Aula-05_-_Trigonometria-no-triangulo-retangulo.pdf

Trigonometria Triangulo retângulo.
Fonte: Saraiva

1. TRIGONOMETRIANO
TRIÂNGULORETÂNGULO

2. CAPÍTULO 1 –A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
ARCOS E ÂNGULOS
Seja uma circunferência de centro O, sobre a qual tomamos dois pontos distintos, Ae B. A circunferência fica dividida
em duas partes, cada uma das quais é um arco de circunferência.
Um arco de extremidades A e B é representado por ෢��.
A todo arco ෢��corresponde
um ângulo central, isto é, um
ângulo cujo vértice é o centro
da circunferência.
AÔB é o ângulo central correspondente
ao arco ෢��
Arcos de circunferência
Ângulo central

3. CAPÍTULO 1 –A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
ARCOS E ÂNGULOS
A medida angular de um arco ou,
simplesmente, medida de um arco é igual
à medida do ângulo central
correspondente.
Med(AÔB) = 120°.
Dizemos que o arco ෢��mede 120°
Unidades de medidas de arcos e ângulos
O grau
Ao dividirmos a circunferência em 360 arcos
congruentes, temos que cada um dos arcos
encontrados tem medida de 1 grau ou 1°
O radiano
1 radianoé a medida de um arco cujo
comprimento coincide com o comprimento do raio
da circunferência que o determinou.
180°= π rad
Medida e comprimento de arco

4. CAPÍTULO 1 –A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
ARCOS E ÂNGULOS
Aplicação: Determine a medida do menor ângulo α entre os ponteiros de um relógio ao marcar 2 h40 min.
Solução:
O ângulo pedido mede ??????.
Observe que, entre duas marcas consecutivas de horas, tem-se um arco cujo
ângulo central tem medida
360°
12
=30°. Assim, considerando o deslocamento
do “2 ao 8”, temos que:
??????+??????=6.30°֜??????=180°−??????.
Em 1 hora (60 minutos), o ponteiro das horas percorre um arco de medida 30°.
Para calcular a medida de x do ângulo percorrido pelo ponteiro das horas em 40
minutos podemos estabelecer a proporção:
60
′
−30°
40
′
−??????
Daí, x = 20°
Assim: ??????= 180°−20°=160°

5. CAPÍTULO 1 –A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
O comprimento de um arco
l= α ⋅r
•α→medida do arco em radianos
•l →comprimento do arco
•r→medida do raio da circunferência
Num plano cartesiano, a circunferência de centro (0, 0) e raio unitário
é denominada de circunferência trigonométrica. Observe na figura,
que ela foi dividida em quatro partes iguais, denominadas de
quadrantes (1°Q, 2°Q, 3°Q e 4°Q).
Convencionamos que todos os arcos tomados nessa circunferência
têm origem no ponto A (1, 0) e o sentido positivo é o anti-horário.
Circunferência trigonométrica

6. CAPÍTULO 1 –A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Como o raio é unitário, o comprimento da circunferência trigonométrica é 2π.
Vamos associar a cada número realx, 0 ≤ x< 2π, um único ponto Pda circunferência trigonométrica, de modo que:
•Se x= 0, o ponto Pcoincide com o ponto A (1, 0).
•Se x> 0, descrevemos, a partir de A, no sentido horário, um arco de comprimento xcujas extremidades são Ae P.
NÚMEROS REAIS ASSOCIADOS A PONTOS DA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Números reais associados a pontos da circunferência trigonométrica

7. CAPÍTULO 1 –A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
SIMETRIAS
1. Em relação ao eixo vertical2. Em relação ao eixo horizontal 3. Em relação ao centro
Esquema geral
Simetrias

8. CAPÍTULO 2 –RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
Seja Pum ponto da circunferência trigonométrica, imagem
de um número real α, 0 ≤ α ≤ 2π.
Cosseno de α é a abscissa do ponto P.
Eixo dos cossenos →eixo horizontal da circunferência
trigonométrica.
senα = ordenada de P
cos α = abscissa de P
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Seno
Seja Pum ponto da circunferência trigonométrica, imagem de
um número real α, 0 ≤ α ≤ 2π.
Seno de α é a ordenada do ponto P.
Eixo dos senos →eixo vertical da circunferência trigonométrica
senα=med(OP′)
Cosseno
cosα=med(OP′)

