BAB 2_Akar Persamaan (Pertemuan _2).pptx

Mata Kuliah Metode Numerik

1. METODE NUMERIK AKAR-AKAR PERSAMAAN OLEH : DWI HARTINI TEKNIK DIRGANTARA ITDA TD036

2. Pe n da h ulu a n Ak a r- akar su a tu p e rsam a an d a ri su a tu fu n gsi f(x) sebenarnya adalah harga x yang memenuhi f(x) = 0. Sebelum kemajuan komputer, menyelesaikan suatu akar persamaan menggunakan metode analitis dan grafik. Analitis  f(x) = x 2 - 4x  x 2 - 4x = x(x-4) = x 1 = atau x 2 = 4

3. Jumlah Akar Bila f(x i ) dan f(x u ) mempunyai tanda yang sama , maka jumlah akar biasanya merupakan bilangan genap .

4. Jumlah Akar Bila f(x i ) dan f(x u ) mempunyai tanda yang berbeda , maka jumlah akar biasanya merupakan bilangan ganjil .

5. Jumlah Akar Meskipun generalisasi ini biasanya benar, tetapi ada kasus tertentu dimana suatu fungsi mempunyai akar kembar atau fungsi tersebut diskontinu .

6. Pe n da h ulu a n Berapa akar dari suatu f(x) = e -x -x ? Dengan analitis sulit tetapi masih bisa diselesaikan dengan metode grafik , dengan cara: x f(x) 1 0,2 0,6187 0,3 0,4408 1 -0,632

7. Metode Pendekatan Mencari Akar Persamaan Metode Tertutup Metode Grafik (selang bisa ditentukan lebih kecil dari manual) Metode Bisection (Metode bagi dua) Metode Regula F alsi (Interpolasi Linier) Metode Terbuka Metode Secant Metode Newton Raphson

8. Metode Tertutup Metode ini sering disebut sebagai metode terkurung/tertutup karena membutuhkan dua tebakan awal untuk menentukan akar suatu f(x). Dua tebakan harus mengapit akarnya , berarti harus ditentukan sebelum akar dan setelah akar Dalam metode tertutup, grafik fungsi harus digambar secara kasar.

9. Metode Grafik Metode paling sederhana untuk memperoleh tafsiran akar suatu f(x) dengan membuat grafik dari suatu fungsi tersebut dan kemudian mengamati berapa nilai x yang menyebabkan f(x) berharga 0. Jika selang dari tiap perubahan nilai x ditentukan semakin kecil , maka akan menghasilkan nilai yang semakin teliti .

10. Metode Grafik (Ex.) Ingin dicari suatu akar dari f(x) = e x - 2 - x 2 Tebakan awal x = 0,5 dan x 1 = 1,5 dan selangnya (  x) = 0,5 x f(x) 0,5  0,60128 1  0,28172 1,5 0,23169

11. Metode Grafik (Ex.) Tebakan awal x = 0,5 dan x 1 = 1,5 dan selangnya (  x) = 0,25 x f(x) 0,5  0,60128 0,75  0,4455 1  0,28172 1,25  0,07216 1,5 0,23169

12. Metode Grafik (Ex.) x f(x) 0,5  0,60128 0,7  0,47625 0,9  0,3504 1,1  0,20583 1,3  0,02070 1,5 0,23169 Tebakan awal x = 0,5 dan x 1 = 1,5 dan selangnya (  x) = 0,2 Dengan selang  x = 0,25, akarnya adalah x = 1,25. Dengan selang  x = 0,2, akarnya adalah x = 1,3. Dengan selang ini lebih teliti karena menghasilkan f(x) yang nilainya lebih dekat dengan 0.

13. Metode Bisection (Bagi Dua) Syarat: f(x) real/nyata dan kontinu dalam interval x i s/d x u , dimana f(x i ) dan f(x u ) berbeda tanda sehingga f(x i ).f(x u ) < Metode ini digunakan untuk menentukan salah satu akar dari f(x). Dasar dari metode bagi 2 adalah metode carian inkremental.

14. Metode Carian Inkremental Proses dimulai dengan menentukan sebuah interval dimana fungsi tersebut bertukar tanda . K emudian penempatan perubahan tanda dari akar ditandai lebih teliti dengan cara membagi interval tersebut menjadi sejumlah subinterval (pada metode bagi 2, pencarian subintervalnya dengan cara membagi dua). Setiap subinterval dicari untuk menempatkan perubahan tanda. Proses tersebut diulangi dengan subinterval yang semakin lama semakin kecil hingga dicapai suatu proses konvergensi .

