algebra-y-geometria-eugenio-hernandez.pdf

gal

1. A
Dwaueor CEI Mut?
EE

Âlgebra y geometria

EUGENIO HERNANDEZ
Facultad de Ciencias
Universidad Autónoma de Madrid

UNIVERSIDAD DE LA REPUBLICA
FACULTAD DE INGENIERIA,
‘UPTO. DE DOCUMENTACION Y BIBLIOTECA
BIBLIOTECA CENTRAL
Ing. Eso, Garcia de Zumiga
MONTEVIDEO - URUGUAY

No. de Ent 052794
26.99

ADDISON-WESLEV/UNIVERSIDAD AUTONOMA DE MADRID
tina + Brasil + Chile + Colombia

Ecuador + España » Estados Unidos + México
Perú + Puerto Rico + Venezuela

2. Copublicaciónde Addison-Wesley Ieroamericaa, S.A.
ya Universidad Autónoma de Madrid

© 1994 por ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S.A.
Wilmington, Delaware, ELA.

Reservados todos los derechos

«No std peta a reproducción ttl o paria de este libro, ni su tratamiento for.
nico na transmisión de ninguna forma o por calquir medio, a sea electrónico,
mecánico, por fotocopia por registo u oros métodos, sin el permiso previo y por
escrito de ls titular del Copy

Impreso en Estados Unidos de América, Printed in USA.
ISBN 0201-62586:
456789 10-MA-009998 9796 E

“Carte: RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONIS LINEALES. OPERACIONES

NAS: A
‘noo de ua mar Kuren de scene a GA ES
Aparna de I on JAS y nes co mann El
Inve dr un aan veo de Cs ai EJ

‘Contin 3 DETERMINANTES Y sus APLICACIONES “
Dane na A = 3

BE Kango de um uta Rel de ears compat odes. nl

À Dana porcino

‘Caruso Y LA GEOMETRIA DEL PLANO Y DEL ESPACIO.
3 Rae pio
4 Fur enc plano y en legac
AS. Arey suns Pda cr

Cara : LOS NUMEROS CoMPLIIOS
317 Lot rame comple ss promo”
44 Relación de ecuaciones sistas.
45, cios de gehe aca an Pune ein

Caripno & ESPACIOS VECLORIALES a7
31 Deen de co vv es Eu

space seal nnn y Sma de op as
LE Van incl Fac in

Ciao 6 APLICACIONES LINEALES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES. 29
AI Dein de apr ins Een
2 Matic de on rca nal Opcion con arco aci

E o i De E
3, Begone de de en pve weal is
Como YALORES VECTORS Moros sota BE JORDAN x
12 hp ii Ve ca ml a a i E
cnc E
ee E

@nansman pp
FACULTÉ Br fy REPUBLICA

DePaR rit wn

DOCUMENT AIN era
COMENTAN Y Br IorRen

3. Ta Redan de mais scm snes compe.

FIIREICIOS DE REPASO: CAPIELLOS 1 À

ius % ESPACIOS EUCLIDPOS

E Bish nai en am so cui
EL Copptmenteonapoa Puya
33. una de aa os

Se Macon auna
i

Alors amont
ara danger nee ig

VIMIENIOS EX UN ESPACIO AFIN EUCLIDEO. MOVIMIENIOS EN 7

Canto 1
los. Haies a

Beis

omy; SECCIONES CONES
‘8 Determinación des comas ... «-
3 Ben de dran ci E

133. Ley de mer de as formas eut
132, Ems ur and Pao ems de aioe hs vanes
138. Darren amener de fomas cuts

Canmao 13: SUPERFICIES DE SEGUNDO GRADO
TE Chae dh persis temo prado
IRS Inn cheap esp gen 1)
BE Nenn
LR dv po cn is

ER CICIOS DE REPASO: CAPITLLOS 8 13
INDICE RER ENES

Indice

so

E

2791

05

— _——_ rro
PROLOGO

(anvansıorp DE LA RETURLIOR
ES ior
D

La matemática no es un deporte para espectadores; el lector debe acecars a este
texto con un lapicero en su mano y un papel a su ado, para verficr con sus propios
razonamientos y su esprit crtico las afirmaciones que contiene

De la misma manera que lograr un nivel adecuado en el juego del ens requiere tiempo.
y práctica, y conseguir tocar cualquier pieza de música clsica require esfuer20 te
‘compensado por la belleza que su música proporciona, la matemática es una ciencia
‘uy aprendizaje require esfuerzo y práctica y cuya recompensa se alcanza por la ce
gancia con la que permite resolver problemas propios y de otras Cien

Esperamos que el lector se efuerce en comprender Los conceptos y resultados que
se exponen en este libro, porque ellos son la base para poder apreciar posteriormente
varas de las aportaciones que la Ciencia ha dado ala humanidad através de ls tem
Pos y de manera especial en ete siglo XX.

Est libro ha surgido de las clases de Álgebra y Geometria impartidas durant varios
anos alos alumnos de primer curso dels licenciaturas de Ciencias Físicas y Ciencias
Matemática enla Universidad Autónoma de Madrid. Ha crecido con la colaboración
de varios colegas del Departamento de Matemáticas dela citada Universidad; unos apor.
ando soluciones para la mejor exposición de algunas lecciones; otros mejorando ideas
a plasmadas en pape: otros, Finalmente, corrigiendo varias versiones del manuscito
‘A todos ellos agradezco su desintresada aportación en la elaboración de es libro.

En él se ha pretendido seguir un esquema que permita al lector adivinar los resulta
dos intuit su demostración: para elo se dan varios ejemplos antes de enunciar un te
sultado y aportar as razones convincente que Io demuestra, Esas tazones on pura
mente geométricas cuando ell a sido posible, como en a demostración delas prop.
desde las secciones cónicas capitulo 11) en la clasificación de los movimientos
en el plano (capítulo 10.

Fjemplos de aplicaciones se dan en varias ocasiones después de haber concluido
demostraciön de un importante resultado. Con todo elos inenta lograr una panic
pación activa de lector en el descubrimiento de ls ideas principales de cada capitulo,
a a vez que la oportunidad para que vaya comprobando su nivel de conocimientos.

Este nivel de conocimientos puede comprobarse también intentando solucionar los
numerosos problemas que se proponer al final de cos todas las seciones y de aquellos
que, a modo de repaso, se incluyen después de los capitulos 7 13. El completo apren-
“liza de las teorias matemáticas se consigue despues de haber resucto numerosos ejer

4. s Prego

sis. El lector debe intentar resolverlos todos, con la seguridad de que estos intentos,
que su fis, le roporonarn rans brain

¡hos de os problemas se incluyen os resultados a final del libro, La elabora
(ion de sto resultados a tomado con Ja partapación de vais Ayudame dl De
partamento de Matemáticas, a quienes también agradezco su contribución

Las Rozas de Madrid
Agosto de 1987

CAPITULO 1

RESOLUCION DE SISTEMAS
DE ECUACIONES LINEALES.
OPERACIONES CON MATRICES

1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método de eliminación de
Gauss

Rango de una matriz, Estructura de las soluciones de un sistema

13. Aplicaciones lineales de R" en R" y operaciones con matrices

1A. Inversa de una aplicación e inversa de una matriz

"Este capitulo está dedicado a la resolución de sistemas de couacions inal;
«problema geométrico más sencillo en el cual surge la necesidad de resolver
sistemas de cevaciones lineas es el de conocer la intersección de dos rectas en el
plano. As, por ejemplo, los números que satisfcen el sistema

are]

xy m2
determinan el punto de intersección delas ects x+y=2 y 3x—)=2, represen
tadas enla figura LL

5. n Alcea y Geometria

Es posible que el Ictor esté familiarizado con la resolución de sistemas de
canciones lineales como el anterior vilizando uno cualquiera de los siguientes
métodos:

1) Método de eliminación, que consiste en realizar «operaciones» con las
ecuaciones dadas hasta eliminar una de ls incógnitas.

2) Método de sustución, que consiste en despejar una incógnita de una de
las ccuacions y sus en la otra.

3) Método de Cramer 0 de los determinants, que consiste en encontrar las
soluciones dl sistema anterior como un vociene de dos determinantes.

De todos esos métodos el que resulta menos engorroso cuando se trata de

resolver sistemas de un gran nimero de incógnitas es cl método de eliminación

que recibe el nombre de método de eliminación de Gauss (Carl Friedrich Gauss

fue uno de los más prestigiosos matemáticos de comienzos del siglo XIX)
Comenzaremos exponiendo este método seguidamente.

11. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:
METODO DE FLIMINACION DE GAUSS

EJEMPLO A. Tratemos de resolver el sistema

x+y=2
deal!
de dos ecuaciones con dos incógnitas; una solución de este sistema es un par de

números (2.5) que safe las dos eevaciones simultáneamente, El primer paso es
mulúpliar por 3 a primera ecuación y restarla dela segunda para obtener el sistema

}

A continuación dividimos entre —4 (o bien multiplicamos por —3) la segunda
ecuación para obtener el sistema.
x+y=A
pal

Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene

sol
pal

Capítulo 1 Relación desstemas de cuacione ines. Operaciones con matrices m

que nos permite obtener fácilmente el par de mümeros (1,1, que es solución del
Sistema dado,
Nota. Observar que x=1, y=1 satsfacen ambas ecuaciones; el lector debe
comprobar siempre que el resultado obienido es correcta sustituyendo los
| valores encontrados en el sistema dado.
|

TyEMPLO B. Teatemos de resolver el sistema

ad yea
Say +98 +4x7 07
Byam +6

de tres ecuaciones lincals con tes incógnitas.
i “Comenzamos eliminando xy de las ecuaciones segunda y tercera; eto se consigue
mullicando por 3 la primera ecuación y rstándola dela segunda y multiplicando,
por 2 la primera scsi y rstndla de a tersa Relande estas operons 1

Hate)

tea aed

Intercambiando las ecuaciones segunda y tercera se obtiene:

tdo
nase |
| naz |

A continuación climinamos x, de la primera y la segunda de las ecvaciones
restando la tercera de la primera y sumando la tercera y lnsegunda, Oblenemos

ntm es)
anis |
x. |

Mulplicando por —4 la segunda ecuación se obtiene:

memes)
xe 2
22

6. 2 Algebra y Geometría

Finalmente, elíminamos x, de la primera ceuación multiplicando por 3 la segunda
y retándola de la primera: obtenemos:

x=!)

meal

‘que nos da la solución (I, ~2, 2) del sistema.
Comprobación. |~642=—3, I-1848==7 242+

Elector se preguntará Is razón por la que el método utilizado produce la solución
del sistema. La respuesta es que las «operaciones» realizadas con las eeuaciones
transforman un sitema en otro equivalente es decr que tiene las mismas soluciones
Recapitalemos las operaciones realizadas en los ejemplos anteriores que, de ahora en
adelante, serán Mamadas operaciones coments:

D. Multiplicar una ecuación por un número real no nulo

N Intercambiar dos ecuaciones.

il) Sumar 0 restar un múltiplo de una ccvación a tra

No resulta complicado comprobar que las operaciones clementales transforman un
sistema en otro equivalente, Por ejemplo, i (a,c) s solución de vi +3, +32 — À
también es solución de 3x) +9x; Am, ya que

A)

De manera similar, ia, bc) es también solución de 3x, 49%, +4x,=—7, cinco ve-
ces la ecuación x, Hr; += 3 más la ouación 3x, +9x,+4x,= —7 nos da

Bx,+24x, 4923022
que tien (a,b, ) como solución, ya que

A ~22

Resumiendo, podemos decir que el método de eliminación de Gauss consiste en
reducr un sistema dado a otro equivalents, lo más sencillo posible, mediante operacio-
nes elementals.

Puede observarse que la repetición de las incógnitas y de los signos + en los
ejemplos anteriores es insecesri. Si ciminamos estos simbolos en el ejemplo B, el
sistema queda reducido ala siguiente ordenación rectangular, que llamaremos mat

E

Capo 1. Resolución de sistemas de cuacions ice Operaciones con matrices 1

La matri

si
94
11

recibe el nombre de matriz de ls coeficenes del sistema y la matriz anterior recibe el
nombre de matriz amplada del sistema. En st, alinea vertical separa la matriz de os
coeficientes de los términos independientes

"Utilizando la matriz ampliada del sistema e indicando con 4, i) ollas operacio-
nes elementales que se realzan sobre las fils de la matiz, de acuerdo con las
‘operaciones elementales que se realzan sobre las ccuaciones el ejemplo B puede
resumirse de la siguiente manera:

1 3 1]-3 vos als) frs ifs
3 sl flo | 2120 -7 0] 2.
OO 2) \o o 12} A

1 3 0|-s 13 0|-s voolı

o -70|m|-.[o10 101-2

o 012) do01] 2 po oo: 2

La dima matriz es la matriz del sistema

=
que mos da las soluciones.
ErempLO C. Para resolver el sistema

tigt

|
Pr

de us emelne cn str inchs simon la mai dl sens y la

fect más sn Pole median orcos men. or no

{Coal clad en cpl it pss eat

5
212 29
o

7. Algen Geometría
ñ 15 af
0) fo 1 0-10
9) loo o th
10-1 0-2)
or oof]
o1l1}

Claramente x, 1 y x 1, pero de a primera ceuaciôn no pueden encontrarse x, y x;
simplemente, dado un valor , a xy se obtiene un valor x, = 34e para sy y las
soluciones dal sistema son:

me-3te

bien (~346, 6 1) para todo número reac: Este sistema tene infinitas soluciones
que se obtienen dando valores a e. ¡Realiza la comprobación!

Las dos matrices finales de los ejemplos B y € pueden escribirse de la forma

veal) oa

o ols | 2 \oo ols} al

pis a a a aw a a arc
et la en
ee ei
een

Capilo 1. Resolució de sitemas desuacons cale. Operaciones con mars 15

‘Toda matriz que posee estas propiedades será denominada una matriz escalonado.
El método de eliminación de Gauss consiste entones en reducirla matriz de un sistema
“edo a una matriz escalonada mediante operaciones elementales

EMPLO D. Para resolver el sistema

att
2420

2/29 2-3

escribimos su matriz ampliada y la tansformames mediante operaciones elementales
hasta reducirla a una matiz escalonada:

mara apa 1
2 11 o 3-1) o Al
2-2 213 o o ola o o El

foo ul [Lo 2310 à
sw, for -13 |-23] ¿2 [ola uso] -
re ala lo 4
Esta Úlima mati coresponde al ste S
2
51) 55-0) El
tl 1320 É
o)
3

‘que, obviamente, no sen solución, ya que Of.

Obserraidn. EI proceso que se sigue al aplicar a un sistema particular el
método de eliminación de Gauss no es único, como el lector habrá podido
comprobar si ha inentado realizar por su cuenta alguno de los ejemplos C o D.

in embargo, la matriz escalonado de un sistema dado es única, ya que produce
las soluciones del sistema. La demostración Completa de este resultado no es
sencilla,

A continuación damos algunas definiiones relaivas a los sistemas hasta aho
estudiados. Una expresión dela forma
Hausabı
CREER o

a

A Hogg tt

PACULTAD oF MommeniA

DEPART

DOCUMENTACIÓN Y BISLIOTECA

8. 16 Algebra y Geometria

donde los a, son números rele, se denomina un sistema de m ecuaciones lineales conn
incógnitas Una solución de (1) son n nümeros (5,5... 5) al que al sust x, por 5,
se obtiene una igualdad en todas las ecuaciones del sistema.

Si el sistema posee al menos una solución se dice que es compatible y sino posee
ninguna solución se die que e incompatible; si un sistema es compatible y tiene una
única solución se dice que es determinado ys lene más de una solución se die que es
indeterminado

Los sistemas de os ejemplos A, B y C son compatible, mientras que el del ejemplo
Des incompatible. En los casos de compatibilidad, el del ejemplo C es indeterminado,
y los sistemas de los ejemplos A y B son determinados.

Los distintos casos que pueden presentarse en un sistema quedan caracterizados
por la matriz escalonada que se obtiene en cada sistema. Recordemos que

esas du
se denomina la mari de lo coeficientes del sistema, y
fan an a bi
a an a
a dm bu

5 la marrir ampliada del sistema. Las matices escalonadas de la matriz de los
¡coeficientes y de la matriz ampliada delos sitemas de los ejemplos B, © y D son las
siguientes

=: hi (LEE)
Be GE) |
ton (y GER

Si consenimos en escribi
p=niimero de peldaños de una matriz escalonada de A,
P=núimero de peldaños de una matriz escalonada de A,
m=niümero de incógnitas del sistema,

Capitulo 1 Resolcón de sistemas de cucione inet Operaciones con matrices 17

las diferencia, en cuanto a soluciones, de los ejemplos anteriores quedan plasmadas en
el siguiente cuadro:

TT
Per Su compu 3 3 3
Bons € ES Te |
Der rene ssl

La observacion detenida de este cuadro sugiere ef siguiente resultado:

| "TEOREMA 1 (Rouche-Frobenis)
D Un sistema es compatible determinado s y sólo si p=p=n
2) Un sistema es compatible indeterminado si y slo st p= <n
3) Un sistema es incompatible s y sölo <p.

Nota. Las definiciones de p, p yn pueden encontrarse entre los dos cuadros

| Demostraciin. Observemos cn primer lugar que basta demostrar las implicacio-

a) si p=p=n el sistema es compatible determinado,
M si p=P<n. e sistema es compatible indeterminado,
©) Si ph, el sistema es incompatible,

Anima al lector a que comprucbe esta última afirmación
a) Sipmpen, la matriz escalonada F de ete sistema es de la forma

|
|
| a que reso de ls implcacine contenidas nl crema se deducen de sas tes Se
| 1,000 0 0) 4) ome»
| 10 ole
Es
oa
af

Por anıo.xınd, x
determinado

es su única solución y el sistema es compatible y

9. 1 Algebra y Geometria

») Si p=p<n, la matriz escalonada B de ete sistema es de la forma

O0 … opal,

Ho À
a Y

0 la, | — am p
6

donde ls rectängulos sombreados representan matrices. Si as columnas con I en una
esquina de un peldaño corresponden ls incSgnitas x = Au, 6 Gene que

Sanda lo 230, VIA Mp ty

es una solución del sistema. Por tant, el sitema es compatible

Falta demostrar que el sistema es indeterminado. Si todas as matrices sombreadas
son nulas, el sstema es equivalent à
sands
xed,
sd

Paso que <n, guna intents, igamos x, no apatse en lema ateos y.
por to puto formar conta valo, or Do Cua e onen flats slots
E sena,

Supongamos, por tano, que no todas ls mates ombreadas son mul Ses

una columna no nula de una de estas matrices correspondiente a la incógnita xa
Dando al resto de las incógnitas distintas de Ay, J=1,2,—, Y % el valor Cero,

hs md Amen,

aa tends ty team

lo cual nos da infinitas soluciones del sistema dando valores a xy El sistema, por tanto,
+s indeterminado.

Capínlo 1. Resolución de sistemas de enelone lineal Operaciones con matices 19

9 Si ph la matriz escalonada B de este sistema es de la forma

CB Jo
o 0 60

La (p+Ipésima fla de B nos da la ecuación O=1 y, por tanto, el sistema es
incompatible. =:
Finalmente, el sistema (1) se dice que es homogéneo si todos los by=D y no
homogéneo si al menos uno de los, es distinto de cero. en
Al realizar operaciones elementales con la matriz ampliada

au an = am lo}

de un sistema homogénco, a última columna está siempre formada por ceros; por
tanto, nunca puede tener más peldanos que la matriz scalonada de A. ASÍ pues para
un sistema homogénco p=p y por el teorem de Rouche-Frobenius el sistema et
sempre compatible

Este resultado puede demostrarse más fácilmente obser
>, XO es siempre solución de un sistema homogéneo; esta solución se denomina
trivial. Sun sistema homogéneo posee soluciones distintas dela trivial es indeermina.
o, y para st es necesario y suliient, según el teorema de Rouche Frobenius, que y
span

EMPLO E. Queremos demostrar que el sistema homogénco

o,

>

+ indeterminado, Realizando operaciones elementales con su matriz ampliada se tene
0) wa, fi 1-1 O »
lo) "lo -3 5 010,
ti fm flo 0 =1 O
o 1-1 00) "li 1 olo,

Como 2=p=p<ned, se obiene el resultado deseado.

ta

10. » Algebra y Geometria

‘Sus soluciones se obtienen escribiendo el sitema correspondiente a la matriz
escalonada:

x “agg
aon, =0
Haciendo xy=c1, ruses se tene:

donde cy y cs son números reales cualesquiera.

EJERCICIOS 1.1

1. Encontrar todas las solucione (6 existen) de cada uno de los siguientes sistemas de
‘ouacioneslineales mediante el método de eliminación de Gauss:

an o)
mx et 2x,+x,=0)

2. Utilizar operaciones elementales para reducir las matrices dadas a su matriz
escalonada.

apa Da
6-5 oro
7-2 100

o/s yo pat nag
RENE:
su 10 1

Vis
3. Resolver los siguientes sistemas mediante el método de ciminaciôn de Gauss
|
Deere] be tye?

Bent 2645640621

“Caput 1. Resolción de sistemas de cuacions nées Opeacons con matrices 2

9 MA) 2
Bu Stays 4
Sterns

3
Dust Ita 6
Bud +20
MEM ez

9 MARTIRIO) tes
2x, —2x, $x,-7x,-1=0} EIRE eyed
TA jeunes
22620

Ke 0 2 +20 20

dont) D sn 3
Pre

24-0

Bx, Hae Hey

D sem) trees
tft X1+2x,43x,10=0.

+20 =0

4. Utilizar el teorema de Rouche-Frobenius para realizar un estudio del número de
soluciones delos siguientes sistemas

9) ana]
seta? Arzt
rel

9 urnes]

+
5. Demostrar que el sistema

o

«8 compatible indeterminado si y slo s ,1033—ay3071 "0.

11. 2 Algebra y Geometria

12. RANGO DE UNA MATRIZ. ESTRUCTURA DE LAS SOLUCIONES
DE UN SISTEMA

En la socción anterior se observé que el número de peldaños de la matriz
escalonada de un sistema es importante para determinar la compatibilidad o incompa-
ibiidad de un sistema. En eta sección se relacionar este número con el importante
‘concepto de rango de una matriz. Además, e estudiará la estructura delas soluciones
¿e un sistema de ecuaciones lineales.

En los ejemplos de la seción anterior se ha observado que las soluciones de un
sistema pueden escribirse de la forma

aaa)

donde ay, 6, , son números reales. Un elemento de sta forma recibe et nombre de
vector y se denota por

Ala, as 0)

Los números reals a, 1,2, reiben el nombre de componentes del vector; a,
se denomina primera Componente 0, segundo component, y asi sucesivamente. El vector
‘Gees el vector cuyas componentes son todas nulas. Dos vectores d=(0, 3. 4) y B
dba. br ony son iguales, y escribiremos Ze, cuando ay = by a3=Do me tee

os vectores no sölo aparecen como soluciones de un sistema de ecuaciones
lineales, sino que también aparecen en las filas 0 en las columnas de una matrz, en
yo caso reiben el nombre de vectores fa o vectores columoa de la matriz Por
ejemplo, la matriz

1 1
2 o
a 1

ene como vesors fila
T2 0.130 P=(1,2,1,0
y como vecors columns:
1-02 -

ota. A voces los vectores columna de una matriz se eeriben en notación
vertical dela forma

FOL 70.00

A CRE fr © à de EAU AR

Capo 1 Relación de sistema de ecuaciones neue. Operaciones con marcos 23 |

Las denim que ao cn vers n dependen de I notación ques ic |

Den pre Ea Ste apa À de ande une |
Aer un ena par oedema de Gt won late

cta opts sr ae Ha e ma enla qu clan nom |

So cna. Ext cons vn I a fe er

(stent) (by Dany + ha Banh
y la mulilcaión de un vector par un número el
A)

Las operaciones con vectores poseen las siguientes propiedades, que se dejan como
ejercicio para el lector
(S) 24+B=5+2 (conmutativa)

(5) (+D)a 204847) (asociativo) UNIVERSIDAD DE LA HükUHLICA

© Degas Do ¡rt Ea
e A NL OR Sek
(4) dar nme DOCUMENTACIÓN Y Buitiorsca
m) ean metas wonton TS
(he) dt) (ane

wy mea

Nota. El vector (~2)=(~ DT se denomina opuesto de &
Dado un conjunto de vectores (dy. dz...) una expresión de la forma

da asaya,

“donde os dj 1, 5. son números reales, se dice que es una combinación linea! de los

vectores dados |
Un vector a se dice que es combinación lineal de los vectores (iy, and) si

existen nümeros reales yd. , tal que

Id AR AH A,

El vector © es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores, ya que bas
tomar todos los d,=0, La expresión anterior puede escribes de la forma.

AAA

donde no todos los coeficientes delos vectores son nulos (e coeficiente de es ~ 1)
Esto sugiere la siguiente definición.

12. Pr Alca y Geometria

DEFINICIÓN 1

9. Un conjunto de vectores iy, 7, es Incalmente dependiente si existen
úmeros du djs dy BO todos nulos, tal que

ds + din ++ Ô

iM Un eonjunto de vectores dy, Uy. dy se dice Unealmente independente i no.
son linealmente dependientes, es deci, cualquier expresión del tipo.

di edgy rad

“implica nesesariamente que dy d=:

EEMPLO A. Queremos estudiar si Jo vectors 4, =(2,1) y 2¿=11, 1) son linea
mente dependiente o independientes para ello tratemos de encontrar ds números dy
yd, tal que

4,0, 44,1, 000,0)
Puesto que dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes correspondientes
coincden, la igualdad anterior puede scrbise dela forma.
24,+4,=0]
4,440)

que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Realizando operaciones
mentales con la matriz de este sistema se tiene:

ic 10)
6196 te)

Como p=p=2enimero de incógnitas y el sistema es homogénco, sólo tiene la
solución trivial d,—d,=0. Esto implica que los vectores Ay, d, son linealmente

independents.

EJEMPLO B. Para estudiar silos vectores a =(1, 1, 34 3,540, 1,2). =(0, 2, )
son linealmeme dependientes o independientes formamos la expresión

Ah 1,3) 40,12), 2,510, 0,0)

Caprdo 1. Resolución de sistemas de cuacons cae. Operaciones con matrices 25

que puede escribirse de a forma:

diran
d+6424,=0
34,424,484) -0)
Presto que
rojo) frorjo\ fro ao
iz) fo nro] sf ı ılo
32 sb] \o22lo/ \oo ole

se tiene que p= p=2-<3 =nimero de incógnitas y, por tanto el sistema posee soluciones
mo triviales: los vectores dados son linealmente dependents

Si queremos encontrar una combinación lineal de los vectores anteriores basta
resolver el sistema anterior; dicho sistema es equivalente à

444,0
di+d,=0)

de sento con Ins operaciones elemente anteiomentesaizadas Haciendo dy
se tene dy=~c, dy = €, Como caso particular de e podemos tomar cm =, con lo
cual dl, dy, y se tene ” mu

1,1, 3410, 1,2101, 2, )=:0,0,0)

como fácilmente puede comprobarse.

En los ejemplos anteriores se habri observado que únicamente es necesario escribir
la matiz cuyas columnas son los vectores dados y realizar en ela operaciones
«elementales para estudiar la dependencia o independencia lineal de un conjunto de
vectores. Si el número de peldaños coincide con el número de columnas ( equivalente.
‘mente la matriz escalonada es la identidad) os vectores son lncalmente independientes
y en caso contrario son linealmente dependientes.

DEFINICIÓN 2 (Rango de un conjunto de vectores y
rango de una mats)

Se denomina rango de un conjunto de vectores al mayor número de elos
que son linealmente independientes

10 Se denomina rango de ana mars A se denota por HA) al ago de ss
vectores columna |

13. 2 Algebra y Geometria

El rango de los vectores del ejemplo A es 2, ya que son linealmente independien=
El rango de los vectores del ejemplo B es menor que 3, ya que son linealmente
dependientes.
En estos momentos es conveniente resaltar la forma de calcular el rango de
una matriz. Dada la matriz

gn [te ta te
et an Ba

se consideran los vectores

ay fes ay

os) am)

de etre los cuales hay que determinar el mayor número de ellos que sean linealmente
independientes.

[En primer lugar es necesario estudiar si los n vectors son lincalmente independien-
tes, es decir she sistema homogéneo

amet et o

pose únicamente a solución nul. En caso de que pose Óncamente a solución ul,
rango dela mat sn. Observar que para determinar (1) pose soluciones 0
Fals tnicamente ex necsario ret la mare 4 à su forma escalonada.

Silos vetoes on namen dependientes, necesario estudiar alguno de os
posibles subconjuntos de nel vestores de ene form anteriors es ncalmente
IMependinte

‘Sr ests subconjuntos de n-1 vetores son todos tincalmente dependents es
esta sudar odos los sobconjuntos den 2 vector. El rosso termina cuando
comemos por primers ve unos cuantos votre de ne ls anteriores que San
Äncalmene independientes

Tn teria pee parecer complicado y ago calcular el rang de una matriz. En la
pr, sin embargo, rea sell, como se mustra cn cl ejemplo Siguiente

el rango de la matriz

1320
afro -1 2
34

1-2

EJEMPLO C. Para encont

Capito 1. Resolución de sistemas de cuacions cae. Operaciones con matrices 27

comenzamos resolviendo el sistema

yop 2
x[t]+xfo]+x| 1
3} \4 1

de tres eeunciones con cuatro inedgn

13 2 1 200
10-1 [0 -3 A
3400 os og

13 4

aora

0.00

El sistema posee soluciones no triviales, Por tanto, los cuatro vetores columna de hi
matriz son Iincalmente dependientes.

Si tomamos tre de ellos, por ejemplo, los tres primeros, la matriz escalonada del
sistema que ellos forman es

Lo
dls
007
ya quese obino realizando ls mismas operaciones cements que ants sobre ls
des primeras columnas de la matriz Esos ts vetoes so, por lat, ealmente
enn

Elector puede comprobar que coslesquir rs vectores de etre os anteriores
son ineamente dependents

Finalmente tomamos os dos primeros vector, sistema

DW
sl! Jex[ 0 ]=[0
3) Aa] do

tiene como matriz escalonada

(1)

y. por tanto, son linealmente independientes
Concluimos, entonces, que nA)=2

14. a Alca y Geometria

Et lector habrá podido observar en el ejemplo anterior que el rango de una matriz
coincide con el mimero de peldanos de su matriz escalonada. Este resultado se
¿demuestra à continuación

MA D
Fl rango de una matriz coincide con el número de peldaños de su matriz
escalonada.

Demostración. Sea A una matriz dela forma
af ta an

y denotemos por 7, 3, Sus vestores columna. Sea p el nümero de peldaños de
lana matriz escalonada de A. Esta matriz escalonada es de la forma:

a

EI sistema homogéneo.
xd Hy + xl =D

correspondiente a las columnas no sombreadas de la matriz tiene únicamente la

Solución trivia ya que su matriz escalonada es
1,000 8) coum»
00
la
o
0 Ufer

Hemos demostrado, por tanto, que la matriz À poses al menos p vectores columna.
linealmente independientes.

Capinlo 1 Resolució de sitemas de ecuaciones Linear, Operaciones con matrices 29

El teorema quedará demostrado si probamos que no existen mis de p vectores
columna de A que sean linealmente independientes.
Tomemos q vestores columns Ta, Ma Un, de A, con g>p- El sistema

Ng, Hy, dnd Ó o

posee una matriz escalonada con p peldanos como máximo, ya que la matiz excalons
da de A tiene p peldanos, Puesto que el sistema anterior tiene q incógnitas y, y es
mayor que p, (2) es indeterminado, Por tanto, ls 4 vectores dados son lincalmente
dependientes .

Exmpto D. Para calcular el rango delos vectores, =(l, I, 3hifs=(2,2,6)9 2,
=, —1, ) escribimos la matriz

(

cuyas columnas son los vetore dados, y realizamos sobre ella operaciones elementa-
les

2
Ai
5

Puesto que el número de peldaños de la mati escalonada es 2, del teorema anterior
deducimos que el rango de los tres vectores dados & 2.

El teorema 1 nos permite escribir el teorema de Rouche-Frobenius utilizando el
rango de una matriz tal y como se hace en la mayor parte de la literatura matemática.

"TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUS (véase la sección 1

Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, con matriz de sus

coeiientes À y matriz amplada A, se tienen los siguientes resaltados
D. EI sistema cs compatible determinado si y slo si

naenälen

15. ” Algebra y Geometría

19 El sistema es compatible indeterminado si y sólo si
nayeniien
si), Un sistema es incompatible si y sólo si

nayena)

A continuación se realiza el estudio dela estructura de las soluciones de un sitema.
Comenzamos con un sistema homogéneo de m ecuaciones y n incógnitas:

da >

rer
seen qu en map pm an si Do 0 or
a ae ae name ir
ran

PROPOSICIÓN 2.

9 Si Hu u.) es una solución del sistema homogéneo (1 ei es
También Solución del mismo sistema para todo número real e |

19 $i =a yon 0) Y Fu Bs 89 SON soluciones de sistema homogé>
neo (N, #47 también lo es.

Demostración. Si es solución de () se tienen La igualdades:
a+ as + tay = 0

a+ a tat =O
omit + ata tate
Multiplisando por el número real € «

resultado deseado.
Si además, Y es solución de (1) se tenen las igualdades:

la una de estas igualdades se obtiene el

aye baat tan =0

Capítlo 1 Reotcin de sistemas de cuaions nés Operaciones con matrices 31

Sumando las correspondientes igualdades se obtiene:
ayy +++ tat
anus te) ropa toda basen +0) =O
A)

lo cual prucba que + es también solución del mismo sistema. =

PROPOSICIÓN 3.

Si l sistema homogénco (1) s indeterminado existe k vostores, iy, Wa Ty
inmente independientes de manera que todas la soluciones de UD son

ell best,

con lose, números reales. Además, kon A} donde À denota la matriz delos
coeficientes del sistema (D.

Es conveniente ilustrar con un ejemplo el resultado de la proposición 3
EyewPLo E. Tratemos de encontrar las soluciones del sistema homogéneo.
day Sey bay sete 20

Een)

Kt -2x,+2%,=2x320

Realizando operaciones clementales con las filas de la matriz de sus coeficientes se
obrene:

2-3 11 2 1 3-2 2-2
3 oi 1 0) — 5 0 1 1 0
1 3-2 22 2-3 11 2

fi AE GA

13-22
{oi 3
oo 00

16. 2 Agra y Geometría

Haciendo 1320 etes Y Xy=0) Se tiene que

Los vectores

mére) (3010)

mento independientes, ya que si tenemos

di tats +de

igualando las tes últimas componentes de la izquierda a cero se deduce que du da
rer

Öbservr, finalmente, que el número de vectores incalmente independientes es
nah

Demostración de la proposición 3. Supongamos, para simplificar, que la ma
escalonada de este sistema es dela forma.

Caputo 1. Resolución de sistemas de cuaions nee Operacion con metros 33

Tas tp 100)
lr ls =)
lao “an M0. 0 1)

Por un razonamiento análogo al del ejemplo E se concluye que toda solución de (1) es
de la forma

[LEER ++ dy

Además, los kvectres 1, .., son linealmente independientes, ya que si
tenemos una combinación lineal de elle de a forma

AU Adi dary

n--p últimas componentes de cada uno de ellos producen las igaldades 4, =;
=d,=0. Por tanto, los keveetores dados son lincalmente independientes. I

La estructura de las soluciones de un sistema no homogénco se deduce de la
estructura de Is soluciones de un sistema homogénco.
‘Sea

Ox Haak + ten,

|

un sistema de m ecuaciones con incógnitas. Se denomina sistema homogéneo usoiado
a ll) el sistema que se abtene sustituyendo ls b de la derecha del sistema por ceros.

ay

a Sy toga al

SIT es una solución de (todas sus soluciones son dela forma 7 +, donde

PAN 4
1 es solución de su sistema homogéneo asociado. ]

Demostración. $i es

solución de (I) escribimos
#4

y Observamos que = -1 es una solución del sistema homogéneo asociado, ya que #
Y son ambas soluciones del sistema (I. =

17. Pa Aiea y Geometria

Las proposiciones 3 y 4 nos permiten enunciar el siguiente resultado,

TEOREMA 5

Sea 7 una solución de (IN, Existen À vectores 1, 1,
independientes, tal que todas las soluciones de (II) son de

Ute teat tea
donde los e, son números reales y Hy, Hs
homogénco asociado a (D)

Además, kan nA), donde À es la matriz de ls coeficientes del sistema.

Y, son soluciones del sistema

Nota, La expresión 7 +048 +633 iy se denomina solución gene-
rat del sistema y 8 se denomina una solución particular del sistema.

EJERCICIOS 12

1. Demostrar ls propiedades (5) (83) (Sy (Su) My) (Ma) (Ma) y (M) de la suma
de vectores y de la multiplicación de vectores por un número real

2. Determinar si os siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o
independiente y en caso de que can lincalmente dependientes, encontrar una combi
nación lineal entre ells:

d (12.00)
ÜBTE HE
9 (230,320, -1 0}

d (0,0.1,021,3, 0,011,242)

3. Calcula el rango de los siguientes conjuntos de vectores

OO +00 3

2

>
7
5

u

Capito 1. Relación de items de ensioner nel. Operaciones con mare 38

4. Calcular el rango de las siguientes matrices

ie Enns

a [6 -s -1 eE

dl E

fe er
aes

of 9650

a A

5. Estudiar su compatibilidad y encontrarla solución general delos sistemas.

tuo
al id

+285)
6 Demo qu do cnet con m vos den componen ca wo
abs de

13. APLICACIONES LINEALES DE R* EN R* Y OPERACIONES
CON MATRICES

Ln esta sección deduciremos las operaciones con matrices a partir de las operacio-
nes que pueden realizarse con aplicaciones lineales, Tales operaciones con matrices
serán necesarias para un estudio posterior de la resolución de sistemas de eevaciones
lineales, Comenzaremos con el concepto de aplicación entre conjumtos

‘Dados dos conjuntos $ y Y toda ley que asocia a cada uno delos elementos de 5
un elemento de T como máximo se denomina una aplicación de $ en 7: Si a esta ley la
representamos con la leaf e acostumbra a escribir f 5» 7 lo cual se lee wes una
aplicación de S en Th. El elemento de T asociado con el elemento 3 de $ se escribe
mediante /() y recibe el nombre de imagen del elementos.

EJEMPLO A. 1) Si R denota el conjunto delos números reales, f: Re» R dada por
x, es decir, a cada nümero real le asocia su triple, es una aplicación
2) Si N denota el conjunto de los números naturales, 0, 1,23, la ley
fi NN que asocia a todo número natural n su cuadrado, es decir, (jr, es una
“aplicación
3) Si S= (123,4 y T=
(obsérvese la Mura 12) se tiene ur

Se

} y definimos JU) =1, 62)
aplicación de $ en

102.10)

18. % Algebra y Geometria

Nora. Cuando una aplicación esti definida en un conjunto de números
(naturales, enteros, racionales, reales, ete) y sus imagenes estan también en
lun conjunto de números, se sole utilizar la palabra función en lugar de «aplica-
ción». En algunos caos se sule utilizar la palabra tranformacion en lugar de
«aplicación»,

Dada una aplicación: $++T se denomina imagen def, y se denota por im) al
conjunto de todas las imágenes de los elementos de 5, es decir:

im) (0/50)

En el jemplo A.) im(/)=8 en el A2) im/)=(0,1,4,9,16,25,.), en el AS),
im(f)={1. 2}

‘Cuando el conjunto im coincide con el conjunto final T se dice que fs una
aplicación suprayectia; A.1) y A.) son ejemplos de aplicaciones suprayectivas,
mientras que A2) no lo es. Otra forma de comprobar que f es suprayectioa es
estudiando si todo elemento de 7 es imagen de algún clemento de 5, es deci,

para todo 167, existe se, tal que fe)»

Una aplicación f: $-+7 se denomina inyecca si dos elementos distintos cuales-
quiera de tenen distintas imágenes, es decir, ss, 5,5 eS, = /() 2/69) Orca forma
de comprobar que fesingetiva e uilizando la negación dela implicación ahterior a
saber

SET) = san

La aplicación del jemplo A.) es nyectiva ya que f(x) =f) = Ix=dy = a
aplicacion del ejemplo A) es también inyectiva, ya que JIM =/(m) <= nam! n
or (puesto que n me Nh, sin embargo lo aplicación del ejemplo A.3 nes inyectiva,
ya que SD) y 142.

