una potencia de 10: 10, 100, 1 000, etc.
Todo número racional se puede eW~bir como una expresión declmal Para encontrar la expresión
decimal se puede dividir el numerador por el denominador.
2
-· 2 5=0.4
5
8 ~
•3.11 e0,7272 ... •0,7?
11
Expresión deomol finito: tlene un número fin/ro dt cifras
decimales.
Expresión deCimal perl6dlca: tiene cifras decimales qiN! se
repiten infinitamente.
Toda expres4ón decimal se puede escribir como rracci6n.
0
•38 _ 38 = 19 • Se escribe en el numerador el número (sin la coma) y
100 50 en el denominador, el uno seguido de tantos ceros
como cifras tenga la parte decimal.
7.í8-718-7-7_1_1 __ 79_
99 99 11
• Se escribe en el numerador el número (sin la coma)
restándole la parte no periódica v en el denominador,
tantos n
ueves como
clrras tenga el periodo.
1. Rupondan y expliquen las respuestas.
L Kuál es la fracción irreducible equivalente a ~ ?
b. iSe puede afirmar que i es una fracción irredocible? ~
c. Kuál es la fracción correspondiente a la expresión 0,7? i:f la de 0,7?
d. i.Es cieno que t puede convenirse en fracción decimal? i:f f? ¿y 1?
--------------(11'10 Fed\a __ (. __ , __

ACTIVIDADES
Fracciones y expresiones decimales
1. Esalban la expresi ón fraccionaria que corresponde a la parte pintada.
··~
b.~ ~m
d.~
8 8 8 8
2. Pinten las partes Indicadas en cada ftgura.
4 1 2 7
a. 9 b. 3 c. S d. 10
~ ~ @ m
3. Marquen con una X las fracciones que se pueden expresar como fracción decimal.
720
a. 90
210 o
~ 112
160
e. 13
b.fO
u o
d. 2 ,_~o
4. Completen con un nllmero para que las fracciones sean equivalentes.
a. 40 -
( 1 ( 1
-24 3 15
(
44
(
176 (
b-- = -
o 8
10
J
S. Escriban la fracción Irreducible.
a ~8 =8
o 32
b. ~-[ l
104
~ 152-8
~8
d.~ ·(=] 100
60 9S
} ( }
1
-
27S
2
}
e. 0,5 =8
f. 0,72 = r=l
so o
g. 75
770
h. SS
g. 4,25-[=]
h. 3,88-8
6. Escriban la fracción Irreducible que corresponde a cada expresión decimal periódica.
a. 0,5 =El ~l .v=[ l e. 3,48 • El g.1,Í47 =8
b. o,í6 =EJ d. 6,81 z EJ f. 4,61-8 h. 0,387 = ( l
!
1
•
2
1
1
1
1
•

Adición y sustracción
Para sumar (o restar) fracciones con el mismo denominador, se suman (o restan) los numerado
res y s~ tSCribe el mismo denominador.
&. ... ~-.!!... 6+e-9 = 2!)
2 2 2 2
Para $U mar (o restar) fracciones con distinto denominador, se reemplazan las fracciones por frac
ciones equivalentes qu~ tengan el mismo denominador.
Para encontrar un denominador común, se busca el mfnimo común múltiplo de los denominadores.
!) 3 20 3 17
---·- ---~
2 e e e e
Para resolver mentalmente una suma (o resta) entr~ un número entero y una fracción, se puede
pensar de la siguiente manera:
~m.. ~. 10
~f=tfr 7 7
Un n~mero mixto está formado por u na parte entera m~s una parte fraccionaria.
Si un cálculo tiene fracciones y expresiones decimales, se deben pasar las e~preslones decimales
a fracción para resolverto.
1 1 3 2 3 !:>
-+03•-+-=-+-=-
5 . !S 10 10 10 o
1. Rtipondan y upUquen las respuesw.
a. <Cuál es el común denominador entre 2 y 4? ¿y entre 3 y n
b. El cékulo f •1 • ~. lestá bien resuelto?
c. <Es cierto que el número ~ es equivalente a 3 ! 1
d. <Cuántos medios hay en un entero? ¿y en 2 enteros? ¿y en 3?
------1--1--

ACTIVIDADES
Adición y sustracción
7. Resuelvan mentalmente.
a.i+~-EJ
6 6 c. 4-+ 5-= -3 2 G
7 7
d Ll-El
o 3 6
e. 3 + I = [ ]
f.5-%·EJ
8. Completen estos cálculos para que se verifiquen las Igualdades.
a.l+lj-!
4 4
e. 3,521 + ( l = 3,846
b +-+•-8 ~ 4
' 10 S
f. ( ) + 1,678 = 4,205
c.1i - EJ-~ u 4
g. 10,470-[ ) = 5,822
d,8-t a t
h. ( ) -7,841 -3,916
9. Resuelvan y expresen el resultado como fracción Irreducible.
d. (2.5 -tt)-(1.6-t) = ---8
e. 2,5-(f + 2~) + 2,5 =----El
f. 3.75 + ~-(o.7 + 2}) -____ EJ
10. lean atentamente y resuelvan.
Juliana gastó f de sus ahorros en el supermercado y f de sus ahorros en ropa.
a. iQué parte de sus ahorros gastó
en total?------------------
b. ¿Qué parte le quedó?------------------------
c.
iGastó m~s en el supermercado o en ropa? -----------------
Tres hermanos abrieron un restaurante; cada uno aportó una parte.
El mayor tiene ~ del restaurante y el del medio, ~·
iQué parte del restaurante es del otro hermano?
m .
. . . ~
. .
. . .
··~· -~t. ~ ~-..... ,:~~ ~ .::-.,.._¿-,._:..· · .. ;_~~ili-~:· <-=~~~-. ~-.. :w-. · .. · .. · .-:M~~¿ ~¡¿.;.~---~1-_ .. J

Multiplicación y división
Una fracción se puede inteiJ)retar como un operador aplicado a un n úmero.
;ae96-96:4·24
¡ O" 96 • 120 (cinco Vtct!> : de 96)
Para multlpUcar dos o m3s frncciones, se multiplican entre sr los numeradores y los denom1nadores.
Antes de realizar la operación se puede simplificar cualquier numerador con cualquier denominador.
,
2 !>.2~-~
5 6 5.6 )1?
3
, 1
L.Q.~; • .l
56_.1r',.tr'3
1 ~
a e d. e
b d b d
El Inverso multipU catlvo de ~ es ~· porque ~ . ~ • 1. Todo número racional {distinto de c ero)
admite un Inverso multiplicativo.
Para dividir una fracción por otra (distinta de cero), se multip lica la pñmera fracción por el inver
so multiplicativo de la segunda.
a.c a d .d
-.-•-·-·-
b d < be
1. Respondan y expliquen las respuesllls.
a. iCu31 es la mitad de ~ , lY de ~ ?
b. <Es verdadera la sigu•ente igualdad? 4
3 ) 3 12
---+-+-+-=-
5 S S S S S
c. lCuAI es el inverso multipli cativo de 6?
d. Para realizar t : f. Pablo hizo t . f = :~.<Es correcto lo que hizo Pablo?
-· ---------------Cu<>O---Fethio--1--1--
1
s

ACTIVIDADES
Multiplicación y división
U. RtsueiYM las sl¡ulenles multlpUudones.
7 21 8
.. 16 . 12 ------
b. ;s: . ~ - [=]
140 52 5~ 8
c. i8 . 210 • 104 ----
U. Redondeen la rnpuest. CO<Teeta.
4 8
L-.-•
) . 9
• 32 • 2 • .!.
27 2
b
10 . 5-
• 7 •
• 50
•
so • .l.
7 )S 7
.lli .2.. .!22
125 4 160
13. Resuetvan.
8
8
14. LNn atentamente y resuelvan.
18 40 49 8
d. 1S . 2i' . 4 = -----
e. 0,25 0.611 2.1 ----
8
-8
- - 27
f. 1.8 . 0,18 . 68 =
4 8 3 5 • ..i .2..
d. )5 : 1S : 10 = •
16 5 7
e.39.104,18=
•
2 .1.. • .2..
2 • 9 • 4
3 8 8
60 )6 48
.~ .2.. .1..
f. 35 : 40 : 63 -
81 2 2
~
c. 0,5 . 0,5 . 2,4 =
E1
d. 0,12 : 3.6 . 3.6 -
8
a. Roclo preparó 4t 1 de Ucuado y lo sirvió en vasos de f l. Macarena, en cambio, preparó si 1
de licuado y lo Sii'V16 en vasos de ¡ l. <Quién sirvió más vasos?
b. De un camino de 540 "'m se recorren ~ en el primer trayecto v ~ en el segundo trayecto.
i.Cu.1ntos km del camino faltan recorrer?
c. De un grupo de 36 amigos. } decidieron Ir al teatro,
1
~ fueron al museo de artes plásticas v
¡ a ver un partido de fútbol. i.Cuántos fueron al teatro; cuántos, al museo y cuántos, al part1do?

Operaciones combinadas 1
Las operaciones combinadas con n6meros racionales se resuelven de la misma
manera que las operaciones combinadas con números enteros. e
,..., ,.........,
;+: .~:352-~ ·> l. Se separa en ténninos.
6 6 !1 1
5 + 3 '32 -5=
2 ~ resuelven las multipUcadon es y divisiones.
; + 1
5
2-~ ; :; ~~
3. Se resuelven las sumas y restas.
S1 en et cálculo hay par~ntesis, primero se resuelven las operaciones que ellos eneterran. Luego,
'e tienen en cuenta los pasos anter1ores.
,_.,.. --.,,........,
8 + ( ~ + 1
7!1
. 5). 2 -~ =
8+ (~+ 2.)· 2-2;
4 3 8
813
7
•2-2z
1?. 6
8+ 37 ~-2;
12'2 8
8+ 37-2.55
2-4 8 6
1. Se separa en términos.
2. Se resuelven los paréntesis. En este caso,
!lene dos términos.
3. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
"· Se resuelven las sumas y restas.
El ~guiente problema se puede resolver a trav~ de un dlculo combinado.
Una co&a !.e ccn!>truyó e:n dl5tint<5etapca Una pnmera etapa de: tre5 quintos; en la &egunda
~un~ de lo que que<:lc:lbcl y !.e comple:t.ó el tirallojo"" la t:M:e:ra etapa
¿O»é parte de la~ 5e completó en lo último~
PrlmC11:1 etapa· ; 5~undo etapa ( 1 ;) . ~ •
1
~ Tercera etapa:1-(1'" et.)- (2"' ce.)
1--ª--...L=~
5 15 3
1. Respondan y expliquen las respliHtls.
. 22 • (" 4) a. lfs verdadera la slg¡jente 1gualdad?
3
-
3
. S • T -3 . S
b. LEn qué orden se resuelven las operaciones del siguiente cálculo?
2
; -8 . { ! + }) • j
c. lC6mo se calculan los dos onceavos de cinco séptimos?
¡ __ ,;==·-

ACTIVIDADES
Operaciones combinadas 1
15. Resuelvan las slguientu operaciones combinadas.
d. (S -o.8) -( ~ · o.35. 2.8) • I:J
b &.L.(3 -2.)-l·ll
• 9 4 6 (
8 32) ~ El e. 1,75 -T : lS . 5,2 + 1,3 = -
e L : ~ + (2.. L li) • E]
·a 8 4 S S
t. (s -o,625 , ~) : ( 2,9 · ~ • 5,9 ) • EJ
16. Coloquen paréntesis para que las re spuestas sean correctas.
4 10 5
S
7 4 10 S
5
2
a. + =-
c. 5 + --S 3 6 10 3 6 3
b.
4 10
i
17 4 10 1
S
14
+ 5 --
d. 5 + --S 3 6 6 3 6 5
17. Completen la tabla.
a b e d (a + b) : (e -d) a -(b . e) + d
S 7 3 3
-
2 8 4 8
4
2..
5 11
-
3 6 2 6
7 t 17 8
10 2 10 5
Una familia consume un sexto de la capacidad del tanque de agua el primer día. En el segun·
do día, el doble de lo consumido en el primero y en el tercer día, la cuarta p arte del resto.
El tanque de agua tiene una capacidad de 48 litros y no se cargó durante estos tres días.
a. Kuánto consumió la familia cada día?
b. lQué cantidad de agua queda en el tanque?

Potenciación y radicación. Propiedades
Para elevar una fracción a un exponente entero positivo, se elevan al exponente el numerador
el denominador.
Para elevar una fracción a un exponente entero negativo.
se calcula el inverso multiplicativo de la
fracción y se elevan al exponente entero positivo el nu merador y el denominador.
la raíz de una fracción es igual a la rafz del numerador y a la del denominador.
f4 ..¡¡ 2 3[64 ~ 4 •fii Vó
.J"§ ~ ,[25 ~ 5 ~1'2'5 ~ ~125 ~ ~ .¡-¡;. ~
Las propiedades de la potenclación y la radicación son las mismas que para los números enteros.
EJEMPLOS SÍMBOLOS EJEMPLOS SÍMBOLOS
(;)'.(;)'-(;)' (: r (: r: ( :r~ Jt ~ 1~
-j.i _1
-9. 16 1* ~ =~~ ~
h.Y:i=(;r (:t(~)' =(~r m. ~.
4
144 .l
8 . 25 81 25 ff:Ff
~ . -;¡-•
(~ ~)'=(~)'.(;)' (:. ~r=(~t(~r ~64 . .1_=~ 1i
27 8 27. 8 ~ :
:~
d
(~: ~)'=(~)":(~)' (:= ~r·(~t(~r
~216
125
.l.~216 '&
27 125' 27 ~~ ~ ·1% 'ti
[(~)1' = (~)" [(~H =(~r· ~~ 256: 256 ~: =~ =:[%:~
"M=mff
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. la potenciación <es distributiva respecto a la suma? ¿y a la resta?
b. <Cómo se calcula (y t'?
c. ¿Qué propiedad se puede aplicar para resolver .!. · .!. · .!. · .!. · .!. ?
(
5) (3) ( 2) 2 2 2 2 2
d. iA qué es igual [
6
+ ¡¡ ·
5
]"?
r,. ..

ACTIVIDADES
otenci.,ción y radicación. Propiedades
18. Resu.tva11.
a. (y)' ·8 d.(~)' -8 .. (tf -8
¡. (0.75)'. E]
b. (t)' -8 e. {t)' ·8 h. 4''. 8 ~ (2,5}' -[=]
c. (t)" ·8 f. (tr' -8
l. 3 1 -[ 1 l. (o.8)·•-r:l
19. Calculen las siguientes raíces.
•. ¡r -EJ ~a
d. iiS-- r-:M-8 ~~ o:l ·8
b.~ -8 169 ~~-8 h.~-8 ~Jo.49 -8
~JW -[j f.~ -[=]
l ~1024 _El
243
l ~ 1,728 -[j
20. Escriban el exponente para que se veriRque la Igualdad •
•. (f)Ü. 49 d.~ -..!.
719 •·J(~)O- ~ ;.0 ..[3.24 -1,8
b (l)Ü- Sl2
• 8 125
e. nO • ..!.
144 h. J(1:)D· 1~ k. o J 0.064 -0,4
~ mo•1024 f.tsO. 1 1. JWO-81 L Dj o,4 • o.6
21. Resuelvan aplicando las propiedades de le potentlacl6n.
el. (i)" · m'", !(~l"f----
•. (1)" · m , rm·r----
~ [(~·1' • ------•·l(f)', (f)', WT =
•. (~)'.m· -----~ -
b. (~)': (~)'-------
22. Esatban V (V~dldero ) o F (Falso) serún corresponda.
.. G • ~ m + ~-hl·
b. (~ -!)' -(~)' -W'
c. ({ , ~) • -m·, m-·
. '\.~ ,. ·; '
., ,, } ' .
o
o
o
e.J~-~.136 . ísf
49 4 ~49 ..J4
'/1 1 'lt 'lt
'·v TT ' s -.Jv ' ·ra
o
o
o

Operaciones combinadas 11
Para resolver cálculos comblnendo tu seis op~doni!S , s~ pueden seguir estos pasos. Recuerden
separar previamente en términos .
...----.. ,..---,
u~ ... ,~)·
3
+(~)"+(~t-
~ 3+(;)"'+(~)'~
~ .3+~ ... ~~
2 6 4
~+~+~ ~ 91
? 6 4 12
1. Se resuelven las operaciones
que se ~ncuentran entre paréntesis.
2. Se resutlven las potencias y ralees.
3. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
"· Se resuelven las sumas y restas.
JC:-~)' ... ~ ·(; -1) • ... 4.(3-~)~ 1. Se resuelven las operaciones que se
encuentran entre paréntesis.
l7"'i\! + ~ (~)· + 4 11.
~l4J 2 2 &
1 ... ~.~+4.17.
& 2 4 &
..l. + 45 ... 11 = 57
a & 2 4
2. Se resuelven las potencias y rafees.
3. Se resuelven las mulliplicacion~s y
divisiones .
"· Se resuelven las sumas y restas.
Operaciones combinadas en seometrla
El área pintada de la figura se puede calcular planteando una operación combinada.
abcd y efgd rectángulos dg • f ab y de • t da
Área abcd • 9 cm 3 cm = 27 cm'
Área ef¡d • (~ . 9 cm). ( ~ 3 cm)
Área efgd • 6 cm . 1,5 cm= 9 cm'
Área pintada • 27 cm' -9 cm'= 18 cm'
l. Respondan y expUquen tu respuestas .•
L En un cálculo comb•nado, ~n qué orden se re.suelven las operaciones?
b. i.C6mo se resuekle el siguiente cálculo? .J ¡. {¡-~)-t
6 (1 1)' 6 1 (1)'
c. lEs verdadera la Igualdad?
5
•
3
+ 5 • s · 3 • s

ACTIVIDADES
Op~eracton~s mbinadas 11
23. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
1
S . (!)-' + ! . _)3'. 3 _ l. •
• 8 4 S 9 10
b ía. f!_(2._Z..2) '•(1)'-
··E·E 412 2
e l. .J! . (!. !!) -! + (1 -2)' •
• 10 ~ 3 2 4 2
~ 2 14 (S) > (8 ) 7
d. s'us· i -3+
2 's·
e fY. rr. 2. .. L(Jj 16).
'~6 ~6 10 2 2S6
24. Celculen el peñmetro de cada figura.
a.
f 4 '+ (~)". (.!) .. -(!! + .!.) . .J37 • .1.
• 9"9 918114412
~ .J (~ • ~l , t -Gr · (t -il • ': , ! -
~ (~) 10 u
J. 0,3 : 5.6 -5 + 0.4 : 0,4 -
b.
(
., . bt • .! ,..,
•

lntesra,ión
25. Completen con la fraul6n que repre5enta
la parte pintada.
··8
26. Completen cada ncura para obtener el
entero correspondiente a ada fracd6n.
a. Un tercio .,, .. ,
b. Un medio d. Cinco octavos
~
27. Marquen con una X la respuesta correct~ .
a. <Cuántas fracciones con denominador 9 hay
1) 17
entre
9
y 9?
b. <Cuántas fracdones con denominador tS
hay entre + y : ?
c. <Cuántas fracciones hay entre 2 y 3?
•o O qO ·toO ·infinitas O
28. Indiquen cuáles de los slculentes pares de
fracdones son equivalentes.
28 44
a. 35 Y 55
154 88
'·s6YJi
18 36
b. ~8 y 98
2 4
d. S V 25
CONTENIDOS
7·1''· 1 9· • ·11
29. Encuentren, en cada caso, un número que
verifique lo pedido.
a.3.8=5
b. t.[=]= 5
C.3+ Jet
d.!8=i • 3 • 2
e. 3 ·1=1 = f
30. Completen con >, < o • según torre5ponda.
a.s-;
0
o
2
13 17
b. l +u o
5
8 7
o
7
c. ---
4 3 6
8 7
o
73 16
d. 15 + 30 ---
18 S
18 45
e. 2s . 24 o
0,25 . 4,8
5 4 S 7
S ( 4 7) 1
·3·3·6 o )'3.3'6
( 1 2 )'
S· s + 3 o (~)' ·( ~)'
31. Escriban la fracción que corresponde a
CJIC!a upresl6n dedmal
a. o.7-r:J
b. tS-[ 1
c. u.J = 8
~ 30,6c El
32. Resuelvan.
~ ~íS-El
1. o,íil-8
g. 4.63 =[=]
h. 7.~ -[=1
Calculen el perímetro de un rectángulo cuya
base mide 5,25 cm y la altura es dos quintas
partes
de
la base.

33. Resuelvan.
L Se asfaltó una ruta d~ Córdoba en tres eta·
pas. En la pñmera. se asfaltó un cuarto; en la
segunda, un quinto y en la tercera, el resto.
¿Qué parte de la ruta se asfaltó en la tercera
etapa? ~n qué etapa se asfaltó la mayor
parte de la ruta? ¡y la menor?
b. Se realizó una encuesta entre los socios de
un videoclub online para saber cuál es la pre
ferencia en las ~lículas. Dos quintos de los
soclos miran series; un quinceavo, novelas: la
quinta parte, género de terror y el resto,
género de fantasla. iQué parte de los socios
miran películas de género fantasla? Ordenen
las fracciones de mayor a menor.
3~. Resuelvan.
L Camita compró una sman TV por $13 4110.
Pagó en efectivo un t~rcio y el resto en 8 cuo
tas Iguales sin interés. ¿(~1 es el valor de cada
cuota? tQué parte del total representa cada
cuota?
b. Malena realizó una reunión con sus 10 mejo
res amigas en un dub. Preparó diecisiete
m~oos Ltros de jugo para compartir. Si entre
todas van a tomar i ~ tsobra o falta jugo?
<Qué cantidad sobra o falta?
35. R~suetvan .
Para la feria del plato que los clllcos de quinto
realizaron en la escuela se venden vasos de
pseosas de * litro de capacidad. En el último
evento se vendieron dos docenas de gaseosas
de 2 ¡ litros cada una y no sobró gaseosa.
a. lCuántos vasos se vendieron?
b. SI los vasos se vendieron a $7 ,SO cada
uno. kuánto dinero recaudaron?
c. Si los vasos hubieran sido de ~ litro,
lcuántos vasos se habl'ían vendido?
36. Resuelvan.
•· o.3:r •
b. 1.25
1
-
c. 3.3'
-
d. o.í8• •
e. ~o.us •
f. -'t.44 -
,_ ~0.512 -
h . ..¡ 2,25 -
37. l .. n atentamente y resuelvan.
a. En una panadeña se hicieron 15 docenas de
facturas. Se vendieron sie te quinceavos duran·
te la maftana y cinco doceavos por la tarde.
<Cuántas facturas se vendieron por la maftana?
¿y por la tarde? ¿Qué parte de las facturas
quedó sin vender?
b. En una escuela los alumnos pueden elegir
qué arte estudiar.
~ elegió artes visuales. ~ prefirió m6sica y
el resto, teatro. Si en la escuela hay 160
alumnos, lcuántos alumnos eligieron estudiar
cada disciplina? lQué parte de los alumnos
eligió teatro?
c. )avl compró 15t docenas de alfajores para
su cumpleanos. Durante la fiesta los invitados
comieron las dos terceras partes de los alfajo
res. Con los que te sobraron hizo 21 paquetes
con Igual cantidad y los repartió entre sus
me¡ores amigos. Kuántos alfajores se comie
ron durante la fiesta? ¿cuántos alfajores se
llevó tada amigo?
38. Completen el exponente teniendo en cuen·
la las propiedades de la potenclad6n.
Lm .m'-mo
b. (~)" , (tl'' = mo
c.l(~l"' l'-mo
d. Cf)" · Cf)": ICf)"J' -Cfl
0
•· m"· m , l(ttr-m
0
'·1 M'T , 1M'! = C·i)
0
39. Resuelvan.
• 15 .. ~ • (14 -l)-(i)': (i)'-
"4 3 5 tO 2 2
(!)' . (L ~ + j(! • ~) . r_.
5 t2 4/ 18 9 2
2
b. 3
c. r (T .. (l _ 2. . 48)' _ (u . 42 . ..!.) =
' ..¡ ¡¡:¡ 2 8 15 14 45 8
d (e)"'+ ~ . (·L l. 2.) _ ·~ . ~ •
'3 4 2 4"6 ''<4 ~2
e. j ( 4 • 2) . 14 -31 . (!
S 5 20 5
t
--S

Aproximación. Notación clentfflca
Aproxlmaci6n
Para aproximar una e.l\l)resl6n decimal a una tifra determinada n, se pueden usar t os siguientes
métodos.
Por truncamiento.
Se dejan las primeras n cifras declmales y se suprimen las otras cifras.
4.3527 o los un&dodes es 4 ~ 4.3527 a loe centéSimo& e& 4.3~.
4.3527 olas décimos es 4.3Wo0t 4.3527 aloe rnH~ mos es 4.352;¡
Por redondeo,
Hay que observar la cifra sigukmte a la cifra n:
-si es mayor o igual que 5, se suma 1 a la cifra n y se ehm1nan las Cifras que le siguen;
-si es menor que 5. se deja la cifra n Igual y se eliminan las cifras que le siguen.
6.1652 olas unk:k:ldes es 6 porque 1 > 5. 6.1652 a lro ccnté&,rnos e& 6.1 7 porque 5 • 5
6.1652 oi~Gi6Gimrocs6.2 porqu~:6 > 5 6.1652o ~mll~lmroes6,165 porqu-.:2 < 5
Nota<lón dentJñCll
la noáldón científica se utiliza para escribir números muy grandes o pequeños de forma abre·
viada. Un número está escrito en notaci6n c~ntíftCll cuando esta expresado como el producto entre
una potencia de 10 y un número cuyo módulo es mayor o igual que 1 y menor que 10.
535000 5.35 10"
12500000·1.25.10
7
0.000093 = ~:;, = 9,3. 1 o •
0.0000147· ~-~ = 1,47 .10~
1. Respondan y expUqu~ las respuestas.
Potencias de 10
10
1
•
10
10'= 100
10' = 1000
to·•· -
1
-
10
10'• _,_
'O'
101• _,_
10'
L Para api'OlÓmar un nrmero por redondeo a tos centésimos, Hlay que observar la dlra de los
milésimos?
b. i.Es clerto que s.9 redondeado a los dédmos es mayor que s.9 redondeado a los centés,mos?
c. <C6mo se escribe 800 en notaó6n dentífica? N 0,0125?
------
(,.,.,_ ......

