Calculo Diferencial

Introducción

1. Í CONOCIMIENTOS FUNDAMENTALES DE
MATEMÁTICAS
¿ CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

2. Conocimientos
Fundamentales de Matemáticas

Cálculo Diferencial e Integral

3. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO.

Dr. Jus Ramin dela Fue

Mira Dans Barra Pérez

Dra Rosa Rois Gutérez
Mtro Jo Antoni Vea Capel
Muro Jorge as López
Mtra. Mara de Lourdes Sánchez Obregón
Mira Rito Terán ein
ra, Carmen Villatoro Alvaradejo
Ceres
Dr. Alejandro Pay Baruch
Dr. Francisco Cervantes Prez
Le Néstor Marine Cristo

Colección Conocimientos Fundamentales

st colección e parte de un program de fa UNAM orientado
a producin de ros y mates digas par cl tocho

4. Colección Conocimientos Fundamentales

Conocimientos
Fundamentales de Matemáticas

Cálculo Diferencial e Integral

M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza
(Coordinadora)

M.en C. Elena de Oteyza de Oteyea
Profesora dela Faculad de Ciencias UNAM.

Men C. Emma Lam Osnaya
Proteome ua de Cienc UNAM

Dr. Carlos Hernández Garsiadicgo
Investigador de Istituto de Matemáticas, UNAM

Moen C. Ángel Manuel Carilo Hoyo.

Investigador de Instituto de Matemáticas UNAM

Universidad Nacional Autónoma de México
México, 2006

5. Tar aap oS

o recae pat

PEARSON EDUCACIÓN, Mi, 28

À no

Pama: 212700 Pags a

Programa Conocimientos Fundamente pra la Esas Meda Superior

ens ma ent iD to Apt hae
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ES
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DR UNIVERSIDAD RACIONAL AUTÓNOMA DE MEXICO
ae

PRIMERA EDICIÓN mé

Si Nano de Js Eds de Meo

Rosado to derch Ni tt ue de eta een poc pr
dane reparer, or een ercer enema ot
ns oma or nn ma ns mein, tag martin
Esra pan cl sl pomo po PS

PEA]

Educación

6. Presentacion

El saber en
roll, tanto individual como socal, constitue una condición necesaria para el
‘recimiento, a democracia, a equidad yl libertad
nel contexto dela sociedad del conocimicnt, la formación media supe
roe se ha convenido en un tema de atención prioritaria para las instituciones
educativas Sus nuevas tendencias oportunidades y posibilidades su función de
enlace entre los niveles básico y profesional y su Situación estenigica en el pro
¿eso formativo, dotam al bachillerato de un gran potencia
libro que tienes en us manos es product de un muy estimable esfuerzo
echo por a Universidad Nacional Autónoma de México para foralcer a a:
shillerato. Forma parte dela Colección Conocimientos Fundamentals par la
enseñanza media Superior, concebida bajo la visión de que los acelerados cam.
os y transformaciones de as ültimas décadas cn ls diversos campos del saber
y del quehacer humano, deben reflejarse en los contenidos educativos del siglo
que inicia. En tl sentido, este ciclo de estos está siendo objeto de un profun
So análisis
los aspectos que, sin duda, impulsará al bacilleatoestn su ar
lación orgánica con ls etapas educativas posteriores el establecimiento de es
Arategis de atención a requerimientos pedagógicos especificos: a modificación
curricular sustentada en el perl de egreso yen los conocimientos relevantes y
pertinentes que requiere el estudiante; el mejoramiento dela docencia. a in
‘corporacion de muevas tecnologías ala enseñanza. aprendizaje en esta etapa,

7. "

Conocimientos Fundamentales de Matemáticas

‘Con base en lo anterior, la Seretría de Desarrollo Insútucionl, en co
oración con la Escuela Nacional Preparatoria, el Colegio de Ciencias y Huma
nidadesy el Consejo Académico de Bachilrato dela UNAM, ha emprendido.
in programa conducente à replantear los contenides temáticos de las disciplinas
que e imparten cn este nivel de studios.