Una aplicación que es a la vez suprayectva e inyectiva recibe el nombre de
beta. La aplicación del ejemplo A.) es biyctiva, y no lo son ninguna de las
aplicaciones de los ejemplos AD) y A.

CapítloJ. Resolción de sistemas de enacons lines. Operaciones con matrices 7

La operación básica con las funcions esla composición. Dadas dos aplicaciones
JS Ty q: Tra, se denomina composición de f y g. y se denota por 9°f al
resultado de aplicar y à la imagen mediante de cualquier elemento de $, cs desir,

FJEMPLO B. Sif Ro está dada porfi)
ars, se tine que

Ly BR está dada por x)

SONO

Para que la composición de y g pueda definirse es necesario que el conjunto final
de fes decir coincida con el conjonto inicial de gr asi puc, 9 no está definida a
menos que U=S, En el caso en que 9°/ puedan define cabe preguntarse si gf
coincide con fog. es decir. si la composición de aplicaciones cs commutatica, La
respuesta es, en general, negativ ya que en el ejemplo B tenemos

rer

que no coincide con gf
Sin embargo, la composición de aplicaciones satisce la propiedad asocarca, es
deci

oo

“af
5.5.9 y h son tres aplicaciones para ls cuales tienen sentido las composiciones
anteriores. Este resultado se deduce inmediatamente de la definición de composición,
ya que
OS
Ha fe (g NS.

El comportamiento d
aplicaciones citados anteriormente queda expuesto en las
se dejan como ejercicio para el lector. Si See 7 y a T

(CD Finyectiva y g impectiva 92/ inyectiva.

(CD Fy @ suprayecivas = go suprayetiva.

ICH 13 y bicis = 9° bis.

la composición de aplicaciones con respecto a los tips de
uientes propiedades, que

Una forma de definir una aplicación es utilizando matrices, Ses, por ejemplo, la

” e)

19. » Algebra y Gomera
y sea el conjunto de todos los estores X<(%, x) con dos componentes: podemos
Sehne Je RAR mediante

NOT IU 2 +34)
Asi, por ejemplo,

FU, DUES 2 14D, 17)

En general, definimos R° como el conjunto delos vectores Talk 23 x) den
componente. Dada una matriz

an an a
dem las y n columnas, se denomina aplicactn lineal asociada con A a ta aplicación
FERRO dada por

LOS Xa AD
a tat ta Fat du + a a)

ot
19,
tiene como aplicación lineal asociado a: R?++R? dada por

sx)

La aplicación fintercambia las componentes de todo vector ¥'=(xy, x2) de R.
Geométrcamente,frefgja cada vector F(x), x) de RE en la reta x, mx; (Fig 13)
(Esto es fácil de probar inténtalo)

EseneLo Co La mariz

Sosy) = (08, + xo +

ete

Capo 1. Resolució de sitemas de seen lieues. Operaciones con matrices 39

EemPLO D. La matrie

1
o
o

tiene como aplicación lineal asociada a /: R’+-+R? dada por

SOS x de
(1-8, 40-85 400%) Dex 41-3, Dex Ory O2 HO

#0

‘Geométricamente,fproyecta todo vector de A en un vector de plano x x, cuyos
dos primeras componentes son las dos primeras componentes de Y y su tercera
componente es nula (Fig. 14)

Las aplicaciones lineales tienen un buen comportamiento con respecto ala suma de
vectores y a la multiplicación de éstos por números rales
‘TeoREMA I
Sea: R'- una aplicación lineal; para todo X, Y ey para todo número,
real y se tene
D IRALA
DIO

Demostración. Maremos la demostración para una aplicación lineal f: Rs,
puesto que ls ideas principales de la demostración en el Cara general están incluidas
fn este caso particular. Sea, por tant:

no)

20. “ Algebra y Geometria

la matriz de f y XX xs) Feb ya) Se tene que

ize

hey Hs al) bd ey HYDE
Fang ty) las, Hayy D ya 6% ey ds +de
art bin ex, +de) ai thy cn +de

SO ADA I“LBV4IOY

Esto demuestra 9, Para demostrar à) sea XX, x) y Y un número ral. Se tiene que

Firs) =e, lle M dr re

(oxy +x. ex +d) =f)

Esto termina la demostración de i) y, por tanto la demostración del eorema. I

Nota. Combinando 1 y 1 del teorema 1 se tiene que

es

RR
para todo X, FER" y para cualsquiea números reales r y.

El teorema 1 se muestra gráficamente en las figuras LS y 16.

nr
Fira 1 p16
Este teorema permite demostrar que la imagen de una recta en R° mediante una
aplicación lineal es otra recta o un punto; en elec, si 2 es la ecuación dela reta
‘Que pasa por el extremo de X en a dirección de € se tiene que
IAS

debido al teorema 1 (Fig 17) SiJ(0)= Öse tene el punto /() y i/(0)4Ú se obtiene
‘una recta que pasa por el extremo de fx) en la dirección de /(0).

EseMPLo E. Queremos hallar la imagen del cuadrado de series (0,0) (0,1.
(2.1) y (1,0) mediante la aplicación lineal Y dada por la matriz

(2)

La recta (1) (ease figuras 18 y 19) tene por ecuación Ü+AF, y, por tanto, se
transforma en (1) que tiene por ccuación

[OPE (DAME De 140, 1-142-0)=F +2, 1)
Anilogamente:

@ vee, se tantoma en 2 040.3
GRO, se transform en OE 2, Den
Lex one, se mansoma en (4: 1.214721

HULL]

21. a Algebra y Geometria

Con estos resultados se tiene que la imagen del cuadrado mediante fes el paralclogra-
mo limitado por ls rectas (1) (223) y (8, que tiene como véties (0,0) (2, 1) 0.3)
van

Las propiedades à) y i) dadas en el teorema 1 caracterizan a las aplicaciones
incals de R° en R”, Se tiene el siguiente resultado:

| Tem
Sea fs Re R* una aplicación que sas:

D $047) =/08)4J0) para todo X, Fer, y

iM JR)=rFW%) para todo FER" y todo nimero real .
Entonces, es una aplicación Incl con matriz A cuyas columnas vienen dadas
por os vectores StR fa) SE) donde e, 6 el vector de A" con todas sus
Componentes mulas excepio la que ocupa el lugar , que es I

Demostración. AL igual que en la demostración del teorema 1 vamos a suponer
que WR supongamos que(€)=/0. Oi (a, D3/@ 3-50, td, Vulcan:
do à y Me ten que
IRD = OO DO +8582)"
a ED eu exo d=
re)

tox,

Por tanto, fes una aplicación lineal que tiene como matriz

a 5

Observar que la primera columna de À es (7) yla segunda es JE) .
ExpMPLo F._ Tratemos de encontra la matriz de un giro de 90°, q, en R (e giro se

considera, salvo indicación contraria, que se realiza en sentido posiivo, es decir,

contrario al de las agujas del rel) (Fig 110, La aplicación g satsace 1) y 4) del

Fira 130

Capitulo 1. Roolcin de sistemas de cuacions iets, Operaciones con matrices. 43

covers 2 (tratar de demostrarlo geométricamente!), Por el teorema 2, g es una

aplicación lineal y su mätriz tiene como columnas

SEE.
PARENT]

Por tanto,

Las aplicaciones linales pueden sumarse y multiplicarse por nümeros reales: dadas
RSR y q. RoR" dos aplicaciones lineales y € un nümero real, definimos la
“suma de f y 9 como una aplicación / 9: RY-+ RF tal que

(F910)

(AR), ERE

y la malilicación de f por € como una aplicación ef: Rome R™ al que

CETTE
EJEMPLO G. Dadas dos aplicaciones lineales f: BR? y g: RE-+ RY mediante
E)

ae

se tene que

ALMA ATL DAA I
Kur)

La suma de dos aplicacions lineal f y 9 es una aplicación lineal, ya que

ADA SRA)
20 + 208) A)

rane)

(Fane) 10) + ee =f) +R = ON

por el teorema 2 esto basta para probar que fg es lineal
De manera similar puedo comprobarse que e es una aplicación lineal if lo cs

22. “ Algebra y Geometria

Si As la matriz de la upicacion neal R'+R" y Bes la matriz dela aplicación
lineal Rema, [+9 tendrá una matriz cuya j-sima columna está dada por
(ne) devido al teorema 2. Puesto que (f+aNe)= fle) ole) la Fésima columna
dela matiz de. 4 esla suma de ls Jesimas columnas de las matrices de /y 9 Ala
matriz de [+9 se le denomina matriz suma de A y By, por tanto, $

aus a2 © an Din din ba
eft a = m) PS Rn m be
a an = dm bet dan Ba

se tone que

Observar que para poder sumar matrices el número de filas de À y B debe
vinci, us como el número de columnas de ambas matrices. Una matriz con m filas
3 n columnas se dice que es una matriz de orden mx, la Cual Corresponde a una
aplicación de A" en R”. Por tanto, la suma de matrices solo es posible amas son del
mismo orden.

“Sex A una matriz de orden mx n asociada con la aplicación lineal R°-2R° y ©
un número real. Puesto que ef es una aplicación lineal, tiene asociada Una matriz, que
se simboliza mediante <A —multipicaciin de À por ol número real © cuya Jásima
columna 6 (e/NEJ=<(Je)) es decir, e veces la Jéima columna de A

93

En el eiemplo G las matrices de fy y son

10 0.0
ar] y aio
02 o.

Capítalo 1. Resolución de sistemas de cuaiones nes Operaciones con matrices 45
/
Por tanto:
rol oo fro\ fo o\ f 10
a-weltifecafrojefiafe{-2 offs ı
02 of \o2/ \ 0-2) (oo

al f—2g (comprobarlo)

que corresponde a la aplicación

Estas operaciones que acabamos de defini con aplicaciones lineales y matrices
tienen propiedades similares a las propiedades ($, HS) y (MMM) de la suma de
vectores y dela multiplicación de vectores por un número rea (ver seción 12) Estas
propiedades se enuncian enel siguente cuadro y se dejan como ejeciio para el lector.

Sama de onen Inner ET
Bi Sres (i) Av Basa Gonna)
tn AS CABO (mc)
DATES ood te

Sco 0's Lapin al onde da mare eu

Sa TEEN ea danse fat | SAME ASE Mean
ie acon na Mahan de as

dra Dee cara

Gens rater

(at ef a aaa

My UF core)

I último resultado de esta sección es obtener una operacin con matrices que
corresponda a la composición de aplicaciones linales. Comenzamos con el caso
particular de aplicaciones de A en A? o matrices (cuadradas) de orden 2x 2

‘Sean

las matrices de fg: RR, Tenemos que
PIO O
lass Haar) + bleu Farah Bl taxa
CCE ah HD 24d ER DTA PREE ER CETTE

Hanks + 04205 ac +

ur ta
>

23. “ Astra y Geometria

Por tanto, g°fes una aplicación lineal que tiene como matriz

(eens

que recibe el nombre de producto de B por A.

> Bss Biss

ET
eo y mai a 2); 0 2) nme que

el a) 9)
CMe D Gare 82€ 1)

Recordemos que para que y / tenga setido es necesario que el conjunto inal def
coineida con el original de g. Por tanto,

PRA GRR
Como la matriz de fes de orden mxn y la matriz B de yes de orden pm, para
poder calular BA es necesario que el nimero de columnas de B coincida con el
mero de filas de A. Gráicamente:

5 4 BA

Dada una matriz À el elemento que ocupa el lugar (es dei, la intercon de
la ¿<sima fla con la ma columna se denota por a, Ésto ns permite escribir una
matriz À abreiadamente como (Alan... 3 © de orden men.

DEFINICIÓN 1 (Multiplicación de matrices)
Dadas las matrices

Bel

y Y Acta.

de órdenes pxm y mx, respectivamente, definimos BA como la matriz de
orden pn cuyo elemento que ocupa el lugar (4) está dado por

À bay

bas aay + aly

Capito 1. Resolució de sistemas de ecuaciones lino. Operaciones con matrices 47
1

EXEMPLo I. Dadas

podemos calcular BA, ya que 2x(DG)x3, pero no AB, ya que 3x(BIx3. El
elemento que aparece en el lugar (2 1) de BA es

bazas, +baydyy =3-041-140-(—2)=1
es,
0.21
AOS
211
Woran ana 11420441) 6 12 5
detisana saetas 24410501) (1 9 à

Como al lector puede suponer, el producto de matrices corresponde a la com
posición de las aplicacions lineales que elas determinan, en el orden adecuado,

PROPOSICIÓN 3222
Si JAR" tene Amlayka)..n como matriz y q: RR? tiene B
=,

Mate como matriz f: RR? es una aplicación ica que ten como
i BA

Demostración. La Jésima columna de la matriz de g-f es
8/6) He) as ar = and”
map + a gt) ange)
en donde se ha uilizado la linealdad de y. Por tanto,

BSD" Oigo Bars» Dad of BB) 4 Mafia Ba baad
Bis + ps + + ne us +03 035 + aros Ss

are
8 he rm À ha)

2

s
3
3
á
3

El
É
E
i

24. o

“ Algebra y Geometia

De aquí deduce que el mento que ocupa el agar (en BA es $, busy que er

lo que queriamos demostrar, La demostración de que ge es una aplcación lineal se
deja para el lector .

Para finaliza eta sección damos algunas propiedades de la composición de
aplicaciones icals y de la muliplicacion de matrices. Ya sabemos que la propiedad
asociativa e cumple para la composición de aplicaciones y. por tanto, se cumple
también para la multiplicación de matrices.

La propiedad conmutativa puede que no teng sentido, como en el ejemplo 1, enel
que no puede calcularse AB, pero si BA. Incluso si AB y BA pueden calcularse la
Propiedad conmutativa no es cie

CRI Ce 363)

La asociativa y otras propiedades de et

‘operaciones se resumen a continuación.

| oreo ¡CACA CUBA
(Dados (Gus B=casce
CEE (CMC =CA= ba
CITE EE) COMENT

La multiplicación de matrices no permite esrbir un sistema de ecuaciones licales
de una forma muy sencilla. Dado el Sistema

ayy hat etant
ay, + apt anotada

A A ETS

de m ecuacioneslinales con incógnitas, si escribimos

on a a pa »,
mue) fe), gf
(on dus am, ke e

se tiene que

65 una forma abreviada de escribir (D.

Capinlo 1. Resolució de sitemas de ecuaciones finale, Operaciones con matices 49

EJEMPLO J, El sistema

O]

Krim 2)
se escribe con notación matricial de la forma
pa A
Lo afila
EJERCICIOS 13

1 si as siguientes aplicaciones son inyectiva, supraycth
2) ARS
DEN TR um = mn

E) donde Z denota el conjunto de los mimeros enteros 0, 1,
0.22, 2446.)

todas as biycciones del conjunto {1,2, 3} en si mismo.

3 Dadas fi 8-0 y y Tro, demostrar que

5 0 bijectivas

0) Ka inyeaivas © gf inyecta
Dy Sea suprayectvas => ge suprayectiva

©) fog bigestvas => 42 bivectva

4. Dadas fl = 747, A=IN~S y Mx) =sen x, funciones de R en calcular
Obes Doka 9 af

5. Escribir las matrices de las siguientes aplicaciones

O)
CENTER CEE]
9 Jar x
di Jr kr =
6. Dada f: Ri RE mediante fay, 23) +p 2x x) hallar la imagen mediante
de las siguientes regiones

d (sy asus 00 st)

OR ENPTE PRE

7. Demostrar que fe Rico RE dada por fix, 23)=0% xd) no es lineal, Dibujar la
imagen de la recta Kur, 1) mediante f

Hall

Bayes

matriz de un giro de ángulo en sentido positivo en R

25. O

» Algebra y Geometría

9. Hallar la matriz (en R) de la simetia con respeto al plano x=
10. Dades las matrices

150
Plat) el
200)

calcula:
d AB+OD) D (BHC MEGA (CO
à 48 D FG) ye

M. Dadas las aplicaciones lineales fx x)
Ku Y My Gal px Dh calla

DES hegre o

12, Demostrar tas propiedades (8) (83. (Sy) y (Se) y (MG) (M (My) y (Ma) de la
suma de aplicaciones y matrices y de la multiplicación de éstas por nümeros reales,

13. Demostrar las propiedades (C3) (Ca) y (Cu) de la composición de aplicaciones
lineales y de la multiplicación de matrices.

ah A er

14. Escribir en forma matricial Js siguientes sistemas de scuaciones lineales:

15, Desarrollar los siguientes sistemas escritos en forma matricial

or: >
E

BRO 06)

14, INVERSA DE UNA APLICACION E INVERSA DE UNA MATRIZ

Dada una aplicación f: ST decimos que g: T++$ es una inersa de Ys:

a) @°fe)ms para todo ses, y
D Sea, para todo 16

Captlo 1 Reich de sistemas de ecuaciones inéales Operaciones con matrices St

Si definimos 1(s)=s para todo 5€ Se 120) para todo re las cuales reiben el
nombre de aplicaciones identdad) las condiciones anteriores 2) y 6) se escriben de la
forma
Sale y faste
‘ 1,3
EXPLO A, 1, Sifs)~2x-+3 es una alcació de Ren R gap es una
invrsa def ya que

eno

x43,
Are yor

ee er

2. Sift RoR os la simetría con respecto a una recta, fes su propia inversa, ya
que

PSP
10
La inversa de una aplicación no siempre existe, Si f (1,2, 3)>[1.2) es la

aplicación dada por f(l)=/3)=1, JO) f no poses inversa. En efecto, sf
9 {1 2 (1,2, 3) fuera una inversa def tendriamos que
1 /0=g ES

lo cual es una contradicción.
Si existe la inversa de una aplicación / se die que fs incenible yla inversa de fe
denota por.

26. 2 Algebra y Geometría

La inversa def, cuando existe, es única. Para probar este resultado supongamos
que y: TS y le TES son dos inversas def: Se» T. Tenemos que para todo tT,

= IRON ASI = HN)

3 por tanto, Ao.
A continuación damos una condición necesura y suficiente para que exist la

inversa de una aplicación
Tura |
Sea fi S++T una aplicación. es invertible si y sól si es bvectiva

Demostración. Supongamos, primero, que fs invertible y sea g: Tr+S su imersa

Si f=H6) tenemos que y: JE) =0 JE) y, por tanto, <=; esto prueba que f es

inyectiva. Para probar que es suprayectva, sea LE T y tomar s=9(0 entonces f(s)
igi = (Fgh). esto prucha que f es biyectva

Supongamos ahora que Fes biyectiva, Dado te T definimos gl0)=s de manera que

ft. La apliacion y es la inversa de f ya que

EJEMPLO. 1. Seaf: R° +R dada por fo=I
neperiano, donde R” es el conjunto delos námeros tivos. Esta aplicación es
inyectiva ya que log x=log y = x=), y es suprayectiva ya que si yeR, tomamos x.
=0 y tenemos que log x=log ey. Por tant, e invertible

Claramente, su inversa e la aplicación y, R-+ dada por ge)=e“

2. Sea fi BR dada por JivI=2x- 1. Esta aplicación es inpectiva ya que fs)

) «> 2x 1 2y = de donde se deduce que x= yi es además, suprayetiva ya que

y: basta tomar x= 40-41). Por.

ado yeR podemos encontrar k€ tal que 2

teorema 1, fs invertible.
Su inversa se ha encontrado en la demostración de la suprayectividad:

ER
welt)

Pasamos ahora a calcular la inversa de aplicaciones icale de Ben RY; comenza
mos demostrando que si una aplicación lineal fi R'-+R" es invertible, su inverso
LY RAR es también una aplicación lineal

Capítulo 1. Resolució de sistemas de ecuaciones final, Operaciones on manes 53

ef Res también una

Demostración. Lo Único que es necesario demostrar es que J! es lineal. Si
R FER se tiene

SEMEL PASS OPI)
CT

Puesto que Je inyectiva por el teorema 1

TEOREMA 2

Sif: Rime es una aplicas
aplicación ineal invertible y US

ALO

Finalmente, si Ke reR,

SSMS PRA OAS NLP ED

y de muero puesto que f es inyectiva debido al teorema 1 se tiene que
REN

Estas dos propiedades son suficientes para asegurar que f~! es lineal debido al
teorema 2 dela seción 1

Sif Bree 8° es una aplicación lineal, su matriz asociada A es de orden mx y, por
tanto, el número de filas coincide con el número de columnas. Estas matrices se
denominan cuadradas y se dicen de orden n en logar de orden nun.

Sif: Bre 8 invertible, su inversa / 1 B+ RY es también una aplicación lineal
y se matrie asociada B es también Cuadrada y del mismo orden que A. La matriz B
fecibe el nombre de inversa de A y se denota mediante BA"

Puesto que la matriz de ff es AB yla matriz def es BA (ver los resultados
‘obtenidos en la sección 13) se tene que B esla inversa de À si y solo sh

AB=I, y BAI,

‘donde 1, es la matiz identidad de orden m, es decir la matriz con unos en Ia diagonal
principal y ceros en el reste:

27. Algebra y Geometría

EJEMPLO C.. Intentamos calcular la inversa de la matriz

woe

¢

=) su inves. Puesto

165

(5

fs 25) 9

Igualando los elementos de las matrices se tienen los siguientes sistemas de dos
ecuaciones licales con dos incôgni

Jo

af en

Para resolver (D escribimos

ANA
a)
de donde deducimos xy =3/2, xy==2
resolver (ll) escribimos

COS 19-61 echt)

Por tanto:

(out)

Podemos comprobar que B.
32 M2 MN (3-2 32-37 (1 0
22 ia fans 23 ft

En el ejemplo anterior se observa que las operaciones clementales que se han
realizado para resolver lo sistemas (1) y (I) son las mismas. Esto sugiere que el eilculo

Capito 1. Resolució de sitemas de ecuaciones nal. Opervone con matrices 55

de la inversa de A podria haberse realizado ala vez con una matriz que incluyera las

comms) (oe
(le)

que es una matriz de orden 2x4 de la forma (4 | I) Realizando operaciones
elementales en esta matriz s tene

21/1 0) wm (21! 10) 20] 30 0 fi 032 17
63101) ala) bil 1) lo afr ı
es desir (3 47%

Por tanto, para calcular la inversa de una matriz cuadrada À de orden n se |
reduce la matriz (4 | 1) a la matiz (| 8) mediante operaciones clementales
Entonces 4

EsemeLo D. Para calcular la inversa de la matriz

en

28. % Algebra y Geometria
Por tano, À es invertible y

(sn un 67
at 67 7 7
lan sa in,

{Comprobaro calculando 473-4).

EtemPLO E, Tratamos de encontar lu inversa de la aplicación: + dada
por Jl am 428s, x, +2X:), Puesto que la matriz def es

af ©
“la

amm ajo 0.08 apor

A lo a) 6 ala of ali -

12, 0 1 fo] ar -ım
or} ana lo 1] 110 372,

Por tanto, f~* tiene como matiz

fr In
m4 3

y en consecuencia:

(icomprobarto

El lector se preguntar s existe alguna forma de determinar s una matriz cuadrada
A posee inversa sin necesidad de calularla. La respuesta es afirmativa y la produce el
teorema de Rouché-Frobenis.

Supongamos que A=(ajhe tous 3 Xe
AXE seine que PS 3

16 la inverse de As puesto que

0
an an fi
en a JA) A,

lo cual consttuyen n sistemas de n ecuaciones cada uno con n incógnitas.

Capito 1. Resolución de sistemas de cucioes incl, Operaciones con matrices #7

Si A posee una inversa, cade uno de ls sistemas anteriores posee solución nica.
Por el teorema de Rouché-Frobenius se ha de tener que #4).

Reciprocamente, si riA)=n, cada uno de los Sistemas anteriores posee solución
única, ya que

rare] alt fen
lo
Hemos obtenido el siguiente resultado:

TEOREMA 3

Una matriz cuadrada 4 de orden n es invertible si y sólo i nahen.

Como aplicación, observar que la matriz

o pose inversa, ya que

oy fro 2
chelou
of los
y por tanto, A) 243,

]

Nora. De la proposición 4 se deduce que si fy g son aplicaciones lineales
on matrices A y B respectivamente, (AB) 1 = 874", siempre que existan las

29. s Algebra y Geometria

Demostración. Basta probar que ("eg Degas y U" 9 Nate.

Tenemos que

VIII TRIAS AN

logamente:
WAU Mame .

EyeMPLo Fi Tratemos de calcular (AB) donde

(

a?
“(5 3)»

29) ge y 8

(apy Ba

ma =ıR
(a as

yer MD 7 -M
st ina) (eus 7

Para finalizar esta sección aplicamos los conocimientos adquiridos para resolver
‘algunos sistemas de ecuaciones lineales.
‘Supongamos que À es una matiz cuadrada de orden ne invertible y tratemos de
resolver el sistema AX=B, Si A”! denota la inversa de A tenemos que
AMAR RA
y, por tanto, Xu A7.

EseMeLo G, Tratemos de resolver el sistema

ER

Captlo }_Reotcin de semas de cuacons color. Operaciones con matrices 59

dado en forma matricial. La matriz de ete sistema es invertible como se ha vito en el
ejemplo D, en donde también se ha calculado su inversa. Por tanto:

AS ead

(comprobar el resultado!)

EJERCICIOS 14

1. Demostrar que las aplicaciones f: %+8 dada por fey alu x 41428)
Y'a Bere RE dada por gl Jl, xx 4) som inversas una de la otra

2, Dadas J6)=3r=2 y gfa)=cosx, aplicaciones de A en A, callar 90/79
senta Y

3. Se denomina rango de una aplicación al rango de su matriz asociada, Cal
Tango de las siguientes aplicaciones lineales:

lar et

Se)

D) ln xa detect NEE £142 D 2)
9 Nr lala gt. +2)
EN]

0 Ju a a a

4 Enco

ies posible, La inversa dels siguentes matrice:
we 10 0
na ora
323 an
123

1 20) taz
oly je

inversa de cada una de las siguientes matrices

pun ah) ati

on

30. E]

Algebra y Gomera

Encontrar, s es posible, la inversa de las siguientes aplicaciones lineas

Jeux

amen

Je bey tex ne

Encontrar A! y resolver el sistema AX 2 para

“6

eek

0 » |

\

un
ss}
76)

\

16
16}

}
2)

Capito 1. Recon de sistemas de cuacions nes Operaciones con matrices 61

BIOGRAFIA

Carl Friedrich Gauss nació el 30de abril de 1777 en Brunswick, un pucbecto que
“ctuaimente pertencee a Alemania Oriental. Impresionados por su habilidad para las
matemáticas y los idiomas, su madre y sus profesores le recomendaron al Duke de
Brunswick, quien le proporcionó la ayuda económica necesaria para estudiar en la
Universidad de Göttingen

Cuando solamente tenia 19 años Gauss realizó uno de los descubrimientos más
espectaculares de las matemáticas del siglo VI: ue el primer matemático que
construyó un poligono regular de 17 lados utilizando solamente regla y compis
Euclides subia como construir polígonos regulares de 3,4, 5 ÿ 15 lados. así como

31. a Algebra y Geomenin

aquellos que se obtienen duplicando éstos, Animado por su descubrimiento, Gauss
logró encontar una solución algebraic al problema de construir con regla y compás
un poligono regular de m lados y desaroll un crio basado cn l coria de números
‘on el cul puede desdise si un poligono regular de un cierto número de lados puede
construire geomäricamente

"En 1799 sele concedió el título de Doctor por la Universidad de Heimsted. En su
tesis Gauss dio una demostración del Teorema Fundamental del Algebra, en el que se
muestra que toda ceuacion algebraica con coeficientes complejos tiene soluciones
complejas Los números complejo, cuya formulación actual se debe, entre oron, a

Gauss e estudiarán en el capitulo 4

"A los 24 años publics una de lus obras mis completas de la historia de las
matemáticas, se tl Disqisitiones Artmetice y en ella formuló conceptos y métodos
¿e enorme importancia en el desarollo posterior de la Teoria de Números.

EI Duke de Brunswick financió tan generosamente sus investigaciones que en 1803
pudo renunciar a una oferta de profesor en la Academia de Ciencias de San Petersbur-
fo. En 1807 fue nombrado profesor de astronomia y director del abservatoio de la
Universidad de Götingen, en donde permaneció durante toda su vda

‘En 1801, Gauss tuvo la oportunidad de aplicar su habilidad matemática y sus ideas
en el campo de la astronomia. El primer día del ato fue descubierto un asterido, que
posteriormente sera amado Ceres. À pesar de que pudo ser observado durante 40
ls. ningún sströnome fue capaz de calcular su órbita, Con solamente res observa
‘Sones, Gauss desarrollo una técnica para calcular su órbita de manera que Ceres pudo.
Ser localizado fácilmente a finales de 1801 y comienzos de 1802 El método utlizado en
Jus cálculos fue publicado en 1809 en su Hbro Theoria Motus Corporum Coelestam;
Ste metodo Continúa wilzändose actualmente, con ligeras modificaciones, en los
ikulos que se realizan con ordenadores.

Carl Friedrich Gauss contribuyó de manera decisiva al desarrollo de varias ramas.
de la matemática durante e silo XIX

Murió cl 23 de febrero de 1855 y poco después de su muerte se pusieron en
«irculación varias monedas en su honor.

CAPITULO 2

DETERMINANTES
Y SUS APLICACIONES

UNIVERSIDAD DE LA MEPUBLICA.
FACULTAD DE RYCINSRIA
DOCUMENTACION Y BILLIOTRCA
MONTEVIDEO + URUGUAY

21. Determinantes de matrices de orden 2 y de orden 3

22. Definición general de determinante. Propiedades

23. Determinant de un producto de matrice. Clelo de determinantes de
24. Inversa de una matriz Regla de Cramer

25. Rango de una matriz. Resolución de sistemas compatible e indctermina:
dos

26. Determinantes y permutaciones

En el capitulo atrio e ha ado ula conclusión de que un sema de
ecuaciones lineales de la forma. “ “

ARE

5 muy fc de resolver si econo inves de la mati A. Tami al se do
método para alo a invera de una mar, osado en le rahacin de
Sperciones element cons fas.

En se capitulo inoduciremos el concept de deterinate de una mari
que nos permit obtener una fórmula ar clar da ti mera de una
dada. Las proicdados de los determinate, bases cn exe apie) en
muerde orante, in esas mime

n paca, sabemos la ea en el Tango de una mati y la
nlacion de cero determinants 1 cual os orm entoırar una foal
ua resolver sitemas de cons compe

32. “ Algebra y Geometría

21. DETERMINANTES DE MATRICES DE ORDEN 2 Y DE ORDEN 3
Dado el sistema

ex+demes

de dos ecuaciones con dos incógaitas, intentamos buscar condiciones sobre los
coeficientes del sistema para que posea solución única. Por el teorema de Rovché-
Frobenius eto se cumple solamente cuando

(9

Realizando operaciones elementales con las las dela matri de os cocficientes, se

Ñ (a a)

Si ad he es nulo, la matriz A delos coeficientes del sistema tiene rango inferior a2 y,
por tanto, el sistema (I) no tine solución única.

Bajo la condición de que el número ad—be sea no nulo, el sistema (1) puede
resolverse. Multipicando la primera ecuación por dy Ia segunda por ysestándolas se
obtiene

labos, mete

Maltiplicando la primera coación por ey la segunda pora y restundo la primera dela
segunda se obtiene

Por tanto,

Capúnlo 2. Determinantes y es aplicaciones 6s

ae
(1)

anim ab x mind ie une de nein de Ay deta

scl Pe ante, has daha tao oe

Dada la matriz

PROPOSICION 1

El sistema (D) pose solución única si y sólo sil determinante de la matriz de
sus coeficientes es no mulo. Además, sus soluciones se calculan mediante las
Formulas

Ed E
SE!

Las fórmulas anteriores reiben el nombre de regla de Cramer para la resolución de
sistemas compatibles determinados de dos ccuaciones con dos incógnitas.

(Observar que ls soluciones se obtienen como facciones que tienen como denomi=
adore determinante de A: el numerador del fracción de, es el determinante de la
matsiz que se obtiene sustituyendo la primera columma de La matiz À por el sector
columna que aparece ala derecha del sistema (Dy el numerador de la fracción que
determina x, es el determinante de la matriz que e obtiene sustituyendo la segunda,
columna de la mari À por el vector columna que aparece al derecha del sistema (1.

BJEMPLO A. El sistema

dr
xi +30)

tiene solución única ya que

Su solución es

33. “ Algebra y Geometría

La principal propiedad de los determinantes es su Iinalida; esta propiedad, entre
otras, se demuestra en el siguiente resultado.

See RE able adel Be

1) Si B esla matriz quese obiene a parti de una matriz A multiplicando una
‘cualquiera de sus Flas por un número real r se tiene que [Bi ="

‘iy Si Bes la matriz que se biene partir de À intercambiando dos de sus
flas se tiene que = =

fe) SIB e la matriz que se obiene a part de À sumando un múltiplo de una
fla de A a otra file de À se tiene que 18 =!

+) El determinante de la matiz identidad es |

Nota, Las propiedades iy 1 son Jas que determinan la linealidad por las
del determinante. Las propiedades i i) y 10) nos muestran el comportamiento
{el determinante frente à las operaciones elementales con las las de una matriz.

Demostración. Unicamente demostraremos la primera parte de) dejando el esto
de las demostraciones para el ctor debido a su sencillez, Utilizando la definición de
determinante se tiene que

usa bes

A UN

lad=cby + deb

que era lo que queríamos demostrar

Observación. El determinante de una m
es nl:

comin siesta un on damian de una
uh sponse sae
Pe | wm

aso aya +00 eh]

Capitale 2. Determinantes y sus aplicacion o

de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene solución única. Para encontrar esta
solución multiplcamos la primera eeuacion por

la segunda por

y la tercera por

Por analogía con el caso del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
denominamos determinante dela matriz

SEE

a la expresión que multiplica à x, en la fórmula anterior.
Una forma sencilla de recordar esta definición es haciendo uso delos conceptos de

matriz adjunta de un elemento y de menor. Dada una mati (ae. e denomina

mati: adjunta del clemeno que ocupa el lugar (i) a la matriz que se obtiene

climinando la fla 4 y la columna j de la matriz dada, y se denota por Ay El

determinante de A, se denomina menor dl elemento que ocupa el lugar (i) e decir,
Por ejemplo, en la matriz

1 0-2
ab 1
ba?

16 3) hc

34. “ Algebra y Geometría

mientras que

-2\

BER

(Con estas notacones podemos di

la siguiente definición

DEFINICIÓN (Determinante de una mari: de orden 3)
Dada la matriz
jan as 2)

deñnimos su determinante mediante a Formula
Vial Ant ays

Esopo B

12
21
1

1 eg

PETER

da
I al

Si desarrllams la expresión que nos d el determinante de una matriz de orden 3
se obtienen los siguientes sis products:

ll

Ales ana e430)
+ fes 40) 43 22853 44710130534

Los términos positivos de esta expresión son los productos de los términos de la
iagonal principal de À y los productos de lo términos que ocupan los vrtces delos
triángulos de la figura adjunta:

ofen ein mine)
lass" 053 anal

logo se obtiene para los términos negativos:

Esta regla nemotéeniea puede emplearse para calcular dterminantes, pero sólo
funciona con matrices de orden 3.

(términos negativos)

ESEMPLO C. Los términos positivos del deteermante de la matriz
2 1
o
'

2

OA

po

a à

Por tanto, =

= 23 (comprobar el resultado utilizando la definición)
A continuación probamos que el determinante de una matriz de orden 3 tiene

propiedades análogas a las enunciadas en el corema 2 para determinantes de matrices
de orden 2. Concretamente

Teorema 3

|. Las opie ange a 4) y 0 corea 2 on cts para
Peter

Demustración. 1) Si

Primera fila es suma de dos se tene

som e

ara ata
urn tal,

35. »
hi 4 (és 4)
fe phe Se
au jdn de ds

‘en donde en la segunda igualdad se ha utilizado la propiedad D del teorema 2
Igualmente puede demostrarse cuando la suma aparece en las las segunda 0 tercera.

i) Simuliplicamos una fla de una matriz por ejemplo, a segunda) por un número
real r se obtiene:

en donde se ha utilizado la propiedad i) del teorema 2.
fin Intercambiando, por ejemplo, a primera y la segunda fila de la matriz À
obtenemos:

Ba} on ne
lay Fray, ag +0 atrasa

Capito 2. Determinants y sus aplicaciones a

que se ha obtenido de À sumando a la tercera fila r veces la primera, Debido las
Propiedades D y 1) ya demostradas se tene que

“feed a

que era lo que se queria demostrar
a propiedad 4) es inmediata a partir de la definición. =
"Terminamos esta sección con un ejemplo que muestra cómo pueden uiizars las
propiedades i, 1) y 6) dl teorema 3 para calcular determinantes

Heurio D
1 1 20) 20 12 0
la os en
La o 32 b os loo à
20 10 0
2 iso 1 ol &-ıso 10)
oot 001
que es el mismo reste quese obtuvo en el emplo B
EJERCICIOS 21
1. Callar Is sgulenes determinantes de marcos de orden 2:
Spy opyops
hd pd “La
ape cp sy
2. Hal I imera de ls matrices) yd) atevores.
3. Ulnar I ropa de Cramer para resolverlos úsemas RB, donde
24
(5)
y

+6) 6) 250)

36. » Algebra y Geometria

4. Utilizar la definición de determinante para calcula:

as weeny yt ae
10 1 ur: bie
141 veel bos

a) y 5) anteriores utilizando la regla memotécnica para calcular
Seterminantes de orden 3,

6. Calcular el determinante de la matriz ¢) del ejercicio 4 realizando operaciones
«elementales en sus las y utilizando las propiedades de los determinantes.

7. Calcular

cose senal
sena cosa 0

8. Demostrar que si a,b y © son números reales, las rales de la ecuación

22. DEFINICION GENERAL DE DETERMINANTE. PROPIEDADES
Fin esta sección daremos la deiición de determinante de una matriz cuadrada de
orden m de la forma

a

Esta definición esla generalización de la definición de determinante de matrices de
orden 3 dada en la sección 2.1. Recordemos que JA, denota el determinante dela
matriz de orden n— 1 que se obtiene suprimiendo la fit y la columma dela matriz 4:
14, se denomina menor del clomento que ocupa el lugar (1, en A.

