Algebra modulo 1

algebra nivel 1

1. 1


MATEMÁTICA
MÓDULO 1
Eje temático: Álgebra y funciones


1. OPERATORIA ALGEBRAICA

1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES

Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte
literal. Por ejemplo: -2a
2
b y 5a
2
b son semejantes. Los términos semejantes
se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y
conservando la parte literal. Por ejemplo:

-2a
2
b + 5a
2
b = 3a
2
b

10x
2
z
3
–22x
2
z
3
= -12x
2
z
3

Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:

La operación 12a
2
b + 13ab
2
no se puede reducir más, debido a que los
términos no son semejantes.


1.2 ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS

Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas:

(1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el
paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del
paréntesis.

Ejemplo:
2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) =

Aplicando las reglas anteriores, tenemos:
2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes:
-2ab + 2a - ab

2. 2


1.3 MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes entre sí, y
para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para
multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los
exponentes”.

Ejemplo: 2x
2
y
3
z
.
4x
4
y
2
= 8x
6
y
5
z

Multiplicación de monomio por polinomio: se aplica la propiedad
distributiva, esto es: “el monomio multiplica a todos los términos del
polinomio”.

Ejemplo:

2ab (3a - ab
2
+ 4b
2
c
2
) = 2ab
.
3a - 2ab
.
ab
2
+ 2ab
.
4b
2
c
2
=
6a
2
b – 2a
2
b
3
+ 8ab
3
c
2

Multiplicación de binomio por binomio: se multiplican todos los
términos del primer binomio con los términos del segundo binomio.

Ejemplo:

(2a - 3b
2
c) (4a
2
+ 5ab
3
) = 2a
.
4a
2
+ 2a
.
5ab
3
– 3b
2
c
.
4a
2
– 3b
2
c
.
5ab
3
=
8a
3
+ 10 ab
3
– 12 a
2
b
2
c – 15 ab
5
c

Multiplicación de polinomio por polinomio: al igual que en el caso
anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo.

(2x – 3y + 4z
2
). (5x + 2xy + 4xz
2
) =
2x
.
5x + 2x
.
2xy + 2x
.
4xz
2
– 3y
.
5x – 3y
.
2xy – 3y
.
4xz
2
+ 4z
2

.
5x + 4z
2
.
2xy + 4z
2 .
4xz
2
= 10x
2
+ 4x
2
y + 8x
2
z
2
– 15xy – 6xy
2
– 12xyz
2
+ 20xz
2
+
8xyz
2
+ 16xz
4


1.4 PRODUCTOS NOTABLES

Son productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poder realizarlos más rápidamente.

Suma por su diferencia:

(a + b) (a – b) = a
2
– b
2

Cuadrado de binomio:

(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(a – b)
2
= a
2
– 2ab + b
2

3. 3


Multiplicación de binomios con término común:

(x + a)(x + b) = x
2
+ (a + b)x + ab

Cuadrado de trinomio:

(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ac

Cubo de binomio:

(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
(a - b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3


Puedes estudiar la interpretación geométrica de los productos notables en
los siguientes sitios:
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/visualizaciones/product
os_notables_visualizaciones.htm#
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/prod
uctos_notables_desarrollo.htm

Para un estudio de productos notables, puedes visitar la siguiente página:
http://www.rmm.cl/usuarios/joliv/doc/200511112241000.ALGEBRA.ppt?PH
PSESSID=4a43be62adc6648d54387e6bcab17159


1.5 FACTORIZACIÓN

Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes:

Factor común

Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. Ejemplo:

15x
2
y
2
z
3
– 5xy
3
z
2
+ 10x
4
y
4
z
3

Aquí el factor común es: 5xy
2
z
2
, por lo tanto, la expresión dada se puede
colocar de la forma:

15x
2
y
2
z
3
– 5xy
3
z
2
+ 10x
4
y
4
z
3
= 5xy
2
z
2
(3xz – y + 2x
3
y
2
z), lo que
corresponde a su factorización.

4. 4


Diferencia de cuadrados

Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la
diferencia de las bases.

a
2
– b
2
= (a + b) (a – b)

Ejemplo: 25a
2
– 16b
4

Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b
2
:
Por lo tanto: (5a)
2
– (4b
2
)
2
= (5a + 4b
2
) (5a - 4b
2
)


Factorización de trinomio cuadrático perfecto

Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de
un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es:

a
2
+ 2ab + b
2
= (a + b)
2

Ejemplo: 16x
2
– 24xy + 9y
2

En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x
2
=
(4x)
2
y
9y
2
= (3y)
2
, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del
binomio:

(4x - 3y)
2
, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente
coincide con la expresión dada.


