Attractor Dimension Estimates For Dynamical Systems Theory And Computation Dedicated To Gennady Leonov 1st Ed Nikolay Kuznetsov

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Systems Theory And Computation Dedicated To
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Emergence, Complexity and Computation ECC
Nikolay Kuznetsov
Volker Reitmann
Attractor Dimension
Estimates
for Dynamical
Systems: Theory
and Computation
Dedicated to Gennady Leonov

Emergence, Complexity and Computation
Volume 38
Series Editors
Ivan Zelinka, Technical University of Ostrava, Ostrava, Czech Republic
Andrew Adamatzky, University of the West of England, Bristol, UK
Guanrong Chen, City University of Hong Kong, Hong Kong, China
Editorial Board
Ajith Abraham, MirLabs, USA
Ana Lucia, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, Rio Grande
do Sul, Brazil
Juan C. Burguillo, University of Vigo, Spain
SergejČelikovský, Academy of Sciences of the Czech Republic, Czech Republic
Mohammed Chadli, University of Jules Verne, France
Emilio Corchado, University of Salamanca, Spain
Donald Davendra, Technical University of Ostrava, Czech Republic
Andrew Ilachinski, Center for Naval Analyses, USA
Jouni Lampinen, University of Vaasa, Finland
Martin Middendorf, University of Leipzig, Germany
Edward Ott, University of Maryland, USA
Linqiang Pan, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan, China
Gheorghe Păun, Romanian Academy, Bucharest, Romania
Hendrik Richter, HTWK Leipzig University of Applied Sciences, Germany
Juan A. Rodriguez-Aguilar
, IIIA-CSIC, Spain
Otto Rössler, Institute of Physical and Theoretical Chemistry, Tübingen, Germany
Vaclav Snasel, Technical University of Ostrava, Czech Republic
Ivo Vondrák, Technical University of Ostrava, Czech Republic
Hector Zenil, Karolinska Institute, Sweden

The Emergence, Complexity and Computation (ECC) series publishes new
developments, advancements and selected topics in theﬁelds of complexity,
computation and emergence. The series focuses on all aspects of reality-based
computation approaches from an interdisciplinary point of view especially from
applied sciences, biology, physics, or chemistry. It presents new ideas and
interdisciplinary insight on the mutual intersection of subareas of computation,
complexity and emergence and its impact and limits to any computing based on
physical limits (thermodynamic and quantum limits, Bremermann’s limit, Seth
Lloyd limits…) as well as algorithmic limits (Gödel’s proof and its impact on
calculation, algorithmic complexity, the Chaitin’s Omega number and Kolmogorov
complexity, non-traditional calculations like Turing machine process and its
consequences,…) and limitations arising in artiﬁcial intelligence. The topics are
(but not limited to) membrane computing, DNA computing, immune computing,
quantum computing, swarm computing, analogic computing, chaos computing and
computing on the edge of chaos, computational aspects of dynamics of complex
systems (systems with self-organization, multiagent systems, cellular automata,
artiﬁcial life,…), emergence of complex systems and its computational aspects, and
agent based computation. The main aim of this series is to discuss the above
mentioned topics from an interdisciplinary point of view and present new ideas
coming from mutual intersection of classical as well as modern methods of
computation. Within the scope of the series are monographs, lecture notes, selected
contributions from specialized conferences and workshops, special contribution
from international experts.
More information about this series athttp://www.springer.com/series/10624

Nikolay KuznetsovVolker Reitmann
AttractorDimension
EstimatesforDynamical
Systems:Theory
andComputation
Dedicated to Gennady Leonov
123

Nikolay Kuznetsov
Department of Applied Cybernetics
Faculty of Mathematics and Mechanics
St. Petersburg State University
St. Petersburg, Russia
Volker Reitmann
Department of Applied Cybernetics
Faculty of Mathematics and Mechanics
St. Petersburg State University
St. Petersburg, Russia
Faculty of Information Technology
University of Jyväskylä
Jyväskylä, Finland
ISSN 2194-7287 ISSN 2194-7295 (electronic)
Emergence, Complexity and Computation
ISBN 978-3-030-50986-6 ISBN 978-3-030-50987-3 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-030-50987-3
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Switzerland AG 2021
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Preface
In this book, we continue the investigations of global attractors and invariant sets
for dynamical systems by means of Lyapunov functions and adapted metrics. The
effectiveness of such approaches for the approximation and localization of attractors
for different classes of dynamical systems was already shown in Abramovich et al.
[1, 2] and in [30, 32]. In particular, Lyapunov functions and adapted metrics were
constructed for global stability problems and the existence of homoclinic orbits in
the Lorenz system using frequency-domain methods and reduction principles.
In 1980, investigators of differential equations and general dynamical systems
were greatly impressed by a paper about upper estimates of the Hausdorff dimen-
sion ofﬂow and map invariant sets written by Douady and Oesterlé[12]. The
Douady–Oesterléapproach, the signiﬁcance of which can be compared with that of
Liouville’s theorem, has been developed and modiﬁcated in many papers for var-
ious types of dimension characteristics of attractors generated by dynamical sys-
tems: Ledrappier [22], Constantin et al. [11], Smith [42], Eden et al. [13], Chen [9],
Hunt [17], Boichenko and Leonov [4].
After Ya. B. Pesin had worked out [39] a general scheme of introducing metric
dimension characteristics, this method made it possible to deﬁne from a unique
point of view various types of outer measures and dimensions, such as the
Hausdorff dimension, the fractal dimension, the information dimension as well as
the topological and metric entropies. The Pesin scheme naturally led to the char-
acterization of a class of Carathéodory measures [25, 27], which are adapted to the
speciﬁc character of attractors of autonomous differential equations, i.e. to the fact
that these attractors consist wholly of trajectories. The neighborhoods of pieces
of these trajectories form a covering of the attractor. It serves as the base for
introducing the special outer Carathéodory measures. A number of effective tools
for estimating these measures were developed within the theory of differential
equations in Euclidean space and well-known results by Borg [8], Hartman and
Olech [15], when analysing the orbital stability of solutions. The most important
property, used in dimension theory, is the fact that the Carathéodory measures are
majorants for the associated Hausdorff measures.
v

Early in the nineties of the last century, G. A. Leonov and his co-workers
observed deep inner connections between the mentioned direct method of
Lyapunov in stability theory and estimation technics for outer measures in
dimension theory. Introducing the Lyapunov functions and varying Riemannian
metrices (Leonov [24], Noack and Reitmann [38]) into upper estimates of dimen-
sion characteristics of invariant sets made it possible to generalize and improve
[4, 6, 28, 29] some well-known results of R. A. Smith, P. Constantin, C. Foias,
A. Eden, and R. Temam.
On the other hand, Pugh’s closing lemma [40] and theorems about the spanning
of two-dimensional surfaces on a given closed curve gave the opportunity to apply
some theorems about the contraction of Hausdorff measures to global stability
investigations of time-continuous dynamical systems (Smith [42], Leonov [24], Li
and Muldowney [35]). In this book, the effectiveness of introducing the Lyapunov
functions into dimensional characteristics is shown for a number of concrete
dynamical systems: the Hénon map, the systems of Lorenz and Rössler as well as
their generalizations for various physical systems and models (rotation of a rigid
body in a resisting medium, convection of liquid in a rotating ellipsoid, interaction
between waves in plasma, etc.).
Additionally to the derivation of upper Hausdorff dimension estimates, exact
formulas for the Lyapunov dimensions for Lorenz type systems were shown
[26, 28]. Many of these results were presented in [7].
In the following decade, the modiﬁed Douady–Oesterléapproach was also used
for new classes of attractors [33].
It was also possible to get different versions of the Douady–Oesterlétheorem for
piecewise continuous maps and differential equations [37, 41]. For cocycles gen-
erated by non-autonomous systems, the upper Hausdorff dimension estimates are
derived in [31, 34]. Some of these results are included in the present book which
provides a systematic presentation of research activities in the dimension theory of
dynamical systems inﬁnite-dimensional Euclidean spaces and manifolds. Let us
brieﬂy sketch the contents of the book.
In Part I, we consider the basic facts from attractor theory, exterior products and
dimension theory. Chapter1is devoted to the investigation of various types of
global attractors of dynamical systems in general metric spaces (globalB-attractors,
minimal globalB-attractors and others). The theoretical results are applied to the
generalized Lorenz system and dynamical systems on theﬂat cylinder. One section
is concerned with the existence proof of a homoclinic orbit in the Lorenz system
(Leonov [23], Hastings and Troy [16], Chen [10]).
In Chap.2, some facts on singular values of matrices, the exterior calculus for
spaces and matrices and the Lozinskii matrix norm, necessary for estimation
techniques of outer measures, are presented. In addition to this, the Yakubovich–
Kalman frequency theorem and the Kalman–Szegötheorem about the solvability of
certain matrix inequalities are formulated and used for the estimation of singular
values.
vi Preface

Chapter3is an introduction to dimension theory. It starts with the deﬁnition and
the basic properties of the topological dimension in the spirit of Hurewicz and
Wallman [18]. Next, the notions of Hausdorff measure, Hausdorff dimension and
fractal dimension are introduced. After this, the topological entropy of a continuous
map is discussed. The last part of the chapter deals with Pesin’s scheme of intro-
ducing the Carathéodory dimension characteristics.
In Part II, we investigate dimension properties of dynamical systems in
Euclidean spaces. It includes estimates of topological dimension of the Hausdorff
and fractal dimensions for invariant sets of concrete physical systems and estimates
of the Lyapunov dimension.
Chapter4is concerned with the investigation of dimension properties of almost
periodicﬂows [3]. We thank M. M. Anikushin for helping us to prepare theﬁrst
version of Chap.4.
Chapter5begins with the so-called limit theorem about the evolution of
Hausdorff measures under the action of smooth maps in Euclidean spaces. This
theorem gives the opportunity to include into Hausdorff dimension and Hausdorff
measure estimates, certain varying functions which turn over into Lyapunov
functions when the theorem is applied to differential equations. The method of
varying functions is used in estimations of fractal dimension and topological
entropy. Simultaneously, with the introduction of Lyapunov functions in estimates
for the Hausdorff measure, the logarithmic norms were used by Muldowney [36],
for estimating the two-dimensional Riemannian volumes of compact sets shifted
along the orbits of differential equations. One of the main goals of Chap.5is to
combine the Lyapunov function and logarithmic norm approaches (Boichenko and
Leonov [5]), in order to solve a number of problems in the qualitative theory of
ordinary differential equations, such as the generalization of the Liouville formula
and the Bendixson criterion.
Chapter6is devoted toﬁnite-dimensional dynamical systems in Euclidean space
and its aim is to explain, in a simple but rigorous way, the connection between the
key works in the area: Kaplan and Yorke (the concept of Lyapunov dimension [19]
1979), Douady and Oesterlé(estimation of Hausdorff dimension via the Lyapunov
dimension of maps [12]), Constantin, Eden, Foias, and Temam (estimation of
Hausdorff dimension via the Lyapunov exponents and Lyapunov dimension of
dynamical systems [13]), Leonov (estimation of the Lyapunov dimension via the
direct Lyapunov method [20, 24]), and numerical methods for the computation of
Lyapunov exponents and Lyapunov dimension [21]. We also concentrate in this
chapter on the Kaplan–Yorke formula and the Lyapunov dimension formulas for
the Lorenz and Hénon attractors (Leonov [26]).
In Part III, we consider dimension properties for dynamical systems on mani-
folds. Chapter7gives a presentation of the exterior calculus in general linear
spaces. It contains also some results about orbital stability for vectorﬁelds on
manifolds.
Chapter8is devoted to dimension estimates of invariant sets and attractors of
dynamical systems on Riemannian manifolds. The Douady–Oesterlétheorem for
the upper Hausdorff dimension estimates for invariant sets of smooth dynamical
Preface vii

systems on Riemannian manifolds is proved. Chapter8contains also an important
result on the estimation of the fractal dimension of an invariant set on an arbitrary
ﬁnite-dimensional smooth manifold by the upper Lyapunov dimension, which goes
back to Hunt [17], Gelfert [14]. Then we discuss the construction of the special
Carathéodory measures for the estimation of Hausdorff measures connected with
ﬂow invariant sets on Riemannian manifolds.
In Chap.9, we derive dimension and entropy estimates for invariant sets and
globalB-attractors of cocycles. A version of the Douady–Oesterlétheorem (Leonov
et al. [31]) is proved for local cocycles in a Euclidean space and for cocycles on
Riemannian manifolds. As examples, we consider cocycles, generated by the
Rössler system with variable coefﬁcients. We also introduce time-discrete cocycles
onﬁbered spaces and deﬁne the topological entropy of such cocycles. We thank
A. O. Romanov for helping us to prepare this chapter.
In Chap.10, we derive some versions of the Douady–Oesterlétheorem for
systems with singularities. In theﬁrst part of this chapter, we consider a special
class of non-injective maps, for which we introduce a factor describing the“degree
of non-injectivity”(Boichenko et al. [6]). This factor can be included in the
dimension estimates of Chap.8in order to weaken the condition to the singular
value function. In the second part of Chap.10, we derive the upper Hausdorff
dimension estimates for invariant sets of a class of not necessarily invertible and
piecewise smooth maps on manifolds with controllable preimages of the
non-differentiability sets in terms of the singular values of the derivative of the
smoothly extended map (Reitmann and Schnabel [41], Neunhäuserer [37]) These
estimates generalize some Douady–Oesterlétype results for differentiable maps in a
Euclidean space, derived in Chaps.5and8.
In the last section of Chap.10, we discuss some classes of functionals which are
useful for the estimation of topological and metric dimensions.
St. Petersburg, Russia Nikolay Kuznetsov
Volker Reitmann
References
1. Abramovich, S., Koryakin, Yu., Leonov, G., Reitmann, V.: Frequency-domain conditions for
oscillations in discrete systems. I., Oscillations in the sense of Yakubovich in discrete sys-
tems. Wiss. Zeitschr. Techn. Univ. Dresden.25(5/6), 1153–1163 (1977) (German)
2. Abramovich, S., Koryakin, Yu., Leonov, G., Reitmann, V.: Frequency-domain conditions for
oscillations in discrete systems. II., Oscillations in discrete phase systems. Wiss. Zeitschr.
Techn. Univ. Dresden.26(1), 115–122 (1977) (German)
3. Anikushin, M.M.: Dimension theory approach to the complexity of almost periodic trajec-
tories. Intern. J. Evol. Equ.10(3–4), 215–232 (2017)
4. Boichenko, V.A., Leonov, G.A.: Lyapunov’s direct method in the estimation of the Hausdorff
dimension of attractors. Acta Appl. Math.26,1–60 (1992)
viii Preface

5. Boichenko, V.A., Leonov, G.A.: Lyapunov functions, Lozinskii norms, and the Hausdorff
measure in the qualitative theory of differential equations. Amer. Math. Soc. Transl.193(2),
1–26 (1999)
6. Boichenko, V.A., Leonov, G.A., Franz, A., Reitmann,V.: Hausdorff and fractal dimension
estimates of invariant sets of non-injective maps. Zeitschrift für Analysis und ihre
Anwendungen (ZAA).17(1), 207–223 (1998)
7. Boichenko, V.A., Leonov, G.A., Reitmann, V.: Dimension Theory for Ordinary Differential
Equations. Teubner, Stuttgart (2005)
8. Borg, G.: A condition for existence of orbitally stable solutions of dynamical systems. Kungl.
Tekn. Högsk. Handl. Stockholm.153,3–12 (1960)
9. Chen, Zhi-Min.: A note on Kaplan-Yorke-type estimates on the fractal dimension of chaotic
attractors. Chaos, Solitons & Fractals3, 575–582 (1993)
10. Chen, X.: Lorenz equations, part I: existence and nonexistence of homoclinic orbits.
SIAM J. Math. Anal.27(4), 1057–1069 (1996)
11. Constantin, P., Foias, C., Temam, R.: Attractors representing turbulentﬂows. Amer. Math.
Soc. Memoirs., Providence, Rhode Island.53(314), (1985)
12. Douady, A., Oesterlé, J.: Dimension de Hausdorff des attracteurs. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser.
A.290, 1135–1138 (1980)
13. Eden, A., Foias, C., Temam, R.: Local and global Lyapunov exponents. J. Dynam. Diff. Equ.
3, 133–177 (1991) [Preprint No. 8804, The Institute for Applied Mathematics and Scientiﬁc
Computing, Indiana University, 1988]
14. Gelfert, K.: Maximum local Lyapunov dimension bounds the box dimension. Direct proof for
invariant sets on Riemannian manifolds. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen
(ZAA).22(3), 553–568 (2003)
15. Hartman, P., Olech, C.: On global asymptotic stability of solutions of ordinary differential
equations. Trans. Amer. Math. Soc.104, 154–178 (1962)
16. Hastings, S.P., Troy, W.C.: A shooting approach to chaos in the Lorenz equations. J. Diff.
Equ.127(1), 41–53 (1996)
17. Hunt, B.: Maximum local Lyapunov dimension bounds the box dimension of chaotic
attractors. Nonlinearity.9, 845–852 (1996)
18. Hurewicz, W., Wallman, H.: Dimension Theory. Princeton Univ. Press, Princeton (1948)
19. Kaplan, J.L., Yorke, J.A.: Chaotic behavior of multidimensional difference equations. In:
Functional Differential Equations and Approximations of Fixed Points, 204–227, Springer,
Berlin (1979)
20. Kuznetsov, N.V.: The Lyapunov dimension and its estimation via the Leonov method.
Physics Letters A,380(25–26), 2142–2149 (2016)
21. Kuznetsov, N.V., Leonov, G.A., Mokaev, T.N., Prasad, A., Shrimali, M.D.: Finite-time
Lyapunov dimension and hidden attractor of the Rabinovich system. Nonlinear Dyn.92(2),
267–285 (2018)
22. Ledrappier, F.: Some relations between dimension and Lyapunov exponents. Commun. Math.
Phys.81, 229–238 (1981)
23. Leonov, G.A.: On the estimation of the bifurcation parameter values of the Lorenz system.
Uspekhi Mat. Nauk.43(3), 189–200 (1988) (Russian); English transl. Russian Math. Surveys.
43(3), 216–217 (1988)
24. Leonov, G.A.: Estimation of the Hausdorff dimension of attractors of dynamical systems.
Diff. Urav.27(5), 767–771 (1991) (Russian); English transl. Diff. Equations,27, 520–524
(1991)
25. Leonov, G.A.: Construction of a special outer Carathéodory measure for the estimation of the
Hausdorff dimension of attractors. Vestn. S. Peterburg Gos. Univ.1(22), 24–31 (1995)
(Russian); English transl. Vestn. St. Petersburg Univ. Math. Ser. 1,28(4), 24–30 (1995)
26. Leonov, G.A.: Lyapunov dimensions formulas for Hénon and Lorenz attractors. Alg. & Anal.
13, 155–170 (2001) (Russian); English transl. St. Petersburg Math. J.13(3), 453–464 (2002)
Preface ix

