Bab 4_Sistem Persamaan Linier (Pertemuan 7).pptx

Metode Numerik

1. 1 TEKNIK DIRGANTARA IT D A DISUTJIPTO 1 TD036 METODE NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINIER

2. 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 . . . . . . . . . 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 𝑎 𝑛3 Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal . . . 𝑎 1 𝑛 𝑏 1 . . . 𝑎 2 𝑛 𝑏 2 . . . 𝑎 3 𝑛 𝑏 3 . . . . . . . . . . . . 𝑎 𝑛𝑛 𝑏 𝑛 1 . . . 𝑑 1 1 0 . . . 0 𝑑 2 1 . . . 0 𝑑 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . 1 𝑑 𝑛 2 Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau: 𝑥 1 = 𝑑 1 , 𝑥 2 = 𝑑 2 , 𝑥 3 = 𝑑 3 , . . . . , 𝑥 𝑛 = 𝑑 𝑛

3. Selesaikan persamaan linier simultan: Augmented matrik dari persamaan linier simultan Lakukan operasi baris elementer 𝑥 1 + 𝑥 2 = 𝑥 2𝑥 1 + 4𝑥 2 = 8 1 1 𝑥 2 4 8 3

4. 𝐵 2 − 2𝐵 1 1 1 𝑥 0 2 2 𝐵 2 /2 1 1 𝑥 0 1 1 𝐵 1 − 𝐵 2 1 0 2 0 1 1 Penyelesaian persamaan linier simultan : x 1 = 2 d an x 2 = 1 1 1 𝑥 2 4 8 4

5. x  y  2z  9 2y  7z   1 7 3x  6y  5z  𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 9 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑥𝑧 = 1 𝑥𝑥 + 6𝑦 − 5𝑧 = 1 1 2 9 2 4 −𝑥 1 𝑥 6 −5 1 1 2 9 0 2 − 7 − 17 𝑥 6 −5 B 2 -2B 1 B 2 -2B 1 B 3 -3B 1 B 3 -3B 1 1 1 2 9 2 −7 −17 𝑥 −11 −27 5

6. 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 9 7 17 𝑦 − 2 𝑧 = − 2 𝑥𝑦 − 11𝑧 = 27 𝑥 + 𝑦 + 2 𝑧 = 9 2𝑦 − 7𝑧 = −17 𝑥𝑦 − 11𝑧 = −27 1 1 2 9 0 2 − 7 − 17 𝑥 − 11 − 27 1 1 2 9 7 17 0 1 − 2 − 2 𝑥 −11 −27 ½ B 2 ½ B 2 B 3 -3B 2 B 3 -3B 2 0 0 1 1 2 9 7 17 0 1 − 2 − 2 1 𝑥 − 2 − 2 39

7. 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 9 7 17 𝑦 − 2 𝑧 = − 2 𝑧 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 2 𝑧 = 9 7 17 𝑦 − 𝑧 = − 2 2 1 2 − 𝑧 = − 𝑥 2 9 1 1 2 7 17 0 1 − − 0 0 2 2 1 𝑥 − 2 − 2 1 1 2 9 7 17 0 1 − 2 − 2 0 0 1 𝑥 -2 B 3 -2 B 3 B 1 - B 2 B - B 1 2 1 0 11 𝑥5 2 2 7 17 0 1 − 2 − 2 0 0 1 𝑥 40

8. x = 1 y = 2 𝑧 = x 11 𝑥 + 2 𝑧 = 𝑥 5 2 7 17 𝑦 − 2 𝑧 = − 2 𝑧 = 𝑥    3    1   1 2   0 1 35 2  7  17 2 11 2 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 𝑥 Solusi x = 1, y=2 dan z=3 2 B + 7/2 B 3 B 1 - 11/2 B 3 8 2   1 11 35  2  1 0 2     1 3  

9. 9

10. Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Bila diketahui persamaan linier simultan 10 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + 𝑎 13 𝑥 3 + . . . + 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 + 𝑎 23 𝑥 3 + . . . + 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 2 𝑎 31 𝑥 1 + 𝑎 32 𝑥 2 + 𝑎 33 𝑥 3 + . . . + 𝑎 3𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 𝑎 𝑛1 𝑥 1 + 𝑎 𝑛2 𝑥 2 + 𝑎 𝑛3 𝑥 3 + . . . + 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛

11. Berikan nilai awal dari setiap x i (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi: 1 𝑥 = 1 𝑥 2 = 𝑎 11 1 𝑎 2 2 𝑏 1 − 𝑎 1 2 𝑥 2 − 𝑎 1 3 𝑥 3 − . . . . − 𝑎 1 𝑛 𝑥 𝑛 𝑏 2 − 𝑎 2 1 𝑥 1 − 𝑎 2 3 𝑥 3 − . . . . − 𝑎 2 𝑛 𝑥 𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛𝑛 𝑏 𝑛 − 𝑎 𝑛 1 𝑥 1 − 𝑎 𝑛 2 𝑥 2 − . . . . − 𝑎 𝑛 𝑛 − 1 𝑥 𝑛 − 1 11

12. Dengan menghitung nilai-nilai x i (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai x i pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai x i (i=1 s/d n) dengan nilai x i pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan. Untuk mengecek kekonvergenan 12

13. 𝑥 1 + 𝑥 2 = 5 2𝑥 1 + 4𝑥 2 = 14 𝑥 1 = 5 − 𝑥 2 1 𝑥 2 = 4 14 − 2𝑥 1 (5,1) (4,3/2) (7/2,7/4) 13 Berikan nilai awal : x1 = dan x2 = Susun persamaan menjadi: Comtoh:

14. (13/4 , 15/8) (25/8 , 31/16) (49/16 , 63/32 ) (97/32 , 127/64) 𝑥 1 = 5 − 𝑥 2 1 𝑥 2 = 4 14 − 2𝑥 1 14

15. Penyelesaian persamaan tersebut diperoleh pada iterasi ke 13 dengan nilai sebagai berikut: 𝑥 1 = 𝑥 1 𝑥 2 = 4 14 − 2𝑥 1 = 2 15

16. Selesaikan dengan Eliminasi Gauss (1,2) dan Gauss-Jordan (3,4) 16 1. x1 + x2 + 2x3 = 8 -x1 – 2x2 + 3x3 = 1 3x1 – 7x2 + 4x3 = 10 2. x – y + 2z – w = -1 2x + y - 2z -2w = -2 -x + 2y – 4z + w = 1 3x - 3w = -3 3. 𝑥 + 2𝑦 − 𝑥𝑧 = 7 6𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 𝑥7 5𝑥 + 𝑥𝑦 + 2𝑧 = 𝑥1 4. 𝑥 1 + 2𝑥 2 − 𝑥𝑥 3 = 7 6𝑥 1 + 4𝑥 2 + 𝑥 3 = 𝑥7 5𝑥 1 + 𝑥𝑥 2 + 2𝑥 3 = 𝑥1

17. Mr . X m e mb u a t 2 m a c a m b o n e k a A d a n B . B o n e k a A m e m er l u k a n bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2. Model Sistem Persamaan Linier : Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap: x1 adalah jumlah boneka A x2 adalah jumlah boneka B Perhatikan dari pemakaian bahan : B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80 B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36 Diperoleh model sistem persamaan linier 10 x 1 + 5 x 2 = 80 2 x 1 + 6 x 2 = 36 17

18. Metode Eliminasi Gauss-Jordan Diperoleh x 1 = 6 dan x 2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat 6 boneka A dan 4 boneka B. 18