Los libros y materiales de la Colección Conocimientos Fundamentales para
la enseñanza media superior son el punto de partida para stablecer los cm
tos de una formación que, cectivamente, Le proporcione una cultura gener
interdisiplinaria y de capacidades espece para que puedas responder alas
exigencias de un entorno cada vez más complejo y demandante. Dichos conoci
mientos además de la hablidades y valores correspondiente, deben preparan
también para el aprendizaje alo largo de 1 via.

La Colección cuenta con la participación de destacados académicos de la
Universidad, en el marco de un programa institucional destinado a rendir sus
mejores frutos en beneficio de los jóvenes del bachillerato en México y en
‘America Latina,

Rector dela Univeral
[Nacional Aunoma de México

8. Prefacio

La Secretaria de Desarrollo Institucional, en colaboración con la Escuela
Nacional Preparatoria, el Colegio de Ciencias y Humanidades y el Consejo
Académico del Bachillerato de la UNAM, emprendió la tarea de reexionar 0
bre los contenidos temáticos dela disciplinas quese imparten en el bachiller
to, bajo la premisa de que la enseñanza media superior tiene como objetivos
principales la formación de estudiantes que coninien sus estudios en a licen.
Siatur y el posgrado, con posibilidades reales de incorporarse ala vida laboral
con un claro compromiso social

Las disciplinas elegidas para trabajar en una primera etapa fueron: biologi,
filosofía, ic, geografía. matemáticas Heratra y química Se formaron grupos
¿e trabajo integrados por profesores del bachillerato, la licenciatura y el posgrado,
¿ue definieron los conocimientos fundamentales de cada disciplina, en función
de su desarrollo reciente, de su pertinencia en el marco dela enseñanza media
Superior y del impulso a a interdiciplina.

'deinición de los conocimientos fundamentales tiene como fin el deter
mina os seres básicos e imprescindibles con que los estudiantes deben conta
Al término del ciclo de Dachilerato y proporcionara los alumnos una cul
general de la disciplina, que les permita estar preparados para incursionar
nuevos espacios del sae.

Una vez establecidos tales conocimientos se integraron grupos de trabajo
más amplios para clabora os contenidos delos libros, e los discs compactos
y de la página web, que son los res materiales de apoyo at formación que in
‘luye ete programa. Estos se insertan en cl marco de la Colección Conocimien-
os Fundamentales para que puedas usarlos con la orientación y apoyo de tus
profesores.

9. va

Conocimientos Fundamentales de Matemáticas

La definición y la producción de los materials de eta Colección, coms
con la amplía participación de la Escuela Nacional Preparatoria, el Colegio de
Ciencias y Humanidades el Consejo Académico del Bachillerato, la Facultad
de Filosofia y Letras a Facultad de Ciencias, la Facultad de Química, el Ins
tiuto de Ecologia, el Instituto de Geografía, el Insituto de Investigaciones
Filosôfeas cl Instituto de Matemáticas el Instituto de Fisica, el Instituto de
Investigaciones en Materiales el Centro de Ciencias Físicas la Dirección Gene.
ral de Servicios de Cómputo Académico, la Coordinación de Universidad
Abierta y Educación a Distancia, la Dirección General de Actividades Cinema
tográfics la Dirección General de Divulgación de la Ciencia, la Direción
General de Televisión Universitaria ya Direeiön de Literatura. También con.
ivibuyó en la area un selecto grupo de miembros de la Academia Mexicana de
Ciencias quienes hicieron sugerencias para mejorar los materiales A todos
ellos muestro reconocimiento y gratitud,

El Programa de Fortalecimiento del Bachillerato, del que forma part la
Colección Conocimientos Fundamentales cs una iniciativa de la UNAM des
ada a apoyar y fortalecer los estudis de bachillerato en lengua española.