27. Leonov, G.A., Gelfert, K., Reitmann, V.: Hausdorff dimension estimates by use of a tubular
Carathéodory structure and their application to stability theory. Nonlinear Dyn. Syst. Theory,
1(2), 169–192 (2001)
28. Leonov, G.A., Lyashko, S.: Eden’s hypothesis for a Lorenz system. Vestn. S. Peterburg Gos.
Univ., Matematika.26(3), 15–18 (1993) (Russian); English transl. Vestn. St. Petersburg Univ.
Math. Ser. 1,26(3), 14–16 (1993)
29. Leonov, G.A., Ponomarenko, D.V., Smirnova, V.B.: Frequency-Domain Methods for
Nonlinear Analysis. World Scientiﬁc, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong (1996)
30. Leonov, G. A., Reitmann, V.: Localization of Attractors for Nonlinear Systems.
Teubner-Texte zur Mathematik, Bd. 97, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, (1987)
(German)
31. Leonov, G.A., Reitmann, V., Slepuchin, A.S.: Upper estimates for the Hausdorff dimension of
negatively invariant sets of local cocycles. Dokl. Akad. Nauk, T. 439, No. 6 (2011) (Russian);
English transl. Dokl. Mathematics.84(1), 551–554 (2011)
32. Leonov, G.A., Reitmann, V., Smirnova, V.B.: Non-local Methods for Pendulum-like
Feedback Systems. Teubner-Texte zur Mathematik, Bd. 132, B. G. Teubner Stuttgart- Leipzig
(1992)
33. Leonov, G.A., Kuznetsov, N.V., Mokaev T.N.: Homoclinic orbits, and self-excited and
hidden attractors in a Lorenz-like system describing convectiveﬂuid motion. Eur. Phys.
J. Special Topics.224(8), 1421–1458 (2015)
34. Maltseva, A.A., Reitmann, V.: Existence and dimension properties of a global B-pullback
attractor for a cocycle generated by a discrete control system. J. Diff. Equ.53(13), 1703–1714
(2017)
35. Li, M.Y., Muldowney, J.S.: On Bendixson’s criterion. J. Diff. Equ.106(1), 27–39 (1993)
36. Muldowney, J.S.: Compound matrices and ordinary differential equations. Rocky
Mountain J. Math.20, 857–871 (1990)
37. Neunhäuserer, J.: A Douady-Oesterlétype estimate for the Hausdorff dimension of invariant
sets of piecewise smooth maps. Preprint, University of Technology Dresden (2000)
38. Noack, A., Reitmann, V.: Hausdorff dimension estimates for invariant sets of time-dependent
vectorﬁelds. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen (ZAA).15(2), 457–473 (1996)
39. Pesin, Ya. B.: Dimension type characteristics for invariant sets of dynamical systems. Uspekhi
Mat. Nauk.43(4), 95–128 (1988) (Russian); English transl. Russian Math. Surveys.43(4),
111–151 (1988)
40. Pugh, C.C.: An improved closing lemma and a general density theorem. Amer. J. Math.89,
1010–1021 (1967)
41. Reitmann, V., Schnabel, U.: Hausdorff dimension estimates for invariant sets of piecewise
smooth maps. ZAMM80
(9), 623–632 (2000)
42. Smith, R.A.: Some applications of Hausdorff dimension inequalities for ordinary differential
equations. Proc. Roy. Soc. Edinburgh.104A, 235–259 (1986)
x Preface

Acknowledgements
While still working on this book, our coauthor Prof. G. A. Leonov, corresponding
member of the Russian Academy of Science, died in 2018. This work is dedicated
to his memory, with our deepest and most sincere admiration, gratitude, and love.
He was an excellent mathematician with a sharp view on problems and a wonderful
colleague and friend. He will stay forever in our mind.
The preparation of this book was carried out in 2017–2019 at the St. Petersburg
State University, at the Institute for Problems in Mechanical Engineering of the
Russian Academy of Science, and at the University of Jyväskyläwithin the
framework of the Russian Science Foundation projects 14-21-00041 and
19-41-02002.
One of the authors (V.R.) was supported in 2017–2018 by the Johann Gottfried
Herder Programme of the German Academic Exchange Service (DAAD).
The authors of the book are greatly indebted to Margitta Reitmann for her
accurate typing of the manuscript in L
ATEX.
St. Petersburg, Russia Nikolay Kuznetsov
February 2020 Volker Reitmann
xi

Contents
Part I Basic Elements of Attractor and Dimension Theories
1 Attractors and Lyapunov Functions
........................ 3
1.1 Dynamical Systems, Limit Sets and Attractors
............. 3
1.1.1 Dynamical Systems in Metric Spaces
............. 3
1.1.2 Minimal Global Attractors
..................... 10
1.2 Dissipativity
...................................... 15
1.2.1 Dissipativity in the Sense of Levinson
............. 15
1.2.2 Dissipativity and Completeness of The Lorenz
System
................................... 16
1.2.3 Lyapunov-Type Results for Dissipativity
........... 20
1.3 Existence of a Homoclinic Orbit in the Lorenz System
.......25
1.3.1 Introduction
................................ 25
1.3.2 Estimates for the Shape of Global Attractors
........25
1.3.3 The Existence of Homoclinic Orbits
.............. 28
1.4 The Generalized Lorenz System
....................... 33
1.4.1 Deﬁnition of the System
....................... 33
1.4.2 Equilibrium States
........................... 34
1.4.3 Global Asymptotic Stability
.................... 35
1.4.4 Dissipativity
................................ 36
References
............................................ 38
2 Singular Values, Exterior Calculus and Logarithmic Norms
.....41
2.1 Singular Values and Covering of Ellipsoids
............... 41
2.1.1 Introduction
................................ 41
2.1.2 Deﬁnition of Singular Values
................... 43
2.1.3 Lemmas on Covering of Ellipsoids
............... 45
xiii

2.2 Singular Value Inequalities........................... 47
2.2.1 The Fischer-Courant Theorem
................... 47
2.2.2 The Binet–Cauchy Theorem
.................... 48
2.2.3 The Inequalities of Horn, Weyl and Fan
........... 50
2.3 Compound Matrices
................................ 52
2.3.1 Multiplicative Compound Matrices
............... 52
2.3.2 Additive Compound Matrices
................... 56
2.3.3 Applications to Stability Theory
................. 58
2.4 Logarithmic Matrix Norms
........................... 60
2.4.1 Lozinskii’s Theorem
.......................... 60
2.4.2 Generalization of the Liouville Equation
........... 66
2.4.3 Applications to Orbital Stability
................. 69
2.5 The Yakubovich-Kalman Frequency Theorem
............. 73
2.5.1 The Frequency Theorem for ODE’s
............... 73
2.5.2 The Frequency Theorem for Discrete-Time
Systems
................................... 75
2.6 Frequency-Domain Estimation of Singular Values
.......... 77
2.6.1 Linear Differential Equations
.................... 77
2.6.2 Linear Difference Equations
.................... 81
2.7 Convergence in Systems with Several Equilibrium States
.....84
2.7.1 General Results
............................. 84
2.7.2 Convergence in the Lorenz System
............... 88
References
............................................ 91
3 Introduction to Dimension Theory
......................... 95
3.1 Topological Dimension
.............................. 95
3.1.1 The Inductive Topological Dimension
............. 96
3.1.2 The Covering Dimension
...................... 101
3.2 Hausdorff and Fractal Dimensions
...................... 105
3.2.1 The Hausdorff Measure and the Hausdorff
Dimension
................................. 105
3.2.2 Fractal Dimension and Lower Box Dimension
.......114
3.2.3 Self-similar Sets
............................. 120
3.2.4 Dimension of Cartesian Products
................. 122
3.3 Topological Entropy
................................ 125
3.3.1 The Bowen-Dinaburg Deﬁnition
................. 125
3.3.2 The Characterization by Open Covers
.............128
3.3.3 Some Properties of the Topological Entropy
........131
3.4 Dimension-Like Characteristics
........................ 136
3.4.1 Carathéodory Measure, Dimension and Capacity
.....136
3.4.2 Properties of the Carathéodory Dimension
and Carathéodory Capacity
..................... 139
References
............................................ 144
xiv Contents

Part II Dimension Estimates for Almost Periodic Flows and
Dynamical Systems in Euclidean Spaces
4 Dimensional Aspects of Almost Periodic Dynamics
.............149
4.1 Introduction
...................................... 149
4.2 Topological Dimension of Compact Groups
............... 150
4.3 Frequency Module and Cartwright’s Theorem on Almost
Periodic Flows
.................................... 153
4.4 Minimal Sets in Euclidean Spaces
...................... 157
4.5 Almost Periodic Solutions of Almost Periodic ODEs
........158
4.6 Frequency Spectrum of Almost Periodic Solutions
for DDEs
........................................ 166
4.7 Fractal Dimensions of Almost Periodic Trajectories
and The Liouville Phenomenon
........................ 171
4.8 Fractal Dimensions of Forced Almost Periodic Regimes
in Chua’s Circuit
.................................. 181
References
............................................ 189
5 Dimension and Entropy Estimates for Dynamical Systems
.......191
5.1 Upper Estimates for the Hausdorff Dimension of Negatively
Invariant Sets
..................................... 191
5.1.1 The Limit Theorem for Hausdorff Measures
.........191
5.1.2 Corollaries of the Limit Theorem for Hausdorff
Measures
.................................. 196
5.1.3 Application of the Limit Theorem to the Hénon
Map
..................................... 201
5.2 The Application of the Limit Theorem to ODE’s
...........206
5.2.1 An Auxiliary Result
.......................... 206
5.2.2 Estimates of the Hausdorff Measure and of Hausdorff
Dimension
................................. 208
5.2.3 The Generalized Bendixson Criterion
.............212
5.2.4 On the Finiteness of the Number of Periodic
Solutions
.................................. 213
5.2.5 Convergence Theorems
........................ 214
5.3 Convergence in Third-Order Nonlinear Systems Arising
from Physical Models
............................... 215
5.3.1 The Generalized Lorenz System
................. 215
5.3.2 Euler’s Equations Describing the Rotation
of a Rigid Body in a Resisting Medium
...........220
5.3.3 A Nonlinear System Arising from Fluid Convection
in a Rotating Ellipsoid
........................ 221
5.3.4 A System Describing the Interaction of Three Waves
in Plasma
.................................. 223
Contents xv

5.4 Estimates of Fractal Dimension........................ 225
5.4.1 Maps with a Constant Jacobian
.................. 225
5.4.2 Autonomous Differential Equations Which
are Conservative on the Invariant Set
.............229
5.5 Fractal Dimension Estimates for Invariant Sets
and Attractors of Concrete Systems
..................... 230
5.5.1 The Rössler System
.......................... 230
5.5.2 Lorenz Equation
............................. 232
5.5.3 Equations of the Third Order
................... 239
5.5.4 Equations Describing the Interaction Between
Waves in Plasma
............................ 244
5.6 Estimates of the Topological Entropy
.................... 247
5.6.1 Ito’s Generalized Entropy Estimate for Maps
........247
5.6.2 Application to Differential Equations
.............. 252
References
............................................ 254
6 Lyapunov Dimension for Dynamical Systems in Euclidean
Spaces
............................................... 257
6.1 Singular Value Function and Invariant Sets of Maps
of Dynamical Systems
............................... 257
6.2 Lyapunov Dimension of Maps
......................... 263
6.3 Lyapunov Dimensions of a Dynamical System
.............265
6.3.1 Lyapunov Exponents: Various Deﬁnitions
..........269
6.3.2 Kaplan-Yorke Formula of the Lyapunov
Dimension
................................. 272
6.4 Analytical Estimates of the Lyapunov Dimension
and its Invariance with Respect to Diffeomorphisms
.........279
6.5 Analytical Formulas of Exact Lyapunov Dimension
for Well-Known Dynamical Systems
.................... 286
6.5.1 Hénon Map
................................ 286
6.5.2 Lorenz System
.............................. 287
6.5.3 Glukhovsky-Dolzhansky System
................. 291
6.5.4 Yang and Tigan Systems
...................... 292
6.5.5 Shimizu-Morioka System
...................... 293
6.6 Attractors of Dynamical Systems
....................... 294
6.6.1 Computation of Attractors and Lyapunov
Dimension
................................. 294
6.7 Computation of the Finite-Time Lyapunov Exponents
and Dimension in MATLAB
.......................... 298
References
............................................ 301
xvi Contents

Part III Dimension Estimates on Riemannian Manifolds
7 Basic Concepts for Dimension Estimation on Manifolds
.........309
7.1 Exterior Calculus in Linear Spaces, Singular Values
of an Operator and Covering Lemmas
................... 309
7.1.1 Multiplicative and Additive Compounds
of Operators
................................ 309
7.1.2 Singular Values of an Operator Acting Between
Euclidean Spaces
............................ 318
7.1.3 Lemmas on Covering of Ellipsoids in an Euclidean
Space
.................................... 321
7.1.4 Singular Value Inequalities for Operators
...........323
7.2 Orbital Stability for Flows on Manifolds
................. 325
7.2.1 The Andronov-Vitt Theorem
.................... 325
7.2.2 Various Types of Variational Equations
............326
7.2.3 Asymptotic Orbital Stability Conditions
............329
7.2.4 Characteristic Exponents
....................... 343
7.2.5 Orbital Stability Conditions in Terms of Exponents
...347
7.2.6 Estimating the Singular Values and Orbital Stability
...348
7.2.7 Frequency-Domain Conditions for Orbital Stability
in Feedback Control Equations on the Cylinder
......354
7.2.8 Dynamical Systems with a Local Contraction
Property
................................... 358
References
............................................ 362
8 Dimension Estimates on Manifolds
......................... 365
8.1 Hausdorff Dimension Estimates for Invariant Sets
of Vector Fields
................................... 365
8.1.1 Introduction
................................ 365
8.1.2 Hausdorff Dimension Bounds for Invariant
Sets of Maps on Manifolds
..................... 366
8.1.3 Time-Dependent Vector Fields on Manifolds
........371
8.1.4 Convergence for Autonomous Vector Fields
........376
8.2 The Lyapunov Dimension as Upper Bound of the Fractal
Dimension
....................................... 379
8.2.1 Statement of the Results
....................... 379
8.2.2 Proof of Theorem 8.5
......................... 380
8.2.3 Global Lyapunov Exponents and Upper Lyapunov
Dimension
................................. 387
8.2.4 Application to the Lorenz System
................ 388
8.3 Hausdorff Dimension Estimates by Use of a Tubular
Carathéodory Structure and their Application to Stability
Theory
.......................................... 390
Contents xvii

8.3.1 The System in Normal Variation................. 390
8.3.2 Tubular Carathéodory Structure
.................. 394
8.3.3 Dimension Estimates for Sets Which are Negatively
Invariant for a Flow
.......................... 396
8.3.4 Flow Invariant Sets with an Equivariant Tangent
Bundle Splitting
............................. 403
8.3.5 Generalizations of the Theorems of Hartman-Olech
and Borg
.................................. 406
References
............................................ 408
9 Dimension and Entropy Estimates for Global Attractors
of Cocycles
........................................... 411
9.1 Basic Facts from Cocycle Theory in Non-ﬁbered Spaces
......411
9.1.1 Deﬁnition of a Cocycle
........................ 411
9.1.2 Invariant Sets
............................... 413
9.1.3 GlobalB-Attractors of Cocycles
................. 413
9.1.4 Extension System Over the Bebutov Flow
on a Hull
.................................. 416
9.2 Local Cocycles Over the Base Flow in Non-ﬁbered Spaces
....418
9.2.1 Deﬁnition of a Local Cocycle
................... 418
9.2.2 Upper Bounds of the Hausdorff Dimension
for Local Cocycles
........................... 419
9.2.3 Upper Estimates for the Hausdorff Dimension
of Local Cocycles Generated by Differential
Equations
.................................. 423
9.2.4 Upper Estimates for the Hausdorff Dimension
of a Negatively Invariant Set of the Non-autonomous
Rössler System
.............................. 425
9.3 Dimension Estimates for Cocycles on Manifolds (Non-ﬁbered
Case)
........................................... 429
9.3.1 The Douady-OesterléTheorem for Cocycles
on a Finite Dimensional Riemannian Manifold
.......429
9.3.2 Upper Bounds for the Haussdorff Dimension of
Negatively Invariant Sets of Discrete-Time
Cocycles
.................................. 435
9.3.3 Frequency Conditions for Dimension Estimates
for Discrete Cocycles
......................... 438
9.3.4 Upper Bound for Hausdorff Dimension of Invariant
Sets andB-attractors of Cocycles Generated by
Ordinary Differential Equations on Manifolds
.......440
9.3.5 Upper Bounds for the Hausdorff Dimension of
Attractors of Cocycles Generated by Differential
Equations on the Cylinder
...................... 444
xviii Contents

9.4 Discrete-Time Cocycles on Fibered Spaces................ 450
9.4.1 Deﬁnition of Cocycles on Fibered Spaces
..........450
9.4.2 Global Pullback Attractors
..................... 451
9.4.3 The Topological Entropy of Fibered Cocycles
.......451
References
............................................ 454
10 Dimension Estimates for Dynamical Systems with Some
Degree of Non-injectivity and Nonsmoothness
................. 457
10.1 Dimension Estimates for Non-injective Smooth Maps
........457
10.1.1 Hausdorff Dimension Estimates
.................. 457
10.1.2 Fractal Dimension Estimates
.................... 465
10.2 Dimension Estimates for PiecewiseC
1
-Maps.............. 471
10.2.1 Decomposition of Invariant Sets of Piecewise
Smooth Maps
............................... 471
10.2.2 A Class of PiecewiseC
1
-Maps.................. 472
10.2.3 Douady-Oesterlé-Type Estimates
................. 476
10.2.4 Consideration of the Degree of Non-injectivity
......479
10.2.5 Introduction of Long Time Behavior Information
.....481
10.2.6 Estimation of the Hausdorff Dimension for Invariant
Sets of Piecewise Smooth Vector Fields
...........484
10.3 Dimension Estimates for Maps with Special Singularity Sets
...491
10.3.1 Deﬁnitions and Results
........................ 492
10.3.2 Proof of the Main Result
...................... 493
10.3.3 Applications
................................ 495
10.4 Lower Dimension Estimates
.......................... 499
10.4.1 Frequency-Domain Conditions for Lower
Topological Dimension Bounds of Global
B-Attractors
................................ 499
10.4.2 Lower Estimates of the Hausdorff Dimension
of GlobalB-Attractors
........................ 503
References
............................................ 506
Appendix A: Basic Facts from Manifold Theory
................... 509
Appendix B: Miscellaneous Facts
................................ 527
Index
...................................................... 539
Contents xix

Part I
Basic Elements of Attractor and Dimension
Theories

Chapter 1
Attractors and Lyapunov Functions
AbstractThe main tool in estimating dimensions of invariant sets and entropies
of dynamical systems developed in this book is based on Lyapunov functions. In
this chapter we introduce the basic concept of global attractors. The existence of a
global attractor for a dynamical system follows from the dissipativity of the system.
In order to show the last property we use Lyapunov functions. In this chapter we
also consider some applications of Lyapunov functions to stability problems of the
Lorenz system. A central result is the existence of homoclinic orbits in the Lorenz
system for certain parameters.
1.1 Dynamical Systems, Limit Sets and Attractors
1.1.1 Dynamical Systems in Metric Spaces
Suppose that(M,ρ)is a complete metric space. LetTbe one of the setsR,R
+
,Zor
Z
+
.Amapϕ
(·)
(·):T×M→Mresp. a triple({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)is called adynamical
system on(M,ρ)if the following conditions are satisﬁed ([2,11]):
(1)ϕ
0
(u)=u,∀u∈M;
(2)ϕ
t+s
(u)=ϕ
t
(ϕ
s
(u)) ,∀t,s∈T,∀u∈M;
(3) IfT∈{R,R
+}the map(t,u)∈T×Mω→ϕ
t
(u)is continuous;
ifT∈{Z,Z
+}the mapu∈Mω→ϕ
t
(u)is continuous onMfor anyt∈T.
If the metric space(M,ρ)is ﬁxed we denote the dynamical system shortly by
{ϕ
t
}t∈T.ThesetsTandMare calledtime setsandphase space, respectively. The
dynamical system({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)forms a group, ifT∈{R,Z}, and a semi-group if
T∈{R
+,Z+}.IfT∈{R,R +}we say that the dynamical system is withcontinuous
time,ifT∈{Z,Z
+}we say that the system is withdiscrete time. A dynamical system
({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)is calledﬂowifT=R,semi-ﬂowifT=R +, andcascadeifT=Z.
© The Editor(s) (if applicable) and The Author(s), under exclusive license
to Springer Nature Switzerland AG 2021
N. Kuznetsov and V. Reitmann,Attractor Dimension Estimates for Dynamical
Systems: Theory and Computation, Emergence, Complexity and Computation 38,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-50987-3_1
3

