C2. CHUONG 2 XSTK? DAI LUONG NGAU NHIEN.pdf

DAI LUONG NGAU NHIEN

1. ThS. Nguyễn Đức Bằng
1
Chương 2
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
01/2020

2. NỘI DUNG CHƯƠNG 2
2
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN.
HÀM XÁC SUẤT CỦA ĐLNN RỜI RẠC.
HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT CỦA ĐLNN LIÊN TỤC.
HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN.
CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN .
MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT.

3. Bài toán
3
Mộtngườithamgiatròchơitungxúcxắcvớiluậtchơi
nhưsau:mỗilượtchơingườiđóđặtcược10.000đvàđược
tungbaconxúcxắc,nếuxuấthiện3mặt“lục”thìlĩnh
30.000đvànhậnlạitiềncược,nếuxuấthiện2mặt“lục”
thìlĩnh20.000đvànhậnlạitiềncược,nếuxuấthiện1mặt
“lục”thìlĩnh10.000đvànhậnlạitiềncược,nếukhôngxuất
hiệnmặt“lục”thìkhôngđượcgìhếtvàmấttiềncược.
Trungbìnhmỗilượt,ngườichơilãi(lỗ)baonhiêutiền?

4. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
4
ĐạilượngngẫunhiênXlàmộtquytắcchotươngứngmỗi
vớiduynhấtmộtsốthựcX().
NếuX()={x
1,x
2,…,x
n,…}thìXđượcgọilàĐLNNrờirạc
NếuX()=[a;b]thìXđượcgọilàĐLNNliêntục.
Lưuý:vớimọit.
{|X()<t};{|X()=t};{|X()>t};{|X()t};
{|X()t};làcácbiếncốngẫunhiên

5. 5
Hàm xác suất
Bảng phân phối xác suất( )( ) , ( )= =   p x P X x x X
X x
1 … x
n
Pp(x
1)…p(x
n)
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC1) ( ) 0,p x x 2) ( ) 1
x
px

=
Tính chất :
Định nghĩa :

6. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
6
Định nghĩa :
Hàmf(x)đượcgọilàhàmmậtđộxácsuấtcủa
ĐLNNliêntụcXnếu:
Tính chất :1) ( ) ( )P X f x dx


  =
( ) 0,f x x 0
2) ( ) 0P X x= ( ) 1
+
−
=
f x dx
và

7. VÍ DỤ 1
7
Mộthộpcó10láthăm,trongđócó4láthămtrúng
thưởng.Chọnngẫunhiên(khônghoànlại)3láthăm.
GọiXlàsốláthămtrúngthưởngchọnđược.
a) HãylậpbảngphânphốixácsuấtcủaX.
b) TínhP(1X < 3) = ?

8. VÍ DỤ 2
82
0 , khi x [0;4]
()
. (4 ) , khi x [0;4]
fx
k x x
TuổithọcủamộtloạicôntrùnglàmộtĐLNNliêntục
X(đơnvị:tháng)cóhàmmậtđộ:
a)Tìmk.
b)Tínhtỉlệcôntrùngcótuổithọkhôngquá1tháng.

9. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
9
Định nghĩa:
Tính chất :( )( ) ,F t P X t t=   
3) F(t)là hàm không giảm và liên tục trái.-
4) lim ( ) 0; lim ( ) 1
tt
F t F t
→  →+
== 5) ( ) ( ) ( )P X F F     = − 2) ( ) ( ) ( ) ( )
t
F t f x dx f t F t
−
=  =
1) ( ) ( )
k
k
xt
F t p x

=
, nếu X rời rạc
, nếu X liên tục.

10. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN RỜI RẠC
Giátrịtin chắcnhất
(ModX)
p(x) đạtmax tạiX = ModX
Kỳvọng(EX)
Phươngsai(DX)
Độ lệch chuẩn()
ii
i
EX x p x

= 2
( ) ( )
ii
i
DX x EX p x

=− =
X
DX

11. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN LIÊN TỤC
Giátrịtin chắcnhất
(ModX)
f(x) đạtmax tạiX = ModX
Kỳvọng(EX)
Phương sai (DX)
Độ lệch chuẩn()EX xf x dx
+
−
= 2
( ) ( )DX x EX f x dx
+
−
=− =
X
DX

12. LƯU Ý
12 ( ) ( ) ( )
ii
i
E X x p x

=   
2
( ) ( ) ( ( )) ( )
ii
i
D X x E X p x  

=− ( ). . ;E a X b a EX b+ = + ( ) ( )
2
. . ; ; :D a X b a DX a b const+=  ( ) ( ) ( )E X x f x dx
+
−
=   
2
( ) ( ) ( ( )) ( )D X x E X f x dx  
+
−
=−
Nếu X rời rạc:
Nếu X liên tục:
Với X bất kỳ:

13. VÍ DỤ 3
13
Cóhailôhàng(bềngoàigiốngnhau):lô1gồm10
sảnphẩmloạiIvà5sảnphẩmloạiII;lô2gồm8sản
phẩmloạiIvà7sảnphẩmloạiII.
Chọnngẫunhiênmộtlôhàng,rồitừđóchọnngẫu
nhiên3sảnphẩm.GọiXlàsốsảnphẩmloạiIđượcchọn.
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho X.
b) Tính EX, DX, ModX.

14. VÍ DỤ 4
140,16
0 , khi x < 0
()
0,16.e , khi x 0
x
fx
TuổithọcủamộtloạilinhkiệnđiệntửlàĐLNNliêntục
X(đơnvị:năm)cóhàmmậtđộ:
a)TínhEX,DX?
b)TìmhàmphânphốiF(t)?
c)Tínhtỉlệsảnphẩmcótuổithọkhôngquá3năm?

15. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI
15
Y
X
y
1 y
2 … y
n
x
1 p
11 p
12 … p
1n
x
2 p
21 p
22 … p
2n
… … … … …
x
m p
m1 p
m2 … p
mn
trong đó :11
( ; ); 0 1; 1
mn
ij i j ij ij
ij
p P X x Y y p p
NếuX,YlàcácĐLNNrờirạcthìbảngphânphốixácsuất
đồngthờilàcủaXvàYcódạng:

16. 16
VÍ DỤ 5
Chobảngphânphốixácsuấtđồngthờicủalãisuấttrái
phiếuX(đv:%)vàlãisuấtcổphiếuY(đv:%)nhưsau:
Y
X
-10 0 10 20
6 0 0 0,1 0,1
8 0 0,1 0,3 0,2
10 0,1 0,1 0 0
a)TínhEX;EY;DX;DY;E(X+Y);E(X.Y);D(X+Y);D(X.Y)
b)TínhP(X=8|Y=10)vàP(Y=10|X=8)

17. SỰ TƯƠNG QUAN GIỮA HAI ĐLNN
17
Hiệp phương sai của X và Y
Hệ số tương quan giữa X và YCov(X,Y) = E(XY) - EX.EY Cov(X,Y)
R=
( ). ( )
XY
D X D Y

18. 18
Với hai ĐLNN X và Y bất kỳ thì:E(X + Y) = EX + EY
Lưu ýD(X + Y) = DX + DY + 2.Cov(X;Y) ( ). . ;E a X b a EX b+ = + ( ) ( )
2
. . ; ; :D a X b a DX a b const+=

19. SỰ ĐỘC LẬP CỦA HAI ĐLNN
19
Hai ĐLNN X và Y được gọi là độc lập nếu:( )( )( ); . , ,P X a Y b P X a P Y b a b  =   
Tính chất: Nếu X và Y độc lập thì:E(X.Y) = EX.EY D(X + Y) = DX + DY

20. VÍ DỤ 6
20
Lãisuất(đơnvị:%)khiđầutưvàohailoạicổphiếuAvàB
làcácĐLNNđộclậpX;Yvới
a)Mộtngườiđầutư300triệuVNDvàoAvà700triệu
VNDvàoB.Tínhlợinhuậntrungbìnhcủangườiđó?
b)Muốnđầutư1tỷVNDvàocảhailoạicổphiếutrênsao
chorủironhỏnhấtthìnênđầutưtheotỉlệnào?
Kỳvọng(%)Độlệchchuẩn(%)
X 12 6
Y 15 7

21. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
21
Định nghĩa:
Mô hình:
Chọnngẫunhiên(khônghoànlại)nphầntử
từđámđôngcóNphầntử,trongđócóMphần
tửđượcđánhdấu→Sốphầntửđánhdấuđược
chọntuântheophânphốisiêubội
X H(N,M,n) nếu hàm xác suất của X có dạng:()
x n x
M N M
n
N
CC
px
C
−
−
=
Tính chất:. ; . . 1 .
1
−
= = −

−
M M M N n
EX n DX n
N N N N

22. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
22
Định nghĩa:
Mô hình:
Xétdãynphépthửđộclậpvớixácsuấtđể
biếncốAxảyratrongmỗilầnthựchiệnphép
thửlàp→SốlầnbiếncốAxảyratrongnlần
thựchiệnphépthửtuântheophânphốiB(n,p)
X B(n; p) nếu hàm xác suất của X có dạng :  , x 0,1,..., n( ) (1 )
x x n x
n
p x C p p
−
= − 
Tính chất:
EX = np; DX = np(1-p);
np + p –1 ModX np + p

23. PHÂN PHỐI POISSON
23
Định nghĩa :
Mô hình : SốlầnxảyrabiếncốAtrongkhoảng
thờigianTtuântheophânphốiPoisson
XP()nếuhàmxácsuấtcủaXcódạng: ( ) ,
!


−
=
x
e
px
x
, x 0,1,2...λ > 0
Tính chất :EX = ; DX = ;
-1 ModX 

24. 24
LƯU Ý

25. VÍ DỤ 7
25
Đểthanhtoán1tỉđồngtiềnhàng,mộtkháchhànggian
lậnđãxếplẫn50tờtiềngiảvớicáctờtiềnthậtmệnhgiá
500.000đồng.Chủcửahàngrútngẫunhiên(khônghoànlại)
30tờtiềnđemđikiểmtravàgiaohẹnnếupháthiệncótiền
giảthìcứmỗitờgiảkháchhàngphảiđền10tờthật.
a)Tínhxácsuấtngườikháchnàybịphạtítnhất20trđồng
b)Tínhsốtiềnphạttrungbìnhkháchhàngphảitrảvà
phươngsaicủasốtiềnphạtđó.

26. VÍ DỤ 8
26
Mộtđềthitrắcnghiệmkháchquancó50câuhỏi,mỗi
câucó4đápántrongđóchỉcó1đápánđúng.Thísinhtrả
lờibằngcáchchọn1đápánchomỗicâuhỏi.Mỗicâutrảlời
đúngthísinhnhậnđược2điểm,trảlờisaithìbịtrừ1điểm.
ThísinhAđãtrảlờitấtcảcâuhỏibằngcáchchọnngẫu
nhiênđápán.
a)Tínhxácsuấtđểngườiđóđượcítnhất20điểm.
b)Tínhđiểmsốtrungbìnhcủathísinhđó?Phươngsai?

27. VÍ DỤ 9
27
Mộtchủgaracó4ôtôchothuê.Giảsửsốyêucầuthuê
xetrongmộtngàylàĐLNNXP(2,5).Mỗixeđượcthuê
vớigiá1triệuđồng/ngày,chiphícốđịnhchocả4xelà
1,2triệuđồng/ngày(chodùxecóđượcthuêhaykhông).
GọiYlàtiềnlãimàchủgaracóđượcmỗingày.
a)HãylậpbảngphânphốixácsuấtcủaY.
b)TínhEY, DY.
c)Tínhxácsuấtđểchủgaracólãi.