‘Con esta primera serie de libros y materiales para siete disciplinas nues:
tra Universidad inca esta Colección que habrá de enriquecerse con una serie
de muevos ttulos realizados con la calidad y el profesionalismo propios de
nuestra Casa de Estudios Están dirigidos a los maestros y estudiantes del nivel
medio Superior

Serra de Desarollo Inch.

10. indice

Presentación...
Prefacio.
1
Funciones.… A à
Modos de expresa la regla de conespondendia de una ande 6
Tualdad de funciones 8
Sir. 5
Módulo 2 Funciones reales de variable real... u
Funciones reales de arable ED oca = EN),
‘domino natural. 2
Bros nn — 1
Gita de una Fam = e 14
Ejercicios 20

Módulo 3 Funciones de uso frecuente.

Cas especials.
Funciones aigebraics
Funciones trascendente
Ejercicios.
Módulo 4 Operaciones con las funciones arc À)
Operaciones on since = sk = = en
Bris …- rn = <M e
Composición de fundonts = a 2 En
"res = = El
Resumen... . z um z I
Ejercicios de repose 5
Módulo 5 Continuidad de funciones……….… 5e
Continua E ES e
Continuidad de algunas funciones de uso frecuente. = ®
Continuidad de ls funciones: ineales x on 219 à = 6
Continuidad delas funciones seno y coseno. 6
Operaciones con funciones connus. Soe E
(Ota funciones continu de u recuente Z mm 7
Funciones polinomiles. zo
Funciones acionals y con n entro a
Ejercicios a
Les ales z = 2

11. Conocimientos Fundamentales de Mateméticas

Funciones trigonométricas.
Función valor absolute i

Compos de funciones continuas Z
‘Gemplo de una función queno es continua en un punto de sy dominio...
Bericos

La gráfica en un interval de una función continu z Z ii
Ejercicios =
Ejercicios de repos

Apéndice…" = y =
‘Comentarios sobre la defvición de función continua. =
"Demostraciones de 1a continuidad de algunas e la funciones de u cute
Pruebas defo continuidad de funciones obtenidos al operor cn funciones contin.

eegeggaeeeaan

Módulo 6 Límites de funciones.

mios z = 2
"mine tere
Propiedades de ls limites
Boris

Formas indeterminada dei tipo 00.
Usando foctorizació.
Beraicos
Multlicando por el conjugado
D nn
Limites de composiciones
Bers
mite que incor a 55
Resumen,
Ejercicios de repose

Môdulo 7 Derivada de una funcén..
Bras
La dernada como función. =
Propiedades algebraicas de la desa

ers
Derivadas de a funciones trigonométicas ne = m
"ers 137
Regla dela cadena = = a a 1
ers. = m E a = Ts
Razón de cambio nn Z 7 LIT 10
Ejercicios a = 2 z Bee
Resumen. 147
Brico de repaso. u pa
APO = Se
Módulo 8 Funciones inversas y sus derivadas.. 17
Funciones inves. Se er,
‘Grates de fy Pi ‚a
Funciones trigonométricas INS nn _ Le
Dernada de ls funciones inversas tigonomátrics 169
Gros 168
Resumen." ae <M we
Apéndice 2 = wo

"Derivadas de las funciones Wigonométicas Ian A

12. Indice a

Médulo 9 Máximos y mínimos.