4 1 Attractors and Lyapunov Functions
Example 1.1Consider the autonomous differential equation
˙ϕ=f(ϕ) , (1.1)
wheref:R
n
→R
n
is assumed to be locally Lipschitz. The Euclidean norm inR
n
is denoted by|·|. Suppose also that any maximal solutionϕ(·,u)of (1.1) starting
inuatt=0 exists for anyt∈R. Let nowϕ
t
(·)≡ϕ(t,·):R
n
→R
n
be the time
t-map of (1.1). Clearly, that by the solution properties of (1.1) (uniqueness theo-
rem and theorem of continuous dependence on initial condition, [12,34]) the triple
({ϕ
t
}t∈R,R
n
,|·|)deﬁnes a dynamical system with the additive groupT=R, i.e. a
ﬂow.
Example 1.2Assume that
˙ϕ=f(t,ϕ) (1.2)
is a non-autonomous differential equation withf:R×R
n
→R
n
. Let us suppose
thatfis continuously differentiable,T-periodic in the ﬁrst argument and that any
solution exists onR. Denote the solution of (1.2) starting inuatt=t
0byϕ(·,t 0,u).
Again by the uniqueness theorem and the theorem of continuous dependence of
solutions on initial conditions for ODE’s it follows that the family of mapsϕ
m
(·)≡
ϕ(mT,0,·),m∈Z, deﬁnes a dynamical system({ϕ
m
}m∈Z,R
n
,|·|)which is a cas-
cade. Let us demonstrate this. Clearly,ϕ
0
(u)=ϕ(0,0,u)=u,∀u∈R
n
. In order to
show the property (2) of a dynamical system we consider arbitrarym,k∈Z. Deﬁne
the two functionsc
1(t):=ϕ(t,0,ϕ(mT,0,u))andc 2(t):=ϕ(t+mT,0,u).From
theT-periodicity offin the ﬁrst variable it follows thatc
2is also a solution of (1.2)
onR, i.e.
˙c
2(t)=f(t+mT,ϕ(t+mT,0,u))=f(t,c 2(t)).
Sincec
2(0)=ϕ(mT,0,u),it follows by the uniqueness theorems that
c
1(t)=c 2(t),∀t∈R.
If we putt=kT, the last property results inc
1(kT)≡ϕ
k
(ϕ
m
(u))=c 2(kT)≡
ϕ
k+m
(u).
Example 1.3Suppose that
ϕ:M→M (1.3)
is a continuous invertible map on the complete metric space(M,ρ).Let us deﬁne
the family of maps
ϕ
m
:=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
ϕ◦ϕ◦···◦ϕ
ϑ
γυ
m-times
form=1,2,... ,
id
M form=0,
ϕ
−1
◦ϕ
−1
◦···◦ϕ
−1
ϑ
γυ
-m-times
form=−1,−2,... .
(1.4)

1.1 Dynamical Systems, Limit Sets and Attractors 5
Using well-known properties of the composition of continuous invertible maps, i.e.
of homeomorphisms, it is easy to show that the properties (1)–(3) of a dynamical
system with the additive groupT=Zare satisﬁed. This means that (1.4) deﬁnes a
cascade.
Example 1.4Let(M,g)be a Riemanniann-dimensionalC
k
-manifold
(k≥2),F:M→TMaC
2
-vector ﬁeld (see Sect.A.6, AppendixA). Consider
the corresponding differential equation
˙ϕ=F(ϕ) . (1.5)
Assume that any maximal integral curveϕ(·,u)of (1.5) satisfyingϕ(0,u)=uexists
onR. Deﬁneϕ
(·)
(u):=ϕ(·,u)and denote withρthe metric generated by the metric
tensorg. Then({ϕ
t
}t∈R,M,ρ)is a ﬂow deﬁned by the vector ﬁeld (1.5).
Instead of (1.5) we can consider aC
1
-diffeomorphism
ϕ:M→M. (1.6)
It is clear that (1.6) generates the dynamical system({ϕ
m
}m∈Z,M,ρ).
Example 1.5Suppose thatΩ
+
2
:=

ω=(ω 0,ω1,...)|ω i∈{0,1}

is the set of all
one-sided inﬁnite sequences of the symbols 0 and 1. The metric onΩ
+
2
is given by
ρ(ω,ω

):=
∞

i=0
2
−i
|ωi−ω

i
|,
whereω=(ω
0,ω1,...)andω

=(ω

0
,ω

1
,...)are fromΩ
+
2
. It is easy to see that
ρis really a metric and(Ω
+
2
,ρ)is a complete metric space.
Deﬁne the (left)shift mapϑ:Ω
+
2
→Ω
+
2
by
ϑ(ω)=(ω
1,ω2,...)forω=(ω 0,ω1,...)∈Ω
+
2
.
The mapϑis continuous since for arbitraryω,ω

∈Ω
+
2
we have
ρ(ϑ(ω),ϑ(ω

))=
∞

i=0
2
−i
|ωi+1−ω

i+1
|=2
∞

i=0
1
2
i+1
|ωi+1−ω

i+1
|
≤2
∞

i=−1
1
2
i+1
|ωi+1−ω

i+1
|=2ρ(ω,ω

).
It follows that

{ϑ
m
}m∈Z +
,Ω
+
2
,ρ
σ
is a dynamical system with discrete time.
Let us deﬁne now some properties of a dynamical system({ϕ
t
}t∈T,M,ρ).For an
arbitrary ﬁxedu∈M,themapt⎩→ϕ
t
(u),t∈Tdeﬁnes amotionof the dynamical
system starting fromuat timet=0. For anyu∈Mthe setγ(u):=
∃
t∈T
ϕ
t
(u)

6 1 Attractors and Lyapunov Functions
is theorbitthroughu.IfT∈{R,Z}we consider also thepositiveand thenegative
semi-orbitthroughudeﬁned by
γ
+
(u):=

t∈T∩R +
ϕ
t
(u)resp.γ
−
(u):=

t∈T∩R −
ϕ
t
(u).
An orbitγ(u)is calledstationary, criticalor anequilibriumifγ(u)={u}.The orbit
γ(u)of a dynamical system is calledT-periodicwithperiod TifT>0 is the smallest
positive number inTsuch thatϕ
t
(u)=ϕ
t+T
(u),∀t∈T.AsetZ⊂Mis said to be
positively invariantifϕ
t
(Z)⊂Z,∀t∈T∩R +,invariantifϕ
t
(Z)=Z,∀t∈T,
andnegatively invariant,ifϕ
t
(Z)⊃Z,∀t∈T∩R +.The positively invariant set
Zof the dynamical system({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)is said to bestableif in any neighborhood
UofZthere exists a neighborhoodU

such thatϕ
t
(U

)⊂U,∀t∈T +.Zis called
asymptotically stableif it is stable andϕ
t
(u)→Zast→+∞for eachu∈U

.
The setZis said to beglobally asymptotically stableifZis stable andϕ
t
(u)→Z
ast→+∞for eachu∈M.ThesetZis calleduniformly asymptotically stableif
it is stable and lim
t→+∞{dist(ϕ
t
(u),Z)|u∈U

}=0.
For anyu∈Mtheω-limit setofuunder{ϕ
t
}t∈Tis the set
ω(u):= {υ∈M|∃{t
n}n∈N,tn∈T,t n→+∞,ϕ
tn
(u)→υforn→+∞}.
For a subsetZ⊂Mwe deﬁne itsω-limit setω(Z)under{ϕ
t
}t∈Tas the set of the
limits of all converging sequences of the formϕ
tn
(un), whereu n∈Z,t n∈T, and
t
n→+∞.
Example 1.6Consider a class ofmodiﬁed horseshoe mapsϕwhich are deﬁned
on an open neighborhoodU=(−δ,1+δ)×(−δ,1+δ)⊂R
2
of the unit square
C=[0,1]×[0,1],whereδ>0 is a sufﬁciently small number. The map is deﬁned
for points(x,y)∈Cin such a way that it ﬁrst contractsChorizontally with a factor
α<
1
2
and stretches it vertically with a functionf, then it is folded along a horizontal
line such that the vertical edge of the resulting rectangle is greater than 2, and ﬁnally
it is formed into an horseshoe (see Fig.1.1) in such a way that the map can be con-
tinuously extended toUand is continuously differentiable on an open neighborhood
κUofK=
η
∞
i=−∞
ϕ
i
(C),whereϕ
i
(·)for negative numbersimeans the preimage
under the mapϕ
−i
.
For example we takeα=
1
3
and let the functionfstretchCwith factorβ 1=3,
ify≤
51
65
=:h,with a factorβ 2between 3 and 5, if
51
65
<y<
4
5
and with factor 5,
ify≥
4
5
,the resulting rectangle is folded on the image of the liney=
51
65
and then
it is formed to an horseshoe in such a way, that the map satisﬁes
ϕ(x,y)=
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

1
3
x,3y−
1
13
σ
if 0≤y≤
1439
,

1−
1
3
x,
148
65
−3y
σ
if
83
195
≤y≤
148
195
,

1−
1
3
x,5y−4
σ
if
4
5
≤y≤1.

1.1 Dynamical Systems, Limit Sets and Attractors 7
Fig. 1.1Modiﬁed horseshoe map
The setK=
η
∞
i=−∞
ϕ
i
(C)is invariant under the map. Therefore if we takeκK=K,
thenϕ
j
(K)⊂κKis satisﬁed for anyj=1,2,... .The setKcan be constructed step
by step starting withK
0
=C.At every stepi>1wegetK
i
:=K
i−1
∩ϕ(K
i−1
)∩
ϕ
−1
(K
i−1
)and in the limit the invariant setKasK=
η
∞
i=0
K
i
.The setK
i
consists
of 6
i
rectangles where the lengths of the edges are horizontally
1
3
iand vertically
1
3
i
and
1
5
i,respectively (see Fig.1.1).
It is easy to verify that the following proposition is true ([4,7,38]).
Proposition 1.1For any subsetZ⊂Mtheω-limit set under{ϕ
t
}t∈Tis given by
ω(Z)=
θ
s≥0
s∈T

t≥s
t∈T
ϕ
t
(Z).
Here for a setZ⊂Mwe denote by
Zits closure in the topology of the metric
space(M,ρ).
IfT∈{R,Z}we also consider theα-limit setof a pointu∈Munder{ϕ
t
}t∈T
deﬁned by
α(u):= {υ∈M|∃{tn}n∈N,tn∈T,tn→−∞,ϕ
tn
(u)→υforn→+∞}
and theα-limit setω(Z)of a setZ⊂Munder{ϕ
t
}t∈Tgiven as the set of the limits of
all converging sequences of the formϕ
tn
(un),wherepn∈Z,tn∈T,andtn→−∞.
AsetZmin⊂Mis calledminimalfor({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)if it is closed, invariant, and
does not have any proper subset with the same properties. The following proposition
is taken from [33,36].
Proposition 1.2Suppose thatZ⊂Mis non-empty, compact and invariant for
({ϕ
t
}t∈T,M,ρ). ThenZcontains a minimal setZmin.
Proof(For the case thatTis a semi-group). IfZhas no proper subset, which is
closed and invariant, thenZis minimal, and the proposition is proved.

8 1 Attractors and Lyapunov Functions
Suppose that there existsZ 1⊂Z,Z 1=Z,such thatZ 1is closed and invariant.
IfZ
1contains no proper subset being closed and invariant, then it is minimal.
Suppose again that there exists a closed invariant setZ
2⊂Z1withZ 2=Z1.If
we can continue this process and at any step we obtain a new minimal setZ
i, we get
the sequence of closed invariant sets
Z
0:=Z⊃Z 1⊃Z2⊃···.
The intersection of these setsZ
ω:=
η
∞
i=0
Ziis non-empty and compact. Let us show
thatZ
ωis invariant. Suppose thatu∈Z ωis arbitrary. Then for any integerk≥0
we haveu∈Z
k.It follows thatϕ
t
(u)∈Z k,t≥0,for anyk. But this means that
ϕ
t
(u)∈Z ωand, consequently,Z ω⊂ϕ
t
(Zω).The inverse inclusion can be proved
analogously. Thus the setZ
ωis invariant.
If the setZ
ωis not minimal then there exists a closed and invariant setZ ω+1⊂Zω
withZ ω+1=Zω.If we can continue this process and ifβis the transﬁnite limit
number for which the setsZ
αare constructed for allα<β, we put
Z
β:=
θ
α<β
Zα.
Clearly, the setZ
βis closed and invariant. Thus we get the transﬁnite sequence of
sets
Z⊃Z
1⊃···⊃Z k⊃···⊃Z ω⊃···⊃Z β⊃···.
According to the Baire-Hausdorff theorem ([16], Theorem A.14.1) there exists a
transﬁnite numberβof the second class such thatZ
β=Zβ+1, i.e. the setZ βhas no
proper closed and invariant subset. Consequently,Z
βis a minimal set. ⎧
The next result follows immediately from Proposition1.2.
Proposition 1.3Suppose that the positive semi-orbit of({ϕ
t
}t∈T,M,ρ),starting
in p, is relatively compact. Thenω(p)contains a minimal set.
Some important properties ofω-limit sets are proved in the next proposition ([18]).
Proposition 1.4Let({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)be a dynamical system with a semi-group as
time set and letZ⊂Mbe a non-empty set such that for some t
0>0,t 0∈T,the
set
∃
t≥t0,t∈T
ϕ
t
(Z)is relatively compact.
Thenω(Z)is non-empty, compact and invariant. Furthermore,ω(Z)is a minimal
closed set which attractsZ.
ProofRecall that relative compactness of a set means that the closure of this set
is compact. SinceZ=∅the setsB
s=
∃
t≥s,t∈T
ϕ
t
(Z)are non-empty for alls≥0,
s∈T.Consequently, the sets
Bsare non-empty compact sets fors≥t 0andBs1
⊂Bs2

1.1 Dynamical Systems, Limit Sets and Attractors 9
for alls 1≥s2inT. Thereforeω(Z)=
η
s≥0,s∈TBsis a non-empty compact set and
attractsZ.
Ifu∈ϕ
t
(ω(Z))then for a certainυ∈ω(Z)we haveu=ϕ
t
(υ).Hence there
exists a sequenceu
m∈Zand a sequence{t m},tm∈T,t m→+∞ asm→+∞,
such that lim
m→+∞ϕ
t
(ϕ
tm
(u))=lim m→+∞ϕ
t+tm
(um)=ϕ
t
(υ)=u.But this means
thatu∈ω(Z).
Let us prove the reverse inclusion. Ifυ∈ω(Z)a sequenceu
m∈Zand a sequence
{t
m}fromTexist such thatt m→+∞asm→+∞,1+t 0+t≤t 1<t2<···,and
ϕ
tm
(um)→υform→+∞. (1.7)
Fort
m≥tthe sequenceϕ
tm−t
(um)belongs to the relatively compact set
∃
t≥t0+1,
t∈T
ϕ
t
(Z). Consequently, passing if necessary to a subsequence, we may sup-
pose that there exists a pointu∈Msuch that
ϕ
tm−t
(um)→uasm→+∞.
But this means thatu∈ω(Z).Since
ϕ
tm
(um)=ϕ
t
(ϕ
tm−t
(um))→ϕ
t
(u)asm→+∞,
by (1.7)wehaveυ=ϕ
t
(u). Thus,υ∈ϕ
t
(ω(Z)).
It remains to show thatω(Z)is a minimal closed set which attractsZ. Let us
argue as in [18]. Suppose the contrary and letCbe a proper closed subset ofω(Z)
which attractsZ.Asω(Z)is compact so isC. Choose anyυ∈ω(Z)\C.Forε>
0 small enough theε-neighborhoodsU
ε(υ)andU ε(C)do not intersect. SinceC
attractsZthere is at=t(ε)≥0 such thatϕ
t
(Z)⊂U ε(C),∀t≥t(ε).On the other
hand sinceυ∈ω(Z), υ=lim
k→∞ϕ
tk
(uk)for someu k∈Zandt k→+∞ is a
sequence. Consequently,ϕ
tk
(Z)∩U ε(υ)=∅for sufﬁciently larget k. HenceU ε(υ)
∩U
ε(C)=∅, a contradiction. ⎧
Assume that({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)is a dynamical system with a group as time set and
u∈Mis an arbitrary point. The sets
W
s
(u):= {υ∈M|lim
t→+∞
ϕ
t
(υ)=u}and
W
u
(u):= {υ∈M|lim
t→−∞
ϕ
t
(υ)=u}
are calledstableandunstable manifold, respectively, inu. Since the orbits are invari-
ant, the setsW
s
(u)andW
u
(u)are also invariant. Suppose thatuandυare equilibria
of the dynamical system. Then anyorbitwhich is contained inW
s
(u)∩W
u
(υ)is
calledheteroclinicifu=υ,andhomoclinicifu=υ.

10 1 Attractors and Lyapunov Functions
LetZ⊂Mbe an arbitrary invariant subset. Then thestableandunstable manifold
ofZare the sets
W
s
(Z):= {υ∈M|lim
t→+∞
dist(ϕ
t
(υ),Z)=0}and
W
u
(Z):= {υ∈M|lim
t→−∞
dist(ϕ
t
(υ),Z)=0},
respectively.
1.1.2 Minimal Global Attractors
Now we come to some of the basic deﬁnitions in our book. For arbitrary nonempty
setsZ
1,Z2⊂Mwe deﬁne dist(Z 1,Z2):=sup
u∈Z 1
inf
υ∈Z 2
ρ(u,υ).ByU ε(Z)we denote
theε-neighborhood of a setZ, i.e.U
ε(Z):= {υ∈M|dist(υ,Z)<ε}.
Deﬁnition 1.1Suppose that({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)is a dynamical system.
(1) We say that a setZ
0⊂Mattracts the setZ⊂Mif for anyε>0 there exists
at
0=t0(ε,Z)such that for allt≥t 0,t∈T,we haveϕ
t
(Z)⊂U ε(Z0).
(2) AnattractorAfor({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)is a non-empty closed and invariant set which
attracts all points from some setZwith a non-empty interior. The largest set with
non-empty interior which is attracted byAis called thedomain of attraction.
(3) Aglobal attractorfor({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)is a non-empty, closed and invariant set
which attracts all points ofM.
(4) AglobalB-attractoris a non-empty, closed and invariant set which attracts any
bounded setBofM.
(5) Aminimal global attractor (minimal globalB-attractor)is a global attractor
(globalB-attractor) which is a minimal set among all global attractors (global
B-attractors).
(6) A setZ
0⊂Mis said to beB-absorbingfor({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)if for any bounded
setBinMthere exists at
0=t0(B)such thatϕ
t
(B)⊂Z 0for anyt≥t 0,t∈T.
(7) A dynamical system is said to bepointwise dissipative(B-dissipative) if it pos-
sesses a pointwise absorbing(B-absorbing set)B
0.The setB 0is calledregion
of pointwise dissipativity(ofB-dissipativity).
(8) A setZ
0⊂Mis said to bepointwise absorbingfor({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)if for any
u∈Mthere exists at
0=t0(u)such thatϕ
t
(u)⊂Z 0for anyt≥t 0,t∈T.
Let us use the following abbreviations for the attractors of a dynamical system
({ϕ
t
}t∈T,M,ρ):A—an arbitrary attractor,A M—a globalB-attractor,A M,min—
a minimal globalB-attractor,ξA
M—a global attractor,ξA M,min—a minimal global
attractor.
A direct consequence of Deﬁnition1.1is the following proposition.