28. PHÂN PHỐI CHUẨN TẮC (GAUSS)
28
Định nghĩa :
Tính chất :
Đồ thị :
xO( ) 1x dx
+
−
=
XN(0;1) nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng:
Hàm (x) là hàm chẵn.
EX = 0; DX = 1; ModX = 02
2
1
( ) ,
2
x
x e x

−
=

29. HÀM LAPLACE
29
➢Hàm 
0(t) là hàm lẻ và 
0(t) 0,5, t4
➢Nếu X N(0;1) thì :
Định nghĩa :2
1,25

2
0
0
1
(1,25) 0,3944
2
x
e dx

−
 =  
Tính chất :
x
O0
()t t00
( ) 0,5 ( ); ( ) ( ) 0,5P X P X    = −  =  + 00
( ) ( ) ( )PX     =  − 0
( ) 2 ( )P X t t = 

30. GIÁ TRỊ TỚI HẠN
30
x
O u
 ( ) ()
0
0,5P X u u

 =   = −

31. PHÂN PHỐI CHUẨN
31
Định nghĩa:
Tính chất:
Đồ thị :
xO
EX = ; DX = 
2
; ModX = 2
( ; ) (0;1)
X
XY



−
=NN
XN(; 
2
) nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng:2
2
( - )
2
1
( ) ,
2
x
f x e x



−
=

32. 32X
Y


−
=
x
b
μaP(a X b)
b
μP(X b)
xP(a X)
xa
0 yb

−
y0a

−
y0a

− b

−

33. 33( )
0
0,5
a
P X a


−
 = − 

 ( )
00


−−   
  =  − 
   
   
ba
P a X b ( )
0
2




−  = 


PX
Nếu XN(; 
2
) thì:( )
0
0,5


−
 = + 


b
P X b

34. VÍ DỤ 10
34
TrọnglượngcủamộtloạitráicâylàĐLNNtuân
theoquyluậtphânphốichuẩn,vớitrọnglượngtrung
bìnhlà1kgvàđộlệchchuẩnlà150g.Tráicâyđược
gọilàloạiInếutrọnglượngcủanólớnhơn1,2kg.
a)TínhtỉlệtráicâythuộcloạiI?
b)Ngườitachọnngẫunhiên10tráicâyloạinày.
Tínhxácsuấtđểchọnđượcítnhất3tráiloạiI.
c)Tráicâycótrọnglượngsailệchsovớitrungbình
khôngquá300gchiếmbaonhiêu%?

35. VÍ DỤ 11
35
Giảsửlãisuất(đơnvị:%)đầutưvàomộtdựánlà
ĐLNNtuântheophânphốichuẩn.Biếtrằnglãisuấtcao
hơn20(%)cóxácsuất0,15vàlãisuấtcaohơn25(%)có
xácsuất0,05.
a)Tínhlãisuấttrungbình?Phươngsai?
b)Tínhxácsuấtđểđầutưkhôngbịlỗ?

36. MỘT SỐ LƯU Ý
36
2)Nếu X
1N(
1;
1
2
) , X
2N(
2;
2
2
) và X
1, X
2độc lập thì2
1
1
;


=

= 


n
i
i
XX
nn
N
3)Nếu X
iN(;
2
), i =1,…,n và các X
iđộc lập thì : 22
(a ; )aX b b a++N
1) Nếu X N(;
2
) thì 22
1 2 1 2 1 2
22
1 2 1 2 1 2
( + ; + );
( ; + );
XX
XX
   
   
+
−−
N
N

37. MỘT SỐ CÔNG THỨC XẤP XỈ
371-
( ) ( )
k np
P X k
npq npq
=
NếuXB(n,p)màpkhôngquágần0;1vànkhálớn
(np5vàn(1-p)5)thìtaxấpxỉXN(np,np(1-p))
trong đó:
(x) là hàm mật độ xác suất của N(0;1)

0(x) là hàm Laplace00
--
()
   
    −   
   
   
b np a np
P a X b
npq npq

38. BÀI TẬP 1
38
Cóhaikiệnhàng:kiện1chứa7sảnphẩmloạiIvà
8sảnphẩmloạiII;kiện2chứa10sảnphẩmloạiIvà5
sảnphẩmloạiII.Chọnngẫunhiên2sảnphẩmtừkiện1
và3sảnphẩmtừkiện2.
GọiXlàtổngsốsảnphẩmloạiIđượcchọn.
TínhEX,DX.