DEFINICIÓN (Determinante de una matriz de orden n)

Dada uns matriz A como arriba, su determinante se define dela forma

alt al

za

Capitlo 2. Determinantes y su aplicaciones a

Obserrucön. En a definición que acabamos de dar el determinante de una
matriz de orden n se reduce a calular n determinantes de matrices de orden
Ji cada determinante de orden ne reduce calcula — determinantes de
‘orden n= 2. Continuando est proceso se lega a obtener determinantes de orden
2, que son files de calcular

Euro A

22 3
203
Bin

LR Jak eases

234
2 0 3
bad

pas
sa 2 3)
ba

1 o)

234
ah 23
203

1
0
A
2

Por tanto

044: 2-A AaB 44824,

El cálculo de determinantes utilizando la defncibn dada result larguísimo cuando
se tata de matrices de orden elevado, El estudio de las propiedades del determinante
aliviará este problema.
Para demostrar estas propiedades utilizaremos un razonamiento denominado
método de inducción.
Este método puede aplicarse cuando se trata de demostrar una propiedad Pl) que
depende de un número natural m, Para ello se procedo como sigue
1 Se demuestra que Pi) es cierta para un cierto número natural no, que
generalmente es pequeño.
2°. Se acepta que la propiedad e cierta para todo número k > ma € inferior a m
(hipéesis de Inducción) y uilizando esto se demuestra que también es cera
para

37. #

Estos dos resultados permiten con
Bin efecto, por 1° es cieta para no; utlizando 2° es también cierta para no
iizando de muevo 2°, Po) es derla para ny +2, Y este proceso puede continuarse
hasta alcanzar cualquier número natural por muy elevado que sea.

Mostaremos con un ejemplo sencillo cómo se aplica el metodo de inducción. Se
rata de demostrar que la suma de lt Jrimeros mimeros impares cs 1.

Sea Pina 1+3434..+@n- Dans la propiedad que queremos demostrar

1° Pyet=t es cert.

Para convencerse de que el resultado es cierto, eestor puede comprobar que PR)
14304023 y Pe 14345!

2° Supongamos que PL) es cierta pura todo Km, es decir se tene

Ares AOR DAR, kl dl

Ahora,
ES

(43254420) 2 +1)

NS

que era lo que queriamos demostrar. En la igualdad (*) es donde se ha utilizado la
hipótesis de inducción, ya que se ha aplicado que Pint) s cir

"Algunos resultados que pueden probarse mediante el método de inducción se
proponen como ejercicio al final de esta seción

ON

Demostración. Esta propiedad es fácilmente comprobable para matrices de orden

y
foros à Prose

Acepiemos que es cierta para toda matriz de orden n—1 y tratemos de demost
para una matriz de orden n con una fla de ceros Supongamos que los ceros ocupan la
la de la matriz, es dei.

o. o
a
m im

Capinle 2 Determinants y sus aplicaciones 5

De la definición de determinante deducimos

Aba by moe Da lA DA Aa

“Todos los adjuntos Au con ke! tienen una fla de ceros, por tanto, [Aye =O por Ia
hipótesis de inducción. Para ki, 1, está multiplicado por Oy, por tanto, todos los
sumandos de la igualdad anterior son los. .

PROPIEDAD 2 (P.2)

elm Ja thy aa

Ay tba) = ay aa dal +

D am a
LA 0]

para todo.

Loa

Demosiraión Esta propiedad se ha demostrado para matrices de orden 2 y de

orden 3 en la sección anterior, Aceptemos que es cierta para toda matriz de orden
menor que n. Tenemos

¡ci=a,

[Culo DEM C+

iCal

Cada adjunto c,, con Ke! es una matriz de orden n-1 con una fla que es una
suma; por tanto:

COPA +B

donde Au y By son adjuntos de A y respectivamente Susttuyendo este resultado en
la igualdad anterior se tene:

[Ora A BI HN Hag by Cth EI

A]

Puesto que ICal=14al= se tiene que

ia

dant E HD ald
Ban HCP Bl eee UP Bg TA .

38. % Algebra y Geometría
PROPIEDAD 3 (P.3)

Si Bes la matriz que se obtiene a pani de una matriz A mulúplicando por |

| 4 mero ren una de sus is se tiene que IM anal

Demostración. En la sección anterior se demostró que el resultado es certo para
matrices de orden 2 y de orden 3. Aceptemos la hipótesis de inducción y supongamos,
para simplifier la dem

palta ta Oe
Tenemos que
AN]

El adjunto By, coincide con A, y, portato, 18, =| los adjuntos By, con kt
tienen una Ma que está multplicada por r y, por tanto, Bil=riAul debido a la
hipótesis de inducción. Sustituyendo estos resultados en la igualdad anterior obtene-

Ina

PROPIEDAD 4 (PA) ————
Si Bos la matiz que se obtiene de A intercambiando dos de sus fila, se tiene
que = 1A,

Demostración. Comenzaremos demostrando el resultado cuando la dos Flas que
se intercambian son consecutivas. AL igual que en las demostraciones anteriores
vilizaremos el método de demostración por induceiön. El resultado es cierto para
matrices de orden 2 y de orden 3 puesto que se ha demostrado en la sección anterior.
Sea, por tanto:

raya to 4 UP ran

Al .

gas aus

Capinto 2 Determinantes y us aplicaciones ”

la matriz que se ha obtenido de A intercambiando las fas ie +1. Tenemos que

A A]
u

an am
Por otto lado, By, con Kl, +1, es una matriz de orden n- 1 con dos Als consecuti-
vas intercambiadas con respeto 2 Ay; por la hipótesis de inducción tenemos que Bu]
Mas
Susttuyendo estos resultados en la igualdad anterior se obiene:

allt A DP aya to f= DP Ag
= Lay Ags E)
Per

Hemos demostrado el resultado cuando se intercambian dos filas consecutivas.
Supongamos ahora que se intercambian las fila !y j=i+k de una matriz Sea

la matiz que se obtiene de A intercambiando las fas fy j. La matriz B puede
obtenerse a partir de A realizando varios intercambios de fas consecutivas. En primer

Jugar, a fade 4 puede colocarse en la fila j=1+ k realizando & intercambios de fas
consecutivas se obliene así la matriz
A| o,
De

39. a Alacra y Geometria

Para pasar de A a B mediante intercambios de fis consecutivas es neoesario
“intercambiar la fla (a, ap) que ocupa el lugar j—1=14 (k= KL vores pa

colocaría en la fila En definitiva, de A se pars a B mediante &+(k- =2—
intercambios de las consecutivas. Cada uno de estos intercambios cambia de signo el
determinante y puesto que se hacen un námero impar de Intercambios se tiene que

Al =A =

PROPIEDAD SP)

Si una matriz tiene dos Mas iguales, su determinante es nul,

Demostración. Sea

du“ du

‘una matriz con dos Mas iguales, a saber, las fils 1 y j intercambiando estas as se
biie la misma matriz, sin embargo, por la propiedad 4, el determinante cambia de
signo, Por tano,[A]= 1A de aqu se deduce que [AJ=0, que era lo que queriamos
demostrar =

EsEMPLO B La matriz

tiene determinante nulo ya que su segunda y su cuarta fila coinciden.

PROPIEDAD 6 (P.6) —

Si Bs la matriz que se obtiene a partir de A sumando un múltiplo de una
Ma de À a otra fila de A se tene que |Bi= A

Carito 2 Determinantes y su aplicaciones »

Demostración. Multipliquemes la fla à de A por r y sumémosia la fila & para
obtener B por las propiedades 2 y 3

IB=laler Diguales

La matriz cuyo determinante aparece el limo en la igualdad anterior tiene dos
fla iguales y por tant, es nulo por la propiedad 5. Este razonamiento demuestra el
resultado, .

Las propiedades 3 y 6 delos determinante junto con
10.9
où 1. 0

) Ma a
oo. 1

permiten calcular determinantes de una m.
Siguiente ejemplo muestra este echo

Tin este cjemplo y en otros de clculo de determinantes en los que se considere
mecesario, se ullizaran los siguentes simbolos aclaatorios de las iguldades que se
‘scribe:

cuadrada de cualquier orden. EI

1) FR, significa que a fésima fla de la matiz ha sido multiplicada por el de

nero teal
2) E, tra silica que a la pésima fil de la matiz sele ha sumado r veces la
fi k
3) La propiedad que utilicemos en cada caso se indicará bajo el signo de
igualdad.
Euro B
12
od
42
22
23 4 5 4
2 23 132
0-6 47 125
o 0-2 oa

40. # Algebra y Geometría
1000
0100)
an 2-6-2) ET
een HEN g | gh 40
0001

Observar que el resultado es el miso que el obtenido en el ejemplo A.

Nota. En el ejemplo anterior solamente se han necesitado PS, P6 y (*)
para calcular el determinante. Este es un hecho general, e deci, ls propiedades
3, P6 y (*) determinan de manera única un número al cual se le denomina
‚determinante» y que satsace todas las propiedades y fórmulas que daremos
“aqui. Elector interesado puede encontrar una exposición de ese tipo en el ibro

de A. O, Kurosch, Curso de algebra superior, Editorial Mi, 1977
En el ejemplo B puede observarse que cuando tenemos que calcular el determinan

te de una matriz como.

o
lo

«resultado se biene multiplicando los elementos de sv diagonal principal, x decir, la
diagonal de izquierda u derecha y de arriba a abajo.

Este es un resultado general. Una matriz se dice triangular superior si todos sus
elementos por debajo de su diagonal principal son nulos

PROPIEDAD 7 (P7) —

El determinante de una matriz triangular superior es el producto de I
clementos de su diagonal

Demostración. Sea

Capínlo 2 Determinants ye aplicaciones #

una matriz triangular superior. De la definición de determinante aplicada repetidas

latas | areas M

o a

De la propiedad 7 se deduce que el determinante de una matriz diagonal es decir,
una matriz cuyos elementos son todos nulos except ls desu diagonal principal, sei
producto de los elementos de la diagonal

as 0 0 ~ 0)
0 a: 0 0
0 0 a

9 0 0 al

Es conveniente que el ejecici siguiente se relive en este momento sin conocer
más propiedades de los determinantes puesto que más adelante resultará muy seni,

Ejercicio 1. Una matriz triangular inferior es una matriz que tiene todos sus
términos malos por encima de la diagonal principal. Demostrar que el determinante de
‘una matriz triangular inferior es el producto de los elementos dela diagonal principal

Buero C. Para calcular el determinante de la matriz

2h 3 s2 0
o 1 20 1
3 0 10 1
4 1-30 -4
6-1 12 0

la reducimos a una matriz triangular superior mediante operaciones elementales en sus
las y aplicamos las propiedades ya conocidas de los determinantes. Tenemos

2 3 a 1.3 4 2
o 1 mn loi 2 0
ui 3 0 yer | 3 0 1 0!
o 5 0-5 13 -4 4
lo -1 0-1 -1 2-2

41. 2

o
ga | 0
o
o
or
0120
ES | 000%
re 000 2
0012
012
000
000

En la definición dada de determinante se ha utilizado la primera columna de la
matriz y sus adjuntos. Nuestro próximo objetivo es demostrar que también puede
Calcular el determinante mediante una formula que incluya cualquier otra columna o
Incluso cualquier bla de la matiz y sus adjuntos, Esos resultados serán de gran
vidad para simplificar el cálculo de determinantes

Comenzaremos demostrando que puede utilizara la primera il de la matriz para
calelar determinantes.

‘TeoREMA À
si

es una matriz con todos los elementos de su primera fla nulos excepto el que
ocupa el lugar j se tiene que

lA (WF ta, A

Capitdo 2. Determinantes y se aplicaciones

Demostración. Procetemos por inducción en el orden de la matriz Si A es una
matriz de orden 2 puede ser de la forma

Ba) e Get)

En el primer caso se tiene lAJ= ay 033 =ayalAy y en el segundo [Bla ass
=ayal4,aL lo cual prucba que la fórmula es corta en este caso,

ara que el lector pueda seguir mejor el coso general hacemos un caso particular
de una matriz de orden 3. Sea

ile. 2 |

¡ES

Tenemos que

col Sh

lo que queríamos demostrar
‘Aceptemos ahora que el resultado es cierto para toda matriz de orden inferior a ny
sea A una matriz de orden n Si el elemento no nulo ocupa el primer logar de la
primera la se tien

a 0 0\
|
da an du)

De la definición de determinante deducimos que

CCR Ad ER

au

ya que cada adjunto A; con > I, ene una fla de ceros y, por tanto, su deerminan-
le es mul (propiedad 4)

Supongamos ahora que el elemento no nulo dela primera fa ocupa el lugar. con
1> Y Tenemos

oo 0 a, 0 ay
aft eee agen à ayes + an

CRE ajos = an

42. # Algebra y Geometría

De in definición de determinante deducimos que

i= asi

ÓN

El adjunto Ay, 1>1, de a fórmula anterior e de la forma

o a, o
Dry Bit

y de orden n=

por la hipótesis de inducción su determinante es
MA Pa ER.

donde HP, denota la matriz que se obtiene de BA, suprimiendo la primera fila
y la (= ibésima columna, Por tanto:

A at — Wa, BE) ari AY JB) ses HO MJB
DONC =a ETES al

Solamente fate probar que la expresión entre paréntesis coincide con 14, Puesto que

Bay
CS lle
se tiene que
apa ES CPR

En Bf se han suprimido la primera la y Ia primera columna de A,,y, por tanto, se
han suprimido las dos primeras las de À y as columnas primera y sina de A; de a
misma manera, en Bi), se han suprimido la primera fils y la - 1 columna de A3 3.

Capitulo 2. Determinantes y sus aplicaciones as

por tanto, se han suprimido las dos primeras Alas y la primera fila y la ésima
Columna de A. Por anto:

BR

De manera similar se demuestra que BY BP)... ete, lo cual demuestra el
resultado. .

EiewPL0 D. Hl determinante dela matriz

o 0-3 0
1 2 1-4
ds à loi
Anes à 0

\
E
1

(+33) = 190

"TEOREMA 2 (Desarrolo por la primera filo)

si
fau an = ae
alter da eu

se tiene que

CERF ETES

Demostración. Ese

fay, 404-40 Otaste40 em 0404 Haya

on ES A

43. % Astray Geometría

Si A j=1, 2,01 es la matriz que tiene todas sus Glas iguales A, excepto la
Primera, enla que todos sus elementos son nulos excepto el que ocupa e lugar que es
ir de la propiedad 2 de los determinantes aplicada reiteradas veos se tiene

AN]

Por el teorema 1, j=

tan 16 cual prueba el resultado deseado. mt

EsewPLo E Para calcular el determinante de la matriz

IS

Sea Bla matiz que se obtiene de A = (ay intercambiando las ls primera y
segunda, 1
Por la propiedad 5 tenemos que (Al If] y puesto que

3.

utlizando el teorema 1 para desarrollar el determinante de por su primera fila se
tiene que

ui

a

A ra

Puesto que B= Az, para todo j=1,2,..n tenemos que

Mie a data A leida
10 cual nos da una fórmula para desarolar el determinante de A por la segunda fa
La pricipal diferencia con el teorema 1 es que el primer rmino es negativo.

Si ahora intercambiamos la segunda y la tercera fia, el determinante cambia de

Capínlo 2 Determinantes y us aplicaciones ”

Propiedad 5 y, por tanto, se tendria una fórmula para desarrollar el
determinante por la tercera fla comenzando con un sumando positivo.
Este razonamiento demuestr el siguiente resultado.

TEOREMA 3 (Desarollo por la és file) _
Si AMON ju1 se tene que.

OS

pall oe DA

No es de exteañar que exita un resultado análogo para calla el determinante
utlizando un desarrollo por cualquiera de las columnas. Elo require la definición de
matriz waspuesta de una dads,

Si Aes una matriz de orden m x», se denomina matriz trspuesta de A, se denota
por Ai a la matriz de orden nm que se obtiene poniendo como sma la ala Fesima
Columna de la matriz À

Por ejemplo, la matiz traspuesta de

\-
El resultado principal que relaciona la operación de traspoición con el producto
de matrices es el siguente

area

siempre que las mulipliasiones anteriores tengan sentido (ver jeciio 6 al final de
esta sección).

Teorema a

Si A es una matiz cuadrada, 14

In

Demostración. El resultado es ieto para matrices de orden 2 puesto que

44. Algebra y Gromeris

Supongamos que el resultado es cierto para matrices de orden inferior am y sea A

agua... una matriz de orden n. Puesto que
PA OS

por el tcorema 2 se tone que

A)

. utilizando la hipótesis de inducción s tiene que

ji .

Puesto que Biy= Ais,

Agito bP

Maida

Los teoremas 3 y 4 producen el siguiente resultado:

"TEOREMA $ (Desarollo or la Jésima columna)

Si Acta jet toon eine que

ISA ad HAD Pay ed

EJEMPLO F. Para calcular el determinante de la matriz
À
o
4

desarrolamos por la segunda columna para ober

las

a
o
4
1

a foco

en donde el determinante de orden 3 se ha desarrollado por la primera la

Cain 2 Determinantes y us aplicacion ”

El teorema 4 produce otro resultado interesante. En ls propiedades 1 a 6 delos
determinantes puede susttuise la palabra ula» por «Columna» y ls resultados Siguen
siendo válidos, Esto permite realizar operaciones elementales con columnas para.
calcular determinantes

La verificación de estos resultados se deje para e sor

En el ejemplo anterior se observa que <lsálulo de determinantes e simplca si
desurrolamos por una fla o columns que presente el mayor nümero de ceros. Si una.
matriz no poses ningún elemento nulo es posible realizar operaciones elementales con
sus fils o columnas, de manera que el determinante no cambie, pero que la mueva
matriz posea varios ceros en alguna de sus fas o Columnas

El método combinado de realzar operaciones elementales y utlizar ls fórmulas
anteriores es el más utlizado para calcular determinames debido a que simplen et
número de operaciones a realizar

ExempLo G. Ses

pea
co ES
dera)

Muliplicando por 2 la segunda columns y restindoscia la primera se tiene

Lo à
Esto
01-13
ort
Desaroand por a primera calumny e tene
op os
ht a)
hi

Para calcular ei primero de estos determinantes estamos la primera ils dela segunda
y de la tercera para obtener

tos
DEN

road

bay
o an
;

lot al

45. .< áéá E 13

” gern y Geometria

Para calcular el segundo restamos la primera columna de la segunda yla tercera para,
obtener

Por tanto:
dm 9645.41 Te 124

Es conveniente escribir una matriz com los signos que se asocian a cada ele-
mento en el desarollo de los teoremas 3 y 5 con motivo de ayudar al lector a re-

‘cordatlos. Esta matriz es

!
EsemPLO HL. Tratemos de calcular el determinante de la matriz

Las operaciones elementals que se realizan
signo de igualdad

O e-x xo
tte 01e alt a) aaa
atrae] 2 2)

Capinlo 2 Determinane y us aplicacioner on

EJERCICIOS 22

1. Calcular los siguientes determinantes mediante su desarrollo por la primera
columnas

AE apor
765 bis
123 Laa

bozal

2. Calcular los siguientes determinantes reduciéndolos a una matriz triangular
superior mediante operaciones elementales

“Ri peas oposa ape
psa „ei od Cenar loa o a
bs al "hs as 204 han 0

lor aa] bardo losa à

los siguentes determinantes usando sus propiedades y efectuando un
lcido de computacion.

ajo ajı2z2ıl op 132 9/2 00 35
54 6 hbszi 1 001 1-12 12
Tu oz: pas oo 13-11

ort] on 4 11-10

2 11-30
apooy pli 2 1) o poror
0303 0 52: 201
0035 31 aca ory
3300 buis

4. Demostrar, sin necesidad de calclarlos, que los siguientes determinantes som
nulos:

alıa2 a 1 cos? al
Fi = ot 1 cos? |
3 1 4 Lote
0 (1234

23456

54567

las 678

56789

46. 2 Algebra y Geomeria

$. Sabiendo que los nimeros 58746, 30628, 12831, 80743 y 16016 son todos
visible por 13, demostrar que el determinante de la siguiente matriz es también
aise por 13

6. Demostrar que (AB)
sentido.

BA siempre que las mulipliasiones anteriors tengan

7. 0) Demostrar que si es una matriz cuadrada de orden my res un número re
¡ral=r 04) 5) Ubicar a) para decir cómo cambia el determinante de una matriz de
‘orden n si os signos de todos sus elementos se cambian,
Una matriz cuadrada A se dice amtisimérice si A= =!
Dar un ejemplo de una matriz antsimética de orden 4
+h) Demostrar que si A es asimétrica y de orden impar su determinante es nulo.
(Sugerencia utilizar 7D).
© ¿Es cierto el resultado de la parte B si À es de orden par?
xy
9. Demostrar que |1 a, by
1a bs

«64 y Az=t05 ba)

es la ecuación de una reta en el plano que pasa

por lo puntos A

Los siguientes ejercicios e reeren al método de demostración por inducción

à on
10. Demostrar La fórmula 142434 ne tn

pect Dre
Te

12. Un poligono se denomina conexo s las línea que unen dos cualesquiera de sus

vértices están en el interior del polígono. Demostrar, mediante el método de inducción

¿ue la suma delos ánglos ntenores de un poligono convexo de lados es 1800" 2

HL. Demostrar la fórmula 124274324

13. Deducir una fórmula para calcular
1
(u)

y demostrarla mediante el método de inducción

14. Si 4 es una matriz triangular inferior de orden 3 cuyos elementos son núme»
ros reales, todos los elementos de su diagonal principal son iguales y A? = J,
demostrar que À es 16 A

Capo 2. Determinantes y su aplicaciones »

23. DETERMINANTE DE UN PRODUCTO DE MATRICES.
CALCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN n

El primer resultado que queremos probar en sta sección es que el determinante de
un producto de matrices cuadradas de mismo orden sel producto delos determinan
les de cada una de els

Para probar este resultado mostraremos primero que las operaciones clementaes
(on las fas de una matriz pueden expresarse mediante multiplicación por matrices
adecuadas

Estadiaremos cada operación elemental por separado.

4) Si muliplicamos la fa dela matriz Alay) js.» por un número real €
o al res sl mismo que i muliplicme mai À por la quis por

e Fi
op
1
En eect:
1
Ae) ay ao ay E cay cay cay | rm
a] Nam te AN

b) El resultado de intercambiar las Hs y k de la matt A(0),s03, 65 el
mismo que si multplicamos la matriz A por la lzquirda por la matriz

10 ferme

47. cra Goom Capito 2 Derma pens ”
mé Las mate E qu aparecen en ca uno de os aos anteriores recibe el nombre
de maires meme. Observe toda mate mental e lines pn dei
an an fa an a) mat deidad rezando a operación lemenal correspondent 2 su cao, Ai por
1 0 ejemplo, la matriz elemental del caso 5) se obtiene intercambiando las filas i y k de la
«| [aa <a ju tez enti.
dad 01 u ie Ma Me ‘Son ejemplos de matrices elementales las siguientes:

E A eo pr ur orné

o : ino), for oo

mans mel Nei oon sli Elo os ser 08

0.10
9 El resultado de multiplicar por € lu fla 5 de la matriz A=(ayky-ı., oo ot

y
sumárseo a la flakes el mismo que si multplcamos la matriz 4 por la izquierda por

la matriz Puesto que toda matriz puede reducirse a una matriz escalonada mediante una
1 sucesión de operaciones elementales se tene el siguiente resultado:

1 0 Fin RESULTADO 1 —. ——
Ea Toda matriz cuadrada A puedo reducirse mediante una sustsión de matrices
Ben Fink elementales Ey, Ez... By à una matriz escalonada B tal que

1 Be Ba

EyeMPLO A, La matriz

mn UNIVERSIDAD DE LA REPUBLICA
la da rn O DE DORE
. Ae E 121 DEPART AO DE
0 ala ı 2] A minsiornen
1 un att en runter
En il
a ie se transforma enla identidad mediante a siguiente sucesión de operaciones element
& E les:
1 de an Ge)
ï rai
sn te os a a
o 004
stas 00
É o

48. ” Algebra y Geometria
Por tanto, podemos escribi a iguala

que el lector puede comprobar.
Benno B La matric

«(>

se transforma en una matriz escalonada mediante a siguente sucesión de operaciones

o u)
CET

| Tema donna ps una ve, qu sta a mat me
Lu

Demostración. Toda matriz elemental E se obtiene a partir de la identidad
mediante una operación elemental, Mediante la operación inversa dela realiza, que
SS también una operación elemental, E se transforma en la identidad. =

minos. taoumaseta(s “Je (Me Yrnmenazu[o 1 0

100
sella misma, La inversa de [0 1 0Jes[o 1 0}. La comprobación se deja
os 1) \o-sı

para el lector

Capito 2. Determinantes y us aplicaciones 7

PROPOSICIÓN 3 _ =

Si A es una matriz invertible, À puede factorizarse como un producto de
matrices elementals,

Demostración. Puesto que À es invertible puede reducise a identidad mediante
una sucesión de operaciones elementals; por el resultado 1 existen matrices elements
les Eu En By tal que

Ek gE ARE

Por tanto, A= Bj "Ey"~-B y cado una de las matics Bj" es una matriz elemental
debido a la proposición 2 =

BEMPLO D. Si 4 es la matriz del ejemplo A se tone:

1001/1001-f1001-/10 aro 01/10 —
a={-s10) fooi) foro} for ol [oi 1] for o
001/ \oro/ \osı) loows) loo 1/ loo

pao propio fr ee\sioo\sroo\st o 11120
À 01) "ooshoroAo-s1looa/lanılo o ılooı

‘Tworea 4

Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden,

Lam = (448)

Demostración. La demostración la realizaremos en tres etapas.

Etapa 1. Si A es una matriz elemental E el resultado cierto. Para probarlo
estudiamos cada uno de los posibles casos de matrices elementals.

En el caso a) IEB|=<|8] por la propiedad 3 de la seción 22; además, Elec y, por
tant, [EB|= «Bi EI,

En el caso 6, [EBÍ= 18 por la propicdad 4 dela sección 22; además =
por la misma propiedad y. por tanto, [EBI=JEIB,

En el caso ch EBJ= | por la propiedad 6 de ls determinantes además, IE)
Por la misma propiedad y. por tanto, EB} = NB también en este caso.

Etapa 2. SI A es insrible, por la proposición 3 podemos escribir A EE Lv
donde cada E, es una matriz clemental Aplicando repetidas veces el resultado
Obtenido en la etapa e tiene

ABE El NE YE UE AE
EE IAN

49. Algebra y Geometría

Etapa 3. Si A no es invertible, por el teoroma 3 dela seción 14, el rango de À cs
inferior à n y, por tanto, [A] =0. En este caso también [42 =0 ya que À puede
escribirse de la forma A = EE. Bd, donde las E son matrices elementales y 4
tiene uma la de coros, Por tanto, AB = [EJ Es. ELA B| = ENE ld BI

ya que AB tiene también una fila de ceros .

Esrurto E. EI tcorema sobre el determinante de un producto es til para
«alcular algunos determinantes. EI determinante de la matriz

[Pre ab ew \
ab sabe
Va beat

puede calculrs fácilmente ecrbiéndola como un producto de dos matrices de orden

En efecto:
be 0\fb a 0
a0cleo
ous/oco)

y puesto que

b ba
la dade y je 0 al=—2abe
0 loco

se tene que

IA

La segunda parte de ct sección esti dedicada a dar alaunas sugerencias relativas
al eälclo de determinantes do matrices de orden ny de matrices de orden elevado que
pueden reducirse al cálculo de determinantes de matrices de orden inferior.

“Comenzamos con el determinante de la maiz de orden m

El desarollo de 4. por una cualquiera de sus las o columnas no conduce a ningún
resultado positivo Lo mis adecundo es realizar operaciones elementales con su fas ©

Cupido 2. Determinants yu aplicaciones »

columnas y utilizar las propiedades de los determinantes estudiadas en la sección
anterior, hasta convertirla en una matriz triangular,
estando la primera fla de cada una de las restantes se tiens:

o

o

fala 0 0 a

Sumando a lo primera columna todas las restantes se tien:
prenda aa a
o o … 0

0 0 a 0 O]

Io 0 0 “x

Nota. Ver el ejemplo H de la sección anterior, donde se ha calculado este
¿determinante para n=,

La demostración por inducción también puede aplicarse para calcular determinan

tes de matrices de orden n. Expondremos este método calculando el determinante de la

ob Et

pet apte at

que se conoce en la literatura matemática con el nombre de determinante de Vander.
monde

Muiplcando cada fila por xy y restindosela la siguiente se tienes
poa ' '
D mm nen won
Alm a a |

E

us)

50. ie Algebra y romería

da] “2

ha

ta

donde el simbolo [significa el producto de todos ls factores que aparecen variando,
kdezam 00
‘De la misma manera se deduciá la fórmula

Bt om we [oo Jo a

Se deducirá de aqui que He a.» 3 eS el producto de todos los factors dela
forma (sx) con K>]. es desir

Tax

Vs 3)

Finalmente mostramos un método para calcular determinantes de orden elevado
siempre que se puedan relacionar con determinantes de orden inferior del mismo tipo.
Por ejemplo, para calelar

Den

3
2
lo
lo
lo
lo

observamos que

5

Capito 2. Determinantes y sus aplicaciones m

La fórmula D,=5D,—8D, se denomina fürmule de recurencia y nos permi

«aleular D conociendo D, y Da, La misma fórmula de recurenca aplicada a Dy y Da
nos de

Ds=3D,-8Dy. Da=30,=8D;

Da=3
Puesto que D,=3D,—8D, se tiene Finalmente que
D,=9[3D,—8D,J-2-3-4D,+8%D,=9(3D,-8D,]-9:8D,=
A 82.3. 848+
+[-P.8+2-3-8)D,=—710, + 1680,

(3D,—8D,]-8[30,-8D]=9D,—2-3-8D, +8*D,

Se tiene que

»,

»

Dem T1168 3= —714 $0433

EJERCICIOS 23

4. Encontrar una sucesión de matrices clementals Ey, Ex, Ls al que Ey EEA
sta una mariz escalonada, donde:

a(t) als EE

ss 05
1 9 fie

où ala

10 Ú

2, Expresar las matrices del ee
mars elemental.

a fo
anti
1

1

1 que sean invertibles como un producto de

3, Vilizar el teorema sobre el determinante de un producto para demostrar la
fórmula

cuando À es una matri fvertbe,

51. 102 Abra y Geometría

4. Sean A, B y € matrices cuadradas de orden n y formemos la matriz

(2)
“(5

9) Utilizar este resultado para demostrar que [Di= AB!

5. Calcular el determinante de la matriz

de orden 2n. a) Demostrar que

abe à
“boa dee
ed à

-d 6 -b à

hallando AA’, (Sol: (a+ +8 +]
6. Escribir a matriz

Leu Less Lans
an tex Les Iran
Le Le Inn,

como un producto de matrices y calcular su determinante. (Sol: 0]

7, Calcular ls siguientes determinantes reduciéndols al determinante de una matriz
angular (odas las matrices son de orden n)

ap 2 2 2) mh 2 3 ”
lex 2 2 xsl 3 ”
2 2 2x. 2 ho 2 xt nm
2 2 2 2x 2 3 ll
aftr |
een
Lan

Prt a
[Sols Aa MA IS

Capinl 2 Determinantes y us aplicaciones 103

8. Demostrar que

Innen
man
mona

en función de Ds y

2 Varia para calcular Dy y Dy, (Sol: D¿=0, Dy==1.]

10. Una sucesión de Fibonacci (Fibonacci fue un matemático italiano del siglo xin)
«es una sucesión de números que comienza con 1 y2 y en In que cada número es la
suma de los dos inmediatamente anteriores. E decir, 1,2, 3, $, ,.. Demostrar que el
mésimo término de la sucesión de Fibonacci coincide con

1 100. 00
A 110 00
mel o 111. 0 0

© 000 -11
donde F, es una matriz de orden n

1. Calcular

12. Calcular el determinante dela matriz de orden m, A= (1), donde a, = lí j.
(Sugerencia: hucerlo para n=2, 3,4, e intentar deduce la fórmula general para
demostrara por inducción.)

52. 104 Algebra y Geomeria

13, Calcular
Lx ol
raat
123 4
ia oil

24. INVERSA DE UNA MATRIZ REGLA DE CRAMER

En esta seción comenzaremos dando una fórmula para calcular la inversa de una
matriz lizado a teoría de os determinantes. A continuación usaremos esta fórmula
para resolver sistemas de ecuasiones lncales cuya matriz de sus coeficientes es
insert

“Comenzaremos dando una condición necesaria y suficiente para la inveribiidad de
‘una matriz haciendo uso del concepto de determinante.

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Las siguentes condiciones son
equivaentes

DA es invertible

2 ran (dem

OT

Demtractin, Ya sabemos que 1) y 2) son equivalentes por el teorema 3 de la
sección 14 (capitulo 1) Basta demostrar, por tanto, que 1) y 3) son equivalents.

Si Aes invertible, puede escribirse como un producto de matrices elementales de
la forma A= EE... debido u los resultados de la sección anterior. Puesto que el
determinante de un producto es el producto de los determinantes se iene que

VIE Balt

La parte derccha de esta igualdad es no mula, ya que toda matriz elemental tine
dcterminante no nulo; por tanto, |4|#0. Esto prueba que 1) implica 3).

ten la etapa 3 de teorema 4 de La sección anterior se ha demostrado que si A noes

le, LAJ= 0: sto prucha que 3) implica 1) ya que si Ja] e no nulo y A no fuera

Ne se tendria ura contradicción =

Suponiendo que 14140, nos proponemos encontra una fórmula para calcular 47
Si ah del dexarrllo de su determinante por la fl ¿sima tenemos que

TN)

El nümero cy . se denomina cofactor del elemento

= Ah

Capo 2 Determinantes y ss aplicaciones 108

que ocupa el lugar 1 de la matriz A. Con eta notación I fórmula anterior se escribe
dea forma

Sea
A oa ee

la matriz dels cofactores de los elementos de A, que se denomina matriz de ofacores
dea

‘Con esta notación se tiene que le matriz AC’ tiene como valor JA en todos los
lugares de su diagonal principal. Es desir

fus aus m a feu Ge > eu LE] ?
a A E ler ne] m Fiat
|
auf Nemo tn 6 |

Si logramos probar que lo términos de AC que no están en la diagonal principal
son todos nulos, se tendria que

ACI,
y. por tanto,
t
u
lo cual nos da una fórmula pura calcular a invesa de la matriz À

La demostración completa dela formula anterior para calcular A"! se da en el
siguiente teorema:

Teorema 2

Si 4 es una mari invertible se tiene que
Le
ia
donde € cs la matriz de cofctores de À.

ana

53. 106 Algebra y Geometría

Demostración. De la discusión precedente se deduce que la demostración se
complets si probamos que los elementos de AC que no están en su diagonal son nulos.
Sea ia) e intentemos calcular

TON
Esta expresión coincide con el desarrollo por la Fla del determinante de la matriz

que sc obtiene de À sustituyendo la fla por la Puesto que pose dos filas iguales, |B)
=0 y, por tanto:

Bucy tat ta
sa 3 3 dla no

Para calcular su inversa comenzamos calculando la matriz de sus cofactors:

Cain 2. Determinantes y vu aplicaciones 107

Por tanto:
ima
Coma 6 3 1
142 3
Por el teorema 2
6 8 mon 49n
3 -2|-( a7 m an
-1 3) \-ın -n an
(Comprobar)
Notas. 1) Una matriz con determinante nulo se dice que es una matriz

singular, de manera que una matiz invertible también recibe el nombre de
matriz no singular,

2) Es conveniente que el lector se ejerce en el cálculo de imersas de
‘matrices de orden 3 hasta el punto de que pueda calcularlas sin necesidad de
escribirla matriz de los cofactores

v
la forma:

zando el teorema 2 pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales de

Das

J

escrito AX=B en notación matricial, sempre que À sea no singular o invertible,
En efecto, por el teorema 2

fers en af
A by
Red Ba OBL ey cy e
rd En -
A
eut Bst be
a] heut esse he | — Componente
ia

Breet bata hé

54. 108 Algebra y Geometria

Por tanto, para todo j=1,2, se tiene que
1

aya Dc,

a À

La expresión entre paréntesis es el desarollo dei determinante de la matriz

by a)
bem ax
Er eu

por a columna y
Hemos probado el siguiente resultado:

"TEOREMA 3 (Regla de Cramer)

Si A es una matriz invertible de orden n, el sistema de ecuaciones lineales A
es compatible determinado y sus Soluciones se calulan mediante la
formula

14)

ltl pen
ar?

donde yes la matriz À em la que se ha sustituido la columna j por el vector F.

ExeurLo D. El sistema

dept dees
Beer

|

tiene solución única, ya que

2
fi
lo
ñ

Capíalo 2 Determinants y sus aplicaciones 109

Por el teorema 3:

:
:

:

j

orale def

Esewpto C. Para determinar si el sistema homogéneo

pren
aaneo|
|

el determinante de la matiz À de sus
coeficientes Si 4120 solamente pose la solución trivia si [Al =0 posee soluciones
no triviales, ya que en este caso (4) <n debido al teorema I.

Puesto que

el sistema pose infinitas soluciones

55. uo Algebra y Geometria

EJERCICIOS 24

1. Hallar las inversas de las siguentes matrices, calculando primero la matriz de
cofatores (comprobar los resultados)

1
a [2
3

\

o 3
'
'

ae
= 6) >
1 32

2 Damos aves aro f) con 40, 4°!
tt he avena e al mat

art
ar

1
2) 4
3

3. Demostrar que (47)
4. Probar que [cota

5. Hallar la inversa de las siguientes matrices:

ya

epa ria 11 ofıoo o
oie 1-1 010 ol aso
pari ii 004 Hl imo
pool 1-1 008 a
00001 0 ñ

6. Mallar la inversa de las siguientes matrices de orden m

a fiat fr 1 ı 1
01227 Llar 1
CR toot der
o... 1 Tot OU tes)

7. Encontrar los valores de a y para los que las matrices siguientes son.

bl

a

boo ol dfias
O ast 1 Let

CR a BY

Capito 2 Determinantes y u aplicaciones m

8. Dada la aplicación lineal T: +R? mediante Ts, y, 3 =(x 42)
#22 36425420) demostrar que T es invertible y encontrar su inversa.
9. Sea 4 una matriz invertible de orden n y triangular superior, Demostrar que A"
también triangular superior.

Ay

10. Resolver Jos siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer

à ntm) rd 20
trié Bis 420 41=0
xd 1 5x,+4x, 65,320
9 Iyexstdy tinge =

A]
DRE RE RE
Bunte
11, Hala fos valores de m para los que el siguiente sistema posee soluciones no.
triviales
Ruy 42=0]
xemy—2=0)
syto

12. Hallar la inversa de cada una de las siguientes matrices

bf oo

tie) (ere) ES)

Un polinomio de grado n con cociente reales es una expresión de la forma fi)
mara tase? tbat COR ER JO ly 2,40.

13. Encontrar un polinomio /de grado 2 tal que JU)=2, /{-1=4 y JC)=16.

14. Demostrar que m1 valores disimos de la variable x determinan de manera
única un polinomio de grade. [Sugernci: reducir el problema a demostrar que el
determinante de una cierta matriz es no nulo y observar que esta matriz es la que
‘origina el déterminante de Vandermonde)

15. Demostrar que si un polinomio de grado m tene n +1 soluciones reales distintas
ha de ser el polinomio nulo. (Nota: ER es solución de f si flee) =0]

16. Decir para qué valores de a es invertible la matriz A=(a,), donde ami
Si 1j y ay = a em ol esto delos casos

56. m Algebra y Gomar

25. RANGO DE UNA MATRIZ. RESOLUCION DE SISTEMAS
COMPATIBLES E INDETERMINADOS.

En la sección 12 del capitulo 1 definimos el rango de una matriz como el mayor
número de sus vectores columna que soa linealmente independientes, En el teorema I
de a misma Sección se demostró que el rango de una matriz coincide con el número de
peidaños de su matriz escalonada,

En esta sección utilizamos ls determinantes para obtener el rango de una marca.
Demosraremos también el sorprendent resultado de que el rango de los vectores las
de una matriz coincide con el tango de sus vectores columna,

Dada una mutriz À de orden mx se denomina menor de orden k de A al
eteeminanie de cualquier matriz de orden & formada con los elementos de lu
imersccción de k cualesquiera de sus las y k cualesquiera de sus columnas.