Funciones crecientes y decrecientes... = = we
Ejercicios... E 192
Máximos y minimos. = en A -
"ero de la primera da 194
Ejercicios iss
Gier del segunda devade… 3 ie 1
Birds... m
Pre > = = = m
Introducción. rl
Ejercicios core 194
Problemas de máximos y minimes 195
Ejercicios 200
Resumen. RE = 201
Ejercicios de repaso 202

Médulo 10 Límites infinitos y al

Lites ifinitos y asínttas verticales 206
Bris sus =; 2 22
Limites ene fin. 3 Son ae
Asntotas horizontales y Im 100 = Lo Jim FO =U 22
Ejercicios. 28
Lites infinitos en infin. 28
Astor oblicuas de funciones anal nn az
Bir. = 24
Format indeterminadas =~ = = = = 22
Encontrando el denominador am 2
‚Mutiande por el cojugado. 2
Regla de Ropa! = es = Sn me
a = en a
Resumen. 25
DS Ge pag ze

Médulo 11 Logaritmos y exponendales..
El logaritmo natural y el niet €...
Propiedades
Función exponential
Propiedades del función exponen.

Brio.
Unites con logaritmos y esponendales...... e 25
Ejercicios 26
a para à > Oy x un número real culguies = = er
eyes de fos exponents un _ NN 2e
La función (a con binacional can e
Funciones logartmicas y exponendales.- man Se
Bris... — - _ 233
Ecuaciones logaritica y exponencial E 2
Ejercicios 2
Apicationes… = = = 2
E interés compuesto... E TS 255
«Comportamiento exponencial =. E = m
Ejercicios 20
ET Es eae |
"Resumen. 2
Ejercicios de apaño... | LIT 28
Akne ee

"Demostraciones delas propiedades de a Funden logartmo natural. 267

13. Conocimientos Fundamentales de Mateméticas
Demostración de as propiedades del función exponen nn Ed
Demostración de as propiedades de las funciones agents 22

Módulo 12 La gráfica de una función.
Concavidad de una función
eros. u
Gráfica de una función. =

eros de separo.

Módulo 13, La integral

Atiderivados
Bericos
cambio de variable,
Ejercicios
Resumen.
Eierios de rep 509
Médulo 14 La integral definida an
Introduction" CT Z Z © ge
ers EN
Interpretación geomrca dela integral dei" I 8
Teorema fundamental dei ciclo - av
D SEITE = Em
Aplicaciones dela integral. = = Sm
“aren entre dos comas E
Longiud de cuma, ee Zr |
Gcricos 2
Moviment Be
Volimenes de solidos de revolución nn = 2 2
Tabs. Ed
eras E
Resumen. El
ere de e950 nn ne = m
Módulo 15 Métodos de integradiôn.………. en E
Integración por partes. = = = mn
Integración por partes “Tapa ocacion 2
Bercicos 30
integración por sustitución wigonamévica ani = En
Berios. Se
Integración por facciones pardas... 5 >
"Caso 1 El denominador es un product de faiores de grado Uno inter" MS
Caso 2 El denominadores un product de factores de grado uno, algunos
"dees cuales e repiten De 348
¿Caso 3 En el denominador hay uno o más actores autos
reduce distintos ast
aio 4 En el denominador hay factors cuadras edibles,
‘algunos de os cuales se repiten 25
Ber, = 2 = nm
Integrales con funciones gomme" 3 = um
Berdicos. je

Brico de separo =

14. Indice 2

Médulo 16 Programas de cálculo smbölley el cleulo diferencia integral
Scientii Workplace
Mathematica
Maple = = zt = = =

Apéndice, Respuestas delo ejercicios impares.
Funciones. :
reis de a página 9.
Funciones reales de variable teal =
Ejercicios de a página 14
Ejercicios de a página 20,
Funciones de uso frecuente. = =
ricos deo página 41
‘operaciones con las funciones = =
"irre a página 43
Bros de a página 5.
Ejercicios de repaso de la página 58
Continua
Ejercicios de fo página 73...
lenis de a página 83
Ejercicios de a página 86
Ejercicios de repaso de la página 87...
Lites de fundones de >
Bris de a página 109.
Ejercicios de la página 113...
Ejercicios de a página 115
Ejercicios de a página 117.
Bros de a página 121
Lecce de repara de a pina 12.
Derivada de una función...
‘ves de o página 128.
Ejercicios de a página 136
Ejercicios de a página 137.
Ejercicios de a página 139.
Ejercicios de a página 146.
Aeris de repaso de la página 148 E