1.1 Dynamical Systems, Limit Sets and Attractors 11
Proposition 1.5LetAbe a globalB-attractor andε>0an arbitrary number. Then
theε-neighborhood ofAisB-absorbing for the dynamical system.
Remark 1.1Minimal global attractors andB-attractors where introduced by
O.A. Ladyzhenskaya in [18]. Our Deﬁnition1.1follows the representation given
in [18]. Important properties of minimal global attractors are also derived in [6,7,
15,35,37].
The existence of a globalB-attractor is shown in the next proposition ([17]).
Note that if a globalB-attractor exists, then it contains a minimal globalB-
attractor.
Proposition 1.6Suppose that the dynamical system({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)is
B-dissipative according to the boundedB-absorbing setB
0and there exists a t0>0
such that the set
∃
t≥t0,t∈T
ϕ
t
(B0)is relatively compact. Then
A
M,min:=
{ω(B)|B⊂M,Bbounded}
is a minimal globalB-attractor and
ξA
M,min:=

u∈M
ω(u)
is a minimal global attractor of the dynamical system.
ProofSince by Proposition1.4every bounded setB⊂Mis attracted to itsω-
limit setω(B)and toA
M,min,it is attracted toω(B)∩A M,min. Sinceω(B)is
minimal, it lies inA
M,min.The setA M,min,is invariant and minimal. It follows that
ω(A
M,min)=A M,minand the representation forA M,min,is shown.
The fact that
∃
u∈M
ω(u)is a minimal global attractor follows from the properties
of anω-limit set. ⎧
Remark 1.2In contrast to the minimal global attractor given by Proposition1.6a
minimal global attractor can be unbounded. The dynamical system generated by the
ODE
˙x=0,˙y=−ay,a>0
has as a minimal globalB-attractorA
R
2
,minthex-axis (see Sect.2.1, Chap. 2)
Other examples of minimal global attractors and globalB-attractors will be con-
sidered in the sequel.
A dynamical system({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)is calledlocally completely continuousif
for anyu∈Mthere exists aδ=δ(u)>0 and anl=l(u)>0,l(u)∈T
+,such
thatϕ
l
(Bδ(u))is relatively compact. It is clear that a dynamical system given in a
locally compact space is locally completely continuous.
The next proposition is a result of [4].

12 1 Attractors and Lyapunov Functions
Proposition 1.7For a locally completely continuous dynamical system pointwise
dissipativity andB-dissipativity are equivalent.
ProofWe have to show that a dynamical system which is pointwise dissipative is
alsoB-dissipative. From the pointwise dissipativity it follows that there exists a
non-empty compact setκK⊂Msuch that for eachε>0 andu∈Mthere exists a
δ(u)>0 and aτ(ε,u)such that
dist(ϕ
t
(υ),κK)<ε (1.8)
for allt≥τ(ε,u),t∈T, and allυ∈B
δ(u)(u). SupposeBis an arbitrary bounded set
which is contained in a compact setK. Then for anyu∈Kthere exists aδ=δ(u)>0
andτ=τ(ε,u)>0 such that (1.8) is satisﬁed. Consider an open cover{B
δ(u)(u)}u∈K
ofK. SinceKis compact andMis a complete metric space there is a ﬁnite subcover
{B
δ(ui)(ui)}
m
i=1
ofK.
Deﬁne˜l(ε,K):=max{τ(ε,u
i)|i=1,...,m}.Then it follows from (1.8) that
dist(ϕ
t
(K),K)<ε,∀t>˜l(ε,K). ⎧
Since for dynamical systems in locally compact metric spaces pointwise dissipa-
tivity andB-dissipativity are equivalent we call these properties shortlydissipativity.
The next proposition is proved in [7]. It shows that Lyapunov functions can give
a good inside in the structure of an attractor.
In this book the termLyapunov functionfor a dynamical system({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)
means a scalar valued continuous functionVwhich is considered along the orbits
and whose properties allow some conclusions about the qualitative behaviour of the
dynamical system. IfMis a manifold andVis differentiable the properties ofV
depend on the Lie derivative ofVw.r.t. the dynamical system (see Subsect.1.2.3).
Proposition 1.8Suppose for the dynamical system({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)with a group as
time set there exists a compact globalB-attractorA
Mand a continuous function
V:M→Rwith the following properties:
(1) For any u∈Mthe function V(ϕ
t
(u))is non-increasing with respect to t∈T +;
(2) If for some t
0>0,t 0∈T+, the equation V(u)=V(ϕ
t0
(u))holds, then u is
an equilibrium of the dynamical system.
Then: (a)A
M=W
u
(C), whereCis the set of equilibrium points of the dynamical
system.
(b) The global minimal attractorξA
M,minof the dynamical system isC.
Remark 1.3Suppose({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)is a dynamical system with a group as time
set, which has a bounded minimal globalB-attractorA. ThenW
u
(C)⊂A, whereC
is the set of equilibria of the dynamical system. For a proof see [7].
For dynamical systems({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)given on a Riemannian smoothn-dimen-
sional manifold(M,g)we deﬁne aMilnor attractoras a closed invariant setκA
having the property lim
t→+∞dist(ϕ
t
(u),A)=0 for eachu∈S, whereSis a set of
positive Lebesgue measure.

1.1 Dynamical Systems, Limit Sets and Attractors 13
If the manifold is compact we deﬁne theminimal global Milnor attractoras a
minimal closed invariant setAhaving the property limt→∞dist(ϕ
t
(u),A)=0for
anyu∈S, whereSis a Lebesgue measurable set with the full Lebesgue measure,
i.e.μL(S)=μL(M).
In the following we denote a Milnor attractor byκAand a minimal global Milnor
attractor byκAmin.
We will consider the minimal global Milnor attractor also for dynamical systems
given inR
n
and possessing a bounded open positively invariant absorbing setB0.In
this case we can restrict our system on the positive semi-groupT+onB0, considering
B0with relative topology as compact manifold.
Example 1.7Let us consider Van der Pol’s equation
¨x+ε(x
2
−1)˙x+x=0
whereε>0 is a parameter. This equation can be written as planar system
˙x=y,˙y=−ε(x
2
−1)y−x. (1.9)
It is well-known that (1.9) generates a semi-ﬂow({ϕ
t
}t≥0,R
2
,|·|)and the origin
(0,0)is an unstable equilibrium of this semi-ﬂow. Furthermore, there is a single
orbitally stable periodic orbit (Fig.1.2). Any orbit of the semi-ﬂow, different from
the equilibrium(0,0),tends fort→+∞to this periodic orbit.
It is easy to see that the minimal globalB-attractor isAR
2
,minis the closed disk
around the origin and bounded by the unit circleS
1
={(x,y)|x
2
+y
2
=1},the
minimal global attractor isξAR
2
,min=S
1
∪{(0,0)}, the minimal global Milnor attrac-
tor isκAmin=S
1
and a non-global attractor is given byA=S
1
.
Fig. 1.2Attractors of Van
der Pol’s system

14 1 Attractors and Lyapunov Functions
Consider the dynamical system({ϕ
t
}t∈T,(M,ρ))on the metric space(M,ρ).
SupposeB=B(M)is theσ-algebra of Borel sets onMandμis a ﬁnite
Borel measure onB, i.e.,μ(M)<+∞.The bounded setκA
μ(M)⊂Mis called
global Milnor attractorw.r.t. the dynamical system({ϕ
t
}t∈T,(M,ρ))and the
measureμifκA
μ(M)is a minimal, closed and invariant set having the property
lim
t→∞dist(ϕ
t
(u),κA μ(M))forμ-a.e. pointu∈M.Sometimes the global Milnor
attractor is calledstochastic attractor.
If the metric space(M,ρ)is compact we deﬁne theminimal global Mil-
nor attractoras a minimal closed invariant setκA
min,μ(M)having the property
lim
t→∞dist(ϕ
t
(u),
κA
min,μ(M))=0forμ-a.e. pointu∈M.
Suppose thatM=Eis a linear metric space andE
∗
is the dual toE, i.e., the linear
space of linear bounded functionals onE. The sequence{u
n}
∞
n=1
fromEis called
weakly convergenttou∈Eif∃(u
n)→∃(u),∀∃∈E
∗
.We denote this byu nu
forn→∞.The setZ⊂Eis calledweakly closedif it contains the weak limitu
of arbitrary weakly convergent sequences{u
n}⊂Z.In theweak topologythe open
sets are given by arbitrary unions of sets
O(υ;∃
1,∃2,...,∃n;ε1,ε2,...,εn)
:=
ζ
u∈E
ς
ς
ς|∃
1(u−υ)|<ε 1,∃2(u−υ) < ε 2,...,|∃ n(u−υ)|<ε n
λ
whereυ∈E,∃
i∈E
∗
,εi>0(i=1,2,...,n)are numbers.
By deﬁnition the empty set∅is open.
A non-empty setOwhich is open in the weak topology and which contains the
setZ⊂Eis calledweak neighborhoodofZ.
Suppose thatM=Eis a linear metric space. The setA
w(M)⊂Mis called
weak globalB-attractorw.r.t.({ϕ
t
}t∈T,(E,ρ))ifA w(M)is a bounded and weakly
closed invariant set such that for any weak neighborhoodOof the setA
w(M)and
any bounded setB⊂Mthere exists at
0=t0(O,B)such thatϕ
t
(B)⊂Ofor all
t≥t
0.
Let us note that if the linear spaceM=Ehas ﬁnite dimension and for the
dynamical system the global attractorA
Mexists and is weakly closed then also
existsA
w(M)andA w(M)=A M.
In Table1.1we present the various types of attractors and their symbols.
Example 1.8Let us consider as complete metric spaceMtheHilbert space
L
2
(a,b)of quadratically integrable functions on(a,b). It follows from the Riesz the-
orem that the any linear bounded functional onL
2
(a,b)is given by∃(u)=
Δ
Ω
uυdx,
whereυ∈L
2
(a,b)andΩ=(a,b).Thus we have the propertiesu nuforn→∞
inL
2
(a,b)⇔
Δ
Ω
unυdx→
Δ
Ω
uυdxforn→∞and anyυ∈L
2
(a,b).Assume
that{e
i}
∞
i=1
is an orthonormal basis ofL
2
(a,b).Then any functionυ∈L
2
(a,b)
can be represented asυ=

∞
i>1
ciei, wherec i=
Δ
Ω
υeidx,i=1,2,...,are the
Fourier coefﬁcients satisfyingζυζ
2
L
2
(a,b)
=

∞
i>1
c
2
i
<∞.Consider the functions
u
n=en,n=1,2,... .Then for anyυ∈L
2
(a,b)we have

1.1 Dynamical Systems, Limit Sets and Attractors 15
Table 1.1Types of attractors and their symbols
Symbol Type of attractor Sections
A Arbitrary attractor 1.1.2
AM GlobalB-attractor 1.1.2
AM,min Minimal globalB-attractor 1.1.2
ξAM Global attractor 1.1.2
ξAM,min Minimal global attractor 1.1.2
κA Milnor attractor 1.1.2
κAmin Minimal global Milnor attractor 1.1.2
Aw(M) Weak globalB-attractor 1.1.2
lim
n→∞

Ω
enυdx=lim
n→∞

Ω
cne
2
n
dx=lim
n→∞
cn=0,i.e.,e n0forn→∞inL
2
(a,b).
From the other side we havee n⎧0asn→∞inL
2
(a,b)sinceζe nζ
2
=1,
n=1,2,... .
1.2 Dissipativity
1.2.1 Dissipativity in the Sense of Levinson
This section is devoted to the concepts of dissipativity, region of dissipativity, and
its estimation for autonomous differential equations. These notions arose for the
ﬁrst time in stability theory. Later they turned out to be very useful in the study of
attractors since they give the possibility to localize attractors in the phase space.
Consider the dynamical system({ϕ
t
}t∈T,R
n
,|·|)which in the continuous-time
case is given by the autonomous ODE
˙ϕ=f(ϕ) , (1.10)
wheref:R
n
→R
n
is continuously differentiable, and in the discrete-time case is
given by the continuous map
ϕ:R
n
→R
n
. (1.11)
Deﬁnition 1.2The dynamical system({ϕ
t
}t∈T,R
n
,|·|)is calleddissipative in the
sense of Levinson, if there exists anR>0 such that for anyu∈R
n
lim sup
t→+∞
|ϕ
t
(u)|<R.

16 1 Attractors and Lyapunov Functions
Proposition 1.9The dynamical system({ϕ
t
}t∈T,R
n
,|·|)is dissipative in the sense
of Levinson if and only if there exists a bounded setD⊂R
n
that attracts any point
inR
n
.
ProofLet the dynamical system be dissipative in the sense of Levinson. Choose as
the setDa ball of radiusR, whereRis from Deﬁnition1.2, and with center in the
origin. It is obvious that such aDattracts every point inR
n
.
Conversely, letDbe a set for the dynamical system which attracts every point of
R
n
, and letε>0 be an arbitrary number. ChooseRso large that the ball of radiusR
with center in the origin contains theε-neighborhoodD
εofD. It is clear that such
anRsatisﬁes Deﬁnition1.2. ⎧
It is easy to see that if the dynamical system is dissipative in the sense of Levinson
withDas region of dissipativity, then any attractorAof the dynamical system satisﬁes
the inclusionA⊂D.
1.2.2 Dissipativity and Completeness of The Lorenz System
Consider the Lorenz system ([28,30,39])
˙x=−σx+σy,˙y=rx−y−xz,˙z=−bz+xy (1.12)
whereσ,randbare positive parameters. Let us show that equation (1.12) is dissi-
pative. Introduce the auxilary functionV:R
3
→R +given by
V(x,y,z):=
1
2
˙
x
2
+y
2
+(z−σ−r)
2

. (1.13)
Direct computation along an arbitrary solutionu=(x,y,z)of (1.12) shows that the
derivative ofValong
˙V(x,y,z)=−σx
2
−y
2
−
b
2
(z−σ−r)
2
+
b
2
(σ+r)
2
.
Thus inR
3
we have
˙V≤
b
2
(σ+r)
2
. (1.14)
On the set
E
1:=

(x,y,z)|σx
2
+y
2
+
b
2
(z−σ−r)
2
≤
b
2
(σ+r)
2

1.2 Dissipativity 17
the inequality˙V≥0 is true and on the setR
3
\E1we have˙V<0. For largeRthe ball
B
R={(x,y,z)|V(x,y,z)<R}contains the ellipsoidE 1. On the boundary ofB R,
i.e. on the setS
R={(x,y,z)|V(x,y,z)=R}the inequality˙V<0 is satisﬁed. It
follows thatB
Ris a bounded absorbing set. If we putκ=min{σ,1,
b
2
}we conclude
that along the solution of (1.12)
˙V≤−2κV+
b
2
(σ+r)
2
.
This means that any solution of (1.12) enters the ellipsoid
E
2:=

(x,y,z)|
1
2
˙
x
2
+y
2
+(z−σ−r)
2

≤
b
4κ
(σ+r)
2

and remains there during the positive existence interval. From (1.14)wehave
V(x(t),y(t),z(t))≤V(x(0),y(0),z(0))+
b
2
(σ+r)
2
t
fort≥0. SinceVcannot go to inﬁnity in a ﬁnite positive time, each of|x(t)|,|y(t)|,
and|z(t)|cannot go to inﬁnity in a ﬁnite positive time. Thus the Lorenz system is
complete in positive time. Thus the Lorenz system deﬁnes a semi-ﬂow inR
3
.From
(1.13) it follows that for a sufﬁciently largeκ
1>0wehave
˙V+κ
1V≥
b
2
(σ+r)
2
=:c1 (1.15)
From (1.15) we get
d
dt
(e
κ1t
V)≥c 1e
κ1t
.
Thus fort≤0wehave
V(x(0),y(0),z(0))−e
κ1t
V(x(t),y(t),z(t))≥
c
1
κ1
[1−e
κ1t
]
orV(x(t),y(t),z(t))≤e
−κ1t
V(x(0),y(0),z(0))+
c
1
κ1
[1−e
−κ1t
].
ThusV(x(t),y(t),z(t))cannot go to inﬁnity in ﬁnite negative time. Hence each
of|x(t)|,|y(t)|and|z(t)|cannot got to inﬁnity in ﬁnite negative time and the system
is complete in negative time ([8]).
Let us obtain other estimates for the region of dissipativity for (1.12). Consider
next the function
V
1(x,y,z):=
1
2
x
2
+
1
2
y
2
+
1
2
z
2
−(σ+r)z.

18 1 Attractors and Lyapunov Functions
Let us show that for an arbitrary solutionu=(x,y,z)of (1.12) withb>1wehave
lim sup
t→+∞
V1(x(t),y(t),z(t))≤c 2, (1.16)
wherec
2:=
(σ+r)
2
(b−2)
2
8(b−1)
.Indeed, a calculation shows that
˙V
1+2V 1=−(σ−1)x
2
−(b−1)z
2
+(σ+r)(b−z)z
≤−(b−1)z
2
+(σ+r)(b−2)z≤2c 2.
Therefore we have
d
dt
(V
1−c2)+2(V 1−c2)≤0.
Multiplying the last inequality bye
2t
we get fort≥0
d
dt
[(V
1−c2)e
2t
]≤0. (1.17)
Integrating (1.17)on[0,t], we obtain
V
1(x(t),y(t),z(t))−c 2≤[V 1(x(0),y(0),z(0))−c 2]e
−2t
,
from which the inequality (1.16) results. From (1.16) it follows that the ellipsoid
{(x,y,z)∈R
3
|x
2
+
1
2
y
2
+
1
2
z
2
−(σ+r)z≤c 2}
is a region of dissipativity for (1.12).
Let us now show that for an arbitrary solutionu=(x,y,z)of (1.12)
lim sup
t→+∞
[y
2
(t)+(z(t)−r)
2
]≤l
2
r
2
(1.18)
and, if 2σ−b≥0,
lim inf
t→+∞
[2σz(t)−x
2
(t)]≥0. (1.19)
The parameterlin (1.18) is deﬁned by
l:=

1,ifb≤2,
b
2
√
b−1
,ifb≥2.
(1.20)
In order to prove (1.18) we put for(x,y,z)∈R
3
V2(y,z):=
1
2
˙
y
2
+(z−r)
2

.