Entro A, Dada

Los menores de orden 1 de una matriz son sus elementos. Si A es una matriz
Suadrada de orden n solumente hay un menor de 4 de orden n que coincide con Id
En este mismo caso los menores delos elementos de A son menores de orden n~

Sea A una matriz no mula; siempre podemos encontrar un único número. R que
satisface las sigulenses condiciones:

DA posee al menos un menor no mul de orden R.
2) Todo menor de A de orden mayor que R es malo
Cualquier menor de À de orden R que no es nulo se denomina menor hásco las
«columnas de la matriz de las que proviene este menor básico se denominan columnas
Básicas y a lx las se les denomina fla hisees.

Capo 2. Determinantes y su aplicaciones us

EsurLo 3. En la matriz

los menores de orden tes son

224 2 246 48
oo, fo orilylors
val hr 134 3 4

que son todos nulos. Sin embargo, el menor de orden 2:

bin

es no nulo y portato, es un menor básico de A: sus columnas básicas son la primera
y la tercera y sus flas básicas son la primera y la segundo,
ES fácil encontrar otros menores Discos de orden 2 de sta matriz

El rango de la matriz À del ejemplo B es 2, ya que
123
oui)"
134

3
1
o

=

que coincide con el número R de la matriz À
Esto mos hace pensar en la certeza del siguiente resultado:

TEOREMA 1

Dada una marri no nula, el número R anteriormente definido coincide con
su range.

Demostración. El número R anteriormente definido no se altera mediante trans:
formaciones elementales en la matriz la demostración de esta afirmación se deja como
rico para el lector (ver el ejercicio 7 al final de esta sección)

57. ns Algebra y Geometria

Así pues el número R para una matriz A no nula coincide con el número R para su
matriz escalonada B. La matiz escalonada B es dela forma

donde las matrices sombreadas pueden ser no nulas, El nümero R para la matriz B
o puede ser superior ap, ya que cualquier menor de orden p + 1 incluiria una fila
de ceros

Por otro lado, ha de sr igual ap, puesto que podemos tomar las p primeras filas y
las columnas my, Ay hy N, Para obtener

Por tanto, R coincide con el número de peldaños de B; por el teorema I de la

sección 12 este número coincide con el rango de la matriz =
1201
2 1 3 fes 2 ya que
31s
o
3

TEOREMA 2 (Teorema del menor básico)

‘Sea A una matri no nula. 1) Cualquier eolumna de A es combinación lineal
de sus columnas básicas. 2) El mismo resultado es cierto para las las de A

Capito 2 Determinantes y as aplicaciones us

Demastaciön. Debido alas propiedades de los determinantes se puede suponer,
sin pérdida de generalidad, que el menor básico ocupa las R primeras flas y las R
primeras columnas de la matiz A, donde MA)=R. Es deci:

©

donde (CIAO Sea Y, j=
“demostrar 1) basta pro
vectores Ys, Eu Tr,
SI 1SJSR. E es uno delos vectores Ty, Tu Ta Y por tato, s combinación
linea de clos js
Si JR consideramos el sitema homogénco

rn el pésimo vector columna de la matriz A. Para
y que cualquier vector 7, es combinación lineal de los

fay, am a fei) fo
s| fo

am ew oy EA ©
af lo

a tan tay) 3) No,

de m ecuaciones con R+1 incógnitas. Puesto que el rango de la matriz de los
coeficientes de est sistema e R, que es menor que el número de incógnitas, el sistema

forma.
mar
| [4
LES
DAT

con dy 0, ya que si todas Is soluciones tuvieran dj
assem

CRE

58. 16 Algebra» Geometria

que únicamente pose la solución mula. Sustituyendo esta solución en (1) tenemos la
igualdad

OA
m on ||
a] Wo
ean dur du
Est igualdad puede escribis de la forma
0

A an fds ay

que coincide con d, 8, += +dyPa+d,T,=Ú, Puesto que dj0 se deduce que

4
te tn Be

lo cual prueba que Y, es combinación neal de By, — By
resultado por fas se obtiene de considerarla matriz traspueta 4 de A, que ha
de tener el mismo rango que A debido al teorema 4 de la sección 22. =

Eiewe1o D. La matiz

1. Por tant, ls filas tercera y cuarta son

a
tn ao ut ge |
ne tet pe 9 gt En tee sw

‘encuentran resolviendo los sistemas

(Se WEG y HO 0440.0

Caputo 2. Determinantes yu aplicaciones ur

© equivalentemente:

Deter Ny My eds
444,04

feel
lo cual es un buen ejeciio para el lector

Conoranio 3 - - =

I número máximo de columnas linealmenteindependintes de una matriz
«igual al nümero máximo de sus las lincalmente independientes

Demostración. Alea,

COROLARIO a

1
El determinante de una matriz cuadrada) es lo sy sólo si una de sus las
Islam) es combinación lea de ls cesante Ms elms} de la matriz |

Demosiración. Si A es una mutri cuadrada con [4 =0, A) (eorem 1 de la
sección 24} por el teorema 2 se ohliene el resultado deseado

Por otro lado, sE... son los vectores columna de À y T= +238 +
et realizando las operaciones elementales: .

La G RG
sobre sus cotummas se ene que

A
o) suo ya que ere
dora

Cola doves per menos seh ¿Qué Bs combinación Il

far
EnmpioE El determinante deta maté {1 2

Los resultados que hemos obtenido sobre el rango de una matriz se aplican a
«ontinuación para resolver sitemas compatible e indeterminados.

59. us Agere y Geometría Capítulo 2. Determinants y sus aplicaciones us
EJEMPLO F, Descamos resolver el sistema EsemeLo G. EI sistema

arme ads NEE en
men} o ax 6071294 Bar 2
Bts st |

FREE.

¡úmero de incógnitas

econ serie, ya que ==
ccoo Peso ue 1110 poems epi ne y us a

Segundo miembro de las igualdades las incógitas x, y x; para obtener

Sete 1-2 42%]

24022, y puesto que a xara
20 tna a sup

ampliads, Puesto que y i 3

1
ide con la primera, (4)=2. Por el teorema de Rouche-Frobenivs,

columns de coña

cl sistema es compatible e indeterminado. Resolviendo por la regla de Cramer se tiene

Puesto que A tiene como básicas sus ds primeras las, or el teorema 2 a tercera 7
‘debe de ser combinación lineal de las dos restantes por tanto, la tecera ecuación del ESS
sistema no introduce muevas soluciones en (DL Bm +655
ER NEL TEN EL Wr res

Podemos suprimida el sistema y tenemos el sistema equivalente:

tel
Bts +3xy 2)

2

5 12943
pp 24x, +65,
ï

miendo a la dercha de ls iguldades ls incógnitas corespondientes a ls
Poniendo a la derecha delas i ni pond da 205, + 302-466

columnas no básicas se tiene

E

GNVZRSDAD DE LA REPUBLICA

stat mé 28
mx) Haciendo nine 42 Seen
Besen: sess pur agi do Cramer Alibi de pa tar Gi kn Rs Role ca Peu Mes = = He 4240548)
ia (0.0, 11, 8)46;(1, 0,22, —16)4ey0 1, 38,24
36 BEL ...
Tg =

I, Resumimos continuación los pasos a seguir para resolver un sistema compatible
Rd + indeterminado:
pot 1) Detectar un menor básico de 4

AR 202, 2) Suprimir ls ecuciones que coresponden a fas no básicas de À.

u = 3) Poner ala dercha dels coaciones aquellas incógnitas que coresponden a

columnas no básicas de A
Haciendo xy=e se tene 4) Resolver por la regla de Cramer,

O xo IZ, 6 (1, 0, O2, 1 1)

60. no Altra y Gromaria

En a sección 12 (capitulo 1) se demostró que todo sistema homogénco ¢ indeer-
minado tiene kn - A) soluciones linealmente independientes de manera que cu
Quer otra solución del sistema es combinación lineal de las anteriors (véase
proposición 3 de la etada seein.

Para terminar esta seccion daremos una nueva demostración de este resultado.

Sea AD un sistema homogénco y sea R==1(4) Podemos suponer, sin pérdida de
generalidad, que un menor básico de A est en su parte superior izquierda. Resolvien-

BAR do la reg dadas para resolver mas compte indetrminados ae
ten e soma equivalen
nage net) o
DR

= R, a solución que se obtiene de (1) haciendo xq.
22 n=R en la parte derecha del sistema,

Dice

one E ti

jm son lincalmente indopendientes ya que el rango de la matriz

En fim fae 10 OY senor ie de
En aa
a 00 À

nek.

alta demostrar que cualquier otra solución de AN= 0 es combinación lincal de
En Be

sa

Feten em Be)

otra solución de AX=Ú. Consideremos el vector

Toa Baa

El vector dx de la forma

To

En En 00)

como fácimento puede comproburs. Además, & es solución de AX=0, ya que es
combinación lineal de soluciones de este mismo sistema (proposición 2 de la secc
1

Capo 2. Determinantes yu aplicaciones a

Por tanto, (ey, Zn es solución del sistema

au tot aa)

ae}

‘que se hu obtenido de (1) poniendo xp.) =0, .. x,=0, como corresponde a las n
=R últimas componentes de 2. Puesto que el determinante de la matriz de este
sistema e no mule (por qué”, el sistema solamente pose la solución teva, Por tanto,
Z.=0 y tenemos

Feet tn

qu ao q damos enn .
urncicos 25
1. cas mene mes, range de a guns ms
opis Pay a fe

cas io) hi

ii il bo

sena

pas

2. Encontrar ef tango de la matriz

Loa 12
2-1 a5
Lio 6.1

para los istinos valores del número rel a.

3. Demostrar que n+ vectores cualesquiera de R son siempre finalmente depen:

dienes

44 Probar que los siguientes sistemas son compatibles ¢ indeterminado y resolverlos.

D urtatatzu) D ut dt

6 44%, 426,451, 27|
dx HRS timer

RENE)

2x +22

61. me Algebra y Geometia

Inte
EE
ENTE WERT

5. Estudiar mediante menores y aplicando el teorema de Rouche-Frobenius la
<ompatbilidad de los siguientes sistemas:

Y yea]
yee?

aja
Serrat

9 majo
reetend
razas)

6. Dado el sistema de ecuaciones lineales

3412
2x, 2x3 3, T,42x3 00 |
xo + Hay 18, 43,
xi Sx3+2x.—16x,+3x,=0

‘encontrar el mayor número de soluciones que sean incalmente independientes. Indicar
uno de estos conjuntos linealmente independiente de soluciones

7. a) Sea F una matriz elemental de la forma

e a à

¡demostrar que el número R para EA coincide con el nümero À para À

») Sea E una matriz clemental que se ha obtenido intercambiando dos filas de la
matriz identidad: demostrar que el número R para BA coincido con el número R
para a

9 Sea E la matriz elemental de la forma

Cupido 2. Determinantes y es aplicaciones ns

y]

aj

demostrar que el número R para EA coincido con el múmero R para À

Notas. En este problema, A es una matriz cuadrada. Las demostraciones de
sos resultados deben realiarse sin utilizar el teorema 1

Este problema completa la demostración del tcorema 1 de esta sección.

26. DETERMINANTES Y PERMUTACIONES
Presentaremos a continuación una nueva fórmula para calcula el determinante de
una matriz cuadrada. Esta nueva fórmula require el concepto de permutación
Recibe cl nombre de permutación de los mimeros naturales 1,2... toda
aplicación biyectiva del conjunto [1, 2...) en si mismo. Las permutaciones se
representarán con las letras griegas 2 7
Esto A. Las permutaciones de los números naturales 1 y 2 son
{20,3 dada por al) a AD 2) ada por Ale?
Bai
A continuaciôn escribimos las permutaciones de ls mómeros naturales 1, 2 y 3

as De? ad al

ag amt, ae rd

AL lector se le ha pedido todas estas aplicaciones en el ejercicio 2 de la
sección 13

En el ejemplo anterior puede observarse que para escribir una permutación no es
neeesrio escribir lo elementos dl conjunto inicial; basta con escribir ordenadamente
la imagen de los elementos en su orden natural. As, por ejemplo:

12

230

donde 25 y 25 son como en el ejemplo À

62. ne Algebra y Geometría

conjunto de todas las permutaciones de los m primeros ni
meros naturales y 25, podemos escribir
PT)

Dada una permutaciön 2 de S,. diremos que en 256 ha realizado une incrsón si se
han intercambrado entre sí dos oleentos de su imagen. El resultado de realzar una
inversion en una permutación es, de nuevo, una permutación.

Erewrto R. P=(14325) es una permutación que se obtiene de
ando una inversión; a saber, se Nan invertido el 1 y el.

(51320 real

Sea k, el número de inversiones que es necesario realizar en la permutaciön a para
transformarla en la permutación identidad: el número k, no cs jo para una permuta-
‘dn 268, sino que varia con el orden en que se seaion as inversions. Sin embargo,
Si por un procedimiento se ha necesitado un número par (mpar) de inversiones
cualquier otro procedimiento debo necesitar un número par (impar) de inversions.

Por tanto, el número

sig ap

que recibe el nombre de signatura dea. no depende dela forma en que se realicen las
inversiones. Este resaltado puede encontrarse demostrado en cualquier libro de teoria
de grupos

Sik, es par la signatura de xes +1 y entonces diremos que 2 es una permutacion
per, si’ es impar. la signatura de a es —1 y entonces diremos que 2 es una
Permutación impar

Esto €. Dada la permutación a=(53142) podemos invertir el 1 y el $ para
‘obtener a, = (13582). a continuación invertimos el 2 y el 3 para obtener 2, =(12542%
finalmente invetimos el 3 y el 5 para obtener 1,=(12345) que coincide con la
permutación identidad. Por tanto,

SE

El proceso que hemos seguido para hallar Ja signatura de x puede esquematizarse
de la siguiente forma:

asas 25 (13592) Es) E ams

Pasamos continuación a encontrar una formula para el determinante, que utiliza
«concepto de permutación. Si comenzamos con matrices de orden 3 sabemos que

A eis} staat + sda

Capito 2. Determinantes y us aplicaciones bs

Observar que esta «suma algebraica» posee 6 elementos y que cada uno de sus
términos tiene 3 elementos, de manera que cada uno de esos tres elementos proviene
de distnta fila y distinta columna que los restants. Además. el subindice de las Mas
está siempre ordenado, mientras que el subindie de las columnas forma una permuta
ción de los elementos 1,2 y 3. Por tanto, ls 6 términos anteriores pueden escribirse de
la forma

terms 265s

afectados de un signo «positivo» o «negativo». Para determinar el signo de cada uno
e estos sumandos observamos que ls términos positivos corresponden alas perm
siones pares 3, 2, y 25 del ejemplo A y los términos negativos corresponden a las
permutaciones impares zu 3, y 2 del ejemplo A. Por tano:

E Y ta at

Este resultado sugiere el sguiete

‘Teorema 1

lA) Eire

se tene que 141 Ale,

Antes de demostrar el teorema 1 necesitamos los siguientes resultados:

Lema 2

Si A es una matriz (ay. en la que la jsima fl es una suma de
forma ay= hyip J=1,2, 0 y escribimos

OS
a du du, CEE

se tiene que
ALA)= AB) +18)

63. m Mire y Gomera
Demostración. Por la definición de À se tene que
AUD ita
AS AA
Y isla Patt Gi aan Ba" am
‘ .

Aa)

que se obiene de 4 sustituyendo todos los elementos dela dima fa por cero
Excepto el que ocupa la columna j, se tiene que

D AA)

donde A, denota la matriz adjunta del elemento que ocupa el lugar (0 Jb

say

oros ación. Comenzamos observando que Bes la matriz qu se oben de À
ineramblnde dos columnay stent gue) = AU) I demostración de sie
Feslado se pid enc ene 3 al nal de eta sección.

Inercia column de con (das u colmnss postres a ca asa
Mean a a tina column del ma

yy om Day
by om Day

Capitulo 2 Determinants y ss aplicaciones a

Puesto que la column j se ha intercambiado n—j vees para levar
columna, e tiene que

OT)

Observando que (—1)

MY se ene que

AA j=(= ABI AB)
Para calcular A(B) utilizamos la defiición de A y se obtiene:

AB} Y Do Do

ya que si 2in)Am ba =0. Toda permutación x€S, que satisface atn)=n puede
interpretar como une permutación eS, in más que définir AI) <0(0, 1 Sk Sn
reciprocamene, si JS, podemos définir RES, tal que af, LEX En—1 y

Amen ademas. ig). Por tnt
pen] E abuso ba]
Puesto que hama, y B= Ag ine que

418)

AA)
Sustituyendo este resultado en la fórmula (*) se obtiene de resultado deseado. MM

Demostración del teorema 1. Realizaremos la demostración mediante el método de
inducción Si es de orden 3 ya hemos comprobado anteriormente que el resultado es
‘ero; el lector puede comprobar que el resultado es también cero si Aes de orden 2.

Supongamos que el teorema es cierto paa toda matri de orden inferior a n y se À

Una matriz de orden m La matriz A puede escribir de la forma

| à Se

0404 +06

sen

Ñan +0+-+0 Otay toot
Aplicando repetidamente el ema 2 se ten que

a

As AA + FMA + A)
donde 4, j=1,2, nes como en el enunciado del lema. Por el lema 3 se tiene que

MAI a Bg) A Da)

PACULTAD DE R'SENTTRIA

UNIVERSIDAD DE LA REPUBLICA

DEPARTAMENTO DE

DOCUMENTACIÓN Y BIULIOTECA

64. m Algona» Gomera

2.-.m son de orden n-1, por la hipótesis de

Puesto que las ma
inducción se tene que

ss Aap

NA alt an) t= Aa A

onde la ültima igualdad se debe al teorema 3 de la sección 22 (desarollo del
determinante por la última fila), Esto termina la demostración =

La fórmula del determinante resulta engorrosa cuando se trata de matrices de
orden superior a tes si queremos utilizara en el cálculo práctico. Por otro lado, es
bastante eficiente para realizar algunas de ls demostraciones delas propicdados de los
determinantes, que se expusieron en la sección 2 de este mismo capítulo.

Por ejemplo, a propiedad 1, que expresa que si una matiz iene una fla (column)
de ceros su determinante es nulo, es fácil de demostrar. Basta observar que en todos
los términos de A(A) aparece un elemento nulo y, por tanto, lAJ=A(4)=0. Las
demostraciones de oras propiedades e piden en ls ejercicios al inal de esta sección

EJERCICIOS 26
1. Dadas los permutaciones
Ks) , Pal à 705341)
TEE)

calcular la signatura de cada una de ells yla signatura de Poa, Py 7° A"
2 Indicar el signo de los términos a; 505503104 Y 4344310,:0) en el desarrollo del
determinante de una matriz de orden à.

3. a) Demostrar que s fes la permutacion que e obtiene dex intercambiando af y
a AK, se tiens que sig(Al= sia)

b) Demostrar que si Be la matriz que se obtiene de 4 intercambi
se dene que A(B)= — A),

4. Demostrar que si Bes la matriz que se obtiene de A multiplicando una de sus las
por r se tiene que ACBI=A(A)

5. Utilizar el problema 3 para demostrar que si 4 es una matriz con dos filas
idénticas e tiene AA

do dos columnas.

CAPITULO 3

LA GEOMETRIA DEL PLANO
Y DEL ESPACIO

Rectas en un plano
Rectas y planos en el espacio
Distancias y ángulos, Producto escalar
iguras en el plano y en el espacio
Areas y volúmenes. Producto vectorial

La geometria es la rama dela matemática que estudia la forma y el tamaño.
de ls figuras, así como las trasformaciones que sobre ellis se cjrcen. Depen-
diendo de que las figuras estén en un plano o en el espacio se obtienen las
gcometrias desertas en el lo de este capital.

La antigua civilización griega posela muchos conocimientos acerca de la
someta. Estos conocimientos fueron recogidos por uno de sus mejores expo-
entes, Euclides, que los recopiló en un libro denominado Los elementos. La
traducción de ese libro, que llegó a Europa a aves de la civiizción árabe, ha
sido la base de todo el estudio de la geometría hasta finales del siglo XIX, Los
elementos están basados en un sitema de verdades evidentes, denominadas
aromas punt de scales eden ls propiedades e as figuras mediante
lun razonamiento lógico,

Ejemplos de propiedades de las igueas son los siguentes:

1) Los ángulos formados por rectas perpendiculares entre si son iguales.

1

65. so Algebra y Geomeria

2) Las mediates de los catetos de un triángulo rectángulo se cortan en el
punto medio de la hipotenusa,

En el siglo XVI el hlósolo y matemático francés R. Descartes introdujo la
noción de coordenada de un punto; todo punto tene una representación con
respeto a unas rocas dadas que se cortan. Los trabajos de los matemáticos
‘rane os dos siglos siguientes mostraron que las propiedades geométricas de
Jas figuras pueden demostrarse más fácilmente uihzando el Sistema de represen:
tación mediante coordenadas cartesianas. Eta forma de estudiar la geometria se
denomina geometría analtica.

La geometria analiica sustituyó ala geometria de Los elementos de Euelides
finales del siglo XIX y actualmente esla forma más extendida de estudiar la
someta,

La geometria analítica del plano y del espacio ocupará gran parte de nuestra
exposición en este capitulo; dedicaremos también alguna sección a estudiar
Propiedades de las figuras desde el punto de vista cuido.

31. RECTAS EN UN PLANO.

Dadas dos rectas en un plano que se cortan en un punto 0, cualquier otro punto
del plano queda determinado por dos números que reiben el nombre de componentes
‘con respeto las ctas dadas. Esta componentes se obtienen dela siguiente manera.
Fada una unidad de medida wen cada una de ls rectas, I, 10d0 punto P de plano
tiene como componentes x € 3, donde x es la distancia, medida con la unidad a, del
punto P ala reza I siguendo una paralc a € y esla distancia del punto P a la
rectal, siguiendo una paralela a 1, midiendo la distancia con respecto ula unidad de
medida u (igura 1).

Capi 3 La geometría del loo y del ci im

Si las recus Ih y Ty son perpendiculares, diremos que tenemos un sistema de
coordenadas recanpulares o ciresanas. La primera componente se denomina abscsa
el punto y la segunda ordenada. De acuerdo con esta nomenclature la recta, se
denomina je de abscisas lyse denomina eje de ordenadas,excibiendose también por
(OX y OY, respectivamente la izquierda de O en la reta, y por debajo de O enla
recta |; e toman medidas negativas. El punto de intrseción O se denomina origen de
coordenadas (gora 2)

Un plano dotado de un sistema de coordenadas se designa por RI
Otra forma de tata a los puntos de R? cs consideraros como el extremo de un
vestor cuyo origen es el origen de coordenadas (vase la figura 3)
FI álgebra de los vectores se ha estudiado en la sección 12 del capitulo 1. La suma
de los vectores y Bes la diagonal del parlelogramo que tiene como lados los
vectores Y, y E (ase figura Aa) El producto de un vector F por un número real cs

66. 132 Algebra y Geometria

‘otro vector cuyo extremo es el punto que tiene como componentes € veses las
«componentes de el vector ene el mismo sentido que Y sl es posiivo distito
sentido sic es negativ (ver figura Ah).

Fe ao Fe)

Dados dos puntos P= (rs. 1) y QU 3) se denomina vector PQ al vector con
rigen en P y extremo en À: sus componentes son

ro.

por tanto, es equivalente al vector que tiene como origen O y extremo un punto R de
coordenadas (==

Sen)

Dado un vetor Y, el conjunto de puntos 1 donde es un número real, determina
la recta que pasa por e origen de coordenadas y tene a © como vector director (ver
figura 60),

La recta r que pasa por el punto P y tine a como vector director se representa
mediante el conjunto de puntos

272

Capinlo 3 La geometría del lao y del pacte 13

donde £ es un número real Si P=, pa) =. 1) cualquier punto (x,y) dela recta
dese esribe de la forma
TOS
do componentes e tiene
sen um)
PTS

que se denominan ecuaciones paraméticas de la resta 7

à

EseueLo A._ Para encontrar las cuaciones paramétreas de la resta que pasa por
los puntos P=(2, 1) y Q=(-!, 3 observamos que uno de sus vectores diretores cs
PÓ=(-3,2) y puesto que pasa por el punto P=(2, 1) se tiene

Bee Dit

2)
o bien

67. ne sehr y Geometría

Nota. La representación paramétrca de una recta no es única; en el ejemplo
anterior podriamos tomar {PDF como vector directo y Q como uno de los
puntos de la recta; se tendrian en este caso las ecuaciones

:
EN

que representan a misma recta,

ie ian es oe vk e st

3 por tant:

siempre que 0, y ez sean no nos. La igualdad anterior puede escribirse de la forma

Papa

© bien
ax+hy +0,

que se denomina ecuación general de la recta en coordenadas cartesianas
Sie, 20 as ecuaciones paramétricas de una recta se escriben de la forma.

sa

Puesto que de la primera de ls ecuaciones ya se ha eliminado el parámetro 1 la
ecuación general de cta recta es

=m

Capito 3 La geomeri del plane y del saco ns

Si =, la couscion general de I rest es xp, Estos casos particulares correspon
(de a rectas paralelas a los ejes de coordenadas (ver figura 8).

EJEMPLO B. Para encontra las ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por el

punto Palo D y ten como vector director (1,9) escribimos ss cevainer
raves
Dom) o
y ciminamos #
ety
5
Por tnt:
PATES)
Où forma de eimiar e en (D © consierar que tenemos un sistema de dos

euaciones on una incógnita , mientras que x € y So constantes, es dci, el sistema.

}

Puesto que fjados x e y este sistema tiene una sola solución en 1, del teorema de
Rouche-Frobenius se deduce que

68. Po

16 Algebra y Geometría

Puesto que ¿Ju hemos de tre que {

13
yl

|"

Desarrollando este determinante se obtiene
oye lomo
que es el mismo resultado que obtuvimos anteriormente
Dadas dos rectas en un plano pueden darse los siguientes casos

@) Las dos rectas se cortan en un solo punto.

b) Las dos rectas son paralelas.

©) Las dos rectas coinciden

Si se conocen las seuselones de las rectas en coordenadas cartesianas podemos
determinar su posición relativ, es dei, cad uno delos casos anteriores, estudiando
las Soluciones del sistema formado por las dos ecuaciones. Si las ecuaciones son

ah 0]
ax + bar m0)

a any

tendremos el caso a) si el sistema (I) posee una sola solución: por el teorema de
Rouche-Frobenius esto sucede Solamente cuando.

E bl

En el caso 8) el sistema (IN) no posee solución, y, por tanto, se ha de tener
CS

Finalmente, s las rectas coinciden el sistema

ek je

En los ejercictos no es conveniente memorizar los resultados obtenidos, sino
tenerlos en cada caso mediante la utilización del torema de Rovché-Frobenius.

1) pose infinitas soluciones y, por

Capito 3 La geometria del plane y del espacio Br

EStMPLo €. Las rectas de ecuaciones 3x +2y-7=0 y 6x+4y+1=0 son paralelas.
ya que

Si las rectas están dadas en coordenadas puramétricas podemos estudiar su
posición relativa pasándolas a coordenadas cartesianas. Sin embargo. también puede
onocese su posi a partir de sus coordenadas paramétricas, como se muestra en e
siguiente ejemplo.

EseMPLO D. Dadas las rotas de ecuaciones

AI]
PEN

“ambas se coran si y so si existe un único valor de ¢y un único vor des para os
uals se obtiene el mismo resultado de x € y. Por tanto, el sistema

COL 22022, D4

7

en 1 ys. Igualando componentes se tiene

69. ne Algen y Geometría

Este sistema posee solución única, ya que

520

Por tanto, la rectas dadas se cortan en un único Punto. Para encontar las coordena-
das del punto de corte encontramos los valores de 1 y s que sallacen el sistema
anterior y sustituimos en las ecuaciones de las reta:

MORA BL A ANA, IN

Se trata, por tanto, del punto (~ 1,4) Observar que solamente es necsaro calcular el
valor de £ o el de 5 pero no ambos, para obtener el punto de core. FI hallar los dos
valores seve de adecuada comprobación.

Supongamos que las rectas de ecuaciones

rat.)
at

son paralelas o coineidentes. En el primer caso el sistema

} m

‘no posee soluciones y en el segundo posee infntas soluciones. En cualquier caso,
aplicando el teorema de Rouche-Frobenius el rango de la matriz de los coeficientes de
sus incógnitas ha de ser 1 y, por tant, e tiene

pti
Pitt,

Puesto que los vectores Uy ¥ son no nus, por el teorema del menor básio (teorema.
2 de la sección 25) se obtiene que ("es una combinación lineal de Y, es decir

Por tanto, los vectores Y y 7 son proporcionales.

Reciprocamente, sty 7 son dos vectores proporcionales ls rectas que los tienen
como vectores directores son paralela 0 coincidentes

Capitulo 3. La geometria dl plano yde espacio 19

EJEMPLO E. Las rectas (1,2341 4) y (1 00452, —8) son paralelas o
coincidentes, ya que (2, -8)= — 1, 4). Para determinas si son paralelas o coli
“entes escribimos el sistema que se obtiene de igualar las dos ecuaciones

Imre} 12-2
uses]! re 2

=
=
Fa re
=
a
ae
sn

om a

determina una recta que pasa por los puntos A. 25) y Bb, b Para probar
ste resaltado observar que desarrollando el determinante por la primera fla se tiene

AT

Ed o
que es la forma general dela ecuación de una rosa en coordenadas carsinas;
‘demise recta para por los puntos 4 (oy 0) Bop yh que al susi € y

la

nae?

70. BP

10 Algebra y Geometría

por los correspondients valores de A y B se obliene un determinante con dos filas
iguales

EJERCICIOS 31

1, Dados P=(1,0, O=(-1,2) Tell. —1) y #=Q. 2) haar las ecuaciones
patamétricas y cartesianas de ls siguentes rectas y dibujarlas

@) Recta que pasa por P y tiene como vector director 24.
by Recta que pasa por P y tiene como vector director +7.
©) Resta que pasa por Q y tiene como vector director D 27.
2. Demostrar que la cación de una recta que pasa por los puntos P=(p.. pa) y ©
(as ds) Puede escribio dela forma
4
a

von Pa si 70

Nora: EI número (gs = pala: pu) se denomina pendiente de a recta]

3. Determinar la posición relativa de los siguientes pares de rectas y encontrar el
punto de inersccción si se coran:

a + y Re
» y 2

a 4 y =D, 4)
Dede

4. Determinar ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas y dibujarlas

a

as hd

[Nota El resultado no es necesariamente ünico]

5. Dada la recta de ecuación ax by +c=0, demostrar que todas las rectas paralelas
‘ela tienen una eeunciön de la forma ax +by +c’ =O con CR [Nota: El conjunto de
Jas rctas paralelas a una dada se denomina has de rectas con la propiedad citada]
Encontrar la ecuación del az de recta paralelas a la recta que pasa por (1, 2) y tiene
(EL como vector director

6. Encontrar las ecuaciones paraméticas y cartesianas de las siguientes rectas,
comprobando el resultado si se cres posible:

a) Paralela a (x. 9=0 3412, que pasa por (1,0)

b) Paralela a 2v—y=5 que pasa por (1, 2)

©) Paralela por el punto (—2, —3) a la recta que pasa por (1,0) y (0, 1)

Capi 3 La prometí del plane y del paco 1a

7. Demostrar que la recta que pase por los puntos P y Q tiene como ecuaciones
paramétricas

Ur
o bien
SPHQ con strat
8. Dadas ls rectas secantes de ecuaciones
axthy te
act byytey=0

«comprobar que para cada par de valores 1, la eeuacion
Haxtbyreyestartbyy te) 0)

es una recta que pasa por el punto P de intersección delas anteriores y que todas clas
se obtienen as

ota: (+) se denomi

I couación del haz de rectas que pasan por 2.)

9. Utilizar el problema anterior para encontrar
a) La recta que pasa por (1,1) y por la intersección de x+y=

D) Ecuaciones del haz de rectas que pasan por el punto (1. 4)
9 Ecuaciones del haz de rectas que pasan por el punto (0,0,

32. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

De manera análoga a como se hizo en el plano puede introducirse e el espacio un
sistema de coordenadas de manera que todo punto del espacio quede determinado por
{tes números, que se denominan sus componentes. Basta para elo considerar tes rectas

71. 1e Agere y Geometría

que se cortan en un solo punto, que será el origen, y cualquier otto punto queda
determinado por su «distancia» a cada uno de los planos que determinan dos de las
ctas dadas tomada paralelamente a la tercera (see figuras 1 y 2)

Si las rectas dadas, que se denominan ejes de coordenada, son perpendiculares,
tenemos un sstema de coordenadas rectangulares o cartesiano, Cada punto del espacio
gun deminade por ss tes component, que = decian par 32) ©
Gi a ah

‘Denotaremos por RP al espacio con un sistema de coordenadas rectangulares
“Todo punto P de f° puede interpretarse como un vector que tene como origen cl
rigen de coordenadas y como extremo el punto P. La suma de vectors y el producto
“de un vector por un número rel tenen en R° la misma interpretación geométrica que
en el plano (ver sección 3.1}

Dados un punto PER y un vector FR), el conjunto de puntos que se representa.
de la forma

vu
donde nner cn que ps o Pea cn de 8
Sr Petes) Pome Some

m

EsemPLo A. La recta que pasa por el punto P=(1,2,3) y tine a P=(=1,1,2)
‘como vector director tiene como ecuaciones paramétricas

Capo 3 10

Dados dos puntos P y Q en Ra ecuación de la recta que pasa por P y Q tene
como ceuaciones paraméticas

Par,

a que uno de sus vectores de diecciónes = Q P. Por tanto, la cuación param
a de una recta que pasa por P y Q puede escribirse de la forma

(oP +g
© bien
sP+Q con see

Dadas dos rectas en el espacio, existen cuatro posiciones en las cuales pueden
encontrarse (ver figura ) O bien se cortan en un solo punto, se cruzan sin cortarse,
on paralelas en el sentido de que sus vectores directores son proporcionales o son
coincide.

La posición relativa de dos rectas en el espacio puede determinars estudiando el
‘sistema formado al iguala las correspondiente coordenadas delas dos rectas dadas y
determinando si sus vectores directores son no proporcionales en los casos segundo
y tercero,

EKEE

Der

72. 14 Agra y Geometría

EyeweLo B. Para determinar la posición relativa de las rectas

RD HA, 1,0)
1950, 1.342,01)

igualamos ls correspondientes coordenadas para obtener el sistema

0.0, 944-1, 1,00, 1, 242,0, 1)

6 equivalentemente:

Puesto que

ya que

Capllo 3 La geometría del plano y del espacio us

cl sistema no posee ninguna solución. Por tant, ls rectas dadas se cruzan 0 son
paralelas. Puesto que ss vectores directors no son proporcionales por qu?) ambas

Dada una recta en coordenadas paramétrica como en (I), podemos despeja £ de
cada una de las igualdades para obtener:

o

que e trmforman en ls tes uses siguiente:
oyes
St ps
emm nn |
Cada una dea xls dese de ls oras dos omo se ede cient dela
forma en que se ha cb. Por lam, podemos eer
nennen
DES

o

como las couaciones de la recta dado, que reciben el nombre de ecuaciones carte-
EJEMPLO C. Para hallar las cevaciones cartesianas dela recta que pasa por los
puntos P=(1,0,1) y Q=(=2, 1,2 escribimos sus ecuaciones paramétricas

CRÉENT EN

Tenemos, por tanto:

o bien

xy!
pret

73. Pe

16 Algebra y Geometría

Si alguna o algunas de las componentes dl vector Y son nulas (jn todas pueden
ser nulas) se obtienen tetas en posiciones especiales con respecto a lo ejes y planos
foordenados, Por ejemplo, ir, =0,= 0,6, 20 se obtiene una reta paralela al je OZ
‘gue pasa por el punto PU. Pa Pak est recta tiene como ecuaciones cartesianas

A

Se invita al lector a buscar otros casos particulares.

Dados dos vectores 1 y Y en R? no proporcionales y un punto P de Rel conjunto
de puntos que se representa de la forma.

parese

‘con fy s números reales es un plano que pasa por el punto P y tiene O y F como
rectores directores

Pigi ro False 03 els 0 und lso au paa
Re on uo
ened

tapar +)

que reciben el nombre de ecuaciones paramétricas del plano considerado,

Capinle 3 La gromeri del lao y del espacio 107

Si queremos encontrar ls ecuaciones crtesiona de est plan, es decir, ecuaciones
que solamente contengan x, y y + y no los parámetros 1 y 5, basta con eliminar estos
parámetros entre las tres ecuaciones de (0) Esto puedo hacerse mediante el método de
sustitución, pero es más conveniente considera (8) como un sistema de tes ecuaciones
con incógnitas ı y s que, Mjadas x, y, sólo posee una solución: por el teorema de
Rovehe-Frobenius se ha de tenor

>» “ae

Para que esto se cumpla es necsario que

um o
A

A

-0

Por la propicdad 3 de los determinantes (ver sección 22) para columnas se tiene

a pu
la a se es mala

Desarrollando el primero de los determinantes por la última columna se tene

Hp

que podemos escribir de la forma

me Pl
las es ps
ye pl

axsbytertda0

Esta ecuación recibe el nombre de ecuación cartesiana 0 en coordenadas rectongul-
res de un plano.

Casos particulares de eta ecuación son, por ejemplo, x= —d 0 7 =0, El primero cs
un plano que contiene a todos los puntos de la forma (4, Ps. Pa) con Pa, Ps
Fualesquera nümeros reales y por tato, es un plano paralelo al plano determinado.
por los ejes OY y OZ que pasa a distancia — del origen (ver figura 7), EI segundo &
9 plano determinado por los jes OX y OY (ver figura 7}

Se invita al lector a tratar de visualiza gcométicamente otros casos particulares de
la ecuación cartesana de un plano.

74. 108 Alera y Geometia

Figura 7

EseMPLO D. Las ecuaciones pe

métricas del plano que pasa por el punto P

1.0) y tne como vesores tre Bla.) y Fale 3,3 on
animes
parra |
sax |

Su csuación cartesian es
ee
933-110
23
Tenemos, por toto:
ube pe ct
| 03 faja 3 yt
las el lo sen

ee Er er er

Las posibles posiciones relativas de dos planos en el espacio son las siguientes
(véase Figura 8)

4) Los dos planos se cortan en una reta

D). Los dos planos son paralelos

9 Ambos planos coinciden

Capíulo 3. La geometría del plano dl espacio 19

Oo 7
A

Fos puren

Pass ue se ori en ans rca

Poms

La posiiön relativa de dos planos puede determinarse a partir de sus ecuaciones,
ilizando el teorema de Rouché-Frobenias para determinar el número de puntos en
‘comin que ambas poseen, Un estudio de este tipo se realiza en los dos próximos
ejemplos

EsEuPLO E._ Para haar la posición rlaiva de los planos de ecuaciones 2x4 9°
Ly —x-2y42>0 estudiamos el sistema

ae
ae
—
à HE |
da 3 71 Ani dons

matriz de los coeficientes, lus soluciones dependen de un solo parámetro y, por tanto,
los planos se coran en una recta,
Para determinar la ecuación de sta recta escribimos el sistema en la forma

24d]
aya

75. 150 Alea y Geometría

y lo resolvemos utilizando la regla de Cramer

dee OD
que son las ecuaciones paramätricas de I recta inteseción delos dos planos dados.