AaiVIDADES
AproJ<Imación. Notación cientiflca
4(). Completen la tabla.
Aproximación por Aproximación
E>.pr~sión lracc•onaria Expresión decimal truncamiento a los por redondeo a los
ceontí>!simos centésimos
.ll.
175
0,456
2~6
125
8:6
~
33
41. Expresen los siguientes datos en notación científica.
a. Los dlnos.1urlos se extinguieron hace unos 60 000 000 de años. ( 1
b. 1400 g es Lo que pesa el cerebro del ser humano. 1
c. La masa de la Tierra es de 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg. ( 1
d. La distancia de la Tierra al Sol es de 149 600000 km. ( 1
e. Un femtosegundo equivale a 0,000000000000001 segundos. ( 1
42. Esa1ban tos siguient es n6meros expresados en notatl6n científica.
a. 5 . lO' • e. 8. 10 • • -----------
b. 3,15. 10'----------
c. 2,135 . 10' ----------
d. 9,025 . 10'---------
f. 5,2 . 1o-'----------
1· 3,44 • 10" a-------
h. 7,124. 10"4 = ---------
43. Escriban cada n6mero en notacl6n científica y resuelvan.
a. 140000000 . 50000. 0,00003 - c. 0,0000018. ssoooo -
0.00004
b. 250' . 0,0000004 . 5 400 000 d. 150000000. 0,022 -
0,00000064 . 3 300000

Lenguaje slmb6Uco. Ecuaciones
Para resolver ecuaciones en el conjunto de los números racionales, se usan las mi$mas propie-
dades
que pal'll
los números enteros. •
1_ "-~ ~ .lx + 1.
4 10 8 5
5 1 2 9
-x--x•-+-
4 8 5 10
9 1j
8 )(; 10
3 24 3 7
--x--· -;-x+-
4"5 4 3 3 4
)(a 52 X• 45
45 19
En las siguientes ecuaciones la incógni ta está afectada por un exponente o raíz.
-É-x· + 12 =49
4 5 20
.É./r49_ 12
4 20 5
5 > 1
-x =-
4 20
x' = ..1. . 5
20 4
X = ..1. .±
20 5
X = ..1.
25
f29H.É_ = 8
-J 7 7 7
29 X + .2_ • (~)Z
7 7 7
E9X+~ _ 64
7 7 49
29)(_64 _2._
7 49 7
29 X • 29
7 49
x• 29. 29
49. 7
¡, " pl¡¡ioo 41 ......,_ ...
pc;:zdlda..,r
---·------1
x=~
X= j_
5
x• 29 • .1_
...-~---'- "9~~-=29~~-- ,..;;,~:o='"ii" ---;~
.,8
7
En este caso se considera
solo lo solución positiva.
E& importante veriftCllr todas lcls ocuacoones.
l. Responden y upUquen las respll6tas.
a. <Son verdaderas estas igualdades? Lo ltrcero parte de un número = x : 3 • j
b. l.Cuándo dos ecuaciones son equivalentes?
t. l.C6mo se venfica la solución de una ecuación?
.. 3 . 1 "6 d 1 "6 1 3 7 1 ,
... x-
5
,
t.es
so uco n e a ecuaco n 3"-+ 5 • 3x-5-
'·- t'-~
1
-x
)

ACTIVIDADES
Lenguaje simbólico. Ecuaciones
44. Unan con una I!Mha.
a. la cuarta parte del cuadrado de o disminuido en un sexto.
b.
la cuarta parte
de la ra1z cuadrada de un se.tto de o.
c. la diferencia entre el cociente de la cuarta parte de o
y un sexto, y un medio.
d. la diferencia entre el cuadrado de o y el producto entre
un cuarto y un sexto.
•· La sexta parte del cuadrado de la suma ent re o y un cuarto.
f. la raíz cuadrada del cociente entre un suto de o y un cuarto.
45. Escriban en lengua je slmb61lco.
~1
"..J6" ·¡
( 1 )' 1
"\
0+4 '6
• ¡ . (o-!J'
• ~a-l
..,¡¡o: 4
a. las cinco cuartas partes de un n(Jmero. _ -----------------
b. Un n(Jmero aumentado en nueve décimo~
c. la mitad de la rafz cuadrada del cuádruple de un número.
d.
la
sexta parte de un número disminu1do en siete cuartos.
e. la cuarta parte de la diferenc1a entre un número y cinco mtdios. ----------
f. El cociente entre el cuadrado de un número y ocho tercios. ------------
1· la raiz cuadrada de la diferencia entre un número y dos quintos.
h.
La diferencia entre
la raiz cuadrada de un número y dos quintos. - ---------
46. Escriban en lensu.Je coloquial
a. (! -i·)'
1 ·~
d. )·..JP+0.2S
47. ~rquen con una X la solución de la ecuación.
l 7 1 1
a. ~ x -2 • -,• + 2
b l.. · (.i.x-
9
} • 2.. · (.!.x-.!!)
's 3 4 4 S S
. ·:o
.no
20
. )~o
·':O
• 77 o
30
• .!.. o
20

ACTIVIDADES
LenguaJe simbólico. Ecuaciones
48. Resuelvan las ecuaciones y veriflquen el conjunto soludón.
a. l
2
x + -
6
5
! + .!. · 4 e. 0.8. (x + 0,75) + 1.8. (x-2.3J • 0,4
) 16
~ ~ (J 11)
'· 1,3 x -o.J • 2,3 . ul? •
15
9 5 1 7
b -lt --• -X + -
• ~ 3 ~ 6
21 8
c. 9x + 9x-0,2 • 0,3 + 2,2Sx (
16 40),4 (45 15),5
1· 27 x + 78 • ) • 8x-s2 · 2
1 2 7 13 4 15 4 5
d -x. + - -x + -= - + -x--+ -x
'2 3 2 9 3 4 9 4
h ~ + j_ . (llx + ll). l . (32 + 48 •)
. 5 11 36 54 4 30 45
49. Calculen el valor ~ x y la medida ~ los lados pedidos.
a. Perímetro • 12,75 on
• • ( ab • [ )
be -~( ==~1 '-----'
b. Perímetro 28,75 on
1
d
•
- t• 5
de•-1..•-
) 2
- ., 48
er • ~X • -
5 5
x -( ] de = ( 1
ef = ';::( ==-) '------'
---f«N __ , __ , __

ACTIVIDADES
lenguaje simbólico. Ecuaciones
1 69 3
a 2x' +-= ---
• 4 32 8
b 164 _n.~ .~ .l·
. Vls 4S 1S • 3 X
d. f · .Ji -is • (¡ • ! ) !
1 ~ 1 (1)'' 1
·
3 · ..,¡ ~-T
+ 2 • )
l ~)' ~
g. \O,Sx -0.4 • 1.7
h.p.h-2.
2S SO
1 1
--+-
5 2
i.
1
: . Vi • j o;t • 3.7s : 2.s
5 ·~ -j. ¡ + '12-X • l.)
(
4 )' (2)'' 21 3
k. -s + 3" -s • T -2
..... S12
L (0,3x + O.Sx)' • -:¡¡

Problemas con ecuadones
Hay problemas que se pueden resolver planteando ecuaciones con números racionales.
Lo d1ferencla entre el cuádruple de un número y 61lo6 vcontiGincoavos es Igual al cuadrado d~
ocho qulrTto5. tOJ/J' es el númeno7
4x-.É.. •(8)•
2::> 5
4x-~_64
25 25
4x: ~ + .É..
25 25
xali 4
5
x-l
10
El número es ;o .
JonCJthCJn qCI5tó doo tercenos portet; de W!> o horno' en uno moto y las tnos qulnt.:lS po..u:v
del resto. en el comercio. SI aun le quedon $5000, tcuónto dinero tenfa o horrado?
Pano plantear la ecuoción. hay que traducir el probtemCJ al lenguaJe sombólieo.
TO'tQI del d neno ahOITCido: X
Dinero pono la moto:
Dinero pano e comerciO:
2)(
3
3 ,
-·-X
5 3
2 , 3 5000
x: ~X+ :3
5
X+
x=~x+.!x+5000
3 '
X=
10
x+
3
xt5000
15 15
x-
13
x=5000
15
~x-5000
15
x~ 5000:
1
2
5
x-
37500
1. Responct.n y upliquen las respuestas.
; lngrestn en tmpsJ.
l'tlr1Xú' P<Ja ~' ....
POfconm.h~
satn t.s ec~ En las
~""~ 102 y !OS apare
cen r. rn:icios ri'SUr tos.
·ero.. -Wdo .. ,_, __
·~~-··~~~~
moteriolf'S_d-.clll/[IW> ¡.,.
t<W<oont!/2e""" 1Unl6~
a. tEs coerto que la siguiente igualdad no tiene solución? 2Jc + 3 = 4 + 2Jc
b. iA qué es igual lx + ~x?
2 4
c. lC6mo se escribe en sfmbolos la tercera parte de la cuarta parte de un número?
---F«<\o __ , __ , __

ACTIVIDADES
C\on e"mlrlones
51. Plant~n la ecuación y respondan.
a. La diferencia entre las cinco cuartas partes de un número y su tercera parte es Igual a la
qumta parte de cuatro tercios. i.Cuál es el número?
b. La tercera parte de los seis quintos de un número aumentado en cuatro quintos es igual a
las dnco medias partes de la diferencia entre cuatro tercios y ocho tercios. i.Cuál es el número?
c. La raiz cuadrada de la suma entre un número y un noveno es Igual al opuesto de un tercio
aumentado en tres. Kuál es el número?
d. Ludmila pagó $1260 por un perfume, unas velas aromáticas y un vestido. El precio del perfu·
me representa un tercio del precio del vestido y el de las velas equiVale a la mitad del precio
del perfume. Ku~nto cuesta cada articulo?
e. Oe los pasajeros de un hote~ un medio tomó solo caf~ con leche, un sexto desayunó con
jugo de frutas y d1ecrs~is se fueron sin desayunar. ¿cuántos pasajeros habfa en el hotel a la
hora del desayuno?
f. Las diagonales de un rombo mi den cinco sextos de un número y dos ter cios del mis mo núme
ro. Si su área mide 160 cm', <cuánto miden sus diagonales?

lntegrarión
52. E.$criban V (Verdadero) o F (Falso).
Escriban la aproxlmad6n correcta para los
QSOS en que sea falso.
a. la aproximación por redondeo a los dki·
mos de 0,523 es O,S. O
b. la aproximación por redondeo a los centé·
simos de l.J es 1,4. O
t. la apro><imación por truncamiento a los
milklmos de 2.38 es 2.383. O
d. la aproximadón por redondeo a los centé-
simos de 7,18 es 7,18. O
53. Cal.allen en notad6n den tr11ca las slgulen·
tes upresiones.
a • 729000000
b -0.000000000081
.. ~. ~
b.d
e 0,0025
d-4500000
..¡c:-s
b. -d-
54. lean atenurnente y RSCrlban los números
clel taxto en notación dentítlca.
El d•Ametro de la Tierra es de apro1-imadamen·
te 12 714 km y el de Saturno es de 116 000 km.
la distancia entre la Tierra y Satumo es de
904 millones de km.
SI un cohete viaja a 40 m1l km por hora.
«uántos dfas tardará en llegar de la Tierra a
Saturno?
55. Resuelvan expresando ti resultado en
notad6n c~ntfflca .
L 4,57 . 10" -1,16 . 10• •
b. 10,25 . lo-' + 8.15 . 10 .. -
c.
14 .
10' + 8.5 . 10
1
-6,2 . 10' =
d. 4.5 . 10.-7,25 . 10"' + 1,5 . to-•-
56. Escriban en lenguaje simbólico.
e. la diferencia entre la tercera parte de un
número y el doble de su quinta parte.
b.
El
cociente entre la cuarta parte del cua·
drado de un número y ocho nove nos.
t. El producto entre las siete décimas panes
de un número y la ralz cuadrada de oc:M!nta y
un centésimos.
CONTENIDOS
JN4 ·Z~
57. Resuelnn las siguientes ecuaciones.
59 ]1112
a. i + 5' -8 -2 + 5
b ~ + 1 (~x _ !) • 2.. . ...!_ + 22
'3 215 15 3 5 3
~ S ( 9 ~ 9
c. t.J +
8
. 3,2-2,4>1) -s • 1,6• •
10
(
S) S 3 1 24 3
d. '--8 : l • 2 + ¡ . S -5>1)
e 1 . ( 16, + !) _ (.!.)' • (.!. + !)x _ .!. . 15
' 8 25 5 2 2 5 4 . 16
58. Calculen el valor de x y sus lados.
a. Perímetro • 90 cm.
b. Peñmetro • 26,5 cm.
"
"
ab • x cm
tx-~ ab
ik-:•b
r. • ~ ab
+
lS
••
-ó ('11
"
1 '
jA • l CM
59. Resuelvan.
L ~.~ _ .!. . 44 + ~. S) + fi6 . 2_
33 3 t8 S 22 ..J ¡¡j 2
t. 13.5x' + 4 • • 1,25'-(7 .3 + 1,25)
0
81 ( IJ' ~
d. :iS6 • 0,2x + !2.1 • 1,3
17 ~ 1 2 1
f --·-0.75.--o 25' + -
'2' 20 S ' 4
---f«lll--l--l--

60. Marquen con una X la ecuación que tradu·
ce cada problema y resuélvanlo.
a. La edad de Adrián es cuatro séptimos que
la de Tomás y la edad de Gabril'l es tres cuar·
tos que la de Adrián. Si la suma de las edades
es 56, i.cuántos a~os tiene Tomás?
• i T + .! T + 56 • T o
7 4
• T + i T + l i T = 56 o
7 4 7
• T + i T + l T = 56 o
7 4
b. La altura de un triángulo mide las tres
cuartas partes de su base. Si su área es de
150 cm', <.cuáles son las medidas de la base
y de la altura?
• ~ . t~ . x • 150 cm' O
•%x.x=150cm'0
• 2 %x. x = 150 cm• O
61. Planteen las ecuaciones que tradu cen los
problemas. Luego,
resuelvan.
a. Un número es un entero y
3 décimos más
grande que el segundo, y un tercero es
8 décimos menor que el segundo. La suma
de los tres números es 17. LOe qué números
se
trata?
b. La
diferencia entre el triple de un número v
las tres cuartas partes de su duplo es igual a
18. <Cuál es el número?
c. La raiz cúbica de la diferencia entre un
quinto de un número y un veinticincoavos es
igual a dos quintos. <Cuál es el número?
62. Lean atentamente y resuel van.
1. Diego compró cerámicas para cambiar el
piso
de su casa. Para el
lavadero usó ¡. para
la cocina ~ de las que quedaban y le sobra·
ron 21. <Cuántas cerámicas compró en total?
b.
Los dnco
sextos de la edad que )ullán ten·
drá dentro de 6 años es igual a las cinco cuar·
tas partes que tenia hace 10 años. iCuántos
años tiene )ulián?
63. Tengan en cuenta la lnfonnación y calculen
el perlm etro de la figura.
El segmento ac es la tres quintas partes del
segmento ab. El perímetro del triángulo abe
mide 55 cm. El segmento ad mide un tercio
de ac.
64. lean atentaménte y resuelvan.
a. Para preparar una torta. Jimena usa 380 g
de azúcar que reparte en tres tazas. En la pri·
mera taza pone cierta cantidad de azúcar; en
la segunda, pone la tercera parte de lo que
puso en la primera v en la tercera, pone tres
cuartos de lo que puso en la segunda.
lCuántos gramos de az(lcar puso Jimena en
cada taza?
b. Tres amigos se pesaron y en total sumaron
108 kg. Si Ana pesa cuatro quintos de lo que
pesa Pablo y Sol pesa tres cuartos de lo que
pesa Ana, i.cuánto pesan Ana, Sol y Pablo?
c. Un profesor dice: "He usado un cuarto de mi
vida investigando; he pasado otros dos quintos
estudiando, y he gastado unos 14 años en mi
juventud". lQue edad tiene el profesor?
d. Para hacer un medicamento se mezclan
aspirina, vitamina e y excipiente; este último
es necesario para que tenga forma y sabor.
Se utilizó una cierta cantidad de aspirina,
para la vitamina C se utilizaron las tres sépti·
mas partes de la cantidad de aspirina, y para
el excipiente se utilizaron las dos quintas par·
tes de la cantidad de vitamina C. Si en total
el medicamento
pesa 56
g, <.cuántos gramos
hay de cada ingrediente?

65. Marquen con una X w fracciones que pueden expresarse con denomlnedor 6 •
. 1.o . .!:!o .~o .~o
S4 S ~ ~
66. úlculen sabiendo que: a • ~ ; b • ! : e "' ! .
L (a + b) : e • d. a + b . e • ----------
b. (e-a) . b • •· (a-b)' . e •
c.b.c-a- f . ..¡a +e : b • ----------
67. Traduzan allen~je slmb6U co y rHUelvan.
a. Las tres quintas partes de dncuenta veínt1unavos aumentado en la tercera parte de un sépt mo.
b. La diferencia entre la ralz cuadrada del producto entre un velntic.íncoavos y nu~e dledsei~vos,
y un octavo.
68. Resuelvan las ecuaciones.
a 11 · (.ix-§!) + 1-x -~ · (~x + ll)
. 8 7 7 7 S 12 112
b, o;4. (1.6 x + o,2s). s-2,4 d. t (x" ! -.!.) • ~
, • 14 4 7
69. Planteen una eculláón, calculen el valor de x y las medidas de los lados.
1
-·
70. ResLtelvan.
Esteban decidió comprarse una remera, un pantalón y unas zapatillas. la remera sale SSO m~
que t de los pantalones y las zapatillas $300 más que ~ de la remera. SI en total gastó
$2
070, <cuánto pagó
por cada artículo?

CONTENIDOS
!6 Orden y representadón en
la re<ta numMca
27 Adkloo. sustracdón.
mu llpl catión y división.
28. OperadOMs combinadas l.
29 Potenc'ad6n y rad'cación.
Prop'edades.
30 Operac.ones combludas IL
31. Eclladones.
SITUACIÓI INICIAL Dl Al'ltfiDtZAil
1. ObHNen La imiStn y r.suelvan.
la Frayuela es un jueso parecido a la Rayuela, pero con fracciones. Para empezar se dibuja un
casillero con ~ CERO y fraccoones con el m1smo denominador en cada paso. Para un lado, las ne
gativas y para el otro, las posit,vas, en orden. En los pasos que tienen fracciones que se pueden
simplificar, va otra casilla para la fracción irreducible corr espond'ente.
a. Completen las casillas que faltan en esta Frayuela.
b. D1bujen una Frayuela con fracdones con denominador 6 desde el -1 al l.
c. Dibujen una Frayuela con fracciones con denominador 5. ¿Qué particularidad tiene esta
Frayuela?

Como sucede con los números enteros. podemos establecer una relación de orden entre números
r.!C•onales, ya sea entre fracciones o entre números decimales.
S• una fracción es pos•tiva y la otra negativa, es mayor la positiva.
Para comparar fracciones con el m•smo signo, si tiene el mismo denominador, se comparan los
numeradores.
• Dos fracciones positivas.
l.y3 ~<2.
5 5 e¡ 5
• Dos fratc.iones negativas.
:3 ,, 3 ,,
--y---> --
10 o 10 10
En caso que no tengan el mismo denominador, se buscan fracciones equivalentes a las dadas
que tengan Igual denominador (se busca el mcm de los denominadores). Luego. se comparan los
numeradores de las fratc.iones obten•das.
• Dos fracciones positivas. • Dos fracciones negativas .
..ly±
2 5
51 2._<6
z-10 ~ 10 10
4 8 1 4
5 10J 2 <5
~i ~ -!~} ~ -~i
-2 ~ -·~ 2
7 21 :3
Para comparar dos expresiones decimales, hay que comparar sus cifras: primero la parte entera
y luego lll parte decímal hasta fficontrar la primera cifra distinta.
2.76y 2.76
2.76 ~ 2,766.
2.76-2.760
~
2.76> 2,76
Para representar fr!Kdones en la recta numérica, se deben buscar fracciones equivalentes a las
que se quiere representar, con igual denominador. Luego. se diVIde cada unidad en tantas partes
como indica el denominador.
2 -1
l
2
l
•
1. Respondan y expliquen las respuesUs.
o
0.25
•
4
6
4
2
1
4
a. En los números positivos es menor el nCimero que está m~s cerca del cero; <.sucede lo
mismo con los números negativos?
b. <.Cómo es la relación entre el cero y las fracciones positivas? N entre el cero y las fracclo ·
ne~ negativas?
c. Para ubicar en la reaa las fracciones } y ~, <.en cuántas partes hay que dividir la unidad'
~~----- ------------------ -- ----
----___ ,_ --

m
ACTIVIDADES
Orden y rep~sentaclón en la recta numérica
1. RodHn en cada caso las ~ Iones que c.umplen con la condlc:l6n.
. _.!.
~ Son menores que -1 s
2 . --
6
·-,
b. Son mayores que 2
c. Est.1n comprendidas entre o y 1
d. Son isuales a 3.
2. Completen con <, > o • según corresponda.
~.!.02.. d.!.O J.
4 4 • ) 2
b _.!.o . .l.
. 8 8
c.oQ-~
e.-~ 0- ~
f.-~ 0-~
3. Ordenen de rMnor a mayor las sisuientes fracdones.
4
5
• ..!.
2
54 . -
18
3
. .!. . .!.
4 S
7 .1. . -
10 9
116 .ID
• 29
19
!· -2.476 o -2,47
220
h. -8 2,75
-o 27 1. -5,3 -
5
) l 1 7 3
-iO; -¡; -o,9; -); -iO; -s; -o,3S
4. Representen los slgulentas nGrMros t'Kionales en la reda nuraér1~
1 3 S S
a. -3: 0,6, -2; ¡i -,
3 S U
b 05·--·-· - ·-2
.... ~· 2' ••
5. Completen con fracciones que estén compn!ndldas entre cada par.
c. -t ( 8 ( 8 ( -t
d. 1 (8(8(-t
6. Escriban la fraccl6n y la eAptesl6n decimal que corresponde a cada letra.
( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )
3 • -2 b -1 ( o d 1 •
2 3
, ·. .
· ~~.,. ... -~ ... ~-

Adición, sustracción, multiplicación y división
Para sumar (o resf3ñ fracciones. se deben buse<~r fracciones equiva entes a las dadas, cuyos
denominadores sean el múltiplo común menor de los denominadores. Luego, se suman (o restan) los
numeradores y, de ser posible, se simplifica la fracción resultante.
-.1.+ 12-8
5 5 !>
~-2. +.1. 12 ~+-1 =--1
248888 8
2.-.l!. ~-2 --1
2 2 2
1 5 ?> 4 10 9 15 5
--+-+-•--+-+-~-a
3 6 4 12 12 12 12 4
Para multiplicar dos fracciones, se multiplie<~n entre sf los nu~radores y los denominadores.
Se debe tener en cuenta el signo de cada fracción para aplie<~r la regla de los signos.
Para facilitar las cuentas podemos simplificar cualqu•er numerador con cualquier denominador.
Q C CJ.C
-·-·-
b d b d
-+•-
- --+
Para dMdlr dos fracciones, se multiploca la primera fracco6n por la fracción Inversa de ta segun·
da. Se debe tener en cuenta el signo de cada fracción para aplicar la regla de los signos.
También podemos simplificar para facilitar las cuentas en la multiplicación que resulta.
-10. (-.1.)-_1Q. (-~) ~~= ~
7 • 5 7 4 """' 14
' .
135 (-189)-~ (-+n} :-~
148. 185 ....... 28
•
1. Respondan y elq)llquen las respuestas.
a. Sl la suma de dos números racionales es O, k6mo son esos números?
11. i.Es cierto que la fracción lnvHSa de t es -t?
t1 e o d -.-
b d b e
c. En la suma o resta de números racionales. <se aplica la regla de los signos?
d. SI se multiplican tres fracciones negativas, i.qu~ signo toene el resultado? i.Y si son sels
fracciones?
---Ftdll--/.--1-

ACTIVIDADES
Adición. sustracción, multiplicación y división
7. Resuelvan las siguientes sumas y restas.
a-~+~-8 . 3 3
b.t-t=[ l
U-~· [ l
10 8 d. -3 + 2--
e. o.s-: • 8
f.-: +1,6=8
8. Completen las fracciones para obtener el resultado indicad o.
9. Respondan y expliquen las respuestas.
g L+_i-~ =[=) • 3 15 5
h. -! -0.8 -t = El
~ 1 7 8 l. -1,8 + T -9 • -
e.l:J-t·-!
f. L[=]· _1_
7 14
a. Escriban 5 sumas que den por resultado t· iCuántas sumas pueden encontrar? iPor qué?
b. Escriban 5 restas que den por resultado 2,15. Kuántas restas pueden encontrar? iPor qué?
10. Resuelvan las mulllpticaclones y divisiones. Sim plifiquen cuando sea posible.
a _14 25 = []
. 15 . 28
b. -o.t5 . (-~) = 8
c. 120 . (-105) D • [ l
77 36 20
d. ( -~~):(-~!)= 8
e. -~; : 3,1 • 8
f.(-~:) , (-!D, 0~) = 8
11. Completen las fracdones para obtener el resultado lndialdo.
a.!!. ·8·- 40 ' 3 21
e
(-2...) . 8 = -~ ' 6 . 72
b.8. (-~n- -~:
d. [ l : 2... = 126
14 55
12. Respondan y expliquen las respuestas.
g. ~ . (-'30) : 147 -8
220 323 68
h. (-E.) : ~ . (-11) = 8
56 184 207
L 3,75 . O,S : (-3,125) • []
Para los números enteros, se pueden encontrar los divisores o mOitlplos de un nOmero. <Ocurre
lo mismo para los números radonales?

