Algebra Linear cap 01

1. 1
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR


CAPÍTULO 1

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
 
 
1 MATRIZES

HISTÓRICO 
 
O  pai  das  matrizes  foi  Cayley  que,  em  1850  divulgou  esse  nome  e  iniciou  a 
demonstrar sua utilidade. Elas surgiram para a resolução de Sistemas Lineares. Mas foi só há 
pouco  mais  de  150  anos  que  as  matrizes  tiveram  sua importância  detectada  e  saíram  da 
sombra dos determinantes. No entanto, o primeiro us o implícito da noção de matriz se deve a 
Lagrange em 1790. 
O  primeiro  a  lhes  dar  um  nome  parece  ter  sido  Cauchy  que  as  chamavam  de 
tabelas.  O  nome  matriz  só  veio  com  James  Joseph  Sylvester,  1850.  Sylvester  ainda  via  as 
matrizes como mero ingrediente dos determinantes.  É  só com  Cayley que  elas passam a ter 
vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância. 

Definição: Chamamos de Matriz, a uma tabela organizada em linhas e colunas, denotada por
mxnij
)a(A= , onde o par de índices "ij" , representam a posição de cada elemento
ij
a
dentro da matriz, sendo que o índice "i" indica a qual linha pertence o elemento e "j" a
qual coluna. O par de índices "mxn", representam o tamanho da matriz, sendo que o
índice "m" indica a quantidade de linhas da matriz e "n" a quantidade de colunas. Toda
matriz pode ser representada, genericamente, por:














=
mn2m1m
n22221
n11211a...aa
............
a...aa
a...aa
A


Indicaremos por
)(M
mxnℜ o conjunto de todas as matrizes de ordem mxn e com
elementos reais.
• Se m = n, a matriz será chamada de matriz quadrada de ordem n e representada por )(M
nℜ ou
simplesmente
nM. Matriz quadrada é aquela que tem a mesma quantidade de linhas e colunas.
• Se m ≠ n, a matriz será chamada de matriz retangular de ordem mxn e representada por
)(M
mxnℜ ou simplesmente
mxnM .

2. 2
• Se m = n = 1, a matriz representa um único elemento, ou seja, ()
11111x1 aaM ==. Assim, todo
número real pode ser representado por umas matriz de ordem 1x1.

Exemplo (1): Escrever a matriz
3x2ij
)a(A= tal que





<−
=
>+
=
jise,ji2
jise,i
jise,j2i
a
j
ij

Solução
: A matriz
3x2ij
)a(A= é representada por:








=
232221
131211aaa
aaa
A
. Então:
11ia
1j
11 ===; 42ia
2j
22 === , pois i = j
0212ji2a
12 =−⋅=−=; 1 312ji2a
13
−=−⋅=−=; 1 322ji2a
23
=−⋅=−= , pois i < j
3112j2ia
21 =⋅+=+=
Portanto:








−
=
143
101
A

1.1 Matrizes Especiais
• Matriz Nula
: é a matriz
mxnO, na qual todos os seus elementos são nulos, ou seja:














=
0...00
............
0...00
0...00
A

•
Matriz Linha
: é toda matriz de ordem 1xn, ou seja: ( )
n11211 a...aaA=.
•
Matriz Coluna
: é toda matriz de ordem mx1, ou seja:














=
1m
21
11a
...
a
a
A

•
Matriz Quadrada
: é toda matriz de ordem nxn, ou seja:














=
nn2n1n
n22221
n11211
nxna...aa
............
a...aa
a...aa
A
. Os
elementos onde i = j formam o que chamamos de diagonal principal.


•
Matriz Triangular
: é uma matriz quadrada, e pode apresentar dois casos;

3. 3
a) Triangular Inferior: é tal que jise0a
ij
<= ⇒














=
nn2n1n
2221
11
nxna...aa
............
0...aa
0...0a
A

b) Triangular Superior: é tal que jise0a
ij
>=⇒














=
nn
n222
n11211
nxna...00
............
a...a0
a...aa
A

• Matriz Diagonal
: é uma matriz quadrada, na qual cada


 ≠
=ℜ∈∀
=jise,0
jise,x
a
ij
⇒














=
nn
22
11
nxna...00
............
0...a0
0...0a
A

•
Matriz Identidade
: é uma matriz quadrada, denotada por
nId, na qual cada


 ≠
=
=jise,0
jise,1
a
ij
⇒














=
1...00
............
0...10
0...01
A
nxn

•
Matriz Transposta
: Dada uma matriz
mxnij
)a(A= , então sua transposta é uma matriz
nxmji
t
)a(A= . É a matriz tal que
jiij
aa=. Assim, dada uma matriz A, para obter sua
transposta trocamos as linhas com as respectivas colunas.