ExeMPLO F, Dados los planos de ecuaciones paramétricas

= Dé, 1.0940, 1, 1)
A 20.0, 3.40, 2, Dem LD

su posición relativa. Igualando la correspondientes coordena-

|

das obtenemos el siguiente sistema:

Puesto que

oo
va
o 1

Capúalo 3 La prometi del plano y de espacio ist

3, por tanto, el rango de la mutriz ampliada es 3. Esto nos lleva a deducir que no

existen soluciones del sistema anterior y. por tanto, los planos dados son paralelos.
Observar que en el ejemplo F los vectores directores de la segunda recta son

«combinación lineal de los vectores directores de la primera rota, ya que

(2 D2, 4.0401, 0
y
ANNE
Este resultado es certo en general: ai dos planos so paralelos, los vectores directores

de uno de elos son combinación linea de los tecores directores del tro el recproco
también es cierto, La demostración de ete resultado ss pie en el ejercicio 7 al final de

EIEMPLO G. Trstemos de halla el plano paralelo al de ecuación x 434.
pasa por el punto Pil, I

Escribimos el plano dado en ecuaciones paramétricas; para ello basta con determi
mar tres de sus puntos que no sten alineados: por ejemplo:

oque

A=I0.0,0) Beil. —

RC

Estos puntos no están

nados, ya que los vectores

TAB) y TACO

o son proporcionales (¿por qué?) Puesto que el plano dado pasa por el punto 4
(0,0, ) y tiene y Y como vectores directores su ecuación paramética e

«nn 04401, 1

TS

‘Como vectores directores de un plano paralelo a dte pueden tomare 1 y Y y
debido a que el plano pedido pasa por el punto P=(, 1, 1) sus ecuaciones param

DE, 040,1.

Su cesación en coordenadas curtesianas es
LO 0 1
Ht tales tar
o 1 sal fo

o.

es deci,

76. 152 letra y Grometia

Otra forma de resolver este problema es utilizando el resultado del eericio 8
final de esa sección en el se pide demostrar que las ecuaciones de todos los planos
paralelos al plano de ecuación x + by ex 4d-=0 pueden escribis de la forma ax + by
“Vee+d'=0, donde d toma valores en los mümeros reales

‘Aceptando este resultado. la cuación del plano que se busca es de la forma x+y
#244 deal valor ded se calula imponiendo que el punto PH, se un punto
de este nuevo plano; por tant:

patetad=o
La ecuación del plano buscado es
xtyte-3=0
que es el miso resultado que se obtuvo anteriormente.
OBSERVACIÓN |. Dados dos planos de ecuaciones
axtbyteend
axthysered

o
ambos determinan una recta si y sólo si

abe

le we,

Por tant, dos ecuaciones de ta forma que aparecen en (5) son también ecuaciones
cartesianas de una reta sempre que se cumpla la condición (6)

6

OISERVACIÓN 2 Son numerosos lt rente ec que pueden har

0 ets esas y panos ene espacio Altar Te nia a que ea

Sd propurtos l fal de eta sein y que ambien rel
Signo dea prop cosecha

“ Es conveniente también que, siempre que sea posible, se realicen adecuadas.

seprsctaionesgeomaics delas rectas y Plan qu Sparen en un probe

EJERCICIOS 32

1. Dados P=0,
ecuaciones paramátricas y €

1) Q=00,1,2) =t-1,2,0) y Es, -1, 0, hallar las
sanas de las siguientes rectas cn RO, y dibujarlas

ah Resta que pasa por P con vector director 6
1) Resta que pasa por P y 0:
9 Recta que pasa por Q con vector director 30

Capínlo 3 La grometi el plano y del paco 158

2. Dados los siguente putes de sectas en RS, determinar su posición relativa y si se
cortan, encontrar el punto de inerccción:

ORAM ANFH AD y (3 920 1040 3,2
DU =O. LIA y de.
9 dei] y Kaye?

xed ye
3. Hallar la ecuación de la resta paralela a k de ecuación

‘que pasa por el punto (I, , D.

4. De ods as ests que ps por el puto P=, 2, = halla qe cra a

Wi

21,0)

BDA)

5. Dados Pal, 2.9 Q=(—1, 2,9) R=(0.1, 1, (0,1, =D y PHOS, 1,2
alu as ecuaciones paramétrics y cartesianas de los siguientes planos

a) Plano que pasa por P,Q y R,

9 Piano ue ps por Py Ry es parle esta que psa por y ne
como vector director.

9 Plano que contiene a R en la dicción de u421 y 20 +7.
6 Determinar, sí es posible, la intersección delos siguentes pares de planos en Ri
arar y dy

8) AA, 40,1, 2) y (3,9500, 1,0910, L423, 9)

O MIRA DH, 12493, Sy x=6y+d241=0

7. Demostrar que dos planos son paralelos o coinciden si y sólo si os vectores
Sirctores de uno de elos son combinación lineal de los vectores directores del otro.

8. Demostrar que las eeuaciones delos planos purlelos al plano de couación ax +
‚#er+d=0 pueden escribirse de la forma ax + by-+cz+4=0 con d un número fal

9. Eseribir ls caciones paraméticas y cartesianas de los siguientes planos y rotas
er

a) Recta que pasa por O=(0,2,1) yes paralela al plano

moro

y al plano que pass por

1.0.1) Q y el origen

77. SE

14 Algebra y Geometría

M) Plano paralelo a la resta
FRAME
por el punto Q y que contiene al punto (1.3.0)
«Todas ls rectas que pasan por P y son paralelas = y. entre clas, a que corta ar
El plano que pasa por Re, 1,1) y contiene a la recta

2

i

+) La rect que ue A con item de y el plano x

I) Mos de rca que une con los putos de

2) Has panos a pu po (Sterns generalizar problema 8 de sn
me]

Een
“a

Lay
La
EN

10. Demostrar que 20 esla couación de un plano que pasa por los

1e es €
puntos Amfay 3 83h Bethy, bb) y C=C. Cx

33. DISTANCIAS Y ANGULOS. PRODUCTO ESCALAR
Dados dos puntos P y Q en el plano, de coordenadas
Pe), Oman)

om respecto a un sistema de coordenadas rectangulares, de teorema de Pitágoras se
deduce que la distancia de P a Q se puede caleular mediante I fórmula

ar a =P WPF er Ma 1

Capilo 3 La geometría del plane y del pci 155

Silos puntos P y Q están en Ry tienen como coordenadas

Pou Ps Pd

Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos PQS y PSR se obtiene
el siguiente resultado:

ae, = Jigs Pi) Fes Ha

Fig?

Dado un vector = AB en el plano 0 en el espacio se denomina longitud de 1 y se
¿designa por FI a la distancia entre À y B. Palabras sindnimas de longitud de un
vector son modulo de un vector y norma de un vector

EJEMPLO A. La longitud del veto
des

= AB, donde Ani. 1,2 y Ba 4,

LEN RES

La longitud de un vector posee las siguientes propiedades:

1D) JePI=Jdf8, donde e es un número ral y [e denota el valor absoluto de €
2) lu+ri ele + Iv,

La segunda propiedad se denomina desigualdad triangular y geométricamente se
expresa diciendo que cualquier lado de un triángulo es menor que la suma de los tros
dos. Esta propiedad puede demostrarse utilizando la ley del coseno, a saber:

mern.

HD+ 1012 = 201 cos + m,

78. 156 Algebra y Geometría

Puesto que cos à (m 2) —1, se obtiene que

OS

eres weit + Ter +2
de donde se deduce el resultado tomando raices cuadradas en ambos lados.

"El ángulo que forman dos vectores y # en R? o en RY puede obtenerse utilizando.
el teorema del coseno, ello nos permite calcular el coseno del ángulo que forman, el
Cual queda univocamente determinado si suponemos que OS 4 (X, 7) $ #. Puede
obtenerse uma fórmula para calcular cos (Y, DK si 7 de
teorema del coseno se deduce que

A)

Simpliicando obtenemos

UNE cos à Qu, Y)

de donde se deduce que

Fr

cos (= o

La expresión que aparece en el numerador de La parte derecha de eta fórmul
recibe el nombre de producto escalar de los vectores 1 y € y se denota por, VS os
vectores tienen dos components tenemos

(ame tt
Si tienen tres components se tendría

GF me tyes tases

y la formula para calcular el Angulo que forman es similar a la (D:

Carlo La comer à plan y e pai 19
EJEMPLO B. El coseno del ängulo que forman los vectores i=
ei, 1 cn RP es DS ne
60 Lente
CEE

wisi

Observar que el ángulo es agudo, ya que su coseno es positivo.

Ba 3

Nota, De acuerdo con ta mul (1) os sectors son prendre si
sto au praca escalas ceo a ue een ee eso Cardo A cee ek
cero y, pr tanto, el ángulo que loman «7/2

De a min de producto naar pnden deduce ls siguentes propices

D (6, FDF, para todo par de vectors 7 y Y
D (LEO OE, 0) para call ts vectores y 3 (pro

dad lineal). oe “ nz
3) (a eat) pr todo mero recy todo por de vers y

4) MEI? 20 para todo vector 7,

on la rlcón de producto vale pusden aacrs problemas ene
Jen tsar problemas en el plano y en el
Espacio sobre perpendicular y ángulos qe forman algas de las gra ane
mue San ue ue ma so de poems tio els tema et
Sie mo es exhaust y sr comeniente que et Ito se ropuser sis propios
problemas sobre estas nociones. Aue Er ae

Comenzamos land ls cues creas de un recta en un plo in
aecesiad de al sus ccociones pormétacas supongamos gu la tapas por
onto Pap. py Hens aso, amo var Seo er perdia

Eau)
ya que

SERA

ra

DOCUMENTACIÓN Y BIBLIOTECA
MONTEVIDEO - URUGUAY

PAC

UNIVERSIDAD DE LA REPUBLICA

79. 158 Algebra y Geometria
Un punto =, x.) está en la roca pedidn si y sólo si PX es perpendicular a Ti
por tanto
OP, B= pa HOP, = ur HR te
donde c=ps—pat, Esta es la ecuación cartesana de la recta que tene

AT (ua. u) como vector perpendicular y pasa por el punto P. Un vector perpendi-
calar a una recta dada se denomina también un vector caracteristico de la reta
‘Dada la ecuación a,x, +a3x;=¢ que determina una reta en un plano, un vec
perpendicular a cla es (a3) Para demostrar eso basta escribi La ecuación de
recta en Ia forma (E,X)=c, donde Y =(2,.X si P=(p.p) es un punto dela seca se
tiene (2, Pee. con F = (papa por tato, tenemos (4, X)=(z,), © equivalentemente:

asx-n

sla coción dela recta que pasa por P y tene a como

Esto nos dice qu (a,
vector perpendicular.

EEMPLO C. Pare hal
P=41, —2 y tene a # =(, 3) como vector director, observamos que Y
un sector perpendicular à & por tanto:

yr la ecuación de una recta que pasa por el punto
08

en

in +

«sl forma dl ecuación pedida; para determinar susttuimos el punto P=(t, ~2)y
obenemos

Lime

Por tanto, —dx, 4x2" —S esla ecuación de la recta

read

Capíalo3 La gromer del plano y del saco 159

Vtilizando el producto escalar puede encontrarla ecuación carteiana de un plano
‘en el espacio cuando se conocen un punto del plano y un vector perpendicular él Si
(py, Papa) & un punto del plano y U=(4, 45 ua) es un vector perpendicular a él
cualquier punto X =(X,, x, 23) del plano satisface

(7, Xh=o

como puede scment observarse en I figura adjnt. La ia anterior puede
escribirse de la forma ue “ ”

Resiprocamente, una formula como la anterior determina un plano que es perpen
dicular al vector = (uu, u} La demostración es similar a a realizada para a recta
en el plane y se deja como ejercicio

EJEMPLO D. El plano que pasa por el punto P=(1,3, ~2)y ene a 2 =(2, —1.4)
coma veto perpendicular 0 característico en como ecuación una espresió dela

yx Hime

El valor de e se determina imponiendo que P pertenezca al plano: 2

-3+4-2)
—9me. Por tanto, 2x3 FANy= -9 65 la ecuación de plano.

Sea i un vector cualquiera de e. EI producto escalar puede uiizarse para
descomponer todo vector U de R 0 R? en una suma de dos tectores

ur

donde es un maliplo de ty es perpendicular a & (ver figura 6.

80. 10 lacra y Geometrie

Puesto que es un múltiplo de 7 hemos de tener =, con CER, y por tanto:
eso

igualdad anterior por y teniendo,

Multiplicando excalarmente los dos lados de
fi, se ene que

en cuenta que (B,@)=0, ya que $ es perpendia

ean,

De aquí deducimos que
0

y, por tanta

De la fórmula (1) y dela fórmula del coseno det ángulo que forman dos vectores

deducimos que wen

Loss. UE

y si es un vector unitario, es decir, de longitud 1, se ene
CET

lo cual demuestra que es un vector en I dirección de 7 que lee [ficos & 7, 9)
como mödulo (ver figura 7h

(Capito 3 La geomeris de plano y del ach 161

EMPLO E. Para descomponer F = (1, 3, —1) en un vector paralelo a
1,0, 1) y otro perpendicular a dl, escribimos

raarho a+

donde F es perpendicular a 7. De razonamiento anterior decimos que

AM

E 7

Por tant

Dam O =1) y Bar-a

0.3.0)

Dado un punto P se denomina proyección de P sobre una recta o un plano a un
punto P, de la reta o del plano, al que PP es perpendicular a recta ol plano
ados (véase figura 9)

El problema de hallar la proyección de un punto sobre una resta o un plano se
resuelve con métodos análogos alos que se utilizaron para descomponer un vector en
sus componentes paralela y perpendicular à un vector fijado. En gar de encontrar
formulas de manera teórica precrimos realizar algunos ejemplos.

EJEMPLO F. Queremos hallar la proyección del punto P-
de ccuación

2) sobre la reta y

ns

en el plano, Un vector perpendicular ala recta dada es ¥-=(—2, 3) y, por tanto, 7
43,2 e un vector director de la ect. Si tomamos un punto de la recta, por ejemplo,
A= 0, 2 P ser dela forma: P= A+ ct. Además, PP es perpendicular ay, por

OPE, APA + et, (PAL 1) + =
HB 440,2, 2e 1 40-13

81. A

162 Algebra y Geometia

De aquí deducimos que ¢=11/13 y. por tanto,

EVEMPLOG. Queremos hallar la proyección del punto P=(1,2, 3) sobre el plano
de ecuación x y 252 sabemos que Un vector perpendicular a este plano es 7
TU, 1-21 Si P esla proyección de P sobre el plano = hemos de tener PP’ =<;
“demás (vr igura 8) si 4 es un punto del plano, por ejemplo, A=(1, 2,0) e tene que
AP es perpendicular a €. Por tanto:

OU, 63e (TP + PP, (AP, F3 dr
HUNDE 1 SD EE 2

(1, 2) Como P=P+PP, se ine

Asi pues c= 1 y PF
De den

Se denomina distancia de un punto P a una recta o a un plano a la menor de las
«distancias del punto P a cada uno de los puntos de I recta o del plano. Utilizando el
teorema de Pitigorss se demuestra que la distancia de P a una recta o u un plano
coincide con la distancia de P a la proyección P de P sobre la recta o el plano
Considerados. Para demostrar eto basta observar que iQ es otro punto dela recta o
del plano (ver figura 10) se tiene

DIE APP RA FOR > LPP

Capital 3 La geomerí det plane y del paie 103

ut

sl QP. Puesto que ya sabemos calcular la proyecciôn P de P también sabemos
calcular la distancia de un punto a una recta © a un plano.

Tn los casos de la distancia de un punto a una recta en un plano o de un punto a
un plano en el espacio se obtiene una formula senila, que es conveniente encontrar.

PROPOSICIÓN 1 (Distancia de un punto un plano)

La distancia del punto P= (7 po, al al plano de ecuación ayx, + a aa
+0=0 está dada por la fórmula

laps taps +aypy el

Demasración..La ecuacién del plano puede eseibrse de la forma
CEE

donde T=(ay a3. a3) y X =: xy xy) Puesto que 7 es un vector perpendicular al
plano, là distancia AP, ) dl punto P al plano x es de la forma N}. donde + debe de

Prt=per

82. 160 Agra y Geometría

Para obener #sustituimos en la ecuación del plan:
(2, OPyec=(a, OP + ia) +c=ta, OP) +, tee

De aquí deducimos que

UE
3 por tante,
(2, 0P)-0|_10.OM+d
arent u
que coincide con la fórmula anunciada enla proposición. .

Un razonamieno similar al anterior permite obtener el siguiente resultado, que se
deja como ejercicio.
PROPOSICIÓN 2 (Distancia de un punto a una recta en el plano) —
La distancia del punto P=(p,. a) a la seca de ecuación a,x, +a3%,40=0
está dada por e fórmula
laps taspe tel

Va

BUEMPLO H. La distancia del punto P=, 3, —2) al plano de ecuación

EEE

AA

JE Ve Ve

ap. ==

Tratamos de hallar shore las bisectries de dos rectos dadas que se coran. Tanto en
plano como en el espacio sus couaciones serán de La forma

AR y Ar

ud es fácil demostrar que

vie
iwi tivi

Capindo 3 La geometría del plane y del esc us
y
ai

son vectores que tienen la direción de cada una dels biscries buscadas. Basta para
ello observar que los triángulos ABD y ACD son ¡sósels e iguales. Las ecuaciones

in

EseMPLO 1 Deseamos halla las bisecrces de Is rectas de ecuaciones

roxeyeck ry detyed

Un vector perpendicular a 1, es 1, —1), luego un vector director de r, ©

83. 166 Algebra y Geometría

{Un vector perpendicular a #3 es (2,1), luego un vector director de 1, es

De]

Los vectores directores de las bisctrices serán
7,8 D, 0-2
mms

{Un punto por el que pasan las bisesries es el punto de inerscción de las rectas
dadas el lector puede comprobar que este punto es A=(1, 2} Por tanto:

son las cuaciones paramétrieas delas bisctics

Para terminar esta sección recordamos que el ángulo que forman dos planos se
define como el Angulo que forman sus vectores perpendiculares (ver figura 13, Por
tanto, el coseno del ángulo que forman dos planos puede calcularse mediante la
Formula obtenida al comienzo de eta sección

Si el lector desea realizar algún ejercicio relacionado con este concepto puede
intentar hallar el ángulo que forman los planos de ecuaciones

Beotytend y Dry

EJERCICIOS 33

1. Dados los puntos P= (1,0, ©

1,1) y R=, y las rectas
me Sete, re eye nl

se pide:

Carine 3 La geomet del plano y del expacio 167

a) Distancia de P a Q.
1) El coseno del ámgulo que forman los vectores PO y PR

©) El coseno del ángulo que forman las res r 3 rs

(4 Eeunciön catesiana de la recta que pasa por P y es perpendicular 7;

© Ecuación cartesian de la reta que pasa por R y es perpendicular a 7

11, Desompapr el vor PQ en un vector plo aa ect, y e uo erendi

ui Hallar la proyección del punto Q sobre la restr
Ay Mallar la distancia de Q ar, y de Pa rı

1 Hallar el simétrico del punto P con respeto a la recta.

4 Encontrar las cousciones cartesianas de las bisecties de rı Y rs

2. Dados los puntos P=(1,0,0, Q=(1,0.1)y R=(2 3,

2) y los planos

me dy

Du

se pie.
9 Distancia de Pa © y de © a R

In El coseno del ángulo que forman los panos 1, #2

<1 Ecuación dl plano perpendicular al vector PO que pasa por A

2 La proses del punto P sobre el plano r,

" Descomponer el vector ÖR en un vector perpendicular a r, y otro paralelo a r;,
Encontraras cuniones creas de la rca perpendicular al planer, que pasa
per
Hata a coacin del plano perpendicular rca inesciön de os dos panos
dados y que pase por D

hr Distancia de Qa ra yde Parry
3) Hala el punto simétrico de P espeso del plano 7

3. Dados los puntos P=10,0,1) y 0:

3.0) y ls rectas de ecuaciones:

ri 1,00. D ra (0,0, D4 dl, 1,3)

se pide:

a) Demostrar que r, y rs se cruza.

») Ecuación del plano perpendicular ar. que pasa por P.

© Ecuaciones paramètres y cartesianas dela recta pualela ar, que corta ar; enel
Punto (0,0, 2

4) Ecuaciones dels bsctics de la recta , y la encontrada en el apartado anterior.

+) La proyección del punto @ sobre

J) Distancia de Q ar, y de Par,

84. 168 Agen y Geometría

4) Descomponer el vector PO en un vector paralelo y otro

My Ecuación del plano paralelo a r, que contiene a r

D. Ecuación del plano paralelo a r; que contenc a r.

J) Distancia de r, u ry [Sugerencia: hallar la distancia entre los planos de los
apartados hc)

4. Usiizar vectores para demostrar que las diagonales de un rectángolo son

perpendiculares si y sólo i el rectángulo es un cuadrado.

dicular ar

5. Demostrar que las bisetrics de dos rectas que e cortan son perpendiculares.

6. Dadas las rectas de couaciones

pera
dxeymal ay)
que se cortan y hallar las ecuaciones paraméticas de sus bisccrices.

Ber

&. Hallar la ecuación de un plano que determine con les ees eoordenados segmentos
de longitudes 2, 3 y 1, respectivamente

demos

7. Hallar la couación del plano Cuyo punto más cercano al origen es

9. Hallar a couación del plano paralelo al plano de ecunciön 2x 3-62
que dista 5 unidades del origen.

1405

10, Encontrar la ecuación del plano perpendicular al de ecuacion x 2} 2249-0.
que pasa por los puntos P=(2, 1,6) y Qi. =2 4) (Sol: 2x4:4y-32418=0]

34. FIGURAS SENCILLAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO:
SUS ECUACIONES

En las secciones anteriores hemos estudiado las rectas y los planos por medio de
sus ecuaciones En esta sección estudiaremos otras figuras en el plano y en el espacio,
En todas ells se observará que ai sus ecuaciones paramétricas sólo dependen de un
parámetro las figuras son curvas 0 trozos de curras, mientras que si depende de dos
Parámetros se tata de superiis o (020s de supers.

"Comenzamos con el segmento que une los puntos P y Q. donde P y Q pueden ser
puntos del plano o del espacio. La reta que contiene a P y Q tiene como ceuación
parametric

PeAPQ)aP+1Q—PI=U—9P +10
donde 1 es un nimero real. Si imponemos la rstrición

ostst

Capital 3 La geomeri del plano y de espacio 169

se obtienen todos los puntos del segmento PQ y solamente éstos. Por tanto, el
segmento PO puede representarse de la forma

(-9P+1Q con osı5ı

Dado un punto Xen el segmento PD se denomina razón de X con respecto a P 3 Q
I cociente

120

10%

TA

La razón de un punto con respeto a otros dos es, por tanto, un número real
postive

‘Dado un número real positivo 7 siempre puede encontrarse un punto X al que su
razón con respeto a dos puntos dados P y Q esr. Para encontrar X observamos que

wR)

10%1

y además:
X=(1-0P +1Q=P+QP

para algún re(0, 1) Para encontrar este valor de 4 sustiuimos X en la formula que nos
a la razón y y obtenemos

Pat.)
0 90Fi "|

De aquí podemos despejar 1 en función de r

85. m Algebra y Geometría

El punto medio del segmento PQ es un punto cuya razón es 1 con respecto a Py Q
3: por tanto, 1=1/2. De aqui deducimos que el punto medio de PQ es

EJEMPLO A. Queremos hallar un punto X que tenga razón 2 con respeto a los
puntos PU, 2,0)y O=(-~1, 0, 3) El punto X ser dela forma X =(1 OP +10, donde

Por tanto:

)

Dados tres puntos no alineados A, B y C, en el plano 0 en el espacio, determinan
un triángulo, Los puntos del interior del triángulo pueden determinarse paramétrica-
mente. Los puntos del lado BC tienen como ccuación paramérica

(OB, 05151

Uniendo À con todos los puntos del lado BC se tiene el interior del tióngulo, que
satiface la ccuaciôn

(194440 IBC) 0855105151

Esto puede escribirse de la forma

UM ESIOBESC, OSSSLOSIS1

Capinlo 3 La geometría del plano y dl pci m

© bien

aA+bB+eC, arbr.

I Osahest

La demostración de este útima afirmación se deja como ejercicio para ol ltr.

Cuatro puntos A, B, C y D no coplanario en el espacio determinan un poliedro de
‘cuatro caras triangulares. Puede demostrarse con un razonamiento análogo a anterior
que los puntos de su interior se representan paramétricamente de la forma

aA+bB+eCHAD, atb+crd=1,050b 0. dS1

ExEMPLO B. Dados À, B y C, tes puntos en el plano © en el espacio, queremos
hallar as ecuaciones paramétrcas del región sombreada. El segmento que une B con
© tiene como ecuaciones paramétricas

M-nBeic, 0S1S 1

a]
=

Wh

Trazando Is semirrctas que unen À con cualquiera de los punts del segmento BC
se obtiene la región sombreada. Estas semirtetas tienen por ccuación

AA 4-8 HC), Os,

si

Dado un triángulo cualquiera, se denominan medianas a las recas que unen un
vérice con el punto medio del lado opuesto

86. m Algebra y Geometría

Demostraremos a continuación que las tres medianas de un triángulo se coran en
tun punto cuya distancia a cualquiera do los vértices del triángulo es 2,3 dela distancia
e vé al punto medio de lado opuesto.

Para demostrar este resultado sean A, B y C los vertices del triángulo; el punto

meo ado ca EL ono que nan re 4 et nc

de A al punto medio del lodo BC es (ver ejemplo AF
2 ACL
Meer

wando el razonamiento com cualquier otto vértice se obtendrá el mismo
resulado. Esto demuestra nuestra afirmación.

I punto donde se cortan las medianas de un tsámgulo se denomina barientro 0
contro de gravedad del tróngalo.

‘Otros puntos caractrisicos de un triángulo se obrenen como intersección de sus
alturas sus Bises 0 sus meditrces. Los resultados que a ellos les conciernen se
proponen en los ejercicios del final de esta sección.

Res

Pasamos a continuación a estudiar las figuras más sencillas en el plano y en el
espacio que no pueden formarse con segmentos de rectas

Tn el plano tenemos la circunferencia, que es el lugar groméico delos puntos que
«quidistan de un punto fio, llamado ceniro La distancia del cento a uno cualquiera
los puntos de le crcunferencia reci el nombre de radio de la circunferencia

Si Onion ea es el centro de la circunferencia y rel radio, un punto X (x, x}
está en la Gtcunferencia si y sólo si

ax, O=r.
Por tanto:

et ea?

es la ecuación impliita de la cicunferencia de centro e y radio r

apto 3 La geometría del plane ÿ del espacio m

EE pan de e ral pres ens aan
alo aque forman el rad de la rennes con ua ret da que pte por el
centro de la circunferencia. Se tiene que VAE

son las ecuaciones paramétricas buscadas.
La figura que tiene a

como ecuaciones paramétiasrecibe el nombre de elise (ver figura $) Para encontr
sus ecuaciones cartesianas observamos que

Por tanto,

Fin

87. Algebra y Geometría

La elipse puede definirse de la siguiente manera: el lugar geométrico de los
puntos de un plano cuya sume de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, Fi y
Fa, es constante.

Otra curva que posee una definición asians a la dela elpse es I Temmlscata de
Bernau: es lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias a dos puntos
fijos, llamados focos, Fy Y F,, tienen producto igual a ©, con 2e la distancia entre
ambos focos.

SPL O y Fa

1.0) la lemmiscta de Bernoulli tiene por ecuación

(+

Simpliicando esta igualdad se obtiene

2 y)

Escribiendo x=r 0s 2, y=r sen a tenemos que
Paco asen? 2)

Por tant:

22 608 2a

Esta scuación, denominada ecuacién en coordenadas polares de la lemniscata de
Bernouill, permite obtener lo repesemación gráfica de la figura adjunta.

La curva que describe un punto de una circunferencia cuando rueda sin desizar
sobre una recta tiene unas ecusciones paraméticas sencillas. Esta curva recibe el
nombre de cilide y su gráfica se aprecia en la figura adjunta.

Capítlo 3_ La gromeris el plano y el paie vs

Sila circunferencia tiene radio 1 y est situada inicialmente como se muestra en
la gura 11, después de que el centro de la circunferencia haya recorido una longitud
+, el punto P se transforma en P, cuyas coordenadas x € y satisfacen

sea, atc amics (1 sent

yA Pa ten men

Fn el espacio la figura mäs sen es a eo, que pose una definición similar a la
de la circunferencia. La esfera es el lugar geomöirio de los puntos del espacio que
equidistan de un punto fio, lamado centro. La distancia del centro à Un punto
cualquiera de la esfera recibe el nombre de radio dela esfera.

88. 16 Agen y Geometría

Si Ceres es es el centro de la esfera y r su radio, cualquier punto X
na a) de ell safe la igualdad

anor

Por tanto:

ee

son las ecuaciones paramétics de la esfera de centro € y radio »
Ecuaciones paramétrica dela esfera pueden encontrarse en función de los ángulos
2 y fide la figura 12, Tenemos

x5-eser cos A

mientras que [CP] =r sen f. De aqui deducimos que
poor en an
pere

ci
que son ls ecuaciones paramétricas buscadas, Observa que estas eeuaciones paramé-
ricas dependen de dos purimeros, yf lo cual st en concordancia con el hecho de
que determinan una superficie en el espacio.

EJERCICIOS 34

1. Encontrar los puntos que divide al segmento AB en tres parts iguales, donde À
EOS PET

Capito 3 La geometría del plane y dl espacio m

2. Describir paramétricamente ls regiones
AB y © son tres puntos no alineados.

IL y IV de a Bgura adjunta, donde

3 Hal

la intersección de las siguientes figuras en el plano:
0) La recta x=y+1 y la circunerencia (x—2) +76
1,4
D) Fl semiplano y à Ÿ y a circunferencia (2) 49°=6.
blas year Were
9 El sector sd, (150 2, £>0, 5>0 y el semiplano 429-50,

4. Demostrar que un criterio para que la reta 4 +1 toque a la circunferencia x?
+=" en un solo punto es que se cumpla la igualdad

donde lu.) y Alay a)

5. Demostrar que si 4 y B son los puntos medios de los segmentos AC y BC, se
tiene que

12

1
Hu

89. vs Algebra y Geometia

6. Se denomina mediariz de un triángulo a la perpendicular por el punto medio a
tino cualquiera de sus lados. Demostrar que las res mediatics de un triángulo se
coran en un punto que coincide con el cetro de la circunferencia circunsrita al
irtängul, (Este punto recibe el nombre de circuncento del ángulo dado.)

LA

7. Demostrar que el cireuncentro ver problema anterior) de un triángulo rectángulo
halla en el punto medio de su hipotenusa

8. Se denomina bisetri de un triángulo a cualquier recta que divide a uno cualquie-
ra de sus ángulos interiores en dos parts iguales, Demostrar que las bisectices de un
Kriámgalo e cortan en un solo punto que coincide con el centro de la circunferencia
inserta en é (Este punto recibe el nombre de incetr del triángulo dado.)

3. Cada una de as ects quepan por e tie de un trángalo y son perpendic-
Fares at ado opuesto een el fomi de art del trmgulo ABC el ur. Es
lus coincide con as medias del ängulo ABC de agur aunt. Deducie
{rete rade y de) problema 6 que las tis de an tng e oran en un
uno. (ie puna se denomina orocenro del wängulo dado)

oy.
\

Capital 3 La promer del plano y de espacio 1

10, Dado el triángulo ABC en el plano cuyos vértices tienen como coordenadas
Am(~3.0, B=0,1) y C=0,3) hallar:

9) Las coordenadas del baricento,
+) El ciscuncentro yla ccuación de la circunferencia circunscrita.

©) El incenro y la ecuación de la circunferencia inserta.
di El orocentre,
(Ver los problemas 6, 8 y 9 para las definiciones)

XL. Hallar las ecuaciones de la altura relativa al vértice A del prisma de base
iriangular BCD, donde

AIR BAO, 1,0) Cat

yD

20
12. Encontrar las ecuaciones paramétricas y cartesianas de Is siguientes figuras:

1.0,
2.0, B=(1.0.2. C=,0,0) y D

0) La circunferencia que pasa por los puntos A=(2 1), B=(0,3) y
b) La esfera que pasa por los puntos 4
ea

35. AREAS Y VOLUMENES. PRODUCTO VECTORIAL.

Comenzaremos encontrando una fórmula para determinar el rea de un paralelo-
gramo situado en el plano o en el espacio, Observamos, en primer Jugar, que un
paralelogramo queda determinado por dos vectores 7 y B que son linealmente
independientes (vr figura 1)

_-7
|
/
{ ONIVERSIDAD DE LA MUPUELICA
we PROD ne were
a | DEPAPTAL PLE 18
Documentación Y IBIGLIOTECA
eas MONTEVIDEO + URUGUAY,

Sabemos que el área de un parallogramo se obtiene multiplicando a longitud de
su base por la altra; por tant

Area = (CP

90. A A AAN

10 Algebra y Geometria

onde P esla proyección del punto € sobre la recta que contiene a À y B. Puesto que
CBI = BI sen à (a:b), deducimos que

(rea)? = EEE sen à, B= ABP
are Br.

cos? gg, Fe

Hemos obtenido el siguiente resultado:

PROPOSICIÓN 1
Sia y B son dos vectors lincalmente independientes en el plano o en el
espacio, el área A del parallogramo determinado por los vectores 7 y B se

obtiene mediante la fórmula

cae. ETC
Pt En 6. sl

Si =(a, a) y B= (by ba) son dos vectors linealmente independientes en el plano

tenemos que
ab tao
ana a

IN

Pot tant, el rea de un paralelogrtamo enel plano coincide con el ar absolute del
determinanteformado por las componentes de los vectores que o determinan
En el espacio también existe una fórmula sencilla, pero es necesario utilizar un

concepto que se introducirá más adelante
"E Area de un tiengulo de vértices A, B y C coincide con la mitad del área del

paralelogramo determinado por los vectores AC y AB, como puede observarse en la
Fgura 2 Por tanto, ls fórmulas para el rea de un trángulo se obtienen dividiendo
entre 2 ls fórmulas para el área del paralelogramo que él determina,

Cap 3. La geomerí el plano y del each 181

se» (ver figura 3) alos, ya que toda «figura» puede «triangular

¿7 &D

7 Fa

eMPLO A. Tratemos de encontrar el área del triángulo de vértices

PL Me reel
En
A
Fab a
se tiene que hi 3
É
ik Ez
LME
ort, esp 92 HI
ae ie
ET
ag
3

Der

EsEMPLO B. Queremos encontrar el ies del triángulo que tiene como värices I
puntos de intersección del plano de ecuación 2s + ed con ls ges eoordenados
(gu 9) Estos puntos son a Jos ejes coordenados

AGO, B=0.6.0) y C=10,0,2)

como fácilmente puede comprobarse

91. m Asche y Geometria

Si tomamos
302 y F=(-160

de la proposición 1 deducimos que

> aa.
NES
NS

iz en el ejemplo A.

Una formula enla que intervene un determinante de orden 3 puede utilizarse para
calcular el volumen de un patalelepipedo en el espacio. Un paralepipedo queda
determinado por tres vectores lincalmente independiente (ver figura 6). Si estos

aaa Baby hab) y Enlencne)

Finn 6

Capindo 3 La geometría del plano y del espacio 105

demosraremos que el volumen del paraeepipedo que eos determinan se obtiene
como el valor absoluto del determinante de la matriz

año» ra

a e]

Para demostrarlo basa con encontar un vector perpendicular al plano determi
nado por los vectores 7 y B, ya que entonces tendremos que

V volumen = área de la base) los y (2,2)

a que la altura del paraleepipedo coincide con ¿cos & (7 3)
Para encontrar un vector 6 =(X;, x, x) que sea perpendicular

Fale andy
bu by. bs) basta con resolver el sistema

(A Sears ta +asx 0)
Fam bx + hrs + ba =O)

Puesto que los vectores y F son lincalmente independientes:

Ge

y. Por tant, el sistema tiene infinitas soluciones. Supongamos que

Bh hee

“hal

140, por ejemplo, se ene que

A)

que recibe el nombre de producto vectorial de ay E

Tomando =f

bf

92. 104 Alea y Geometria

DEFINICIÓN 1 (Producto vectorial de dos vectores) — ——
as) y F =(by, bs, by) en el espacio definimos su

Both D
Una forma de recordar las componentes del vector producto vectorial de y F es

observar que corresponden a resultado de elimina la primera la Segunda y la tercera
columna, respectivamente, de la matt

IS be :)
teniendo siempre cuidado de que a la segunda componente es necesario cambiarle el
signo,

“Otra forma de recordarlo, procedente dela fica, esla siguiente: sean
(0.1.0) y K=(0.0,1) los vestorescoordenados unitarios: podemos escribir

Dados ls vectores d'=(ay a
producto vectorial como el veco

mr

data fra

IS

El vector xB se obtiene desarrollando «formalmente» el determinante

rr
baat

por a primera fil

Capinl 3 La seometi del plano y del espacio ws

EJEMPLO €. Tratemos de hala la ecuación cartesiana del plano que pasa por el
punto A=(2 1.3) y tene T=(1,0, —1) y E=(2, =, 1) como vectores directores Un
vector perpendicular a E y 7 es

la
ac CO rra

la ecuación de todos los planos perpendiculares a WT es

Fl valor de d se calcula con la condición de que el punto À pertenezca al plano; por
tanto, tenemos —2=3-3=-8=d, La ecuación del plano es

seve

El módulo o longitud del producto vectorial de dos vectores tiene una bonita
¡interpretación geométrica, Silos vectores dados son a {as 3, 0) y B=(is Bs, bh
calculamos [A «EIE se tiene que

ja af a
be sb a of
Habia tete

bon ayy + baby) = (at + GENE bb

~ajbje-alP}—a}8} ~-2L0,basb,+abyayb, +0 paa

(ojal (ud +b, + hs) =

Wee, BP

CET poa

(aba py Hast

De la proposición 1 deducimos cl siguiente resultado:

PROPOSICIÓN 2 (Area de un paralelogramo en el espacio)

Fl área A de un puralelogramo en el espacio determinado por dos vectores 7
y E coincide con el módulo del producto vectorial de ls vectores, es desir

Az fat PP sen & (a, F)

93. 16 Algebra y Geometría
El área del triángulo del ejemplo B podemos calcularla ahora utilizando el

producto esr EN to, tenemos qu
sr
id

END

EN

OP À
ent >

clauses

que coincide con el resultado encontrado en el ejemplo B.

| Alan)

Five?

[Et problema que nos ha conducido alos resultados anteriores es el de encontrar
‘una fórmula para determinar el volumen de un paralelepipedo en R?. Este problema
puede se resueto ahora de una forma elegante. Par e paralelepipedo de la figura 8 se
tiene que su volumen es

Va brea de la base) 1CPileos 4 (UF, 7)

(Captuto 3. La gromeri el plano y del ac 187

Debido a la proposición 2 se tiene que

pax Bliecos & xB, €)

Si recordamos la fórmula para calcular el coseno del ángulo que forman dos vectores
(ver seción 33) obtenemos que

Veta xB, 7)

El producto escalar de ax con recibe el nombre de producto mixto de los
vectores 2, E y €. El producto mixto de tes vetore puede calcularse utilizando un
determinante, ya que

PR aan)
qa

Todos estos resultados quedan resumidos en a siguiente proposición.