Operadones combinadas 1
En un ~lcu lo combinado de sumas y rtstas, se pueden suprimir los par6ntesls teniendo en
cuenta el signo que está delante del par,ntesis.
•
SI
hay un signo mtls. se elimina el paréntesis y se mantiene el signo de cada tfrmino.
:•G-~)e ;•(-~+!)~
6 7 1 5 9
-+--~; ---~-;
5 4 2 7 2 4
24 • 35 _ 90 = _ 31 __i_ _ 10 + 6:3 e_¿_
20 20 20 20 28 28 28 "8
• SI hay un signo menos, se elimina el par,ntesis y se modifica el signo de cada término que encierra.
~ -(~ ;)= -: -(-~ + ;)-
~-.1+.1.e
4 2 3
15 -.JL + 16 = ~
12 12 12 12
Para resolver un cilculo coroblnado, pueden sesuir estos pasos.
,....,
l-H -;) : 1
5
2 =
1. Se separa en términos.
~-(- ~): 1
52-
2 St resuelven tos citculos que encierran tos paréntesis,
manteniendo el orden de las operaciones.
3. Se resuelven las multiplicaciones y las divisiones.
Simpliflcamos
cuando sea posible.
4. Se resuelven las sumas y las restas.
1. Respondan y expllquen las respuestas.
:c. . -(1 3 l) 1 3 2,
a = coerto que -+ ---• ---+ -
' 2SJ 2S3
b <Es verdadera la siguiente igualdad? _! + i + l -!.. = (i + l) -(! + !..)
' JSJS SJ JS
,..-, ,....,
c. En el ~ !culo l -l · (L l) -.! lse separ6 correaamente en términos'
9 S 3 6 2' .
---------------Cuno ---l--1--

ACTIVIDADES
Opera lo ;, combinadas 1
13. Supriman los paréntesis y escriban las eJ~presiones decimales como fraccl6n. Luego, resuelvan
y slmpfifquen los resultados •
• __ 7 -(1 + !) -
• 10 5 4
d. 1,6-(o:S-1
~)-(-1,1)-----
e. 0.25 + ( 1,5 + 1.25) + (-~) • -----
c. f-H) ·h~)------
t 1 • (-L l) _ (-.!.) =
• 3 3 12
14. Lean atentamente y resuelvan.
Lautaro utiliza la tercera parte de su sueldo para pagar el alquiler del departamento y la octava
parte para comprar ali mentos.
a. i.Qué parte del sueldo le qu eda?
b. Lo que queda, <es menor que la mitad del sueldo?
c. SI cobra $9 600, i.cuénlo dine ro gasta en el alquiler? ¿y en alimentos? Kuánto dinero le queda?
15. Separen en términos y resuelvan.
a !_l.(l•!.)-
• 2 5 4 2 .. 2j-(f- ~) o(-~)-
------------------------
b 20 o (-2.) + ~ -
'21' 1~ 3
f -(l + E. o i) + (-l) -
' 2 25 3 5
c. ~ + (-L i) . 24 •
5 8 2 7
1· (t-+): (-¡)-( ~ + } ) -
d. ~~ : (-o.2 • o.4) • 1,s - h -o 2 • -· -+ 2 s ---
~ (124 62 ) 8
• • 35 o 15 • 7
En una escuela se cftSpOre de S1S 120 para comprar materiales de matemati<a. Se ut !iZaron un octa·
vo para comprar calculadoras, una d'eciochoava parte para la compra de elementos de geometria y
un teróo para manua es de estud10. Kuánto dinero se utilizará y cuánto sobra?

lntesrac:ión
16. Ordenen los siguientes números ~ menor
a mayor.
1 ~ S 3
2
:
4,1: -o.ss· -
4
:
o: -s-: -4.1:
17. Representen en una recta num~r1ca.
9
0,75 ; • . 2 ; •• -4
18. Escriban tres fracciones <XImprendldas entre
las dadas.
5 1
.. -y--
7 7
19. Lean atentamente y reuelvan.
L En una góndola del supermercado hay una
caja con 50 lacas de ensalada de frutas. Si
cada lata pesa 0,625 kg, i.tuánlo pesa el con·
tenido de la caja?
b. Luis cargó nafta y pagó $586,50. <Cuántos
litros de nafta cargó, si pagó $17.25 por litro?
c. Al apilar 21 cajas de fósforos se forma una
pila
de
9.45 an de alto. <Cu.11 es el alto de
cada caja de fósforos?
20. Lean atentamente y resuelvan.
Un teatro tiene una capaddad para 3 825 especta·
dores. La platea VIP ocupa un quimo deltota~ la
platea laleral, dos tercios y el resto está ocupado
por el SUpetpU/Imon.
a. dlué parte del total representa el superpullmon?
b. 1Cu31 es la capacidad de cada sectOt?
21. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) seg(ln
co~sponda..
a. Entre dos fracciones, siempre hay una frac·
tion.O
b.
Entre dos racion ales negativos de
Igual
denominador. es mayor el de menor valor
absoluto. O
c. La suma de dos números racionales negati·
vos es un número negativo. O
CONTENIDOS
111" •
d. El inverso multiplicativo de un número raclo
nal se obtiene intercambiando las posiciones del
numerador y del denominador. O
e. Al dividir dos números racionales. se multipu·
ca el primero POt el opuesto del segundo. O
22. Supriman parérrtesis y resuelvan.
a. -o.6 (-o.3 + 0.4) -(-o.2 + o.7s)
b (1 + l.) -(! + .!) =
. 2 1 5 15
c. ( -~; • tl-(-~~)-Hl-
el -(0.8 + 2.)) + (-1.25 -0.125) + /2 -
.. ¡ ·(~ ·t)-( ~)·(-~) -
23. Marquen <XIn IMII X el cálculo que correspon·
de a la sltuad6n planteada.. Lu~. mu61vanlo.
a. Un micro de larga distancia salló desde Retiro
rumbo a Tllcara, Jujuy. En Retiro subieron cinco
octavos del total de pasajeros, en Córdoba
subieron tres décimos del total. en San Miguel
de Tucumi baj6 una vemteava parte del total y
en Salta baló una quinla parte.
lQu~ parte de los pasajeros Ueg6 hasta Tilcara,
en Jujuy?
• 1 • (1 + l -..!.. -.!) -o
8 10 20 S
•1-5.3_..!.._.!_ o
8 10 20 5
·t·~-~-t = o
b. Romma tenia que resolver 60 ejercicio~ de
matemát1ca en las vacadones. En la primera
semana realizó ~; en la segunda semana,
1
~ y
en la tercera semana, la tercera parte de lo que
ya tenia resuello. ¿Cuántos ejercicios le quedan?
•60 (' .60-.l. 60-.! . .!!.60)-o
4 ¡o· 320
• 60-(.! . 60 + .l. . 60 +
1
. .!! . 60 -o
4 10 3 20 J
o
~ : ____________________________ __
----Falla __ ¡ __ ¡ __

24. Rodeen con color la respuesta correcta.
a. ( :J.(-~)+( -~): ~ •
2
1
2
10
7
b. -Hl • (j-f • tl • (-tl -
11 i
2
25. Completen el slsulente cuadro.
S 15
8 16
1
!
2 S
_1 3
6 S
.! _.!
4 8
11
26. Planteen el dlculo y resuelvan.
a. El triple de la suma entre cinco medios y
cuatro tercios.
b. la diferencia entre la cuarta parte de ocho
séptimos y cinco séptunos.
c. La mitad del inverso de nueve quintos, dls·
minuldo en un tercio.
d. El coc•ente entre nueve quintos y la suma
entre el opuesto de tres cuartos y seis quintos.
e. La suma entre el doble de la sexta parte de
cmco y las cuatro quintas partes de menos
nueve medios.
L la tertera parte del cociente entre once cuar·
tos y un sexto.
1-El producto entre la diferencia de un qu'nto
y tres décimos, y la suma entre tres medios y
un sexto.
27. Coloquen corthetes ¡NI'I obtenlf' el resul·
taclo Indicado.
Hl (-1)
1 -
Hl
)
L --S 4
b.
Hl Hl
2
S Hl
S
--S
Hl ( ~)
~ -(-f)
8
c. --S )
28. Planteen y rHUelvan.
a. Thlago salió de paseo en bici. Recorr16 un
sexto del camino y se detuvo a descansar.
Continuó su rec.omdo y luego de recorrer tres
quintos del total se detuvo para almorzar. Si
le faltan 7 km para llegar. <cuántos kilómetros
recorre en total? iCuántos kilómetros recom6
en cada tramo?
b. En el campo de Joaquín, hay caballos, vacas y
galinas. la qlinta parte soo cabalas, la tertera
parte son vacas y el resto soo galinas. <Qué
fi'acd6n representan las galinas? Si en total hay
90 an•males. icuántos hay de cada tipo?
c. Como saUda educativa los chicos pasaron el
dla en la reserva ecológica. las tres décimas par·
tes del dla fueron de caminata ~bre, la cuarta
parte la dedrcaron a almorzar y el resto del dla
lo usaron para visitar un vrvero. iQu~ fi'acd6n
del dfa representa el tiempo que estuvieron en
el vivero? SI la excursión duró 5 horas, kuénto
tiempo dedicaron a cada adlvldad?
d. Lorena leyó las tres cuartas partes de una
novela la primera semana. En la segunda
semana leyó las dos novenas partes de lo
que habfa leído la p rimera semana y en la
tercer semana, un cuarto de lo que leyó la
semana anterior. Si el libro tiene 120 páginas.
lcuántas páginas leyó en cada semana?
aogr6 terminar el libro en la tertera semana?
29. Resuelvan las siguientes operaciones.
1 (-l + .! -l) . (-!.) -
' 4 8 S . 8
b _.L (l • 2 -3) -(l -o 2s) . n •
' 2 S ' 8 ' 3
c. -(-1 + l) o (-! + 1) -
4 S ' 2 4
d. (t + f) . (-Í + o.6)-o,7 : f -
.. l -(! + 32 o !) • (!. -.!) o .! -
S 9 15 ' S 3 S 3
f (i 3 + .!) o (1) -I. =
' S . 2 ' 8 2
'
(
!_ 1)
. 2s + (L ~) ..!!. •
• 7 ) 44 4 9 o 18
h !(.! + l) o J. -181 o 1 -
.S 2 4 3 '4
1 .! + l . (-L . [(-! -2.) . ..!.J + L} •
o 6 5 17 7 2 3 9

Potenciación y radlcacl6n. Propiedades
La pote n~ de una fracción es Igual a la potencia del numerador y del denommador.
Cuando se eleva una fnK:dón a un exponente entero positivo, se deben tener en cuenta estos
casos.
(-Z.)~ --~
6 216
Para elevar una fracción a un exponente entero negativo. se escr1be el Inverso multoplicatlvo y
se resuelve la potencia.
(-;)' (-8)'=61
7 49
-9) • --~--( -3 ( 1)' 1
9 729
Las propiedades de la potenclacl6n son las mismas que para los números ente·
ros y racionales posilivos. •
La rtlx de una fracción es igual a la raíz del numerador y a la del denomonador de la misma.
Las propiedades dt la radlcacl6n son las mismas que para los números enteros
y racionales pos1t1vos. e
1. Respondan y expliquen las respuestas.
Enla .. lly
¡¡.,.-,_..
... ~ ...
.. ~
a. La potenciación les distributiva respecto a la suma y a la resta? N respecto a la multiplica·
co6n v a la división?
b.GEs cierto que ( t )"' : H· )' • (-t )'?
c. iSe puede calcular la ralz de fndice par de una fracciOn negativa? ¿Por q~?
d. lEs cierta 1a isualdad J-l. j-l = Jl·(-l). rT. l>
a a e a '164 a·
---f«<II __ , __ ,_

ACTIVIDADES
Potendac on y radicación. Propiedades
30. Calwlen las siguientes potendas.
.. (-:r-8 d. (-o.3f'-8
b. (-~)' = 8 e. -7·' = 8
c. ( ~) = 8 f. (-3,5)'-8
31. Calwlen, si es poslb'-, las slguk!ntes ralees.
a
'Cl =8 d '1-I-8 · ~-m · , s1
b. J!! • 8 e. ~-2!3 • 8
c. ~ = 8 f . ..Jt,44 -8
' 216
32. Completen los casilleros para que se verifiquen las lsualdades.
d. (-~ )O. _343
1 64
b. (c])'= ¡
c.(-~)O. 36
6 25
f.011 ._.!.
.JU8 2
1
·Ht ·8
h. (-0,2) ' -[ ~=1
l.{t)' 8
,. !J-1.728 • El
•f81 8 h." 16. -
l. :n; 8
,. o~ ~~~~ --t
h. v;
1
•
-t
l. Jr) -t
33. Resuelvan aplicando las propiedades de la potencll!cl6n, cuando sea posible.
•· Hl' · H) · (-t)----
b. ( n·, (-i)' = -----
c.(-¡)'. ( !)'-----
d.(-~) + (-f) = ----
e. (-t)' - (-~)' =
f.l( ~)'t' -------
1· (-tl" · H),. · Ht'----
h.¡( ~r · ( :r, HlT'-----
1. (-tr • (-t) · HY----
,. (-i)" : (-¡)"-(-i) • ----
34. Resuelvan aplicando propiedades de la radlcacl6n, cuando sea posible .
•. J~·~= -- d. m, Jt ---------
rr 'f25 'fl""''
b. ~-49 . .J1-7 - e . ..J..Jm----------
( ·rr )' - f7 rv
c. \81 f.~ ·¡·~ -t---------

Operaciones combinadas 11
Para resolver un dlculo combln111do las seis op.r1dones, se debe tener en cuenta el orden de
resolución de las operaciones. que es el mismo que para resolver los cálculos combinados con
n(imeros enteros.
"Jt25, 5 '+ (-~)l _~.55 _ 1. Se separa en términos.
274 2 3:326
2. 2 + 9 _ 1 3 ~ • 2. Se resuelven las potencias y las raíces.
3 4 33 ?6
5 4 9 5 3. Se resuelven las multiplicaciones y las divisio-
3" 5 ... 4-6~
4 9 5 nes.
-+---=
3 4 6
16 t 27 10 :11'5 11 4. Se resuelven las sumas y las restas.
T2 12_i2_:W_4
En caso de que haya paréntesis y corchetes, se resuelven primero los calculos que ellos
encierran respetando la jerarqula de las operaciones.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
1. Se separa en términos dentro de los corchetes.
2. Se resuelve el paréntesis.
3. Se resuelve la pot encia.
4. Se resuelven las sumas y las restas.
S. Se resuelven las operaciones según su jerar·
quía.
a. En el siguiente cálculo, i.qu~ se debe resolver primero? ¡ -t . (~)
3
-j
b. En el cálculo 'j: . ~ ~
1
(~ -1. <están b•en separados los términos?
c. tEs cierta la igualdad .l . Li + L)' = ( .1. . -~ + .1. . L)'?
.3\2 2 3 2 3 2.
-··---------------c.,. ___ ---1--1--

ACTIVIDADES
Operaciones combinadas 11
Planteen ft c.tlculo y resuelvan.
a. El cuadrado de menos dos quintos disminuido en la quinta parte del opuesto de seis quintos
b.
El producto entre once novenos y
la ralz cuadrada de la suma entre diez novenos y el opues
to de dos tercios.
c. El cociente entre la ralz cúbica del opuesto de un velntisieteavos y el cuadrado de tres cuartos.
d. las nueve quinras partes del cuadrado de la suma entre el opuesto de un tercio y un sexlo.
e. la suma entre la ralz cúbica del opuesto de un tercio elevado a la seis, y el cuadrado de
menos cinco tercios.
36. Encuer1U.n el valor de cada expresión.
1. -(.Ja'+b . e : d)' •
. 21 1 2 4
Siendo· O a -· b = --· C •-d • --
. l~ • 5 ' 3 • S
b. m'-n' . p' ~
1 1 3
Siendo· m • --· n--· p • -
. ) , 2. •
37. Resuelvan las slaulentes operaciones.
(
8) , r-"j"" 11 ( 4)1
L l + ~-729 . l + -l •
.. J.! + .!!) . (35 -l-)-i . (~) '
5 ) 6 2 9' 9
e 'I.!L ~. (-!!) • (-l • 1) '.
• ...¡ 5 125 . 25 4 J
h ~ . (L .i)'. j(L l) , (27 _ -!_) •
·n 4 3 6 4 s 15
f. )6 -(-! -.! • .!) 1 -
'49 4520
e 1.!. ..!!!.. + (L 1.)' + 1. •
·.,¡u 11 s 10 44

Calculad01'11 científica
En t' e ap8rt~do se trabilla con 1& alcul&dor~ cltntífkl. No todas tenen el mismo dise~o. por
lo que si no t>ncuentran una tecla específica, de~rán consultar el manual para saber qué botó!!
'l'aliza la función que se indica.
Con las teclas Inferiores, generalmente grises, se realizan las operaciones básicas; con las teclas
superiores, las oper~ciones especfftcas.
abk
( J--
-Flecha derecho
cúl botón centro/
Tengan en cuenta que no solo dt>ben fijarse en los s'mbolos que aparecen impresos en las tedas
sino tambiin en los signos que hay sobre las mismas, generalmente con letra más pequeña y/o en
otro color, para las cuales es preCiso presionar el Shlft (o Fn) para poder utilizarlas.
Antes de empezar con las propuestas, es recomendable que practiquen el uso de la calculadora
y determinen el orden en que se deben presionar las teclas, ya que algunas calculadoras aplican la
fundón sobre un número mgresado, m'entras qul' l'• otras hay que in¡res.1r el número y ~sp~s
la función.
---F«<la ____ , __

Opeooones combinadas 11
Para resohler operacion.s c ombinadas con una calcul~dora científica que prioriza el orden de las
operaciones, se pueden seguir estos pasos.
Calculen: :¡' 3 ( 4)' 5 14
8 : 4 + -"j -1} . JO =
• Se presiona -y luego 8 para calcular la ralz cúbica
• Se ingrl'S.l el tadicando (conviene contenerlo entre paréntesis) presionando -U -
- Para seguir escribrendo fuera del radrcando se toca la (lecha derecha del botón
centro/.
• Para continuar con la operación, se presiona a
• luego, se presionan a-
• Se ngresa la potencia (conv ene contenerla entte fd•fn1e~is) presionando--a-
•Setngresa a•aaaaa•aa
para obtener el resultado
Aclamctón en ~on~ . el rn~ultado ~' uno fracción Impropia o un número decrmol. con lo cual
hoy
qu~ pre,lonor--poro o11tener el rc!>uttado en fonnato fracción irreduclvle.
Calwlen:
:.¡ l [' ')' 11] S
241 ; 6 -(
1
-J + S4 • J -
• Se presiona - para calcular 'a raíz qu nta.
• Se nsresa el radicando presionando--UGIJ- Para segur escr bien·
do fuera de rad cando se toca la flecha dtrtcha del botón centro/.
• Para contrnuar con la operacrón. se presiona (que actúa como corchete).
• Se Ingresa Cla • ...
• Se Ingresa la potencia (conviene contenerla entre paréntesis) pre-;ionando --a•
• Se continúa con 1111 ·-· •• (el último paréntesis cierra el corchete).
• Se continúa con 11-U
• Se presiona JI para obtener el resultddO.
1. Usando calculadora denblica, resuelvan l.as sllul~tes o per¡~dones combinadas:
27 9 ( 1 )' ..¡16 9 .'1 124 .'f1 ~9 S !O ( 4 )'
a. 2~ : ~ + 1 + 2 .. too • b. 2S . 5 +V 1 -m ft c. Vi . T + ií : 6 -iO + 2 •
2. ResiN!I..-.n nue..-.mente la actividad 37 de la pi¡lna 104, ayudindose con ~ cakulaclora
cltntl11ca.