9. CAPÍTULO 2 –RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
SENO E COSSENO DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO
Seno
Cosseno

10. CAPÍTULO 2 –RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
SENO -SIMETRIAS
sen(360°− α) = sen(2π − α) = − sen(α)
sen(180°− α) = sen(π − α) = sen(α)
sen(180°+ α) = sen(π + α) = − sem (α)
sen0°=sen0=0
sen90°=sen
??????
2
= 1
sen180°=sen??????=0
sen270°=sen
3??????
2
= -1
sen360°=sen2??????=0
−&#3627409359;≤????????????????????????≤&#3627409359;
??????
30°=
??????
6
45°=
??????
4
60°=
??????
3
120°=
2??????
3
135°=
3??????
4
150°=
5??????
6
3
2
2
2
1
2
−
1
2
−
2
2
−
3
2
sen??????
210°=
7??????
6
225°=
5??????
4
240°=
4??????
3
300°=
5??????
3
315°=
7??????
4
330°=
11??????
6
3
2
2
2
1
2
−
1
2
−
3
2
−
2
2
?????? sen??????
senos -simetrias

11. CAPÍTULO 2 –RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
COSSENO -SIMETRIAS
cos (360°− α) = cos (2π − α) = cos (α)
cos (180°− α) = cos (π − α) = −cos (α)
cos (180°+ α) = cos (π + α) = −cos (α)
cos0°=cos0=1
cos90°=cos
??????
2
= 0
cos180°=cos??????=−1
cos270°=cos
3??????
2
= 0
cos360°=cos2??????=1
−&#3627409359;≤????????????????????????≤&#3627409359;
??????
30°=
??????
6
45°=
??????
4
60°=
??????
3
120°=
2??????
3
135°=
3??????
4
150°=
5??????
6
3
2
2
2
1
2
−
1
2
−
2
2
−
3
2
cos??????
210°=
7??????
6
225°=
5??????
4
240°=
4??????
3
300°=
5??????
3
315°=
7??????
4
330°=
11??????
6
3
2
2
2
1
2
−
1
2
−
3
2
−
2
2
?????? cos??????
Cossenos -simetrias

12. CAPÍTULO 2 –RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
RELAÇÕES ENTRE SENO E COSSENO
Relação trigonométrica fundamental
Para todo α ∈[0, 2π], temos:
sen
2
α + cos
2
α = 1
Consequências:
sen
2
α = 1 − cos
2
α
cos
2
α = 1 − sen
2
α
Atenção: ??????????????????
&#3627409360;
??????=(????????????????????????)
&#3627409360;
porém: ??????????????????
&#3627409360;
??????≠????????????????????????
&#3627409360;

13. CAPÍTULO 2 –RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
ARCOS COMPLEMENTARES E TANGENTE
Considere no ciclo trigonométrico o ponto T, intersecção da
retaOPcom o eixo das tangentes(reta perpendicular ao eixox, que
passa pelo pontoA).
OarcoAPcorrespondeaoângulocentralα.
Definimoscomotangentedoânguloα(oudoarcoAP)amedida
algébricadosegmentoAT,eéindicadopor:
Considere na circunferência uma arco x ∈ℝ, 0≤??????≤
??????
2
.
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????=cos??????−
??????
2
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;??????=sen??????−
??????
2
e
Arcos complementares
Tangente
&#3627408481;????????????=&#3627408474;&#3627408466;&#3627408465;(&#3627408436;??????)