• Matriz Simétrica
: é uma matriz An, quadrada, tal que A
t
= A.
• Matriz Anti-Simétrica: é uma matriz quadrada tal que A
t
= -A.

1.2 Operações com Matrizes

•
Igualdade
: Sejam
mxnijmxnij
)b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então:
jei,baBA
ijij∀=⇔=
•
Adição
: Sejam
mxnijmxnij
)b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então:
mxnijij
)ba(BA +=+ .

4. 4
Propriedades da adição: Sejam
mxnijmxnijmxnij
)c(Ce)b(B,)a(A === . Então são válidas as
seguintes propriedades:
a) Comutativa: A + B = B + A
b) Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
c) Elemento Neutro: ∀A∈M
mxn, ∃O∈M mxn (matriz nula de ordem mxn) tal que A+O=O+A=A.
d) Elemento Oposto: ∀A∈M
mxn, ∃(-A)∈M mxn (matriz oposta de ordem mxn) tal que
A + (-A) = (-A) + A = O.
•
Subtração
: Sejam
mxnijmxnij
)b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então:
mxnijij
)ba(BA −=− .
OBS: A subtração não possui nenhuma propriedade. Vamos interpretar a subtração da seguinte
forma:
)B(ABA
−+=− , ou seja, a subtração é a adição com a matriz oposta de B,
nestas condições, as propriedades são as mesmas da adição.
•
Produto por escalar
: Sejam
mxnij
)a(A= e ℜ∈α∀ . Então:
mxnij
)a(A⋅α=⋅α .
Propriedades: Sejam
mxnijmxnij
)b(Be)a(A== e
ℜ∈βα∀e .
a) A )()A()A( αβ=βα=αβ
b) B A)BA( α+α=+α
c) A AA)( β+α=β+α
d) AA1=⋅
• Multiplicação: Sejam
pxqjkmxnij
)b(Be)a(A == . O produto da matriz A por B, indicado por
BA⋅, só é possível de n = p, e a nova matriz terá ordem mxq, representada por
mxqik
)c(C= ,
sendo que :
∑
=
⋅=
n
1j
jkijik
bac , para i=1,2,...,m e k=1,2,...,q.
OBS: Para haver o produto entre as matrizes
pxqmxn
BeA , é necessário que o número de
colunas da matriz à esquerda seja igual ao número de linhas da matriz à direita e, a
ordem da matriz produto é o número de linhas da matriz à esquerda pelo número de
colunas da matriz à direita, ou seja:





Propriedades: Sejam A, B e C, matrizes tais que o produto entre elas sejam possíveis. Então:
mxq
A m x n ⋅ B p x q
n=p

5. 5
a) Não vale a comutativa: ABBA ⋅≠⋅
b) Associativa: C )BA()CB(A ⋅⋅=⋅⋅
c) Distributiva:


 ⋅+⋅=⋅+
⋅+⋅=+⋅
CBCAC)BA(:direitaà
CABA)CB(A:esquerdaà

d) Elemento Neutro: Seja
mxnij
)a(A= . O elemento neutro é a matriz identidade de ordem m
(
mId) ou ordem n (
nId), pois: AIdA
n=⋅ e AAId
m=⋅.

