Aula com enfoque e atividade de laboratório de Cálculo

Aula referente a atividade de laboratório de Cálculo.

1. Prof. Me. Tailor Raniere Waiandt CÁLCULO 1: AULA 9

2. Campo Gravitacional de uma casca esférica finíssima O espaço em , correlacionado ao elemento , assinala para a matéria e tem a amplitude dada por  

3. O elemento tem como resultante o elemento que é   Chegamos ao campo absoluto agregando os congruentes desta equação:  

4. Como e são os iguais em todos os pontos do anel   Uma vez que a massa absoluta do anel é Então teremos  

5. O campo de é dado pela Equação 3.48 com substituído por :  

6. o campo absoluto, a massa da casca de área é Trocando esta consequência na sentença matemática 3.49, fica  

7. Como a equação 3.51 contém três variáveis ( ).   Pela lei dos cossenos, temos Derivando em função de temos  

8. Conservação de energia - considerações Nós não fizemos referência particular a qualquer caminho; uma vez que a força tem que ser conservativa para a energia de conservação, este resultado tem de ser independente do caminho Não é preciso saber quaisquer detalhes sobre a força conservativa para que seja possível usar a conservação de energia Um objeto em queda livre próximo a superfície da terra não é propriamente um sistema isolado. Mas ainda podemos aplicar conservação de energia, porque o objeto + a Terra formam um sistema isolado, e mudanças na energia cinética e no movimento da Terra devido a reordenação deste objeto podem ser desprezados Todas as mudanças na energia cinética e potencial são para este objeto

9. Exemplo: defendendo o castelo (1) Defenda o castelo contra invasores! Atire rochas com uma catapulta com velocidade de lançamento de 14,2 m/s, do pátio sobre os muros do castelo até os invasores em frente ao castelo, a uma elevação de 7,20 m abaixo do pátio. Questão: Qual é a velocidade com que as rochas atingirão os invasores? Resposta: Jeito mais difícil: Encontre o ângulo de lançamento apropriado para evitar o muro; decomponha o vetor velocidade inicial em componentes; resolva para a componente y da velocidade como uma função do tempo ou da altitude, Seguindo a trajetória do impacto; obtenha a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes da velocidade

10. Resposta: Jeito bem mais fácil: use a conservação de energia Insira os números Exemplo: defendendo o castelo (2)

11. Conservação de energia - massa em uma mola (1) Energia potencial para uma massa em uma mola Energia mecânica total: No deslocamento máximo (=amplitude, x=A ), a massa é invertida => v=0 => K=0 neste momento Então descobrimos o importante resultado que a energia em simples oscilações harmônicas é

12. Conservação de energia - massa em uma mola (2) Energia mecânica total: Resolva para a a velocidade como uma função de deslocamento Nota: Não precisamos resolver a equação do movimento para chegar a este resultado! A conservação de energia sozinha foi suficiente.

13. A bola de canhão humana (1) Uma das atrações de circo mais populares é a “bola de canhão humana”, na qual uma pessoa é arremessada de um barril longo Antes que os irmãos italianos Zacchini inventassem o canhão de ar comprimido para arremessar bolas de canhão humanas na década de 1920, o inglês George Farini usava um canhão carregado por mola para esse propósito desde os anos 1870 Suponha que alguém queira recriar a bola de canhão humana de Farini usando uma mola dentro de um barril Pressuponha que o barril tenha 4,00 m de comprimento, e que você tenha que comprimir a mola em 3,30 m Além disso, o barril está apontando verticalmente em direção ao teto do auditório, onde a uma altura de 7,50 m acima da cabeça há uma barra que nossa bola de canhão humana (de altura 1,75 m e massa 68,4 kg) tem que segurar no topo de sua trajetória

14. A bola de canhão humana (2) Questão 1: Qual é o valor da constante elástica necessária para realizar esse feito? Resposta 1: Vamos considerar a conservação de energia em diferentes instâncias. À esquerda mostramos a posição de equilíbrio inicial da mola com a bola de canhão humana em repouso sobre ela (a). Então a força externa comprime a mola em 3,30 m (b). Quando a mola é solta, a bola de canhão é acelerada e tem uma velocidade no momento em que ela passa da posição de equilíbrio da mola (c) Desta posição, ele precisa subir 7,50 m e chegar ao local no topo com velocidade zero (d)