39. BÀI TẬP 2
Sốkháchtrênmộtôtôbustạimộttuyếngiaothônglà
ĐLNNcóbảngphânphốixácsuấtnhưsau:
Sốkhách(X)20 25 30 35 40
Xác suất 0,2 0,30,150,10,25
Giảsửchiphícốđịnhlà200ngànđồng/chuyếnxe.
a)Nếugiávémỗikháchlà15ngànđồngthìlợinhuận(Y)
trungbìnhchomỗichuyếnxelàbaonhiêu?Phươngsai?
b)Muốnlợinhuậntrungbìnhchomỗichuyếnxetốithiểu
là300ngànđồngthìphảiquyđịnhgiávélàbaonhiêu?

40. BÀI TẬP 3
40
Mộtlôhàngcó100.000sảnphẩm,trongđócó60.000
sảnphẩmloạiI.Chọnngẫunhiên(khônghoànlại)từlô
hàngđó100sảnphẩm.Tínhxácsuấtđể
a)Chọnđượcđúng30sảnphẩmloạiI
b)Chọnđượcítnhất30sảnphẩmloạiI

41. BÀI TẬP 4
412,5
0 ; 1
()
. ; 1
x
fx
k x x
ThunhậpcủangườidântạimộtquốcgialàĐLNNliên
tụcXcóhàmmậtđộ:
a)Tìmk?
b)TínhEX,DX?
c)Top5%ngườidângiàunhấtquốcgianàycómức
thunhậplàbaonhiêu?

42. BÀI TẬP 5
42
Thờigianbảohànhsảnphẩmđượcquyđịnhlà5năm.
Vớimỗisảnphẩmbánra,cửahànglãi150USD.Tuynhiên,
nếusảnphẩmbịhỏngtrongthờigianbảohànhthìcửa
hàngphảitrảchiphí500USDchoviệcbảohành.
BiếtrằngtuổithọcủasảnphẩmlàĐLNNtuântheo
luậtphânphốichuẩnvớituổithọtrungbìnhlà7,2năm;
độlệchchuẩnlà1,8năm.
Tínhsốtiềnlãimàcửahàngkỳvọngthuđượckhibán
mỗisảnphẩm?Phươngsai?

43. BÀI TẬP 6
43
KhốilượngcủacácsảnphẩmAlàĐLNNtuântheo
luậtphânphốichuẩnN(1000g;900g
2
).
a)ChọnngẫunhiênhaisảnphẩmAtừmộtlô
hàng(rấtnhiềusảnphẩm).Tínhxácsuất“tổngkhối
lượngcủahaisảnphẩmđóítnhấtlà1900g”.
b)Chọnngẫunhiên100sảnphẩmAtừmộtlôhàng
(rấtnhiềusảnphẩm).Tínhxácsuất“khốilượngtrung
bìnhcủa100sảnphẩmđókhôngquá995g”.

44. BÀI TẬP 7
44
Mộtlôhàngcó20000bóngđèn,trongđócó8000
bóngcótuổithọkém.Chọnngẫunhiên(khônghoànlại)
300bóngđèntừlôhàng.Tínhxácsuấtđể
a)Chọnđượcđúng130bóngđèncótuổithọkém.
b)Chọnđượcítnhất130bóngđèncótuổithọkém.

45. BÀI TẬP 8
45
Cóhaikiệnhàng:kiện1chứa7sảnphẩmloạiIvà
8sảnphẩmloạiII;kiện2chứa10sảnphẩmloạiIvà5
sảnphẩmloạiII.Chọnngẫunhiên2sảnphẩmtừkiện1
và1sảnphẩmtừkiện2.
GọiXlàtổngsốsảnphẩmloạiIđượcchọn.
a)LậpbảngphânphốixácsuấtchoX.
b)TínhEX,DX.