Ecuaciones
Para resolver ecuaciones en el conjunto de los números racionales, se aplican las mismas pro
piedades que para los números enteros.
l. n<;resen en tttps;f/gooql/fN2Xcr y ooserven las ecua
clOnes resu~Uas de las p3Q1nas 106 y 107.
'fN<tOCDNdDcloll:¡: :/~~~
r.,.... ,._didoo <~)no.~ n<t'116.pdf
En las ecuaciones en las cuales la inc6gMa esta afedada por un e><ponente par, se deben con
siderar l as dos soluciones que llene la ecuaCión. •
•'·lli
25
..r,(i.p44
25
u.-~
5
12 12
x -ox.,--
5 5
·1 o
Se recomienda siempre verificar la ecuación.
1. Respondan y expliqu en las respuestas.
a. SI un número es x. lc6mo escribimos el opuesto de un número?
b. lEs correcto el siguiente despeje? -fx • -¡ ~ x • -¡ + t
c. lEs cierto que x' • 27 tiene dos soluciones?
-1 3 l2
S
En 11 plq 111 SS.....,... lt1"S"
~~~~~ .... -
taalor'<S ....... """'
d. En la ecuación * . (x -~ )' • M, les correcto despejar en primer lugar la potencia, luego
la multiplicación y por último el-t?
k----------------'""•---""'~-- 1--1--

ACTIVIDADES
Ecuaciones
38. Resuelv¡¡n las siguientes ecuaciones y verfflquen el resultado obtenido.
S 3 2 8 2 3
a -x + - --x • --+ -x--
' 3 S S S 3 10
71314 IS
b. ¡-¡x +
2
• 3
x
+ ¡ -1x
2 4 3 1 S l
c. ~ -3x + iO -2 + 4"-1x
d -lx -(.!!. + .! x -l) • _.!
• 4 3 2 2 4
e !x + (-lx + 1) -(-1) • l
'7 4 2 8 2
f -(ix + ! -l) -
4
i • !
• 9 ) 2 3'4 3
1 Ll) • (L !) 1.,. (l • !) . ( .!~,) ~ .!
'16 )2'5 )52 3
2 ( 4) ~
h. S . X + 9 + 4 -9
39. Planteen la ecuación y resuélvanla. Luego, encuentren la longitud de cada lado.
L Trape<:lo. -~· • 9
Perfmetro •
6
: cm V•-~/ \~· .y
tlt. \'
40. Planteen la ecuad6n y resuelvan.
b. Romboide.
Perímetro •
6
{ cm
a. La tercera parte de los videojuegos que tiene Facundo son de aventuras, los de rol representan
once oaavos de los de aventuras y 10 son de lucha (Cuántos luegos tiene Facundo en total?
b. Camila recibió dinero para su cumpleaños. Gast6 las dos quintas partes del total en un jeon y
clnco sextos de lo que le quedaba en un vestido. SI aún le quedan $155, lcuAnto dinero recibió
por su cumpleai\os? lCuánto gastó en el jeon?
c. FeUpe estuvo la cuarta parte de sus días de vacaciones en Las Grutas; las cuatro novenas partes
del resto, en Bariloche y los últimos 15 días. en El Calafate. lCuántos días estuvo de vacaCiones?

ACTIVIDADES
Ecuaciones
41. Traduzcan al lenguaje coloquial las siguientes ecuaclonet. Lueso. resuélvanlas.
a. 1 . {x -~) -~
1 2
b. ¡x =-s • x ---------------------------
1 S 3
~ ix: ¡-w--------------------------------
1 ( 1 )' d.
3
-x'-2. )
42. Resuelvan tas sl¡ulentes ecuaciones apDcalldo le propiedad distJ1butlv~
~ ( )) 7
•·-s·x•2•¡¡ d. Ux- ~} : (-r) = -t · (ix-~)
e.
1
! (!.x-.!) -l . (
20
• lx) -.!
~2S95 7) 3
f. (t-:x): ~-(íx-t) · (-i) • t
~3 . Resuetvan las sl¡ulentes ecuaciones COil potencias y rafees. Verifiquen el conjunto soludón.
b. ~
l S
---11.
S )
1
--4
S
--2
d l . (lx• -i) - n
·s 4 6 :10
2 1 33
• -xJ +---
• S 4 l2
(
9 6
)¡ 36
f -- -x
•
' S S 2S
_______ f.
.1
!t

AGIVIDADES
EcLJC ones
44. Marquen con una X la solud6n dt la ecuad6n.
J 1 8 3
a. ;¡x -¡ • 2x + S ·-:sO
b .2.. (2-x-.!.) -Hx• lS). ~
• 4 5 10 ~ 8 . 4 ·~O
3 1 19
·-tO
(. -X~--• --
5 3 60
45. Plantfl!n la ec:u1d6n y resuelvan.
17 o • -n ·~O ·-~o
·~O ·-iD ·-:!o
·-~o ·-fO ·tO
a. El área de un triángulo es de 14.7 cm'. S la ahura mide tres quintos de la base, <cuál es la
longitud
de la
bas~ y de la altura?
b. El perímetro de un paralelogramo es de 15,3 cm. Sí un lado mide cuatro quint os de uno de sus
la
dos consecutivos,
<.cual es la longitud de los lados?
46. ~resen como frecclón '1 resuelvan.
~ -;:., ~
a. -(0,2x + 1,3 -0,8,-2.4 . 0.75 • 0,5 d. t,6 • o.B . (O.Jx + 1,25) -(~.6) = 3,f3
b. o.3 • o.íi • o,sx -t,5 -1,25 -o.i6 ~ (7 ' ) -e. 3,6 . ,2x -0,2 • -0.407
c. -(t.25x + 2,'1 . 0,5 -t.6ll) + o.3 • 2,íi f . ..Jo$x-o.l-t.o'S • 1,16
47. Encuentren el error qu~ se cometi6 en las siguientes KUaclones. luego. resu6lvantas en
forma correcta.
_.! (ix _ i) • _S
S 1 4 8
t S t S S
-s . 2x -s . ¡ • -¡
1 1 S
-,.x-¡ • -¡
X • -~ : ( ~)
3
x= ¡
Planteen la e cuación, hallen x y calculen las medidas
de los lados.
Ptl'flneero de acdl • 5S.J un

lntesración
118. Calculen las siguientes potendas y raíces,
siempre que sea posible.
•· Hl'-
~ 1000
•• 34J -
b. H)'- f. J -~ -
c. (u-
~ 62S
1'· -16-
d. Hl .. - H
h. -27-
49. Completen para que se verifiquen las
Igualdades.
a. (-t )0 = -1
~5
c. ( ~ )0. 1
b. 0_]6/o = !
71') 27
50. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) seg6n
corresponda.
a . ..) 1 -1
~ = {[ -J ~ O
c.Jlrt=.J ~~ -t o
d. J 1 • ~ = .Jf + ~o
51. Escriban el cálculo y reuelvan.
a. El cuadrado de la suma entre el opuesto
de ocho novenos y un tercio.
b. la diferencia entre el cuadrado de menos
cinco tercios y la raíz cúbica del producto
entre
un tercio y un noveno c. El producto entre el cubo de la suma entre
un medio y tres cuartos. y el cuadrado del
opuesto
de cuatro tercios.
d.
El cubo del cociente de un quinto y
la
diferencia entre tres quintos y un cuarto.
CONTENIDOS
29· ~ •
52. Resuelvan los cálculos aplicando las pro
piedades, cuando sea posible.
a. (-tl" · Hl' = H)"-
b. (-H' = Ht · (-fl'
c.!Hr · Hll) = Hl'l'
d. IHlT = !H)'J' =
e.(-%+ t)' •
f.[(-tl' · Hll' = !H)'J'
g. ~H)D .
h.~(-!)"-
53. Coloquen corchetes para que se verifiquen
las lrualdades.
L ( !) ' Hl ( ~)' (j)'
56
---81
b. (-t)' Hl HY (j)'
8
27
c. ( !)" Hl HY-(ty
1()1¡
--27
d. (-f)' Hl (-f)' -G)'
8
--9
54. Separen en términos y resuelvan.
.. (-1)' + ..!. . (.!. -.!.)' -
2 25 ' S 3
'· ,}(t -tl · U1 + t) -~ · G + tr' -
d 15 . (~ + .!.)' + 'J-~ . ) í~ -
'98 4 2 n·~·s
e .1(1)·' + _]..!. · ~ + (~) -']· ! + .!. -
'IS 12'3 S S 2
f. ~ -IW '+ .J ~ + 1 + (-~) '1· :0 -
~'------------------------ --
-----fodll __ ,_¡_ __

55. Redondeen 1& respuesta co~
S 3 7
a.
3
x + ¡ • 36
20 19
•x--
9
•x•-.,o
1 43
C.. '\IX + ¡ = U
100 2S
•x•9 • x•li
4
.... --s
1
•• -9
56. Marquen con una X el c6kulo que corres·
ponde a la situación. Luego, resuélvanl&.
Soledad annó souvenitS para su cumpleai'los. El
lunes hizo la octava parte; el manes, tres d•eci
selsavos del total; el mi&coles. nueve décimos
de la cantidad que hizo el primer día; el jueves,
tres medias partes de lo que realizó el martes, y
el viernes hizo los Oltlmos 47 souvenirs. lCuán·
tos souven/rs armó en total? <Cuántos realizó
cada día?
L .!..u l.x + .2.. . .!.x + .! · ..!._. x • 47
8 16 10 8 2 16
b
1
x + .l.x + l..x + 2x + 47 x
• 8 16 10 2
e .!.x + .l.x + l..x + lx + x • 47
. 8 16 10 '
d !X+ .l.x + .2.. . .!.X+ 2 · l.x + 47 • x
• 8 16 10 8 2 16
57. Resuelvan !u siguientes ecu.Jdones.
L _.!. . (.!.x-2) • !
7 2 4 S
(
3S 7) ( 1 3)
b. --sx + 9 : 3 + 2
S 37 . ---
4 24
c. 1 ll + !2 + ix . .! • 1!.
v S 25 S 8 20
d ~ · (L l)'-!x. 1 • ll
"9 4 2 2 3 4
e fT. ~. (.!. _ lx) . U.) • 13
-~7 .J2s 54 ~7 14
o
o
o
o
58. Pl&ntetn y resuelvan.
a. La c.uana pane de un número es tgiJlll a las
tres quintas partes del número, dism•nuido en
el cuadrado de menos un medio. /.Cual es el
número?
b. La diferencia entre los siete tercios de un
número y cinco novenos es Igual al c.ubo del
opuesto de dos tercios. tCuál es el núMero?
c. El producto entre el opuesto de dnco cuartos
v la suma entre la tercera parte de un número v
dos quintos es igual a la quinta parte de la
d1ferencla entre los diez tercios de un número y
quince cuartos. /.Cuál es el número?
d. La dlrerencia entre las dnco cuartas partes
del cuadrado de un número v el inverso de tres
cuartos es 1gual al opuesto de diecisiete quin·
ceavos. /.Cual es el número?
59. Resuelvan !u siguientes ecuaciones con
potenclu y ralees.
a 1 lx _.!. • l
· v 4 2 4
b ~x' + j_ • l
• , 49 7
C. ~ 9 X __ 1_ • _.!
64 l28 8
d
9
• (lx•-l) • _E.
'4 8 2 20
e l.íx + (L !) . (-l) • ~9
• ~ 3 2 70
60. Resuetnn planteando la eculldón corres
pondiente.
L Vlcky
compró un celular y entreaó como sei'\a
las tres séptimas partes del total Al retirarlo.
pagó en ~fedlvo las dnco octavas partes del
resto y los S729 restantes los pagara en cuo
tas KuAI es el precio del celular?
b. Un maratonista recorre cada dla una distan·
cla Igual a un cuarto de lo recomdo el día ante·
rior. SI en tres días recorrió 42 km. lcuántos km
recorrió cada día?
c. Celeste fue al supermercado y compró una
botella de leche a Sll .50 v dos paquetes de
galletitas. Si pagó ron SSO y recibió $8.50 de
vuelto. <cuánto pagó cada paquete d~ galletitas?

61. Resuelvan.
a. Ordenen de mayor a menor los siguientes números racionales.
~ ~ 7 3 13
9; -1.5: -9: -2: ~.78: E
b. Representen en la recta numérica tos números del punto o.
62. Resuelvan las slgulen~s operldones.
•· ~-G • i-t) • H) -H) ~
b. (L l) .
20
+ (l -.!) : .! •
4 ~ J 5 2 5
63. Separen en términos y resuelvan.
J 19 1
a. u-¡ -(-¡. }) -(-tt·
64. Planteen la ecuaci6n y resuelvan.
a. El perlmetro de un cuadrado es 21 cm. ¿(u~nto mide cada lado?
b. Vlctor pstó la quinta parte de su sueldo en comprar unas zapatillas. la tercera parte del
resto la usó para comprar comida y le sobraron $3 648. Kuál es el sueldo de Vlctor?
65. Hallen el valor de x en cada aso.
S ( 17 32) ( 56 7. ) 8
a.-¡¡ ' E' X-25 • -4$ + VX ; iS
3 ~ 7 1 1
b. ¡¡ .
9
x -) •
12

2 Representación de puntos
e1 el pano.
lnterpretaci6n de gr~ r.cos.
f<IIICioofS: lab.as y ~ cos.
Función r•eal.
36 Fuoción de
propordona ldad d'recta.
37 Fuoci6n de
proporcionalidad Inversa.
StTUAC: IOM INICIAl. Df APitliiDIZAIE
1. 0b5efVM la lmagtn y <Huetvan.
L Si lucho le da dos vueltas al plato, <.cuántas vueltas dará el piñón de 24 dientes?
b. 5l lucho conecta el plftOn de 12 drentes, <.cuántas vueltas dará el piñón por cada vuelta del
plato? ¿y por dos vueltas del plato?
c. Si lucho conecta el piñón de 32 dientes. lcuántas vueltas dará el piñón por cada vuelta del
plato? ¿y por dos vueltas del plato?
d. Multipliquen las distintas cantidades de dientes del prñón por las vueltas que da cada uno
cuando el plato gira una vez. ¿Qué significa ese resullado?

Representación de puntos en el plano
Para ubicar puntos en el plano, s~ puede utilizar un sJstema de ejes cartesJanos.
los ejes cartesianos son dos rectas perpendiculares que se interst!Clln en un punto denominado
Ollaen de coordena<las. la recta horizontal recibe el nombre de •1• de las abscisas (eje x). y la recta
.ertlcal, eje de las ordenadas (eje y).
Cada punto queda determinado por dos valores que Forman un par or denado. donde el primer
.alor representa la abscisa y el segundo, la ordenada.
Cuando se rraza un sistema de e¡es cartesianos, el plano queda dividido en 1¡ cuadrantes. El
pnMer cuadrante es aquel donde los puntos tienen abscisa y ordenada positiva. los cuadrantes se
numeran en sentido antihorarlo (contrario a las agujas del reloj).
y
~
ti
~ '
~
•
' l •
•
' • 1
•
o pertenece o pnmer euoc:lrottte (1).
1> pertenoce al Ge9<Jndo GU<:Idrante (U).
e; pertenoce al tercer cuadrottte ~11).
d ~nece oi cuarto cuo<lronte ~V).
1. Respondan y l!llpliquen las respuestas.
o • (0;0) ~ es el origen de coordenadas.
a • (4:1)
b -(-2:3)
e • ( 6: 1)
d -(2:-3)
e
• (0:4)
1 ~nqree, en tt¡IS;/Iglo..gVA:ROI!t' d
podr¡n ~nr 111 •idfo flq)loauvo ~
los cw..ms en los ejes~
"EIIIMt«<tUU>dtl>t\il>llfV"'~""'"'
blli<~ ·goo-«>or*'-1t1>1•n•i copy of-«·61,..
""""' ""'"pWio/Y/quoltlllU<Jf·<oor11'""'" pU ....
a. Cómo se denominan los e¡es de un sistema cartesiano y con qué le tras se los s•mboliza?
b. IPor qu~ cada punto se dice que es un "par ordtmodo'"?
c. /A que cuadrante pertenece el puntos b • (-J;-5)?
~-- ---------------- ---- ----
------,..,. ----1

ACTIVIDADES
Represen 1C on de puntos en el plano
1. Representen los si(U~ntes puntos en un sistema de efes cartesianos.
a • (-1.5:4)
b -(0:-3)
e • (-3;-2)
d = (-5;0)
e-(4;1)
f-(3;-5,5)
g -(0;3)
h-(0;0)
2. Esc ri~n las coordenadas de cada puntD.
~ --
6 -
;
+-
i 1 1
•
1 ¡
...
1 1
r--
~
1
1
b
• '
d
.:¡ ...,~ -
~i ~
r
.-
--
¡--- ~'
4-
e
+ -- r
4
1-1-f-
1
fó-
y
---
,
4--
~.Jo--
l--
1 1 •
-
1 ~ ..; _; _.; o j l J
-
+-'
---+-
'~
h
¿ 1 X
'
1
a·(OOJ
b·(
OOl
c·(OOl
d·(
OOl
e-(0:0)
r-(00)
g-(00)
h-(00)
;
1-
;
4'
--
f-
3. Escriban posibles coordenadas de los puntos, teniendo en cuenta cada condld6n.
f..-~-
1-1.!
1----
1-f-
f-f-
1-
a. Dos puntos a y b que rengan abscisa negatrva y orde nada
positiva.
b. Dos puntos e y d que tengan abscisa cero y ordenada
negativa.
c. Dos puntos e y f, uno que esté sobre el eje x y el otro
sobre el eje y.
a-00) b·O,O)
c-00 d·OO
e·O,O r-00

Interpretación de gráficos
En algunos contextos, los gr~ftcos proporcionan informad6n ~lacionando dos va~ables.
• <Qu~ información proporciona el gráfico?
5d>a eo 16 de fiU C05<l en l>iclcleto y ee ~-6 a la caoo de 5U
c:#.luela. ublct:Jda adncocl.IGldn:~e. En el ~groftco ee
~ ol>oo!var 5U recorriclo.
• CCu6les son las variables que se relacionan? CC6mo
estAn upresadas?
Ulll~60n:tlmtpo(I0'1al>le ~Mte-~
enllll'4Jt0e)ydl5t<h:la~~~""
mofi'05)
• iCu.11es son las variaciones que tiene el gráfiCo?
iQuf slgnifkado tienen?
Al¡p..no& puntoolndicalla po6100nde Seflc¡, el punto a Indico
el ~""que salio de !IU C09<l. y el punto 1¡ que a lo!;
2 :n~nlll.o60VI:I'Il6 100 nmroe. El oróflco~..., = com:~
...,)ICI'f"'k:t~ ~eec;:ontlnua. eedecir. e..~
~la poeiCI6n ""o dc¡o .... n&t4r!tll del rtCOI'I'Ido.
En lllloc<li de ropa depor'tr-<l e.. plll!lde ~ kl5og<.Jiente
rcb::lón entre 1a OáTtldad de remoroe y el preciO
lM ~que se relacoonan 60n: oantoc:lad de remert>5
~lnde~-~enunid~)yl!lpm:io
f.o;ablede~~en~~
t.. OQ1Cible& que se reb:iot itlrt eon: CDITtl<:lad de~
~~).
El~eede pu1t05al!b:loe ~kiGaltldad de~
n» • un tuntrO natut> e& c:teor. no~"' -oor de"-por
cj:n'fllo. 'f"' _,~que 1 y riW10r 'f"' 2
1. Respondan y expUqutn las mpuesus.
-
y D• -¡., 1"0'
i
,
~
Y'
".
'/
b e/ 1
'" t-·
~ 1
1
'o j t ~ i S 6 1 Í t ID
1 1 1 1 ¡r~ ... ¡..;.. .. ,
·--
1000 ~~-· ~-t-t-t-f-f- t-f-t-H
6000· ·-·
5000
~±- --
r-,_ ..
-H8.
--!o
~ i
t 1 1 i ~ i_
1
a. Si se quiere graflcar la cantldad de agua que cayó, debido a las precipítaciones durante los
meses del año 201~. l.cu61es son las variables y en qué eje se puede representar cada una?
11. El gr~fico que relaciona la velocidad de un corredor y el tiempo 1es de trazo continuo o de
puntos aislados?
c. El gr6fico que relaetona la cantidad de hijos por familia en un edificio <es de trazo conti·
nuo o de puntos aislados?
___ , ___ ,_,__

AUIVIDADES
lntf' pretación de gráficos
1¡, Observen la lnfonnac16n que presenta el siguiente gr6fico y respondan.
La municipalidad realizó un estudio para averiguar la cantidad de personas que asistieron (por hora)
a un museo durante un año.
a. i.Cuál es la variable independiente?
N la dependil'llte?
b. lEn qué horario hubo mayor cantidad de
visitas?
c. <Cuántas personas visitaron el museo ese
día?
• •
•
d. lEn cuáles horarios se registró la misma cantidad de visitantes? ----------
e. <Cuántas personas v1sitaron el museo a las 14? ¿y a las 15?
l <.En algún momento no hubo visitas? <.Cuándo? -
g. El gráfico 1es de trazo continuo o de puntos aislados? lPor quH -------·----
h. oe usó la misma escala en los dos ejes? ExpUquen la respuesta.
5. Interpreten el ¡raftco y respondan.
El gráfico relac1ona la cantidad de agua (en litros) que hay en un tanque en un edificio y cómo varia
su capacidad durante 1 hora.
~
L lC.uáles son las variables?
b. lQué cantidad de agua habla al minuto O?
c. lEn qué momento el tanque tiene su máxima
capacidad?
d. lEn algún momento el tanque se vació?
e. lEn q~ momentos ingresa agua al tanque?
r. lEn qu~ momentos sale agua del tanque?
g. lCómo varía la capaddad entre los 20 y los
25 minutos?

Funciones: tablas y gráficos
Un¡ 1ión fS LN rriaciOn eren dos variablts en 13 cal a~ ~lor di! 13 pnlllffil
le oorrespondt un único •<llor de la ~·
La siguiente srtuación corresponde a una función que se representa a través de una tabla y un gnllico.
Una comJ>CI"fa de ntemer ofr!= LM COI1eXiÓ<1 poro el kogar-o$ 1 21o hora
T
Tiempo (en horas) Costo (tll S)
1 12
2 24
3 36
4 48
S 60
T-( o<l
l..s variables que se relacionan son el trernpo (variable independiente) y el costo (V81iable depend'ente).
La relación es función porque para cada valor de la variable tiempo corresponde un único valor
de la variable costo.
La relación tambl~ se puede expresar a trallés de una fórmula. y • 12. x x: r~empo (en horas)
y: Costo (en$)
A5Í:
Port1 una conexión de 5 horo!l.
y•12.x
x~5H Y'" 12 5
y-60
Hoy que pagar $60.
Fbrt1 una conexlóndc 10 ~
y-12 )(
)(a10H y~12.10
y•120
Hoy que paga• $120
lbtl un WEOtode $96.
y~12K
y-96H 96•12.x
96 12•x
8cx
Se util zó por 8 horas
Dominio de la función lon1gen de la función
Est~ formado por todos los valores que
puede tomar ra variable Independiente.
Está formado por todos los valores que
puede tomar la variable dependiente.
1. Respondan y expliquen las respuesta.s.
a. i.La relación que vincula a los habitantes de la Argentina con su número de DNI es una función?
b. En el ejemplo de la compa~la de Internet. dorrna parte del dominio de la fund6n el va or x --2?
c. En la fórmula y • x + 2, <qué valor ti ene y para x a ll?
d. En la fórmula y • -2x, <qué valor tiene x para y = 24?
---f«<lo __ ,. __ , __

ACTMDADES
F dones: tablas y gráficos
M e 11 COII una X los lfAIIcos que representan una fund6n. úpllq~n por qu6 no son fun
dill '-qw q~ sin marcar.
~ ~ ~ ~
y
V
o o o o
a. b. c. d.
2 2 2 2
1 1 1 1
o o o o
-t -1 -t -1
-2 -2 -2 -2
-...-..- - "T 1
1Er'
~
V
ltf llifE
't
1~
fE 1:
.......
L
Ji~ '-
l.-
( ) ( ) (
En un tr!Ancuto rect.1ngulo los ángulos no rectos son a y B .
.. <Cu.to SU!7W1 a y jP. Expresen ~ en función de a.
l .........1
)
b. Calculen las medidaS de beta para valores de a iguales a 300, 45' y 20'
C. l[nt-. Qu6 ll'le<fidas puede Viñar a? ¿y ti'?
J _¡_¡
(
e
1
Erfi
o
)

Integración
8. Representan los slcultntes puntos en un par
de ejes cartesianos.
a • H:2): e • (-1;4): e -(-3:0); g -U:-3):
b-(f:-s): d-(O;l); r-to:-3.5): h-(4,-2):
9. Escriban lB ~ de los puntos que
cumplan con cada conclc.l6ft. Lueso, repres6ntanlos
en un pi( de ejes ca:te'-tos.
a. Cuatro puntos que formen un cuadrado.
b. Tres puntos que formen un triángulo rect6n
gulo.
c. Cuatro puntos que formen un rombo.
~ _. -~.) -l_,o
~~--~-t 1 ~
f-+-i -+-......
u 1
10. Escriban lB coonlenlldas de ca~ punto
teniendo en cuenta la condición.
a. Un punto de abscisa Igual al opuesto de
tres cuartos y order~ada igual a dos.
b. Un punto de abscisa igual a cuatro y orde·
nada Igual al doble del opuesto de tres
med1os.
c. Un punto de abscisa negativa y order~ada ,
un número mayor que el opuesto de tres.
d. Un punto de absdsa mayor que tres y orde
nada Igual a cero.
11. Representan la. puntos en .. per * ..
cartesianos teniendo en cuenta cada ~
d6n.
a. El punto a, para que abcd sea un cuadrado.
b. El punto h, para que ghll sea un trapecio
Isósceles
tffji! m di ~ __.___.
t
d
' ·---+-< l
~ i
:.,.o
~r-
·¡m
•l
b ..,
¡
~ ~ 1
12. Tenpn en cuenta ~ Información del griflco
y respondan.
Arptttlna, ..,. • .,. de PC VL SMot1~
~--~~~~;~~~~~w~~ ,~~~~~~~,~,~-.
-PC -s.w...,.. ..
a. lQué Información proporciona el gr6ñco?
b. i.Cuál es la var~ble dependiente? i'f la
lndepend~nte?
c. lEntre qué a~os ta venta de PC fue mayor
a la de smarrphones?
d. ¿cuántos smarthphanes se vendle·on
aproxi mandamente en el a~o 2012?
""""""---------------CIMlO---

13. Lean atentamente y respondan.
El siguiente gráfico muestra la distancia a una
ciudad de dos autos A y B que vra¡aron por la
misma ruta.
O l. fe10UIAI611"D
"'"i ~
•· aos dos autos salieron del mismo lugar? <En
qué sen!Ldo se desplazan? ~lquen la respuestas.
b. A las 6 horas. ¿cuántos km recorrió el auto
A? ¿y el auto B?
c. ¿cuánto tiempo tardó el auto A en recorrer
30 km? ¿y 60 km?
d. <En qu~ momento se encontraron y a qué
distancia de donde salieron?
14. Completen las siguientes tablas y decidan
cuál de los gráficos corresponde a cada fund6n.
1
a. y • -x
2
o
b. f W • -Jx'
o
o
15.
Marquen con una X el rr4fico que corres·
ponde a la sltu.ac.16n.
(a1'1lla sale de su casa en bicrcleta, avanza
10 cuadras y se detiene en un quiosco 2 minu·
tos, luego da -.uelta y recorre 2 cuadras para
buscar un libro en la casa de una amiga. donde
se queda otros 3 minutos y vuelve a su casa
Opción A
o
Opción B
o
16. Observen el gráfico y escriban V (Verdadero)
o F (hlso). Expliquen las respuestas.
a. El punto e tiene coordenadas (-2; ~ ). O
b. El dominio de la función está formado por los
valores de x entre -5 y 1, in urdos. O
c. El punto o tiene valor de abscisa 4 para
y ·-3. o
d. El punto d tiene ordenada nula. O
e. la mageo-.:le a función está formada por
los valores entre -3 y S, incluidos. O

Función lineal
Una fundón es lineal cuando su fórmula es·
L...,. a es un número que representa la pendiente.
V •
ax •
b f" b es un número que representa la ordenada al orl~n
Las siguientes fuociones son lineales.
y•x+3
a = 1
b-3
y
3. X
a= 3
b•O
y=8-4.x
a • -4
b•S
Para representar una función lineal en un par de ejes cartesianos, se pueden seguir estos pasas.
• Se arma una tabla de valores. Se etigen algunos valores de la vanabte 1ndependiente JC. Dos
como mínimo para determinar la recta.
• Se reemplaza cada valor de x en la fórmula para obtener el valor de la variable dependrentc y.
• Se representan los valores de x e y en un par de ejes cartesianos.
Se representa la (und6n y • -2x • J
Podemos tener en cuento que y • ((11.}
Entonces, se puede escribir: f{ll.) • -2x • 3
X y. -2Jc + 3
-2 -2 . ( 2) + 3 = 7
-1 -2 . ( 1) + 3 • 5
o -2 . o+ 3 = 3
1 -2 1 + 3 -1
2
-2
2 + 3--1
y
la representación grafr¡¡¡ de una función lineal da como resultado una recu
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La función y -x
1
+ 1, les una función lineal?
•
b. lCutl es el valor de la pendiente y el de la ordenada al origen en la funcrón lineal y • tx?
c. En la gráfica de la función y • -2x • 3, d!n qué punto interseca la recta al efe y?
d. Tengan en cuenta la gráfica de la tund6n y • Jx. d!n qué punto interseca La recta al eje y?
---------------C..ro , __ , __ , __

ACTIVIDADES
Función lineal
17. Para tada función, completen la tabla de valores. Luep, gn~flquenla en los ejes cartesianos.
a. b. c. d.
-.!.
2
-3 -1
o o -1 1
y r-
1 y
r , ,-
l
y
1 1 1 ' • 1 .,. '
1 2 '
! r,
r-
1-·-
1 1,_ r-L
1 ! .1
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-3 -i ., ¡ 4. o
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¡_;.
~
-2
4 ~
1
1
r-
1 1
18. Completen la tabla.
Fundón Pl.>ná- Otdenada al origm
rw--o.sx + 5
3
g(x} • -x + -
2
h(x) • -lx
2
iW • -3 + 2x
19. Graflquen las funciones de la actividad anterior en el par de ejes cartesianos.
,
1
1
1~
!
·•·
1-1- 1- ·-1-· ·---
1-H 1-
f-·-
t ~
1- l ·-·
f- 1- 5
.. 1- 1
.S
~
l l 1 1 1 •
~-i.s ~-:l.s -S 1-( S ( ( 5 ~ } 2,S ~ 3 5 5 5Í$ X
'
'

ACTIVIDADES
Función lineal
20. Escrib"' la tetra de la fórmula que corresponde a cada Jfáflco.
1
a. V • -x + 2
2
b. V • -3x + 2 d. X • -3
e. y • 3x
f. y = -3x-3
.,..-.--_.__o y
iiAJi ~
21. Tensan en cuente la llttlvldad anterior y respon!Un e les siguientes prepntlls.
a. tTodas las fórmulas corresponden a una función? Expliquen la respuesta.
b. <.Hay rettas que sean paretalas entres si? Kómo son sus P4!ndientes?
c. Kuál es la pendiente de la recta paralela al eje Jt?
d. En las fórmulas b y {. ¿qué signo tiene la pendiente? ¿Qué caractelistica tienen las grAneas?
--------------"'"" ft<tw--1--'--
,.
•

ACTIVIDADES
Fundón lineal
22. Lean atentamente y resuelvan.
1m
En una heladerfa venden el kilo de helado a $156.
a. Completen la tabla.
2 3 3,5 4 7
b. Escriban la fbrmula de la funtl6n que per·
mite calcular el precio (y) para distintas canti·
dades de helado W.
e:. Representen la función en un par de ej es
cartesianos
23. Interpreten el gráfico y respondan.
,~,
y' '
1
l 1
1
!
1 t -¡-;_
¡.. -
56
l
o l
L._,
'
1
'
_l
1 1
·--· ·--·-t-
~ ·-·-
i'l~l $ 9
""'"''1' •• ,...._ ( f.¡ -
En el gráfico se muestra cómo va descendiendo la temperatura de un cohete a medida que
aumenta su altura.
a. Kuál era la temperatura al metro O?
b. Kuántos metros re<orrió cuando la tempe<atura
llegó a 40?
e:. Según el comportamiento del grtifico, <en algún
momento la temperatura llegará a O? iPor qué?
1
y
lt_
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1-
10
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......
1-
1
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¡-....:.
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~
r-... ¡....
¡
• •
~ ¡ 4 ~ 6
• • ! t.oi.Gort (•i'""
Dados los puntos a • (-2;-1) y b • (-3;-1,5), (qué relación e>Uste entre la abscisa y la ordenada?
Escriban la fórmula de una recta que incluya esos puntos.
: . • . ·. ~·· ~~ ..... ..iilio........ """'~~····liliiiirlroi¡¡¡; ¡¡.., ~-~

Prog,.mas y softw¡¡ra educativos
Para esta propuesta, pueden usar d•fertnt es programas gratuitos (o software) de matemática
como el Geogebra o Graph. A través de los siguient es enlaces, pueden acceder a estos programas
y a sus rutoriales
Programa Descripción Enlaces gratuitos de descarga
~ Programa interactivo de facll https://www.geogebra.or¡}
aprendizaje, que puede util zarse para download?lang=es
graficar ecuaciones y funciones, para http://www.geogebra.org/manuaVes/
realizar construcciones geométricas Tutonales
dinámicas o estáticas, para conectar
sfmbolos algeb
raicos
wn gráficas
geométricas, etc.
OHmetal Programa de geometría d10ámlca https://carmetal.uptodown.com/Windows
escnto en Java que permite reahzar hrtp:/fcarmetal.orgfi ndex.php/es/lutori els-3
construcc•ones geométricas, interactuar
con ellas moviéndol as o
modlflcOndolas, haciendo que las
relaciones geométricas se mantengan.
Antes de hacer construcciones es reco'Tlendable que hagan un recorrido por as diferentes opcio·
nes que bnnda e menú de cada programa.
Función de proporcionalidad directa
Si bien ti:Jdollos ,rQQI'II""M "'ft~Cionados sintft ~~. (ti llfli prctp.a"U. para fiel ur ~ f')~IO(I tos p.i:Wi dftl¡ ... I'SÚt
-"' ........... -(11 Goagolnly--.... ""'~ ··-""'" ......
Fund6n lineal
Para graficar un.~ función lineal, se pueden seguir los siguientes pasos.
Tengan en cuenta los datos de la tabla y representen lo (uncí6n lineal
·m·
·1 -1
·1 _,
' -1
1 1
1 S
• Se abre un archivo nuevo del programa elegido y, en "Editar ejes• se configuran para que
aparezcan los números de la tabla (o se desplazan la vista grAfica con el moust). También es
importa-te que quede
selecc·onada la
opción "Mostrar cuadricula".
___ ffW __ , __ .• __

..... ,.~ ~~ ........
- f:i j!il-••.
.... ~·· lt-... ,..· ..., __ , ·~ ,..._.-
....,. ........... , r!!!~ 2. .................
e--
~ ........ o-.. ...... _ .......
c ... - -
• Se selecciona "Insertar serie de puntos", se completa con los
valores de la tabla propuesta y se "acept a" (o bien, en la Barra
de entrada se es criben las coordenadas de los puntos teniendo
en cuenta
de separarlos con
"coma", por ejemplo (-2,-7) y se da
"Enter").
• Se selecciona "Insertar
línea de tendenci a" y se
elige "lineal" (o "recta•,
seleccionando dos puntos
y se acepta).
-
.. ---
..... _ ..
....... :
~ .... t
$
2
l
... , -· 1
-2
-3
•-"
-5
t ~
Aclan:~c16n : hocíen c:lo clíc oerecho &e at>re el menú contextool oe60e el coolse puec:len comblar
l
a$ pr-,/'/JI'IltlciC15
o oopecro& de la recta y/o los punta&, ya &eCI color. gro&or. nombre, etc.
Otra opción para graficar esta función es la siguiente:
• Se escribe •y • 3x -1" en la Barra de emrada, sin espacio ni punto entre el 3 y la x (o n el
menú "Función", "Insertar función").
• Se cliquea "Enter" o "Aceptar" y aparece graficada la funCión.
J. Grafiquen cada función en un color distinto usando alguno de los proce dimientos vistos.
a. y • 5 X -3 b. y • -X + 4 C. y = 2X + 1
2. Verifiquen los resultados de la actividad 17 de la página 124 usando alguno de los procedi
mientos aprendidos.

Función de proporcionalidad directa
Dos val1ables son dftctlmente propordonales cuando et cociente entre las cantidades que se corres·
ponclen es constante. El número que se obtiene al dividir las cantlclacles se denomina constante de
propol"donalldad (k).
Un automóvil se d~plaza a ve(()Cidad corotortte
x: t.empo ~=> y: d•stancla (m•tro•)
o o
o.s 15
1 30
2 60
~1 5: 0,5-30
~ 30:1 =30
~60 ·2-30
y:x•30
y • 30 X ~ F6im<Jio tk 14
{ur>c.rón.
la representacl6n sr6Rca de cantidades directa·
mente proporcionales da como resultado un
conjunto de puntos alineados sobre una recta
que pasa por el origen de coordenadas.
l. lnqres<>n en ~IIP' //qoo.gVR6vpiA' donde podran
observJr cómo Vdlli l~ representadón dt una
fuoc ón (e croport onoliddd ér·ecta al ambiilr
IU fómu.¡
1. Respondan y expliquen las respu15tu.
a. En las siguientes funciones, <cual es la constante de proporcionalidad directa?
1
f(x) • -2x; g(x) • 4x; h(x) --zx. l(x) -x
b. La fundón y • 1x + 3, les una función de proporcionalidad directa?
c. En un negocio venden la caja de bombones a $300, pero si se llevan 2 cajas, el precio es
$250. la situación es de proporcionalidad directa.
~------------------------ --
-----F«!!f __ , __ (. __ _

ACTIVIDADES
Funcl6n de proporcionalidad directa
Indiquen en cu61 tabla hay una shuad6n de proporcionalidad directa. En doncle corTesponde,
escriban la consllnte de proporclo naUdad y la fórmula de la fundón.
~ ~ ~ L
-3
1 3 -1 2 1
2 4
S -1S 5 10 4 2 3 3
25. Matquu con una X los Pflcos que COITespond• a una función de propordonalldlld clirecll.
E.solban la consllnte de propon:lonaldlld y la f6nnula en los Jlifkos que colocaron la cruz.
~o k· _y-_ b.o k·_y-_ c. O k·_y-_
~~~~f~ ,_.: ll
j
J
26. Lean etenlamente y resuelvan.
Un repostero prepara mermelada y la envasa en frascos de distintos tamallos. Por ejemplo, para
envasar 250 g de mermelada. necesita un frasco de 200 cm'.
a. Completen la tabla teniendo en cuenta que existe una relación de proporcionalidad directa.
so 2000 125
125 1000 625
b. Escriban la fórmula que permite calcular la cantidad de mermelada (y) en fund6n de la capa·
cidad del frasco (x).
27. lean atentamente y resuelvan
Macarena quiere preparar un budfn de banana. Para hacerlo necesita los siguientes ingredientes:
S huevos. 250 g de manteca, 300 g de harina leudante, S bananas maduras, 150 g de alúcar y
200 g de nueces.
L Si en su casa solo cuenta con 100 g de manteca, ¿q~ cantidad del resto de los ingredientes
debe utilizar para preparar el budfn?
b. Su mamá, antes de que comience con la preparación, le asegura que la cantidad de manteca
es directamente proporcional con la cantidad de cada uno de los otros ingredientes. ¿(s cierto
lo que dice? <Por qué?