Exemplo (2): Sejam








−
=
10
12
A ,








−−
=
312
105
B e








−
=
01
84
C . Determine se possível:
a)
CA2
+ d) C B⋅
b) BA⋅ e) B )C3A( ⋅−
c) CB+ f)
2
A
Solução: a)








−
=








++
−−+
=








−
+








−
=+
11
96
0110
8142
01
84
10
12
2CA2
b)








−⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅
−⋅−+⋅−⋅−+⋅⋅−+⋅
=








−−
⋅








−
=⋅
)3(110)1(1002150
)3()1(12)1()1(022)1(52
312
105
10
12
BA
⇒








−−
=⋅312
518
BA
c) Não é possível pois, B e C não têm a mesma ordem.
d) Não é possível pois, o número de colunas da matriz
3x2
B não é igual ao número de
linhas da matriz
2x2C.
e)








−−
⋅








−
−
=








−−
⋅














−
−








−
=⋅−
312
105
13
2310
312
105
01
84
3
10
12
B)C3A(
⇒








−−−
−−−
=⋅−6113
79234
B)C3A(
f)








−
=








−
⋅








−
=⋅=
10
34
10
12
10
12
AAA
2


1.3 Matriz Inversível

Definição: Uma matriz quadrada de ordem n se diz inversível, se , e somente se, existe uma matriz
quadrada B de ordem n, de modo que
nIdABBA =⋅=⋅ . Essa matriz B, caso exista, é
única e chamada de inversa de A, denotada por
1
A
−
.

6. 6

1.3.1 Determinação da inversa
1º Método - Por Definição
Aplicando a definição, onde
1
A
−
será escrita genericamente, vamos encontrar um
sistema linear. Se o sistema for possível e determinado (apenas uma solução),então existe a inversa.
Se o sistema for impossível, então não existe a inversa.
Exemplo (3): Sejam








=
42
31
A e










=
112
123
021
B . Determine a inversa pela definição, se houver.
Solução
: Seja








=
−
dc
ba
A
1
. Por definição
2
1
IdAA =⋅
−
. Então:








=








⋅








10
01
dc
ba
42
31

⇒








=








++
++ 10
01
d4b2c4a2
d3bc3a

⇒


 =+
=+0c4a2
1c3a
e 

 =+
=+1d4b2
0d3b
. Resolvendo os sistemas
lineares teremos








−
−
=
−
2
1
2
3
1
1
2
A
.
Seja










=
−
ihg
fed
cba
B
1
. Então,
3
1
IdBB=⋅
−
⇒










=










⋅










100
010
001
ihg
fed
cba
112
123
021
⇒





=++
=++
=+
0gda2
0gd2a3
1d2a
e





=++
=++
=+
0heb2
1he2b3
0e2b
e





=++
=++
=+
1ifc2
0if2c3
0f2c

Resolvendo os três sistemas lineares teremos:










−
−
−−
=
−
431
111
221
B
1


2º Método - Por Operações Elementares


Podemos aplicar operações nas filas (linhas ou colunas) de uma matriz, sem alterar suas
propriedades. Estas operações, chamadas de operações elementares são as seguintes:
a) Permutar duas filas paralelas;
b) Multiplicar uma fila por um escalar α, ℜ∈α∀ , com 0≠α;
c) Somar a uma fila uma outra fila paralela multiplicada por α, ℜ∈α∀ , com 0≠α;

7. 7
O método das operações elementares consiste no seguinte: do lado esquerdo escrevemos
a matriz A e do lado direito a matriz identidade de mesma ordem da A. Através de operações
elementares transformamos a matriz A na matriz identidade. As mesmas operações que aplicamos
na matriz A, devemos aplicar na matriz identidade que está do lado direito. No final do processo o
que resulta do lado esquerdo é a matriz identidade e do lado direito a matriz inversa
1
A
−
.

Exemplo (4): Sejam








=
42
31
A e










=
112
123
021
B
. Determine sua inversa, por operações
elementares, se houver.
Solução
:








−−
−
 →








−−
 →








++−
12*20
2*01
12*20
01*31
10*42
01*31
2
3
LLLL212
2
3
21









−
−
 →
−
2
1
2
3
L
1*10
2*01
2
2
1
⇒








−
−
=
−
2
1
2
3
1
1
2
A


 →










−−
−−










−
+−
+−
→
2
4
121
31
L
LL3
LL2
102*130
013*140
001*021
100*112
010*123
001*021

→
+
+











−
−− →










−−
−−
23
3
32LL
L4
4
3
4
1
4
1
4
1
4
3
4
1LL3
4
1
4
3
4
1
1*00
0*10
001*021
102*130
0*10
001*021











−
−
−−
 →










−
−
+−
431*100
111*010
221*001
431*100
111*010
001*021
12
LL2
⇒










−
−
−−
=
−
431
111
221
B
1


OBS: No exemplo acima, por exemplo,
21LL2+− significa: menos duas vezes a linha 1 somada a
linha 2. Note que, nesta passagem, quem sofreu alteração foi a linha 2, que a ela foi soma a
linha 1 multiplicada por -2. Se ao aplicarmos operações elementares em uma matriz e ela
apresentar uma ou mais filas nulas, então a matriz não admite inversa.

