Apostila 001 conjuntos numéricos

1. MATEMÁTICA 

Editora Exato 1
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
1. DIAGRAMA DE INCLUSÃO 
QZ
N
R C
I

Os conjuntos numéricos serão estudados passo
a passo ao longo de nosso curso. Essa unidade deverá
trabalhar os conjuntos até o campo dos Reais e deixar
para depois o estudo no campo dos Complexos.
2. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS 
O Conjunto dos Naturais, simbolizado por N,
representa os elementos inteiros positivos e o zero.
Observe que, nesse contexto, o zero foi separado dos
números positivos, ou seja, caracterizando a neutrali-
dade do elemento.
2.1 Notações 
N N={ },...4,3,2,1,0
N N*={ },...4,3,2,1, nessa notação, excluímos o
número 0 (zero).
3. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
O conjunto dos Inteiros, simbolizado por Z,
representa os elementos inteiros positivos, negativos
e o zero.
3.1 Notações 
N Z={ },...4,3,2,1,0,1,2,3,4..., −−−−
N Z
*
={ },...4,3,2,1,1,2,3,4..., −−−− , nessa notação,
excluímos o número 0 (zero).
N Z+=N={ },...4,3,2,1,0, esse conjunto será cha-
mado de conjunto dos números inteiros não
negativos.
N Z-={ }0,1,2,3,4..., −−−− , esse conjunto será
chamado de conjunto dos números inteiros
não positivos.
N Z
*
+={ },...4,3,2,1=N
*
, esse conjunto será cha-
mado de inteiros positivos.
N Z
*
−={ }1,2,3,4..., −−−− , esse conjunto será
chamado de inteiros negativos.
3.2 Propriedades estruturais 
No corpo dos inteiros, a soma e o produto pos-
suem as propriedades abaixo.
Dados x, y e z ∈ Z.
N Associativa
() ()zyxzyx ++=++ e () ()zyxzyx ⋅⋅=⋅⋅
N Comutativa
xyyx +=+ e xyyx ⋅=⋅
N Existência do elemento neutro
x0x=+ e x1x=⋅
N Lei do cancelamento
Se zyzx +=+ , então yx=.
Se zyzx ⋅=⋅ , então yx= (desde que 0z≠).
3.3 Paridade de um número inteiro 
Um número a ∈ Z é chamado de par quando a
divisão por 2 for exata, ou seja, o resto da divisão por
2 é zero. Em símbolos, temos:
Se a é par, então existe um número k ∈ Z, tal
que a=2k. Devemos observar que o número a ∈
M(2).
Exemplos: 
E.1) 4 é par, pois 2.24=;
E.2) –6 é par, pois ()326 −⋅=− .
Um número a e ∈ Z é chamado de ímpar no
caso contrário ao par, ou seja, a divisão de a por 2
deixa resto 1. Logo, podemos escrever que 1k2a += ,
com k ∈ Z.
Exemplos: 
E.1) 5 é ímpar, pois 1225 +⋅= ;
E.2) −17 é ímpar, pois ()19217 +−⋅=− .
3.4 Número Primo e Composto 
É todo número inteiro que só é divisível por
ele mesmo ou por 1±, excluindo-se o 1.
{ }P 2, 3, 5, 7,...± ± ± ±
Um número p ∈ Z
*
é denominado de composto
se possuir mais de quatro divisores.
Exemplos: 
E.1) 2 é primo, pois (){ }2,12D±±=, 2 1≠ e
12−≠;
E.2) −7 é primo, pois (){ }7,17D±±=−, 17≠− e
17−≠− ;
E.3) 6 é composto, pois (){ }6,3,2,16D±±±±=;
E.4) −10 é composto, pois
(){ }10,5,2,110D±±±±=−.
N Observações:
- Não existe até o presente momento uma lei
de formação para os números primos.
- O conjunto dos números primos possui infini-
tos elementos.
- A classificação da paridade em primos e
compostos só pode ser efetuada para números intei-
ros.

2. Editora Exato 2
3.5 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
O MMC entre n números é o menor número
divisível pelos n números.
Exemplo: 
O MMC de 4, 6, 12:
4, 6, 12 2
2
3
2  3  3
1  3  3
1  1  1
2 x 2 x 3 = 12


