Aritmatika, Desimal, Pangkat, Sistem Bilangan Komputer

desimal, pangkat, sistem bilangan komputer

1. Cynthia Tri Octavianti 1

2. ▪Pembagian Bilangan bulat
Jika satu bilangan bulat dibagi dengan bilangan bulat kedua yang bukan salah satu
faktor dari bilangan bulat pertama, hasilnya tidak akan berupa bilangan bulat lain.
Alih-alih hasilnya akan terletak di antara dua bilangan bulat. Sebagai contoh
25÷8=3,125
Yang berupa bilangan yang lebih besar daripada 3 tetapi lebih kecil daripada 4.
Sebagaimana pada bilangan bulat, kedudukan suatu numeral di dalam bilangan
memperlihatkan nilainya. Disini bilangan 3,125 menyatakan
3 satuan + 1 persepuluhan + 2 perseratusan + 5 perseribuan.
Artinya 3+
1
10
+
2
100
+
5
1000
Di mana tanda koma menunjukkan pemisahan satuan dari persepuluhan. Bilangan
yang di tulis dalam format ini disebut bilangan desimal.
2

3. Pembulatan
Semua operasi aritmatika yang kita gunakan untuk bilangan bulat berlaku juga untuk bilangan desimal.
Akan tetapi, sewaktu melakukan perhitungan yang melibatkan bilangan desimal, adalah hal yang lazim
untuk mendapatkan hasil akhir berupa bilangan dengan jumlah numeral yang besar setelah tanda
koma. Sebagai contoh:
15,11÷8,92=1,6939461883…
Agar bilangan yang demikian lebih dapat dimanipulasi atau lebih masuk akal sebagai hasil
perhitungan, bilangan ini dapat dibulatkan entah itu ke bilangan dengan angka signifikan tertentu atau
ke tempat desimal tertentu.
Angka Signifikan
Angka signifikan dihitung dari numeral bukan nol pertama yang dijumpai yang dimulai dari kiri
bilangan tersebut. Apabila jumlah angka signifikan yang dibutuhkan telah dihitung, angka sisanya
dihilangkan dengan syarat sebagai berikut:
Jika kelompok pertama angka yang akan dihilangkan itu 5 atau lebih, angka signifikan terakhir
ditambah dengan 1. sebagai contoh
9,4534 hingga dua angka signifikan ialah 9,5, hingga tiga angka signifikan ialah 9,45, dan 0,001354
hingga dua angka signifikan ialah 0,0014
3

4. Tempat Desimal
Tempat desimal dihitung ke kanan dari tanda koma dan aturan pembulatan yang berlaku untuk angka
signifikan juga berlaku untuk jumlah tempat desimal. Sebagai contoh:
123,4467 hingga satu tempat desimal sama dengan 123,4 dan hingga dua tempat desimal sama dengan
123,45.
Nol Sisipan
Kadang-kadang sejumlah nol harus disisipkan di antara suatu bilangan untuk memenuhi persyaratan
jumlah angka signifikan tertentu atau jumlah tempat desimal tertentu. Sebagai contoh:
12645 hingga dua angka signifikan sama dengan 13000, dan 13,1 hingga tiga tempat desimal
sama dengan 13,100.
Nol-nol ini dinamakan sebagai nol sisipan (trailing zero).
Desimal takberkesudahan
Mengkonversi pecahan menjadi bentuk desimalnya dengan melakukan pembagian selalu
menghasilkan suatu untaian numeral yang tak terhingga setelah tanda koma. Untaian numeral ini
dapat saja berisi pola numeral yang berulang terus-menerus. Pola angka yang berulang terus
menerus ini dapat ditulis dalam format sederhananya. Sebagai contoh:
1
3
=1÷3=0,3333…=0,ሶ3
1
7
=0,142857142857142857…=0,ሶ14285ሶ7 4

5. Desimal takberkesudahan sebagai pecahan
Sebarang desimalyangmemperlihatkansuatupolaberulang yang takberkesudahan dapat dikonversi
menjadi bentuk pecahannya. Sebagai contoh:
Untuk mengkonversi 0,181818…=0,ሶ1ሶ8ke bentuk pecahannya kita perhatikan bahwa karena terdapat dua
numeral yang berulang kita mengalikannya dengan 100 untuk menghasilkan:
100×0,ሶ1ሶ8=18,ሶ1ሶ8
Mengurangkan0,ሶ1ሶ8dari kedua sisi persamaan ini menghasilkan:
(100×0,ሶ1ሶ8)−0,ሶ1ሶ8=18,ሶ1ሶ8−0,ሶ1ሶ8
(100×0,ሶ1ሶ8)−(1×0,ሶ1ሶ8)=18,0
(100−1)×0,ሶ1ሶ8=18
99×0,ሶ1ሶ8=18
0,ሶ1ሶ8=
18
99
=
2
11
Bilangan rasional, irasional dan real
Suatu bilanganyangdapat dinyatakan sebagai pecahan disebut bilangan rasional. Bilangan irasional
ialah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan dan memiliki bentuk desimal yang terdiri
atas untaian numeral yang tak terhingga yang tidak memperlihatkan pola berulang. Contoh bilangan
irasional, 2, ??????,atau ??????. Kumpulan lengkap bilangan rasional dan irasional disebut kumpulan bilangan
real.
5