8. 8
2 DETERMINANTES

HISTÓRICO 
 
Os primeiros estudos sobre determinantes datam prov avelmente do século 111 a.C. 
Mas foi só em 1683 que o japonês Seki Kowa usou a i déia de determinante em seus trabalhos 
sobre sistemas lineares.  
O  uso  do  determinante  no  Ocidente  começou  10  anos  depois  num  trabalho  de 
Leibniz,  ligado  também  a  sistemas  lineares.  O  francês  Étienne  Bézout  (1730-1783), 
sistematizou  em  1764  o  processo  de  estabelecimento  dos  sinais  dos  termos  de  um 
determinante.  E  coube  a  outro  francês,  Alexandre  Vandermonte  (1735-1796),  a  primeira 
abordagem da teoria dos determinantes.  
O  termo  determinante,  com  o  sentido  atual,  surgiu  em  1812  num  trabalho  de 
Cauchy sobre o assunto. Além de Cauchy, quem mais c ontribuiu para consolidar a teoria dos 
determinantes foi o alemão Carl Jacobi (1804-1851). Deve-se a ele a forma simples como essa 
teoria se apresenta até hoje. 

Definição: Dada uma matriz quadrada A, chamamos de determinante da matriz A, denotado por
det(A), ao número real obtido através de operações realizadas com os elementos da
matriz, conforme os métodos apresentados abaixo.

2.1 Regra de Sarrus
A regra de Sarrus se aplica a determinantes de 2ª e 3ª ordem com segue:
• Determinante de 2ª ordem
: Seja








=
2221
1211aa
aa
A
⇒
2221
1211aa
aa
)Adet(
= ⇒
)aa()aa()Adet(
21122211 ⋅−⋅=.
• Determinante de 3ª ordem : Seja










=
333231
232221
131211aaa
aaa
aaa
A
⇒
333231
232221
131211aaa
aaa
aaa
)Adet(
= ⇒
)aaaaaaaaa()aaaaaaaaa()Adet(
122133322311312213133221312312332211
++−++=

Regra prática:
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
)Adet(
=



Exemplo (5):
Resolver os determinantes usando a regra de Sarrus:
)aaaaaaaaa(
133221312312332211+++ )aaaaaaaaa(
122133322311312213 ++−

9. 9
a)
24
23
−
b)
243
231
021−
−

Solução
: a) 1486)42()23(
24
23−=−−=⋅−⋅−=
−
b)
)]1(22)4(21330[)]4()1(0322231[
243
231
021−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅−−⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅=
−
− =
301218)480()0126(
=+=−−−++=

2.2 Regra de Laplace

Definição: Dada uma matriz quadrada
nxnij
)a(A= , de ordem
2n≥, chamamos de cofator do
elemento a
ij, e indicado por Aij, ao seguinte número:
ij
ji
ij
D)1(A⋅−=
+
, onde Dij é o
determinante de ordem menor, formado pelos elementos restantes, quando retiramos a
linha e a coluna as quais pertence o elemento a
ij.

Exemplo (6): Determine o cofator dos elementos a23 e a31 da matriz










−
−
=
133
011
212
A
.
Solução
: 9)36(1
33
12
)1(D)1(A
5
23
32
23
−=+⋅−=
−
⋅−=⋅−=
+

2)20(1
01
21
)1(D)1(A
4
31
13
31
=+⋅+=
−
−
⋅−=⋅−=
+


Teorema de Laplace: Seja
nxnij
)a(A= , uma matriz quadrada com ordem
2n≥. O determinante
da matriz A é a somatória dos elementos a
ij pelos seus respectivos cofatores
A
ij, em relação a qualquer linha ou coluna da matriz A, ou seja, se














=
nn2n1n
n22221
n11211
nxna...aa
............
a...aa
a...aa
A
, então, em relação a primeira linha, temos
que:
n1n112121111 Aa...AaAa)Adet(+++= .

