Binh-phuong-toi-thieu-toán-học-utc-edu.pdf

phương pháp bình phương tối thiểu trong toán học

1. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»m
B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»m
Trong m°t ph¯ngxOycho tªp hñp iºmMk(xk;yk);k= 1;2; : : : ;n;trong
â câ ½t nh§t 2 iºm nótxi;xjkh¡c nhau vîii6=jv nr§t lîn. Khi â
vi»c x¥y düng mët ÷íng cong i qua t§t c£ nhúng iºm n y khæng câ þ
ngh¾a thüc t¸.
Chóng ta s³ i t¼m h mf(x)ìn gi£n hìn sao cho nâ thº hi»n tèt nh§t
d¡ng i»u cõa tªp hñp iºmMk(xk;yk);k= 1;2; : : : ;n;v  khæng nh§t
thi¸t i qua t§t c£ c¡c iºm â.
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 56 / 1

2. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»m
Ph÷ìng ph¡p b¼nh ph÷ìng b² nh§t gióp ta gi£i quy¸t v§n · n y. Nëi
dung cõa ph÷ìng ph¡p l  t¼m cüc tiºu cõa phi¸m h m
g(f) =
n
X
k=1
(f(xk)yk)
2
!min:
D¤ng ìn gi£n th÷íng g°p trong thüc t¸ cõaf(x)l 
f(x) =A+Bx:
f(x) =A+Bx+Cx
2
;
f(x) =Ap(x) +Bq(x);
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 57 / 1

3. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =A+Bx
Tr÷íng hñpf(x) =A+BxKhi â
g(A;B) =
n
X
k=1
(A+Bxkyk)
2
B i to¡n quy v· vi»c t¼m cüc tiºu cõa h m 2 bi¸ng(A;B):Tåa ë iºm
døng cõa h m ÷ñc x¡c ành bði h» ph÷ìng tr¼nh
8
>
>
<
>
>
:
@
@A
nP
k=1
(A+Bxkyk)
2
= 2
nP
k=1
(A+Bxkyk) = 0
@
@B
nP
k=1
(A+Bxkyk)
2
= 2
nP
k=1
(A+Bxkyk)xk= 0
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 58 / 1

4. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =A+Bx
,
8
>
>
<
>
>
:
nA+

nP
k=1
xk

B=
nP
k=1
yk

nP
k=1
xk

A+

nP
k=1
x
2
k

B=
nP
k=1
xkyk
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 59 / 1

5. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =A+Bx
V½ dö
T¼m h mf(x) =A+Bxx§p x¿ tèt nh§t b£ng sè
x1 1 2 2 2 3 3 4 5 6
y1 2 2 3 4 4 5 5 6 7
Gi£i. n= 10v 
nP
k=1
xk= 29;
nP
k=1
yk= 39;
nP
k=1
x
2
k
= 109;
nP
k=1
xkyk= 140:
H» ph÷ìng tr¼nh º x¡c ànhA;Bcâ d¤ng

10A+ 29B= 39
29A+ 109B= 140
,

A= 0:7671
B= 1:0803
Do â ÷íng th¯ng c¦n t¼m l f(x) = 0:7671 + 1:0803x:
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 60 / 1

6. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =A+Bx
B§m m¡y.B§m Mode 3 - STAT. Chån 3-A+Bx:
Nhªp dú li»u cõa 2 cëtx;y:
AC - Tho¡t ra.
Chån Shift 1 - chån 7 - Reg - chån 1- A =.
Chån Shift 1 - chån 7 - Reg - chån 2- B =.
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 61 / 1

7. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =A+Bx+Cx
2
Tr÷íng hñpf(x) =A+Bx+Cx
2
Khi â
g(A;B;C) =
n
X
k=1
(A+Bxk+Cx
2
k
yk)
2
B i to¡n quy v· vi»c t¼m cüc tiºu cõa h m 3 bi¸ng(A;B;C):Tåa ë iºm
døng cõa h m ÷ñc x¡c ành bði h» ph÷ìng tr¼nh
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
@
@A
nP
k=1
(A+Bxk+Cx
2
k
yk)
2
= 2
nP
k=1
(A+Bxk+Cx
2
k
yk) = 0
@
@B
nP
k=1
(A+Bxk+Cx
2
k
yk)
2
= 2
nP
k=1
(A+Bxk+Cx
2
k
yk)xk= 0
@
@C
nP
k=1
(A+Bxk+Cx
2
k
yk)
2
= 2
nP
k=1
(A+Bxk+Cx
2
k
yk)x
2
k
= 0
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 62 / 1

8. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =A+Bx+Cx
2
,
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
nA+

nP
k=1
xk

B+

nP
k=1
x
2
k

C=
nP
k=1
yk

nP
k=1
xk

A+

nP
k=1
x
2
k

B+

nP
k=1
x
3
k

C=
nP
k=1
xkyk

nP
k=1
x
2
k

A+

nP
k=1
x
3
k

B+

nP
k=1
x
4
k

C=
nP
k=1
x
2
k
yk
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 63 / 1

9. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =A+Bx+Cx
2
V½ dö
T¼m h mf(x) =A+Bx+Cx
2
x§p x¿ tèt nh§t b£ng sè
x1 1 2 3 3 4 5
y4.12 4.18 6.23 8.34 8.38 12.13 18.32
Gi£i. A;B;Ccâ d¤ng
8
<
:
7A+ 19B+ 65C= 61:70
19A+ 65B+ 253C= 211:04
65A+ 253B+ 1061C= 835:78
,
8
<
:
A= 4:30
B=0:71
C= 0:69
Do â parabol c¦n t¼m l f(x) = 4:300:71x+ 0:69x
2
:
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 64 / 1

10. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =A+Bx+Cx
2
B§m m¡y.B§m Mode 3 - STAT.
Chån 3-+cx
2
:
Nhªp dú li»u cõa 2 cëtx;y:
AC - Tho¡t ra.
Chån Shift 1 - chån 7 - Reg - chån 1- A =.
Chån Shift 1 - chån 7 - Reg - chån 2- B =.
Chån Shift 1 - chån 7 - Reg - chån 3- C =.
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 65 / 1

11. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =Ap(x) +Bq(x)
Tr÷íng hñpf(x) =Ap(x) +Bq(x)Khi â
g(A;B) =
n
X
k=1
(Ap(xk) +Bq(xk)yk)
2
B i to¡n quy v· vi»c t¼m cüc tiºu cõa h m 2 bi¸ng(A;B):Tåa ë iºm
døng cõa h m ÷ñc x¡c ành bði h» ph÷ìng tr¼nh
8
>
>
<
>
>
:
@
@A
g(A;B) = 2
nP
k=1
(Ap(xk) +Bq(xk)yk)p(xk) = 0
@
@B
g(A;B) = 2
nP
k=1
(Ap(xk) +Bq(xk)yk)q(xk) = 0
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 66 / 1

12. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =Ap(x) +Bq(x)
,
8
>
>
<
>
>
:

nP
k=1
p
2
(xk)

A+

nP
k=1
p(xk)q(xk)

B=
nP
k=1
p(xk)yk

nP
k=1
p(xk)q(xk)

A+

nP
k=1
q
2
(xk)

B=
nP
k=1
q(xk)yk
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 67 / 1

13. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =Ap(x) +Bq(x)
V½ dö
T¼m h mf(x) =A
p
x+Bcos(x)x§p x¿ tèt nh§t b£ng sè
x1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
y2.27 2.37 2.45 2.52 2.60 2.62
Gi£i. n= 6;p(x) =
p
x;q(x) = cos(x)v 
nP
k=1
p
2
(xk) =
nP
k=1
xk= 9;Shift-STO-A
nP
k=1
p(xk)q(xk) =
nP
k=1
p
xk:cos(xk) = 0:2080742774;Shift-STO-B.
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 68 / 1

14. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =Ap(x) +Bq(x)
nP
k=1
p(xk)yk=
nP
k=1
p
xk:yk= 18:14616548;Shift-STO-C.
nP
k=1
q
2
(xk) =
nP
k=1
cos
2
(xk) = 0:6777701471;Shift-STO-D.
nP
k=1
q(xk)yk=
nP
k=1
cos(xk):yk= 0:7470806584;Shift-STO-M.
H» ph÷ìng tr¼nh º x¡c ànhA;B:

A:A+B:B=C
B:A+D:B=M
,

A= 2:00498761
B= 0:48673479
Vªyf(x) = 2:0050
p
x+ 0:4867 cos(x):
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 69 / 1

15. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =Ap(x) +Bq(x)
B§m m¡y.Shift-Mode-STAT-Frequency-ON
1
T¼m ma trªn h» sè
Mode 3-STAT - 2: A+BX. Nhªp v o cëtXl 
p
X;nhªp v o cëtYl 
cos(X):AC-tho¡t ra.
Shift - 1 - 4: Sum - 1:
P
x
2
=Shift-STO-A
Shift - 1 - 4: Sum - 5:
P
xy=Shift-STO-B
Shift - 1 - 4: Sum - 3:
P
y
2
=Shift-STO-D
2
T¼m cët h» sè tü do
Shift - 1 - 2: Data
Nhªp gi¡ trà cõa cët FREQ l  gi¡ trày:AC-tho¡t ra
Shift - 1 - 5: Var - 2:xShift - 1 - 5: Var -1:n=Shift-STO-C
Shift - 1 - 5: Var - 5:yShift - 1 - 5: Var -1:n=Shift-STO-M
3
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh: Mode-5:EQN-1:anX+bnY=cn
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 70 / 1

16. B i to¡n x§p x¿ h m thüc nghi»mTr÷íng hñpf(x) =Ap(x) +Bq(x)
THANK YOU FOR ATTENTION
NËI SUY V€ X‡P XŸ H€M Ng y 14 th¡ng 10 n«m 2016 71 / 1