Fund6n de proporcionalidad Inversa
~- doS Mil
Dos variables son Inversamente propordonalts cuando el produ cto entre los valores que se
corresponden es constante. El nQmero que se obtiene al multiplicar las cantidades se denomina
constente de proporcionalidad (li).
La medlclo de la baeo de un rect:ó ~ulo de órea 40 cm' e5 lnvereomente proporcional a lo mear
da de la Clltun:L
X: bO\P del y: altura d~t
rectángulo (en cm) recUn11ulo (en cm)
1 40
2 20
4 10
1. Respondan y expliquen las respuestas.
Ht.40•40
H2.20•40 x.y-40
H 4 10 = 40 y. 40 t--i F6mlula «
" la {un66n.
la representación gráfica de cantidades inver·
samenle proporCionales da como resultado una
curva llamada hlpM,ola equi~Atera.
L lng'N!I en~~~ · cb1de
pocll1n obseMr c61no ,qna LJ f!lll~~
tión de UN m Ión de proporCional ~d
lnver~ ..t cambiar su I0111VJI&
e. En las siguientes funciones, (LU.11es son de proporcionalidad inversa? lCuAl es la constante
de proporcronalldad i nversa?
{(11) =
10
; g(ll) -4x: h(ll) = .!.; 1(11) • I
A X •
b. la func1ón y = ~· les una función de propontionalldad Inversa?
c. El lado de un tri6ngulo equilátero y su penmetro, <se relacionan de forma inversamente
~------------ ------ --------- -----•--l----1----

ACTIVIDADES
Funtiór d proporclonaUdad inversa
28. Indiqu en er1 cuál 18bla hay una situadón de propordonalldad lnv..-sa. En donde corresponde,
escriban la constante dt propordona6 dad y la fórmula de la función.
••
b. c. d •
2 S
9 -1 -2 10 15
-2 -s 7 1 l. S
S 7 14 3 2
29. Hallen la constante dt proporclonaUdacl inversa y la fórmula que comspondt a cada grifica.
.. ______ _
y
6
S
30. lean atentamente y resuelvan.
b, _____ _
y
L
-5

-
1'"
--+
1'-....
•
l "
l ! ) 4
'
e, ______ _
y
3
"-
1-1 2
r K
1
'
--¡
7 1 L'
1 7 , 4 S
~
a. Sebastián y Lili salen de via¡e. SI el micro recorrió un tramo del trayecto con una velocidad
de 85 km/h en 4 horas. /.cuánto hubiese tardado despladndose a 100 km/h?
b. Ariet debe dis~ar tarjetas rectangulares que tengan un área de 36 cm'. lCuánto medirá la
altura si la base es de 15 cm? N si es de 18 cm?
c. Una secretaria tardó 15 minutos en copiar un texto en una computadora. SI su promedio es
de 45 palabras por minuto, /.cuántas palabras tendt'i todo el tuto? <Cuánto tardarla en copiar el
mismo texto si su promedio fuera de 40 palabras por minuto?

lntesración
31. Tenpn en cuenta la fórmula de ca9 fun·
d6n Uneal y complet~ .
L {(x) • X+ 6
La pendiente es O y la ordenada es O.
b. g(lf) • .!.x -5
2
La pendiente es O y la ordenada es O.
c. h(x) -?. -2x
2
la pendiente es O y la ordenada es O.
d. i(x) -tX+ k
la pendiente es O v la ordenada es O
32. Grallqu~ las siguientes funciones.
1 1
Ly•-X+) d.y•3lt-l g. y-.,x-2
2
)
b. y-¡x-S e.y•-x+3 h.. y 2x + 1
c. y • 0.25x f.y•3x-8 l. y • l.Sx + 2
33. Matquen con una ll c~l o cuáles de los
siguientes srfftcos corresponden & une fulld6n
Uneal
L
b.
o
c.
o
CONTENIDOS
35·36· 1
34. EscribAn la fund6n de proporclonetided
directA da ceda tllbl&.
35. Escr1b&n dlrect. o lnv.rs&, ser~n corres·
ponda en cada situación.
a. El lado de un rectAngulo y su prometro.
b. La velocidad de un auto y el t~mpo que tarda
en realizar cieno traye<to.
c. La cantidad de productos y el precio que se
debe pagar
d. La cantidad de máquinas iguales y el tiempo
que tardan en empaquetar una determinada
producción.
e. La altura de una persona y su peso.
36. Resu~nn.
a. Una máquina Imprime 4 páginas cada 3 minu
tos. <CuAntas págmas lmpñmirá en 2 horas?
b. En una receta, cada 250 g de manteca se
necesitan 4 cucharadas de azúcar. Kuántas
cucharadas de azOcar se necesitarAn para
2 000 g de manteca?
c. Un Nilo de 3 años pesa 20 kg. lCuánto pesará
a los 18 anos?
d. Un avión tarda 2 horas en Uegar a una ciudad
cuanclo viaja a una velocidad de 450 kn1/11. iA
qu~ velocidad deberla trasladaJSe para hacer el
mismo trayecto en 1 hora y media?
37. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).
Expliqu en las fMPUHia$.
a. La gr¡!fica de una flmcJón de proporcionalidad
il'lllel53 es una re<:LI. O
b. La ordenada al origen de ooa función de propor·
cionltidad di~ siempre es cero. O
c. La constante de propordonatidad in~ se
obdene multiplicando los valoo5 que se comspon·
den oe las variableS. O
d. La consta"te ~pordona!idad a veas es Wl
niJmero entero. U
Nambrr'---------------C•IO---'«N--l--1--
•

38. Resuelvan.
Una empresa de telefonia celular cobra a sus
clientes una suma fija de $150 más $0.005 el
minuto
de datos
móviles (4G). la expresión
para con ocer el precio en función del tiempo
es P(t) s 0,005t + 150.
a. Completen la tabla.
b.
Escriban la fórmula que relaciona el tiempo
en función del precio.
c. la relación entre tiempo y precio ies de
propor
cionalidad?
~. Tengan en cuenta la situación y completen
la tabla.
En una heladeña se vende el kilo de helado a
$180. Cada 3 kg de helado que se compra, se
hace un 20 % de descuento sobre el total de
esa compra.
Cantidad
Total a
Total a
(en kg)
pagar sin Deswento
descuento
pagar
8
14
20
30
l¡(), Observen el sl«ulente gráfico
y respondan.
y
,.....-
·-- <1
-
3 -
1 '
-·--
¡
......
.........
r
,..;.,.--
----
--' .
......, o ¡ ) 4 •
l '
1 1
a. lEs una función de proporcionalidad di reaa?
b. Kuál es el valor de la ordenada al origen?
c. Kuál es el valor de x para y = (P.
d. lEI punto (3;2) perten ece a la recta?
41. Resuelvan.
Vicente debe llenar un tanque de 30 litros.
Dispone de tres recipientes con capacidades.
Recipiente A: Recipiente 8: Recipiente C:
0,25 1 0,5 1 1,5 t
a. Kuántas veces debe llenar cada recipiente
para completar el tanque?
b. ¿qué tipo de proporcionalidad hay entre la
capacidad del recipiente y la cantidad de veces
que debe ser llenado?
42. Observen el gráfico y respondan.
V
1
1
1
-1-
\.
~
1
1 l
o
i ~ u •
-
-
a. <Cómo se denomina la gráfica?
b. <Cuál es el valor de y para x = 1?
c. El gráfico linterseca a alguno de los ejes?
d. Kuál es el valor de x para y = 1?
43. Lean atentamente y resuelvan.
Una escueta organiza una excursión para los
alumnos de segundo año. El dueño del micro
cobrará $3 600 por el viaje, independiente·
mente de la cantidad de pasajeros que trans·
porte.
a. Completen la tabla donde se consideran
distintas cantid ades de pasajeros.
15 18 40
100 80
b. LEs una relación de proporcionalidad? We
qué tipo?

44. Obs.rven el srilko y '"I'Ondan.
El siguiente gráflco co~onde a un mtdidor de temperatura de la e<~ldera de una mina.
L K~l fue la mayor temperatura que se regls v
tró? N la menor? __
b. <En qué momento la temperatura se mantu
vo constante?
c. En qué momento la temperatura fue de 37 "C?
d. <Qué ocurrió a la hora O?
45. lean a~ntamenta y rwsuelv111.
Dos móviles A y 8 se encuentran a oerta distancia de la ciudad de Puerto de Palos. Inician un
recorrido rumbo a esa ciudad por la misma ruta
L iA qué distancia de la ciudad de Puerto de
Palos se encontraba el móvil A cuando inició su
reconlcfo? N el m6vR 8?
b. lCuánto tardó cada móvol en llegar a la du
dad de Puerto de Palos?
H,----
t-f-c. iEn Qwé momento los m6ollles w encuen!ran?
iA qu~ distancia de la ciudad de Puerto de Palos'
d. KuMI!o t>empo estuvo detentdo el móv~ !(!
N el móvU 8'
e. <Qué distancia habla entre los móviles luego
de las dos horas de llaber iniWdo el reconldo?
46. Tenpn en cuenta lu alplenlu fórmulas y resuetn11.
6
rW•
X
1
h(ll) • -a
2
l(ll) • 4
L En sus e<~rpetas, realia!n una tabla de valores para cada fórmula. luego graflquenlas e indiquen
c~les son funciones. _ _
b. ¿c~les de las funciones anteriores son de proporcionalidad directa? N de proporcoonalldad
inversa?_

CONTENIDOS
l8. Eltmtntos furdamenlales
de la geomelrla.
Circunferencia y cfrculo.
'9 Posiciones relatwas de dos
rectas. Medialnz.
40 Angulos. Sistema
sexagesimal.
41 Angulos consruenles
Bisectriz.
42. aasiijc<~CI6n de ~ngulos.
43. Mgulos determinados por
dos nectas y una
transversal.
StTUACI~ INICIAL DE AI'RlNDIL\IE
1. Observen l.a Imagen y resuelvan.
Maleo y Tomás propusieron dos formas distintas de colocar dos faroles y un banco en una plaza.
a. Con color amarillo piolaron los sectores que deben iluminar los farolts. K6mo se llaman las
figuras que representan esos sectores?
b. K6mo se llaman las flguras que representan el alcance máximo de los faroles?
c. <En cuál esquema se ilumina más superficie?
d. Si una persona quiere ir a leer un libro a la plaza y una de las lampantas se quemó (no se
sabe cuáO. ¿qué esquema convendrla elegir?

Elementos fundamentales de la geometría. Circunferencia y árculo
los tres elementos fundamentales de la geometrfa son el punto, la recta y el p~n o.
• los puntos se pueden nombrar con letras mlnCJsculas: a, b y c.
• las rectas se pueden nombrar con letras mayúsculas: R .
• los planos se pueden nombrar con letras del alfabeto griego: a.
Segmento y semirrecta
'
A d
)
o
A
'
-)
cd se lee: "segmento cd". Qt se lee: •semirrecta de origen o
que contiene al punto e".
Circunferencia y círculo
Se denomina lugar geomfbtco al conjunto de puntos que cumplen una condición.
Una drcunferen~ es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que se encuentran a 1gual
distancia de otro llamado centro.
Un circulo es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que se encuentran a una distan
cla menor o Igual al centro.
• Radio: seamento que tiene por extremos el centro y un punto cualquiera de 1.1 drru!Wrenoa
• Cuerda: segmento que tiene por e..tre'!los dos puntos de la dr·
cunferencia.
• Dlimetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
• Arco: parte de la circunferencia determinoida por dos puntos de La
mrsma. Por ejemplo, árn.
• An~lo central: es el que tietle como vértice al centro de ~ circun
ferencia. Por ejemplo, a.
• Sector clrcu~r: es la reglón del ángulo central que está 1nd da
en el cfrculo.
t. Respondan y expliquen las respuestas.
a. lCu~ntas rectas pasan por un punto a?
b. <.Cuántas rectas pasan por dos puntos a y b?
c. iCuántos puntos determinan un plano?
d.
En todo círculo o circunferencia,
<siempre el diámetro es igual a dos rad1os?
______ , __ , __

ACTIVIDADES
Elementos fundamentales de la geometña. Orcunferenda y órculo
a.ab
-+
b. de
-+
c. be
d.cd
2. Realicen las siguientes construa:iones.
a. Un arco de circunferencia que corresponda
a un ~ngulo central de 90' y rad1o 2.4 cm.
1 o
·-·
' r-
f·-f-f~ ·-
1 1
¡--¡-·-
¡-f-·
--
3. Dibujen en una hoja aptrte y respondan.
b. Una circunferencia de di~metro 4,8 cm y
un ángulo central de 120'.
-- -r-
·-·
~
r-
r-·
..
f-
·-~·'-
Tracen un segmento ab • 5 cm. Tracen con centro en o una circunferencia de 3 cm de radio.
a. Ku~to debe med1r el radio de una circunferencia de centro b para que ambas c~tcun~encias
sean secantes?
b. ¿cuanto debe medir una circunferencia de centro b para que sean tangentes?
c. tcu~nto debe medir el diámetro de una circunferencia de centro b para que pase por o?
•· Resuelvan.
Tracen todos los puntos que estén a 2 cm de diStancia de o y de b a la vez. tCuántos son?
•
b

Posiciones relativas de dos rectas. Mediatriz
Posklones relativas de dos redas
A//8 A.LB
Mediatrlz de un segmento
1
1
1
L.
,,;---l7 A
A .lB
la medlltltz de un segmento es la recta perpendiwlar que lo corta en su punto medio. Cada
punto de la mediatriz equidista de los extremos del seamento.
Para trazar la mediatriz (Mz) de un segmento
ab, se toma et compás con una abertura mayor
que la mitad del segmento y, con centro en el
punto o, se traza una circunferencia. Lueao, sin
modlftcar la abertura del compás, se repite el pro·
cedimiento con centro en et punto b.
Para finalizar. se dibuja la recta que pasa por
las intersecdones de ambas circunferencias.
1. RespondM y upllqu.n las respuestas.
a. Cuando dos rectas se intersecan en un mismo plano, icuántos ángulos forman? <Cómo son
esos ángulos cuandos las rectas son perpendlwlares?
b.
Dos rectas que no se intersecan, lsiempre son
paralelas?
c. i.Qué signiRca la expresión "cada punto de la mediat11z equidista de los extremos del seg·
mento'?
---F«~»--1-- /.--
•

Ángulos. Sistema se.xageslmal
~ S
Un ángulo es la región del plano determi nada por dos semirrectas que tienen el m•smo orlge
Para nombrar un éngulo se puede utltizar una de las siguientes formas:
• aob, se escribe el vértice en ~ medio;
• o se escr1be solo el v~rtke;
• ii se escribe una let ra griega.
El sistema sexaa'eslmal se usa para escr1blr medidas de ángulos.
Para la mediáOn de ángulos, se utiliza el slstama seureslmal, en el cual un giro completo está
dividido en 360 partes iguales y cada una de esas partes se denomina grado.
Minuto se~tagesl mal: t' • ~ de t•
43'
+ 5'
M!Ci6n
38' 45"
24' 32"
4-8' 62' 77"
1 ~ ;o·
4-8' 63' 17'
l ~ X,
49' 3 1T
MultlpUcad6n d~ un dnguro por un número n<llU!III
31' 15 4
. 4
124' 60 16"
.;a
125' a 16"
1. Respondan y expUquen las respuestu.
a. iA qué es Igual el doble de 90'?
b. iA qué es Igual la tercera parte de 1100?
c. lCu~ntos mmutos hay en 300"?
Segundo sexagesimal: 1" • :o de 1'
Sustrocddn
~";'
~
19' 21 18"
15' :38' 42'
DMsl(m ~ un dngu/o por un número noturt>l
46' 8' 15"
13 ..
15' 22' 45'
, .
68' 135"
66
< .,.,
?.' o·
1
---------------Curso ft<hl--~-- ~--

1~
a
1
ACTIVIDADES
Ángulos. Sf<..tPma sexagesimal
UnM con ll8cha los c61c.ulo5 que dan el mismo ruulbdo.
a. 43' 20' 31" + 16° 20' 53" •
b. s6• 53' 20" -so• 20· 36" -
c. 15' 26' 39" . 3 -
el. 80' 52' 32" : 4 -
• 5S" 25' 36" -38" u· 28~ -
• 25' 31' SO'' + 20' 48' 7" -
• 29" SO' 42" . 2 -
• 146' 10' 56" : 4 -
• 101' S' .o" : S •
lL Tenpn en cuenta el Yllor de los inJU(os y resuelv1111.
•. a.~ -Y-
R ~ A
c. 2 . (¡> + al -y •
b. s~ -« , 2 - d. {y -~) . 3-
12. Planteen el álculo y resuelv1n.
a. El doble de la suma entre 132" so· y 29' 31'.
b.
la diferencia entre 148' 53' y
la mitad de 52" 30'.
c. El triple de 24' 51' 30~. aumentado en 1300 25' 30".
13. Completen p;~ra que M vertflquen las i~U~Idldes .
a. 24' n· + ( 1-600 c. 42" so· . (.._ ___ ___¡1-171' 20'
b. 900 -( 1-30' 20'
'-----..J
d. 3 . ( 1-115' 20' 18"
'------'
.......,. lltlltl.i5 ~-~ .... ~- ............

Ángulos congruentes. Bisectriz
Ángulos congruentes
Para construir un ingulo congruente a uno lbdo, pueden seguir e~tos pnos:
1. Con centro en o (vértice del
ángulo dato), se dibuja un
arco de tal forma que que
den determinados los pun·
tos a y b.
Bis«triz de un Hgulo
)
2. Con la misma abertura y con
centro fl1 e4 Olfgen o' de una
semirrecta. se dlbula un arco
de tal forma que quede
determinado el punto o'.
l. Con el compás ~e toma la
medida de áb (del éngulo
dato) y con centro en a' se
corta al arco anteroor en b'.
Se dibuJa ~ para formar e4
ángulo.
Se denomina blstctriz de un ángulo a la semirrecta que lo divide en dos jngulos congruentes.
Para trazar la bisectriz, pueden seguir e~tos pasos:
Con centro en o, se traza un arco que corte a los dos
lados del ángulo en los puntos o y b.
2. Con la misma abertura y con centro en o se traza
un arco; luego con centro en b se traza otro arco
que corte al anterior, por ejemplo, en p .
....
l. Se dibuja la semirrecta op, que es la bisectriz (se
escribe 82).
1.1ng:estn en ~~w. · pm obser\-or 11 cOIIS1JU<Iión df 11 bo=yen tcy,://rp:¡.gi/YJ H"
par;¡ ob~M~~r cómo ll! relacion.ln los ~os lonNdos al construir 11 bi\e<tril.
lftul-olt'IQisl,-lll"l""' ~~""~~
l. Respondan y expliquen lu rupuest3s.
L La bisectriZ de un ingu(O <es un segmento o una semirrecta?
b. Si se traza la bisectriz de un 3ngulo de 180". lcwnto miele cada ángulo que queda determinado?
c. SI se traza la bisectriz de un ángulo de XI' 10', lcuánto mide cada ángulo que queda formado?
~----- -------- ------""'"--'-1--

ACTIVIDADES
Ángulos congruentes. Bisectriz
14. Tracen la bisectriz de cada ángulo.
..
+--
r
¡} i

-
f--r-
1 1
\I/
:
b •
! '
! --+
I
r-r-
~ -
·-r
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1_
,..:
......_._
~ r--)_ ~--
:
~ V< /
1
V
! k
15. Completen el ingulo, teniendo en cuenta que it es la bisectriz y ab, uno de los lados.
~ ~
!·
1 1 f-
f-
\v
r-
--
Vr-
f-
¡~ --
1 •
r- -
·--
1 b 1
~
____.
"' r--
e
-
---
~t
r-
--
16. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas en donde escribieron F.
a. la bisectriz de un ángulo obtuso determina dos ángulos cóncavos. O
b. La bisectriz de un ángulo agudo determina dos ángulos obtusos. O
c. la bisectriz de un ángulo obtuso determina dos ángulos agudos. O
d. La bisectriz de un ángulo agudo determina dos ángulos agudos. O
e. la bisectriz de un ángulo c.óncavo determina dos ángulos convexos. O
17. Calculen el valor de cada ángulo.
a. a -3x -10"; ~ -2• + 5
X = ( 1
a=(>=====<)
~ -(..___...JI
b. 8 = 7x -90"; oo = 4x + 21"
X •1 1
::====<
íl -( 1
::===::::::
;;; -('----Jl
--·
··-
~
-

18. Rullcen ~ consti'U<d6n y respondan.
a. Dibujen en una hoja, ab de 4 cm y una clr·
cunrerencia con centro en a y radio de 2 cm.
b. i.Cómo debe ser el radío de la clrcunferen·
cia de centro b para que íntersequc a la de
centro a en dos puntos?
c. iC6mo debe ser el radío de la circunreren·
cía de centro b para que ínterseque a la de
centro a en un punto?
d. i.C6mo debe ser el radio de la círcunferen·
da de centro b para que no lnterseque a la
de centro o?
19. Observen el cuerpo y completen con "para·
lelu", "perpendlcu"r•s" o "alabeadas".
[>---------P
~ la arista reja v la l1fSill son ( l
~-;==L--..
b. la ansta violeta y la verde clara son ( J.
;::..:....:.~:---J
c. la a~sta azul y la ro¡a son ( l
d. Las aristas verde oscura y reja son ( l
;::..::.:.:...==-----.....;
e. la arista roja y la rosa son ( l
20. Observen el griflco y completen con ~, .L
o /J.
e.oQs
f.oQF
r.oQc
h.cQE
CONTENIDOS
~ .• 39-4l ••
21. Consbuyan en una hoja hl los H~~Mt•
pedidos y luego tracen sus medletrices.
a. ab • 6 an
b. cd • 3,4 cm
c. ae-7 cm
d. el 6;7 cm
22. Calculen la lonsttud de tos segmentos.
L
b.
c.
d.
Mz
8
23. Resuelvan los dtcutos combinados.
a -s3· 2o· n ..
A
t' 88 4"
~ 18" 20' ñ -30" 1' 31"
b. <ít -~> . s • a •
c. (Í: • t) -(éi -~) -
d. (2 . i + ~ : 2) . 3 -
---f«ho __ , __ , __
1 1

24. Copien los sl~le'ltes '11111105 en una bojl 26. C.lculen 11 medida de los iniiJios.
Usa. Lueso, traun 11 biMdriz. a.
L
b.
c.
d.
e.
25. Calculen 11 medida 1M p y t.
L
a -41)0 3' 6''
~ -éi : 2 • 10" 5"
b.
;,;, es Bz de &
~
a 48" 30' 52"
a • Sx-9'
~
~ • 2x + 18'
b.
y • 7x
8 • )X+ 52"
c.
' • X + 12°
ro-4x + )6•
27. Escriban V (Verdadero) o f (falso).
Expliquen lis respuestas en donde escribieron F.
a. Los puntos de la mediatrlz de un
segmento equidistan de los extremos.
b. Un grado sexageslmal equivale a
60 segundos sexagesimales.
c. Un minuto sexagesimal equivale a
60 secundos sexagesimales.
d .. a b•sectriz es perpendicular al ses
mento.
28. Pllnteen los dkulos y resuelvan.
u -30D 20'; y : 123• 20t 10";
p SOO 35'; n • 140" SS'
•• EJ doble de la diferencia entre p y a.
o
o
o
o
b. La suma entre
la tercera parte de ; y el
doble de p.
c. La mitad de la suma entre y y p.
d. La diferencia entre el doble de ít y y.
29. Resuelvan.
•· Dibujen en una hola tres puntos no alinea
dos d, r y 1.
b. Tracen las mediatrices de dr y de rt.
c. Llamen o al punto de intersección de las
mediatnces.
d. lC6mo son entre sí do. ro y to?

Clasificación de ángulos
Claslflcadón de los bgulos según su medida y su posición
Los ángulos se suelen nombrar con letras del alfabeto griego. Algunas de ellas son:
A A A
a: aJ(rl 5: delta a: SigO>O
~: t.ro e : épsilon ~: f!
r : g<Jmlll<l i : pi w: ~
A ~
a y p son opuestos por el vértice.
y y P son opuestos por el vértice.
O. y P son
complementarios.
k.
O. y y son consecutivos.
aypson
suplementarios.
Proplecad ele los inplos opuestos por el rirtke
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
a y íi son consecuti·
vos y suplementanos.
íi y 6 son suplementarios. por lo tanto suman 180".
íi y y son suplementarios, por lo tanto también suman 180".
Emonces 8 y y deben ser Iguales.
1. RHpondan y expliquen las respuestas.
L i.Cuál es el complemento de it • 45° 20' 30'"?
b. i.Cuál es el suplemento de (;) • as• 35' 45'7
c. Kull es el suplemento de o•? ¡y el complemento de O"?
d. Oos ~ngulos complementarios. <son siempre consecutivos?
~-------------- ---- ---------
------Ff<N ____ ¡, ____ , __ __

AOIVIDADES
Clasificación de ángulos
Marquen con 11111 X los p.~res de 'nsulos consecutivos. E.x¡lllquen sus respuestas.
··O
b. o
k
c. O
31. Completen las tablas.
Ángulo Complemento Ángulo Suplemento
23' 40' 35" 98'
so• n· 123"15' 32"
45" 30' 12" U5'13' 45"
32. Completen con •opuestos por el vértice", •suplementarios" o •complementalios", se:sún
corresponda.
d.
'--------~
33. Completen con "a veces ", "siempre" o '"nunca" ses6n corresponlbo.
a. los ángulos complementarios .._( __ __,) suman 90'.
b. Los angulas consecutlvos ( ) son adyacentes.
c. los ángulos complementarios ( ) son consecutivos.
d.
Los ángulos adyacentes ( ) son complementarlos. e. Los Angulas opuestos por el vértice ( ) son iguales.
f. los ángulos suplementarios ( J suman 90".