10. 10
OBS: Podemos aplicar o Teorema de Laplace a qualquer linha ou coluna da matriz A, de
preferência aquela que tiver a maior quantidade de zeros, pois evita cálculos. O Teorema de
Laplace é uma regra geral, ele se aplica a determinantes de qualquer ordem.

Exemplo (7): Resolver o determinante
243
231
021
)Adet(−
−=
usando o Teorema de Laplace.
Solução
: Vamos aplicar o teorema de Laplace para os elementos da coluna 3:
333323231313
AaAaAa)Adet(++=
31
21
)1(2
43
21
)1(2
43
31
)1(0)Adet(
333231
−
−⋅+
−
−⋅+
−
−
−⋅=
+++

301020)5(2)10(2)Adet(
=+=⋅+−⋅−=


2.3 Regra de Chió
Seja
nxnij
)a(A= , uma matriz quadrada com ordem
2n≥. No determinante da matriz
A, identificar um elemento 1a
ij
=. Retirar a linha e a coluna as quais pertence o elemento 1a
ij
=.
Restará um determinante de ordem menor, do qual devemos retirar de cada elemento
ij
a , o produto
dos elementos referentes a linha e a coluna que foram retiradas. Este determinante deverá ser
multiplicado por
ji
)1(
+
− , onde i e j são os índices do elemento 1a
ij
=.
Por exemplo, suponhamos que
1a
11=. Se a matriz
















=
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
a...aaa
A
,
então
1nn1nn1n133n1n122n
31n1n3311333311232
21n1n2211323211222
11aaa...aaaaaa
............
aaa...aaaaaa
aaa...aaaaaa
)1()Adet(
⋅−⋅−⋅−
⋅−⋅−⋅−
⋅−⋅−⋅−
⋅−=
+


Exemplo (8):
Resolver o determinante
243
231
021
)Adet(−
−=
usando o a regra de Chió.
Solução
: Vamos aplicar a regra de Chió para o elemento 1a
11=:

11. 11
)210(25
210
25
302324
)1(02)1(23
)1()Adet(
11
⋅−−⋅=
−
=
⋅−⋅−−
−⋅⋅−−⋅−
⋅−=
+
⇒ 30)Adet( =

2.4 Propriedades dos determinantes

• 0)Adet(
=, se possui uma fila (linha ou coluna) nula; se duas filas paralelas são iguais; se duas
filas paralelas são proporcionais (múltiplas) ou se uma das filas é combinação linear da demais.
• Determinante da matriz triangular (e também a matriz diagonal) é o produto dos elementos da
diagonal principal.
• Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um escalar,
ℜ∈α∀ , o determinante ficará
multiplicado por
α.
• Se permutarmos duas filas paralelas de uma matriz A, o determinante ficará multiplicado por -1.
• Se numa matriz A adicionarmos a uma fila uma outra paralela, multiplicada por um escalar, ℜ∈α∀ , o determinante são se altera.
• Se
nn2nn
n2222
n1121
nn2n1n
n22221
n11211
nn2nn1n
n222221
n112111a...ax
............
a...ax
a...ax
a...aa
............
a...aa
a...aa
a...axa
............
a...axa
a...axa
)Adet( +=
+
+
+
=

• )Adet()Adet(
t
=
•
)Adet(
1
)Adet(
1
=
−

•
)Bdet()Adet()BAdet(
⋅=⋅

2.5 Matriz Inversa através da Matriz Adjunta

Definição:
Seja
nxnij
)a(A= uma matriz quadrada de ordem
2n≥, chamamos de Matriz Cofatora
da matriz A, denotada por
Cof(A), a matriz constituída dos cofatores de cada elemento
a
ij. (veja a definição de cofator no item 2.2)

Definição: Seja
nxnij
)a(A= uma matriz quadrada de ordem
2n≥, chamamos de Matriz Adjunta,
denotada por
Adj(A), a transposta da matriz cofatora, ou seja,
t
))A(Cof()A(Adj= .

12. 12
Proposição: Seja
nxnij
)a(A= uma matriz quadrada de ordem 2n≥. Então, a matriz inversa da
matriz A é determinada por: )A(Adj
)Adet(
1
A
1
⋅=
−
, com 0)Adet( ≠.