Factorización de trinomio cuadrático no perfecto

En este caso hay dos subcasos:

Caso en que el coeficiente cuadrático es 1

Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”:

(x + a)(x + b) = x
2
+ (a + b)x + ab

Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x
2
+ px + q

Ejemplo: x
2
– 10x + 24

5. 5


El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son
números tales que a + b = -10 y ab = 24. Estos números son: -4 y -6, por
lo tanto:

x
2
– 10x + 24 = (x – 4)(x - 6)


Caso en que el coeficiente cuadrático es diferente de 1

Ejemplo: 2x
2
+ 7x – 15

Para poder factorizar trinomios de este tipo, multiplicaremos y dividiremos
(para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático:

2
2
2
2x7x15 /
2
4x7(2x)30
(el coeficiente de x no se multiplica)
2
+− ⋅
+⋅ −


El numerador se puede factorizar de la forma (2x + a)(2x + b), donde a y b
son números tales que a + b = 7 y ab = -30. Estos números son: 10 y -
3:

(2x10)(2x3)2(x5)(2x3)
(x5)(2x3)
22
+− + −
= =+ −


Diferencia de cubos

a
3
– b
3
= (a - b) (a
2
+ ab + b
2
)

Ejemplo:
125z
3
– 64y
6


La expresión 125z
3
es el cubo de 5z y 64y
6
es el cubo de 4y
2
, por lo tanto:

125z
3
– 64y
6
= (5z)
3
– (4y
2
)
3
Ocupando que a = 5z y b = 4y
2
en la expresión dada, tenemos que:

(5z)
3
– (4y
2
)
3
= (5z – 4y
2
)(25z
2
+ 20y
2
z + 16y
4
)

Puedes obtener más información acerca de los casos de factorización en el
sitio:

http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/natalia/Latex/no
de4.html

6. 6


2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación de primer grado es una ecuación en la cual, después de
realizar las operaciones y reducir términos semejantes, el máximo
exponente de la incógnita es uno.

Para resolver una ecuación de primer grado se deben transponer los
términos, esto es: traspasarlos de un lado a otro de la ecuación, de manera
que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los
demás al otro.

Cada vez que transponemos un término cambia de signo, tal como se
ilustra en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación: (x + 3)
2
– (x - 1)
2
= 3x – (x – 4)

Primero desarrollamos todas las operaciones:

x
2
+ 6x + 9 – (x
2
– 2x + 1) = 3x – x + 4
x
2
+ 6x + 9 – x
2
+ 2x - 1 = 3x – x + 4; transponemos los términos:
x
2
+ 6x – x
2
+ 2x -3x + x = 4 – 9 + 1; reducimos términos semejantes:
6x = -4 ; dividiendo por 6:
x = -4/6 ; simplificando por 2 se obtiene que x = -2/3


2.1 Ecuaciones literales de primer grado

Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene otras
expresiones literales además de la incógnita, y que no son incógnitas, sino
que deben considerarse como valores constantes.

Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento
aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es que cuando
tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos por
ella para poder despejarla.

Desarrollemos una ecuación en concreto:

ax – b(x - 1) = 3(x + a)

Tal como en el caso anterior efectuamos las operaciones, reducimos
términos semejantes y transponemos términos:

ax – bx + b = 3x + 3a
ax – bx – 3x = 3a – b; factorizamos al lado izquierdo por la incógnita:
x(a – b – 3) = 3a – b; dividimos por a – b – 3:

Por lo tanto:
3ab
x
ab3
−
=
−−

7. 7


2.2 Planteo de ecuaciones de primer grado

Para plantear ecuaciones es conveniente que sepas transformar un
enunciado en una expresión algebraica.

A continuación te entregamos una lista de transformaciones:

El doble de a.........................................................2a
El triple de b...........................................................3b
El cuádruplo de c...................................................4c
El cuadrado de d....................................................d
2
El cubo de e...........................................................e
3
El antecesor del n° entero f..................................f–1
El sucesor del n° entero g ...................................g+1
El cuadrado del doble de h...................................(2h)
2
El doble del cuadrado de i.....................................2i
2
Un número par......................................................2n (n)∈
Un número impar .................................................2n-1 ó 2n+1 (n)∈
Dos números consecutivos....................................n y n+1 (n)∈
Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n+2 (n )∈
Dos números impares consecutivos......................2n-1 y 2n+1 (n )∈
La mitad de x..........................................................
x
2

La tercera parte de y ..............................................
y
3


Para mayor ejercitación acerca de interpretaciones de enunciados, te
sugerimos visitar la página:
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/guias/ecuacion/GuiaTra
ducciones/Guia_de_Ecuaciones.htm

Veamos a continuación un par de ejemplos de planteo de ecuaciones:

Ejemplo 1:
Hallar dos números consecutivos, cuya diferencia de cuadrados es igual a 9.

Sean x y x + 1 los números, entonces, según el enunciado dado:

(x + 1)
2
– x
2
= 9; desarrollando los cuadrados de binomio, tenemos:
x
2
+ 2x + 1 – x
2
= 9
2x + 1 = 9
x = 4; por lo tanto los números son 4 y 5.

8. 8


Ejemplo 2:
Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto y sus edades
suman 97. ¿Qué edad tiene el menor?

Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:

x + 2x + 1 = 97
3x = 96
x = 32, reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65.

Respuesta: 32