ACTIVIDADES
Clasificación de ~ngulos
34. Hallen el valor de los tngulos pedidos.
y -[.._ _ __,)
n -1'--- _...~l
y -[\.... _ __,)
8 -[,_ _ ___,
35. Escriban e• lenruaie shnb6Uco.
c. y -41°
~-[.._ _ __¡)
d. a • 52" Br
t -( ) r = ( )
~ -( & -1
a. El suplemento de ít. ---------------------
b. El complemento de e.--------------------
c. La cuarta parte del suplemento de a. ----------------
d. El suplemento del doble de o.
e. la diferenda entre un llano y el complemento de ~ .
~
f. La mitad del complemento de ¡¡. -----------------
______ , __ , __
....

ACTIVIDADES
Clasificación de ángulos
36. Celculen la medida ~ cada inplo.
••
c.
~ • 42• 51' :y • ))• 42' 26"
a-( ) 6 • 65• 23' 12"
y-( ) a-( l
8 - l ~ -( l
e - l e -1
b. d.
g-39'21' y -25• 43' 14"
a-( )
& - l
y -( 1 e -1 )
8 -( ) ~-( )
e ·1 ) a-( )
a -( ) ~ ·1 )
37. Calculen el valor de x y la medida de los inrutos.
a. c.
y • 3x
X • ( ) p -( l
X • ( 6 - )
a. ( ) :y ·1 l
b. d.
a -3x + 14• a -3x + 2~
y•2X+48• y-2~
A
e • s~ • a-
X • ( l x•( ) e -1 )
a-( ) ~ ·1 ) ~ -( ) «-( )
y -1 1
8 • ( l y -1 ) 8 -( )

Ángulos determinados por dos rectas y una transversal
~-------------------------------------------------------------- ·~
los Angutos determinados por dos rectas y una transversal {es la recta que las interseca) se pue
den clasificar de la siguiente forma
• Ángulos ~ : son los pares de angulos no adyacentes que estAn en el mismo
semiplano respecto de la secante, siendo uno Interno y otro externo.
• Ángulos .U.mos: son los pares de ángulos (internos o e..temos) no adyacentes que estAn en
distintos semiplanos respecto de la secante.
• Ángulos conjurados: son tos pares de ángulos {internos o externos) que estan en el m•smo
semiplano respecto de la secante.
B
} internos
} e>temas
Lo nao T es srconre po~ mtm~a a
A r 8; T d•vi~ el plano en dos semlplonos.
Por e¡emplo:
7 y 3 >On con-e5pondle~.
4 ·¡ 5 · -on dU-'1105 intcmof>
3 y 6 !1011 <litemos o><temoo
2y 5 !1011 W1j~~ ln~mae.
1 y 6 ">01'1 W1jug<ldo6 ~-
Si las rectas A y B son paralelas. se cumplen las siguient es propiedades:
• los ángulos correspondientes son congruentes.
• Los ángulos alternos son congruentes.
• Los ángulos conjugados son suplementarios.
8
1. Respondan y expliquen las n!Spuestas.
A /18 y e rrons-versol
Por ejemplo:
e~~ror--~=s
y • ~ por e;er attomos extem05.
~ ~
t • (í) por 6er c:JI~moslntemO!>
o+ w • 180" por e;er W1Jugcldo6 ontemos.
~ + ít ~ 180" por ser W1J~adoo externo5
a. las palabras transversal y stconte illenen el mismo significado?
b. Si (i y ~ son correspondientes entre paralelas y (i • 60", üuál es el valor de ~?
t. SI & y t son conjugados internos entre paralelas y 8 • 30" 20', üuál es el valor de t?
Nombro:---------------'"""---I«N-1--1--

AUIVIDADES
Ángulos determinados por dos rectas y una transversal
38. Tengan en cuenta las referencias y el gráfico y completen la tabla.
a
Al: alternos internos
AE: alternos externos
CO: correspondientes
Cl: conjugados Internos
CE: conjugados extern os
OP: opuestos por el vértice
AD: adyacentes
39. Marquen en el esquema los ángulos para que cumplan la condición pedida.
a. á y ~ alternos internos.
A
b. ~ y w conjugados internos.
c. ~ y y correspondientes.
8
d. a y o correspondientes.
e. a y :y opuestos por el vértice
f. 6 y e alternos e•ternos.
e
• . . . .. : t:... . .• ~' . ··-··. . . . -. ~ ... -~~ . • L.~~

ACTIVIDADES
Ángulos determinados por dos rectas y una transversal
40. Calculan la medld1 da los 6111Uio5. Explquen sus laSfluestls •
••
AI/B E -ss•
g -l l
... ,
Q-(
~-( l
y - l
b.
A// B
~
Cl -115' 33'
¡¡ -( l -
E -( l
p ( l -
y -
AI/B
~
Cl 94' 51' 2"
p -( )
A y -( l
~ -( l
8
t -( )
g -( l
d.
A//ByCI/0 y -104' 18' 39"
p -( )
(i - l
8 -( )
-( ) (1)
e • ( l
HollDt.--------- -- "'""---'--l--1-

Progr~mas y software educativos
Para esta propuesta, pueden usar drferentes programas gratuitos (o software) de matemática
como el Geogebra o Graph. A través de tos siguientes enlaces, pueden acceder a estos programas
y a sus tutoriales.
Programa Descripción Enlaces gratuitos de descftrg•
Geopbla Programa interactivo de fácil https://www.geogebra.org/
aprendlzaíe. que puede utii zarse para download?lang= es
graficar ecuaciones v func•ones, para http:{{www.geogebra.orglmanuaVes{
realizar construcciones geométricas Tutoría les
dinámicas o estáticas. para conectar
símbolos algebraicos con griftcas
geométricas, ett.
C8nnelll Programa de geometrfa dinámica https:/{canmetal.uptodown.com/Windows
escrito en Java q~ penmrte realizar htto:l{carmetalorglindex php/es/lutorieiS-3
construcciones geométricas. Interactuar
con ellas movl~ndolas o
modificándolas. haciendo que las
relaciones geométricas se mantengan.
Antes de hacer construcciones es recomendable que hagan un recorrido por las diferentes opcio
nes que brinda et men6 de cada programa.
Ángulos detennlnados por dos rectas paralelas y una transwrs¡l
Si ..... - ... -"'ff'(...,.'""" ..... -la_._.,.,. fld.t.lr" oq¡lac.an ... -~
- to ""''*« oLm (ti ~Y--111>0 « ,._ P1'1 <!ron
Para analiur la amplitud de ángulos detenminados por dos redas paralelas cortadas por una
transversa¡, se pueden seguir los siguientes pasos.
• Para empezar, se desactivan las opciones "Ejes~ y •cuadrfcula".
• Se elige "Recta" y se cUquea en dos lugares distintos de la pantalla
para que q~de trazada la reCia qoe pasa por los puntos A y B.
• Se elige "Punto• y se marca e en cualquier sector de la pantalla.
•
Se elige "Retta paralela"
y se cliquea en el punto e y la recta que
pasa por A y por B para que quede trazada una recta paralela a la
anterior.
• Se elige "Recta• y se cllq~a en tos puntos B y e para q~ quede
trazada una recta transversal a las anteriores.
A
(
______ ,_, __
B

• Se elige "Punto" (o "Punto en objeto•) y
se marcan los puntos O, E, F. G y H como
figura en la omagen.
F
• Se e,lge •,i,,gulo" y se seleccionan los puntos E. B y A. en ese orden (el segundo punto siem
pre es el vértice del ángulo)
• Se selecciona el ~ngulo con el botón derecho del mouse y desde el menú contextu~ l seleccio·
nar "Propiedades". Allf se elige la solapa "Básico" y en la opción "Ángulo entre:" se pont> O"
y 180". luego, seleccionando "Elige y mueVl'" y cliqueando en el ángu o, se puede cambiar la
posición de la amplitud del ánculo para ver1o mejor
"
F
• Con el m smo procedimie to, se marcan los siete ángulo~ restantes: DBE, ABC. CBD. BCF,
GCB, FCH v HCG y se comparan sus amplitudes.
Ac~ . hoxlendoGic dautose~
el menú G011tex!.ual e:le5de "' Cid 61! put:<len
cam!lk:lr las prefr:renc100o ~ e:lef
óngoo. yo~ color 91'060r. etc
o
lo 11 Jl'fl'1' 151 -
'"""' "'~(Ir
101~-
• Se selecciona "Elige y mueve" (o "Mover punto") y se cambia la posición de los
puntos A, B
y
C para comparar cómo valfan las amplitudes de los ~ngu los.
poo cllzt~<m ~ ~
-·~ ------·
l. Dibujen un tJiin¡ulo a partir de los datos dados, en cada caso.
a. ABE • 35° b. ABE • 125° c. ABE • 143"
2. Verifiquen los rtsultados de la actividad 40 de la p!gfna 153 usando el procedimiento
aprendi
do.

•
lntesra,i6n
42. Marquen en la figura los par es de ingulos
pedidos. N6mbrenlos para poder identificarlos.
o
B
e
a. Un par de ángulos alternos externos.
b. Un par de ángulos correspond1entes.
c. Un par de ángulos adyacentes.
d. Un par de Angulos opuestos por el v~nke.
e. Un par de ángulos consecutivos.
43. Respondan.
a. lEn qué casos los ángulos suplementarios
son congruentes?
b. <En qu~ casos los ~ngulos alternos ínter·
nos son congruentes?
c. l.En qué casos los ángulos adyacentes son
complementarios?
d. <En qu~ casos los ángulos opuestos por el
vértice son congruentes?
e. lEn qué casos los ángulos opuestos por el
vértice son complementarios?
f. <En q~ casos los ángulos consecutivos son
suplementarios?
44. TraduzCM~ al lenguaje simb6Uco.
a. El complemento de la mitad de •.
b. La mitad de la suma entre a y ~.
c. la diferencia entre el triple de íi y la cuarta
~
parte de o.
d. El suplemento del triple de y.
e. La suma entre el complemento de e y la
m1tad de 8.
f. la tercern pane del suplemento de a.
c. La dllierencia entre el complemento de a y m.
CONTENIDOS
•
•
45. Calculen el valor de cada ángulo.
~
a. o: • 48' 20' 30"
b. íi • 7x. s•
~ • 3x • 21°
c.e•8x+3"
m • 1~. 11•
d. tt • X+ 48'
W-2x•t7°
46. Dlbulen en el rompecabezas (Timgram)
cada par de ~ngulos .
A B C O
E
F
a. Un par de ángulos a y ~ alternos internos
entre paralelas.
b. Un par de ángulos w y O conjugados ínter·
nos entre paralelas.
c. Un par de ángulos p y 8 correspondientes
entre paralelas.
d. Un par de ángulos ): y y consecutivos.
•· Un par de ángulos ~ y ~ opuestos por el
vértice.
f. Un par de ángulos íi y ~ adyacentes.
g. Un par de ángulos e y K conjugados exter·
nos entre paralelas.
---,.., __ , __ , __

1
47. AnaUcen el procedimi ento utilizado para
ave
rlpar a
y ~ y comjan tos emHeS.
Datos: T
A/18 A
a-3x-18"
6 • X+ 31• B
Solución:
a + 6 -180• por ser conlugados externos.
3x -18" + x + 31'-180'
4x • 167'
X • 41' 45'
a -101• 1s·
~ -7"1' 45'
48. Marquen los ingulos pedidos •
.. abcd trapecio rect3ngulo. eres base media.
• Un par de ángulos conjugados internos.
• Un par de ángulos opuestos por el vénice.
•
Un
par de ángulos alternos internos.
b. abcd paralelogramo. eg // iii // ad
üi?::lt
• b ( d
las(._ ____ _,) son congruentes.
b. los ángulos alternos entre paralelas
(._ ____ .J) son suplementarios.
c. los ángulos alternos (._ ____ ..J) son
adyacentes.
d. Los ángulos alternos entre paralelas
( ) son congruentes.
e. los ángulos conjugados entre paralelas
(~..--___ _,) son suplementarios.
50. C.tculen el valor de a en ~ si(Uientes
figuras.
..
t
b. ghij es paralelogramo.
1
b
~
g h
c. A 1/ B.
d. A /1 B y T J. A.
T
A 12" ll" l4""
156' 31" 12""
8 --~
51. Calculen el valor de cada lnrulo.
a. A /1 B a -7x + W 6 3x + 35"
8
b. A // B /1 C a • 8x
~ •3x+W e •4x+20"

52. Indiquen C!Aies de tilOS puntos ~ t!ncuentran sob~ &i mec!l.triz de if. Expliquen su respuesta.
• •
j.
(
f
b •
•
•
o
o
• ~
h
d
•
o
•
53. Dibujen dos ingulos consecutivos y suplerMnt&rios. luego, t111cen la bisectriz de celb uno.
l f
1¡
i
f-
f.
-
- ---
'.-L
,_
r f-.· f-
¡
1
¡. ~
.
1
f --
'
t
L-
r--
l 1 ..
54. Pl.inaen y resuelvan.
L la cuarta parte del suplemento de a es Igual a su doble.
b. El
complemento de
la mitad de ~ es igual al triple de su suplemento.
55. Calculen la medida de ceda ángulo. &pllquen sus respuestas.
L a • X + 20" ~ 6x + 15° b. a -8x + 29' ~ -4x + 54
x•( l
X= 1 l
A
( l a -1 l
y-( ) a
& ( l
y-( l ~ -( ) t -( l
~ -1 ) e -1 ) & = ( ) ó) -( )
S

CONTENIDOS
44. Tr~ngulos .
4> Propiedades de los
tri~ngu los.
46 Purtos notables del
troánaulo.
47. Crrterios de congruenda.
Construcciones.
48 Tri6ngulos rectángulos.
T @O rema de Pitágoras.
49. Paralelogramos.
Construcdones.
~O TraP«Jos v romboides.
<;1 P~r!m~lro y área de figuras
SITUACIÓN INICIAL Di APRlNDI ZIVl
1. Observen la lm&gen y resuelvan.
a. <Cuántas cuadras debe caminar Julia desde su casa para llegar a la escuela? ¿y Alm~? Marqut.>n
esos caminos en el mapa.
b. Dibujen un segmento que una la casa de Julia con la escuela y otro que una la casa de Aim~
con la escuela.
c. <Quién vive más cerca de la escuela: Julia o A1mP
d. lQué figuras quedaron formadas luego de marcar los recorridos y los segmenlos?
e. Comparen las respuestas con sus compañeros.

Triángulos
Se llama triángulo a toda Rgura de tres lados.
Elementos de un trlangulo:
•
Vértices:
a, b ,c.
e
y
• Lados: ab. be ,ca .
• Ángulos interiores: a' 6 .e.
• Ángulos exterior es: u, ~ , y.
abe: triángulo abe
(l .. ilice<ion dP los triangulos ~ún sos lodos
Escaleno: lodos sus lados son ts6sceles: tiene dos lados
distintos. congruentes.
~ ~~
fquilitero: todos sus lados son
congruentes.
l
Clas11Qd6oo ele m lti.in¡ulas HJUn ... MJulo5
A
tvtangulo:
todos SU$ án¡ulos bcúngulo: tienen un lngulo Obtusingulo: tienen un in¡vlo
obtuso. son agudos. recto.
En todo triángulo, la medida de cada lado es menor que la suma de las medidas de los otros dos.
l. Responden y 6¡1Uquen las respuestas.
a. iPuede un triángulo tener dos ángulos reaos?
b. Un triángulo rectángulo, (puede ser equilátero?
ab (be. ca
be' ab-ca
ca ( ab + be
'-Con lados de 6 cm, 3 cm y 2 cm. t.se puede formar un triángulo?
d. En un triángulo, i.cuánto suman un angulo interior y su exterior correspondiente?
""''*•----------------c.,,. ____ ft<hl __ , __ ,_

ACTIVIDADES
Tn 'ngulos
1. Cl&slflquen los triánsulos 5egún sus lados y sus insulos.
a.
Según sus lados: ---
SegGn sus ángulos:---
b.
Según sus lados:-----
Según sus ángulos: ----
c.
SegGn sus lados: ---
SegGn sus ángulos: ----
d.
Según sus lados: ----
Según sus ángulos: ---
2. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) s.,ún corresponda.
a. Todos los triángulos equiláteros son isósceles. O
b. Un triángulo rec!Angulo puede ser equilátero. O
c. Todos los triángulos obtusángulos son escalenos. O
d. Todos los triángulos isósceles son acutángulos O
e.
SegGn sus lados: ----
Según sus ángulos: ----
Según sus lados: -----
Según sus ángulos: ----
e. Todos los triángulos re~ ngulos tienen dos ánsulos agudos. O
r. Un triángulo obtusánguto puede tener un ángulo recto. O
3. Coloquen una lt en las temas de lados o de 6nsulos que pueden formar un trlánplo.
L 10 cm, S cm y 15 cm O c. 4 cm, 3 cm, 5 cm O e. 90", 25° y 65° O
b. 4 cm, 11 cm y 5 cm O el. 20", 45" y 125" O f. 24"'. 70" y 86" O
<\. Completen con una medida de tal toma que no se pueda formar •1 triángulo.
L ab • 7 cm; be • 11 cm; ac • ['---..J~ c. ab -8 m; be = 4 m; ac -(.___ _ __.....~]
b. ab -(.__ _ __,1 be = 10 cm; ac -13 cm .. ab -1 m; be -('-__ Jl ac -2 m
11
~ . .
.
'
.. , . .

Propiedades de los triángulos
En todo tr13nguto se cumplen las siguientes propiedades:
• La suma de tos ángulos interiores es Igual a 180°
R //S
o. .. ~ .. e • 180" esl!n comprendidos en ll1 :.Ogulo llano.
a • a, por ser alternos Internos entre paralelas yac transversal
íi -~, por ser alternos internos entre paralelas y be transve~t
~ 6 ~
Por lo tanto, • + + e • 180".
• La suma de tos ánsutos &teriores es igual a 360"
a + a ~ 18J" porque son adyac:ertes; a -180" -a
~ + 6 • 18J" porque son ~tes; + ~ -180" -~
y + e -180" porque son adyacentes: y -180" -e
Sumando miembro a miembro. n + ~ + y = 3 . 18J"-(a + 6 + e)
íi + íl + y -540" -180"
a•íl•r-360"
• Todo ángulo exterior es Igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
a .. 6 .. e -lSO"v «•a -180"
Se Igualan los pr.iie~OS li ... iibOS.
-i_·6·e·«·-i_
éi-b·C
De la misma rorma ~ • a + e y y • a + 6.
Altura de -lriángulo
La altura correspondiente aliado de un trianguto es un segmento perperldicular aliado, que llene
por e><.tremos al vértice opuesto y a un punto de dicho lado o de su prolongación.
Cj e& k:i otrurc:r de <lb.
hl1 ee k:i olturc:r de ti.
a e!l k:i <Jiturc:r de be.
1. Respondan y expUquen Lis respuestas.
~e
·~ ,
1 .... ' #
.. ~
e. En un triángulo rectángulo, <cuánto suman los dos ángulos agudos?
b.. En un triángulo isósceles, dos á~gulos miden 56" 10', i.cuánto mide el otro ángulo?
c. SI se tk!ne en wenta un ángulo exterior de un triAngulo, i.cuáles son los ángulos interiores
no adyacentes? Realicen un dibujo para e><.plicar la respuesta.
d. En un triángulo, un ángulo extenor mide 125", i.cuánto suman tos dos Interiores no adyacentes?
______ ,. __ (. __

ACTIVIDADES
Propit:da1dca de los triángulos
S
~-~ AtoA
• Completen la Ubl• teniendo en cuerrt& que a, p y y son lngulos exteriores de a, o y e,
respectivamente.
Ángulos lftterlores Ángulo' u!eriores
Cla>iRu.cion drl tnangulo
-!~~~~~:.~ ·: .. < .~::,::; :·.:>
'', • :.:••J;'¡v'-'t:C!",.'i: • :·~ •,\; • o..._' ,•, ':·~' '<;"~ \',•,
~'···~~-. ·'· ,;..: ... ,•.
'·~, ;:::i' ~i'~:: .~ ;.·.~· ... ·' ·:\i._~·i!\' ~}:.:' \-!'': .. ·~ :t~·=· ..
=· ···-.' .~. :.-' ~-... ~··· ., •. '"•':):\!-\''«"·.· .·,:
!!ofiUn ~U'ft. <ll0!UI05
34° 25' 32" 51° 40'
45° 30' ,... JO'
63" 51' 24" U7" 39' 36"
5JO 10:10
6. Calculen el valor de los 6ngulos lnteñores. ClaslHquen los triángulos seg(Jn sus lngulos.
•. c. 8 -(
¡; -[;:::====:)
1
y-[>===<)
6 -[...__-')
a • ( )
e -( )
h
T • ( J
~-_..J
d.
T -(
k -(
1 -
y -1
7. Calculen el val« de x y la madlda de los ángulos •
•. 6 -4i( -18°; e -3x + 4°
e a-(~--~1
b
6 -(
'_>==¡ ==<)
b. a -176• -x; y -t6• + 2x; 8 -1o2"-x
C. (i • 226° -2X; ~ = 97" + ~
a-[>====<)
y-[>===<)
~· f..__-')
~ ~ 1
d. ~ -s~ + u•; k •
2
x + tSO
)
)
)
)
íi -[>===<) ~ ~ -[>===<)
y-( ) ~ . k [..._==<)
g -( 1 . 1 [..._.-_-')

Puntos notables del triángulo
El dn:uncentro es el punto de intersección de las medlatrlcas de un
tnángulo.
El drcuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia drcuns
cripta en el mismo. El radio de la circunferencia es un segmento cuyos
extremos son el clrcuncentro y uno de los vértices del triángulo.
La arcunfftenda circunsaipta en un triángulo es la que pasa por los
··es vértices.
Ellncentro es el punto de lntersecd6n de las blsedllces de un triángulo.
El incentro de un triángulo es el centro de la circun~renda Inscripta en
el mismo. El radio de la circunferencia es un segmento perpendicular a los
lados, cuyos e~tremos son el incentro y un punto del lado.
La circunferencia Inscripta en un tri;'tngulo es tangente a cada uno de
los lados del mismo.
El b41r1c:entro es el punto de intersección de las mtdlan iS de un tñ;'tn
guto. Hay que recordar que la mediana es un segmento que tiene por
extremos al punto medo de uno de los lados y al vbt•ce del ángulo
opuesto
a dicho lado. La distancia del bañcentro a cualquier vértice del triángulo es Igual a
los f de la longotud total de la medoana correspondoente.
El ortocentro es el punto de intersección de las alturas de un triángulo •
•
d
1. Respondan y tApÜqUfll las respuestas •
árwn{etencio
arcunsaipro
•
circun(f!rv>Cio
/nsoipco
.a.
1
b
.. Dados tres puntos
no alineados, i.c6mo se puede determinar la circun~ncia que los incluye?
b. En un tri~nguio rectángulo, i.en dónde estA ubicado el ortocentro?
c. lEs cierto que en un triángulo equilátero. los cuatro puntos notables coinciden?
_, _____________ _
---f«<li--1--1-

ACTIVIDADES
Puntos 110 bles del triángulo
Tracen el orúKentro de tos slplentes trlánplos.
9. Rulken las construttlones pedidas.
&. Tracen la circunferencia
corcunscripta al tri;lngulo.
b. Tracen la drcunferencra
Inscripta al triinsulo.
10. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). ExpUque11 las rapuums.
En un tri;\ng~Jio isósceles obtusángulo:
a. El lncentro es un punto exterior. O
b. El ortocentro es un punto exterior. O
c. El baricentro es un punto Interior. O
d. El órcuncentro es un punto e.rerior. O
c. Tracen el barlcentro del
triangulo.
•· El incentro, el clrcuncentro y el ortocentro estan alineados. O
f. El circuncentro equidista de los lados del triángulo. O
11. Leen atentamente y ruuelvan.
Ul distanc.ia del bar1centro a uno de los vértices de un trl~ngulo es de 7 cm.
calculen la long1tud de la mediana correspondiente al l.ldo opuesto de ese vért1ce.
1m .
' . . .
1 •

Programas y software educativos
Para esta prop.-esta, puech!n usar diferentes programas gratuitos (o software) dt matemAt ca
como el Geogebra o Graptl. A través de los siguientes enlaces, pueden acceder a estos programas
y a sus tutorlales.
Programa Oe'>Ciipción Enl•ces Sllluitos de descarga
GIGI'Il•
Prosrama ~nteractlvo de fa<il https:/twww.geogebra.orgj
aprendiza¡e. que puede llt,llzarse para download?lang•es
graflcar ecuaciones y funciones, para http://www.geogebra.org/manuaVest
realiZar construcciones geo'11étricas iutoriales
d1n~mlc.ls o estáticas. para conectar
símbolos algebraicos con cráflcas
gt>ométncas, etc.
CanMtll Programa de geometrfa dln.\mica https://c.arrn~taluptodown.com/windows
escrito en Java que perrn1te realizar http :1/c.arm et a l. o rg/i n dex. p h Pies. 't lrt o riel S· 3
construcciones geométncas, Interactuar
con ellas moviéndolas o
modificándolas. haciendo qut las
relaciones seométricas se mantengan.
J Antes de hacer construcciones es recomendablt que hagan un recorrido por las diferentes opclo·
nes que brinda el menú de cada programa.
Puntos notables de un triángulo
Sr b"" tolla• '"'programas ~nciON dos '""111 """ rtlllror t. proi>"tl"' """ bdlltar 1.1 fllll(lcodón tos p.11a1 cltiJIIiidDI .,tln
ba~"'""" 10ID ·-!ti Gfol)tM!' '"""'"".~ ""do ~ pro¡ ot r-
Para traz.ar el drtuncenb'o, se pueden seguir tos siguientes pasos
• Para empezar. se desactívan las opciones "E
1es· v "Cuadrícula".
•
Desde la Barra
de herramientas se elige "Polígono• y se dibuJa un triángulo marcando sobre
la pantalla tres vértices y regresando al primero; por ejemplo A, 8, e y A otra vez (o bien desde
el men6 Construcción se elige "Segmento~ y se unen los vErtices para formar el triángulo
klarclci6n: &e puede ~ eccronar EI'Ge y mueve" de la /3om¡ d8
hermmU1ntas y chc1u~.ar en lo5 vértices del trláneulo ptl"' OCOfi'IO
darlo5 de manera ma., 1115ibte
e
~-------------- ------ ----------------1-------

• Desde la Barra de herramientas (o Construcción) se elige "Medlatriz"
v se cliquea en los t res lados (o se señalan los vMices de cada
segmento que forma el lado).
r• " pl¡¡ia m """""'
- "'
• Desde ta Barra dt herramientas (o Construccldn) se elige
"lnterse<d6n" y ~e e lquea en dos de las mediatrtces traza
das. De esta manera queda determinado el corcuncenuo. --''"""""" ----'----•
Para trazar el incentro, se pueden seguir los sigu·entes pdsos:
• Se dibuja un trlangulo como en el caso anterior.
• Desde la Barra de herramientas (o Construcción) se elige
"Bisectriz" v se cloquea en los tres vértices del tri~ngulo en
orden: A, 8, C. Luego, ;e repote el procedimiento en distintos
6rdenes: 8, C, A y C, A, 8
• Desde la Barra de herramientas (o Construw6n) se elige
"lnttrse«ión" y se cliquea en dos de Las b"sectricl"> trazadas.
De esta manera queda determinado el incentro.
Para trazar el baricentro, se pueden seguir los siguoentes pasos:
• Se dibuja un triángulo como en los casos an1eriores.
• Desde la Barra de herramientas (o Construcción) se elige
"Medio o centro• {o "Punto medio") y se cliquea en los tres
lados o
en los
vértoces tom3ndolos de a dos.
• Desde la Barra dt> herramotntas (o Construcdón) se elige
"Segmento" y se trazan tres segmentos uniendo cada uno
de los puntos medios encontrados con el vértice opuesto.
• Desde la Barra de herramientas (o Construcdón) se elige
"lnterse<ti6n"
y
se cliquea en dos de los segmentos que se
acaban de trazar. De esta manera queda determmado el
bar centro.
Para trazar el ortoc.ntro, se pul'den seguir los siguientes pasos:
• Se dibuja un troángulo como en los casas anteriores.
• Desde la &rro de htrramientas (o Construcción) se elige
"Perpendicular" y se d•Q~l'a en uno de los lados v en su vértice
opuesto. Se repite el procedimiento con el resto de los lados.
• Desde la Barra de herramientas (o Consrrucción) se elige
"Intersección"
v se cloquea
en dos de las rectas trazada~. De
esta manera queda detPrminado el ortocentro.
A
1. Verifiquen las respuesU.s de la actividad 10 de la p6g1na 166 usando los procedimientos
ap.-.ndld os.

