C.T. 6 Espacios vectoriales del algebra lineal

Un espacio vectorial es una estructura algebraica fundamental en matemáticas y es la base de muchas áreas, como álgebra lineal, análisis y geometría. A continuación se presenta una descripción clara y concisa.

1. Física I
Dr. Rogerio Enríquez Caldera
(Graficas: Dr. Gustavo Rodríquez)

2. Los Tres Planos Coordenados

3. Base Canónica
•Existen tres vectores especiales a lo largo
de los ejes x, y, z:
–i: (1,0,0)
–J: (0,1,0)
–k: (0,0,1)
•Sea (a
1, a
2,a
3)
entonces
a = a
1i+ a
2j+ a
3k x
y
z
j
i
k

4. Base Canónica
•Representación del
vector (2,3,2) en
términos de la base
canónica

5. Producto Interno
•Dados dos vectores a = a
1i+a
2j+a
3k y
b = b
1i+b
2j+b
3k, el producto interno
de a y b se define como
Nótese que el producto interno es un
escalar.
332211
bababa ba

6. Producto Interno
•Propiedades del producto interno. Sean a,
b, c vectores en ³ y números
ℝ
reales, entonces

.4
.)()(.3
).()(.2
.0
;0.1
abba
cbcacba y cabacba
baba ybaba
0aaa
aa






 y

7. Longitud
•Dado un vector
a = a
1i+a
2j+a
3k en
³ definimos su
ℝ
longitud como
2
3
2
2
2
1 aaa 
x
y
a
1
a
3
P = (a
1
,a
2
,a
3
)
z
a
2
)(
2
3
2
2
2
1
aa
a

 aaa

8. Vectores Normalizados
•Dado el vector a = a
1i + a
2j + a
3k diferente
de cero, para normalizarlo forme el
vector
a
a

9. Ejemplos
•Normalizar el vector v = 15i – 2j + 4k.
Solución
La normalización del vector v está dada por
,574)2(15
222
v
.
57
4
57
2
57
151
kjiv
v
u 

10. Ejemplos
•Defina en el plano el vector
Observe que es un vector
Unitario.
ji )(sen)(cos re

11. Vectores Ortogonales
•Si a y b son vectores diferentes de cero y
es el ángulo entre ellos. Entonces
si y sólo si los vectores son ortogonales.
•Ejemplo
–Los vectores de la base canónica i, j, k, son
ortogonales entre si.
–Los vectores y
son ortogonales.

0ba
jisencosre
ji

cossene

12. Vectores Ortonormales

13. B
A


14. B
A
cB

15. B
A
K B
C
Por tanto
A = k B + C


16. B
A
K B
C
Por tanto
A = k B + C
¿Cómo despejar o reslover para k?


17. Usemos lo que conocemos:
i) Ortogonalidad o perpendicularidad

ii) Producto punto

18. Por otro lado:
||||||||cos
||||
||||
||
||..
cos
ABAB
B
AB
B
A
B





entonces
c
pero
c
hip
ac

19. B
A


20. B
A

K B
cos (180 –  ) = cos 180 cos + sen 180 sen  = cos 

21. B
A


22. B
A

u
u
x
A

23. Por tanto si A es unitario
u B = || u || || B || cos = B
u
Y por tanto si || B || solo escribimos B
Bx = B cos 
By = B sen porqué
Y asi
B = ux B cos  + uy B sen  = B ( ux cos + uy sen  )

24. 





N
i
ii
ba
bbbaaa
1
)
0
1
AB
kj)(ikj(iAB
kijkij
kkjjii
zyxzyx

25. 








parejas
ml
todos
l
N
l
l
VVVV
ABBA
BAV
ABBA
BAV
2
cos2
2)(
cos2
2)(
22
1
22
222
22
222
VV
ABBB)(AA
ABBB)(AA



26. Ejemplos
•Calcule el angulo entre los vectores
A = 2i + 3j – k y B = - i + j + 2k
Solución:
Usando
0
3.96
?109.0
17.9
1
cos
45.2411
74.3194
12)1()1(3)1(2
||||||||cos









oceano
que
unidadesB
unidadesA
AB
ABAB

27. Reflexiones
•Ángulo en grados o en radianes
•Se mide con respecto a que?
•Ejemplo en el Planeta Tierra

31. Ejemplos
•Encuentre los angulos que forma el vector
A = 2i + 3j + 2k con los ejes x & z
Solución



cos
cos
AA
senAsenA
AsenA
z
y
x




32. Base Canónica
•Representación del
vector (2,2,2) en
términos de la base
canónica

33. A x B
No es conmutativa A x B = - B x A
Es asociativa?
Es distributiva ?
| A x B | = A B sen 

36. Significado Físico?