15. A bola de canhão humana (3) Como sempre, temos liberdade de escolher o ponto zero para a energia potencial gravitacional de modo arbitrário Preferimos definir o potencial gravitacional como sendo zero na posição de equilíbrio da mola No ponto (b) temos energia cinética zero, e as energias potenciais da força elástica e da gravidade. Portanto, a energia total neste instante é No ponto (c) temos apenas energia cinética e energia potencial zero

16. A bola de canhão humana (4) Uma vez que a bola de canhão humana atinge o topo, ela tem apenas energia potencial gravitacional e nenhuma energia cinética A conservação de energia exige que a energia total permaneça a mesma. Igualando a primeira e a terceira expressão, obtemos De acordo com o problema proposto

17. A bola de canhão humana (5) Então, encontramos a constante elástica necessária Questão 2: Qual é a velocidade que a bola de canhão humana atinge quando passa da posição de equilíbrio da mola? Resposta: Já determinamos que nossa escolha de origem implica que, neste instante, a bola de canhão humana tem apenas energia cinética Ajustando essa energia cinética igual à energia potencial atingida no topo, encontramos

18. Momento e energia cinética Já sabemos Use p=mv para obter Encontre a relação entre momento e energia cinética Podemos reformular todos os conceitos de mecânica que já estudamos até agora em termos de momento, ao invés de velocidade

19. Impulso A mudança de momento ( f =final, i =inicial) Obtenha uma expressão para mudança de momento voltando à relação entre momento e força, e integrando os dois lados no tempo Impulso: e portanto:

20. Impulso e força média Defina a força média atuando em um intervalo de tempo  t = t f - t i Então o impulso é simplesmente: Este resultado parece bastante trivial (a integral ainda está lá na definição da força média), mas é muito útil paara questões práticas

21. Exemplo: home run no beisebol (2) Um arremessador atira uma bola rápida que atravessa a base do batedor com velocidade de 90,0 mph (40,23 m/s) e ângulo de 5,0° abaixo da horizontal. Um rebatedor a acerta com força suficiente para um home run com velocidade de 110,0 mph (49,17 m/s) e ângulo de 35,0° acima da horizontal. A massa da bola de beisebol é = 5,10 onças (= 0,145 kg). Questão 1: Qual é o módulo do impulso que a bola de beisebol recebe do taco? Resposta 1: O impulso é igual à mudança de momento da bola de beisebol. É preciso calcular , e então multiplicar esta resposta pela massa da bola para descobrir o impulso.

22. Exemplo: home run no beisebol (3) Resultado: Resposta falsa possível: Existe a tentação de apenas adicionar os módulos dos momento inicial e final, porque apontam aproximadamente em sentidos opostos. Esse método nos levaria a

23. Colisões Colisão entre dois (ou mais) objetos, ou entre um objeto e uma "parede" Dois carros em um acidente de trânsito Duas bolas de bilhar Uma bola de bilhar ricocheteando no canto da mesa Um asteroide se chocando contra a Terra Duas moléculas de ar se chocando entre si Questão: Se sabemos os momentos dos dois objetos antes da colisão, é possível prever os momentos após a colisão?

24. Durante a colisão o objeto 1 exerce uma força sobre o objeto 2. Use a relação entre força e mudança de momento [i = inicial (antes da colisão), f = final (depois da colisão)] O objeto 2 exerce uma força sobre o objeto 1. Logo: De acordo com a terceira lei de Newton: Conservação de momento em colisões (1)

25. Conservação de momento em colisões (2) Integre o resultado da terceira dei de Newton: Logo: (válida para todas as colisões entre dois corpos!) Reorganize esta equação: Esta é a lei de conservação do momento! Aplica-se para todas as colisões entre dois corpos Lei fundamental da conservação, assim como a da conservação de energia

26. Conservação de momento em colisões (3) A única condição usada para a derivação é a terceira lei de Newton E outras forças externas? Nós as desprezamos na derivação Por que isso é justificável? Tempos de colisão são muito curtos, e durante estes tempos o impulso devido a forças externas pode ser desprezado Por outro lado, as forças entre estes dois objetos em colisão são muito grandes. Compare com o exemplo do home run