1.2 Dissipativity 19
Suppose thatκ 0:=min{1,b}.Then for anyκ∈(0,κ 0)we have
˙V
2+2κV 2=(κ−1)y
2
+(κ−b)z
2
−2r

κ−
b
2
˜
z+κr
2
≤(κ−b)

z−
r(κ−b/2)
κ−b
!
2
−
r
2
(κ−b/2)
2
κ−b
+κr
2
≤

κ−
(κ−b/2)
2
κ−b
!
r
2
=
b
2
r
2
4(b−κ)
.
It follows that
lim sup
t→+∞
V2(y(t),z(t))≤
b
2
r
2
8(b−κ)κ
. (1.21)
Minimizing the right-hand side of (1.21) overκ∈(0,κ
0)we obtain (1.18). To prove
(1.19) we put
V
3(x,z):=σz−
1
2
x
2
.
The direct computation shows that
˙V
3=−b

σz−
2σ
b
1
2
x
2
!
≥−bV
3.
The last relation implies (1.19).
From (1.18) it follows that the region of dissipativityDsatisﬁes the inclusion
D⊂
D1,
whereD
1:= {(x,y,z)|y
2
+(z−r)
2
<l
2
r
2
}is a cylinder inR
3
.
Under the condition 2σ−b≥0 it follows from (1.18) and (1.19) that
D⊂
D1∩{(x,y,z)|z≥0}.
Remark 1.4Using the Lyapunov function (1.13) and Proposition1.7one sees that
the Lorenz system has a compact attracting set which attracts bounded sets. It follows
that the Lorenz system isB-dissipative and has a minimalB-attractorA
R
3
,minwhich
satisﬁesA
R
3
,min⊂D. Note that any other attractor of (1.12) also belongs toD.
Remark 1.5Let us consider the system
˙x=−σx+σy,˙y=rx−y+xz,˙z=−bz+xy (1.22)
with positive parametersσ,randb. This system differs from the Lorenz system (1.12)
only in the sign of the nonlinearityxzin the second equation and the divergence of the
right-hand side of (1.22)is−(σ+1+b)<0,i.e. the same as in the Lorenz system.
However, it was shown in [14] that system (1.22) for any positive parameters has

20 1 Attractors and Lyapunov Functions
solutions converging to inﬁnity fort→+∞. But this means that system (1.22)is
not dissipative. We need certain extra conditions on the right-hand side in order to
guarantee dissipativity.
1.2.3 Lyapunov-Type Results for Dissipativity
Let us consider the dynamical system({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)on the Riemanniann-
dimensionalC
k
-manifold(M,g)which is, for continuous time, given by (1.5)
and for discrete time by (1.6). Suppose that there exists a scalar valued function
V:M→Rwhich isC
1
in the continuous-time case andC
0
in the discrete-time
case. Deﬁne theLie derivative˙V(u)w.r.t. the dynamical systemin the continuous-
time case by
˙V(u):=
d
dt
V(ϕ
t
(u))| t=0=(F(u),gradV(u)) (1.23)
and in the discrete-time case by
˙V(u):=V(ϕ(u))−V(u). (1.24)
Let us establish the following theorem which is a generalization of a result from
[40,41], obtained for differential equations inR
n
.
Proposition 1.10Suppose that there exists a function as introduced above and such
that the following conditions are satisﬁed:
(1) V is proper forM, i.e. for any compact setK⊂Rthe set V
−1
(K)⊂Mis
compact and V is bounded from below onM;
(2) There exists an r>0such that˙V(u)≤0for u/∈
Br(0);
(3) The dynamical system does not have a motionϕ
(·)
(υ)withϕ
t
(υ) /∈
Br(0)and
˙V(ϕ
t
(υ))≡0for t≥t 0.
Then the dynamical system({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)is dissipative.
ProofLet us putη:=max
u∈
Br(0)
V(u)and consider the setD:= {u∈M|V(x)≤η}.In
the discrete-time case we chooseηso large that additionallyD⊃ϕ
1
(
Br(0)).By
assumption (1) we can writeD={u∈M|θ≤V(x)≤η},whereθ:=inf
u∈M
V(u)>−∞.SinceK:= [θ,η]is compact again by assumption (1) we conclude
thatDis bounded. It follows from the deﬁnition ofDthatϕ
t
(D)⊂Dfor allt∈T +,
proposed thatu∈B
r(0).
Let us show this. Assume to the contrary that there is au∈Dand a timet
1∈T+
suchϕ
t1
(u)/∈D.
Consider at ﬁrst the continuous-time case. Here exists a maximum timet

such
that 0<t

<t1andρ(ϕ
t

(u),0)=ror putt

:=0.
It follows thatV(u)≤ηand on the interval(t

,t1)we haveρ(ϕ
t
(u),0)>r.
Now we conclude by continuity thatV(ϕ
t1
(u))≤V(u)≤η, a contradiction. In the

1.2 Dissipativity 21
discrete-time case there must exist a timet 2∈(0,t 1)∩Z +such thatϕ
t2
(u)∈D∩
B
r(0),butϕ
t2+1
(u)/∈D.But this is impossible by the choice ofDin the discrete-time
case.
Let us show now that for any pointu∈Mwithu/∈B
r(0)there exists a time
t
1>0 such thatϕ
t1
(u)∈
Br(0).Suppose the opposite, i.e.ϕ
t
(u)/∈Br(0)for all
t∈T
+.Then the positive semi-orbit of the motionϕ
(·)
(u)is bounded. Indeed, by
condition (2) we haveV(ϕ
t
(u))≤V(u)for allt∈T +.From this and assumption (1)
we obtain the boundedness of the semi-orbit. In virtue of this boundedness according
to Proposition1.4,theω-limit set of the semi-orbit ofϕ
(·)
(u)is non-empty. Let
υ∈ω(u)be an arbitrary point. According to our assumption we haveυ/∈
Br(0).
The functionV(ϕ
t
(u))is bounded onT +and does not increase. Therefore, there
exists the limit
lim
t→+∞
V(ϕ
t
(u))=V(υ) . (1.25)
Consider the motionϕ
(·)
(υ). By Proposition1.4we haveϕ
t
(υ)∈ω(u)for allt∈T +.
It follows that for anyt∈T
+there exists a sequencet m→+∞asm→+∞such
thatϕ
tm
(u)→ϕ
t
(υ)asm→+∞.Hence by (1.25)wehave
V(ϕ
t
(υ))≡V(υ) ,
which contradicts the assumption (3). Thus, for arbitraryu∈R
n
withu/∈
Br(0)
there exists a timet
1∈T+such thatϕ
t1
(u)∈
Br(0). ⎧
Example 1.9Consider the equation of a pendulum
¨x+ε˙x+sinx=0,
whereε>0 is a parameter. This equation is equivalent to the planar system
˙x=y,˙y=−εy−sinx. (1.26)
Since the right-hand side of (1.26) is globally Lipschitz we have global existence
and uniqueness of all solutions. Let us denote the dynamical system generated by
(1.26)by({ϕ
t
}t≥0,R
2
,|·|).It is well-known that any semi-orbit of this system tends
to an equilibrium fort→+∞.The phase portrait is shown in Fig.1.3
It follows that the minimal global attractorξA
R
2
,minof (1.26) is the stationary set,
i.e. the set of all equilibriaC.
Consider now a ballB
δwith small radiusδ>0 and center at a point
u
0=(x 0,y0)on the stable manifold of a saddle (Figs.1.3and1.4).
It is obvious thatϕ
t
(Bδ)converges fort→+∞to a set consisting of a saddle
point and of two heteroclinic orbits coming from this saddle point and going to stable
equilibria. It follows that the minimal globalB-attractor is the union of the stationary
setCand the heteroclinic orbits (Fig.1.5).

22 1 Attractors and Lyapunov Functions
Fig. 1.3Minimal global attractor of (1.26)
Fig. 1.4Deformation of a small ball under the ﬂow of (1.26)
Fig. 1.5Minimal globalB-attractor of (1.26)
In order to apply Proposition1.10one has to construct a Lyapunov-type functionV
satisfying the assumptions (1)–(3). Very often this is a sufﬁciently difﬁcult problem.
In some cases one can avoid this as the next proposition ([32]) shows.
Consider the dynamical system({ϕ
t
}t∈T,R
n
,|·|)which is given for continuous
timebytheODE
˙ϕ=Aϕ+g(ϕ) , (1.27)

1.2 Dissipativity 23
and for discrete time by the map
u⎩→Au+g(u),u∈R
n
. (1.28)
In both casesAis ann×nmatrix andg:R
n
→R
n
is continuous. The matrix
Ais assumed to be stable, i.e. all eigenvalues ofAhave negative real part in the
continuous-time case, and all eigenvalues have moduli smaller one in the discrete-
time case.
Proposition 1.11Suppose that the dynamical system is given by (1.29) resp. (1.30)
and g is a bounded map. Then the dynamical system is dissipative.
ProofSuppose that|g(u)|≤c
0inR
n
with some constantc 0>0. Any motionϕ
(·)
(u)
of the dynamical system can be written as
ϕ
t
(u)=e
At
u+

t
0
e
A(t−τ)
g(ϕ
τ
(u))dτ,t≥0, (1.29)
in the continuous-time case, and as
ϕ
t
(u)=A
t
u+
t−1

τ=0
A
t−τ−1
g(ϕ
τ
(u)) ,t=1,2,... , (1.30)
in the discrete-time case.
From (1.29), and the stability ofAit follows that there exist constantsγ>0 and
c
1>0 such that
|ϕ
t
(u)|≤c 1(e
−γt
|u|+c 0

∞
0
e
γ(t−τ)
dτ),t≥0. (1.31)
From (1.30) and the stability ofAwe get with some constantsδ∈(0,1)andc
2>0
the representation
|ϕ
t
(u)|≤c 2

δ
t
|u|+c 0
∞

τ=0
δ
t+τ+1
˜
,t=1,2,... . (1.32)
From (1.31) and (1.32) the assertion follows immediately. ⎧
Deﬁnition 1.3The equilibriumpof the dynamical system({ϕ
t
}t∈T,M,ρ)is said
to beglobally asymptotically stableifpis asymptotically Lyapunov stable and for
anyq∈Mwe haveϕ
t
(q)→pfort→+∞.
The next theorem was proved by E. A. Barbashin and N. N. Krasovskii in [1]for
continuous time. For discrete time it was shown in [29].

24 1 Attractors and Lyapunov Functions
Theorem 1.1Suppose that p is an equilibrium of the dynamical system({ϕ
t
}t∈T,
R
n
,|·|)and there exists a function V:R
n
→R(C
1
in the continuous-time case
and C
0
in the discrete-time case) such that the following conditions are satisﬁed:
(1) V(p)=0and V(u)>0for all u∈R
n
\{p};
(2)˙V(p)=0and˙V(u)<0for all u∈R
n
\{p};
(3) V(u)→+∞ for|u|→+∞ .
Then the equilibrium p is globally asymptotically stable.
ProofLet for simplicity bep=0. It follows from the Lyapunov theorem thatp=0
is asymptotically Lyapunov stable. Suppose thatϕ
(·)
(q)is an arbitrary motion of the
dynamical system.
Using assumption (3) we chooserso large that
q∈B
r(0)and
V(u)>V(q)for all|u|≥r. (1.33)
From assumption (2) we conclude that
V(ϕ
t
(q))≤V(q)for allt∈T +. (1.34)
Thus, if we take into consideration (1.33)wehave
|ϕ
t
(q)|<rfor allt∈T +.
Let us putc=lim
t→+∞
V(ϕ
t
(q))and show thatc=0.If we assume thatc>0 there
exists a numberr
1∈(0,r)such that|ϕ
t
(q)|≥r 1for allt∈T +. It follows that
r
1≤|ϕ
t
(q)|<rfort∈T +.The proof is complete if we argue as in the Lyapunov
theorem. ⎧
Example 1.10Let us show that the equilibriumu
1=(0,0,0)of the Lorenz system
(1.12) is globally asymptotically stable. Take the function
V(x,y,z):=
1
2
(x
2
+σy
2
+σz
2
).
A direct computation shoes that
˙V(x,y,z)=−σ
˙
x
2
−(1+r)xy+y
2
+bz
2

=−σ
˙1−r
2
(x
2
+y
2
)+bz
2
+
1+r
2
(x−y)
2

≤−σ
˙1−r
2
(x
2
+y
2
)+bz
2

.
Thus by the continuous-time version of Theorem1.1we conclude that
u
1=(0,0,0)is globally asymptotically stable if 0<r<1.

1.3 Existence of a Homoclinic Orbit in the Lorenz System 25
1.3 Existence of a Homoclinic Orbit in the Lorenz System
1.3.1 Introduction
In this section we consider again the Lorenz system. We give estimates for the shape of
a globalB-attractor and prove the existence of homoclinic orbits for certain parameter
values. It will be shown that in certain cases these estimates are asymptotically
exact. Since all estimates are uniform with respect to the parameters, it becomes
possible to prove the existence of a homoclinic orbit using the formulae of asymptotic
integration. The Lorenz system
˙x=−σ(x−y),˙y=rx−y−xz,˙z=−bz+xy, (1.35)
which is a three-mode approximation of a two-dimensional thermal convection, is
now one of the classical models for the transition from global stability to chaotic
behaviour and to the generation of attractors with non-integer Hausdorff dimension.
Sometimes the phrase “homoclinic explosion” is used to refer to the appearance of
various types of chaotic behaviour when parameters are perturbed from the bifurca-
tion parameter of a homoclinic orbit. In such a process the role of homoclinic orbits,
which appear for bifurcation values of parameters is very important. These orbits
and the attractors of the Lorenz system are located in certain domains of the phase
space which can be estimated. We shall suppose further thatσ,r,bare positive
numbers. Let, in addition,r>1 and 2σ>b. Note that if one of these restrictions
is violated then system (1.35) is convergent, i.e. any its orbit tends to a certain equi-
librium whent→+∞(Example1.10). Along with system (1.35) we consider the
equivalent system
˙ξ=η,˙η=−μη−ζξ−ϕ(ξ),˙ζ=−Aζ−Bξη, (1.36)
whereϕ(ξ)=−ξ+γξ
3
,ξ=εx/
√
2σ,η=ε
2
(y−x)/
√
2,ζ=ε
2
(z−x
2
/b),
t=t
1
√
σ/ε,μ=ε(σ+1)/
√
σ,A=εb/
√
σ,ε=(r−1)
−1/2
,B=2
(2σ−b)/b,γ=2σ/b.
1.3.2 Estimates for the Shape of Global Attractors
In this section we shall obtain estimates which are forb≤2 and greatrasympto-
tically exact for a globalB-attractor with respect to the coordinatesξandη.From
these estimates if follows that a globalB-attractor of system (1.36) is located in
domains which are uniformly bounded with respect to parameterr∈(1,+∞).This
fact will be used for the demonstration of the existence of homoclinic orbits.

26 1 Attractors and Lyapunov Functions
It was shown in Sect.1.2that the surfaces
S
1:= {(r−z)
2
+y
2
=l
2
+ς}andS 2:= {z−x
2
/(2σ)=−ς},
whereς>0 andlis given by (1.20), are transversal (“contact-free”) for the solutions
of system (1.35). Hence the following inequalities hold on a global attractor of system
(1.35):
(r−z)
2
+y
2
≤l
2
,z≥x
2
/(2σ). (1.37)
Hence it follows that on a global attractor of system (1.36)
−
l
√
2(r−1)
−
√
σξ
√
r−1
≤η≤
l
√
2(r−1)
−
√
σξ
√
r−1
, (1.38)
ζ>−Bξ
2
/2,∀ξ=0. (1.39)
Using estimate (1.37), we introduce the comparison system ([19,20])
˙ξ=η,˙η=−μη+ξ−ξ
3
, (1.40)
which is equivalent to the ﬁrst-order equation
P
dP
dξ
+μP−ξ+ξ
3
=0. (1.41)
Let us consider positive solutionsP
1(ξ)of (1.41)ontheset[0,ξ 0)with initial condi-
tionP
1(ξ0)=0. They deﬁne for system (1.36) in the half-space{ξ≥0}the contact-
free surfaces

η=P
1(ξ), η >0,ξ∈[0,ξ 0]

,{η<0,ξ=ξ 0}. (1.42)
Negative solutionsP
2(ξ)of (1.41)on(−ξ 0,0]with the initial condition
P
2(−ξ0)=0 deﬁne for system (1.36) in the half-space{ξ≤0}the contact-free
surfaces

η=P
2(ξ), η <0,ξ∈[−ξ 0,0]

,{η>0,ξ=−ξ 0}. (1.43)
From this and from estimate (1.38) it follows that if the graph of the function
η=P
1(ξ)intersects the graph of the straight line
η=
l
√
2(r−1)
−
√
σ
√
r−1
ξ

1.3 Existence of a Homoclinic Orbit in the Lorenz System 27
in a certain pointξ 1on the interval(0,ξ 0), then the inequalities
ξ<ξ
0,η< P 1(ξ)forξ∈[ξ 1,ξ0] (1.44)
hold on a global attractorξAof system (1.36). Similarly, if the graph of the function
η=P
2(ξ)intersects the graph of the straight line
η=−
l
√
2(r−1)
−
√
σξ
√
r−1
in a certain pointξ
2on the interval(−ξ 0,0)then the inequalities
ξ>−ξ
0,η>P 2(ξ)for[−ξ 0,ξ2] (1.45)
are true on the global attractorξAof system (1.36). Note that the surfaces
{ζ=C−Bξ
2
/2,C>Bξ
2
0
/2}are contact-free for system (1.36) in the strip
{|ξ|≤ξ
0}. Hence the estimate
ζ≤B(ξ
2
0
−ξ
2
)/2 (1.46)
holds on a global attractor of system (1.36). We have thus proved the following
result ([24]).
Theorem 1.2Estimates (1.37)–(1.38), (1.44)–(1.46) hold on a global attractor of
system (1.35).
Let us give now a simple estimate ofξ
0. To do this we note that the inequali-
ties (1.44) hold if the graph ofη=P
1(ξ)intersects the graph of the straight line
η=l/(
√
2(r−1)). From the positiveness ofμin equation (1.41) it follows that
P
1(ξ)
2
>(ξ
2
−ξ
2
0
)−
1
2
(ξ
4
−ξ
4
0
).
Therefore, a sufﬁcient condition for the above intersection to take place is that
(1−ξ
2
0
)−
1
2
(1−ξ
4
0
)=
l
2
2(r−1)
2
.
This inequality implies that
ξ
0=
"
1+
l
r−1
. (1.47)
Similar reasoning may also be applied to estimate (1.45). It follows from relation
(1.47) that any global attractor of (1.36) lies in a domain which is bounded uniformly
with respect to the parameterr∈(1,+∞). For a globalB-attractor in the caseb≤2,

28 1 Attractors and Lyapunov Functions
the estimates (1.37)–(1.38) are asymptotically the best possible asr→+∞. Indeed,
in this case, asr→+∞the following inequalities hold on the globalB-attractor:
|η|≤1/
√
2,|ξ|≤
√
2.
We recall that a part of a globalB-attractor consists of the unstable manifold of
the zero equilibrium, which may be represented approximately (for smallε)bythe
formulae

ζ=−Bξ
2
/2,η
2
=ξ
2
−ξ
4
/2

.
So for largerthe globalB-attractor has points close to the planes{|ξ|=
√
2},
{|η|=1/
√
2}.
1.3.3 The Existence of Homoclinic Orbits
Letξ
+
,η
+
,ζ
+
denote a solution of (1.36) associated with the positive branch of the
unstable manifold of the saddle point(0,0,0), that goes into the half-plane{ξ>0},
that is, a solution of (1.36) such that
lim
t→−∞
(ξ
+
(t), η
+
(t), ζ
+
(t))=(0,0,0)
andξ
+
(t)>0fort∈(−∞,T).HereTis a certain number or+∞. It is well-known
([20,25,27]) that if the values ofσandband the value ofrare close enough to 1,
thenT=+∞.
Let us consider a smooth paths∈[0,1]⎩→(b(s), σ(s),r(s))in the parameter
space{b,σ,r}. The main result of this section is the following theorem ([24]).
Theorem 1.3Suppose that for system (1.36) with parameters b(0),σ(0),r(0)there
exist numbers T>τsuch that the relations
ξ
+
(T)=η
+
(τ)=0,ξ
+
(t)>0,∀t<T, (1.48)
η
+
(t)=0,∀t<T,t=τ (1.49)
hold. Suppose also that for system (1.36) with parameters b(1),σ(1),r(1)the
inequality
ξ
+
(t)>0,∀t∈R (1.50)
is true. Then there exists a number s
0∈[0,1]such that system (1.36) with parameters
b(s
0),σ(s 0),r(s 0)has a solution(ξ
+
,η
+
,ζ
+
)corresponding to a homoclinic orbit.
In order to prove this assertion we shall need the following lemmas.