6. Memangkatkan suatu bilangan
Operasiaritmatikaberupa pemangkatan suatu bilangan diperoleh dari perkalian berulang.
Sebagai contoh:
10×10×10×10=10
4
-bilangan 10 dikalikan bilangan itu sendiri 4 kali.
Pangkatdisebut juga indeksdan bilangan yang dipangkatkan disebut basis. Di sini bilangan 4
adalah pangkat (indeks) dan 10 adalah basisnya.
6
Hukum Pangkat
•Perkalian bilangan dan penambahan pangkat
16×8=2
4
×2
3
=2
4+3
=2
7
(basis sama)
2
2
×4
3
tidak dapat ditulis sebagai 8
5
3
4
×5
4
=15
4
(pangkat sama)

7. 7
•Pembagian bilangan dan pengurangan pangkat
15625÷25=5
6
÷5
2
=5
6−2
=5
4
=625
•Pangkatnol
sebarangbilangan yang dipangkatkan nol sama dengan satu. Sebagai contoh 3
0
=1
•Pangkatnegatif
bilangan yang dipangkatkan dengan pangkat negatif menandakan pangkat kebalikannya. Sebagai
contoh 6
−2
=
1
6
2
•Perkalian pangkat
25
3
=5
23
=5
2×3
=5
6
Tanda Akar
Notasilain untuk akar kuadrat dari 4 ialah tanda akar 4. Notasi ini dapat juga diperluas untuk akar
lainnya. Misalnya
7
9merupakan notasi lain untuk 9
1
7.
Perkalian dan pembagian dengan pangkat bilangan bulat dari 10
1,2345×10
3
=1234,5(tiga tempat ke kanan)
1,2345×10
−2
=0,012345( dua tempat ke kiri)

8. 8
Bentuk Standar
Sebarangbilangandesimaldapatditulissebagai bilangan desimal yang lebih besar atau sama dengan 1 dan
kurang dari 10 (yang disebut mantisa) dikalikan dengan bilangan 10 yang dipangkatkan dengan pangkat
yang sesuai (pangkat ini disebut eksponen). Sebagai contoh:
57,3=5,73×10
1
0,000485=4,85×10
−4
Bekerja dalam bentuk standar
•0,84×23000=8,4×10
−1
×2,3×10
4
=8,4×2,3×10
−1
×10
4
=19,32×10
3
=1,932×10
4
•175,4÷6340=1,754×10
2
÷6,34×10
3
=1,754÷6,34×10
2
÷10
3
=0,2767×10
−1
=2,767×10
−4
•4,72×10
3
+3,648×10
4
=4,72×10
3
+36,48×10
3
=4,72+36,48×10
3
=41,2×10
3
=4,12×10
4
Bentuk Standar lebih Baik
DalamsistemsatuanSI,disarankanbahwaapabilabilanganditulisdalambentukstandar,pangkatuntuk
bilangan10harusdibatasipadapangkat10
3
, dengan kata lain, 10
3
,10
6
,10
−3
,10
−6
,dll. Oleh sebab itu
dalam bentuk standar yang lebih baik (preferred standard form)ini, bilangan hingga 3 angka dapat saja
muncul di depan tanda koma desimal. Sebagai contoh :
5,2746×10
4
( dalam bentuk standar) =5,2746×10×10
3
=52,746×10
3
(dalam bentuk standar yang
lebih baik)

9. 9
Akurasi
Jikabilanganyangdigunakan dalam suatu perhitungan diperoleh dari pengukuran, hasil perhitungannya
merupakan bilangan yang akurat untuk tidak lebih daripada jumlah angka signifikan terkecil daripada
jumlah angka signifikan terkecil dalam sebarang pengukuran.
Sebagai contoh:
Panjangalas dan tinggi suatu persegi panjang diukur masing-masing sama dengan 114,8????????????dan 18????????????.
Luas persegi panjang diberikan sebagai hasil kali kedua panjang ini. Dengan menggunakan kalkulator hasil
kali ini sama dengan 2066,4????????????
2
. Karena salah satu dari panjang ini hanya diukur hingga 2 angka signifikan,
hasilnya tidak akan akurat untuk lebih dari 2 angka signifikan. Oleh sebab itu hasil tadi haruslah dibaca
sebagai 2100????????????
2
.