88

Funciones inversas y us derladas + = = DÉS
Ejercicios de a página 169. et E
Máximos y minimes. . \ 330
Bros de a página 182 E43
Ejercicios de a página 18. E
Ejercicios de a página 191. E]
Frios de a página 194 ES
Ejercicios de a página 200. 33
Ejercicios de repaso de la página 202 ns ET goa
Unites infinies yal info. = = = 2 z sa
Ejercicios dela pagina 212 En
Ejercicios de la página 218... 386
Ejercicios de a pagina 224 38
Ejercicios de la página 234........... = = ass
Ejercicios de repaso de la página 236 ‘oo
la gráfica de una funcon = ca = 5 pr
Ejercicios dela página 279, sos
Ejercicios dela página 297. =
Birds de repaso de la página 290 os
Logarimos y exponencial sos
Ejercicios de a página 244 208
Flercics de a página M6 sos

15. Conocimientos Fundamentales de Mateméticas

Ejercicios dela página 253... . au 408
Ejercios de I página 255 2
ere de 1a página 259. LT os
ÉTUDE repaso de la página 265 nn =

La inter 2
‘eros defo págino 304 a)
Ejercicios de 1a pâgine 308. er
Ejercicios de repaso de la página 305 2 0

La integral definido le \ \ \ ua

=
so
a2
a
pr
a
as
as

Berios dela página 313
Ejercicios de a página 318... 5 E =
ere delo págino 224
Ejercicios de lo página 330 E :
Ejercicios de repaso de la página 332 u

Métodos de integración
Ejercicios de a página 30... =
Bericos delo págino 34
Ejercicios de 1a página 38
Ejercicios de a página 362... ® €
Ejercios de repaso de la página 364

Indice de materias.

16. MODULO 1

Funciones

curso de Cálculo Diferencial e Integral empieza con el estudio de las funciones. Supondremos que los
lumnos ya conocen los números reales, las propiedades de las operaciones aritméticas y su interpreta
ón geométrica en a rec pr
geométrica de las ecuaciones de primer grado como rectas el plano.

El studio básico de las funcione se lleva a cabo en los primeros cuatro módulo del texto. En ete primer
módulo se introduce la definición de función como una rela de correspondencia entre elementos de dos con
juntos, que normalmente serán conjuntos de números reales, Esta regla puede d
Fórmulas algebraicas. En los siguientes módulos se estudia la gráfica de una función y sede una clasificación
de as funciones más importante, y se inroducen las operaciones entre funciones.

También suponemos que conocen el Plano

ación

se mediante

17. 2 Modul + Funciones

Funciones

En una tienda de abarrotes Ta ganancia por la venta de cada barra de chocolate es de 40 centavos. Elabora una
tabla que nos indique la ganancia obtenida, en pesos, por la venta de 1 hasta 10 barras. ¿Cuál ser la ganancia
al vender 200 barras de chocolate?

Hacemos una tabla de dos columnas; en la primera indicamos el número de baras y en la segunda la cantidad
de pesos recibida como ganancia al vender esas barras:

Ganancia
en pesor
040
00
120
160
200
240
230
320
360
400

‘Al observa la regla que hemos seguido para formar esta tabla, podemos responder que la ganancia por una
‘vena de 200 barras es de 80 pesos
En general, a ecuación
£()=040%
os da la ganancia (en pesos), que por razones obvias llamamos £, que e obtiene al vender x harras de cho-
colas.

