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1. Calculo III
Elizaveta Vishnyakova
Universidade Federal de Minas Gerais
Elizaveta Vishnyakova Calculo III

2. Teorema de Stokes
Elizaveta Vishnyakova Calculo III

3. O Teorema de Stokes pode ser visto como uma vers˜ao em
dimens˜ao maior do Teorema de Green.
A orienta¸c˜ao deSinduz a orienta¸c˜ao positiva da curva fronteiraC
mostrada na figura. Isso significa que, se vocˆe andar na dire¸c˜ao
positiva ao redor da curvaCcom sua cabe¸ca na dire¸c˜ao e sentido
den, ent˜ao a superf´ıcie estar´a sempre `a sua esquerda.
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4. TEOREMA DE STOKES. SejaSuma superf´ıcie orientada, lisa
por partes, cuja fronteira ´e formada por uma curvaCfechada,
simples, lisa por partes, com orienta¸c˜ao positiva.
SejaFum campo vetorial cujas componentes tˆem derivadas
parciais cont´ınuas em uma regi˜ao aberta deR
3
que cont´emS.
Ent˜ao
Z
C
F·dr=
ZZ
S
rotF·dS
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5. o Teorema de Stokes pode ser escrito como
ZZ
S
rotF·dS=
Z
∂S
F·dr
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6. EXEMPLO.Calcule
R
C
F·dr, ondeF(x,y,z) =−y
2
i+xj+z
2
k
eC´e a curva da intersec¸c˜ao do planoy+z= 2 com o cilindro
x
2
+y
2
= 1.
(OrienteCno sentido anti-hor´ario quando visto de cima.)
SOLUCAO.
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7. Apesar de
R
C
F·drpoder ser calculada diretamente, ´e mais
simples usar o Teorema de Stokes. Vamos inicialmente calcular
rotF=






i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
−y
2
x z
2






= (1 + 2y)k
Apesar de existirem muitas superf´ıcies com fronteiraC, a escolha
mais conveniente ´e a regi˜ao el´ıpticaSno planoy+z= 2 cuja
fronteira ´eC.
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8. A proje¸c˜aoDdeSsobre o planoxy´e o discox
2
+y
2
⩽1, e assim
comz=g(x,y) = 2−y, temos
Z
C
F·dr=
ZZ
S
rotF·dS=
ZZ
D
(1 + 2y)dA
=
Z
2π
0
Z
1
0
(1 + 2rsenθ)rdrdθ
=
Z
2π
0
ˇ
r
2
2
+ 2
r
3
3
senθ
˘1
0
dθ=
Z
2π
0
`
1
2
+
2
3
senθ
´
dθ
=
1
2
(2π) + 0 =π
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9. EXEMPLO.Use o Teorema de Stokes para calcular a integral
RR
S
rotF·dS, ondeF(x,y,z) =xzi+yzj+xykeS´e a parte da
esferax
2
+y
2
+z
2
= 4 que est´a dentro do cilindrox
2
+y
2
= 1 e
acima do planoxy.
SOLUC¸˜AO
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10. Para achar a curva fronteiraC, resolvemos as equa¸c˜oes
x
2
+y
2
+z
2
= 4 ex
2
+y
2
= 1. Subtraindo, obtemosz
2
= 3 e,
assim,z=
√
3 (uma vez quez>0 ).
Ent˜aoC´e a circunferˆencia dada pelas equa¸c˜oes
x
2
+y
2
= 1,z=
√
3. A equa¸c˜ao vetorial deC´e
r(t) = costi+ sentj+
√
3k0⩽t⩽2π
r
′
(t) =−senti+ costj
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11. Temos tamb´em
F(r(t)) =
√
3 costi+
√
3 sentj+ costsentk
Portanto, pelo Teorema de Stokes,
ZZ
S
rotF·dS=
Z
C
F·dr=
Z
2π
0
F(r(t))·r
′
(t)dt
=
Z
2π
0
(−
√
3 costsent+
√
3 sentcost)dt
=
√
3
Z
2π
0
0dt= 0
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12. De fato, no caso especial em que a superf´ıcieS´e plana e pertence
ao planoxy, com orienta¸c˜ao para cima, o vetor normal unit´ario ´e
k, a integral de superf´ıcie se transforma em uma integral dupla, e o
Teorema de Stokes fica
Z
C
F·dr=
ZZ
S
rotF·dS=
ZZ
S
(rotF)·kdA
Esta ´e oTeorema de Green.
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