1.3 Existence of a Homoclinic Orbit in the Lorenz System 29
Lemma 1.1If the conditions
η
+
(τ)=0,η
+
(t)>0,∀t∈(−∞,τ),
hold for system (1.36), then˙η
+
(τ) <0.
ProofSuppose the contrary, i.e.˙η
+
(τ)=0. Then we derive from the two last equa-
tions of system (1.36) that
¨η
+
(τ)=Aζ
+
(τ) ξ
+
(τ) . (1.51)
It follows from the relationsη
+
(t)>0,ξ
+
(t)>0,∀t∈(−∞,τ)and from the last
equation of (1.36) thatζ
+
(t)<0,∀t∈(−∞,τ]. This inequality and (1.51)imply
the inequality¨η
+
(τ) <0 follows. But this contradicts the assumption˙η
+
(τ)=0 and
the conditions of the lemma. This contradiction proves Lemma1.1. ρ
Lemma 1.2Consider system (1.36). Suppose that the relations (1.48), (1.49) and
the inequalities
η
+
(t)>0,∀t∈(−∞,τ), η
+
(t)≤0,∀t∈(τ,T) (1.52)
are true. Then inequality (1.49) also holds.
ProofSuppose the contrary. Then we conclude that a numberς∈(τ,T), exists such
that
η
+
(ς)=˙η
+
(ς)=0,¨η
+
(ς)=Aξ
+
(ς)ζ
+
(ς) <0,η
+
(t)<0,∀t∈(ς,T)
are valid. Note that the orbit corresponding to the solution(ξ(t), η(t), ζ(t))=
(0,0,ζ(0)exp(−At))belongs to the stable manifold of the saddle point(0,0,0).
Hence, from the conditions (1.48), (1.49) and from the above relations it follows
that the positive branch of the unstable manifold corresponding to the solution
(ξ
+
,η
+
,ζ
+
)and the stable manifold intersect. Then the positive branch of the unsta-
ble manifold belongs completely to the stable manifold of the saddle, and the relation
ξ
+
(t)>0,∀t≥ςis valid. The latter relation contradicts the hypothesis (1.48). This
contradiction proves Lemma1.2. ρ
Remark 1.6It is possible to give the following geometrical interpretation of this
proof in the phase space with the coordinatesξ,η,ζ. A piece of the stable manifold of
the saddleξ=η=ζ=0 is situated “under” the set{ξ>0,η=0,ζ≤1−γξ
2
}.
This property does not allow the trajectory with the initial data from the set to reach
the planeξ=0 if it remains in the quadrant{ξ≥0,η≤0}.
Let us consider the polynomial
λ
3
+aλ
2
+bλ+c, (1.53)
wherea,b,care positive numbers.

30 1 Attractors and Lyapunov Functions
Lemma 1.3Either all zeros of the polynomial (1.53) have negative real parts, or
two of them have non-zero imaginary parts.
ProofIt is well-known ([9]) that all the zeros of (1.53) have negative real parts if
and only ifab>c.Ifab=cthe polynomial (1.53) has two pure imaginary zeros.
Suppose now that for certaina,b,cwithab<cthe polynomial (1.53) has only real
zeros. Since the coefﬁcients are positive it follows that these zeros are negative. This
leads to the inequalityab>cwhich contradicts our assumption. ρ
Proof of Theorem 1.3It is well-known ([12]) that the semi-orbit of system (1.36)
{(ξ
+
(t), η
+
(t), ζ
+
(t))|t∈(−∞,t 0)}depends continuously on parameters.Here
t
0is an arbitrary ﬁxed number. It follows from this and from Lemma1.1that, if
conditions (1.48)–(1.49) hold for system (1.36) with parametersb(s
1),σ(s 1),r(s 1)
then these conditions also hold forb(s),σ(s),r(s)provided thats∈(s
1−δ,s 1+δ).
Hereδis a certain sufﬁciently small number and the numbersτandTdepend on
parameters. It follows from the above reasoning that the relations (1.48)–(1.49)are
valid for a certain interval(0,s
0). Further we shall assume that(0,s 0)is the maximal
interval where the relations (1.48)–(1.49) are valid. Let us demonstrate that there
exists a certain homoclinic orbit which corresponds to the valuesb(s
0),σ(s 0),r(s 0).
We ﬁrst note that for these parameters and some valueτ
η
+
(t)>0,∀t<τ, η
+
(t)≤0,∀t≥τ,
ξ
+
(t)>0,∀t∈(−∞,+∞).
(1.54)
Indeed, if there exist numbersT
2>T1>τ,forwhich
ξ
+
(t)>0,∀t∈(−∞,T 2), ξ
+
(T2)=0,η
+
(T1)>0,
η
+
(t)>0,∀t<τ, η
+
(τ)=0,˙η
+
(τ) <0
are true then forssufﬁciently close tos
0and such thats<s 0the inequality
η
+
(T1)>0 still holds. This contradicts the deﬁnition of the numbers 0. If there exist
numbersT
1>τ,forwhichη
+
(T1)>0,η
+
(t)>0,∀t<τ,η
+
(τ)=0,˙η
+
(τ) <0,
andξ
+
(t)>0,∀t∈(−∞,+∞), then again forssufﬁciently close tos 0and such
thats<s
0the inequalityη
+
(T1)>0 remains true and again we have a contradic-
tion with the deﬁnition of the numbers
0. If there exist numbersT>τ,forwhich
ξ
+
(t)>0,∀t<T,ξ
+
(T)=0,η
+
(t)>0,∀t<τ,η
+
(t)≤0,∀t∈[τ,T], then
the inequality (1.49) is true according Lemma1.2. Consequently fors=s
0relations
(1.48)–(1.49) are fulﬁlled and then(0,s
0)is not the maximal interval, for which these
relations are true. By these contradictions inequalities (1.54) are proven. It follows
from (1.54) that fors=s
0only an equilibrium can be theω-limit set of the orbit of
(ξ
+
,η
+
,ζ
+
). Let us demonstrate that the equilibrium(ξ,η,ζ)=(1/
√
γ,0,0)can
not be anω-limit point of this orbit. The linearization in the neighborhood of this
equilibrium gives the characteristic polynomial
λ
3
+(A+μ)λ
2
+(Aμ+2/γ )λ+2A.

1.3 Existence of a Homoclinic Orbit in the Lorenz System 31
Suppose that fors=s 0theω-limit set of the positive branch of the unstable manifold
corresponding to the solutionξ
+
,η
+
,ζ
+
includes the point(ξ,η,ζ)=(1/
√
γ,0,0).
By Lemma1.3and by the fact that the semi-orbits{ξ
+
(t), η
+
(t), ζ
+
(t)|t∈
(−∞,t
0)}depend continuously on the parameterswe obtain the following asser-
tion. For the valuesswhich are sufﬁciently close tos
0the positive branch of the
unstable manifold corresponding to(ξ
+
,η
+
,ζ
+
)either tend to an equilibrium state
(ξ,η,ζ)=(1/
√
γ,0,0)ast→+∞, or oscillate in some time-interval with chang-
ing sign of the coordinateη. Both of these possibilities contradict properties (1.48)–
(1.49). Hence, for system (1.36) with parametersb(s
0),σ(s 0),r(s 0)the orbit of
(ξ
+
,η
+
,ζ
+
)tends to the trivial equilibrium state ast→+∞. ⎧
Remark 1.7Note that the proof of Theorem1.3actually yields a stronger result,
which may be formulated as follows. If relations (1.48)–(1.49) hold fors∈[0,s
0),
but not fors=s
0, then system (1.36) with parametersb(s 0),σ(s 0),r(s 0)has a
homoclinic orbit.
Let us apply Theorem1.3in various speciﬁc cases. Fix the numbersbandσ.Itis
well-known ([20,27]) that inequality (1.50)istrueforrsufﬁciently close to 1. We
will show that if
3σ−2b>1 (1.55)
andris sufﬁciently large, then relations (1.48)–(1.49) will hold. Indeed, consider
the system
Q
dQ
dξ
=−μQ−Pξ−ϕ(ξ),Q
dP
dξ
=−AP−BQξ, (1.56)
which is equivalent to system (1.36)inthesets{ξ≥0,η>0}and{ξ≥0,η<0},
wherePandQare solutions of (1.56) which are functions ofξ. Since Theorem1.2
implies that the quantities(ξ
+
(t), η
+
(t), ζ
+
(t))are bounded uniformly with respect
to the parameterr, we can carry out an asymptotic integration of the solutions of
system (1.56) with a small parameterεthat correspond to the branch of the unstable
manifold under consideration. In the ﬁrst approximation these solutions may be
written in the form
Q
1(ξ)
2
=ξ
2
−
ξ
4
2
−2μ
ξ
0
ξ
#
1−ξ
2
/2dξ−2AB
ξ
0
ξ

1−
#
1−ξ
2
/2
˜
dξ,
Q
1(ξ)≥0, P 1(ξ)=−
$
β
2
%
ξ
2
+AB

1−
#
1−ξ
2
/2
˜
,

32 1 Attractors and Lyapunov Functions
Q2(ξ)
2
=
ξ
2
−
ξ
4
2
−2μ
√
2
ξ
ξ
&
1−ξ
2
/2dξ−
4
3
μ+2AB
√
2
ξ
ξ
$
1+
&
1−ξ
2
/2
%
dξ−
2
3
AB,
Q
2(ξ)≤0,P 2(ξ)=−
$
B
2
%
ξ
2
+AB
$
1+
&
1−ξ
2
/2
%
.
It follows from these formulae that if inequality (1.56) holds, then for someT>τ
relations (1.48)–(1.49) will also hold and at the same time
ζ
+
(T)=P 2(0)=2AB,
η
+
(T)=Q 2(0)=−
#
8(AB−μ)/3=−
&
8ε(3σ−2b−1)/(3
√
σ).
Thus, all the conditions of Theorem1.3hold for the paths⎩→(b(s), σ (s),r(s))
withb(s)≡b,σ(s)=σ,r(0)=r
1,r(1)=r 2, wherer 1is sufﬁciently large andr 2
is sufﬁciently close to 1. We may therefore formulate the following result.
Corollary 1.1For any positive numbers b andσsatisfying the inequality (1.55)a
number r∈(1,+∞)exists, such that system (1.36) with these parameters b,σand
r has a solution(ξ
+
,η
+
,ζ
+
)corresponding to a homoclinic orbit.
Remark 1.8Corollary1.1was ﬁrst obtained in [21,22] and discussed later in [5,
13,23].
Now ﬁxσ=10 andr=28, and consider the parameterb∈(0,+∞). It is well-
known ([5]) that for
b>
3σ−1
2
condition (1.50) is fulﬁlled. To analyse system (1.36) for smallb, we reduce it to the
form
˙ξ=η,˙η=−μη−uξ+ξ−ξ
3
,˙u=−Au+
ε(2σ−b)
√
σ
ξ
2
,(1.57)
whereu=ζ+Bξ
2
/2. Since the semi-orbit{(ξ
+
(t), η
+
(t), ζ
+
(t))|t∈(−∞,t 0]}
depends continuously on the parameterb, it follows that, whenbis small, the system
(1.57) may be replaced by the system
˙ξ=η,˙η=−
ε(σ+1)
√
σ
η−uξ+ξ−ξ
3
,˙u=2ε
√
σξ
2
. (1.58)
Numerical integration of the solution(ξ
+
,η
+
,ζ
+
)of system (1.58)forσ=10,
r=28 shows that conditions (1.48)–(1.49) are satisﬁed. Hence, the above arguments,
using Theorem1.3, yield the following.

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S
OFFENER BRIEF AN EINEN
UNBEKANNTEN
EHR geehrter Herr! Ich nehme mir die Freiheit, in aller
Öffentlichkeit ein Schreiben an Sie zu richten, weil ich Sie nicht
länger darüber im Unklaren lassen möchte, wie unsympathisch
Sie mir sind.
Mit Erstaunen werden Sie fragen, welche Gründe um alles in der
Welt mich, der ich Sie nicht kenne, bewegen, Sie einen mir
unsympathischen Menschen zu heißen.
So hören Sie denn, daß ich nicht den winzigsten Grund habe, um
so mehr, als ich Sie, wie gesagt, nicht kenne.
Trotzdem sind Sie mir in tiefster Seele und aus einem, wenn ich
mich so ausdrücken darf, allgemeinen Gefühl heraus unausstehlich,
und ich versichere laut, daß ich jeden Zug Ihres Wesens, jede Spur
Ihres Seins widerlich finde, mögen Sie existieren oder nicht.
Ich bin überzeugt, daß Ihre sauber genähten Krawatten mir nicht
minder auf die Nerven fallen würden als die Handbewegungen,
womit Sie Ihrer jüngsten Tochter, wenn Sie eine hätten, über den
Scheitel fahren, wenn sie einen hätte, und daß mich die Geschwulst
hinter Ihrem rechten Ohre, gesetzt, Sie hätten eine, ebenso peinlich
berühren würde wie die Art, in der Sie über Angelegenheiten der
inneren Politik sprechen — wenn Sie darüber sprechen. Warum
übrigens in drei Teufels Namen lassen Sie sich jene Geschwulst
hinter dem rechten Ohre nicht endlich operieren — für den Fall, Sie
haben eine?
Sie gelten mir, klipp und klar, in jedweder Hinsicht als vollendeter
Typus eines Proleten — herrisch, ordinär, albern, rücksichtslos und
seicht, wie Sie hoffentlich sind. Um das Maß voll zu machen, lieben
Sie — Sie werden mich darin nicht enttäuschen — das Skatspiel und

die Lektüre infamer Schmöker, die nicht angeführt sein mögen, und
entrüsten sich womöglich als sogenannter Gegner des Fremdwortes,
daß ich Wörter wie «Lektüre» und «infam» anwende.
Ich gebe zu, daß ich meinem Vorurteil, das am Äußerlichen haftet,
allzu willfährig bin und besser daran täte, Ihr Inneres zu prüfen, muß
indessen zu meiner Rechtfertigung erklären, daß ich die
«Unsympathischkeit» auf den ersten Blick, die sich jederzeit in das
Gegenteil verkehren könnte, bei weitem der «Sympathischkeit», um
nicht zu sagen «Liebe» auf den ersten Blick den Vorzug gebe,
welche kritischen Erschütterungen nur in seltenen Fällen
standzuhalten vermag.
Mit Freuden bin ich bereit, mich mit Ihnen, den ich gottlob nicht
kenne, und von dem ich nicht weiß, ob er überhaupt auf Erden
wandelt, an drittem Orte zu treffen, um die wenig erquicklichen
Beziehungen, die uns verknüpfen, in erfreulichere oder sogar
erfreuliche zu verändern, obwohl ich meine Besorgnis nicht
verhehlen möchte, daß Sie gerade bei naher Bekanntschaft und nach
Preisgabe Ihres Inwendigen ein gräßliches Subjekt, unter
Umständen sogar ein hierorts als «Mistvieh» zu bezeichnendes
Individuum abgeben dürften, dem ich besser aus dem Wege trete.
Lassen wir es also zu beiderseitigem Vorteile bei der bestehenden
Unbekanntschaft verbleiben, und bauen wir auf unser Vorurteil, das
sicherlich wohl begründet ist, sei es auch nur gefühlsmäßig. «Unser»
Vorurteil schreibe ich, da ich allzu gut weiß, wie wenig Sie Ihrerseits
mich leiden mögen — mich, den es gibt.
Mit dem Ausdrucke vollkommener Hochachtung bin ich Ihnen, den
es nicht gibt, ergeben und schließe mit dem Bemerken, daß die
letztgebrauchte Redewendung eine leere Phrase ist und nichts
weiter.
H. R.

«W
DER OCHSE
Personen:
Hans
Kurt
Theo
AS stehst du da und sinnst?»
«Ich sinne nicht. Ich warte auf Theo.»
«Wartest du lange?»
«Ja, aber er kommt nicht.»
«Ich will dir helfen. Du weißt, daß der Ochse kommt, wenn man
von ihm spricht?»
«Freilich.»
«Also laß uns von Theo sprechen.»
Hans und Kurt sprechen von Theo, damit der Ochse kommt.
Aber er kommt nicht.
«Du, unser Sprechen ist für die Katz’. Theo kommt nicht.»
«Nein, er kommt nicht.»
Theo kommt.
Hans und Kurt brechen gleichzeitig in die Worte aus: «Siehst du,
er ist doch ein Ochse!»
«Wer?» fragt Theo.
«Du!» lautet die fröhliche Antwort.
Theo ist vom Gegenteil überzeugt.

E
VON DEM MANNE, DER AUSZOG,
ERDBEEREN ZU SUCHEN UND
PFIFFERLINGE MIT HEIMBRACHTE
INE sehr schöne Geschichte.
Von mir.
Und außerdem eine sehr kurze Geschichte.
Aber auch kurze Geschichten können schön sein.
Ich liebe die kurzen Geschichten, die schön sind.
Dies ist eine.
Wenigstens meiner Meinung nach.
Also: ein Mann ging in den Wald, um Erdbeeren zu suchen.
Sogenannte Walderdbeeren.
(Weil sie im Walde wachsen!)
Aber er fand keine.
Aber Pfifferlinge fand er.
Einen ganzen Sack voll.
Er ging heim mit seinem Sack voller Pfifferlinge oder Pfefferlinge.
In Sachsen sagt man «Gehlchen».
Die Sachsen müssen immer eine Extrawurst haben.
Na, und die schmorte er sich.[1]
Und aß sie.
Und die schmeckten sehr gut.
[1] Die Pilze, meine Verehrten!
In Sachsen sagt man «schmeckten sehr schön».
Die schmeckten also sehr schön.
Und da freute sich der Mann schrecklich und vergaß völlig, daß er
in den Wald gegangen war, um Erdbeeren zu suchen.

* *
*
Das ist die ganze Geschichte.
Ist sie nicht schön?

U
DIE WAHRHEIT
M es ganz aufrichtig und ehrlich zu sagen, so halte ich —
menschlich — jeden beliebigen Kaufmann für tausendmal
wertvoller als irgendeinen Künstler.
Man wird mir diesen Satz nicht glauben — um so weniger, als ich
heftig beteuere, ihn durchweg ernst zu meinen.
Aber: ich halte zehn gute Kaufleute, Gott straf mich, für
tausendmal wichtiger — menschlich — als einen halben
Gymnasiallehrer.
Auch diesen Satz wird mir niemand glauben.
Nun denn, ganz aufrichtig und ehrlich: ich halte weder Kaufmann
noch Lehrer für wichtig, geschweige denn für wertvoll. Den Künstler
erst recht nicht.
Dies ist voller Ernst und mein letztes Wort in dieser Sache.
Punktum.

A
KEIN SCHÖNRER TOD IST AUF DER
WELT . . .
LS es 418 (418!) Tage lang, 418 Tage lang hintereinander, 418
Tage lang ununterbrochen hintereinander geregnet hatte, 418
Tage lang geregnet hatte, waren alle Wesen des Lebens
überdrüssig.
Und der hochbetagte Bibliothekar Stibulke sprach zu seiner Frau:
«Rosa, weißt du was, wir ersäufen uns!»
Das war aber gar nicht mehr nötig; denn — siehe — in demselben
Augenblicke wurde das Ehepaar von den eindringenden Fluten
hinweggespült.

