Algebra y factorizacion

Algebra y factorizacion

2. EXPRESIONESALGEBRAICAS
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´sica y Estad´stica
Universidad de La Sabana

3. EX P R E S I O N E SAL G E B R A I C A S
EXPRESIONESALGEBRAICAS
DEFINICI´ON: Una expresi´on algebraica es un conjunto de cantidades num´ericas y variables
combinadas mediante una cantidad nita de operaciones matem´aticas como
suma, resta, multiplicaci´on, potenciaci´on y radicaci´on.
EJEMPLOS:
3x
2
+ 5x+ 3
10z
2
y
2
+ 4z
2
y+ 6zy3y
2
2z+ 1
p
4x
3
+
3
2
x
2=5

1
x
3
4y
2
+ 5y+ 1
2y
2
+ 3y1

4. EX P R E S I O N E SAL G E B R A I C A S
T´ERMINO Cada una de las partes de una expresi´on algebraica que esta separada por un
signo de suma+o restase denominat´ermino.
EJEMPLO
3x
3
6x
2
+ 2x3esta expresi´on esta formada por 4 t´erminos.
3x
2
esta expresi´on esta formada por 1 t´ermino (monomio).
7y
2
z10yz
2
esta expresi´on esta formada por 2 t´erminos (binomio).
x
2
+ 5x5esta expresi´on esta formada por 3 t´erminos (trinomio).
En cada t´ermino de una expresi´on, el valor n´umerico que acompa˜na la
variable se llama coeciente y el exponente que acompa˜na a cada variable se
denomina grado de la variable; el grado del t´ermino sera la suma de los
grados de todas sus variables.

5. EX P R E S I O N E SAL G E B R A I C A S
EJERCICIO
Para cada una de las siguientes expresiones, determine la cantidad de
variables presentes, la cantidad de t´erminos y el grado de cada t´ermino.
10x
3
2x
2
+ 5x3
12x
2
yz+ 4xy
2
z
3
+ 2y
2
z5xy+ 2z
1
3
x+
4
5
4x
p
y+ 5y
5=2
4x
2
3
2
x
2
y
2
z+ 2xw10t
2
x+ 5z
5

6. EX P R E S I O N E SAL G E B R A I C A S
T´ERMINOS SEMEJANTES Dos t´erminos se dicensemejantessi comparten exactamente las mismas
variables y cada una tiene el mismo grado en ambos t´erminos.
EJEMPLO
Los t´erminos3x
2
yz
3
,2x
2
yz
3
son semejantes; contienen las mismas
variables(x,y,z) y cada una tiene en ambos casos el mismo grado (2, 1, y 3
respectivamente).
Los t´erminos2x
2
y
3
,5x
2
y
2
NOson semejantes, ya que en la variableyes
diferente el grado.

7. EX P R E S I O N E SAL G E B R A I C A S
SUMA YRESTA DEEXPRESIONESALGEBRAICAS Sumamos y restamos expresiones algebraicas combiando los terminos que
sean semejantes usando las propiedades de suma y resta de n´umeros reales.
EJEMPLO
Sumar7x
2
2x+ 8con5x3.
(7x
2
2x+ 8) + (5x3) = 7x
2
2x+ 8 + 5x3
= 7x
2
+ (2 + 5)x+ (83)
= 7x
2
+ 3x+ 5
Restar7x
2
2x+ 8de5x3.
(5x3)(7x
2
2x+ 8) = 5x37x
2
+ 2x8
=7x
2
+ (5 + 2)x+ (38)
=7x
2
+ 7x11

8. EX P R E S I O N E SAL G E B R A I C A S
EJERCICIO
Realice la operaci´on indicada en cada caso.
Sumar10x
3
2x
2
+ 5x3con4x
2
10x+ 3
Sumarx
3
6x
2
+ 2x+ 4conx
3
5x
2
+x+ 1
Sumar3x
2
y
2
+ 4x
2
y2xy+ 5xcon2x
2
y+ 3xy
2
2x+ 5y
Restar10x
3
2x
2
+ 5x3de4x
2
10x+ 3
Restar5x
3
+ 6x
2
5x2de3x
3
+ 6x
2
5x2
Restar3x
2
y
2
+ 4x
2
y2xy+ 5xde la suma entre
2x
2
y+ 3xy
2
2x+ 5ycon3xy+ 5x+ 4y+ 2

9. EX P R E S I O N E SAL G E B R A I C A S
MULTIPLICACI´ON DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para multiplicar un monomio por otro monomio, se multiplican los
coecientes de cada monomio y se suman los grados de cada una de las
variables.
(3x
2
y
3
)(5xy
2
) =15x
3
y
5
Para multiplicar expresiones de m´as t´erminos, se aplica la propiedad
distributiva y se repite el procedimiento anterior.
EJEMPLO
Multiplicarx+ 8con5x4.
(x+ 8)(5x4) =x(5x4) + 8(5x4)
=x(5x) +x(4) + 8(5x) + 8(4)
= 5x
2
4x+ 40x32
= 5x
2
+ 36x32