Criterios de congruencia. Construcciones
Criterios de congruencia
Dos triángulos son congruentes cuando tienen sus tres lados y sus tres ángulos interiores res
P~!tti"amente congruentes. Cuando se superponen dos triángulos congruentes, estos coinciden en
todos
sus puntos. • Para demostrar si dos triángulos son congruentes, no es necesario comparar todos sus lados
y
sus ángulos interiores.
Existen criterios que permiten asegurar la congruencia teniendo en cuenta
algunos
de esos elementos.
Condiciones para que dos triángulos sean congruentes
.G.
(
.6b
(
V p.
.G. m¿• m
Tienen los tres lados res-neoen uo lado y los á'lglJios Tienen dos lados y el Tienen dos l•dos v ol ingulo
pettivamente cons;ruenteS; adyacentes a ese lado res· Angula comprendido res· opuesto al mayor de ellos
ib -;;;¡;e-ñP: iC • ;¡¡. pecti~e~te ~aruente.!: pethvamente congruentes: resptctivamente congruenres·
as-mn: a • m: S • n. ii -mn. ac -mp; a -m. 36-iññ: ac-mp; e -P.
Construcción de triángulos
Para construir un único triángulo, se deben conocer:
• sus tres lados.
• un lado y los dos ~ngulos adyacentes a ese lado.
• dos lados y el· ángulo comprendido entre ellos.
• dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.
SI en uno de estos casos falta alguno de los datos, se pueden construir distintos triángulos.
1. Respond1n y expliquen las respuestas.
a. iCuántos triángulos distintos se pueden construir conociendo la medida de dos lados?
b. <Cuántos triángulos distintos se pueden construir conociendo la medida de los tres ángu·
los interiores?
c. iCuántos triángulos distintos se pueden construir conociendo la medida de un lado y los
dos ~ngulos interiores adyacentes a ese lado?
-'---------------Curso ___ f«N __ ¡ __ f __

. 1m
ACTIVIDADES
Criterios de congruencia. Construcciones
12. Pinten con un mismo color los bfAniUios congn¡entes. üptlq11en la respuesta.
13. lndlq11en qué pares de trl,ngulos son congruHtes. Expliquen el criterio utilludo.
a.
e
c. k
u
•
S
d.
o
h V
•
b
14. t..., atentamente y respondan.
SI la recta R está a la misma distancia que los puntos d v e. ise puede aS('gurar que los dos
tn~ngulos son congruentes?
:~ ~. ... ·. . ·' . . ~ .
:~~/~"' .. :·~·. > ...: . .

ACTIVIDADES
Criterios de conJruencia. Construcciones
15. Rtsuelvaa.
a. Pruebtn utilizando los criterios que los tñAngulos abes y cbd son Iguales.
abcd romboide
d
b
b.
Hallen el peñmetro del romboide si:
ad • 3 . "' -1 cm)
cd • 1x
16. Indiquen si los b1ingulos son consru entes. Expliquen las resputstls.
iiC-e7 (
d
b
17. ResutlvalL
Dado 1!1 siguiente paralelogramo ab(d.
L Tracen la diagonal bd y expliquen si los tñingul os
abd y bdc son congruentes.
b. tc6mo es la amplrtud de los angulos dab y bcd?
•
~ ·-------------------- ---- --
---Ftd"~-- l.-- 1.--

ACTIVIDADES
Criteños de congruencia. Construcciones
Construyan los trltngulos con los daros que se Indican en cada caso.
L b
•
b •
b
( d
( d
e ,
•
,
19. Construyan los tñingulos usando el menos dos de los siguientes elementos.
<
A
8
L Con los lados A y B. c. Un tri~aulo escaleno rectangulo.
b. Con el ángulo O.. d. Un tnansulo obll&ngulo is6s<eles.

Triángulos redángulos. Teorema de Pitágoras
En un triángulo rect3ngulo, los lados que
fonnan el ángulo recto se llaman catetos. El
lado opuesto al ángulo recto recibe el nombr~
de hlpotenuu.
La suma de los án gulos agudos interiores d~
un trijngulo rectángulo es igual a 90°, es decir,
son complementarios.
Propiedad plta¡6rka
carrto
(
Cr.et:o
b
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de las medidas de los catetos.
A' • 8' + (l
1. Respondan v expUquen !as reSiJUfltaS.
. ...
Az~(6cm) t (8cm)
N=36 cm"+ 64 cm'
A"=100cm•
A~ 10cm
a. En un triángulo rectángulo. si uno de los ángulos mide 65°, !cuánto mide el otro ángulo agudo?
b. l.Se puede aplicar la propiedad pitagórica en un triángulo que no sea rectángulo?
c. Las siguientes medidas, ipueden corresponder a un triángulo rectángulo? 5 cm, 7 cm y 4 cm
~-------- ---------- --------- ---------1--1--

ACTIVIDADES
Triángulos rectángulos. Teorema de Pitágoras
Completen 11 siguiente tabla con los datos da las figuras.
e
a
6'
d e
Angulo recto
Hipotenu!t.a
Catetos
m
Triángulos
h
o
k
n
ZL Cakulen et valor de los lados que faltan en cada triángulo.
p
q
S
a. Datos: ac • 3 cm; be • 4 cm
e
c. Datos: hl • 24 cm; gl -25 cm
a
11. Datos: de • 12 cm; fe • 5 cm
d
b
1
h
gh -1..__---Jl
d. Datos: kl • 8 cm; ~ • 15 cm
lk -!.__..JI
u
k

lntesra,ión
22. CalciUn la mediA de los ángulos martldos.
L e
b
b.
d
<
•
23. Celcultft la mtftor y la mayor mediA que
puede t.ntr x para que se forme el trlingulo.
24. C.kulen el valor de x y de los 6n111los
pedidos.
L U • 4X -2"; íl • 5X + 170; y • 6x - )()O
a -~( =:::;1
íl -( 1
y -( 1
a -( 1
a
~ -
b. • X + 6°; e a 2x -7°; y • 9" + 1X
a-( 1
~ e-~( ==<1
d • y-( 1
7->=( ==<)
(. i -2JJ. -10; ¡; -~ + 37°
~
g-( )
¡¡ -( )
~ a • ( )
25. Le.n a~ntamente y dibujen.
L Hoillen el incentro. el cirtuncentro, el b.lricen
tro v el onocentro en el triángulo equi!Atero.
e
•
b. iQué observación pueden hacer con res·
pecto a los puntos notables en un trlán¡ulo
equilátero?
------hÑ----~~ --

26. Tensan en ~uenta los siguientes sesmen
tos y ingulos. Usen los que COfleSponchln para
construir el triángulo indicado en cada figura
de antllsls.
~
8
e
o
a.
c.
o
'6
B
d.
~
·¡_"i
27. Leen atentamente y ~uelvan .
•· Tengan en cuenta los troángulos que cons
truyeron en la actividad anterior v completen
la tabla colocando una X donde corresponda.
Un solo
Por lo No se
ltem
triangulo
m•no~ dos puede
tri in culos construir
1
b
e
d
t
f
b. Martelo dice que en el i:em d se pueden
constru r infinitos triAngulos diStintos. as cierto?
1Hay otros casos en donde se cumpla lo mismo?
28. Calculen el valor de A y B. Redondeen los
resultados a los centésimos.
a.
b.
,._~
~
v 8
8cm Ocm
~-¡¡-H 14 cm)
A • (:=====<)
B •1'-------JJ
A•(:==~~
B • (.___--')
29. lean atentamente y ltillelvan.
L Se colocaron dos cables que salen desde
uno de los extremos de una columna, como
muestra la imagen. ;A qué distancia se
encuentran p y q de la base de la columna?
q
b. Lucas realizó un diseño para un reja de
hierro formado por triángulos rect~ngulos
congruentes. Si la reja debe tener 48 cm de
altura, icu~ntos cm de h1erro necesita para
hacer la reja?

Paralelogramos. Construcdones
Se denomina paralelosramo a todo cuadri!Stero que llene sus lados opuestos paralelos.
En lodo cuadrilatero, la suma de los angulo~ interiores es de 360".
PROPIEDADES DE LOS PARAlElOGRAMOS
PAitAI.ti.OGUMO$ llJI GEJ!!tAl)
• lOS '-dos opJeStO$ SO' (Ofll'\lltMH.
• les ~ oputS{OS son tOI'lrrutNn.
n
• US ~ ~ <ort..ln WUW'II~f'tt tn i~ PU'ItO IMd O. n
t( ( T AJtc..u l o«;
• CurrP*' &ls ''" prop tdldts
•rnertonu •.
• flerMn cuetro •n1uloi rectos.
• l.&• d •aontlft •on co,lrutnb!L
1
)
OIAOIIADOS
• Cumplon todrls l iS propltcladOs
antertortl.
(
,_,.,
• C.."''>itn laS -~ ·
lloros.
• ntntn QilfiO l.ados cont~IPS.
• las dlaJONI6 "'" porptndlo.Jiares
1
Pa.ra construir un paralelOIJllmo propiamente dicho con regla, escuadra y campas, pueden seguir
estos pasos:
~
,d e
'
1 b •
b
1. Se tran una rec.!! y se determina
so«e eUa el lado ab.
Se traza una recta par.11tla a la primer.~ .
2. Se pincha el oompás so«e el pum o
y se determina el punto d sobre la
recta paralela.
Coo la mrsrna abertura se pincha el
comp.ls en by se del.erl!lina c.
1. Respo~n y Ujlliquen las respuestas.
L Un cuad,do tes un rectángulo?
b. Un rect4ngulo tes un cuadrado?
c. Un rombo les un cuadrado?
d. Un
cuadrado
<.es un rombo?
d
z z
•
b
J. Se trazan tos segmentos ad ybC
para fonmar el paralelogramo.
---f«N __ , __ ,_

ACTIVIDADES
Paralelogramos. Construcciones
Realken ~ siguientes construcciones con los datos disponibles. En cada caso, Indiquen la
cantidad de figuras dlstlnms que se puNen construir.
a. Cuadrado. c. Rectángulo.
·~----------------------~ b ·~----------------------~ b
<~------------~ d
b. Paralelogramo. d. Paralelogramo.
• bL
1 b
( d
( d

ACTIVIDADES
Paralelogramos. Construcciones
31. Escriban V (Verdadero) o F (Fals4) ~n correspondL
L Un rombo es un rectángulo. Q
b. Las diagonales del paralelogramo son siempre congruentes. O
c. Los éngulos opuestos del rombo son congruentes. O
d. Un rombo no es un paralelogramo. O
e. Las diagonales del cuadrado son congruentes. O
f. Los diagonales de los paralelogramos se cortan mutuamente en su punto medio. O
g. Los ángulos consecutivos del paralelogramo son congruentes. O
h. Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos. O
32. Calculen la medid. de los in(Uios lndlados.
L Paralelogramo abcd.
d
( a -( l
6 -( l
e -(
•
b
a -45• 23'
b. Paralelogramo abcd. A
b -52" 13' 24"
d e
/
A
l
a
~ 6 -( l
1 b
e -( l
a -( l
c. Rombo abcd. A
d y -122" 41' 55"
• ; -( )
6 -( )
b
' -( l
a -( l
~L---------------------- ------
------f«N ___ , ____ ¡ __ __
1

ACTIVIDADES
Paralelogramos. Construcdones
33. Cakulen el valor de x y los valores pedidos.
e. Paralelogramo abcd. Su perlmetro es 56 cm.
.L
dc
¡___ __ /
b. Paralelogramo efgh.
h
•
c. Paralelogramo abcd.
d. Paralelogramo efgh.
h
•
1
ab • x + 10 cm; ad • 2x + 3 cm
x•('";:~J
ab • [~,_ _ ___.))
ad -r ___ -..Jl
de • 1 J
C6-( 1
e-3x •15"; 11-2x• 200
1 -1 1
g -1 1
h -( 1
a -6x + 14"; e -4x + 25°
x -1----_...Jl
a -('-------']
6 -1'-------'1
' -1 1
a -1 1
~ -24°
i -¡------..1
e -1~~1
1 -('-------'1
g -( 1
h -( 1

Trapecios y romboides
~ denomina tnlpedo a todo cuadrilátero que tiene un solo par de lados paralelos.
d
(
ab /1 de
mi \. ib e$ la base mayor.
[
de es la base menor.
ñiñ es la base media del trapecio.
1 b
La base media ck! un trapecio es paralela a las bases y su medida es igual a la mttad de la suma
de las medidas de las bases.
T111peclo ls6sceles: es el que tiene los dos lados
no paralelos congruentes.
Trapedo l'dngulo: es el que tiene dos ••sulos
rectos..
1
d (
t
Se d~omlna trapezoide a todo cuadnlátero que no t ene lados paralelos.
Un romboide es un trapezoide que tienen dos pares de lados consecutivos congru~tes.
d
(
b
l. Respondan y apliquen las respuestas.
L Un romboide ies un trapezoide?
iid es la diagonal p rincipal. La diagonal principal
de un romboide está incluida en la bisectriz de
los ángulos cuyos vértices une (d y b). la dtago·
nal principal de un romboi de está incluida en
una recta que es medlatrlz ck! la otra diagonal.
b. U:6mo es un trapezoide no romboide? Dibújenlo.
c. Con dos Angulas y la altura. lcuántos trapecios distintos se pueden construir?
el. Si las dos bases de un trapecic¡ miden 6 cm y 8 cm, lcuánto mide la base media de ese trapecio?
~---------------------------
-----f«N ____ ,

ACTIVIDADES
Trapecios y romboides
Construyan un trapezoide y un romboi de usando diaronales de 6 cm y 3 cm. Indiqu en cuántas
figuras distint as se pueden construir en cada caso.
35. Calculen ti valor de x y la medida de las bases del trapecio.
a. abcd trapedo. b. abcd trapecio.
ef • ~ + 25 an, base media. ;¡ • 3x + V cm. base media.
ab • )l< + 18 cm cd • 2x + 17 cm ab • 2x + 36 cm cd • 7x-23 cm
1
d
x-(
l .1
~\--. .
iii-(
l .1
cd • (
l
el • ( . E=\.
36. Calculen la medida de los ingulos de los romboides.
a. abcd romboide.
a = 9a• n· 23"
d
•
b
e
a • 134• 2s· 32"
6 -1 l
e -( l
b. abcd romboide.
~ -64° 31' 6 -38" 15'
d
a • (
•
e
6 -(
e -(
a -(
b
l
l
l
l
l
l
l
l