PROPOSICIÓN 3 (Volumen de un poralelepípedo)

1 volumen del paalelepipedo determinado por los vectores a, B y @ en el

espacio puede calcularse mediante la fSrmule

WB, 7)

y ine cn ar ab de mid a ati |

EJEMPLO D. El volumen del parallepipedo determinado por los vectores 2°
2,3, B=00,1,2) y Tal, —2, —1) es el valor absoluto de

A E AE
| Fh a

o 1 2
1 2 a] 2 1

444443=10

Por tanto, Y

94. 18 Algebra» romería

Usiizando la proposición 3 puede calcularse el volumen de otras figuras en el
espacio, Sie trata, por ejemplo, de un prisma triangular determinado por los vectores
LE 3 € (sde figura 9) se ene que su volumen es

ur

vale
ya quedo e elos mis poe un de ss cars ate oan un pete
ehr

vi

/

/ 4

/

een

$ contamos ws pide bs ona mind or ya €
a tonnerre Er cao en
CRETE

Y, 0

Otra forma de llegar a esta conclusión es observando que ses pirámides de base
triangular iguales forman un prisma de bas rectangular, como puede apreciarse en
las figuras 10 y 11. (Los dibujos de estas figuras han sido realizados por Manuel
Moreno, 1 de Físicas UAM, 1985)

El producto vectorial que nos ha aparecido al intenta calcular ácas y volúmenes.
de figuras tridimensionales, aparece de manera natural en algunos fenómenos ficos.
Se justifca experimentalmente que una carga eléctrica positiva de magnitud , que se
mueve con una velocidad 7, dentro de un campo magnético de intensidad 1, se
encuentra sometida a una fucrza F cuyo módulo y dirección están dados por

PaarxT

Pare

Capitale 3 La seomeri el plano y del paco 109

AS NS

‘Una corriente que circula por un hilo recto produce un campo magnético cuyo.
vector Fen el senido del product seconal de vector que señala sentido de la
oriente, Y, en el hilo y el vector AB de la figura adjunt.

95. 83 tera y Geometria

Estadurenos a cousin las popidade del producto veto Sabemos que

vector ene eon perpendicular cada uno delos vectores y su

corse con «dre del parlelogramo que ambos vecores

Seminar Sn embara o a dema soplan prall wa de

E ya que ta dvecaon perpendicular 2 y posee dos sendos opuestos. Se planten
monos la pregunta de ser ud es el Seto del vector x.

Teaiamoy signs ejemplos seno Se, > (10.04 =(, 10) es=0.0, De

TE nf HE 3 Semen
Gah af de>

0
h

En estos ejemplos se observa que el sentido del producto vectorial de a y B esta
‘dado por el sentido de avance de un tornillo que gira yendo de hacia B.

“Otra forma de recordar el sentido del producto vectorial es la rela de la mano
erecha el sentido de dB es el sentido en el que apunta el dedo pulgar cuando los
dos de la mano derecha están curvados de 7 hacia B (véase figura 12)

Las propiedades que conocemos del producto vectorial le determinan totalmente,
es deci el producto vetoral xB de dos vestors 7 y B en R* que son linealmente
Independientes es el Gnico vector que satisac las siguientes propiedades:

1) Es perpendicular a 2 y B.
2) Su longitud es el ären del paraelogramo determinado por a y F.
3) Su sentido está dado por la regla del toni

ic Va

Capido 3 La geometría del plano y dl espcio 1

Porec à Papa da rd tl) —
| Oasen a Fy 8 see
as
5 Fors 5)a0
9807 Bion to A
Dei
EE
a ober

‘Nota. Las propiedades a, y e se deducen inmediatamente de las propie-
dades ya conocidas del producto vectorial, El resto de las propiedades pueden
demostrarse directamente utlizando la definición de producto vectorial, y se
dejan como ejercicio para el lector.

Esisten varas formas de calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan en el
‘espacio; una de ells se sugire en el apartado) del problema à dela seciôn 33. Otra
de és pued obtenerse uzando la proposición 3 de exa seein, Dadas la

PARÓ y ry Beet
formamos un parallepipedo como se muestra en la Figura 13, El volumen del
paralleipedo se obtiene multiplicando el area de la base por la altura a, De las
proposiciones 2 y 3 deducimos que

Va Xe, Abu x

Puesto que la altura a del parallepipedo coincide con la distancia de 1 al plano que
contiene ar, y es paralelo ar, y ét, a su vez, coincide con la distancia etre ls rectas
dadas, a distancia buscada es

ar lar, ABest

96. m Algebra y Geomenria

EPL EE Para calcular la distancia entre la rectas de ecuaciones
re ODA yr 1 D, D
calculamos.

20 4
(xr, A | 13-1
-11 0

:
los
o

19436! a J,

o

¡EXT I= 10,0, 9x0, — Di =

Por tanto,

a
ve

"Terminamos esta sección haciendo algunos comentarios sobre la orientación del
plano y del espacio.

En un plano no hay una orientación privilegiada: podemos decir cuándo dos pares
de vectores tienen la misma orientación, pero no decir cuál esla orientación de cada
‘uno de ellos. Sin embargo, decimos que hay un sentido positivo y un sentido negativo
¿e giro porque siempre miramos nuestro plano de un lado fijo: el papel por e lado en
que dibtjamos o as agujas del reloj desde fura del mismo. ¡Si usamos un plano
transparente y lo miramos desde atrs, los sentidos de giro cambian!

En el espacio noten sentido preguntar sil io cn tomo a un jee patio ©
ego Y solo tone una aparente respuesta e lees a clio una dicción
Do 3 cl ebservador seston en la den posa de Ste ee A paar de no
Pata respuesta Saco para déni un sco de gro poso negativo en
ado. Sempre podemos ders es vectors tán potoment orientadas

Cape 3. La geometria de plano y del paca 1

rando el producto vectoria los vectores, F y ¥ es

in positivamente orientados si
«el vector & tene el mismo sentido que el vector @ xB.

EJERCICIOS 35
1. Hallar cl área de la figura de vértices ABCDE, donde

del

2, CaQ, 1 DO.) EX(-1.3)

2. Hallar las ccuacionescartesianas de los siguientes conjuntos de puntos:

4) Plano que pasa por los puntos 4=(1, 2 1 B=(-1,3,0) y CG, 1,3)
b) Recta perpendicular a las rectas
BED -1,2 y ANIM 5
y que pasa por su punto de intersesion,
9 Plano perpendicular a la recta de ecuación (1,2, 1)+-(—1, 2,0) que pasa por el

punto (~1, 2,3,

3. Demostrar que la distancia de un punto À a la recta B-+17 en el plano puede
«calcularse mediante la fórmula

na Bb. ba y Y

[Sugerencia liar ue el Ara de un paalelogramo ene plano puede espresso
como un determinante.) pres Ben

97. 10 Algebra y Geometria

4 Dada la pirámide de base ABCD y vértice E, donde A=(2, 0,0) 8=(3, 1,0,
CON D=(=1,0,0) y Est), 1,3) alla:

@) El área de la cara ABE

D) El área de la base

9 El volumen del prisma.

dj. La distancia ente las retas EB y DC,

+) El valor de la alu.

5. Hallar el volumen del prisma determinado por los vectores

Fe Bud

=
6 Demostrar ls siguientes propicdados del producto vectorial:

d xB, B=, xe), Fa)
D a 2 ía, Bye

Lé

CAPITULO 4

LOS NUMEROS COMPLEJOS

Los números complejos y sus propiedades
Formas trigonométrica y polar de un número complejo
Raices de números complejos

Resolución de ecuaciones algebraicas

Ejercicios de álgebra lineal con nimeros complejos

Las sucesivas ampliaciones delos sistemas de números se han realizado para
“acomodar resultados sorprendentes en ls sistemas de números conocidos, Estos
esultados sorprendentes provienen, en la mayor parte de los casos. de la
resolución de ecuaciones algebraicas.

Por ejemplo, a ecuación x+7==S, en la que solamente aparecen números.
naturales, no posee ningún número natural como solución; su solución es el
número negativo ~2. Los números naturales, junto con los números neg
tivos, forman el sistema de los números enteros. Este sistema de números es
insuficiente para resolver odas las ecuaciones algebraicas; la ccunción = 5 no
poses como solución ningún número entero; su solución es el námero fraccion
rio $/3. Los nümeros enteros, junto con los números fraccionais, forman el
conjunto de los nümeros racionales Estos números resultan insuficientes para
resolver ecuaciones cuadräicas por ejemplo, la ccución x=? no tiene un

número racional como solución; sus soluciones son los números iracionales /2
y —/2. Los nümeros racionales junto con los iracionle, forman e sistema de
los nümeres reales

En todos estos sistemas de números est
multiplicación, reta y división, que gener
nature,

Los números reales no son, sin embargo, suficientes para acoger en su seno

definidas las operaciones de sums
izan las operaciones con números

ws

98. 136 Algebra y Geometrie

las soluciones de toda covación cuadrática. La couación x? = 1 caos de toda
solución real, ya que el cuadrado de un nimero real es siempre un número
positive. Nos vemos,en la necesidad de ampliar el concepto de número para
nel aquellos que permitan resolver esta ecuación. La idea más sencilla, ya la
vez genial, es defini un «nuevo» número, i, de manera que satsfaga la lación
Fundamental 52-1. EI nuevo sistema de números que se obtiene añadiendo
ése y sus combinaciones a los números reales recibe el nombre de sistema de
números complejos. Las operaciones que con ellos Se realicen deben ser una
encralización de las correspondientes operaciones con números reales. Este
Capitulo está dedicado al estudio de los numeros complejos

41. LOS NUMEROS COMPLEJOS Y SUS PROPIEDADES.

Un múmero complejo es toda expresión de la forma

amor
donde a ÿ h son números reales e e un número que suistace = — 1. El número real
(a recbe el nombre de parte real del número complejo +, y se tepresena mediante
y el número real reibe e nombre de parte imaginaria de 2 y se representa
mediante impío)
La suma de dos números complejos es otto número complejo, que tene como pare
ella suma delas partes reales de cada uno de ellos, y como parte imaginaria la sumo.
de las parts imaginarias de cada uno de elos. así pues, si

+d

+ bi,

se tene que
DETENTE
El producto de dos números complejos es otro número complejo que se obtiene
multiplicando los aimeros complejos como si fueran polinomios en la variable ¿y
sustituyendo À por „1 siempre que aparezca. Tenemos, entoncs, que

adi +bci bai? (ad) + (ad + bel

224 (a+ bile +40

EeMPLO A. Queremos calcular [(3+29° (10); podemos utilizar el binomio
de Newton para calcular el cubo de (3 + 21 y obtenemos

O 6 Bi 9 +464

y

Capítulo $ Los números complejos 17

Por tant:

BD +(1 oF [1-9 +460 1 JP 8 4459 (894
+240 4$ie — 1961-7201

EJEMPLO B. Puesto que #= — |, tenemos que *=(—1)?=1; por tanto, si mes un
número natural que al diidrl entre 4 da detesto, 07 <4, es decir, m=álar, don
del es un número natural, se Vene que

2

P, ya que 43124 x 1073: puesto que =i

El cociente entre dos números complejos, de los cuales el divisor es no nulo, es otro

mero comple; deseamos hallar el cociente entre los números Complejos 2m u Di
yee bald, excribimos Lis

ashi

my

El número complejo x+y es el cociente entre

à se cumple que
(er dol ima bu

"Utilizando a definición de multiplicación de números complejos e igualando las partes
reales e imaginarias se tiene que

ES fácil obtener las soluciones de ete sitema

casdb chal

ea TEE

(Observar que la solución es única, ya que ci +42 90 por ser 740) Por tanto:

a+b catdb chat
Era ir

La formula para calcular el cociente de dos números complejos no es muy dificil de
recordar, sin embargo, es mucho más fácl calcular el cociente de dos números.

99. 18 Algebra y Geometria

complejos uilizando la noción de conjugado, Se denomina conjugado del número
‘al al mimero complejo

complio =

cdi

ue posee la misma parte real que 7, pero su pate imaginaria se ha cambiado design.
‘Al multiplicar un nümero complejo + =e-+ dí por su conjugado se Gene

EN

que coincide con el denominador delas parts rel e imaginaria del cociente entre 2
y 7. Esto sugicre que para calcula el cociente entre dos números complejos hasta
multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. En
efecto, este ilculo proporciona el resultado adecuado, ya que

ar ar hi endl (act bi) +00 ad _ac bd, head
desde nd" Hd ere ree

EseurLo €. Queremos expresar el número complejo

14
T+

tado

en la forma à + el numerador da como res

142-24 Db i=3

+20

Moltplicando numerador y denominador por 1-1 se tiene

1429

Ts

me is pope Ros aimee ae due me
(SD Auot
Le ta esi) labo de
(82) Commis
lesan (onto

Cap 4 Los números complejos 19

(69) Existencia de elemento neutro: el número complejo 0=0+08 satsace

+b

(e409 0=0 (a+ =
(59. Existencia de elemento opuestos el opuesto de a+ es ab
La mutipliacin de números complejos tine propiedades análogas a ls dela

suma; son las suite
MI) asociativas
Cab + = tr + te 0

(MD. Conmutatina

(o-bifesd=(o dyads)
(043), Esistencia de elemento nidad: el número complejo 121 4 06 satisface

+

a+ bm! = ab

(M4), Exit el inverso de todo número complejo distinto de cero: el inverso de un
número complejo 2=a +, no nulo, es otro número complejo x + Ji Al que

abc

Por tanto,
aii
et

de acuerdo con los resultados anteriores sobre el cociente de dos números
complejos
mente, la suma y la mulüplicaciön de números complejos están relacionadas
mediante la siguiente propiedad:

(DD Distributiva:
a bn ete + bine + D Hla bnles fi),

Fl lector no tendrá gran dificultad en comprobar las propiedades anteriormente

expuestas. Cuando un sistema de números con operaciones en definidas saisace las

propiedades anteriores recibe el nombre de cuerpo. Podemos hablar, entonces, del
Suerpo de los números complejos o del cuerpo de ls números reales,

HER
Ema.

TAO OF the
Depanranen
DOCUMENTACIÓN ©

Fac

UNIVERSIDAD DE LA

siatlorecn

100. 200 letra y Geometría

La validez de las operaciones con números complejos era cuestionada por varios
matemáticos anteriores al siglo XIX. El nombre de «imaginarios» que aún se da a los
meros complejos cuya pare real es mula cs un vestigio de ete escepticismo, Sin
‘embargo, a comienzos del sigo XIX una sencila interpretación geométrica de las
‘operaciones con números complejos hizo desaparecer estas sospechas. Esta inter.
prstción gcomética fue encontrada simultineamente por Wessel (1745-1818) Argand
(1768-1822) y Gauss (1777-1855.

Esta interpretación geométrica consiste en colocar la parte real de un número
‘complejo en un eje y su purle imaginaria en otro eje perpendicular al primero. El
primero de esos ejs se denomina ej realy el segundo eje imaginario. De esta forma.
todo números complejo queda representado en un plano mediante un vector, como.
puede apreciarse en a figua 1

La suma de dos números complejos es un número complejo cuya representación
gra coincide con la diagonal del paralelogramo que se obtiene con los des vectores
ados (véase figura 2.

Powe?

Ceptalo 4 Les números complejos 20

poder interpretar gcométricament la multiplicación de números complejos es
necesario recurrir a una nueva forma de ecrbilos. Est s har en la próxima sección,

EJERCICIOS 41

1. Calcul:

en re

2. Expresar os siguentes números complejos en la forma a+
Ini, 0-9, Ge
m ye o

3. Encontrar ls partes reales e imaginarias de

a

donde = a + bi
4 Encon

os mimeros complejos tales que su cuadrado sea 8-6
5. Demostrar las siguientes igualdades:

y Dane

donde z, y 23 son dos números complejos cualesquiera.

42. FORMAS TRIGONOMETRICA Y POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO

Se denomina múdulo de un número complejo 2 a+ i ala longitud del vector que
le representa, y se escribe de la forma Ir. Utilizando el teorema de Pitágoras se
tene que

rela arabe

“Todo número complejo posee un módulo posi
que posee módulo nulo

El ángulo que forma la dirección positiva del je ral con el vector que representa
al mimero complejo > se denomina argumento de + y se fepreseta mediante

0 excepto el número complejo =

101. m Algebra y Geometia

El argumento de un número complejo : no está determinado univocamente, sn
‘que puede variar en un miltplo de 300'>2x radianes. En cualquier caso,
trigonome¡ria elemental nos permite obtener

siempre que a sea no nulo
En el triángulo de La figura 1 puede observarse que

amreosa y bersena

y, por tanto:

Heosarisena)

que recibe el nombre de forma trigonomática del número comple

EJEMPLO A. Queremos escribir el número complejo 2= — 2 2 en forma trigono-

ini; su módulo es r= /474=2,/8 y su argumento a aida tga=—

Por tant, como el número complejo está en el segundo cuadrante, se tiene
Asi pues,

242302 loos136. 41351
lector puede también comprobar que
2200820" 415002907)

bienitndose as la forma trigonométrica del número complejo += 2.

Dados los números complejos =; =rcos+isena) y =3==lcos/'4iscn 0 en su
forma trigonométrica el resultado de multilicaros produce

cosacos sen asen f+ cosasen sem cos]

Uilizando ls fórmulas trigonométricas pura el coseno y el seno de una suma de
ángulos se tiene que

costa B+ isen ta 1)

De aqui se deduce que el módulo de un producto de números complejos es el
producto de los médulos de cada uno de elos y que su argumento es la suma de los
“argumentos de cada uno de ellos. Esta afirmación ene una representación geométrica
sencilla que puede observarse en la figura 3

Fa

102. 20 Alea y Geometría

Para interpretar gcométricamente el cociente 3/25. donde +; es nulo, clcolamos

primero el inverso de 7. Puesto que

eos fis)

se tene que
—
iy Neon f+ ten)

= eost-M+isent-M.

Por tanto,

eos lente“)

De ugui se deduce que el módulo de un cociente de números complejos ex el cociente
de los módulos de cada uno de ellos y que su argumento se obtiene restando del
argumento del dividendo el argumento del divisor,

Hemos probado que el módulo del producto de dos nümeros complejos es el
producto de los módulos de cada uno de elles. El módulo de la suma es, sin embargo,
menor o igual que la suma de los módulos de cada uno de ellos, es dei:

letal See

“dándose la igualdad únicamente en algunos casos particulares. La desigualdad anterior
65 una inmediata consecuencia de aplicarla desigualdad triangular al triángulo 048
(ease sección 3 del capitulo 3)

Fin a

Particularmente interesantes son algunos resultados que se obtienen vilizando el
conjugado de un número complejo zal Se Gene que

(a+b) +a) =2a~2real()
mb (a mir Zima)

Ema bike beat + bila?

Mi

Capital 4 Los mémers compos ms

Finalizamos eta sección dando una nuev forma de escribir un número complejo
En cualquier libro de anliis matemático puede encontrarse la fórmula

ees
rt re

Lo cuales una apicaión de la fórmula de Taylor para funciones de una variable. Dela
misma manera puede demostrarse que

osx rat
,

nn Le
Por tanto:

eos a+ senal

2)

Ce at ]

net

La similitud de esta última expresión entre corchetes, con la fórmula para e
“anteriormente dada, nos lleva a dar la siguente defnición

rerzrfoosaeisena),
que recibe el nombre de fórmula de Euler

La expresión re" se denomina forma polar de un número complejo; en ella está
contenida toda la información necesaria para que el número complejo quede determi
ado: están dados su módulo y su argumento.

EJERCICIOS 42

1. Calcular su módulo, su argumento y expresar los siguientes números complejos en
sus formas trigonométrca y pola

2 Clear eer ye

103. 206 Algebra y Gromería

4. Hallar el mödulo y el argumento delos siguientes números complejos, sin realizar
las operaciones:
(eo EA, 0

5. Si, y 23 son dos números complejos, demostrar que

6. Probar, sin efectuar clcolos, que si abi es no nulo, a+Bifa--b tiene siempre
módelo 1

7. Demostrar que

utlizando la fórmula de Euler

43. RAICES DE NUMEROS COMPLEJOS

“fraiemos ahora de encontrarla raiz ndsima de un número complejo; ese proble
ma tene una solución sencilla si el número complejo está escrito en forma trigonomé=

‘Odservemos, primero, que si descamos calcular la potencia mésima del número
complejo

zerleosatisena]
se tene que
er [cose isen ne).

sta fórmula, que recibe el nombre de formula de De Moitre (matemático inglés, 1667.
1758) se deduce det hecho de que al multiplicar dos númetos complejos el módulo es el
producto de cada uno de sus módulos y su argumento esla suma de cada uno de sus
“argumentos. Este resultado fue demostrado en la sección anterior.

Demostraremos a continuación que todo número complejo poseen races mdsimas
que son también números complejos, Dado el número complejo

comes fisco

Capitulo 4 Lo numeros complejo 20

una raiz mésima de o es cualquier número complejo que satisface ¿tm Para
encontrar à escribimos

a=rfcosiisena]

+ imponemos la condición de que su potencia mésima sea ux utilizando la fórmula de
De Moivre se deduce que

‘P[eosna+ isen na} = sos + sen
1gualando los módulos y los argumentos de estos dos números complejos se tien: que
Pes
mp+2tn, k=O, £1, 42.4
en donde se ha tenido en cuenta que dos números complejos iguales poseenargumen-
Los que diferen en un múltiplo entero de 360°= 2x radianes
Puesto que r y s son números reales posiivos se tiene que
ro

donde JF denota la única rai el posa del número ral posto 5. Además

E toate

et

son rales mdsimas de 0.

En la coleción infinita de nGmeros complejos (
ellos que se repiten. Observar, por ejemplo, que si
tiene que

y, anälogamente,

104. zu Acre y romería

Por tanto, ay=w, De manera similar puede demostrarse que si k es un entero
negativo, 0, coincide con algún w, con Or $ mL. Además, todos los «9, con
re(0, 1,2... n=!) son distimos, cómo puede comprobarse ficiimente. Así pues, 0
posee mraicescomplejas que escritas en forma polar som

awe

Lena nl

EJEMPLO A. Queremos calcular a races cúbicas del número complejo Sk puesto

qo od us id

etfonf sient fa]
a)
Let}

Tr

Capitulo 4 Lo nämeres complejos 29

se tiene que las rales pedidas sm

472 [eos 189" + ¡sen 189°)
feos 2614150260)

Loi à sen 331

Dela formal pars calcula Is res nis de un número complejo se deduce
ue odos las enn el mimo mio, saber hy us argumetosiferen en 2un
Fadiane: por tanto, ls tem de ests ies son Jos vns de un poligono regular
de lados inserto en ana cirunerencia de ado Y Este comportamiento puede
berne a os emplen amenors

Un caso park interesante © clar ls races ésas de, las cuales se
denominan res im de la undad Puesto que sun numero compo que ne
imidul del ere ateo dedace que los rum els as PINS
de la unidad son ls reise de un pligono regular dem lados incite cn una
Shcunereni de rado 1

Carament, una ri sima del unidades 1 el reo puden calcularse con la
fórmula anterior. Por ejemplo, las rates cuartas dela und son:

op feos0?-Fisen 01
a ES

105. 20 Algebra y Geometría

EJERCICIOS 43
Caleta os diferentes valores de
VAYA Y, I, VS

2. Calcular ls rice soxtas de la unidad,

3. Calcular ls raices cúbicas e a unidad. Sean éstas ey 1.0) y 0 demostrar que
4 y cy saitacn la ecuación xi +4 1=0 y ambas son conjugadas

44, RESOLUCION DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
Una ecuación algebraica es una ccuación de lu forma.

Hart o

onde los a, son mümeros complejos; en particular, si os a, son números reales la
ecuación anterior se dice que es una ecuación con coeficientes reales.

Se denomina solución dela cuación algebraica (1) a cualqier número comple
tal que al sustituir x por 2 en la parte izquierda de la ecuación y realizar las
‘operaciones indicadas se obtiene O como resultado.

"nicialmente podria pensarse que toda ccuación alebraica con coeficiente reales
posee soluciones reales Nada más lejos dela verdad, puesto que ya Sabemos que la
Ecuación 441-0 no posee soluciones reales, Sin embargo, posee las soluciones
complejas 1 y —i, Esto nos lleva a pensar que toda ecuación algebraica posee
soluciones complejas. Este resultado Se conoce con el nombre de teorema fundamental
del algebra y se enuncia así

Toda ecuación algebraica de la forma (1) posee una solución compleja.

La primera demostración correcta de este teorema es debida a C. F. Gauss la
“demostración más sencilla requiero conocimientos telativos a funciones de variable

compleja y se incluyo en cualquier curso dedicado a este tema,
Si, es una solución de (1), existen números complejos by,

won be al que

a ta an rt

Para demostrar ste resultado multiplicamos os polinomios de la parte derecha de
esta igualdad e igualamos sus coficientes con los del polinomio dela part iuierda.
Por este procedimiento se obtienen ls siguientes

ab,

Capitulo 4 Los números complejos au

igualdad nos permite encontar b,_ (2x conocido 5,
‘encontrar b,.; de la segunda igualdad, ya que
conocido by

do bs pees
podemos encontrar h,-, de la terera igualdad, ya que”

la ra)
Este proceso continúa hasta que se ha calculado bo de I penúli

1 igualdad:

bona tmb ma ala andina ra rates at

Esta igualdad coincide con as —21hw ya que , e solución dela ecuación (1) Este
procedimiento para calcular el polinamio x +-+bjx+hg se conoce con el
nombre de reyla de Rufin y puede exquematizarse como sigue:
De a
bi ab
CA]

Uitzando denuevo tor fundamental de cbr par la cac hd

spect Bose oben traslación compl ede) Replendo es See

N veces podemos escribir ds ee si
arta atrae, Ne)

Algunas de ls soluciones 2, pueden repetirse, con lo cual podemos escribir

atteste tax +

Baer

fan

El número €, se denomina multiplicidad de La ri: yj 1,2, k Tenemos, por tanto,
el siguiente resultado:

Toda ecuación algebratca dela forma (1) pose n soluciones complejas, donde cada
solución está contada el número de vece que indica su malplcidad

Econ nn los de un cación sra sn pola imposi de
resolver en general Sin embargo, en algunos caos particles, que aparecen con
mucha frecuencia, es posible encontrar las Goes “

cor la cuan laca ede grado y con deine ee, cs dc, de a

ar tat, ap a eR
la conocida fórmula

NS
2

os permite obtener sus soluciones.

106. an Algebra y Geometría

Si la ccuación algebraica es de grado 36 4 y con coeficientes reales, también existen
fórmulas para calcular sus Soluciones; estas formulas resulta bastante complicadas. El
lector interesado puede encontrarlas en e libro de A. G. Kurosch, Curso de álgebra
superior (Esioral Mir, 1977.

Ecuaciones algebraiess de la forma

Y-a=0

donde a es un número complejo se han resvelto en la sección anterior, ya que
simplemente se trata de calcula las rales mésimas del número complejo a

"Otros caos partculars pueden verse en os ejercicios al final de eta sección

Para finalizar es conveniente exponer un método para encontrar las soluciones
racionales, en particular las enteras, de una ecuación algebraica con coeficientes
enteros, ses que ésta posee algunas soluciones del mencionado tipo.

Supongamos que la ecuación algebraic con coeficientes enteros

ara tte +000 0

posee una solución racional de la forma 2 =M/N; siempre podemos suponer que M y
son primos entres ya que en caso contrario podemos elimina los fatores comunes
en ambos. Susituyendo 2 en a ecuación se tene:

o bien

40, MN okay MNT ag 0, e

La igualdad (2) puede escribirse de la forma

(UM a, MEN + NM a

Por tanto, M divide a ay" como M y N son primos ente si, deducimos que M ha de
ser un dr de a

La igualdad (2) también puede eseribrse de la forma

lage M MNT a NT

at

De aqui se deduce que N divide a aM" como M y N son primos ente si, deducimos.
que N ha de ser un divisor de oy

Resumiendo, las soluciones racionales de la ecuación algebraica con coeficientes
enteros (1) se encuentran entre aquellos números fraccionaris cuyo numerador es un
viser de ag y cuyo denominador es un divisor de oy

MS

Capito 4 Las números complejos as

HJEMPLO A. Para encontrar las soluciones dela ecuación

3014024230100,

intentamos averiguar spore soluciones raconses. Los divisores de ap —10 son
11,2 2,5 -5,10y -10
Los divisores de ay son
1443

Las posible soluciones racionales de la ecuación son

5.10, 10

Uno de estos nimeros es solución si al sustituirlo en a parte izquierda dela ccvaci
y realiza las operaciones indicadas se obtiene ceo como resultado, Por ejemplo, 2 10
fs solución, ya que

PI

-56+46-10=470,

Sin embargo, 2/3 es solución, ya que

4 56 46
100.

Haciendo uso de la regla de Ruffini o simplemente dividiendo el polinomio 34%
184423410 entre x=2/3 se tene

O

Por tanto, las otras dos soluciones de la ecuación son también solución de la ccuación
41450, éstas pueden obtenerse mediante la fórmula cuadrática

EME RE
2 5

A ue a 208 y 221 cs de ue a

107. 24

ExEMPLO B, Queremos encontrar

Si posee soluciones racionales, deben ser números enteros puesto que el denomina
dor ha de ser +1 (observar que el coeficiente de x es 1) Esas posibles soluciones son
dos divisores de —2, es decir.

27-2

Después de algunos intentos se concluye que x=—1 y x=2 son soluciones de la
ecuación dada: en elect:

(Ci +1 + 1-200

PPP 2-22 16-84-2200

(Una vez dividido el polinomio x*—x?~x*—x—2 entre (x+ 1) y (12) se tene como
divisor al polinomio xl. Las soluciones de x? + 10 son iy -ı. Por tant, las
soluciones de la ecuación dada son

nets y nel

EJERCICIOS 44

1. Resolver las siguientes ecuaciones algebraicas
a) 109 + 35x20" +2420. [Sols 1, 2,3, 4]

Den [Sol: 1

a Pare 6-0 (Sol: 2,

2

owas see dae EHEN RN)

© KH 71440, [Sugerencia hacer x? 2] (Sol: 3, —3, 44, 41]
2. Demostrar la igualdad (sta: 4 8°+ 1e Ima — Utilizar este resultado
para encontrar las soluciones de la ecuación x" 4 +254 x 120.

A. Demostrar que si = es una solución compleja de una ecuación algebraica con
Ssefienes reales, 2 es también solución de la misma ecuación.

44. Encontrar las raices de la ecuación x2+2x-+1—21=0 completando cuadrados
¿Contradis el resultado de este problema lo demostrado en el problema anterio?

Capitulo 4 Los números complejo as

45. EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL CON NUMEROS COMPLEJOS

Todos os conceptos introducidos en ls capítulos 1 y 2, si como os resultados all
obtenidos, pueden ser generalizados a los números complejos. Por recordar algunos
itaremos el método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones nales el
concepto de dependencia e independencia lineal de vectores, el determinante de una.
matriz yla regla de Cramer,

En esta sección proponemos ejercicios relativos a estos conceptos y resultados, en
los cuales se utlzan números complejos, Estos ejercicios sirven, además, de repaso de
los capitulos 1 y 2.

En los ejercicios que siguen € denota el conjunto de los números complejos. De
acuerdo con esta notación, C* es el conjunto de todos los elementos de la forma
LE En 5) donde cada 46€.

1. Utilizar el método de climinación de Gauss para resolver, si es posible, los
siguientes sistemas de ecuaciones lineales con coeficentes complejos

Actos Dane | @ Km]
spat pren!
RER re)

2. Determinar si os siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes 0
independientes y en caso de que scan liealment dependientes encontrar una combi
mación linea) entre ellos

9 ED (RA

9 10, 141.0,1-0, 0,44 Lea, (1, 12-20}

3. Escribi las matrices de las siguientes aplicaciones lineales

a) SCHE tal que feu za 2) =e, +
DOC tal que wey. nel

4 Si 9 y h son las aplicaciones del ejercicio 3, calcular
a hf Dak dat à gh
5. Calcular los siguientes determinantes:

108. 26 Algebra» Geometia

6. Mala las inversas dela siguientes matrices, calculando primero la matriz de los
colactores:

TN
°() Dati for à

ue i to doo 1}
7. ilar a cel de Cramer para resolve los siguientes sitemas de comciones
Tne con totes camp

9 ntm

E. Encontrar el rango de ls siguientes matrices

aft fa gf a
bo :) Kr )

ai]
9. Encontrar el rango dela matriz

para los distintos valores del número comple =

10, Estudiar la compatibilidad o incompatibilidad de los siguientes sitemas y
resolverlos en el caso de que sean compatibles

a D start) à mine
precie” II
Sin] |

MS

CAPITULO 5

ESPACIOS VECTORIALES

51.. Definición de espacio vectorial. Ejemplos
52. Base y dimensión de un espacio vectorial

53. Cambio de base

54. Subespacios vectoriales. Inersección y suma de subespacios vectoriales
55, Variedades lineales. Espacio afin

51. DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL. EJEMPLOS

El conjunto de ls mimeros reales y el conjunto delos números complejos, con los
cuales se ha trabajado en los capitulos anteriores, tienen propiedades similares En
ambos pueden definirse dos operaciones + y- que suifacn ciertas propiedades estas
propiedades han sido enumeradas para los nómeros complejos en la primera seción
del capitulo 4 Un conjunto en el que se han defnido dos operaciones + 3 > que
satisfacen ls propiedades (SI) (S4) y (MI) (MA) enunciadas en el capitulo 4 para
los números complejos, recibe el nombre de cuerpo. Obseriemos que todos los
resultados obtenidos en los Capítulos 1 y 2 son ceros en cualquier Cuerpo, con tal
que el cuerpo posea infrios elementos,

Todos los resultados de los tes capitulos siguientes son ciertos en cuerpos similares,
a R, que denota el cuerpo de los números reales, y a C, que denota.el cuerpo de los
"números complejos Sin embargo, nosotros trabujaremos fundamentalmente con À y
€, los cuales se denotarán por &.

AL estudiar el conjunto de todos los tectues en el espacio hemos definido la suma
de vestoes yla multiplicación por un número tea! y enunciado las propiedades que
‘atisfacian(véase son 2 del Capitulo D

Otros conjuntos alos cuales se ls puede dotar de una estructura similar ala del
conjunto de todos os vectores en el espacio son los conjuntos formados por matrices.

a

109. zu Algebra y Geometria

Si denotamos por Mn} al conjunto de todas las matrices de m las ym
<olumpas con elementos enel cuerpo K, se ha demostrado en la sección 3 del capitulo
À que sauce las mismas propiedades que los vectores, al menos cuando K es el
cuerpo de los mimeros reales. Iguales resultados se obtienen si K coincide con C.

‘Eo la mama seceiön en que se estudiaron Ins propiedades de las matrices se
definieron operaciones con aplicaciones Inales de R” en R° y se estudiaron sus
propiedades, Estas son análogas a las propiedades de las matrices, Por tanto, el
Conjunto He, 51) de todas las aplicaciones lincales de Ren A" tiene la misma
estructura que los vectores en el espacio y las matrices

‘Cuando en varios conjuntos stints aparecen estructura similares es conveniente
axiomatizar Éstas y dar un nombre al eme resultante. La principal ventaja que se
Shine es que estudiando esta estructura, quedan estudiadas todas las estructuras
particulares que en ela se encuadran, Cuando en un conjunto se da una estrutur
Similar a a de los ejemplos anteriores, se die que se tiene un espacio sectorial.

DEFINICIÓN (Espacio vectorial)
Un conjunto Y cuyos elementos se denotan mediante ZT. se dise que
+ un espacio veetoril sobre el cuerpo K, sien & se han definido dos operacio»
Fes lo suma, + de manera que a cada par de elementos © y Y de Y sol hace
Sorresponder el elemento + de Y denominado suma de y, y la multiplica.
«ión por escalares, de manera que a todo elemento de V ya todo elemento a de
Hove le eo corresponder el elemento a de Y que salifacen as siguientes
propiedades:
(1) (Conmutativa) 7 +F=047 para todo 7, F de Y.
(82) (asociativa) WAFFE) +0)4 para todo HF y W de Y
(83), Existe un elemento de Y, designado por y denominado neutro, tl que
w+0=u para todo @ de Y
(89 Para todo de Y existe un elem
do opuesto de tal que +40)
(att) liza para todo 17 de Y donde 1 denota el elemento unidad de K.
(M2) abi) (abit para todo # de V y todo a,b de K.
(M3) (a+ DJ mar + para todo © de V y todo a,b de K.

10, designado por —17 y denomina

(Ma) at + E) al +a¥ para todo iF de Y y todo a de K.

Notas. 1) Los elementos de un espacio vectorial reciben el nombre genérico
de vectores y en general se utiliza a notación indicada en la definición para
¿enotarlos Esto no es obstáculo para que en algunos casos particulares, por
ejemplo, matrices o aplicaciones, se ute la notación propia de cada caso,

3) Las propiedades de (SI a (4) se reeren ula suma, las propiedades (MI)
y (M2) se referen exclusivamente a la multiplicación por scalares y Tas prop
ade (M3) y (MS) son ls ditributics de una operación con respecto ala otra

5) SIR es se dive que Yes un espacio vectorial pal y si Kes © se die que
V es un espacio vectorial complejo.

Capito $. Espacios veces 29

4) _De(S3,.(S8) y la propiedad conmutativ se deduce que O + =0 y (1)

EJEMPLO A. 1) El conjunto de los vectores en el plano Y, o el conjunto delos
estores en el paco Y cn las operaciones dadas en capitulo À son espacios

2) El conjunto Mu. 4K)=-4(.,, de todas las matrices de m fas y n columnas
con elementos en K es un espacio vectorial sobre el cuerpo K.

EsEMPLO BL El conjunto

Komi a RER Je

a)

‘on las operaciones

eg Pa D EI RE Ktn
A ax)

55 un espacio vectorial sobre K, como fácilmente puede comprobarse.
En particular, Res un espacio vectorial real y Ce un espacio vectorial complejo.

EJEMPLO C. Sea R™ el conjunto de todas las sucesiónes de la forma (a

(aya, =) con ajeR, con ls operaciones

(di A la, Y la laa

Se deja par el letra comprobación de que este conjunto es un espacio vectorial ral
con las operaciones que acabamos de definir

en la variable x

EJEMPLO D. Sea Py{x] el conjunto de todos los polinomi
sobre el cuerpo K, es desir todos los elementos de la forma

pto: en
En él definimos las siguientes operaciones: dados
worn San! y ade En

on m 3 n su suma es

mann Eee À

110. 20 sera y Geometría

Dado uk, definimos

an À faa
¿on esas operaciones Py) s un espacio veto sobre 6
enotamos or PRÉ) af conte de odo ls polinomios en la variable x, de
rad menos gual que ieoemos de MO un esto sectorial, co las mis
Speraciones que en POI

ExEMPLO E. Sea Cu, AI) el conjunto de todas ls funciones continus definidas
en el intervalo ral [a PJ con valores en R; con las operaciones

MIND y (AMIA

puede comprobarse que C([a BD) es un espacio vectorial. El elemento neutro de este
espacio vectorial esla aplicación mula.

EMPLO F. Sea UA, Re conjunto de toda ls aplicaciones incales de Ren
‘hen Ia sección 3 del capitulo 1 se han definido operaciones en este conjunto y se ha
visto que saítacen las propiedades requeridas para ser un espacio vectorial real.

Expo G, Ha llegado el momento de mostrar algunas estructuras que no.
satisfacen todos los axiomas de un espacio vectorial. Si denotamos por D al conjunto
‘de todas las matices cuadradas con determinante nulo y en & definimos las mismas

'D no es un espacio vectorial: para ello basa observar que

e)

son matrices con determinante nulo, mientras que A+B tiene determinante 1
"Tampoco el conjunto de todos los polinomios de grado exactamente n es un
espacio vetoral con las operaciones definidas en Py (x).

Expurto H, Un ejemplo muy importante es el conjunto S(4) de soluciones del
sistema homogéneo

AED, AGA AR) w

onde Lau. a. Xe Ya sabemos que Ÿ es siempre solución de (I) y de los

resultados de la sección 2 del capítulo 1 se deduce que si Y e son soluciones de (1) y

eR, FAY y ax son soluciones de 1

Para terminar esta sección daremos algunos resultados quese deducen inmediata:
mente de las propiedades que deinen un espacio vectorial.

Capito $ Espacios vcore 21

PROPOSICIÓN 1

El elemento neutro de un espacio vectorial es único.