Exemplo (9): Seja e










=
112
123
021
B
. Determine sua inversa, através da matriz adjunta, se houver.
Solução
: Como 0 1)Bdet( ≠−= , então a matriz B admite inversa.










−−
−
−−
=




















−−−
−−−
−−−
=
+++
+++
+++
412
312
111
23
21
)1(
13
01
)1(
12
02
)1(
12
21
)1(
12
01
)1(
11
02
)1(
12
23
)1(
12
13
)1(
11
12
)1(
)B(Cof
332313
322212
312111

( )










−−
−−
−
==431
111
221
)B(Cof)B(Adj
t
⇒










−−
−−
−
−
=⋅=
−
431
111
221
1
1
)B(Adj
)Bdet(
1
B
1











−
−
−−
=
−
431
111
221
B
1



3 SISTEMAS LINEARES

HISTÓRICO
Na matemática ocidental antiga são poucas as apariç ões de sistemas de equações 
lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial 
por diagramas, os chineses representavam os sistema s lineares por meio de seus coeficientes 
escritos  com  barras  de  bambu  sobre  os  quadrados  de  um  tabuleiro.  Assim  acabaram 
descobrindo o método de resolução por eliminação —  que consiste em anular coeficientes por 
meio  de  operações  elementares.  Exemplos  desse  proce dimento  encontram-se  nos  Nove 
capítulos  sobre  a  arte  da  matemática,  um  texto  que data  provavelmente  do  século  111  a.C. 
Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Ko wa, que a idéia de determinante (como 
polinômio que se associa a um quadrado de números)  veio à luz. Kowa, considerado o maior 
matemático  japonês  do  século  XVII,  chegou  a  essa  noção  através  do  estudo  de  sistemas 
lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas). 

Definição:
Considere uma equação da seguinte forma: bxa...xaxa
nn2211 =+++,
ℜ∈∀
n21 a,...,a,a , chamados de coeficientes; ℜ∈∀b , chamado de termo

13. 13
independente e
n21 x,...,x,x são variáveis reais, com expoente igual a 1, chamadas de
incógnitas . Uma equação desse tipo é chamada de
equação linear a n incógnitas.

Definição:
Seja uma equação linear bxa...xaxa
nn2211 =+++. Chama-se solução dessa
equação, uma seqüência de n números reais (n-úpla)
n21,...,,ααα, tal que:
ba...aa
nn2211 =α++α+α é uma igualdade verdadeira.

Definição: Chama-se de sistema linear, denotado por Smxn, a um conjunto formado por duas ou
mais equações lineares nas mesmas variáveis reais
n21 x,...,x,x. O par de índices mxn
é chamado de ordem do sistema indicando m equações e n incógnitas. Genericamente
representado por:







=+++
=+++
=+++
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
mxnbxa...xaxa
....................................................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
:S


Definição: Chama-se solução de um sistema linear S, uma n-úpla
n21,...,,ααα de números reais,
que satisfaz, ao mesmo tempo, todas as equações do sistema S.

3.1 Classificação dos Sistemas Lineares
•
Sistema Possível e Determinado (SPD): admite apenas uma única solução
•
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): admite infinitas soluções
•
Sistema Impossível (SI): não admite solução.

3.2 Métodos de Resolução de Sistemas Lineares
Algumas operações elementares podem ser aplicadas nas equações de um sistema
linear, sem que isso altere sua solução, obtendo, assim, um sistema equivalente ao primeiro. Estas
operações são as seguintes:
i) Permutar uma ou mais equações;
ii) Multiplicar uma ou mais equações por escalares reais diferentes de zero;
iii) A uma equação, adicionar uma outra multiplicada por um escalar diferente de zero.

•
Método da Substituição
: consiste em "isolar" uma das variáveis de qualquer equação e substituí-
la nas demais, abaixando a ordem do sistema. Repetir o processo até obtermos uma única
equação dependendo apenas de uma só variável.