Perímetro y área de ftguras planas
El perfmetro de una figura M Igual a la suma de las medidas de todos sus ados. Ant6 de cal·
cular el perímetro, cada medi~ debe estar expresada en la misma unidad.
En el siguiente esquema se muestran las unidades de ~on(ltud.
~~~~~~
km ~m dam m dm cm mm
ldlómetro hectómetro .:l~etro metro de.;im.,.-..ro a:rUmetrQ mil rr~
\....Y~~'-~~~
Para medir una superilde se debe elegir una unidad de medida y determinar la cantidad de veces
que entra en esa superficie.
Se llama área a la cantidad de veces que entra en la superficie la un,dad de medida e.egida.
En el siguiente esquema se muestran las unidades de érea.
~~~~~~
km' hm
2
dom' m' .:lm' cm• mnl'
kllóm~ro hectém~ro dec<lmttro metro .:~ecrmetro centfmetro mlfmotro
CU<ldn:ldo cu<ldrt!<lo CU<ldn:ldo cu<ldrado cU<ldn:ldo cu<ldrado CU<ldrodo
~~~~~~
FIGURA OIBUIO ÁREA FIGURA DIBUJO ÁREA
~
B.H
¡'¡H
b
~
(B + b) . H
Trlllntuto T111pedo --
2 _b 8 2
Recdnplo
D
B.H llonlbo
~
~
2
Cllldl'ldo
D
L' .._balde
~
~
2
p ...........
J1H _b 1 7
B.H Cfrtulo
8
" . R'
1. Respondan y expliquen las respuesus.
L lA cuantos metros es Igual 1 km?
b. <Cuánto mide el área de un cuadrado de lado 1 m?
c. lA cuántos dm' es igual 1 dam>?
d. LCu~l es el valor de n?
---------------(..,., ___ f«Jw __ , __ , __

AaJVIDADES
PeñMetro y e" de figuras planas
7. Compwten Las si su lentes equlv.alendas.
L 50 m-{ 1 km •. ( 1m•S km
b. 30 mm • ( 1 cm f. 1 1 hm = 23m
c. 30m•( 1 dam ,.[ 1 dm • 4 m
d. 350 an -1 )m h.( 1cm•50mm
38. C.kulen el perfmetro de c.ad.a ftsura. Expresen los resultados en metros •
•• ali -600 mm; aa -15 dm
dr-----------------~ c
.L-----------------~ b
b. de -0,04 m; fg -5 an
e
39. Completen Las siguient es equivalencias.
L 50 m'= 1 ) km' e. [ ) m' = 5 km'
b. 30 mm' s ( ) cm' f. ( ) hm' -23 m'
c. 30 km' -1 ) dam' S. { ) dm' • 4 m'
11. 350 cm' = [ ) m' h. ( ) un' -SO mm'

AOlVIDADES
Peñmetro y área de figuras planas
40. Calculen el,,... de la siguiente fl¡ura. úpresen el mulbdo en an' .
L iiC • 0,8 dm lx • VO mm
/vea • ('-_--J)
o\L Lean atentamente y resuelvan.
... ef¡h tr~pedo er. 240 mm
gh • 16 an iii • 0,00008 km
Area-( )
'----'
Suponiendo que el siguiente Tangram mide 10 cm de lado.
a. calculen el área de cada una de las siguient es figuras.
Gato: A • .._( __ .J) Pato: A • .._( __ .J)
b. lQu~ conduslones pueden obtener?
c. ñiñ es di~ metro del clrcu o.
mn • 0,1 m
!vea-( )
'----'
Hombre: A -(.._ __ .J)
~------------ --------------
-----f«M ____ ,_, __ __

ACTIVIDADES
Perímetro y área de figuras planas
42. (alculen el valor de X y la medida de cada ladO del biángulo.
a. Perímetro de pqr = 3,18 m b. Perfmetro de aor • 0,93 m
pq = x + 150 mm; qr = 2x + 0,10 m;
- -
ar • 2x + 5 cm; ao • 2x-7 cm
rp•3x+5cm
~=
1 ) ~-( )
r
pq. ( l
r
( l
~ ~
ar •
qr • ( l
ro= ( l
( l
a o
ao. ( l
p q rp=
43. Calculen el área de los biingulos teniendo en cuenta que en ambos casos es la misma.
44. lean atentamente y resuelvan.
Joaquín y Noelia resolvieron el siguiente p roblema.
la figura está formada por dos triángulos equiláteros. Cada lado del triángulo más peque~o mide
8 cm y el perimetro del triángulo más grande es de 36 cm. calculen el perfmetro de toda la figura.
Solución de Jooqufn
"Yo calculé el perímetro del
triáf19uio pequeflo y después le
sumé el resultado del perfme·
tro del triángulo mayor.
La cuenta que hrce fue:
Perímetro de la figuro =
3.8cm+36cm
ymedio60cm.
<Quién resolvió el problema correctamente?
Solución de Noelia
"Yo calculé la medida de los iodos
del triángulo mayor.
De la ftgura,
no consideré el lado
que
tienen en
común
la cuenta que hice fue:
Perfmetro áe la figura •
2 .8cm+ 2. 12 cm+ (12 -8)cm
ymedio44cm

Integración
45. Calculen el valor de x v la medida de las
bases del trapecio.
L abcd trapecio.
ei • 25 cm. base m~ia .
ab • 3.>. + 5 cm
1
• b
x=[~~~
ab= [~=~)
cd -1'-------JI
b. abcd trapecio.
iññ • 2x + 20 cm, base media.
ab • 5x + 10 cm cd • 15,5 cm
d '
a
x·(~~
ab= (>===~
iññ =( '---....J
)
)
• b
)
46. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) serún
corresponda.
a.
En todo paralelogramo l os lados opues· 0
tos son distintos.
b. En un rectángulo las diagonales se cor·
tan en su punto med1o.
c. las diagonales de un rombo son per·
pendiculares.
o
o
d. En el cuadrado, las diagonales no tum· O
plen las mismas propiedades del rombo.
e. El rombo cumple con todas las prople
dades del rectángulo
f. El romboide no tiene ningún par de
lados paralelos.
1· Un rectángulo es un cuadrado.
h. Un cuadrado es un rectilngulo.
o
o
o
o
CONTENIDOS
;-sa·Sl
47. Calculen la medida de los '"Julos de los
siguientes romboides.
a. abcd romboide.
d
a -1
1 <
6 -(
e • 1
a • (
b
b. abcd romboide.
~
u • 37° 20' 1 • ns• 30'
~
e -1
•
1 g -(
¡¡ -1
48. DibuJen en sus urpetas.
Un ti<! pecio isósceles de 12 cm de base mayor,
5.5 cm de base menor y 3,5 cm de altura.
49. Indiquen si los siguientes paralelogramos
son conrruentes. Exp liquen cómo lo pensaron.
a .• l?l.'k/-1
b .• l7.L'¡·
N<)Oibr• --------------Cur>O---FKIII--l--1--
l
l
l
)
)
)
l

50. Calculen La 11e~llda de Las dlasonales de
los paqleiDsl'llllos.
L abcd rect~ngulo
ao•3x+Scm bd•7x+Ban
d e
X • (
~
ac • 1
a b
bd. 1
b. abcd paralelogramo
oe•l3cm of•3x-Bcm ohax+16cm
h 1
X • (
/El
hf-(
ge -{ •
SL Calculen los in¡ul.os interiores del rombo.
•
b
X • ( 1
a-( 1
6 -( 1
e ocb-3x + 16°
oad-2x + 27°
~
-( e
a -(
1
1
52. Esalb~n Y (Verdadero) o F (Falso) se,ún
comspon
da.
1
1
1
1
1
1
L Dos paralelogramos
son congruentes si
tienen 4 ángulos respectivamente con·
gruentes. o
b. Dos paralelogramos son congruentes si
tienen un par
de
lados respectivamente
congruentes.
c. Dos paralelogramos son congruentes si
tienen sus diagonales perpendiculares.
o
o
d. Dos par¡¡lelogramos son congruentes si
toenen dos lados y el ángulo comprendido O
entre ellos congruente.
e. Dos paralelogramos son congruentes sl
tienen un par de triángulos congruentes O
defimdos por una de las diagonales.
53. Calculen el valor de x y La medid~ de las
bases del tl'ilpedo.
..
d e
ab • Sx + 3 cm
')/
'·
cd • 2x + tt cm
\.
ñiñ • 28 cm a b
X • 1 1 ab • ( 1
cd • ( 1
b.
~ 1
er • 3x + 11 cm
);
~ gh • S• + 10 cm
7
op • x + 30 cm
•
1
X • ( 1 ef • [ )
¡¡;. ( ) op • ( )
54. Cekulen los Angulos Interiores del trapecio
ls6sc.eles.
d e
L
lx·IO'
- lx+~
.L._ __ ,;;: b
JI.-( ) e -[ )
a • ( ) a -(
6 -1 )
SS. Construyan utilizando resta y compú los
slsulentts c AdriW.ros.
L Un rectángulo de S cm de diagonal.
111. Un cuadrado de 25 un' de área.
c. Un paralelogramo de 4 cm de altura.
d.
Un
trapecio Isósceles.

'¿)
56. Calcul~n los ángulos Interiores d~ los bfingulos.
•• ..
,.. -1 ...
!.x + uo a -)X + ]~
0
¡ 1 • zx + too: a -uoo a -x + 12"; b -
3
x + 10'": e
6
(
X • [ 1
X • ( l
~
a -( l
,
a • ( l
L::_
6 -( l
/}.' ;; • 1 l
d •
1 • [ •
b
e -( l l
57. Cakulen el valor de x.
LX•L[ _ _..] b. X • ._1 _ ___.) C. X • (._ _ __.l
15 cm
58. C.lcu~n las medldu de las bases.
d e
.. 1 \. ab • Sx + 25 cm
¡-
~
dc•x+Scm
iññ • Sx + tO cm
•
b
59. Calculen el irea pintada.

CONTENIDOS
~2 Clas1Htae16n de los cucrpos .
.>:S Atea lateral y total de
poli M ros.
f.na lateral y total de
ct..~os redondos.
:o• Volumen del prisma v del
cilindro.
~<;. Volumen de la pirámrdo,
del cono v de la esfera.
57. Unidades de capaddad
v masa.
SITUACIÓN INICIAl. DE APitlNOIZAJl
1. ObseNen la imastn y resuelvan.
a. lQué elemento del cuadrado base del cubo corresponde al camino más corto que podrla hacer
la hormiga para llegar a la hoja?
b. <Cuál es el camino m~ corto que puede recorrtr la hormiga para llegar a la flor?
c. SI las aristas del cubo miden 20 cm, icuál es la longitud de ese camino?
d. Comparen las respuestas con sus compañeros.

Claslftcaclón de los cuerpos
Los cuerpos se dasifitan en poliedros y redondos.
• PoUedros: son los cuerpos que tienen todas sus taras planas y se clasifican en prismas y plrimldes.
Pioimlde: tiene una so~ base y sus mas ~terales
son tr~ngulos. En las pirámides rectas las mas late·
rates son IJUf91os iséscel~ congr~entn
h
Cilndro
lliriiCI!
drcr'"~~nclo•
m4Jtlmos
ro dio
\--1----1'-"<V
rod~ de
---"~./ /0~
En los poliedros convexos se verifica la relación de Euler:
cantidad de caras + cantidad de vértices • caoodad de aristas • 2
Existen ~o cinco poiedros nesulanes en los que todas sus caras son polígonos regulares congruentes.
Tetraedro Cubo Oct.edro Dodecaedro Icosaedro
Sus caras son
cuatro triángulos
equll3teros.
Sus caras son
seis cuadrados.
Sus caras son
ocho triángulos
equiláteros.
1. Respondan y exptiquen las nespuestts.
L iCuAntos vértices. aristas y caras tiene un cubo?
b. El cubo <es un poliedro? ¿y un prisma?
Sus caras son
dote pent3gonos
regulares.
Sus taras SM
veinte tri.lngulos
equiláteros.
c. Una pirámide ¿puede tener una cara lateral que sea un rectángulo?
d. <Cuántos vértices tiene un octaedro?
---f« ... __ , __ , __

ACTIVIDADES
Clasificadón de los cuerpos
1. Resuelvan.
a. La pirámide de base triangular se armó con palillos y bolitas
de plastilin
a.
<Cuántos palillos y boli tas de plastilina se usaron?
b. iQué cuerpo geométrico se puede armar con 12 palillos igua·
les y 8 bolitas de plastillna?
c. Si se armó un prisma recto de base hexagonal, lcuántos pali·
llos y bolitas se usaron? iCuántas caras rectangulares tiene ese
cuerpo geométrico?
2. lean atentamente y resuelvan.
Seccionen con un solo corte los c uerpos de manera que queden dos i guales.
iC6mo se llaman esos cuerpos?
&
b.
~
3. Completen la tabla.
Pot1edro regular Número de caras Numero de vértices Número de aristas
Tetraedro 4 6
Cubo 6 8
Octaedro 8 12
Dodecaedro 20 30
Icosaedro 12 30

Área lateral y total de poliedr os
El irea ~terel de un cuerpo se obtiene sumando ~s áreas de sus caras ~terales.
El irea total de un cuerpo se obtiene sumando las áreas de las bases con las áreas de las caras
laterales.
Prisma
recto
En un prisma recto, las caras laterales forman un recUngulo cuya base es~ perlmetro de la base
dt>l prisma y su altura es la del prisma.
~
Porfm01ro ~
labeo
L
Área laterCJI del pmma recto ~ pen'metro de la base. altura
La base de un prisma es un polígono. Las siguientes fórmulas permiten calcular el irea, según
su forma:
perímetro de la ba&e altura de la CtJra lateral
2
ÁrealaterCJI de la pu'!lrnlde regular •
Área tOtd de la plrámde regular= área lateral + ~ de la I1GI6e
l. Repondan y upUquen Las respuestas.
L iQué figuras fonnan el desarrolo de un prisma regular de base octogonal? lCuantas de cada tipo?
b. ¿cuánto mide el area total de un cubo de 3 cm de arista?
c. lCuAI es el área lateral de un prisma cuya area total es 30 cm' y el área de una base, S cm'?
---~-- 1-- l.--

ACTIVIDADES
Área lateral y total de poUedros
Calallen el irea t.tel'lll y total de ada pol*lro.
a. Prisma recto cuadrangular.
75 """
b. Pirámide recta triansular.
S. calculen el valor de x.
a. Cubo.
Área lateral • 196 m'
X • ..._[ _ _.1
b. Pirámide recta cuadrangu lar.
Área lateral • 136 cm' h - 17 cm
c. Prisma recto rectangular.
15011
' 1
1
1
1
1
1
1
1
~-~ J,
--
d. Prisma recto pentagonal regular.
c. Prisma recto rectang ular.
Área total • 342 cm'
X • [ 1 ..__ _ _,
d. Pirámide regular.
Área lateral -604.5 dm' h • 260 cm
x•(.._ _ _.l
= .
. ~ . -· . . :
. . . . ' ~ . . . .

Área lateral y total de cuerpos redondos
aundro
El ~rea total de un cilíndro es Igual a la suma entre el Area
de la cara lateral y el área de las bases.
En un cilindro, la cara lateral es un rectAngulo cuya base es
la longitud de la círcunferencla de la base del citíndro y cuya
altura es la altura del cilíndro
Neo laUrd dd"'"'"""' • 2 . 1t. r ~
Áreo ~ del c.lrl<n> = ~ lo:l:en::f • 2 • 1t. ~
La base del al ndro es ~n drtLio cuya ¡ru es " . r'.
Cono
El Area total de un cono es la suma entre el área de la cera
lateral y el área de la base.
La longitud del arco del sector circular correspondiente a la
cara lateral es la misma que la toncitud de la circunferPncia de
la base del cono.
La cara lateral de un cono es un sector circular cuya 6rea
es ton;tud ~ arco·
8
donde g es la generatriz del cono.
La generatriz se calcula con la propiedad pit agórica:
g> • r' + h' entonces g • -J? + h2 .
Radio
del sector .
drcu:tar ·
Radio de la b,.,
Ároo ~ro l~~ cono • 1t. r. g
Ároo totol del cono = óreo ~rol + 1t r2
La base d<!l cono es un drculo.
E5fera
El ~rea de una esfera se puede cubrir totalmente con
4 cfrculos m!xlmos.
1. Responden y expliquen las respuestas.
lidio
a. SI un cono y una pirámide tienen la misma altura, U~l t•ene mayor área lateral?
b. ¿qué cantidad de papel se necesita para poder forrar una caja dllndñca de 10 cm de altu·
ra y el radio de la base de 4 cm?
c. <Se puede calcular el área lateral de una esfera?
~ ·------------ ------------------ -------l.--1--

ACTIVIDADES
Área lateral y total de cuerpos redondos
Calculen el área lateral y el área total de cada cuerpo.
a. Cilindro.
7. Calculen el valor de x.
a. Esfera.
Área total = 803,84 cm'
r • (..__...JJ X • (..__---']
b. Cilindro.
Área lateral • 163,28 m'
•
X • [.._ _ __.
b. Cono.
6m
c. Cilindro.
Área lateral • 587,18 cm'
17 cm
)(-[..__...Jl
d. Cono.
1

1
' 1
'
1
•
'
5,2x-7,2 cm
Área lateral e 28,6368 m'
4x-2,4 m
X • (.______,] r = (.______,)

lntesratión
8. Bulquen l~renes de objetos que tengan la
forma pedida .., ada aso.
a. Cubo. c. Ollndro.
b. Pir~m ide . d. Esfera.
9. Busquen lm4genes de objetos formados por
~rlos cuerpos geom~trlcos . Identifiquen los
cuerpos en ceda aso.
10. Calculen los datos pedidos en cada caso.
1. p ¡rjmld~ de base cuadrada de lado 14 m.
Área lateral • 644 m'
Altura de la cara lateral • [.._ __ ....~
Área total • ~.-I _ _ ..J
b. Cono de 51 cm de dlametro.
Área lateral • 3 122,73 cm'
Generatriz -( J
~::::::
Área total • .._( _ __¡)
c. Prisma de base rectan gular.
Largo • 14 cm Ancho • la mitad del largo
Área lateral • 462 cm'
f-/+'1 __ --{/
1
'
'
1 /,_ ________ 1:7
Altura • '-( -;:::::~) .....,
Área total • .._( _ ___,)
CONTENIDOS
Sl·53·SQ
11. C.kulen tl irea total de los siguientes
poliedros
regulares. L Arista • 12 cm.
Altura de cada cara ~ 15.4 cm.
b. Arista • 7,1 m
-··
1
'
'
' __ ,1 __ _
Área total • [.._ _ __¡)
Área total • (.._ __ ..J)
12. lean attntamente y resuelvan.
Escriban el nombre del cuer po al que perle·
nece cada desarrollo. Luego calculen el 6rea
later
al
y total
a.
1 1
S'"'
7 cm
Nombre del cuerpo: -------
Área lateral:----------
Área total:--------
b. Apotema • 3 cm Altura de la cara • 9 cm
Nombre del cuerpo: --------
Área lateral:----------
Área total:----------
______ , __ ¡_

13. Resuelvan. 15. Cllculen el área total
a. Se planea pintar el eAierior de un tanque •·
de
agua
(sin sus bases) de 2 m de diáme·
tro y 1,5 m de altura. <Cuántas latas de pin·
tura de 2 litros se deben comprar si cada
litro cubre 2 m'?
b. tCuAntos metros cuadrados de papel se
deben comprar para forrar una caja (indu·
yendo sus tapas) de 23 cm de larso. 15 cm
de ancho y 10 cm de alto?
c. Se compraron 2.4 m
1
de azulejos para
revestir
una columna con forma de prisma
recto cuadrangular
cuya base
tiene 1,6 m de
peñmetro. ülasla quf altura se puede
revestir ta columna?
d. Una pelota de tenis tiene el doble de
radio que una pelota de ping·pong.
<Cuántas veces más grande es la superfide
Área total • (..___....J
b.
de la pelota de tenis respecto de ta superfl· 16. Cllculen el valor de x.
ele de la pelota de plng pong7 a. Prisma de base triangular
Área lateral • 111.6 cm'
1-\. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).
a. Todos los rubos son prismas rqulares. O
b. Todos tos poliedros regulares tienen sus
caras triangulares. O
c. las bases de los prismas son potrgonos
congruentes. O
d. No existe una pir~mide cuyas caras sean
todas iguales. O
e. El área lateral de un cono es igual al pro·
dueto entre la longitud de la circunferencia
de la base y la generatriz dividido 2. O
X • [\_ _ _,)1
lados de la base •
b. Cono.
Área total • n ,37 cm'
2.8""
•.s cm
f. El área total de una esfera es igual al
área de 4 de sus círculos máximos. O " • (..___.JI Generatroz • (~._ _ __JI

Volumen del prisma y del cilindro
Medir una cantidad de volumen s•gn•fica comparar dicha cantidad con otra tomada como unidad
de medida.
El metro cúbico ~ escribe m~ es el volumen de un cubo de 1 m de arista.
1m' • 1000 dm'
~~~~~~
km' hm' c:lam• m> am' cnr mm>
ldl6motro hectómetro dec<lmetro metro c:leclmetro ce®metro mi'metro
cúbico cúbico cúbico cChlcc cúbico cúblco cúl>lco
~~~~~~
El volumen de un prisma se obtiene a partir
de la siguiente fórmula:
Volumen c:let pnsma = órea de lal:la!;e. altura
Boso
......-¡
!
1
'
'
'
1.:
ll.
'
j;:
•
1
1
1
'
'
Altura
'
'
'
~
la fórmula del volumen del dUndro se puede obtener de la siguiente forma.
Si en un prisma regular se aumenta cada vez más la cantidad de lados de la base, se obtiene
una ftgura geométrica plana que se aproxlma cada vez más a un cfrculo.
Volumen c:lel cillnc:lro • lt. r" . olturo
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. iA cuántos centimetros cúbicos equivale un metro cúb•co?
b. iCuál es la fórmula que perm4e eoomllar e4 'IIOWmen de un prisma redO de base hel<agonal regular?
c. iCuánto mide el volumen de un cubo de área total 1 350 m'?
---"""--1--1--

ACTIVIDADES
Vo u nen del prisma y del ciUndro
18. Calculen el volumen de los slsuientes cuerpos.
a. c. Ap • 1,2 cm
1
!
1 7 cm
'
'
'
1
'
/---
zcm
Volumen • ('----'1
Volumen • .._( __ ..,1
b.
IS m
... ---------...
"" 1.2 dam '
-------
Volumen • .._( __ _, Volumen • ( 1
'----.J

Planilla elKtróni ca u hoja de cákulo
lnlllllljraf!
puodfn .. _ ..
En este apartado se trabaja con la planilla eltctr6nlcl u hoja de célculo, un topo de
documento muy útil y fácil de usar que sirve, entre otras cosas, para realizar operaci ones
matem3tlcas. registrar datos y presentar en forme de gr4Rco los resultados obtenidos.
"""""" tJW
cll: ..... ¡Ul'lll
................
cil'<ilom
Conversl6n de unidades de volumen
Para crear un conversor de unidades de volumen, se pueden segu ir los siguientes pasos:
• En la celda At se escribe "CANTIDAD" y se da "Enter"
• En la celda 8t se escribe "UNIDAD" y se da "Enter"
• En la celda Cl se escribe "km'" (para esaibir la potencia se presiona "C!Jf'+"Mayúscula"+"f"' y en el
recuadro qlol' se eb~ se tilda "Supen ndice" y luego se esalle el expooen:e deseado, 3 en e-.te caso).
• En la celda Ot se escribe "hm'". en El va "dam'", en Ft va "m"', en Gt va "dm •, en Ht va
"cm"' y en lt va •mm;o.
• De •sual maner a, en la celda 82 se escnbe "km'". en 83 va "hm'", en 84 va "dam •, en BS
va "m'", en 86 va "dm'"; en 87 va "cm • y n 88 va "mm •.
• En las celdas A2, A3, A4, A5, A6, A7 y AS se escribe "1".
•
' •
1
1
A
r CAIIno.iD
1
1
1
1
1
f-~
.__1
1
Ji.OO<D
...
""' ~
...
.,.,
-·
( o t
' ...
""'
....
"
1
6 H 1
... , ... .....
A continuación. se colocan las fórmu as correspondientes a cada pasaje de unidades en las ce l·
das correspondiente de acuerdo a la siguiente tabla:
¡~~:t=~--r
'~~~~~-+~~
·~~--+-~~-r ~~~~o/~ :.~
;~:t==l:~~:t~~t3~~~~
.EB:~
kloraclono~J& en 106 c:eldCI5C2. 0:3. E4. F5. OO. H7 e 18 aparec;erél11os número5 que figur'Gln en
la,; celda .. A2, M. A4, A5. A6, A 7 y A8, respect-vo'l'en~
Se debelfa ver de la siguiente mane ra.
199
loo-de
-. ---
· -----------------------------Curso few ---1--1---

Observen que en algunas celda~ aparecen los números escritos en exponencial porque son
números muy larg
os.
1E+12
• 1 10u • 1000000000000 1E-12 • 1 10u • 0,000000000001
Una vez creado e "convert•dor de unidades", solo se debe c;~mbíar el valor de la columna
"CAI'ITIDAD" de acuerdo a lo que se quiera convenir.
Por ejemplo, para saber cuántos metros cú[)icos hay en 2 n4 km'. se escribe *2534" en la celda
A2 y se da "Enter". En este caso, la respuesta se visualizar~ en la celda F2.
1 nH """
A 4
1 J (N<IIOOO 1 ..-o:j
,':,¡
l\14
~"' el~e..2.534 .10.
Por ejemplo, para saber cuantos kil6metros cúbicos hay en SS 200 hm'. se escribe "55200" en
la
celda A3 y se
da "Enter". En este caso, la respuesta se visualizar~ en la celda O.
Por ejemplo, para saber c~ .\ntos centímetros cúbicos hay en 0,0005 dam'. se escribe "0,0005"
en la celda A' y se da "Enter". En este caso. la respuesta se VISUalizará en la ce da H4.
1. Calculen usando el •convertidor de unidades" y completen.
a. 2 465 dm' • ( J hm'
b. 0,025 m' • ( J mm'
t. 12345678 an' • '--( ___ ___,) dam'
2. Verifiquen los resultados de la a<tlvldad 17 da la P'slna 200 usando el •convertidor de
unidades•.

Volumen de la pirámide. del cono y de la esfera
Si se construye un pnsma y una pl~lde de Igual base y altura. se puede compro~r experimen
talmente que el contenido de tres ptlimides completan el volumen del prisma.
Se pueden establecer experimentalmente las relaciones entre el
volumen del cilindro, el cono y la esfera.
1. lfl9<t";l11 f~ 11 /kpl.
rJ[ic.;i.E~ ' p¡ri ~l'z<r
rr.1sen del< . HOO'ICHStl
úlaio ck> ~ ... ~ L1!l al,
Sil 3rs lOUI y !11 Y!llumrn.
·en.c.-<lo rtqS/
~7pi'fKl
Por eJemplo, se Uenen en cuenta tres recipientes: uno semiesfénco, uno cónico y otro ctllndnco
de •sual radio y altura. Si se llena con agua el cono y se vierte su contenido en el cilindro, se veri·
lica que para llenar este último son necesarios exactamente 3 conos.
En cambio, para llenar la semiesfera se necesita verter el contenido de 2 conos.
h h
, 1 ..>
Vol..,.,., del C<l010 • ~ 1oOitmen de Gtli>dro • ~ . Jt r. h
Volumen de la ~f""" • 2 Vol.n1M del cono • 2 . ~ Jt. r' . h y ; • • r'. r
Volumen de lo e5fera • 2 Volumen de la ~mleefera • 2 -; 1t. ,.>. ~ 1t. r>
1. Respondan y opUquen las repuestas.
1. Si un prisma tiene Igual irea de la base y el doble de ~a altura que una pirámide, (l;uántas
plrimldes son necesarias para que lengan el mismo volumen que el prisma?
b. Un cono y una pirimíde, <pueden tener el mismo volumen?
c. En la fórmula del volumen de la esfera. lde dónde se obtiene el n(Jmero ~?
~------------------ ---------
----------1----1---

AOIVIDADES
Volumen de la pirámide, del cono y de la esfera
19. catculen el volumen de los siguientes cuerpos.
L c. Pirámide de base hexagonal.
Volumen- Volumen •
------ ------
b. d. Tetraedro regular.
6cm
Volumen- Volumen •
------------
20. Resuelvan.
a. La medida del diámetro de una pelota de basquet es 24 cm. Calculen el volumen de aire que
contiene en su interior.
b.
Calculen la medida de
la altura de una pii"Amlde de base cuadrada sabiendo que su apotema
mide 7,4 cm y su volumen es 1606, 29 cm'.
c. <Cuál es el volumen de azúcar necesario para llenar 3 frascos cónicos de 7 cm de dijmetro y
U cm de altura?

Unidades de capacidad y masa
la cap.dclad de un r~cipi~nt~ Indica la cantidad de sustancia q~ puede contener.
~~~~~~
kl hl aal 1 al el mi
kilolitro hectclltro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
~~~~~~
Rtlxioon emre las ltlidade de UI)IC,dld yw!Jmen
1111 • 1 ml ll• 1 dm' lrli • 1 an'
El pe~ de un cuerpo es la r~rza con la que el cuerpo es atraldo hada el centro de la Tierra.
la unidad para medir el peso es el kilogramo fuerza (se escribe kgQ.
la masa de un cuerpo es la cantidad de materia que forma ese cuerpo. La unidad para medir la
masa de un cuerpo es el gramo (se escribe g).
Por ejemplo, la masa de una persona que está en la Luna ~s Igual a la que tiene en la Tierra,
pero su peso es menor debido a que la atracdón lunar es menor que la terrestre.
Existen otras unidades de masa como la tonelada (1) para medir cuerpos m~s pesados.
1 t= 1000~
Se define como densidad (5e escr1be 8) de una sustancia a la masa por undad de volo~ de la m sma.
S-!!!
V
Una unidad utilizada para medir la densidad es el -';.
cm
1. Respondan y elq)Uq~n las respuestas.
a. <Qué es la masa dl' un c~rpo?
b. i.Cwl es la diferencia entfl' la masa y el p~ de un cuerpo?
c. <Qué es 1.a densidad?
---Ftc"'--1--1--

Cl
ACTIVIDADES
Unidades de capacidad y masa
Completen las tablas.
22. Calculen la capacidad de los siguientes cuerpos.
a.
Radio= 4 m
Capacidad -('---..J
b. Prisma de base hexagonal.
' :
:....r
1
1
1
1
1
1
' 1 1
,a. ... _,.
23. Resuelvan.
lado hexágono • 24 cm
Apotema e V cm
Altura • 43 cm
Capacidad - [ 1
a. La densidad del alcohol es 0,8 .!, .
cm
Calculen el volumen de 1600 g de alcohol.
Largo • 0,061 km
Altura • 12 m
Ancho de la base = 320 dm
capacidad-(.___-.~ 1
d. Piramlde de base cuadrada.
Altura • 23m
Lado de la base -130 mm
Capacidad • ( 1
b. Un cubo sólido mide 6 cm de arista y tiene una
masa de 0,583 kg. lCuál es su densidad en -';?
cm
~'"'~:~ ¡~ ~~ ~~~•~' .-~~· -'-'·"-··· '> .e•:&:•'
._ -~ -~--

.,
tegra(aon
Volumen • ( )
Volumen • ( J
Volumen • (..._ __ ...~)
Volumen • ..._( ---')
Volumen • ( ]
'--_ __,
25. Resuelvlln ~~do en cuentl que Qda
prisma esd formado por cubitos de 1 cm•.
a. b.
:J) • <.Cuántos cubitos entran?
' 1 "l.
·t-+-i
' ....
fo·•--- L . ~ ~
• Calculen el volumen de cada prisma.
CONTENIDOS
5)-S&· 57
26. Complet.n IJI tabla.
km' hm' da m'
2,3
12
0,3
45
0,9
23,5
347
a.
5.5 dm
b.
c.
d.
m'
5
123
---f«N __ ,_/. __

28. c.tculen la capacidad de los siguientes
cuerpos.
a. Prisma de base triangular.
b. Cilindro.
,,-----.......
29. Resuelvan.
Base del tri~ngu lo = 16,6 cm
Altura del triángulo • 5,2 cm
Altura de la pirámide • 9 cm
Capacidad = [.._ ____ )
Radio • 3,5 m
Altura= 8 m
Capacidad = !......__---')
a. La densidad del agua es 1 -1,. lCuántas
cm
botellas de 1 litro se pueden llenar con una
masa de 3 000 g?
b. La densidad del azúcar es de 1590 ~.
m
<Cuál será el volumen de un kilogramo en
cm'?
c. Una bola metálica tiene una masa de
13,5 g. Si la introducimos en un vaso con
agua, desplaza un volumen de agua de
5 cm'. <Cuál será su densidad?
d. La densidad del aire contenida en una
habitación es de 0,0013 -'; y las dimen·
cm
siones de la habitación son 4 m de ancho,
5 m
de largo y 2,5 m de alto. lQué masa
tiene
el aire contenido?
e. La densidad del cobre es 8,9 -';. lQué
cm
volumen ocupará una masa de 500 g?
30. Respondan.
a. Si se hace girar cada figura alrededor de
su eje, i.qué cuerpo geométrico se forma en
la rotación?
b. Si el volumen de un cono es 105,975 cm'
y la base del tñángulo mide 4,5 cm, <cuál es
la altura del tri~ngulo?
c. Cuál es el volumen de la esfera si su diá·
metro es 22 m?
d. Si el área del triángulo es igual a la
mitad del área del rect~ngulo, <cuál es el
volumen del cilindro?
31. Lean atentamente y resuelvan.
Consideren un cubo de añsta a. Escñban en
qué proporción aumenta el volumen en cada
caso.
a. Sí se duplica solo la longitud del
largo.
b.
Si se duplica la longitud del largo
y del ancho.
c. Si se duplica la longitud del largo,
del
ancho y
del alto.
32. Resuelvan.
O.sldlld ele aipiiOS IUitertlles
M.tnnol • 2,7 ~
--~ ....
~~ :~~,·: :::· :::·:~ :~:-:.::~~~:?,.:~ ~~t-~;~~~~:: :;:: .-i~~,:~~,~(i-t~ ~-~
. . ' . . . . . .
a. Kuánto es la masa de una placa de
mármol de 1 m de largo, 2,3 m de ancho y
0,05 m de alto?
b. Kuál es el volumen de un lingote de oro
de 5 211 g de masa?
c. <Cuál es la masa de una esfera de dia·
mante de 4 cm de diámetro?

~ 33. Cakvlen lo pedido en ada cuo.
L
c.
lado de la base • 12 cm Altura • 31 cm
kea total • [ 1
Radio-11 mm
Area total -{r---,)
Volumen • { )
Capacidad • [ )
Volumen • [ J
'r=~
Capacidad = ('-__ _;}
b.
d. Pirámide cuadrangular.
013metro -24 m Altura • 3,S dam lado de la base • 3,6 cm Altura • 90 mm
Altura cara lateral = 0.12 m
kea total -[ 1
Volumen • ( 1
Capacidad -[ 1
Area total • ( )
Volumen • [ )
Capacidad • [ )
34. Plln~ y resuelvan.
a. Se tiene una pileta reaanguldr de 4.S m de largo. 6 m de ancho y 1.1 de profundidad.
iCu~l es el volumen de la P'leta? Kuintos litros de agua son necesarios para llenarla? Si 1.1
densidad del agua es 1 -'-;, lcuál es la masa del acua?
("'
b. Una habitación de 4 paredes tiene 31,2 dm de ancho, 3,9 m de largo y 0,29 dam de alto.
SI con 1 litro de pintura se logra cubrir 8 m•, lcuántos litros se necesitan para pintar toda la
habitación con dos manos de pintura?

CONTENIDOS
!> PoblaCión y mutstl'!
Orpn•zadOn de tJ
lnforrnadOn.
• Promedio. moda v
mediana.
Gr6~cos
Permutaciones.
62. Prob.lbiUdold.
SITUACIÓN IIIICIAL DE APIIMDIZA.II
1. ObseJVen la lmqen y tespondan.
a. tEs importante el tipo de pelo que tienen las person as que fueron tenidas en cuenta p ara el
estudio? ¿por qué?
b. aes parece Importante que el estudio sea a nivel nacional (que se tomen en cuenta dlferen
tes provinco as) como dice la propaganda? <Por qué?
c. ¿Les parecen suficien te 25 personas para afirmar lo que dice la publicidad? ¿por qué?

Poblad6n y muestra. Organizad6n de la infonnad6n
Se denomina población al conjunto de Individuos o elementos que se pretende estudiar estadfs·
ticamente mediante una encuesta. un censo o una Investigación.
Cuando no se puede estudiar toda la población, se selecciona una parte de la misma que sea
representati va. A esa parte se la denomina muestra
cada tema sobre el que se estudia una poblad6n se denomina vllfable. Las varlabales pueden ser:
• CuaUmtivas: se miden a partir de datos no numMcos. Por ejemplo. el club de fútbol preferido
de
un grupo de alumnos. • Cuantllativll$: se miden a partir de datos numéricos. Por ejemplo, la edad de un grupo de profesores.
Los datos que se obtienen de una encuesta o investigación se pueden Mganlzar en tablas que
facilitan elan,Usls de la lnfonnlld6n
Se denomina frecuencia absolu ta (/) al número de veces que se repite cada valor de la variable.
Se denomina frecuencia relativa (fr) al cociente entre la frecuencia absoluta y el total de elemen
tos que fonman la muestra.
Si a cada frecuencia relativa, expresada en forma decimal, se la multiplica por 100, se obtiene el
porcentaje de la variable.
1
fr •
n
n es el número de elementos que fonman la muestra.
Se les pf'e9Untó a los alumnos de segundo Ql\o las eda<le!J. y ic:J!J respuestas fue non
1~1~1a1~1~1~1~14.1~1~1~1~1~1~13.1~1~1~1~14
Edad
r
Ir ,
13
10
0.5
14
7
7
20 =03!)
15
3
/)
;¡:;•0.15
Cuando los valores de las variables son números no enteros o si la muestra es muy grande, se
pueden agrupar en Intervalos de cla.se (en general, conviene que tengan la misma longitud).
1. Respondan y e.w;pllquen las respuestas.
a. lCómo se clasifican las variables? Escriban un ejemplo de cada caso.
b. Si se realiza una encuesta para saber el color preferido de un grupo de alumnos.
<Cuál es la variable?
c. Para un valor de variable Igual a 50 sobre una muestra de 400, <.cuAl es la frecuencia rela·
tiva? ¿Qué porcentaje representa?
______ , __ , __

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