Demostración. Supongamos que, y 3; son dos elementos neutros de un espacio
vectorial E; por ser O, un elemento neutro se tiene que 0, 20,07. por ser Oy un
elemento neutro se tiene que O; +0,=0,; puesto que 0,+0,—0,+0, debido à la
Propiedad conmutativa, deducimos que 0,=0,, mostrandose asi la unicidad del
elemento neutro. =

PROPOSICIÓN 2

EI opuesto de cada elemento en un espacio vectorial es único,

Demostración. Supongamos que el elemento 37 posse dos opusstos Ty Fs de la
deficiôn de opuesto se deduce que U'+1,=0. Sumando Y; a ambos lados de esta
ecuación y utilizando la propiedades (SI (52) y (53) de espacio vectorial se tiene que

A A
AS

De aqui deducimos que Y, <2}. .

PROPOSICIÓN 3
Para todo 7 de un espacio vectorial F 0-1 =.

Demosracién. Tenemos la siguiente cadena de igualdades debida a varios de los
axiomas de la definición de espacio vetoral

O+D=0ur+ 1-5

sto implica que 0-17 es el neato del espacio vectorial H y por tanto, 0-70. M

Proposición 4

Para todo clemento 4 de wn espacio vectorial Y (IN es su opuesto.

Demostración. Tenemos que

TIT NH CUS EC

cn donde se ha utlizado (M). (M3) y la proposición 3. Puesto que e inverso es único,
debido a la proposición 2, queda probado el resultado. 7

111. m Aled y Geometría

PROPOSICIÓN $—

En todo espacio vectorial Y a-Ú=Ú, donde ack y es el elemento neutro

der

Demostración. a:U=a(0+T)=0-0 +2; sumando el opuesto de a- en ambos
lados se tiene «=U, que era lo que queriamos demostrar 7

52. BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

Sea Y un espacio vectorial sobre un cuerpo K; un número finito de vectores
Mi Us. se die que son linealmente dependientes Si exsten n elementos de K
au a: de, no todos nulos al que

Herta 0

Silos vectores Hy. Fs E, no son linealmente dependientes, se dice que son
linealmente independientes por tanto, los vectores U, Ty, 7, son linealmente
independientes st cualquier igualdad como la que aparece en (*) implica que todos los
elementos de K, dy, 3,» dy son malos.

Shen la igualdad (*) a, es no nulo, podemos escribir

decimos entonces que Y, es una combinación lineal de los vestores Fy js Y En
general diremos que Te combinación lineal de los vectores E Fs. 6 sl existen À
ümeros dy dyn 0, de K al que

Peat 40st + +h

Un conjunto finito de vectores [Fi Tym» Fi} de un espacio vectorial Y se die que
es un sistema de generadores de V si todo cemento de Y puede escribis como una
ombinación lineal delos vectores FF Uy
"Antes de exponer algunos ejemplos es conveniente realiza algunas observaciones.
En primer lugar, observamos que todo conjuro finito de vectores que contiene al
clement neuro es lnealmente dependiente; basta observar que

F404 OAT
para cualquier ae.

Tin segundo lugar, observaremos que todo conjunto Anto de cecores linealmente
inependiemes no puede contener un subeonjunto de vectores que sean lnealmente

(Capito Espacios vectoriales a

dependientes. En elcto, si Ti.

E son linsament independents y suponeno
comodidad de notación, que Y, r réa dienes tendriamos

"AS n, son linealmente dependientes tendriamos

¿on no todos los a, igual a cero; basta observar que, entonces,
AñO + HOT AT,
con lo cual los vectores originales seria linclmente dependientes

EJEMPLO A. ‘Tes vectores no nulos en Y son siempre linealment
Para demostrarlo tomar. g pte linealmente dependientes

(wah le Wenn)
tres vectores cualesquiera de 1, La igualdad

etat tape
se traduce en

aut 05+, =0
au 40,4 20-0
que es un sistema de dos caciones con tres incgnits
poseo ue rng el maiz de los coute ler, ue ima
omogne pss infinite soluciones Bas epi un no ua pre ee edo
Este estado puede demostrarse también go

métcament como puede aprecias

cata Agua adjunta. La eta que contiene a ret que paral D pa por

112. zu sehr y Geometria

al euremo de se coran en un pun. Obie ques nas rca no se cortan. iy
son propoctonae yu abcios probado let. En laura se observa que
OH: por ano

10 cual prueba el resultado descado.

Este mismo razonamiento muestra que dos vectores linealmente independientes
cualesquiera de Y, son siempre un sistema de generadores de este espacio vectorial.

EEMPLO B. En general, 41 vectores de 4" son linealmente dependientes; basta
‘observar que esta afmación se reduce a demostrar la existencia de solucuones no
nulas de un sistema homogéneo de ecuaciones con n+! incógnitas (ver ejemplo Ak:
ese último resaltado es cierro por el teorema de Rouché-Frobenius,

"En RE puede darse una demostración geométrica de este resultado. Supongamos
‘que y y Y son tes vectores de R° linealmente independienes Por el extremo de
i, se raza una paralela à 4, hasta que cont al plano que determinan 1, y Ws
Tenemos que

m=0B+84

Puesto que OB es un vector del plano determinado por i, y Ws tien que OB.
‘Fant, Utilizando este resultado junto con el hecho de que BA «ar se tiene que

mena tests bast

Silos vectores a y I fueran Hncalmente dependientes se tendría una igunldad de
la forma ay, Fai +2, =Ó y, por tanto, los cuatro vectores serían linealmente
dependientes, ya que tendriamos la igualdad

a + 0-0.

Copie $. Espaces rectoría »s

Este razonamiento muestra, ademis, que tes vectores cualesquiera linealmente

independientes de R? son siempre un sistema de generadores de este espacio vectorial
EJEMPLO €. 1) Las funciones pus) pila, pul

linealmente independientes, ya que si tenemos la igualdad

rate tao

para todo eR se ha de tener a
Sección 4 del capítulo 2)

2), Las funciones f(s) cos! x, x)= sen x y Mx)=1 son linealmente dependientes
en Ci, 2x] ya que

=0,=0 (véase el problema 15 de la

Dermucion 1 ge «+
Un conjunta finito de vectores (2,2...) se dice que es una hase de
espacio vectorial Y si se cumplen las dos siguientes condiciones
D Los vectores 2,2...7, son linalmente independientes, y

2) Todo elemento de Yes una combinación lineal de los vectores
Tot

Observar que la condición 2) de esta deinición es equivalente al hecho de que el
conjunto de vectores (4...) sea un sistema de generadores de # Sin embargo.
no todo el sistema de generadores de un espacio vectorial Ves una base convénzase el
lector por su propia cuenta de que tres vectores en Va, dos de los cuales son
linealmente independientes, son un sistema de generadores de Vj; sin embargo, no
pueden formar una base de Y, ya que son linealmente dependientes, como sc ha
mostrado en el ejemplo À

ErEWPLO D. Si Z,=(0... 1. Oje”, donde el 1 ocupa el lugar jo tiene que
(8.8.8) son linealmente independientes, ya que si

4F/=0.0, .,0)

se tene que (ue 4. 0)=/0,0.. 0), Por tanto, a,
Ge Au CHE Se tene que

0,0, Además, sí Y

baz

Por tano, (Zi... 4} es una base de K', que recibe el nombre de hase canónica de
este espacio.

113. 26 Algebra y Geometría

EyEMPLO Es 1) El conjunto (1, x xx] es una base de PRI. ya que son
linealmente independientes de acuerdo con el resultado del ejemplo C, y todo polino-
mio p de grado inferior o igual à n puede escribirse de la forma.

a

2), Elconjunto (1, x, x, X) no es una base de Pax) ya que el polinomio plu
no es combinación lineal de ésos

EJEMPLO F. Las matrices

ee)

son una base de M:

ee)

0. Además 5
A
“(2

Arab, DES +08 HE
... NS

AH Son lnealmente independientes, ya que

implica a, =; = a; as

podemos escribir

Si (Zi... 7) es una base de un espacio vectorial Y y Y es cualquier elemento de
Y podemos escribir Y como combinación lineal de 2,7%... , de la forma

con 1,EHK. Los números 1 0. … 1, se denominan componentes de con respecto a
base E... ©, Las Componentes de un vector Y con respeto a una bate son únicas,
ya que seremos.

Partit

NA

se tone también que

Deo Het HOE

aile $ Espacios vcoils ar

2B, son lincalmente independientes hemos de tener =
2 lo que queríamos demostrar.

Un mismo espacio vectorial puede poseer varias bass: muestro próximo objetivo es
demostrar que todas elas han de poseer el mismo número de elementos.

PROPOSICION 2

Si Y es un espacio vectorial que pose una base con elementos, cualesquier
+1 vectores de Y son linealmente dependientes

Demostración. Sea (E, Ts...) una base de Y y sean Sy, Toon Ku Y,
ualesquiera n+ vectores de Y podemos escribir

A Seo = o

Esto es equivalente a escribir

a(S oseea( See

Igualando las componentes se tine

aa tant AO tar Jl, 2

que es un sistema de n ceuaciones con 141 incógnitas; puesto que el sistema
65 homogéneo, siempre ha de poseer una solución no trivial sto demuestra el
salado. 7

De esta proposición se deduce un resultado un poco más general: en un espacio
vectorial V que pose una base con n elements, eualesquiera m estres de Y con m > m,
som linealmente dependiente, Basta observa que 1-+ de os m vestores dados han de
ser linealmente dependientes, dbido ala proposición 2 y por tanto, todos ellos han de
formar un conjunto de vectores incalmente dependiente,

Este resultado se aplica enla demostración del siguiente teorem

114. 2 Algebra y Geometria

Teoneua 3 —
Tess ase de un mano po vr Y pene mimo número «|
so

Demostración. Sean (Fy Fa E) y (Tix Es Ea) dos bases de V por el
razonamiento anterior m & m, ya que en caso contrario Tos vectores de a segunda base
‘rian Iincalmente dependientes. Similarmente, n 5 m, ya que en caso contrario los
‘estos rir Bso sen naines dependents. Se ne, por tanto, que

El número de elementos que posee una base cualquiera de un espacio vectorial Y
recibe el nombre de dimensión de V; este nümero será designado mediante dim).

Si el espacio vectorial sólo contiene un elemento, que necesariamente ha de ser su
elemento metro, es decir, V= (0), diremos que Y üene dimensión cero, Las razones
para dar esta definición se verán claramente más adelante.

De los ejemplos que hemos realizado anteriormente podemos deducir los siguientes
resultados:

1 da dimensión de K° es
2) la dimensión de PRA] es mé
3) la dimensión de Az.) es 4

dimensión de Mn.) es man

En general, tenemos que

oROsOGH à AS
SY un sac veo dines Todo coja den sea >]

que sean Incalmente independiente son una base de Y

Demostración. Sean Wy Wy, oy n vectores lincalmente independiente; si os
cualquier otro vector de Y los vetores U, i, 7, Son linealmente dependientes
por la proposición 2; por tanto, existe do. dy. ye tal que

ü

aro 03+

con algún 4,70, El número 2, debe ser no nulo, ya que en caso contrario los vectores
Y. a. o serian Nncalmente dependientes. Por tanto:

y queda probado que (7, es un sistema de generadores de YM

Capito $. Espacios vctoites 29
EJEMPLO G. Los vectores (1, 0, 1,04 3,1, 0.0) F3 =(1, —1,0,0) y Fa
(0,0. 1, —1) son linealmente independientes en RS, ya que
10 1 0
Hoi ol,
ro ot
wo 0-1

Por la proposición 4 son una buse de RS, ya que dim(R*)=4.

{Una forma de encontrar una base de un espacio vectorial Y es «anadir» vectores a
un conjunto de vectors linealmente independientes de V la forma de «anadirlos» se
explica en la demostración de la siguiente proposición:

PROPOSICIÓN 5...

Sea Y un espacio vectorial de dimensión finita; todo conjunto de vectores
linealmente independientes de Y puede completarse para obtener una base, 5
deci, dados vectors 7, Fa 8, kn, de Y, linealmente independientes,
existen nak vectores "irom Fy de Y tal que el conjumto
Men Es Faden 68 una Dase de Y

Demosiración.. Puesto que & es inferior à # podemos encontrar un elemento de Y
lincalmente independiente can Ey Tn... Ex en caso contrario, los vectores
Bi, E. 7 formarian una base de Y Sea 2,1 este vector El razonamiento e repite
com el conjunto LE, u Za.) hasta encontrar vectores incalmente independientes.
‘gue han de ser necesariamente una base, por la proposición 4 =

Supongamos que Y es un espacio vectorial de dimensión finita m acabamos de
probar que £ vectores linealmente independientes de Y pueden «completarse» para
obtener una base. Demostraremos a continusciön que s Ses un sistema de penerado-
res de V de dl puede extraerse una base de Y. Antes de demostrar ese resultado
necesitamos el Suient lema

Lema 6

Supongamos que dim(V)=n; sea $ un sistema de generadores de Y y
supongamos que $=5, US, donde S, y 8, son disjuntos. Silos elementos de S,
son combinación tinea de los elementos de S,. S, es también un sistema de
generadores de Y

115. ee

20 Algebra y Geometrie

Demostración. Supongamos, para evitar complicaciones de notación, que Sy
een) 9 Salón «y Tal. Puesto que los elementos de S, son combinación
lineal de los elementos de 9, tenemos que

NS

Si X.Y, puesto que $ es un sitema de generadores de Y se tiene que

so Ext À ne

Ele)

ot (Erna ue, E aja

Esto prueba que 5, es un sistema de generadores de Y .
PROPOSICION 7.

Sea $ un sistema de generadores de un espacio vectorial Y de dimension m
podemos encontrar un subconjunto S, de S que sea una base de Y

Demostración. Elegir 25 tal que i, # Testo siempre puede hacerse salvo enel
caso en que Y= (0) Gi V=(0) la proposición es una trivialidad) Flegr a continua
Sión Wye tal que #, es independiente con Wy. Suponiendo que hemos clegido

"gi F,, 25 que ses linealment independiente con los anteriores Este
proceso se Continúa hasta que es imposible encontrar vectores de $ linealmente
Independienies con los anteriores Sea

Se

«el subconjunto de $ obtenido de esta manera. Por el ma anterior, 5, es un sistema de
fencradores de Y. Debido a la elección realizada, los vectores de $, son linealmente
Independients: por tanto, $, cs una base de Y Se termina asi la demostración dela
proposición 7.

Terminamos esta seción haciendo unos comentaris acerca dela dependencia o
Independencia lineal de subconjuntos infinitos de un espacio sectorial.

Un conuno infinito $ de clementos de un espacio vectorial Y se die Inealmente
independiente si evaluier subconjunto finito de 5 es linealmente independiente. En

apto $ Faces vectores au

caso contrario, S se dice Inralmente dependen; es dei, 5 s linealmente dependiente
Si existe un subconjunto finito de Él que es linealmente dependents

Un espacio vectorial Y en el que se puede encontrar un subconjunto $
independiente y con infinitos elementos, se dice que tene dimensión infinita.

‘Los espacios vectoriales Py(x) y CO 2x), introducidos en la seción anterior,
son espacios vectoriales de dimensión infinita. El conjunto S= {wine} es un
«conjunto linealmente independiente en PC]. El conjunto S= {cos mx, seamen ney es
un conjunto inalmente independiente en CO, 2e]} De las ds últimas afirmaciones
anteriores la primera es sencilla de demostrar, la segunda es más complicada y se pide
su demostración por parte del lector en el ejercicio 13 de la Siguiente sección: en ete
ejercicio se dan las sugerencias adecuadas para facilitar su resolució.

calmente

53. CAMBIO DE BASE

Supongamos que un espacio vectorial Y de dimensión finita posee dos bases

uF aE) Y BAT

Denominaremos base antigua a la primera de ells y Base nueva la segunda. Como
todo elemento de la base nueva se escribe como combinación lineal de los elementos
de la base antigua podemos escribe

di tent uw

tarte,

Puesto que es conveniente que el letor se familiarie con notaciones abrevisé
escribiremos (1) de la forma

ir ka

iremos entonces que la mueva base se obtiene de la antigua mediante la matriz

nalen an = an

donde la j-ésima columna de 4 son las componentes del vector 7) con respecto ala
base antigua, jot, 2..,m La matriz À se denomina matriz del cambio de base,

116. an Act y Geomeni
‘Cuando, por necesidades de notación sea necesario hacer constar las bases B y 4
cseribiremos

Au

Si B y B coinciden se tiene que MET... La matriz 1, 6 invertible; esto sucede
para cualquier matriz de un cambio de base, como s demuestra en la siguiente

proposición

PROPOSICIÓN 1.

La matriz À del cambio de base de 8 a Bes invertible y su inversa es la
matriz del cambio de base de Ba B. Podemos, por tant, escribi.

a

Demostración. Para demostrar que A es invertible es suficiente demostrar que su
determinante cs no nulo (véanse los resultados del capítulo 2) Ciestamente, el
determinante de Aes no nulo, ya que delo contrario sus columnas y, por consiguiente,
fos vectores 2j En de la base B, seran linealmente dependientes

Sea d= (y el matriz del cambio de base de Ba B; hemos de demostrar
que #24". Por dehniiön de A” tenemos

Ge de, jot dam
por definición de 4 seremos
Fin Dat, han

Por tanto,

man) § (gun)

Puesto que
matrices À y A se tiene que

audi es él clemento que ocupo el lugar (kj) en el producto de las.

DROITE.

Esto demuestra el resultado descado. .

Capítlo $ Espacios rectos as

Tratemos ahora de relciona entre si ls coordenadas de un mismo vector en las
bases nueva By antigua B. Supongamos que Ke Y,

ARE e

y ademis:

+. o

Susttuyendo en (3) las expresiones dadas en (1) obtenemos

(Ean)eu(£an)e-u(far)-

a rt Ha Fahrt
Hat aN Hs Es

Comparando esta última igualdad con (2) podemos escribir

a

OA a

po pu

Si convenimos en escribir Y =| 2 las componentes del vector X en la

antigua y en la mueva base, respectivamente, (4) se escribe brevemente de la forma

Esto nos permite obtener las coordenadas del vector Y en la base antigua conociendo
las coordenadas del mismo vector en la nueva base.

EJEMPLO A. Sea Fj (1. 0,0) %=(0, 1,0), 2,=10.0, 1) la ase canónica de RY
Dadas las bases

TFT wees wy

MEE, er, Get

encontar las coordenadas del vector x = 342i, en a base i,
observando que ambos conjuros son bases de PP.
Podeme: escribir © =z, +2, + 22, = 34, #26 +

Vi, Wi). Comenzar

Fl problema queda reducido

117. au Algebra y Geometría

‘encontrar la matriz del cambio de base de ff. 2, 5} a (ri. F5}. De las
expresiones dadas dedueimos que la matiz del cambio de base es

EHE

lo, B= Bh +

EleMPLO E. Sean Zi, 7; dos vectores perpendiculares unitarios en R? en la
dirección de los ejes de coordenadas cartesianas. Gitando los ejes de coordenadas un
ángulo à en sentido posto (ontario las agujas del el se obiene una nueva
bate 65, 6. ¿Cuál e la matriz del cambio de base”.

En cl dibujo se observa que

(00 9), Hen de,

einen (+0) 5 (re)

con lo que la matriz del cambio de base es

alos 72)

AA

Capido $. Espacisvecoiles 2s

8 antiguas a través de as“nuevas vienen dadas por

o

EJERCICIOS (SECCIONES $, $2 y 53)

1. a) Desir si el conjunto F={feCI[O, 1 2/001=/(0) es un espacio vectorial con
Jas mismas operaciones que las denis en CID, 1).
D) Decir si el conjumo

fe

65 un espacio vectorial con las mismas operaciones que las definidas en 4, BI

Y a-hrcaet)

2. Estudiar si as siguientes familias de vectores son lincalmemte dependientes 0

independientes:

ORTENU ECS

PY 10. 9.44 =D) = C* (como espacio vectorial sobre ©).

9 fem emo om) Col, 1) donde Cc((O, 1) denota las funciones conti
as definidas en 0, 1) son valores en €.

216 enn

9 {sen mt, sen 210) © CeO, 17

3. Encontrar los valores de 3 par los cuales los vectores (1) (,
son linealmente dependientes en C2,

4. Demostrar que en C* puede defnirse una estructura de espacio vectorial ea
¿Cuál esla dimensión de ete espacio?

y 013

5. Estudiar silos siguientes conjuntos son bases del espacio vectorial dado:
2) {1 043, HR (cr) en POLO,

O
II Yen

6. Encontrar una base de R* que contenga a los vectores (0.0.

(8)

Ny 0,100)

118. 26 Algebra y Gromeris

7. Estudiar si las aplicaciones lineal fi fa fy y fa dadas por fi. atu 1:
Fag A A 82) Be D 9 ays Ra +2. 1) forman una hase de
TB, Ra,

8. Sean py(sh al pt) polinomios y supongamos que

led) pda) << paa!
pias pau + dar),
pas pa) pan!

para algunos números reales a, Demostrar que el conjunto {ps Pa} = A &
lincalmente independiente en Pat)
3. Dada una matriz 46.4, 4) definimos su traza como la suma de los elementos

de su diagonal principales dci, si A=(4,).,=;... traza (A)= Ÿ ay. Demostrar que

To {he de Mt traza

65 un espacio vectorial con las operaciones deiidas en (#0), ¿Cuáles la dimen
Sion del espacio 77

10. a) Demostrar que los siguientes conjuntos son bases de Rt

Bim {ri =(1,1,0,0) F,=00,1,0.0) E3=(0,0,1, 1) 90.0.0, 9)
Ba (Mi =(1,2,0,0) Gel Ill, = he 1, =I 960,1, 1,0)

b) Encontrar las components del vector = 35, + 25; con respecto a la base

2) Demostrar que iy ys) es una base de Mr.
D) Expresar el vector € =e, +2 +--+ E, como una combin
vectores iy

on lineal de los

12. Demostrar que el conjunto S=(x+1 (X= x2 <1, +1} es un sistema de
generadores de PÍP[e],Encontear un subconjunto S, de que sea una base de PET),

12. Demostrar que el conjunto

Sos, sum].

Caine $ Espaces pois a7

«es linealmente independiente en CO, 25]) [Sugerenca: observar que

[eme [anne nmen

[ comands [ennemie

| " senmaisenmejdr=0
änsmnmen)

14. Sea Y un espacio vectorial de dimensión n y B = (2, .. 2} una base de Y Sea A
=faykyen... Una matriz de orden n con determinante no nulo. Demostrar que

es una base de Y (Observar que este resultado e el recíproco de la primera parte dela
proposición Y de In seción 53)

15. Decir para qué valores de a los vectores T= (a, 0, 1) G¿=(0, 1, 1) y
y= (2. —1. a) forman una base de A}

54. SUBESPACIOS VECTORIALES INTERSECCION Y SUMA
DE SUBESPACIOS VECTORIALES

Algunos subconjuntos de un espacio vectorial V son a su vez espacios vectoriales

con la operaciones definidas en Y estos subconjuntos especials reiben el nombre de
vubespacos rectoriales de Y

DEFINICIÓN 1 (Subespaio retoial)

{Un subespacio vectorial de un espacio vectorial Y es un subconjunto Y, de Y
que a su vez es un espacio vectorial con las operaciones definidas en Y

Para demostrar que un subconjunto es un subespacio sectorial no es nesesario
comprobar de nuevo que satstce todas las propiedades de espacio vectorial. En
realidad, es suficiente demostrar que la suma de dos elementos de Y, es otro elemento
de Y, y que la multiplicación de un clemento de Y, por un elemento del cuerpo Hes
‘otto elemento de Y es decir

D Simven.@+ven
2) Siack y TeV, aïe,

119. 2 Algebra y Geometría

En efecto, ls propiedades (1), (52, (MI (M2, (M3) y (M4) se cumplen en Y, por
cumples en e espacio más grande Y; además 0-4 De y (— I= ze Ve debido
A 2), 10 cual prueba que las propiedades ($3) y (54) son también cirtas en Vi

EJEMPLO A. a) Todas ls rectas y planos que pasan por el origen son subespacios
vectoriales de #2
PRIX] es un subespacio vectorial de Pax}: a su vez, Palx] es un subespacio
1 de GR)
©) Los subconjuntos (0) y V son siempre subespacios vectoriales de Y; éstos
reciben el nombre de subespacis cetoiales impropion de Y y e resto ve denominan
propos

Además de ser intuitivamente claro no es dificil demostrar que si Y es un espacio
vectorial de dimensión iia a, cualquier subespacio Y, de Y tiene dimensión que no
supera ar.

EJEMPLO BL Sea
vectorial Y Definimos.

un conjunto de vectores de un espacio

LAS) = Ui, Wy 2)

[bon man

A)

a E am À apuro

Este subespacio vectorial recibe el nombre de subespacio vectorial generado por 5.
Los vectores, .. son un sitema de generadores de LS} de elo se puede
elegir unos cuantos que sean base de ZAS) (proposición 7, sección 52). Por tant, la
dimensión de Li) no supera a n.
Por ejemplo, los vectores =(1,0, MT =(—
dependintes en R, ya que

(1, 1,2) son ineamente

LO y

Por tanto, LG 5) e un subespacio vectorial de R? de dimensión inferir 3
Puesto que

Capito $ Espacios recorte 29

dí y son lincalmente independientes, mientras que depende linealmente delos dos
primeros, Por tanto LA, o) LAU, Y, 4) y est subespacio vectorial tene dimensión
2

EEMPLO €. Dada una mutciz À de m las y n columns y de rungo y todas las
soluciones del sistema de ecuaciones homogéneo

Aged, ver o
son dela forma,
Foi tar

donde kn, ajeR y los vectores son Inenimente independents (Vase propos
ción 3 dela sección 12 del capitulo 1, Por tanto, a soluciones del sistema homogono
(0) consttuyen un subespacio vectorial de dimensión km de A Adm Be Ihr =
8 una base de este subespacio

Reciprocamente, todo subespacio vectorial de R* puede determinarse por un
sistema de cevaciones lineales homogéneas. Sea Y, un subespacio de R° de dimensión À
y Sea Pi, Es... una de sus bases. Completamos esta base hasta obtener una base

de RY Es claro que six

Md mo

Además, si Kari ext ++ x donde (Ej
realizando el cambio de base adecuado, se tiene que

ox.
Dex.

Me a + + ax,

que es un sistema homogéneo de n-k ecuagiones con n incógnitas que determina el
subespacio Yo

Dados dos subespacios vectoriales Y, y Ya de un espacio vectorial Y podemos
definir su intersección

Nahsiawen y mer)

y su suma

nennen. evs

120. 20 Algebra y Geometría

Como puede comprobarse fácilmente estos dos nuevos subconjuntos son también
subespacios vectores de Y La relación que existe entre las dimensiones de estos
Ssubespacios vectoriales y las dimensiones de os subespacios Y, y Y, queda plasmada
en el siguiente resultado:

PROrOSICION 2
Am )+dim Ps dim nein)
para cualesquiera subespacos vectoriales V y V de un espacio vectorial Y de

Simensiön Ania

Demostración. Sea Ey, % una base de Hi; completar esta base hasta
‘obtener una base

de Y, y una base,

nen

de Y Demouraemes que
AN

es una base de Vi + 3. De aquí se deducirá que

A Om kml
dim (¥) dim 4) dim 0 Y

que era lo que queramos demostrar

Para demostrar que $ os una base de Y + Y, basta demostrar que Ss un conjunto
de vectores linealmente independientes, ya que debido a la construción realizada
esla caro que tado elemento de Y + Y, es una combinación lineal de elementos de
S. Supongamos, por tant, que tenemos una expresión de la forma

O A NA eae.

E vector Poets tbat Jia hf CF coincide com ul,
wise, y, por tanto, mento de 479 Como Ver seta gerad por
ios secre Zoe hemos de en Em it 20 Por ano, la ala amen
Lomé ca

at tarithe EEE EU]

Puesto que [Ey Fray fl es una base de Y deducimos que ay = abs
=:+<b,=0. Esto termina la demostración =

Capito Espacios vectorial zu
EJEMPLO D. Dos subespacios vectoriales Y, y Y, en 2, ambos de dimensión 2,
que se cortan en una recta, han detener una suma que coincida con todo > ya que

dim + $2103

im dima, 01
Dern à —
[rs oe

D n+
2 Kor

(D).
Utilizaremos la notación V=Y, @ Y, para indicar que Y es suma directa de
| olas secs Y 3 À

Observaciones. 1) El plano R puede escribirse como suma directa de dos
rectas no coincidentes que pasan por el origen.

3), Fl espacio 8 puede ecrbirso como suma directa de un plano que pasa
por el origen y una recta que le corta en este punto
3) Dela proposición 2 deducimos que si PB, © Y se tiene que
dim

ya que el subespacio vectorial impropio (0) tiene dimensión 0,

im, ONE)

Si V=Y, 41, todo elemento Fc puede escribirse de la forma
Y, y Esc Sila suma es directa, esta descomposición es única

PROPOSICIÓN 4,

Scan Y, y Ya subespuios vectoriales de un espacio vectorial Y Las siguientes
“afirmaciones son equivalentes

DAA
Para todo Fe Y existe una descomposición única de ia forma Y=, +,
con eK y WC Va

121. 20 Agea y Geometría

Demostración. Para demostrar que 1) implica 2) es suficiente probar la unicidad;
Y, y Var con BR EM y Ty Tee Y, Tenemos

o bien

La parte izquierda de esta igualdad es un elemento de Y, mientras que la parte
dereche es un elemento de Y, Puesto que D es el único vector que Y, y Y tenen en
común, deducimos que

Had

Por tanto:

lo que queriamos demostrar.
Para demostrar que 2) implica 1) es suficiente demostrar que Y, 4 (0). Si
Te Y 0 Va, podemos escribir

que

versb-der.

Puesto que la descomposición ha de ser Única se tene que F=Ú, Esto prueba el
resultado deseado, .

‘También podemos definir la intersección, la suma yla suma directa de más de dos
subespacios vectoriales. En general, dados m subespacos vectoriales Y, Ya, Y de un
espacio vectorial Y definimos.

{ee y, para todo j

A “(E AS

que reciben el nombre de intescción y suma, respectivamente, de los subespacios
vectoriales dados. Estos dos nuevos subespacios son también subespacios vectoriales
er

La definición de suma directa de varios subespacios vectoriales es un poco más.
“complicada en general, que si solamente hay dos. La definición más razonable es la

Copie 5 Espacios vectorial 20

que guarda similitud con la afirmación 2) de a proposición 4, Diremos que V es suma,
directa de los subespacios vectoriales Y, Va. Ya y esebiremos

CELCECE

ón

sitodo veto de Yen una descomposición única de la forma v= À. con Fe Hy

on
Sin=2 la proposición 4 muestra que esta definición de suma direta y la dada
anteriormente son equivalente. Sin 2 3 se pide demostrar enel jeciio 6 al final de
esta seciôn que una condición equivalete de suma directa e la siguiente:

D Ener

2 vol, ni)
A parir de aqui puede demostrar que
im (a *)-

Lo cual se obtiene aplicando repetidas veces el resultado ya conocido cuando mes igual
a2

(0) para todo 11,2,

im,

EJERCICIOS 54

1. Los siguentes subconjuntos y familias de vectores de algunos espacios vectoriales
son subespacos y bases de Éstos. Verificar la verda 0 falsedad de eto en los ejemplos
siguientes

2) las (2.0)

D) pts) POT divido a pol: (et

mcr EDO

2. Estudiar si lo siguientes subconjuntos de „4, ,(R) son subespacio vectoriales:

a) ResfAc As. (8/NA)=1) donde #4) designa el rango de À

D. T=[4e-4..(Bteaza(4)=0), donde traza(4) denota la suma de los cementos
de la diagonal principal de À

9 com(B= (des.

122. 24 Agen y Gromería

3. Encontrar a dimensión de subespacio generado por los siguientes conjuntos de

9 DON en RP

ao

4. Hallar en cada uno de os ejemplos siguientes La suma y la inersccción del par de
Subespacios dados, y comprobar que se era la ecuación

verre +49 dim 919)

a vizcom(g 3) con

D Set inte 4
Ye pi Pl 1 divide à pts)
+) Lisent, cost}, Let, e") considerados ambos como subespacios del espacio
vectorial real CO, 17.
5. Decit cuáles de os siguientes pares de subespacos se suman directamente y cuál es
la suma (directa o no) en cada caso:
à PLACA. {CYA= 41) (matrices simétricas)
l=[46-M. ACVA= — A7 (matrices amisimátricas)

(E $) eee ro pa din deco

DRI
ae
[Sugerencia 80-02 4100-02)
CaaS I>R/A9=0, 120)
hati

6 Seam Vs, Vs» Y subespacios vectorales de un espacio vectorial Y Demostrar que
sin à las siguientes afirmaciones son equivalentes.

-on

Eno Mai} o

»

55. VARIEDADES LINEALES. ESPACIO AFIN

En el ejemplo C dela sección anterior se observó que si es una matriz de m las
y n colunnas de rango r las soluciones del sistema homogéneo

i. ver w

DS

Capilo $. Espacios wer us

son un subespacio vectorial de BY de dimensión k =, Este subespacio vectorial, que
denotamos por Sl) es un subespacio vectorial generado por k vectores linalmente
independientes TU, ü, que scan solución de (Dy es deis

Si consideramos el sistema no homogéneo

eR Ben en
Sabemos que sus soluciones pueden eserbirse de la forma
RATE tote eR

(Gcorema 2, sección L2, capitulo 1) Por tant, si denotamos por SI al conjunto de las
soluciones de (IN, podemos escribir

si

TI

Este conjunto se obliene trasladando S1)= Li, 3, … 3) mediante el vector ES =
se obtiene una recta, si k=2 se obtiene un plano y. en general, i A>2 los objetos que
se obtienen se denominan A-plaros. Todos ellos reiben el nombre de ariedades
male

Est tipo de construcción puede hacerse no solamente en R sino en oros espacios
vectoriales

Sea # un conjunto de elementos, que se denominarin puntos, y Y un espacio
vectorial. EI par (4, Y) recibe el nombre de espacio ai, A, si todo par ordenado M, N
de puntos puede ponerse en correspondencia con un solo vector 7 de Y lo cual
escribiremos de la forma MÑ=", y que satisface la siguientes propiedades

1) aa todo punto M y pra tdo nec = de K xt slo puto Na que
Escrbiremos entonces N= M +
2) Pan ead pants ADD Be que MN + RPM.

123. En muchas ocasiones el conjunto 9 de puntos y el espacio sectorial Y coinciden
como conjuntos éste es el caso de Ri, RP, o en general, de R° 0 €”

El espacio afin À se die que Gene dimensión tel espacio vectorial Y subyacente a
As de dimensión m Todo subconjunto de À de la forma

pin

donde P es un punto y Y, es un subespacio vectorial de Y reci el nombre de rariedad
lineal de A. Como casos particulares de variedades lineales podemos citar as rectas, los
planos y, en general, los hiperplanos en Re

En un espacio fin À un sistema de referencia está formado por un punto O. que se
considera el origen, y una base [2;, 6,» 2) del espacio vectorial subyacente.
Utilizaremos la notación

POE Es E

para designar ese sistema de referencia
Dado un punto X, existe un vector Y de Y que está en correspondencia con el par
de puntos 0, X; si

re

diremos que (Ys XX) Son las coordenadas del punto X con respecto al sistema de
referencia 2. Por abuso de notación scribiremos

AA

Dado un muevo sistema de referencia "= {PM} en el espacio afin, las
«coordenadas del punto X con resposto a este nuevo sistema de referencia serin
distintas de las a stas muevas coordenadas (x X=» xi) de
X con respecto a 4” procedemos en dos etapas:

a) Cambiamos el sistema de referencia a = (Pi Tia Fs. .), de maneta que

solamente hemos variado el orgen.

b)_ Pasamos de # a." dejando jo el origen y realizando el cambio de base en ci

espacio vectorial subyacente.

Caine $. Espacios vectoriales 20

En la primera etapa el cambio de sistema de referencia se realiza de la siguiente
manera: si (xx, designan iss coordenadas dl punto X con respecto al sistema
de referencia #y (pe Pa =. las del punto P con respeto a se tiene que

Tk = OP + PR o ren

por tant:

2 BO SX

(i Me eue pr ep

En la segunda etapa se tata de tealizat únicamente un cambio de base en el espacio
‘vectorial subyacente: si (xj $, 22) on las coordenadas del punto X con respecto a
Wy À esla matriz del cambio dela base [En Ta... 6) a la base (mp ie) se
tine que

pay pin

le À

‘ea

da

Combinando ls rade de ss doy ps se cn
pa pa
A (ora ufr) fe
}
xl

que nos da las coordenadas de X con respecto al sistema de referencia A".

Non Ax

EJEMPLO A. Sea X un punto de coordenadas (3, 4) en un sistema de referencia À
= (0: €, 7) del espacio ain 6 y sea ¢"= (Psi, 1) un nuevo sistema de referencia,
donde F tiene como coordenadas (1,3) con respecto a À y= 2, +28, a =28, ey
Las coordenadas del punto X con respecto a son

(6 =) 10-05

124. 2. Algebra y Geometria

EaturLo B. Sea #2 (0: 5] un sistema de referencia en R con respecto al
cual el plano 7 tine de ecuación Ny 5444-2. Set B= (Pi, Hy i} un nuevo,
sistema de referencia tal que P=(l, 1.0. MA EE We ete Y,

3. observamos que

Para encontrar la ccuaciôn del plano = con resp

OEM NK, —1 1)

bs

son coordenadas paramétcicas del plano +; por tanto, ls coordenadas (X x) de
tun punto de se transforman en (xx 35) de manera que

e
EA

Por tanto, xy=0 e la ecuación del plano x con tespecto al sistema de referencia 4

EJERCICIOS $5

y respeto a la referencia canónica 2, se dan los puntos A(t)»

1. Enel plan
ÉD Y fa testa ps gel. Hallo

2.0) os vestores i= (2) Y 3;

ah Las coordenadas de B con respeto al sistema de referencia = {A
1) La couación de la esta y con respecto a 4.

2. Seu el sistema de referencia en el plano que se obtiene girando un ángulo 3 en
sentido positivo los vectores de un Sistema de referencia dado 2. Si C= (x, bx
= es lu ecuación de una circunferencia respeto a #, encontrar la ecuación de C
respecto a 97. ¿Cuil es el centro de la nueva circunferencia respecto a 247

3. Dado el plano de cousción x,—x, +xy=3 con respecto a un sistema de referencia
À en R?, encontrar un sistema de reerenca 4° de BY en el que el plano anterior tenga.
por eeuacion x; =0

4. Dada la circunferencia ©

= 1 4 1?=9 en el plano, encontrar sus

A 7)
VE VA

ecuaciones en el sistema de refencia #

“Vs E

5) Qué o de coma e Cn ite de aca #7

CAPITULO 6

APLICACIONES LINEALES
ENTRE ESPACIOS VECTORIALES

61. Definición de aplicación lineal. Ejemplos

62. Matriz de una aplicación lineal. Operaciones con aplicaciones lineales

63. Cambio de base para aplicaciones lineales

64. Aplicaciones lineales inyectivas y suprayectivas. Núcleo y rango de una
Aplicación lineal

65, EI espacio dual de un espacio vectorial

61, DEFINICION DE APLICACION LINEAL, EJEMPLOS

En la seción delcapítuo 1 hemos definido el concepto de uplicación lineal de R"
en BY, Rocordamos que en ese contexto toda aplicación lineal quedaba determinada
por una matriz de m fas y n columns; además, ls siguientes propiedades caracter
Zan una aplicación lineal 4 entre estos espacios

2) AGCHS)=A(E)+ AU) para todo Si JE
2 AUSI=rA) para todo FeR” y todo mimero real

(Ver los teoremas 1 y 2 de la seción antes citada)

Uülizatemos esta caracterización para definir as aplicaciones lineales entre dos
espacios vectoriales cualesquiera. En la siguiente sección mostraremos que, fijadas dos
bases en los espacios vectoriales, toda aplicación lineal queda determinada por una

DEFINICIÓN 1 (Aplicación lineal >
Sean Y y W espacios vectoriales una aplicación neal A de Y en Wes una
aplicación A: Woo tal que

DAT 4) AG) + AGH) para todo Fe
2) Ala )=A(0) para todo ack y todo Ve.