S
SERENISSIMUS JAGT
SCHMETTERLINGE
ERENISSIMUS jagt Schmetterlinge. Für seine Sammlung. — Hat
eine Schmetterlings-Sammlung. — Lauter Schmetterlinge. Und
Käfer. — Und Briefmarken. — Alles durcheinander. — Auch
Strumpfbänder. Weibliche. — Souvenirs. — Namentlich
Strumpfbänder. — Nebenbei auch einige Schmetterlinge. — Zwei
oder drei. — Oder einen? — Ja, einen. Einen einzigen. Tja. Aber
einen ganz seltenen! — Ein Mistpfauenauge. Oder so ähnlich. Ganz
drolliges Viech. — Sieht aus wie en Käfer. — Tja. — Ist auch en
Käfer. Heißt genau genommen Mistpfauenkäfer. — Oder so ähnlich.
— Oder Mistkäfer. — Ja: Mistkäfer. — Geschmacklos. — Warum nich
Guanokäfer? Oder Kloakenkäfer? — Tja. — Ein entzückender
Kloakenkäfer. — Schillert in allen Farben. — Täuschend imitiert. —
Sieht aus wie echt. Wie wenn er lebte. — Tja. — War ooch teuer
genug! Zierte Lisas Strumpfbänder, die Katze. — Zwei waren es
sogar. Eigentlich. Ursprünglich. — Na, der eine ist gerettet. —
Apartes Andenken. An die verflossene Lisa. — Saßen auf dem
Strumpfband, die beiden Käfer. Oder vielmehr: auf den
Strumpfbändern. Auf jedem einer. — Lisa mußte zweie haben. —
Dolles Weib. T, t, t, t. — Viel Geld gekostet. — Tja. — Na, egal. —
War die Sache wert. — Süßer Käfer. — Hat Karriere gemacht. —
Nach unten. — Bis in den Rinnstein. — Ooch en Kloakenkäfer
geworden. Oder Mistkäfer. — Hähä, blendender Witz. — Jaja, feines
Köppchen! — Tja. — Na, wolln ma sehn, was sich tun läßt.
Serenissimus stelzt über ein Stoppelfeld. Das Schmetterlingsnetz
in der Hand.
Er will seine Sammlung bereichern.
Schmetterlinge jagen ist sein neuster Sport.

Serenissimus ist passionierter Schmetterlingsjäger.
Absolut einwandfrei edles Weidwerk.
Totschick! — Heissa, hussa!
Serenissimus stelzt über das Stoppelfeld. Mit sagenhaft elastischen
Schritten.
Einem Schmetterling ist er auf den Fersen.
Einem Sauerkohlweißling.
Der schillert so angenehm rötlich.
Vielleicht gar en Rotkohlweißling?
Oder en Sauerkohlrötling?
Vertrackt schwierige Kiste, Schmetterlinge jagen.
Die Tiere flattern in der Luft herum.
Sind gar nich en bißchen zutraulich.
Na, wern den Kerl schon kriegen!
— Serenissimus stelzt über die Stoppeln. Dem Weißling hinterher.
Da geschieht etwas durchaus Unerwartetes.
Eine Dampfwalze kommt in rasendem Tempo auf Serenissimus
zugeschossen. Wie ein Pfeil.
Serenissimus, der bei einem Haare den Weißling im Netz
hatte, springt — juchopps — mit einem Fluch beiseite.
Himmelherrgottspappedeckel, Klabund und Wolkenbruch!!
— — — Die Dampfwalze prescht wie besessen an dem
verdatterten Ferschten vorüber . . . .
Da bemerkt Serenissimus dort, wo die Dampfwalze ihren Weg
genommen hat, einen rotgelben Tupfen: den zu Brei gequetschten
Sauerkohlrotweißling.
Er hebt ihn auf und steckt ihn ins Netz.
Das Netz schultert er und geht heim. Serenissime.
So fing Serenissimus seinen ersten
Schmetterling.
* *
*
Daraus geht hervor: Um einem Serenissimo dienstbar zu sein,
scheuen die himmlischen Gewalten weder Kosten noch Mühe.

L
DAS ZIMMER
INKS eine Wand. Rechts eine Wand. Vorn eine Wand. Hinten eine
Wand. Oben die Decke. Unten die Diele. — In der linken Wand
eine Tür, in der rechten Wand zwei Fenster, in der vorderen
Wand nichts, in der hinteren Wand nichts. — An allen vier Wänden
Tapete. — In der Mitte der Diele ein Tisch, darauf eine Vase. Um den
Tisch drei Stühle. An der rechten Wand zwischen den Fenstern ein
Büchergestell. An der linken Wand über der Tür ein Haussegen. An
der vorderen Wand ein Ofen, ein Waschtisch, ein Bett, ein Spiegel.
An der hinteren Wand ein Sofa, ein Schreibtisch mit Lehnsessel, ein
Schrank; über dem Sofa ein großes Bild. An der Decke eine Lampe.
Dies ist ein Zimmer. —
Was ist ein Zimmer? — Ein Selbstmordmotiv.
Öde, kahl, ekel. — — —
Laß an den Fenstern Gardinen anbringen, und in der
Dämmerstunde stell auf den Tisch die duftenden Reseden: — das
Zimmer ist traut und wohnlich.
Und liegt ein sündhaft schönes Weib im Bett, der Teufel hole dich,
wenn du das Zimmer nicht mit Lust beziehst.

D
HAND UND AUGE
(Ein Reise-Erlebnis)
Personen:
Die anmutige Dame
Der stattliche Herr
Ort:
Eisenbahn-Abteil 2. Klasse
ER Herr: «Darf ich das Fenster öffnen?»
Die Dame: «Ja.»
Der Herr: «Stört es Sie, wenn ich eine Zigarette rauche?»
Die Dame: «Nein.»
Der Herr: «Darf ich fragen, wohin Ihre Reise geht?»
Die Dame: «Ja. Nach Danzig.»
Der Herr: «Wie sich das trifft! Ausgerechnet nach Danzig fahre
auch ich!»
Der Herr: «Ist es Ihnen unangenehm, mit mir im selben Abteil
fahren zu müssen?»
Die Dame: «Nein.»
Der Herr: «Fahren Sie gern Eisenbahn?»
Die Dame: «Nein.»
— —
Ein Gespräch kommt nicht zustande.
Es ist frostern im Abteil. Die Dame ist zugeknöpft. Der Herr
versucht es mit einem Gewaltmittel:
«Schauen Sie», spricht er, «ich hab’ ein Glasauge!» und nimmt
sein linkes Auge heraus.
Die Dame taut auf: «Ach!? — Ist das echt?»
«Jawohl — es ist ein echtes nachgemachtes Auge.»

«Gott, wie goldig!»
«Nicht wahr?»
«Und ohne das Auge sehen Sie gar nichts?»
«Nein, nicht das mindeste.»
«Und mit dem Auge?»
«Sehe ich auch nichts!»
«Ja, ist denn das Auge nicht durchsichtig?»
«Doch — aber womit sollte ich hindurchsehen?»
«Haben Sie das Auge verloren?»
«Ja — ein Fräulein hat es mir mit der Hutnadel ausgestochen.»
«Wie gemein!»
«Ich habe mich gebührend gerächt.»
«Inwiefern?»
«Ich habe das Fräulein geheiratet.»
Die Dame rückt ab und knöpft sich wiederum zu. Der Herr hat
seinen Reiz zur guten Hälfte verloren. Er ist verheiratet!
Der Herr steckt sein Auge ein.
Die Dame — nach langer Pause —: «Sie tragen ja gar keinen
Trauring?»
«Nein, warum? Ich bin ja nicht verheiratet.»
«Sie sagten doch . . .»
«Ein Scherz.»
«Aber das falsche Auge ist doch wenigstens echt, wie?»
«Völlig echt, meine Gnädige.»
«Darf ich es mal sehen?»
«Mit Vergnügen.»
Der Herr reicht der Dame das echte falsche Auge. Die Dame
nimmt es in die linke Hand.
Sie faßt das Auge scharf ins Auge und spricht:
«Es ist täuschend imitiert. Besser als diese meine linke Hand.»
«Was ist mit der Hand?»
«Sie ist künstlich. Aus Marmor.»
«Seltsam. Ein falsches Auge in falscher Hand!»
«Ich finde das weniger seltsam, als wenn ein echtes Auge in einer
echten Hand läge.»
«So? Wäre das seltsamer?»

«Es wäre nicht nur seltsamer, es wäre unmöglich.»
«Es ist nicht unmöglich. — Mein Auge ist kein Glasauge. — Das
Auge ist mein wirkliches, echtes Auge.»
Die Dame läßt erschreckt das Auge fallen.
Das Auge blickt die Dame wehmutig an.
Die Dame greift gerührt mit ihrer Linken nach dem Auge — — —
die Hand füllt sich mit Leben, Blut durchrinnt sie, Puls klopft auf.
Das Auge zwinkert bedeutsam.
Der Herr sieht die marmornen Finger der Dame sich regen; «Ihre
Hand, Gnädige, scheint lebend zu sein!»
Die Dame krümmt die Finger — und ist selbst betroffen über die
Verwandlung.
Sie streicht mit der Rechten über das Auge in ihrer Linken, und
das Auge schläft ein.
Der Herr nimmt es und steckt es in seine Höhle zurück.
Die Dame kann nicht anders, sie drückt einen Kuß auf das Auge.
Der Herr küßt der Dame die linke Hand.
Das Auge öffnet sich und blickt dankbar.
Die Linke der Dame streichelt die Wange des Herrn.
«Danzig —!»

A
TROPFEN AUS HEITERM HIMMEL
UF der Wiese steht ein Greis und will eine Kneippkur machen.
Er ist barfuß und barhaupt.
Über ihm hängt ein wunderschöner, blauer, wolkenloser
Himmel.
Der Greis hält Ausschau nach einer Kuh, die fern am Waldrande
Bedürfnis über Bedürfnis verrichtet.
Da tropft dem Greis etwas aufs Haupt.
Ein dicker Tropfen.
Der Greis greift mit der Hand auf seinen Schädel und wischt den
Tropfen ab.
Dann lugt er auf zum Himmel.
Der Himmel glänzt in seidiger Bläue.
«Wie?» denkt der Greis, «ein Tropfen aus heiterm Himmel?»
Und er begibt sich von dem Flecke, auf dem er gestanden, weg
und pflanzt sich anderswo auf.
Daselbst hält er wiederum Ausschau nach jener
bedürfnisstrotzenden Kuh.
Er steht nicht lange — der Greis —, so kleckt ihm ein zweiter
Tropfen aufs Haupt.
Aufschauend zum Himmel, wundert er sich ins Fäustchen und
wischt sodann den nassen Tropfen sich vom Schädel.
Der Himmel lacht. Mit Recht.
«Wenn das so weitergeht,» denkt unser Greis bei sich, «das kann
ja gut werden!»
Und er bleibt stehen, wo er steht.
Er will herauskriegen, wo die Tropfen herkommen; auch will er
wissen, ob ihrer noch mehr herunterklecken.
Abermals wendet er sein Augenmerk nach jener fladenden Kuh
und vergißt über sie das Tropfen.

Es währt nur kurze Zeit, so tropft dem Greis ein dritter Tropfen auf
den Kopf.
Der Greis runzelt die Stirn und betrachtet den Himmel. Der thront
unschuldig und engelisch-rein über der Szenerie.
Der Greis legt sich ins grüne Gras und läßt den Himmel nicht aus
dem Auge.
Es kleckt kein Tropfen mehr vom Himmel.
«Aha,» denkt sich der Greis, «dies geschieht, weil ich Obacht
gebe».
Und er paßt auf. Er wendet keinen Blick vom Himmel.
— — — — —
Auf der Wiese liegt ein Greis. Er hat eine Kneippkur machen wollen,
aber er muß aufpassen, ob es tropft. Er ist überzeugt, daß in dem
Augenblicke, wo er den Himmel außer acht läßt, ein Tropfen ihm
aufs Haupt kleckt.
Der Greis schläft darüber ein.
Er träumt, daß ihm ein Tropfen auf den Kopf kleckt. Er stellt sich
anderswohin, und ein zweiter Tropfen kleckt. Er bleibt stehen, und
ein dritter Tropfen kleckt. Da legt er sich ins grüne Gras und spannt
auf den Himmel. — Dies träumt der Greis.
Die Kuh möhkt plötzlich dicht bei ihm.
Davon erwacht der Greis, erhebt sich ächzend und begibt sich an
die Kneippkur.
Ihm ist, als seien drei Tropfen auf seinen Kopf gekleckt.
Dies ist jedoch völlig unmöglich. Denn der Himmel ist blau, heiter
und wolkenlos.
Hat der Greis geträumt?

D
DAS ALTER
Personen:
Der gutgelaunte Vorgesetzte
Der wie auf den Kopf gefallene Bewerber
ER Vorgesetzte läßt den Bewerber eintreten und ersucht ihn,
Platz zu greifen. Es entspinnt sich eine Unterredung, die auf
einem gewissen halbtoten Punkt stehen bleibt: Der Vorgesetzte
möchte Einzelheiten aus dem Privatleben des Bewerbers wissen. Er
fragt zuvörderst nach dem Alter. «Wie alt sind Sie denn?»
«Ich werde 32.»
«Wie alt Sie sind?»
«Ich werde 32.»
«Ich will nicht wissen, wie alt Sie werden; ich will wissen, wie
alt Sie sind.»
Der Bewerber schweigt kopfscheu.
«Na wie alt sind Sie denn?»
«Ich bin 31 gewesen.»
«Guter Mann, hm, wenn Sie 31 gewesen sind, so sind Sie zur
Zeit 32. Soeben behaupten Sie jedoch, Sie würden erst 32.»
«Ja, das stimmt.»
«Nee, das stimmt nicht. Wenn Sie 32 werden, können Sie nicht
32 sein.»
«Nein, so nicht, — ich bin nicht 32. Ich werde 32.»
«Schön. Demnach dürften Sie 31 sein.»
«Ja natürlich. Ich bin 31!»
«Also Sie sind 31. — Wann ist Ihr Geburtstag?»
«Am 5. April.»
«Das wäre heute in 6 Wochen?»
«Zu dienen.»
«Wie alt werden Sie heute in 6 Wochen?»

Der Bewerber, zaghaft und scheu: «32 . .»
«Richtig.»
«Ihr wievielter Geburtstag ist das?»
«Mein 32. selbstredend.»
«Durchaus nicht! — Ihr 33.!»
«Das verstehe ich nicht.»
«Nein? — Merken Sie auf: Als Sie zur Welt kamen, begingen Sie
Ihren ersten Geburtstag. An jenem ersten Geburtstage waren Sie
null Jahre alt. — Als Sie Ihren zweiten Geburtstag feierten,
vollendeten Sie das erste Jahr, d. h. Sie wurden am zweiten
Geburtstag ein Jahr alt. — Sehen Sie das ein?»
Der Bewerber, gänzlich verwirrt: «Oh ja!»
«Nun also. — Sie sind 30 gewesen, sind 31, werden 32
und feiern in Kürze den 33. Geburtstag.»
Der Bewerber bricht ohnmächtig zusammen.
Die Unterredung ist beendet.

D
ALLE WEGE FÜHREN NACH ROM
IESES Sprichwort ist eine hundsgemeine Lüge.
Der Privatdozent Kladderosinenzagel mußte es am eigenen
Leibe erfahren.
Er, den wir um der Kürze willen K. nennen wollen, machte sich an
einem Ferientage auf die denn doch nicht mehr so eigentlich ganz
naturfarbig genannt werden dürfenden Socken, um gen Rom zu
fahrten.
Er, K., fußte auf dem Sprichwort: Alle Wege führen nach Rom.
K. wanderte, mit reichlichem Mundvorrate und einer leeren
Thermosflasche ausgestattet, einen vollen Nachmittag lang.
Reiseziel: Rom.
Es führen aber mitnichten alle Wege nach Rom.
Der Weg, den K. einzuschlagen für ratsam befunden hatte,
hörte plötzlich auf, ein Weg zu sein und verwandelte sich in eine
Wiese, auf welcher notgedrungen sieben Kühe — die Verkörperung
der fetten Jahre — sich an ihrem Anblicke und dem saftigen Grün
weideten.
Und K. stand hinter einer Tafel, die von vorn zu besichtigen er
nicht umhinkonnte.
Die Tafel bezog sich auf den Weg, welchen K. zurückgelegt hatte,
und trug die Aufschrift: «Verbotener Weg».
In einem Lande, wo die Polizei so auf dem Damme ist wie in
Deutschland, führt zwar mancher Weg nach Rom, aber er ist
verboten.
K. mußte umkehren und sich des Planes, auf natürlichem Wege
nach Rom zu gelangen, entschlagen.

«HÖHENLUFT»
Ein Roman aus den Tiroler Bergen
von
Paul Grabein
ist im Okt. 1916 als Ullstein-Buch — 1 M.! — erschienen. Ich habe
das Buch gelesen — unter Aufgebot größter Energie. Ein paar Worte
darüber und dazu.
Die Personen des Buches sind:
Karl Gerboth, Maler,
Hilde, seine Tochter,
Franz Hilgers, Maler,
Günther Marr, Leutnant.
Handlung: Franz hat seinen Jugendfreund Günther eingeladen.
Günther leistet der Einladung — Erholungsurlaub — Folge. Auf Seite
19 trifft er, nach dem Dörfchen, in dem Franz wohnt, wandernd, eine
Dame. Dies ist Hilde Gerboth. Sofort weiß man «alles», und es
kommt auch tatsächlich «alles» so. Franz ist der einzige Schüler Karl
Gerboths und Bräutigam eben jener Hilde, freilich, ohne daß diese
darum weiß. Der alte Gerboth hat sich von der Welt zurückgezogen
und schafft in aller Stille. Hilde wird von ihm behütet und betreut,
daß es eine Art hat. Sie ist die Tochter einer Dame, die — als Gattin
Gerboths — Temperament und etliches darüber hinaus besaß. Aus
Angst, Hilde könne ihrer Mutter nachschlagen, läßt sie der alte
Gerboth nicht von sich. Sie ist absolut naiv und ahnungslos. Sie weiß
nicht Musik, Tramway, Kino, Theater, Börse, Bordell, Liebe, Geld,
Börse (absichtlich 2 Mal) — kurz: was Leben ist. Das weiß sie nicht.
Sie ist 20 Jahre alt. Und Franz ist ein Schwächling, ein thraniger,
limonadiger Hampelmann. Er muß kurz nach Günthers Ankunft

verreisen. Infolgedessen Solo-Szene zwischen Günther und Hilde.
Aussprache — er schildert ihr die Welt und das Leben. Sie — die
Freiheit lockt — verliebt sich in ihn. Sie will hinaus — in die
sogenannte Welt. Sagt’s ihrem Vater. Der refüsiert. Hilde knickt
zusammen. Günther trifft sie — tatsächlich durch Zufall! (Ich glaub’s!
Wer noch?) — ein zweites Mal. Er redet ihr energisch zu. Franz kehrt
zurück (aber das ging fix!) und erfährt durch Günther selbst, daß er,
G., Hilde liebt und überhaupt: daß was los war. Franz zum alten
Gerock oder Gehrock oder Gerboth: Höre mal, so und so — — und
Gerboth spricht gründlich mit seinem Töchting. Klamauk. Sie will
Franz nicht. Sie will Günther. Und in die Welt hinaus. Bon. Am Tag
drauf hält Günther um ihre Hand an beim alten Klopstock. Der sagt
Nein. Da sagt Günther: Dann heirat ich Ihre Hilde gegen Ihren
Willen. Bumms. Aber der Alte — philosophisch! — gestattet eine
letzte Aussprache zwischen Hilde und Günther, worin sie ihm erklärt,
er dürfe hoffen, wenn er vor sie hinträte.
Am nächsten Tag reist Günther nicht ab, oh nein. Er kann nicht:
eine richtige Lawine hat sich bemüht, herniederzugehen, und das ist
ihr auch gelungen. Aber die gute Hilde, die irgendeinen Schafhirten
hat retten wollen vom Hungertode, gerät mitsamst ihrem
Freßkörbchen und dem Bernhardiner (aha!) in sie (die Lawinije)
hinein.
Na, und Günther rettet sie selbstredend.
Na, und dann kriegen sie sich.
Na, und das ist ja die Hauptsache.
Das Buch schließt (auf Seite 253!) mit den Worten Günthers:
«Wagen wir es denn zusammen, Hilde!»
Und nun sind sie glücklich, und uns entpullert eine Träne.
Ich setze das Romänchen fort:
Am 12. Sept. 1916 fällt Günther in der Sommeschlacht (das Buch
spielt nämlich direktemang im Weltkrieg).
Daraufhin begeht seine Frau einen ganz totsicheren Selbstmord.
Daraufhin kriegt ihr Vater einen geharnischten Schlaganfall.
Sela.