15. Metode Bisection

16. Algoritma Metode Bisection Pilih harga x i yaitu harga x yang terendah dan x u yaitu harga x yang tertinggi, agar fungsi berubah tanda sepanjang interval tersebut sehingga f(x i ).f(x u ) < Taksiran pertama akar sebut dengan x r ditentukan oleh: 2 x r x  x  i u

17. Algoritma Metode Bisection Evaluasi harga x r untuk menentukan subinterval mana yang akan memuat harga akar dengan cara sebagai berikut Jika f(x i ) . f(x r ) < 0, akar terletak pada subinterval pertama, maka x u baru = x r . Jika f(x i ) . f(x r ) > 0, akar terletak pada subinterval kedua, maka x i baru = x r . Jika f(x i ) . f(x r ) = 0, maka proses komputasi berhenti dan akarnya = x r .

18. Algoritma Metode Bisection 4. Buat taksiran akar baru = x r baru dari 5. Putuskan apakah taksiran baru cukup akurat dengan kebutuhan yaitu biasanya |  a |  |  s | yang ditentukan. Jika ya , hentikan komputasi, jika tidak , kembali lagi ke evaluasi. 2 r x  x i  x u

19. Metode Bisection (Ex.) f(x) = e x – 2 – x 2 , cari akarnya dengan metode bisection dimana x i = , 5 ; x u = 1 , 5 ;  s = 1%

20. Metode Bisection (Ex.) Langkah 1: 1. x i = 0,5; x u = 1,5; f(x i ) =  0,60128; f(x u ) = 0,23169 3. f(x r ) =  0,28172 f(x i ) . f(x r ) = (  0,60128) . (  0,28172 ) > maka x i baru = x r = 1 4. 5. 2 2 r  x i  x u  , 5  1 , 5  1 2. x 2 2  1  1 , 5  1 , 25  x i  x u 1 , 25 a   1 , 2 5  1  10 %  2 % x r

21. Metode Bisection (Ex.) Langkah 2 ( x i = 1, x r = 1,25) 1. f(x r ) = f(1,25) =  0,07216 f(x i ) . f(x r ) = (  0,28172 ) . (  0,07216 ) > maka x i baru = x r = 1,25 3 . 2 2 r 2 .  x i  x u  1 , 2 5  1 , 5  1 , 3 7 5 x 1 , 3 7 5 a   1 , 3 7 5  1 , 2 5  1 %  9 , 1 %

22. Metode Bisection (Ex.) Langkah 3 ( x i = 1,25, x r = 1,375) 1 . f(x r ) = f(1,375) = 0,06445 f(x i ) . f(x r ) = (  0,07216 ) . ( 0,06445 ) < maka x u baru = x r = 1,375 2 . r x 1 , 3 1 25 a  x i  x u  1 , 2 5  1 , 3 7 5  1 , 3 1 2 5 2 2 3 .   1 , 3 1 25  1 , 3 7 5  1 %  4 , 7 6 %

23. Metode Bisection (Ex.) Langkah 4 ( x u = 1,375, x r = 1,3125) 1 . f(x r ) = f(1,3125) =  0,0072 f(x i ) . f(x r ) = (  0,07216 ) . (  0,0072) > maka x i baru = x r = 1,3125 , x u = 1,375 2 . 3 . 2 2 i r x  x u  1,31 2 5  1,375  1,34 3 75 x  1 , 34375  1 , 3437 5  1 , 312 5  10 %  2 , 3 % a 

24. Metode Bisection (Ex.) Langkah 5 ( x i = 1,3125, x r = 1,34375) 1 . f(x r ) = f(1,34375) = 0,0277 f(x i ) . f(x r ) = (  0,0072 ) . (0,0277) < maka x u baru = x r = 1,34375 3 . r  x i  x u  1 , 31 2 5  1 , 34 3 7 5 2 2 . x 1 , 3 2 81 2 5  1 , 3 2 81 2 5  1 , 3 4 375  10 %  1 , 17 6 % a  2 = 1,328125

25. Metode Bisection (Ex.) Langkah 6 ( x u = 1,34375, x r = 1,328125) 1 . f(x r ) = f(1,328125) = 0,010 f(x i ) . f(x r ) = (  0,0072 ) . (0,010) < maka x u baru = x r = 1,328125 2 . 3 . 1 , 32031  1,3125  1,328125  1,32031  1,32031  1,328125  100%  0,59% a  2 x r

26. Metode Bisection (Ex.) Iterasi x r |  a | % 1 1  2 1,25 20 3 1,375 9,1 4 1,3125 4,76 5 1,34375 2,3 6 1,328125 1,176 7 1,32031 0,59 Jika  s = 1 %, maka akarnya adalah x = 1,32031

27. Metode Bisection Kelemahan: Membagi interval dengan subinterval dengan membagi 2 tanpa ada perhitungan mengenai f(x i ) dan f(x u ) yang mana sebenarnya yang lebih mendekati akarnya