14. CAPÍTULO 2 –RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
TANGENTE
Tangente
2º Q 3º Q
4º Q
Pé imagem de ??????.
Testá abaixode A.
tg ??????< 0
Pé imagem de ??????.
Testá acimade A.
tg ??????> 0
Pé imagem de ??????.
Testá abaixo de A.
tg ??????< 0

15. CAPÍTULO 2 –RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
TANGENTE -SIMETRIAS
tg(360°− α) = tg(2π − α) = -tg(α)
tg(180°− α) = cos (π − α) = −tg(α)
tg(180°+ α) = tg(π + α) = tg(α)
tg0°=tg0=0
tg90°=tg
??????
2
, não é definida
tg180°=tg??????=0
tg270°=tg
3??????
2
, não é definida
tg360°=tg2??????=0
Tangente -simetrias
??????
30°=
??????
6
45°=
??????
4
60°=
??????
3
120°=
2??????
3
135°=
3??????
4
150°=
5??????
6
3
3
3
−1
−
3
3
tg??????
210°=
7??????
6
225°=
5??????
4
240°=
4??????
3
300°=
5??????
3
315°=
7??????
4
330°=
11??????
6
?????? cos??????
1
−3
3
3
3
−1
−
3
3
1
−3

16. CAPÍTULO 3 –TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Os lados de um triângulo são proporcionais aos
senos dos respectivos ângulos opostos, e a
constante de proporcionalidade é igual à medida
do diâmetro da circunferência circunscrita a esse
triângulo.
LEI DOS SENOS
Lei dos senos
&#3627408462;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;Â
=
&#3627408463;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;෠&#3627408437;
=
&#3627408462;
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;መ&#3627408438;
=2??????

17. CAPÍTULO 3 –TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Exemplo:
Resolução:
Calcule as medidas dos lados &#3627408436;&#3627408437;e &#3627408437;&#3627408438;do triângulo ABC da
figura ao lado, em função da medida b do lado &#3627408436;&#3627408438;.
Observe que med(Â) = 180°−60°−45°=75°
Pela lei dos senos:
??????
??????????????????60°
=
&#3627408436;&#3627408437;
??????????????????45°
=
&#3627408437;&#3627408438;
??????????????????75°
&#3627408436;&#3627408437;=
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;45°
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;60°
.&#3627408463;≅0,816.&#3627408463;
&#3627408437;&#3627408438;=
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;75°
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;60°
.&#3627408463;≅1,115.&#3627408463;
Lei dos senos

18. CAPÍTULO 3 –TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Em todo triângulo, o quadrado da medida de qualquer lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros
dois menos o dobro do produto da medida desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formados.
LEI DOS COSSENOS
Cada uma das relações acima é conhecida como lei dos cossenos.
Observe que são as mesmas relações, diferenciando apenas pelo lado do triângulo que tomamos inicialmente.
Essas relações valem para todos os triângulos
&#3627408462;
2
=&#3627408463;
2
+&#3627408464;
2
−2&#3627408463;&#3627408464;cosመ&#3627408436;
&#3627408463;
2
=&#3627408462;
2
+&#3627408464;
2
−2&#3627408463;&#3627408464;cos෠&#3627408437;
&#3627408464;
2
=&#3627408462;
2
+&#3627408463;
2
−2&#3627408463;&#3627408464;cos෠&#3627408437;
Lei dos cossenos

19. CAPÍTULO 3 –TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Exemplo:
Solução:
Na figura ao lado, determine a medida do ângulo A e
a medida do vértice b. Nesse exemplo haverá a
necessidade do uso de uma calculadora científica e de
uma tabela trigonométrica.
Determinando a medida &#3627408436;&#3627408438;pela lei dos cossenos:
&#3627408463;
2
=8
2
+10
2
−2.8.10.cos50°
&#3627408463;
2
=164+100−160.cos50°
&#3627408463;
2
=164+100−160.0,64279
Novamente aplicando a lei dos cossenos para determinar o
vértice A.
&#3627408463;
2
≅7,82
8
2
=10
2
+7,82
2
−2.10.7,82.cosÂ
64=161,1524−156,4.cosÂ
cosÂ≅0,62
Consultando a tabela trigonométrica, encontramos o ângulo cujo cosseno é mais próximo de 0,62,no caso, 52°.
Assim: med(Â) ≅52°

20. TEOREMA DE PITÁGORAS
TRIANGULO RETÂNGULO
Hipotenusa
(a)
Cateto
(b)
Triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras:
Cateto
(c)
a² = b² + c²