14. 14

Exemplo (10): Resolver o sistema linear aplicando o método da substituição





=++−
=+−
−=−+8z5yx
9z3yx2
3zy2x
:S

Solução
: Note que o sistema S tem ordem 3x3. Vamos isolar a variável x da primeira equação e
substituí-la nas demais: 3 zy2x −+−= (*). Então:



=++−+−−
=+−−+−
8z5y)3zy2(
9z3y)3zy2(2
⇒



=+
=+−
′
5z4y3
15z5y5
S . Agora temos um sistema S ′ equivalente de ordem 2x2. Vamos isolar a
variável y na primeira equação e substituí-la na segunda: 3zy−= (**). Então:
2z5z4)3z(3 =⇒=+− . Fazendo 2z= em (**) obtemos 1y−=. Fazendo 2z= e
1y−= em (*) obtemos 1x=. Portanto o sistema S é SPD, pois admite uma única
solução }2 z,1y,1x{ =−== .

OBS: Se ao aplicarmos o método da substituição ou o método do escalonamento (veremos a seguir)
na resolução de um sistema linear e, aparecerem uma ou mais equações do tipo
0x0...x0x0
n21 =+++, isso significa que elas eram combinação linear das demais e dever
ser retiradas do sistema. Caso apareçam equações do tipo
α=+++
n21 x0...x0x0 , com
0 ≠α, estas serão igualdades falsas, indicando que o sistema é SI e não tem solução.

Exemplo (11): Resolver o sistema linear aplicando o método da substituição





=−+
=+−
=+−0z3yx
1z2yx
2zyx3
:S

Solução
: Isolando a variável y na primeira equação e substituindo nas demais teremos:
2zx3y −+= (*) ⇒


 =−−++
=+−+−
0z3)2zx3(x
1z2)2zx3(x

⇒


 =−
−=+−
′
2z2x4
1zx2
:S
Isolando a variável z na primeira equação e substituindo na segunda:
1x2z −= (**) ⇒
0x02)1x2(2x4 =⇒=−− , ou seja, esta equação é combinação linear das outras.
Portanto o sistema está resolvido e ele é SPI e sua solução geral é dada por: substitua (**)
em (*) e teremos 3x5y −= .
Solução Geral: { }ℜ∈∀−=−=x,1x2z;3x5y .

15. 15
• Método do Escalonamento: Dado um sistema linear







=+++
=+++
=+++
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
mxnbxa...xaxa
....................................................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
:S

através de operações elementares aplicadas em suas equações, obtemos o seguinte sistema
equivalente, chamado de sistema escalonado:









β=α
β=α++α
β=α++α+α
β=α++α+α+α
′
mnmn
3nn3333
2nn2323222
1nn1313212111x
......................................................................
x...x
x...xx
x...xxx
:S

com o objetivo de que a última equação dependa somente da incógnita x
n, determinando, assim,
o seu valor e depois o valor das demais incógnitas. Note que, se associarmos ao sistema
escalonado S
′, uma matriz dos coeficientes, teremos uma matriz triangular superior na forma
escalonada, ou seja:
















α
αα
ααα
αααα
mn
n333
n22322
n1131211...000
...............
...00
...0
...


Exemplo (12): Resolver o sistema aplicando o método do escalonamento





=++−
=+−
−=−+8z5yx
9z3yx2
3zy2x
:S

Solução
: Para facilitar a escrita, podemos trabalhar com a matriz dos coeficientes e dos termos
independentes. Então:










−−
−−
→










−
−−
→










−
−
−−
−
+−
+
5430
3110
3121
5430
15550
3121
8511
9312
3121
2
5
1
21
31
L
LL2
LL











−−
−−
→
+−
14700
3110
3121
32
LL3
. Note que a matriz está escalonada e, portanto, podemos voltar
ao sistema escalonado. Assim:





=
−=−
−=−+
′14z7
3zy
3zy2x
:S
. Da última equação temos que
2z=.
Substituindo na segunda equação teremos 1y−=. Com os valores de y e z, substituímos

16. 16
na primeira equação e teremos 1x= . Portanto, o sistema S é SPD, pois admite uma
única solução }2 z,1y,1x{ =−== .

Exemplo (13): Resolver o sistema aplicando o método do escalonamento





=++
−=++−
=−+8zy4x
3z2yx
5zy3x2
:S

Solução
: Para facilitar a escrita, podemos trabalhar com a matriz dos coeficientes e do termo
independente trocando a primeira equação com a segunda. Então:










−
−−
→










−
−−
→










−
−−
+−+
+
6000
1350
3211
5350
1350
3211
8141
5132
3211
3221
31
LL1LL2
LL
. Note que a matriz
está escalonada e apresenta a última equação 6z0y0x0
=++ , o que é uma falsidade,
indicando que o sistema é SI e, portanto, não tem solução.