En el ejemplo anterior vemos que a cada cantidad de barras vendidas se le asocia una ganancia, de modo tal
que a cada cantidad de barras vendidas le corresponde un valor único de la ganancia

En multiud de situaciones y sucesos de muy diversas característica el hombre ha podido percatarse que los
valores de una cierta cantidad y dependen, del modo anteriormente descrito, de ls valores de otra cantidad x,
es decir: a cada valor de x le corresponde un único valor de y

En uno de los módulo siguientes se darán muchos ejemplos al respect; por ahora podemos mencionar los
siguientes:

+ El área yde un cuadrado depende de la longitud x de su lado:

y
+ Larapidez y con que un cuerpo recome una distancia de 10 Kilómetros depende del
ara hacero:

-mpo que emplea

18. + funciones 3

En todos estos casos decimos que y varía con x y de manera más precisa decimos que yes una función de x:
Además, y es entonces llamada la variable dependiente yx a variable independiente

‘Una de nuestras herramientas más poderosas para entender nuestro entomo esla colección de fórmulas
‘que hemos podido establecer para relacionar diversa cantidades que nos interesan en momentos o situaciones
particulares

Lo anterior lev a introducir la noción matemática de función. De una manera un tanto informal decimos:

Se establece una función de un conjunto À en un conjunto cuando se da una regla (criterio ley) a través
¿de a cual asociamos a ada elemento x de A un único elemento y de 8; a dicha regla se le denomina la regla
de correspondencia ode asociación de la función y sele denota por una letra, digamos f. Todo eto se resume
on la siguiente notación

SAB.

Observamos que para tener una Función, debemos contar con 2 conjuntos, que pueden ser iguales entre
y una regla de correspondencia con las características antes deserias. Cuando no hay lugar a confusión,
os referimos a una función mediante la letra que usamos para su regla de correspondencia; por ejem.
plo, en el caso que nos ocupa podemos hablar simplemente de la función /. El conjunto A es llamado et
dominio de la función y para señalarlo escibimos Dom f = A. El conjunto B es llamado el codominio o
contradominie dela función.

Se acostumbra denotar por fix) al elemento y de B que está asociado al elemento x de A a través de f
‘samo ls sgl open pr emo a A Jens. alor que tomen sy limas

En el ejemplo intoductorio tenemos una función cuyo dominio es el conjunto.

9.10),

su codominio es

(040.050.120....100)

y la reglade correspondencia fs: a1 asociarle 0.0, a2 asociarle 0,80, etcétera. Es decir

10

40,502

00,/(3)=1.20.../10) =4.00,

Cuando se tiene una función f : AB yxen A, también se acostumbra de
transforma a x en fx) y escribe x => f(x)

La primera de estas dos últimas expresiones nos sugiere usar a siguiente: fenviaalos elementos de A en B
y nos leva a considerar que la función es un utensilio que ena, “dispara” o “proyecta” objetos de un conjunto
Sobre objetos de oro conjunto; esto queda reflejado mediante el siguiente diagrama, mismo que con frecuencia
se usa para indicar que hay una función £ A > B

que fenviaaxen An of.

19. 4 Méduo 1 + Funciones

F
AN
Ú ‘

Figura 1

La segunda expresión: fransforma a x en (x), d la dea de que una función actúa a manera de un artefacto que
al introducirlo un elemento de un conjunto A produce un elemento de un conjunto, de la misma manera que
‘una máquina transforma ls insumos en un producto final, Todas estas imágenes son aceptables si nos ayudan
a manejar el concepto de función.

Ejemplos

1. Determinar si el siguiente diagrama corresponde a una función del conjunto A, que tiene tres puntos, en el
conjunto de B, que consta de cuatro.

Como a cada elemento de A se le asocia un único elemento de B, entonces el diagrama sí corresponde a
una función. El hecho de que hay un elemento en B que noes el asociado de un punto de À no contradice la
definición, pues en ésta no se exige que cada elemento de B sea el asociado de un elemento de A.

2. Determinar sel siguiente diagrama corresponde a una función

20. + funciones 5

‘Como cada elemento del conjunto A, compuesto por 4 puntos, tiene asociado un único elemento de 8, en
tonces. diagrama sí corresponde a una funció.
En este ejemplo sucede que dos elementos de A tienen asociado el mismo elemento de B,

3. Determinar sel siguiente diagrama corresponde a una función

AN

Figura 14

Puesto que hay un elemento del dominio que tiene asociado dos elementos del contradominio, distintos
entre sel diagrama no corresponde a una función.