10. PRO D U C TO SNOTA B L E S
PRODUCTOSNOTABLES
Con gran frecuencia se suelen presentar algunos tipos de productos que se
vuelven t´picos de estudio. Se conocen como productos notables, a
continuaci´on nombramos algunos y se muestran las f´ormulas necesarias para
solucionar estos productos.
F´ORMULAS DE PRODUCTOS NOTABLES SiAyBson n´umeros reales o exprtesiones algebraicas, entonces:
(A+B)(AB) =A
2
B
2
Suma por diferencia
(A+B)
2
=A
2
+ 2AB+B
2
Cuadrado de una suma
(AB)
2
=A
2
2AB+B
2
Cuadrado de una resta
(A+B)
3
=A
3
+ 3A
2
B+ 3AB
2
+B
3
Cubo de una suma
(AB)
3
=A
3
3A
2
B+ 3AB
2
B
3
Cubo de una resta

11. PRO D U C TO SNOTA B L E S
EJERCICIOS
Realice las multiplicaciones solicitadas usando las f´ormulas de productos
notables.
(x+ 4)
2
(3x2)
2
(2x+y)
2
(z5w)
2
(3x2)(3x+ 2)
(4x+ 2y)(3x2y)
(x+ 4)
3
(2xy)
3
(x+ 1)
3
(4zy
2
)
3
(
p
x+ 1)(
p
x1)
(
p
x
p
y)(
p
x+
p
y)

12. FAC TO R I Z AC I´O N
FACTORIZACI´ON
Algunas expresiones algebraicas notables se pueden factorizar para reescribir
la expresi´on en factores con t´erminos m´as sencillos. A continuaci´on algunos
casos de f´actorizaci´on comunes.
FACTOR COM´UN El primer factor que se busca en una expresi´on algebraica es un monomio que
se encuentre com´un en todos los t´erminos de la expresi´on, si lo hay se usa la
propiedad distributiva para factorizarlo.
EJEMPLOS
Expresi´on Factor Com´un Resultado
3x
2
+ 2x x x (3x+ 2)
2y
3
+y
2
y
2
y
2
(2y+ 1)
2x
2
+ 2x+ 8 2 2( x
2
+x+ 4)
6x
2
+ 9x 3x 3x(2x+ 3)

13. FAC TO R I Z AC I´O N
DIFERENCIA DE CUADRADOS Aplicando la f´ormula de productos notables de suma por diferencia, podemos
factorizar una diferencia de cuadrados como:
A
2
B
2
= (A+B)(AB)
EJEMPLOS
x
2
y
2
= (x+y)(xy)
4z
2
9 = (2z+ 3)(2z3)
16x
2
1 = (4x+ 1)(4x1)
25x
4
4y
2
z
2
= (5x
2
2yz)(5x
2
+ 2yz)

14. FAC TO R I Z AC I´O N
FACTORIZACI´ON DE TRINOMIOS DE FORMA x
2
+bx+c Para factorizar trinomios de la formax
2
+bx+c, buscamos (si es posible)
dos n´umeros que multiplicados den como resultado el valorcy que al
sumarlos se obtenga el valorb.
EJEMPLO
Factorizarx
2
+ 5x14. Para esto buscamos dos n´umeros que multiplicados
den como resultado14y que al sumarlos se obtenga 5. Estos n´umeros son7
y2ya que(7)(2) =14, y7 + (2) = 5.
Por lo tanto:
x
2
+ 5x14 = (x+ 7)(x2)

15. FAC TO R I Z AC I´O N
FACTORIZACI´ON DE TRINOMIOS DE FORMA ax
2
+bx+c Para factorizar trinomios de la formaax
2
+bx+c, buscamos (si es posible)
dos n´umeros que multiplicados den como resultado la multiplicaci´onacy que
al sumarlos se obtenga el valorb.
Luego reescribimos el t´erminobxusando la suma de los n´umeros que
encontramos multiplicada por la variable. Por´ultimo factorizamos usando
factor com´un.
EJEMPLO
Factorizar3x
2
13x10.
Primero multiplicamos el coeciente del t´ermino cuadr´atico por el coeciente
libre:3(10) =30.
Buscamos entonces dos n´umeros que multiplicados den como resultado30
y que al sumarlos se obtenga13. Estos n´umeros son15y2ya que
(15)(2) =30, y15 + 2 =13.

16. FAC TO R I Z AC I´O N
EJEMPLO
Reescribimos entonces el t´ermino13xusando los n´umeros que
encontramos de la forma13x=15x+ 2x.
Reemplazamos en nuestro ejercicio y por´ultimo usamos factor com´un para
simplicar:
3x
2
13x10 = 3x
2
15x+ 2x10
= 3x(x5) + 2(x5)
= (3x+ 2)(x5)

17. FAC TO R I Z AC I´O N
EJERCICIOS
Factorizar las siguientes expresiones:
x
2
36
x
2
+ 7x10
28x
2
127x
3
3x
2
12x+ 15
4x
2
8x+ 32
4y
2
16y+ 15
x
2
+ 5x+ 4
9y
2
+ 9y4
x
2
2x+ 1
x
4
1
x
3
3x
2
x+ 3