3.3 Sistema Linear Homogêneo
É o sistema linear em que todos os termos independentes das equações são nulos, ou
seja:







=+++
=+++
=+++
0xa...xaxa
....................................................
0xa...xaxa
0xa...xaxa
:H
nmn22m11m
nn2222121
nn1212111
mxn
.
Uma particularidade dos sistemas homogêneos é que eles são sempre possíveis (SPD ou
SPI). Note que, um sistema homogêneo sempre admite a
solução trivial (0,0,...,0). Assim, sua
classificação se reduz a:
•
Sistema Possível e Determinado (SPD): só admite a solução trivial
•
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): além da solução trivial admite outras infinitas.

Exemplo (14): Resolver os sistemas homogêneos aplicando o método indicado:
a)





=++
=−+
=−+0zy3x3
0z2yx2
0z3y2x
:H
, método da substituição
b)





=+
=−−
=++0y3x4
0z2yx2
0zy2x
:H
, método do escalonamento

17. 17
Solução: a) Da primeira equação temos que z3y2x +−= (*). Substituindo nas outras duas,
teremos:


 =+++−
=−++−
0zy3)z3y2(3
0z2y)z3y2(2

⇒


 =+−
=+−
′
0z10y3
0z4y3
:H .
Da primeira equação vem que z4y3
−=− (**). Substituindo na segunda, teremos:
0z0z60z10z4 =⇒=⇒=+− . Fazendo 0z= em (**), temos que 0y=. Fazendo
0ze0y == em (*), temos que 0x=. Portanto, o sistema é SPD e a solução é a
trivial }0 z,0y,0x{ === .
b) Vamos trabalhar com a matriz dos coeficientes, uma vez que não é necessário trabalhar
com a coluna dos termos independentes, pois são todos nulos. Então:










−−→










−−
−−→










−−
+−+−
+−
000
450
121
450
450
121
034
212
121
3221
1
LL1LL2
3LL4
. A matriz já está
escalonada. Retirando a linha nula e voltando ao sistema equivalente, teremos:


 =−−
=++
′
0z4y5
0zy2x
:H . Da segunda equação, temos:
zy
5
4
−= . Substituindo na primeira
equação, teremos:
() zx0zz2x
5
3
5
4
=⇒=+−+ . Portanto, o sistema é SPI e sua
solução geral é
{ }ℜ∈∀−== z,zy,zx
5
4
5
3
. Note que, para 0z
=, teremos x = y = 0,
ou seja, a solução trivial, mas não é a única, existem outras infinitas soluções.


Exercícios Propostos


1) Sejam








−
=
10
21
A ,








−
−
=
121
430
B e








−
=
012
111
C . Determine a matriz X tal que
)C3B(AC2X
2
−=+. Resp:








−−
−−−
=
167
185
X
2) Determine a matriz inversa, se houver.
a)








−
−
=
46
12
A
Resp (a):








−
−
=
−
13
2
A
2
1
1

b)










−−
−=301
232
312
B
Resp (b):










−−
−−
−
=
−
413
1038
1139
B
1

18. 18
3) Sejam








=








=
11
32
Be
14
23
A . Determine:
a)
[ ]
1
t
)BA(det
−
⋅ Resp (a):
5
1

b) Mostre que [ ]
)Bdet()Adet(
1
)BA(det
1
t
⋅
=⋅
−

4) Sejam








=








−
=








−−
= 23
61
De
12
20
C,
21
73
A . Sabendo que
1
ADACBA
−
⋅⋅=+⋅,
determine det(B).
Resp: 172)Bdet(
−=
5) Classificar e resolver os sistemas lineares;
a)





=+−
=++
−=+−
1z5yx7
4z2y2x
7zy3x2
Resp (a): SPD e { }2z;3y;2x −===
b)





=−+
=−+−
=++
7z4y19x
1z2y5x
2zy2x2
Resp (b): SPI e






ℜ∈∀
−
=
−
−
=z,
3
4y12
ze
3
5y9
x
c)





=++−
=+−
−=++
5z4y14x
0z4y2x3
2z4y6x
Resp (c): SI, não tem solução