Para cualquier función fi À -> B.definimos la imagen o rango de la función f como la colección de
todos los elementos fx), con xe A, s decir, todos aquellos elementos de que fueron los asociados alos
elementos de A. Este conjunto se denota porta) o bien Im.

Es claro que Im fes unsubconjunto del codominio B y puede suceder que Im sea un subconjunto propio
‘el codominio, es decir, que sea un subconjunto del codominio que no coincida con él lo cual se denota por
Imf G 8; tales el caso para la función representada en la siguiente figura:

Aquí Im fes un subconjunto propio del codominio.

21. 6 Méduo 1 + Fuciones

Modos de expresar la regla de
correspondencia de una función

1. Modo Tabular. Este cs el modo más explícito; en él se especia individualmente el asociado de cada
lemento de A. El nombre de modo tabular, se justifica por lo que se dice en el siguiente ejemplo, que nos
recuerda al ejemplo invoductori.

Sea $: (1.2.3) >(-1.0,1,3,6,7,9,13) la función cuya regla de correspondencia esla que hace las siguien-
road
2 + 3
3 + 6
Lo anterior equivale a dar la siguiente tabla:
Ju
1 1
2 3
3 6

En este ejemplo, el dominioes A= (1,23) y el eodominioes B= {-1,0.1.36.7.9.13)

Obervanas:
+ nla primera lu deben parce una sola ez, todos os elementos del dominio, per enla segunda
columano es ascesaroque estén todos os cementos eB Est suació queda representada ene diga:

+ Los elementos de a segunda columna so aquellos elementos de que from asociados a alé cle-
ment de A Recortamon qu dichos clementos de consuyenelcojuno Im llamado la imagen o
rango dela función En ste caso Im =[1.0),

+ En general dar un tabla de dos columnas, dnde en I primera dees no hay elementos repetidos,
se sable un función tal que dominio et fornado poros elementos que apacoen e a primera
olamna: su imagen e e conjunto formado por Los elementos dela segunda y a wala de asociación
fa qe relaciona a cada elemento xd a primer columna con el elemento x) que sen e mismo
venglón. Encl ejemplo ateiortcnemos: {DL /(2)233 /6)

Ejemplo

Decidir si la tabla determina una Función yde ser sí, establecer su dominio, imagen y regla de asociación

2

=s

22. + Modos de expresara egadecomespondencia de una función. 7

{Como en la primera columna no hay repeticiones, entonces sí det
El dominio de la función es:

ona función.

6}.

Et rango o imagen es:

34.6)

y la regla de comespondeneia fes la que hace las siguientes asociaciones

>
Soo 4
223
224
6 43

2. Mediante una fórmula. En este modo, la regla de correspondencia se e
pueda ser evaluada en cada elemento x del dominio, de manera que es
único = JU).

El siguiente es un ejemplo de este modo de presentarla regla de correspondencia

Consideremos la función :N = N, cuya regla de correspondencia es
mula establecemos la regla consistente en asociar a cada natural x su doble 2x
ral en particular: /(1)=2, f(7)= 14 etcétera

En este ejemplo, el dominio y codominio de la función es el mismo conjunto: el de los números natura»
Les: en tant que, a imagen es el conjunto formado por ls pares positivos,

Es claro que para esta función es más cómodo este modo de dar la regla de asociación que el tabular.

sa mediante una fórmula que
Jacin produzca un resultado

Ejemplo
Desir la fórmula

“Al evaluar el ado derecho en un real cualquiera x obtenemos un único número real +1.
Por tanto, tenemos que la fórmula sí determina una función de los números reales en sí mismos, que según
ella a cada nal xse le asocia el mal f(x) = x +

= +1 determina una función de los reales en sf mismos.

Porejemplo, ((-1)=0, /(0)=1. (3) V5 + Letetera

3. Mediante una combinación de fórmulas, Podemos parti al dominio en varios pedazos, ajenos entre sí, y
sar en cada uno de ellos una fórmula para obtener los valore asociados a sus elementos

23. 8. Modul + Funciones

Por ejemplo, el conjunto de equipos participantes en la Primera División de la Liga Mexicana de Fútbol está
dividido en 3, que lamamos grupos: 1, 2 y 3. La función que asocia a cada equipo su número de grupo se
escribe del modo siguiente:

2 sixe {Atlas C. Azul, Guadalajara, Puebla, Toluca, UANL].

1 six (América, Atlante, Morelia, Sinaloa, UAG, UNAM}
Je
sie {Chiapas, Monterey, Necaxa, Pachuca, Santos Veracruz}.

Aqui wsamos las fórmulas:

|. y= 2 ÿ y=3 Según el pedazo del dominio que estemos considerando.

Ejemplo
Encontraras imágenes correspondientes alos valores x = 4. x=2 y x=7 para la función definida por:

+1 sixel-62)
er sixe[27)

$

En este cas el domini está compuesto por ls conjuntos [-6,2) y [2]; es deci dominio es lime
do [-6.7] =[-6.2) [2.7] En el pedazo [-6,2) sews a Hala y = +1 y pura la porción [2,7] s usa

+ —4e[-6,2)portano, usamos la fórmula f(x
1)

+ 2 ¢[2.71 portamo, usamos la mule (x
10-=2U2)=4

+ 7 [2.7], portant usamos a fómmua f(x
SO=AD)=14,

A toda función cuya regla de asociación esté definida según ete tercer modo se le denomina funciön com.
Binada o función a pedazos,

Igualdad de funciones
Decimos que dos funciones Y yy on wales si
1) Tienen eh nino dominio
1) Tienen ta misma rep de comespondene es dei,
Ss)= ale)
pan todo x enel domino

Ejemplos

1. Determinar si as funciones y g son iguales, sí

10)

Domf=I0:). —— gl)= Ve: Domg=[0.2).

24. + Modos de expresara egadecomespondencia de una función 9

Las funciones tienen el mismo dominio, entonces sólo debemos ver sl regla de correspondencia es la misa.
Para x20 es lo mismo x" que x entonces

HONTE

Por tato, las funciones son iguales.

vague x20,

Hacemos dos observaciones respeto a ete ejercicio.

+ Para 90d =. ya que con J nos referimos la az cuadrada no negativa. Así = 3
+ Es de resallarse que si definimos /(x)=x, con Dom [= R, entonces aunque la regla de asociación de
0 cambió, tenemos que fy no son iguales, ya que sus dominios no coincide.

2. Determinar sls funciones Fy y son iguales, Si

NED, pom f= RV}, «Dex Dome

Como los dominios de as fucions son disinos entonces Is funciones o som iguales, no san que
(2042), +
Fr

para todo x donde ambas funciones están definidas 0 sea si x #2.

Ejercicios

En cada caso determina el dominio, la imagen y la regla de correspondencia.

«| © = | w
Jaro ‚= o
2 =3 25
2 3 E 10 [os
= Im e = I mw
1 2 " >].
2 | = a |.
4 a
3 o 2 = s |
4 2 | = als
5 25 E =

25. 10 Médao 1 © Funciones

En cada caso evalúa la función en los puntos dados,
7. fla)=Se43: 100.8
8 erh
9 O

2

13.

sixe[-35.25) SE
Aa TRS ann nein. cats
sine), | E

Eire e

En cada caso determina s las Funciones dadas son iguales.

17. (9d TRIOS Dom f=Rs g(x)=x+5, Domg=R
16

18 f(x) . Dom f= RAY ex) =

=4, Domg=R

eed

Do,