M
EHE
ANN und Frau faulenzen auf dem Diwan. Der Mann ist am
Einschlafen. Die Frau wird von Halbträumen umfangen.
Eine Fliege summt.
Die Glocken einer fernen Kirche baumeln.
— — — Der Mann ächzt, räkelt sich, fragt: «Sind das Glocken?»
Die Frau horcht. «Das sind doch keine Glocken. — Das ist eine
Fliege.»
«Unsinn. Das ist doch keine Fliege. — Das sind Glocken.»
«Das ist eine Fliege.»
«Das sind Glocken.»
Beide horchen.
Der Mann: «Selbstredend sind das Glocken. — Warum wird denn
geläutet?»
Die Frau: «Ich werde doch Glocken von einer Fliege unterscheiden
können! Ich höre keine Glocken. Das ist eine Fliege.»
«Das sind Glocken.»
«Wenn ich dir sage, das ist eine Fliege.»
«Herrgott, das sind Glocken. Das ist doch keine Fliege!»
«Das ist eine Fliege!»
«Das sind Glocken!»
«Na, da bleib’ bei deinem Glauben.»
«So etwas Dummes! Ich bin doch nicht verrückt. Natürlich sind
das Glocken. — Ganz deutlich.»
«Eine Fliege ist es.»
«Wo ich genau die einzelnen Glocken heraushöre.»
«Was du alles fertig bringst. — Ich höre bloß eine Fliege. —
Warum sollten denn jetzt die Glocken läuten?!»
«Ja, das möchte ich eben gerne wissen.»
«Du kannst dich drauf verlassen, das ist eine Fliege.»

Beide horchen.
Die Glocken haben aufgehört, zu summen.
Auch die Fliege läutet nicht mehr.
Der Mann denkt: Ekelhaft. So macht sie’s immer. Bei jeder
Gelegenheit. Da ist einfach nichts zu wollen. Zum Auswachsen. —
Eine Fliege! Lachhaft. — Aber da kann sie niemand davon abbringen.
Sie bleibt bei ihrer Fliege. Es ist eine Fliege. Und wenn die Glocken
hier in der Stube vor ihrer Nase läuteten, — — es ist eben eine
Fliege. Albern. Wenn sie sich etwas einbildet, bleibt sie dabei. —
Selbstredend waren es Glocken. — — — Mir einstreiten zu wollen,
daß es eine Fliege war . . . .
Er schläft.
Die Frau denkt: Wenn es nicht zufällig mein Mann wäre, ich
konnte ihn ohrfeigen. Das Schaf. Immer recht haben. Immer recht
haben. Muß er. — Ich höre deutlich die Fliege summen. Nein, es sind
eben Glocken. — — Ich kann sagen, was ich will: er bleibt bei seinen
Glocken. — Jetzt, um die Zeit Glocken! — — — So ein Schaf! — — —
Aber das ist jeden Tag so. — — — Das Kamel . . . .
Sie schläft.
Sie träumt von einer Fliege, die hoch auf dem Kirchturme geläutet
wird.
Der Mann träumt von Glocken, die ihm über das Gesicht krabbeln.
Ganz leise fängt die Fliege wieder an, zu summen.
Es klingt wie fernes Glockenläuten.

I
ICH BIN, ICH WAR
CH bin eine Blume. Ich blühe auf der Heide.
Ich bin eine Blume und blühe auf der Heide.
Da kommt eine Kuh und frißt mich ab.
Nun bin ich eine Blume gewesen. Nun bin ich keine Blume mehr.
Wie bin ich traurig!
— — — — —
Ich bin eine Kuh und grase.
Niemand merkt mir an, daß ich traurig bin.
Grasen ist fade, Kuhsein ist fade; als Blume hatte ich es besser.
Aber muß man als Kuh nicht stoisch sein und tragen, was man
aufgebürdet kriegt?
Geduldig sein und grasen und sich fassen, möh. —
Es ist schließlich gar nicht so traurig, Kuh zu sein.
Die Sonne scheint, die Wiese duftet, der Himmel bläut — und da
soll ich traurig sein?
Ich bin lustig.
Aber es ist nicht die Blumenlustigkeit, die mich durchglüht, es ist
die Lustigkeit der Kühe.
Ich mache mutwillige Sprünge und möhe und muhe.
Die Welt ist schön, muh.
Muh, schön ist die Welt.
Und ich bin doch traurig!
(Ich war eine Blume!!)
— — —
Da kommen zwei vermummte Kerle. Die fackeln nicht lange: Einer
packt mich hinterrücks und ringelt mir den Schwanz zusammen, das
tut weh. Der andere schlingt mir eine Kette ums Gehörn und knufft

mich. Sein Spießgeselle peitscht auf mich ein. Ich weiß nicht, was
gehauen und gestochen ist.
(Einst war ich eine Blume.)
Man führt mich hinweg von meiner Wiese. Ade, du Wiese, ade!
— — —
In der Abendstunde erreichen wir ein Gehöft.
Einst war ich eine Blume, ich denke dran.
Blume bin ich nimmer; bin eine armselige, wehrlose Kuh, muh.
(Hilft mir der Stoizismus etwas?)
Rasch tritt der Tod die Kühe an: Eine Ledermaske mit einem bösen
Stirnbolzen wird mir aufgestülpt — — — ein Schlag, und ich stürze
hin. Da hilft kein Muhen.
Mit einem Rohrstock pfählt man mir das arme Hirn. Das macht
mich traurig. Oder lustig? Ich weiß nicht, ich glaube, ich bin tot.
Kuh bin ich gewesen.
Blume bin ich gewesen.
Ich entsinne mich wirr . . . es ist mir, ja . . . vor langer, langer Zeit
— war ich ein Falter. Aber ich weiß es nicht.
Daß ich Blume war, weiß ich mit Sicherheit. Ich lege meinen Huf
dafür ins Feuer.
Es ist vorbei.
Bin weder Kuh noch Blume mehr.
— — — — —
Bin Wurst. Salamiwurst. Ich koste das Pfund 1.80 M.[2] Ich bin
erstklassige Ware, elektrisch hergestellt.
Den Stoizismus habe ich behalten. Dennoch stimmt es trübe,
Wurst sein zu müssen, wenn man Blume hat sein dürfen.
Ich bin mir Wurst. Ich nehme es hin. Muh. (Eigentlich dürfte ich
als Wurst nimmer muhen. Ich nehme das Muh als anachronistisch
zurück.)
Ich habe keine Freude mehr auf der Welt.
Ich bin eine kalte Wurst. Nichts tangiert mich.
Wenn ich mein Leben überdenke, so muß ich frank gestehen:
Wurst sein, das ist das Schlimmste nicht. Mensch sein ist weitaus
schlimmer!

Doch Kuh sein, das ist schöner als Wurst sein.
Das Allerallerschönste freilich war: Blume sein, Blume gewesen
sein, Blume sein gedurft zu haben.
Mir war’s verstattet.
[2] Wer’s glaubt.
Ich war Blume, ich war Blume!
O Blumen, ihr seid glücklicher als Kuh und Wurst!
O Blumen, nichts auf Erden ist glücklicher denn ihr.
O Blumen — —
* *
*
Vom wurstigen Standpunkt gesehen, ist es vielleicht das Vorteilhafteste, Kuh zu
sein.
Die Kuh ist besser dran als die Blume.
Denn während eine Kuh sehr wohl Blumen fressen kann, kann eine Blume nichts
fressen.
Und eine Wurst kann auch nichts fressen: nicht Kuh, nicht Blume.
Kuh gewesen sein gedurft zu haben ist also — mit Vorbehalt — noch erhebender
als Blume gewesen sein gedurft zu haben.
Ich wünsch’ euch eine gute Nacht und mir, wieder Kuh werden zu dürfen.

E
MÄRCHEN
S war einmal ein Frosch, der konnte sich gewaltig giften, wenn
seine Frau zu ihm quakte: «I, sei doch kein Frosch!»
Infolgedessen quakte die Fröschin den Satz bei jeder
Gelegenheit. Der Frosch getraute sich überhaupt nichts mehr zu
äußern. Sagte er etwas, so mußte er als Antwort hören: «I, sei doch
kein Frosch!»
Da raffte er sich auf und nahm seine Ehefrau ernstlich ins Gebet,
sie solle es fürderhin gefälligst unterlassen, den albernen Satz zu
quaken.
«I, sei doch kein Frosch!» stereotypte die Fröschin. Es war mit ihr
nichts anzufangen.
Sie war in der Ehe verblödet.
Da verfiel der Frosch, der keiner sein sollte, auf einen Ausweg: Er
kam seiner Frau mit der Redensart zuvor und apostrophierte sie, wo
immer er ihrer ansichtig wurde, mit dem Satze: «I, sei doch keine
Fröschin!»
Er antwortete mit nichts anderem als mit diesem Satze. Er sagte
nichts als diesen Satz. Er verkehrte mit seiner Frau nur noch auf
Grund und unter Zuhilfenahme dieses Satzes.
Die Fröschin zeigte sich der Situation nicht gewachsen und
ersäufte sich.
Der Frosch war kein Frosch und holte sich eine andere heim.
Moral: Ihr Frauen, reizet eure Männer nicht zum Äußersten und
lasset sie gewähren, selbst wenn sie Frösche sind.

D
AUF DER OALM, DOA GIBT’S EINEM
ON DIT ZUFOLGE KOA SÜAND!
IE weitverbreitete Meinung, auf der Alm gäbe es ka Sünd, hat
ihren Ursprung in dem sprichwortgewordenen Liedertext: «Auf
der Alm, da gibt’s ka Sünd».
Selbstverständlich gibt es auf der Alm a Sünd.
Das wäre ja noch schöner, wenn es auf der Alm ka Sünd geben
täte!
Von ka Sünd kann gar keine Rede nicht sein.
A Sünd gibt’s überall — namentlich auf der Alm.
Ich möchte sogar so weit gehen, zu behaupten: Wenn es
überhaupt a Sünd gibt, so vor allem auf der Alm.
. . . . . . . . . .
Plötzlich erschallt draußen unter meinem Fenster das Gerassel und
Gebimmel der Feuerwehr.
Ich armer, schwacher Mensch unterbreche mein Schreiben und
stehe eilends auf, um nachzusehen, wo es brennt.
. . . . . . . . . .
Es war weiter nichts.
Ein Pferd ist gestützt.
Ich kann also in meinem Schreiben fortfahren.
Aber ich habe, offen gestanden, nicht mehr die rechte Lust dazu
und stecke es auf.
Ein ander Mal.
Der Zensor würde die Geschichte ohnehin gestrichen haben; denn
es geht toll zu auf der Alm. Ich habe Beweise.

P
PETERLE
Ein Märchen
ETERLE war ein gutes Kind und machte dennoch seinen Eltern
großen Kummer.
Wie ist das möglich?
Es lag an Peterle.
Peterle hätte nicht soviel träumen sollen, bei Nacht nicht und bei
hellerlichtem Tag nicht. Peterle träumte, wo sie ging und stand; wo
sie lag und saß. Sie träumte immerfort. Nichts war mit ihr
anzufangen, kein vernünftiges Wort mit ihr zu reden. Sie spielte
nicht die Spiele ihresgleichen; sie spielte nicht mit anderen und nicht
für sich allein — sie puppelte nicht einmal! Nein, von Puppen mochte
sie gar nichts wissen.
Und was das Tollste ist: Peterle wollte durchaus ein Junge sein,
obwohl sie doch ein Fräulein war. Sie behauptete, sie sei ein Junge
namens Peterle, und damit holla! Sie und ein Mädchen — haha! «Ich
bin ein Junge» verkündete sie jedem, der es wissen wollte, und
beharrte eigensinnig auf diesem ihrem Vorurteil.
Peterle hatte ihre lustigen Seiten. Nicht nur die, daß sie ein Junge
sein wollte, sondern vor allem ihre Person, ihre «Erscheinung», ihr
«Äußeres».
Peterle war winzig klein, aber dafür dick wie ein Moppel. Sie hatte
eine kurze, umgestülpte Nase, zwei wasserblaue Guckaugen und
einen verschmitzten Mund. Aber das Putzigste an ihr war die Frisur:
sie trug die spärlichen, bindfadendünnen Zöpfchen in zwei
Schnecken prätentiös über die Ohren geringelt! Und die Zöpfe waren
strohgelb.
Und doch war sie den Eltern ein Persönchen — Gegenstand kann
man wohl nicht sagen — argen Kummers.

Während andere Eltern prahlten und Stolzes voll die Taten,
Antworten und sonstigen Äußerungen ihrer «aufgeweckten» Kinder
zum besten gaben, empfanden Peterles Eltern schmerzliche
Beschämung, wenn sie von ihrem Mädelchen nichts aussagen
konnten als: «Sie träumt.»
Peterle tat nämlich nichts als Träumen. Stundenlang saß sie
hinterm Ofen oder auf dem Boden und träumte für sich hin. Wovon
sie träumte, das erfuhr kein Mensch; denn sie teilte sich nicht mit,
sondern behielt alles fein im Herzen.
Aber sie war nun schon fünf Jahre alt und sollte über ein
dreiviertel Jahr bereits zur Schule.
Noch hatte sie große Ferien. Waren die erst einmal verstrichen,
diese sechsjährigen großen Ferien, dann stand es bös.
Ach, es würden trübe Zeiten kommen für Peterle; denn war sie
erst schulpflichtig, mußte die Träumerei ein Ende nehmen.
Die Eltern wußten sich keinen Rat und hätten ihr Kind am liebsten
der Schule ferngehalten.
Da erschien eines Tages — und zwar an jenem, der jenem, an
welchem sie ihr fünftes Lebensjahr vollendete, vorausging — dem
Peterle eine Fee. Keine großartige, sondern eine ganz gewöhnliche
Fee, wie sie täglich dutzendweise den braven Kindern erscheinen.
Diese Fee stellte dem Peterle einen Wunsch frei. Sie dürfe sich zu
ihrem morgigen Geburtstage etwas wünschen — gleichviel was —,
der Wunsch werde in Erfüllung gehen.
Peterle schwankte keinen Augenblick, obwohl sich tausend
Wünsche auf ihre niedliche Zunge drängen wollten.
Sie wünschte sich das Schönste, das sie sich je hatte ersinnen
können: Schnee. — Sie wünschte sich Schnee. — Sie wünschte, daß
zu ihrem Geburtstage Schnee fiele.
Die Fee runzelte die Stirn, aber da sie sich keine Blöße geben
wollte, sprach sie: «Es wird geschehen; was du wünschest. An
deinem Wiegenfeste soll es schneen.»
Und verschwand, nicht ohne einen merklich holden Duft zu
hinterlassen.
Klein-Peterle hüpfte nicht und tanzte nicht vor Freuden, sondern
träumte weiter in sich hinein — wenn auch in einer mäßig

aufgeregten Erwartung und Neugier. Sie träumte dem Geburtstage
entgegen.
Die Fee setzte schleunigst alle Hebel in Bewegung; denn es war
kein Kleines, des Peterles Wunsch zu erfüllen und Schnee fallen zu
lassen.
Es sei eine kurze Unterbrechung verstattet: wann beginnt ein
Geburtstag?
Zweifellos in der Sekunde, womit der Geburtstag selbst anhebt,
mithin nach Ablauf der zwölften Stunde des Vortages.
Es hätte demzufolge unmittelbar auf den zwölften,
mitternächtigen Glockenschlag desselben Tages, an dem die Fee bei
Peterle vorsprach, zu schneen einsetzen müssen. Indes sind Feen
und Kinder nicht so spitzfindig wie die Herren Juristen, die gewißlich
zunächst untersucht haben würden, ob die Äußerung des Wunsches
jenes Kindes namens Peterle (unvorbestraft, besondere Merkmale:
prätentiöse Schnecken) die Bedingung in sich geschlossen habe, daß
es den geschlagenen Geburtstag oder nur überhaupt
am Geburtstage schneen solle usw., — und daher zerbrach sich die
Fee ihren anmutig geformten Kopf nicht über Dinge, die das
Kopfzerbrechen nicht verlohnen, sintemal ihr aus der eigenen
Jugend wohl bewußt war, daß für jegliches Kind der Geburtstag dann
anfängt, wenn es erwacht und sich der Tatsache, daß heut’
Geburtstag ist, bewußt wird.
Peterle erwachte erst gegen neun Uhr.
Ihr erster Blick fiel durch das Fenster auf die Straße hinaus.
Peterle jubilierte: Schnee!
Es schneete wirklich! Und zwar in glitzrigen, silbrigen Flöckchen, in
zierlichen.
Peterle freute sich unbändig. Nicht, weil es schneete; auch nicht,
weil die Fee den Wunsch erfüllt hatte, sondern, weil sie — Peterle —
den Schnee (indirekt) selbst «gemacht» hatte.
Es war ihr Schnee, der da draußen fiel.
Sie ließ zu ihrem Geburtstage Schnee fallen.
Schnee — zu ihrem Geburtstage!
Ihr meint, das sei nichts Besonderes?

Oho, da muß ich sehr bitten: das ist etwas ganz besonders
Besonderes!
Peterle ist nämlich am elften Juni zur Welt gekommen.
Nun stellt Euch vor: an einem elften Juni schneete es!
War das nicht Grund genug für Peterle, sich des Schnees zu
freuen und den ganzen Geburtstag am Fenster zu kauern und in den
Schnee zu gucken?
Ich denke doch.
Peterle saß denn auch am elften Juni unerschütterlich am Fenster
und war glücklich über den vielen, vielen Schnee, der da vom
Himmel heruntergeschüttet wurde.
— —
Es ist nichts mehr von Peterle zu erzählen. Sie hat ihren Schnee
gehabt und weiter geträumt, bis sie zur Schule mußte. Und der
Rohrstock des Lehrers erwies sich — bezüglich der Träumereien —
als ein besserer Pädagog als die verhätschelnde Liebe der Eltern.
Es wäre vielleicht dem oder jenem Leser angenehm gewesen,
wenn sich herausgestellt hätte, daß Klein-Peterle Fieber gehabt hätte
und an ihrem Geburtstage (nach Erledigung der «Schnee-Vision»)
ein Englein geworden sei. Sozusagen: der «tragische» Tod eines
Kindes.
Oh nein! Peterle hat kein Fieber gehabt — und der Schnee war
wirklicher, echter Schnee.
Meine Eltern wohnten damals in derselben Straße wie Peterles
Eltern, und ich bin Zeuge — ich erinnere mich noch deutlich —, daß
es im Jahre 18 . ., am elften Juni den lieben, langen Tag über
ununterbrochen geschneet hat. Allerdings nur in unserer Straße
und sonst nirgends. Das war damals ein allgemeines Verwundern
und Kopfschütteln in Klotzsche — in Klotzsche hat sich der Schneefall
begeben! —, und meine Eltern und wir alle haben nichts damit
anzufangen gewußt, bis mir vierzehn Jahre später Peterle selbst von
ihrem Geburtstagswunsche und der Fee berichtet hat.
Peterle ist nämlich meine Frau geworden. Aber eine Fee ist ihr
nicht wieder erschienen. Ich glaube, daran bin ich schuld.

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Attractor Dimension Estimates For Dynamical Systems Theory And Computation Dedicated To Gennady Leonov 1st Ed Nikolay Kuznetsov

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