3.6 Decomposição simultânea 
Determine mmc (18, 24, 36).

Resolução: 
Consideremos o dispositivo prático.
18 24 36 2
9 12 18 2
9 6 9 2
9 3 9 3
3 1 3 3
1 1 1
2
3
. 3
2
= 72
Assim, temos: mmc (18, 24, 36) = 72.
4. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
4.1 Definição 
É o conjunto formado por todos os números
que podem ser escritos na forma
b
a
, em que a ∈ Z e b
∈ Z
*
.
4.2 Notação 
Q= {números que podem ser reduzidos à for-
ma
b
a
, com a ∈ Z e B ∈ Z
*
}.
Exemplos: 
E.1)
3
2
é racional, pois 2∈Z e 3∈Z
*
.
E.2)
3
2
2
1
é racional, pois
4
3
2
3
2
1
3
2
2
1
=⋅= , com 3
∈Z e 4∈Z
*
.
E.3) 0,666... é racional, pois
3
2
...666,0 =
, com
2 ∈Z e 3∈ Z
*
.
C Observação
- Na representação decimal de um número ra-
cional
b
a
, a dividido por b, encontramos dois tipos de
números, os decimais exatos ou decimais periódicos
(dízimas periódicas).
5. CONJUNTO  DOS  NÚMEROS  IRRACIO-
NAIS 
Um número é chamado de irracional quando,
escrito na forma decimal, apresenta um número infi-
nito de casas decimais sem apresentar períodos.
Exemplos: 
E.1) 2;
E.2) π=3,141592...
E.3) e=2,71828...

5.1 Notação 
O conjunto dos números irracionais será repre-
sentado por I.
6. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
O conjunto dos números reais é formado pelos
elementos da união dos conjuntos dos números Ra-
cionais e Irracionais. Em símbolo, temos:
QR I=
Racionais
Reais
Irracionais

6.1 Representação na reta real 
Podemos representar os números reais em uma
reta orientada, denominada reta real ou reta numéri-
ca.
reta numérica-3 -2 -1 0
21 3
2
1
5
2
-
2
3
-

6.3 Critérios de divisibilidade 
C Divisibilidade por 2.
Um número natural é divisível por 2 se, e so-
mente se, terminar em 0, 2, 4, 6, 8.
C Divisibilidade por 3.
Um número natural é divisível por 3, se e so-
mente se, a soma dos seus algarismos for um número
divisível por 3.
C Divisibilidade por 4.
Um número natural é divisível por 4 se, e so-
mente se, os dois últimos algarismos da direita for-
marem um número divisível por 4.
C Divisibilidade por 5.
Um número natural é divisível por 5 se, e so-
mente se, terminar em 0 ou 5.
C Divisibilidade por 6.
Um número natural é divisível por 6 se, e so-
mente se, for divisível por 2 e por 3.
C Divisibilidade por 9.
Um número natural é divisível por 9 se, e so-
mente se, a soma de seus algarismos for um número
divisível por 9.
C Divisibilidade por 11.

3. Editora Exato 3
Um número natural é divisível por 11 se, e
somente se, a diferença entre a soma dos algarismos
de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem
par, considerados da direita para a esquerda, for divi-
sível por 11.
7. REGRA DE SINAIS 
Soma e subtração 
+ + = + Sinais iguais
− − = −
soma e conserva o
sinal
+ − =
Sinais dife-
rentes
− + =
subtrai o módulo
maior do módulo
menor e conserva o
sinal do módulo
maior
Multiplicação e divisão 
+ + = + sinais iguais
− − = +
+ − = − sinais diferentes
− + =−
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 Resolva:
a) ()()3 2+ ⋅ + =
b) ()()3 2+ ⋅ − =
c) ()()6 : 2− − =
d) ()()8 : 4− + =
e) ()()3 : 3− − =
Resolução:
a) +6
b)-6
c)3
d)-2
e)1

EXERCÍCIOS 
1 Resolva: (-2).(-5)+(-5).(+3)=
a) d) 0
b) e) –
c) –5
d) –4
e) –7










2 O resultado de (-4).(50:10)+(-1) é:
a) 20
b) –20
c) –21
d) 19
e) Nenhuma.

3 Resolva: [ ]( 4).( 1).( 4).( 1) : ( 16) :− + − − −
a) 1 d) 2
b) –1 e) –2
c) 0

4 Se x= 4+2.[ ]{ }8 2. 1 3.(4 : 2)+ − então:
a) x=1 d) 0
b) x= -1 e) –4
c) x=32


5 Resolva:[ ][ ]( 2).( 3) : ( 3).( 2)− − − + :
a) –1 d) –2
b) 1 e) –3
c) 2

6 O m.m.c. entre 12, 5, 6 e 4 é:
a) 12 d) 40
b) 24 e) 60
c) 30

7 Não é um número primo:
a) 5 d) 29
b) 13 e) 37
c) 1

8 Efetue:
4 1
: .( 1)
3 3
    
− − =
    
    
a) –4 d) 3
b) 4 e) –12
c) 1

9 Considere as afirmações:
2
I.   N
5
2
II.  Z
5
2
III. Q
5
− ∈
− ∈
− ∈


Quantas são verdadeiras?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

4. Editora Exato 4
e) Nenhuma.

10 O valor de
3 2 1 1
: 1
4 3 5 2
   
− +
   
   
é:
a)
17
120

b)
5
102

c)
10
12

d)
17
15

e) Nenhuma.

GABARITO 
1 C
2 C
3 A
4 D
5 A
6 E
7 C
8 B
9 B
10 B