10. 1. Sistem denari ( atau desimal): basis 10. Nilai tempat adalah pangkat dari 10.
Simbol 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
2. Sistem biner : Basis 2. Nilai tempat adalah pangkat dari 2. Simbol 0,1.
3. Sistem oktal: Basis 8. Nilaitempat adalah pangkat dari 8. Simbol 0,1,2,3,4,5,6,7.
4.Sistemduodesimal: Basis 12. Nilai tempat adalah pangkat dari 12. Simbol
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,Χ,Λ.
5.Sistemheksadesimal:basis 16. Nilai tempat adalah pangkat dari 16. Simbol
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,�,�,�,�,�,�.
10

11. 11
1.Sistem denari (atau desimal)
basis 10. Nilai tempat adalah pangkat dari 10. Simbol 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Sebagai contoh : 2765,321
10
Sebagai contoh 2 7 6 5 , 3 2 �
��
Memiliki nilai tempat 10
3
10
2
10
1
10
0
10
−1
10
−2
10
−3
1000 100 10 1 1
10
1
100
1
1000
2. Sistem biner
Basis 2. Nilai tempat adalah pangkat dari 2. Simbol 0,1. Sebagai contoh : 1011,101
2
Jadi1011,101dalam sistem biner
=1×8+0×4+1×2+1×1+1×
1
2
+0×
1
4
+1×
1
8
=1+0+2+1+
1
2
+0+
1
8
dalam desimal
=11
5
8
=11,625dalam sistem denari. Oleh sebab itu 1011,101
2=11,625
10.
Sebagai contoh 1 0 1 1 , 1 0 �
�
Memiliki nilai tempat 2
3
2
2
2
1
2
0
2
−1
2
−2
2
−3
Dengan kata lain 8 4 2 1 1
2
1
4
1
8

12. 12
3. Sistem Oktal
Basis 8. Nilai tempat adalah pangkat dari 8. Simbol 0,1,2,3,4,5,6,7.
Dengan cara yang sama diperoleh
357,321
8=192+40+7+
3
8
+
1
32
+
1
512
=239
209
512
=239,4082
10
Sebagai contoh dlm sistem oktal 3 5 7 , 3 2 1
Memiliki nilai tempat 8
2
8
1
8
0
8
−1
8
−2
8
−3
Yang berarti 64 8 1 1
8
1
64
1
512
4. Sistem duodesimal
Basis 12. Nilai tempat adalah pangkat dari 12. Simbol 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,Χ,Λ.(Χuntuk 10, Λuntuk 11)
Jadi 2??????5,136
12=2×144+10×12+5×1+1×
1
12
+3×
1
144
+6×
1
1728
=………..
10
Sebagai contoh dlm sistem duodesimal 2 X 5 , 1 3 ??????
��
Memiliki nilai tempat 12
2
12
1
12
0
12
−1
12
−2
12
−3
Yang berarti 144 12 1 1
12
1
144
1
1728

13. 13
5. Sistem heksadesimal
basis 16. Nilai tempat adalah pangkat dari 16. Simbol 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,�,�,�,�,�,�.( huruf alfabet
digunakan untuk angka setelah angka 9 )
Jadi 2�7,3�2
16=2×256+10×16+7×1+3×
1
16
+14×
1
256
+2×
1
4096
=679
497
2048
=679,243
10
Sebagai contoh 2 A 7 , 3 E 2
16
Memiliki nilai tempat 16
2
16
1
16
0
16
−1
16
−2
16
−3
Yang artinya 256 16 1 1
16
1
256
1
4096

14. 1. Untuk menyatakan bilangan denari dalam bentuk biner
Carapalingmudahuntukmelakukaniniialahdengan pembagian berulang dengan 2 (basis
baru) , dengan memperhatikan sisanya pada setiap tahap. Teruskan pembagian itu hingga
hasilbagi nol diperoleh.
Sebagaicontoh,untukmengubah245
10ke bilangan biner
14

15. 15
2. Untuk menyatakan bilangan denari dalam bentuk oktal
Metode ini sama persis kecuali bahwa kita membagi secara berulang dengan 8 (basis baru).
Sebagaicontohuntukmengubah524
10ke bilangan oktal
∴524
10=1014
8
3. Untuk menyatakan bilangan denari dalam bentuk duodesimal
Cara sama yaitu membagi secara berulang dengan 12 (basis baru).
Sebagaicontohuntukmengubah897
10ke bilangan duodesimal
∴897
10=629
12

16. 16
4. Mengubah desimal denari ke bentuk oktal
Untuk mengubah0,526
10ke bentuk oktal, kita kalikan desimal itu secara berulang dengan basis barunya,
dalam hal ini 8, tetapi pada perkalian yang kedua dan seterusnya, kita tidak mengalikan bagian bilangan
cacah hasil kali sebelumnya.
∴0,526
10=0,4152
8

17. 17
Jika bilangan denari berisi bagian bilangan-bilangan cacah maupun desimal

18. 18

19. 19