29

125. 280 Algebra y Gromeria

Nota. Observar que ambos conjuntos Y y W deben sr espacios vectoriales
sobre el mismo cuerpo H
En el capitulo 1 se han dado varios ejemplos de aplicaciones lineales entre os
espacios vectoriales R° y R, Recordamos Únicamente los giros en el plano y la
Smetria con respecto a un ee en 2

EJEMPLO A. Dado un número rel a, la aplicación que asocia a cada polinomio
el conjunto Palx] su valor para xa es una aplicación lineal esta aplicación queda
‘definida mediante las siguientes expresiones

A: Palms RAC ah

El hecho de que A es una aplicción lineal se deduce de ls siguientes igualdades:

Apia} + ala A+ aK) = 9+ a) =) +=

= Alp) + AG)
Merk) Al) pa pal Apts)
para todo número real.

EEMPLO B. Dada la maria

afi?
fan

de elementos complejos, podemos definirla aplicación
ono

tay 29). Puesto que

anal)

‘donde en la parte derecha se realiza una multiplicación de matrices, es fácil demostrar
que A es una aplicación Incl
Ep general, dada una matriz A MH) la aplicación

An

Capito 6 Aplicacions nel entre pacos etraer a

dada por

AB

es una aplicación inal, que recibe el nombre de aplicación lineal asociada com la matriz
a

EJEMPLO C. Sea D
derivada, e decir

plicacion que a cada polinomio le hace corresponder su

D: Pa + PyLxI/Dlay aux aa + dat nase

Esta es una aplicación lineal, ya que la derivada de una suma de funciones es la suma
delas derivadas de cada una de as funcions y la derivada de un número ral por una.
función coincide con el producto del número real por la derivada de la función.
"Observar que si el conjunto inicial de ación es PITA) como conjunto
final podemos tomar el mismo, o incluso Ph Lx}: eto es certo ya que la derivada
e un polinomio de grado no superior a n es otro polinomio de grado no supe:

EMPLO D. La aplicación que a cada matriz cuadrada le hace corresponder su
determinante no es una aplicación lineal, ya que en general, el determinante de una
suma de matrices no coincide con la suma de los determinantes de cada una de ells.
Baste como ejemplo el siguiente

alle el re

Aplicando repetidas veces las propiedades 1) y 2) de la definición de aplicacién
linea entre espacios vectoriales se consigue demostrar que la imagen, mediante una
aplicación lineal, de una combinación lnea de vectores de espacio vectorial inicial es
una combinación lineal de vectores del espacio vectorial final. Do forma más precisa:

A(É cr) Ecam

donde cyeK y TeV para todo j=1,2 un
Otras propiedades que se deducen inmediatamente dela definición de aplicación
lineal son las siguiente:

126. 252 Agra y Gomera

PROPOSICIÓN 2.
Sea 4 una aplicación lineal entre los espacios vectoriales Y y 1 Se tienen los
siguientes resultados:
1) La imagen del elemento neuro de Y mediante 4 es el elemento neutro de
Wes dci, (0) =0,
2) La imagen mediante A del opuesto de un elemento 7 de Y es el opuesto
de ALE) es decir, A(—F)= — A)

"Demostración. Para demostrar 1) escribimos
AGO) AG +6) = A(0)+ AD)
y restamos AD) en ambos lados. Para demostrar 2) basta observar que

AE) A DPI DAT) A) .

En cl capital I demostramos que la imagen de una recta mediante una aplicación
lineal de Ren R” ex otra recta o un punto. Para aplicaciones lineales entre espacios.
vectoriales se tiene el sguieme resultado:

PROPOSICIÓN 3 ——

Sea A: Vine W una aplicación lineal entre espacios vectoriales. La imagen
mediante 4 de cualquier subespacio vectorial de Y es un subespacio vectorial de
w

Demostración. Sea Y, un subespacio vectorial de Y y sea = A(V) la imagen de
Y, mediante A. Recordamos que

Wie AU) AGE M

Sean 9%, We Ms existen, por tant, dos veetores E, Pje Y, al que A= y.

Aa, Entonces

y puesto que +6 M por ser Y, un subespacio vectorial de Y se tiene que W;
bie
Tomemos ahora aeK y we Wi; existe £,6Y, tal que A(F) =. Por tato,

aw =0A(T)= Aa)

y puesto que ue Y, por ser Y, un subespacio vectorial de Y se tine que ai, €,

(Cantal 6 Aplicacions mals entre paco etorites 28

Estos dos resultados son suicietes para probar que es un subespacio vectorial
de W. y ™ =

Si el subespacio Y; tiene {Ti} como base, todo elemento w de WY, puede

scribe como combinación nel de os vectores Ar) A) Bo € eto ja gue
tomando TeV, tal que A(U)=W se tiene que BAR ae

( = er} Eon

0: nd sn up gend poros vrs A A
je Ah At) En onen I nin de W, no pce spark
Hemos probado el siguiente resultado: =—

PROPOSICIÓN 4

La imagen mediante una aplicación lineal de un subespacio vectorial de
| Aimensiön k es un subespacio vectorial de dimensión no superior a A

!

Para finalizar esta sección demostramos que una aplicación lineal queda determi
‘ada cuando se conocen Ins imágenes de los elementos de una base de espacio inicial,
El enunciado preciso de esta aemación se da en el siguiente teorema.

‘Teonewa 5

1%] una base de un espacio vectorial Y y sean Hs
vectores cualesquiera de otro espacio vectorial W. En estas condiciones, existe
vna única aplicación ineal À de Y en W tal que

| AC jo

Demostración. Deimos A dela siguiente manera: dado Ve V podemos escribir

= À 07 con ye emoncs defaimos

Sem

au)

A partir de aquí es un simple ejercicio comprobar que A s la única aplicación lineal
fal que AE), Jahn =

127. 20 Algebra y Geometrie

62. MATRIZ DE UNA APLICACION LINEAL,
OPERACIONES CON APLICACIONES LINEALES

En esta cin, y mientas no se indique lo contrario, Y y W denotarán dos
«espacios veconales sobre el mismo cuerpo K y À una aplicación lineal de Y en 1

Ses Ba (eu Tom. 0) una baso de Y y Be (if + Ja) una base de We EI
cemento Al) cen vector de W y, por tano, podemos et

hi tant

Anilogamente,
Arya + Oa hit ta

AE) ag] + dan + + + nue,
Estas igualdades e escriben abreviadamente de la forma

Ae Fa Jah 20

as condiciones diremos que

ae a = an
ni Om a

+s la mari de la aplicación A con respecto alas bases B y B.

"Observar que la pésima columaa de la matriz de la aplicación lineal À son las
componentes de A(é) con respecto a la base B.de W.

Para ser precios seria necesario designa la matiz À con un simbolo que incluyes
las bases By Br ste simbolo podría ser ME(A), Nosotros preferimos denominar a
matriz con la misma Tetra que a la aplicación, siempre que esta economía en la
notación no sea causa de incomprensión

Dado Xe, podemos escribir

re faa ve $k

La relación entre las coordenadas y, yx, viene dada por la matriz 4. En efecto, la
igualdad

Enron)» Eso
EE) Alt)

DS

Capital 6 Apicoions incl entre espacio rectores ass

implica las siguientes igualdades:

CR

¿Con notación matricial, podemos escribir

mp
A ES
lA

No sólo toda aplicación lineal puede representarse mediante una matriz con
respecto a dos bases dadas, sino que reciprocament,fjadas Bases B=[%,, . 2} y B
if fi en los espacios Inicial y Ana, respectivamente, y dada cualquier matriz de
orden mien

Anka

exite una única aplicación lineal que tine a À como mati: si = Ÿ x, definimos.

ae End

donde y, 91... stán dados por las relaciones que aparecen en (1)
Not. Si os espacios vetorales Y y W coinciden y en ambos se toma la misma
base B para representa una aplicación A, su matriz se dice que esti dada con respeto
ala dao B.
EyEMPLO A. Sea Ry la rotación de ángulo a en el plan, alrededor del origen en
sentido posiivo. R, es una aplicación lineal de A? en R* que, referida a la base
canónica del plano tiene como matriz

(a)

(Ver el ejemplo B dela seción $3)

EJEMPLO BL En el espacio vectorial real R consideramos el subespacio Y,
= bt a Oki x56} Si B= (Es Ey E) es la base canónica de Wy Ses la sierra
con respec, al subespacio vectorial Y, se tiene que

v Say=e, SEDE, SE)

128. 256 Agera y Geomería

ie

Por tanto, su matriz con respesto la hase canónica es

Observar que las simetrias pueden definise con respecto a cualquier subespacio
vectorial de À.

EJEMPLO C. Sea Pla proyección otoyenal de un vector de R sobre el plano xOy:
Pes vna aplicación lineal de A? y puesto que

Pia=t, Paar; y PRIT

su matte con respecto a la base (FE 25) es
100
palo to
lo o of

ExeMPLO D. Dados dos espacios vectorales Y y W la aplicación mula que envi

todo vextor de Val elemento neutro de W es una aplicación lineal, cuya matriz es la
matriz nula con respecto a cualesquiera bases de Y y W.

Cap 6 Aplicaciones Anales etre espacios rectors 27

En un mismo espacio vectorial Y; la aplicación que leva todo vector de V en sí
mismo se denomina aplicación identdad. Es fácil comprobar que, con respecto a
cualquier base de Y, la matriz de la aplicación identidad es

' oo!

0.1

si el espacio vectorial tine dimensión 1

EIMPLO E. Sea D la aplicación deritación del ejemplo C de la sección 6.1 y
consideremos D como una aplicación de RES] en PA [x]. Sea B=(l.x, 1%, 0)
una base de PR] y B= (1.x. x €") una base de Pr Mu]. Tenemos

Du 36, Dane

Por tanto, la matrz de D con respecto alas bases B y B es la matriz de orden mxtn
+1) dada por

01900
0020-0
0003-0
90000
0000. 0

EyEVPLO F. Tratamos de encontrar una base en R de manera que la matriz de
la simetria con respecto al subespacio vectorial V; = (x ER +y+2=0} sea

po 0
91 0)
oo -1}

129. ase Algebra y Geometia

En el ejemplo B se ha resulto el caso en que el subespacio vectorial coincida con el
plano x0ÿ. Un estudio detallado del explo citado nos da la idea adecuada para
resolver el problema planteado aqui: basta tomar dos vectores cualesquiera de Y, que
scan Iincalmente independientes y un tercero que sea perpendicular a Y. Por ejemplo,
A)

Ya hemos mencionado anteriormente que si en los espacios vectoriales Y y W de
dimensión finita À y m, respectivamente, se jan bave, exe una correspondencia
biunivoca entre las aplicaciones lineales de Y en W y el conjunto de las matrices
alt, de orden mxn sobre el cuerpo KL

‘Baesto que el conjunto du.) posee una estructura de espacio vectorial, no es
de extradar que en el conjumo de todas las aplicaciones lineales entro dos espacios
vectoriales puedan defiise dos operaciones que le den estructura de espacio vectorial,

Estas operaciones ya han sido definidas cn el capitulo | cuando los espacios
vectoriales son R° y BY. Las operaciones que daremos aqui son una copia de aquellas

Sean Y y HW dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo Kiel conjunto de todas.
las aplicaciones lineales de Ven W se designará mediante el simbolo

A
Si 4 y B son elementos de LAY; W) definimos su suma mediante
LANTA BIE) para todo weh.

Si 4 es un elemento de LV: Wy ces un elemento de K, definimos la multiplicación de
E por A mediante

(CANFIZAAE) para todo Fe.

Las operaciones que acabamos de definir tienen ciertas propiedades que coinciden

con las enumeradas para matrices en la sección 3 del capitulo 1. Una forma elegante y
rápida de enumerar estas propiedades se de en el siguiente teorema:

Timm — E

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo Ki el eonjunto
UP: W de las aplicaciones lineales entre Y y W con las operaciones anterior»
mente defnida, es un espacio vectorial sobre el cuerpo K.

La demostración completa de este resultado se deja para el lector; nosotros
observaremos que el elemento neutro de este espacio es I aplicación mula y el opuesto
de una aplicación A es la aplicación — A definida por

arca.

Si Y y W coinciden escribimos L(V) en lugar de LA: Y)

Captulo 6 Aplicacions Uncles nr sacos vectoriales 29
Puesto que toda aplicación lineal puede representarse mediante una matriz y
reciprocamente, el siguiente resaltado no debe extrañar al lector

‘Teorea 2

Sean Y y W espacios vectoriales de dimensiones y m, respectivamente;
entonces, el espacio vectorial L(V, W) tiene dimensión nm
Demostración. Hemos de exhibir nx m elementos de LF, W) que formen una base
de este espacio. Fjadas
A
bases de Y y WI respectivamente, definimos, para J

CA = ab

Esta definiiön se implica, en cuanto a su notación sí utilizamos un simbolo.
denominado delta de Kronecker:

Entonces podemos escribir

EGO mÓNÍ eA Done

Puesto que E ha sido definido pura los elementos de una base de Y determina una
única aplicación lineal de Y en I, que seguiremos denotando por By este resultado se
ha demostrado en ol teorema $ de la sección anterior.

Para finalizar la demostración del teorema cs necesario probar que

Ella
cs ura base de LUZ W) Sen

PRE

‘una combinación lineal nula de os elementos de £ (0 designs la aplicación n
en W para todo k= 1, 2,

À Eo aur-dew

130. 260 Algebra y Geometrie

Puesto que Bes una base de W se deduce que oy Im. Esto prueba que E
es un conjunto de aplicaciones linales Inealm
Falta probar que £ es un Sistema de generadores de LY W) Sea A € UY y sea

Aie) su matriz con respeto a ls bases B y B para todo Ze tenemos

ac Ê auf E autre À Etat
Puesto que ET) =Ú si jh, podemos esrb

aa à À

De aquí se deduce que
ad Lars
ya que ambas aplicaciones coinciden sobre los elementos de una base de Y

Esto termina la demostración del teorema 2 =

Nota. Mis adelante se dará otra demostración del teorema 2 estableciendo una
correspondencia biyeciva entre LAY, W) y „An..lK) de manera que se conserve la
¿dimensión (Ver seción 64)

‘Con la misma situación que al comienzo de eta sección. sean 4 y A ds aplcacio-
es lineales de Y en W. Sean MIA) MIA), MIA +4) y MICA) las matrices de las
Aplicacions ineales À y A con respeto a las bases By À de V y We respectivamente
En estas condiciones se tene que

MIA + A= MUAY MIA)

Estas iguakdades expresan que la matriz dela aplicación lineal «suma» coincido con
la suma de las matrices de cada una de las aplicaciones y que la matriz de la aplicación
lineal cA coincide con el producto de la matriz À por el escalar «

Las demostraciones de estos resultados son análogas a las realizadas en la sección 3
del capitulo 1 para aplicaciones lineales de R° en RY y, por tanto, se dejan para el
lector.

Con dos matrices se puede definir su producto sempre que concurran crcunstan-
cias favorable, El producto de matrices corresponde a la composición de aplicaciones
lieues, que definimos a continuación.

Caputo 6 Aplicacions nalen ente espacios vectoriales 261

Dadas 4e LV: W) y Be Li

X) definimos la composición de À y B mediante
(TON

Dadas las condiciones impuestas sobre A y es fácil comprobar que
BASI

Silos espacios ¥ W y X tienen dimensión finita y si denotamos por MA) MB) y
AB“ 4) las matrices de A, B y BY A, respectivamente, con respecto a bases de
antemano fijadas se tiene el siguiente resultado:

MB = En: MA

La demostración es análoga a la dada en Ih sección 13 para aplicaciones lineles
me espacios vectores de la forma 3 La repetimos aqui para conveniencia del
Tector,

Scan fälten UT) Eo ida Za bases de KW y X, respectivamente. La ¿sima
columna de la matrizde B- À son las componentes del vector (B+ ANE) con respecto à
la base (JE: por tanto, si escribimos

AMAN Es Bath

O AS

(gan) Elio)

Esto prucba que Ÿ by es él elemento que ocupa el lugu (i) de a matrie M(B A}

ste valor coincide con e valor del elemento que ocupa el lugar (Den el producto de
matrices M(B): MA).

63. CAMBIO DE BASE PARA APLICACIONES LINEALES

Scan V y W dos espacios vectoriales, sobre el mismo cuerpo, de dimensions # y
mm, respectivamente. Sea À una aplicación lineal de Y en W con matri

Aza

con respecto a las bases B= (E, €) y Br
Si descamos conocer la mairie

Ja) de Y y W, respectivement.
1 la misma aplicación A, con

Tin

131. an Algebra y Geometría

respecto a dos muevas bases B= (Ej. €) y Ba [Ta Ta de Y y W respectiva
mente, es necesario realizar los cambios de base adecuados en los espacios inicial y

final
Para que elector siga con mayor facilidad el razonamiento realizamos el siguiente

diagrama

Yo
vo a] A] A
H a | y ;

a Jen I,
kan la A Fee] len

Si eseibimos xe V de la forma

AA e

1%) de a forma

ia RR

los resultados de la sección anterior, junto con los relativos al cambio de base en un
mismo espacio vectorial, que se estudiaron en el capitulo anterior, nos permiten
esciie

my pa

1.4” oO
‚Fü
y pa
nf % a
val Ay
y
Yi pa
“lt 0)
Ns

Bn las igualdades anteriores C y D son ls matrices del cambio de base de Ba By
de Ba B, respectivamente

Cupido 6 Aplicacions Aces entr pacos ectorits 20

Susttuyendo (2) en (1) se obtiene

Y 2

Fr 4

# 3

Puesto que D es una matriz de un cambio de base, pose inves: por tantos

FACULTAD LE SRE ERIA

UNIVERSIDAD DE

Comparando esta expresión con (3) se obtiene

A=D AC a

que nos permit calcular la matriz 4 de la aplicación A con respecto alas bases By
conocida la matriz À de la misma aplicación con respecto las bases 8 y By las
matrices C y D del cambio de base de Ba By de Ba B, respectivamente.
En muchos caos los espacios inicial y final de una aplicación coincide, Si además,
By B coinciden y y B coinciden la fórmula del cambio de base es más sencilla
Si 4 es la matriz e la aplicación 4€ LV) con respecto a una base Bde Y. la matriz
A! de la misma aplicación con respecto a una base Bde Y está dada por

Wc ac
donde € es la matri del cambio de base de B a B.
Observar que, en este caso, A' I. ya que el determinante de un producto de

matrices es el producto de los determinantes de cada una de ells
75) de un espacio

BEMPLO A. Una aplicación lineal À tine, en una base |
vectorial de dimension 2, la matriz

(7)

Queremos determinar la matriz de esta aplicación lineal en la base 2522 +26, €;
22%, +38. Puesto que la matriz dl cambio de base cx

E)

BinLiorzen

pocuntei à

x

nn

MONTS

132. 264 bre y Geometría

la matriz 4 de esta aplicación enla base (Ej 75) es

A)

Esruro BL Sea Ai RR? la aplicación dada por

A)

Abt a)

ads de un punto xER" con respecto a la base
4} que se obtiene permutando ls elementos de

donde (xy, x, x) son las co
canónica en RD. Seo Bla bos {
la base canónica.

Puesto que la matriz de A en la base canónica es

110

(001)

o 1-1

y la matriz del cambio de base es

foro
colo o

la matriz 4° de À en la base Bes

fool’ /11 o\foro
foo r\f ord 101

EsEMLO C. Queremos encontar las ecuaciones de la simetia $ con respeto al
subespacio vectorial = {(s 3, 2)/1—1 +25=0), referida a la base canónica de RE
La Estrategia consiste en encontrar en primer lugas una base de RS en la cual la matriz
e a simeri se lo más sencilla posible y à continuación realizar un cambio de base

pura pasala a la base canónica

Capito 6 Aplicacions line me spaces weile 268

En lo base B= (ml, 1053310 21 Ml, ~1, 2) determinada por dos
vectores de Y, y un veto, perpendicular a dl la malt 5 de Ss
10 0
s-[o1 0
oui}

1, Puesto que la matriz del cambio de base de

ya que SU) =, SU) =i y SE)
la base canónica a B es

se tene que

Por tanto

Asi pues,

Ste

133. 2 sehr y Gomera

onde (x x 33) son las coordenadas de un vector XER? con respeeto a la base
canónica
EJERCICIOS (SECCIONES 61, 62 Y 63)

1. Estudiar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales entre los espacios
vectoriales dados:

a) Me Meld (R) dada por Maa)
D Sy A Bd AB) dada por SalA)=A1 +8 con Beats.

;
y

+4) donde = {464 A0V A4",

0) SM AE AS dada por Si

©) Red ARIAS) dada por RIA)= AA
DA PL PELA dada por AU) pl 1)

Y) B: POLI- Pe dada por Atpix))= tx) +.

2. Sea A: RUA? dada por Als Aa) 4X0 a 85 45 Encontrar la matriz
de A con respecto «Ia base conónica. Halle la imagen mediante À de los siguientes
Subespacios vectoriales de®.

0 Kellnerin tarte 0
Delle Oi seh)
a (Le)
Fp cada caso indicr la dimensión del subespacio yla dimensión de su imagen
dant À
3. Encontrar ls mates de as siguentes aplicaciones icles con respect a as
uses canónica de los espacios vectonles dados
2) Ms y Ca del eco 1
D À PEU RAGE PO AD PR PCD.
0 AORTA
A. Respeto dela base canónica en) Talar as matrices de las siguientes aplicacio:
nes Hess:
8) Giro de x grados con respeto al ee +
hy Simeti con respecto ala recta 1=0, 320,
9 Simca con respect à la eta x=y, zu
4) Proyección sobr el plano x-y+7=0
9 Simetia con respecto alo recta (so) 1)

=)

Capital 6 Aplicaciones nels entre espacio vectoriales 29

5. La ¿raza de una matriz eusdrada A se define como la suma de os elementos de su
agonal “principal y se designa por traza), Demostrar que la. aplicación
Ti Mn es lineal Dar una base de 4) y encontrarla matriz de T con
respecio a esta base y a la base canónica de K.

6 Dadas A: @ +R? mediante A(x. x3. x5) (ta % 01 y E H°++R? dada por
Bit xo xo) x calcular AMA. para todo neN y Bo, [Sugerencia
encontar las mavices de A y 8)

7. Sabiendo que la aplicación À lleva los vectores
HO Ge LO y %
de RY en los vectores

e, 625
respectivamente, encontrarla maiz de A en las siguientes bases

ul, La base canónica de PY.
by La base {m

2. md

@) Simetra con respecto à la recta (y, 2)
b) Proyección sobre el plano + +2

0) Giro de 90° con respeto a la secta x +
9. Sea T: PITO PPLE tal que Tall, Fixe 2x, Ti) y TA
4x1. Calcular TU + AL 0 y TU 2 +0) Encontrar la matriz de T com
respecto ala base fl. xxl] de PRE

10. Sea Ae LA: W si Y es un subespacio vectorial de F la aplicación A puede
considerarse como una aplicación lineal de Y, en 14 esta aplicación recibo el nombre
de resrccón de A a Y y se designa con el simbolo AM. En los siguentes casos
encontrar una base del Subespacio vectorial dedo y la matiz de la aplicación dada

restringida a este subespacio con respeto a sta base:

AA A)
DATA TEE EE Er]

CRT i)

Woolen salt
11. Dada AE LV) y CK, demos

que el conjunto.
Biere VIA) mie}

5 un subespacio vectorial de Y En los siguientes casos encontrar una base de AU:

RR)

134. 268 Algebra y Geometria

Dj ARR tal que

10 28 fay
out alu
anse A sax een aeo
doo o 2/\x
DMI tn ati EEE de

12, Sea Y (Ke) el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden on elementos
en el cuerpo K. Definimos.
TA
1
mediante TA LA +4
a) Encontrar una base de Zu).
D) Encontrar la matriz de T con respeto La base canónica de Ay. 4() ya la base
de FAR) encontrada en a)

13. Sea T una aplicación lineal de en R= demostrar que T transforma variedades
k-dimensionales de Ren variedades I-dimensionales de A”, con (<A: En ls siguientes
Aplicaciones lineales halla la imagen de las variedades lincales dadas
a) T: Rs? dada por Ti xl, His SY

M=[x,=x0/20 ter]

2) TRIO? dada por la matriz

rel -

ya 4)

14. Sea Vel espacio vectorial delas funciones reales de variable real generado por
sen x y osx. Calcular el determinante de la aplicación «derivación» definida en Y.

(RE ES

64, APLICACIONES LINEALES INYECTIVAS Y SUPRAYECTIVAS.
NUCLEO Y RANGO DE UNA APLICACION LINEAL

Sean Y y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo & y A una aplicación
lineal de Y en W. Recordamos que À es inyeetiva si AGE) 4(7) implica X = la
aplicación A es suprayectiva si para todo Ye W exite FeV tal que AU) =ÿ 0
‘equivalentemente 4) = W, donde 4(V) denota la imagen de mediante finalmente,
recordamos que A es Piprtin si es a la vez inyectiva y suprayectva

Capindo 6 Aplicaciones Knaes enr espacios vcoies 209

En el caso de aplicaciones lineales cada uno de los tipos anteriores recibe un
nombre especial una aplicación lineal peer reibe el nombre de monomorfsmo: si
la aplicación lineal es suprayectia se le du el nombre de epimorfsmo; finalmente, sia
apliaciön lineal es biyectiva se die que es un ¡somorfismo,

El objetivo de esta sección es encontrar condiciones sencillas que sirvan pa
terminar si una aplicación lineal e de cualquiera de os tipos anteriors.

“Comenzamos con la aplicaciones linces inyectivas. Para ell necesitamos defnir
«el concepto de miele de una aplicación linea: dada una aplicación lineal

aw

definimos el mico de A, que se denota mediante ker), como el conjunto de todos
los Fev tal que Al)

Peviac)

}

Nota. En algunos textos se utiliza N(A) en lugar de ker(; la notación
er) esla que e utiliza en toda literatura matemática glosa; esta notación
viene de la palabra inglesa kernel, que significa «núcio».

I subconjunto ker(4) no es nunca vacio, ya que Teker(a) esto e deduse de que
-A(0)=0, como se ha demostrado en la sein 6.1 El subconjunto ker(4) e, además,
‘on subconjunto distinguido de Y. se tiene el siguiente resultado:

PROPOSICIÓN 1 — —
Si A: V+>1W es una aplicación lineal entre espacios vectoriales, ker(4) es un
subespacio vectorial de Y

Demostración. Six € ÿ son elementos de ker(4) se tiene que AIZ)=0 y AG)=Ú%
por tant

AHA AI 0 + 20
de donde deducimos que x +J'eker(Ai Si Feker(A) y ceK se tiene que

Me )e CAR mem

de donde se deduce que cx'cher(a). Estos dos resultados prucban la propos
ción =

PROPOSICION 2. AAA
si y sólo si ker

Una aplicación lineal A: VW es inect

DE LA MEXUSLICA

univensioa:

TERIA,

MENTO Of

PACULTAD DE INGEN

NY APUIQIECA

DEPARTA.

DOCUMENT AC

135. 20 Algebra y Geometría

Demostración. Supongamos que A es inyectiva; si Xeker(A) se tiene AUX)
puesto que À es lineal, 4(0)=0, y, por tanto, podemos escribir

ARI=D= AO).

Puesto que A es inyectiva, € =; esto prueba que

por tanto, TF eher(A] como ker(A)= (0) deducimos que v =, o equivalent
mente, X=, que era lo que descábamos demostrar. .

EJEMPLO A. Para estudiar si A: REP? dada por AX 22)= (2 +
42, 3x) es una aplicación lineal inyectiva hemos de encontar ker(A), Si
29) ker{4) hemos de tener A(%,,%)=10, 0, 0 esta igualdad se transforma en

A]
+ e0
3x,=0

‘que es un sistema homogéneo de tres ecuaciones y dos incógnitas, Puesto que la matriz
de sus conicientes tene rango 2, que coincide con el número de incógnitas, la Única
Solución posible esla trivial x, =; =0. Por tanto, ker()=((0,0) 3 À es inyectva

Buero B, Tratemos de encontrar el núclco dela aplicación T: Rv RP, cuya

Se tata, por tanto, de encontrar todos los vectores Fi XX Xe X) al que

ee)

wae

Capiro 6 Aplicacions nels entre espacio vectra: a

El rango dela matriz delos coefcents de st sistema es 2 observar que La tercera
suación es combinación lineal de las dos primeras) Utilizando las dos primeras
Ecuaciones € introduciendo los parámetros &y Ci Tena, Mmes tenemos que.

Km lee) ECC
Asi pues,

Esper nen Cp 6 ee

=0(-1,0,1,0,0)+c4-2, 1,0. 1, +40, —

La x)

0.0.)

que son las ecuaciones paramétricas de ker(T) Observar que el micleo de esta
“plicación ene dimension 3

Supongamos ahora que la aplicación linéal À es suprayectiva, es decir, que A es un
epimotismo: en estas condiciones se ha de cumplir que A(V)=1; donde A(Y) es la
“imagen de Y mediante la aplicación 4

"El conjunto 1) recibe el nombre de imagen de A, y e designará, de ahora en
adelante, mediante im), Por tanto, A es suprayectva si y sólo st

impar W

Por la proposición 3 de la sección 6.1 sabemos que la imagen de cualquier
subespacio vectorial de Y es un subespacio vectorial de W: en particular, img). que
+ la imagen de V mediante 4, es un subespacio vectorial de W.

EIENPLO C. Queremos encontrar la imagen de la aplicación T del jemplo B y
decide sis Suprayetiva, La Estrategia más sencilla es observa que la imagen de una
base cualquiera de sun sitema de genradors de BTE B= fe, 3. a Es]
es una base de RY y Weimg(T) existe T= À vjeR tal que TOI: asi pues,

vr($,
con lo cual queda probado el resultado. (Relacionado con et resultado, ver el
Problems 9 al final de esta sec) Por anto,

re

TE 0 D TINO. TH
TESSA, 1 TI,

0.0.1,

136. m Agra y Geometría

son un sistema de generadores de im} de est sistema de generadores es necesario
extraer el mayor número de elos linealmente independientes y asi podremos encontar
img. Puesto que la matiz que tene a estos vectores por columnas es T y ya
sabemos que T tiene rango 2, solamente es posible encontrar dos vectores linealmente
independientes. Podemos tomar
implT)=1401,0, 1, (1,0)

Debido a que img(T) tiene dimensión 2, llegamos a la conclusión de que T no es
suprayectva

Si queremos encontrarlas ecuaciones cartesianas de img(T) hemos de elimina los
parámetros €, y cz de las ecuaciones

Gun nie 0, Del 1,0)

Asi pues,

De aquí deducimos y. =, sin más que sustituir las dos últimas ecuaciones en a
primera,

En los ejemplos B y € se observa la siguiente relación ente ls dimensiones del
núcleo de 7 y de su imagen

dimdr(T)+dimómg(T)

coincide con la dimensión del espacio inicial de 7.

"Este resultado es cierto en un contexto más general le enunciaremos y demostare-
mos a continuación. Después obtendremos algunas de sus consecuencias relacionadas
con las aplicaciones lineales inyectivas y suprayetivas

Teorema 3

Sean Y y W dos espacios vectoriales de los uales V es de dimensión Gita y
sca A: VW una aplicación lineal Entonces,

dim ker(a)+ ir img) = dio ¥)

Demostración. Sea k=dim(ker(A) y n=dimiV) Elegimos una base {7
Ker(A) y la completamos con vectores E, Y, hasta obtener una base de 1: Es
suficiente probar que B= {ACT ACH) una base de imlA), ya que entonces

dimker(4)=dimimg(A) + {nm dim)

Capiulo 6 Aplicaciones ines etre pacos rectors m

Probamos en primer lugar que B es un sistema de generadores de im) si
Fig), elegimos Te V al que A(E)="%: puesto que

se ene que
hom
debido a que Ti 4 son elementos de Rer(A} e time que AG) si 1 5) Skıpor

E, eam

y queda probado que 8 es un sistema de generadores de impl4).
"Finalmente, probamos que los elementos de B son linalmento independientes
Supongamos que tenemos una relación de la forma

È AGM. w

Utilizando la linealidad de A, la igualdad anterior e escribe de la forma

E mas

Puesto que (5, ~» 8) es una base de Y la igualdad anteriorsolamente es posible sic,
zen o 6,50. En particular, la igualdad (1 solamente es ieta cuando,
odos los c, som nulos. Se termina ast la demostración del teorema, .

Para deducir algunos coralarios de et teorema es necesario hacer uso del concepto
de rango de una matriz estudiado en los enpitlos 1 y 2.

Sea una aplicación lineal entre los espacios vectoriales Y y. ambos de
dimensión finita n y m, respectivamente Sea À la matriz dela aplicación nal en dos

137. zu Astra y Geometrie

ases cualesquiera de V y W; para encontrar el núcleo de A es necesario resolver el
sistema homogéneo.

onde x, x, son las coordenadas de un vector de V con respect a la base elegida.
Debido a le proposición 3 de la sección 12 (Capitulo 1) ete sistema posee nA)
soluciones linalmente independientes que generan todas las restanes, donde A}
denota el rango de la matt 4

Comparando esta igualdad con el teorema 3 se deduce que
diem AHA

Puesto que imp 4) no depende dels bases que se lan en Y y W para encontrar
su mari, de la igualdad anterio se deduce que todas las matrices de la aplicación A
tienen el mismo rango. Podemos, por tanto, define el rang de una aplicación lineal A,
que seguiremos eseribendo mediante HA, como el rango de una cualquiera de sus
epresentaciones matriciales

Una ver hechos estos comentarios el lector no tendrá ninguna difculad en
demostrar Tos siguientes resultados:

Corotamo = à ie

Sean V y W espacios vectoriales de dimensión Anita y A: = una
aplicación lineal. Entonees

a) A es inyectva si y sólo si A) =dim(V

Dh A es suprayectva si y so si (A) =dim(W).

EJEMPLO D. Supongamos que Y y W son espacios vectoriales de dimensión finita
yA: Ves W una aplicación lineal

Si A es inectro ker(A)= {6} y, por tanto, dim (= dim (mg(AD; como imp(a) cs
un subespacio vectorial de W concluimos que

imi) dim)
Si À es suprayctiva, del teorema 3 se deduce que

i (7) 2 dim me 4) = 4) im)

Capito 6 Aplicaciones neler etre espacios rectrales vs

En particular, una aplicación lineal de R3 en R no puede ser inyectiva y una
aplicación lineal de Ren R no puede se suprayestiva,

Para terminar esta secinestudiamos las aplicaciones lincaleshiyecticas o isomor-
sms entre espacios vectoriales. Supongamos que V y W son espacios vectoriales de
dimension iia, y que A es un Komorfismo entre elos. Del corolario anterior
deducimos que

im (4) = dim)

Otras consecuencias sencillas de algunos resultados anteriores se recogen en el
siguiente teorema,

TEOREMA 4

Sean Y y W espacios vectoriales de dimensión finit n y sea A: 7 W una
aplicación linea. Las siguientes condicions son equivalentes

a) A es biyetiva

D) 4 os inyectiva.

9 ker(4i= (6)

DA es supeayectiva,

9) El rango de A es n

Demostraciin. Entre}, 0 d y € s tenen ls siguientes cquivalencas

vo
ot
020

Por tanto, todas cla son equivalentes entre sí

Finalmente, )=>9) ya que toda aplicación biyoctiva cs inyectiva y puesto que D) y
4) son equivalentes en este Contexto y ambas implican 6) selene que a) y D son
equivalentes. Eto termina la demostración =

Diremos que dos espacios vectoriales cualesquiera son isomorfos si podemos
‘encontrar un Isomorfismo entre ellos. Para que esto oeura entre espacios vectoriales
de dimensión Anita ya sabemos que ambos han de ser de la misma dimensión. El
feciproco también es certo.

TEOREMA 5.

| Dado cualquier número natura n, todos los espacios vectoriales de dimen:
sión n sobre un mismo cuerpo son isomorfos.

138. m6 Aga» Geometría

Demostración. Sean Y y W espacios vectoriales de dimensión n sobre el mismo
cuerpo y scan B (Fyn Tel y Ba ls bases de V y W, respectivamente.

Para defnir el omorismo A entre Y y basta definirlo sobre los elementos de a
base 2:

AE Hy f=?

Por el teorema $ de la scciôn 61 A se extiende a una aplicación inal de Y en W.
Puesto que nA). ya que Bes una base de W, del teorema anterior deducimos que A
5 un isomorfismo. .

serio E. 1) Todos los espacios vetorales reales de dimensión n son isomoríos
a R y todos os espacios vectoriales complejos de dimensión n son isomoríos a C* En
[general tados los espacios vectoriales de dimensión n sobre un cuerpo K son
Bomorfos a K°

2) Los espacios vectorials 43, R) RES] y R* son isomorfos entre si

EyewpLo F. Sean Y y W espacios vectoriales de dimension n y m, respectives
mente, sobre un mismo cuerpo &. Deseamos probar que los espacios vectoriales

Mur) Y UM

son isomorfos. Puesto que Ve isomorfo a K" y Wes isomorlo a K es suficiente con
encontrar un isomorfsmo entre

Un) y UE)

(ver el problema 10 al final de esta sección) La elcciôn más natural de ste isomorfs-
mo es la siguiente: dada A6 Mn, definimos

nad en

para todo (2, 2. 22e K°. Observar que F(A) esla aplicación que tien como matriz
ZA en las bases Canónicas de K° y K™ y, por tanto, Fla}e LK" K",

Es necesario probar que Fes un isomortismo; como F es claramente una aplicación
lineal, hemos de probar que es biseciva. Comenzamos encontrando su nücko: si FA)

O's ane que
WO

dl Hi
2) No

para todo ae,» ¿Je eiiendo 2 =F) j=1, 2, , deducimos que ay=0 para
Todo Geh, 2 me por tanto, À coincide con la matriz Cero, que es por tanto el nie
0 elemento del náclco de F

NO a

Capito & Aplicaciones lneae entre sacas recorte a

Finalmente, hemos de probar que F es suprayectiva; dada una aplicación lineal A
de RT, con matriz MIA) con respecto a las bases canónica basta Observar que

FAA

Puesto que los espacios (6) y LIV: W) son isomorfos y Miyee(K) tiene
dimensión mx» deducimos que

dim: W) = dim Malt)

Hemos dado otra demostración del teorema 2 de la sección 62.

Obsersacin. Supongamos que A es un isomorfsmo entre dos espacios
vectoriales Y y W de dimensión; debido al teorema 4 su rango es ny, por tanto,
la matiz MA) de A en cualesquiera bases de Y y Wes Imertble. La Inversa de
MA) 5 la matriz de In aplicación inversa de À.

EJERCICIOS 64

Dadas las siguientes aplicaciones ineles encontar las ceuciones paramétricas del
nücleo y la imagen comprobando en cada caso la ecuación

i (ke) + dim (img) = dimensión del espacio inicial

+ indicar si son inyectivas 0 suprayectvas

A RRA ae DORE NG. Ha 4 ED

9) RPA RC, x + Xe 2)
di D: CCD tiene como matriz

110)
> à]
tot of

2. Describir el núcico y la imagen de las siguientes aplicaciones cal, indicando sí
son inyectivas, suprayectvas o bivectvas:

a Me ARIS A 8) tal que MA) AB con

-(.)