Aplicaciones funciones vectoriales

aplicacion de las funciones vectoria

1. APLICACIONES FUNCIONES VECTORIALES

2. FUNCIONES VECTORIALES Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector: F : R → R3 , definida como F ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t )) , donde x ( t ) , y ( t ) y z ( t ) son funciones reales de variable real. As í , se dice que F es continua, derivable o integrable , si lo son x ( t ) , y ( t ) y z ( t ).

3. DERIVADA E INTEGRAL DE UNA FUNCION VECTORIAL

4. R eglas de derivación de funciones vectoriales relacionadas con las operaciones entre vectores

5. Movimiento en el espacio Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no se anula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector F ( t ) se le llama vector de posición de la curva Al vector F´ ( t ) se le llama vector velocidad . Al vector F´´ ( t ) se le llama vector aceleración . De modo que la velocidad en un instante t es ‌‌‌ ‌ F´ ( t ) y la aceleración es kF ( t ) k . . Al vector F´ ( t ) también se le llama vector tangente a la curva F ( t ) en t.

6. EJEMPLO 1 Dibuje la curva plana con la siguiente ecuacion vectorial. Calcule Dibuje el vector de posición y el vector tangente para el valor dado t. =(1+t)i+  

7. EJEMPLO 2 Hallar bajo las condiciones que se especifican. ´=2tj +  

8. EJEMPLO 3 Hallar la velocidad, la rapidez y la aceleración de esa partícula. =ti+(2t-5)j+3tk  

9. EJEMPLO 4 Hallar la posición en el instante t=2.  

10. Vector tangente unitario Si es el vector de posición de una curva C en un punto P de C el vector tangente unitario de C en P, denotado po r T(t), es el vector unitario en la dirección , si ≠ . = =  

11. Vector unitario normal Cuando los dos vectores unitarios T y N están trazados por el punto de la curva f(t), determinan un plano llamado osculador de la curva. El plano osculador es el plano que mejor se adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la curva es plana, el plano osculador coincide con el plano de la curva.

12. Componentes Tangencial y Normal de la aceleración El vector velocidad v es tangente a la trayectoria. El vector aceleración a puede descomponerse en dos componentes (llamadas componentes intrínsecas)mutuamente perpendiculares: una componente tangencial (en la direcciónde la tangente a la trayectoria), llamada aceleración tangencial, y una componente normal (en la dirección de la normal principal a la trayectoria), llamada aceleración normal o centrípeta (este último nombre en razón a que siempre está dirigida hacia el centro de curvatura).

13. o  

14. Vector B inormal unitario Es El producto cruz entre los vectores tangentes y normales unitarios . Este vector es ortogonal tanto a T´(t) como a N´(t).  

15. Ejemplo Hallar , en el instante t dado, para la curva especial =ti+2tj-3tk,t=1  

16. Longitud de arco de curva La longitud de un arco de curva entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la formula.

17. Curvatura Se define la curvatura como “la variación del vector tangente con respecto a la longitud del arco. La curvatura viene a medir como se ”tuerce“ la curva respecto de su longitud. Para curvas, no necesariamente parame trizadas por el arco, se puede calcular como:

18. Componentes de la aceleración Componente normal = Componente tangencial aT = = La componente tangencial de la aceleración es la responsable de que cambie la rapidez, mientras que la componente normal es responsable por la curvatura de la trayectoria. +  

19. Si la curva est á en el espacio, también se “retuerce” y para medir esto se define la torsión como: