Calculo mental
ANGELCASTADELGADO
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Oct 10, 2014
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las difernetes tecnicas de calculo mental
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Cálculo mental
Cálculo mental
El cálculo mental consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando sólo el
cerebro, sin ayudas de otros instrumentos como calculadoras o incluso lápiz y
papel o los dedos para contar fácilmente. También se puede considerar cálculo
mental al uso del cerebro y cuerpo. Algunos calculistas pueden realizar
operaciones matemáticas muy complejas (como productos de números de 4 o
más cifras) mediante el cálculo mental. Sin embargo, los mejores matemáticos
muchas veces no coinciden con los mejores calculistas.
Igualmente, los grandes calculistas no son los de mejor memoria pues las técnicas
del cálculo mental y las de potenciación de la memoria son diferentes. Los
campeones del mundo y los que figuran en el libro Guiness de los records de
ambas especialidades (cálculo y memoria) suelen ser siempre diferentes.
La práctica del cálculo mental ayuda al estudiante para que ponga en juego
diversas estrategias. Es la actividad matemática más cotidiana y la menos
utilizada en el áula. Entre sus beneficios se encuentran: desarrollo del Sentido
Numérico y de habilidades intelectuales como la atención y la concentración,
además de gusto por las Matemáticas. Para su enseñanza es aconsejable
enseñar el descubrimiento de reglas nemotécnicas fáciles así como las de
selección de estrategias. Aquí se presentan algunas formas de entrenar el cálculo
mental aunque cada uno tiene que hacerlo con sus propios números.
Sumas y restas
Si no hay acarreos, es decir, si ninguna suma parcial es mayor que 9, las sumas
se pueden realizar directamente. Lo mismo ocurre con las restas.
En caso contrario, hay que saber modelar los números de los que se dispone, a
veces convirtiendo una suma de dos números en una suma más sencilla de más
sumandos, y algo análogo para las restas. Calculistas como Alberto Coto
proponen realizar las sumas siempre de izquierda a derecha, aunque haya
acarreos.
Ejemplos:
Calcular 456 + 155:
456 + 155 = 461 + 150 = 511 + 100 = 611 (método tradicional, sumando de
derecha a izquierda)
456 + 155 = 455 + 5 + 151 = 460 + 40 + 111 = 500 + 111 = 611 (llevando el primer
sumando a la decena superior, a la centena superior... para acabar realizando una
suma más sencilla equivalente a la primera)
Cálculo mental
El cálculo mental consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando sólo el
cerebro, sin ayudas de otros instrumentos como calculadoras o incluso lápiz y
papel o los dedos para contar fácilmente. También se puede considerar cálculo
mental al uso del cerebro y cuerpo. Algunos calculistas pueden realizar
operaciones matemáticas muy complejas (como productos de números de 4 o
más cifras) mediante el cálculo mental. Sin embargo, los mejores matemáticos
muchas veces no coinciden con los mejores calculistas.
Igualmente, los grandes calculistas no son los de mejor memoria pues las técnicas
del cálculo mental y las de potenciación de la memoria son diferentes. Los
campeones del mundo y los que figuran en el libro Guiness de los records de
ambas especialidades (cálculo y memoria) suelen ser siempre diferentes.
La práctica del cálculo mental ayuda al estudiante para que ponga en juego
diversas estrategias. Es la actividad matemática más cotidiana y la menos
utilizada en el áula. Entre sus beneficios se encuentran: desarrollo del Sentido
Numérico y de habilidades intelectuales como la atención y la concentración,
además de gusto por las Matemáticas. Para su enseñanza es aconsejable
enseñar el descubrimiento de reglas nemotécnicas fáciles así como las de
selección de estrategias. Aquí se presentan algunas formas de entrenar el cálculo
mental aunque cada uno tiene que hacerlo con sus propios números.
Sumas y restas
Si no hay acarreos, es decir, si ninguna suma parcial es mayor que 9, las sumas
se pueden realizar directamente. Lo mismo ocurre con las restas.
En caso contrario, hay que saber modelar los números de los que se dispone, a
veces convirtiendo una suma de dos números en una suma más sencilla de más
sumandos, y algo análogo para las restas. Calculistas como Alberto Coto
proponen realizar las sumas siempre de izquierda a derecha, aunque haya
acarreos.
Ejemplos:
Calcular 456 + 155:
456 + 155 = 461 + 150 = 511 + 100 = 611 (método tradicional, sumando de
derecha a izquierda)
456 + 155 = 455 + 5 + 151 = 460 + 40 + 111 = 500 + 111 = 611 (llevando el primer
sumando a la decena superior, a la centena superior... para acabar realizando una
suma más sencilla equivalente a la primera)
456 + 155 = 556 + 55 = 606 + 5 = 611 (sumando de izquierda a derecha)
Calcular 876 - 98:
876 - 98 = 868 - 90 = 778 (método tradicional, de derecha a izquierda)
876 - 98 = 876 - (100 - 2) = 876 - 100 + 2 = 776 + 2 = 778 (valiéndose de la
proximidad del sustraendo (98) a uno que facilita la resta (100))
876 - 98 = 786 - 8 = 778 (restando de izquierda a derecha)
Calcular 634 - 256:
634 - 256 = 434 - 56 = 384 - 6 = 378 (de izquierda a derecha)
Duplicación y mediación
Multiplicar por 2 es lo mismo que sumarle al número inicial el mismo número. La
duplicación y la mediación son un pilar fundamental de las matemáticas egipcias.
Ejemplo: multiplicar 173 × 16:
Esto se puede hacer por duplicaciones sucesivas: 173 × 16 = 346 × 8 = 692 × 4 =
1384 × 2 = 2768.
La multiplicación y la mediación sirven, en general, para calcular el producto de un
número cualquiera por el producto de potencias de 2 y de 5. Multiplicar por 5 es lo
mismo que calcular la mitad del número inicial multiplicado por 10, lo que a veces
es más fácil de hallar.
Ejemplo: multiplicar 376 × 125
Como 125 = 5³ = 10³/2³, se puede hallar la solución añadiendo los tres ceros
correspondientes y dividiendo el resultado tres veces por 2.
376 × 125 = 376000/8 = 188000/4 = 94000/2 = 47000.
324 x 125 = 324000/8 = 162000/4 = 81000/2 = 40500.
Es útil conocer algunas potencias de 2 y 5 para realizar estas operaciones con
soltura.
También se puede utilizar este método para multiplicar por otros números que son
sumas de (pocas) potencias de 2 o de 5, como 12 (8 + 4), 130 (125 + 5), 18 (16 +
2), etc.
Multiplicación por números cercanos a las potencias de 10
Multiplicar por 9, 11, 99, 101..., es decir, por una potencia de 10 menos 1 (o mas
1), se puede hacer mentalmente con un poco de práctica mediante la suma (o
resta) de 10
n
veces el número inicial más (o resta) del número inicial. Sin
Calcular 876 - 98:
876 - 98 = 868 - 90 = 778 (método tradicional, de derecha a izquierda)
876 - 98 = 876 - (100 - 2) = 876 - 100 + 2 = 776 + 2 = 778 (valiéndose de la
proximidad del sustraendo (98) a uno que facilita la resta (100))
876 - 98 = 786 - 8 = 778 (restando de izquierda a derecha)
Calcular 634 - 256:
634 - 256 = 434 - 56 = 384 - 6 = 378 (de izquierda a derecha)
Duplicación y mediación
Multiplicar por 2 es lo mismo que sumarle al número inicial el mismo número. La
duplicación y la mediación son un pilar fundamental de las matemáticas egipcias.
Ejemplo: multiplicar 173 × 16:
Esto se puede hacer por duplicaciones sucesivas: 173 × 16 = 346 × 8 = 692 × 4 =
1384 × 2 = 2768.
La multiplicación y la mediación sirven, en general, para calcular el producto de un
número cualquiera por el producto de potencias de 2 y de 5. Multiplicar por 5 es lo
mismo que calcular la mitad del número inicial multiplicado por 10, lo que a veces
es más fácil de hallar.
Ejemplo: multiplicar 376 × 125
Como 125 = 5³ = 10³/2³, se puede hallar la solución añadiendo los tres ceros
correspondientes y dividiendo el resultado tres veces por 2.
376 × 125 = 376000/8 = 188000/4 = 94000/2 = 47000.
324 x 125 = 324000/8 = 162000/4 = 81000/2 = 40500.
Es útil conocer algunas potencias de 2 y 5 para realizar estas operaciones con
soltura.
También se puede utilizar este método para multiplicar por otros números que son
sumas de (pocas) potencias de 2 o de 5, como 12 (8 + 4), 130 (125 + 5), 18 (16 +
2), etc.
Multiplicación por números cercanos a las potencias de 10
Multiplicar por 9, 11, 99, 101..., es decir, por una potencia de 10 menos 1 (o mas
1), se puede hacer mentalmente con un poco de práctica mediante la suma (o
resta) de 10
n
veces el número inicial más (o resta) del número inicial. Sin
embargo, es fácil cometer errores al sumar o restar al mezclar, por ejemplo,
unidades con decenas.
Ejemplo: multiplicar 28 × 99
28 × 99 = 28 × (100 - 1) = 2800 - 28 = 2772
Otro ejemplo: multiplicar 37 × 121
121 es el cuadrado de 11, así que lo que se pide es lo mismo que multiplicar 37
por 11 y el resultado de nuevo por 11: 37 × 121 = 37 ×(10 + 1) × 11 = (370 + 37) ×
11 = 407 × 11 = 4477
Además multiplicar por 11 resulta fácil: se separan las cifras y luego se escribe
siempre cifra de las unidades y seguidamente se van sumando grupos de dos
cifras seguidas poniendo el resultado o la última cifra de la suma llevando un
acarreo de 1 si la suma es mayor que 10, y finalmente se coloca la cifra más
significativa, así:
Multiplicar:
12345 × 11: 1° las unid 5, 5+4=9, 4+3=7, 3+2=5,2+1=3, y finalmente 1; ahora
colocar en orden inverso: 135795
8946 × 11: 1° las unid 6, 6+4=10 (0 y lleva 1), 4+9+1(acarreo)=14 (4 y lleva 1),
9+8+1(acarreo)=18 (8 y lleva 1), y finalmente 8+1(acarreo)=9; ahora colocar en
orden inverso: 98406
Análogamente, se puede aplicar esto a las multiplicaciones por potencias de 2, o
de 5, más 1. Por ejemplo, 26, 17, 124 y 63.
Multiplicación por 37
Primero, basta recordar lo siguiente:
37 × 3 = 111
37 × 27 = (37 × 3) × 9 = 999 = 1000 - 1
El procedimiento es este:
1. Se divide el otro factor entre 3. Hay que recordar el cociente y el resto. Si el
resto es 1, al resultado final habrá que sumar 37; si es 2, habrá que sumar
74.
Ejemplo: en 37 × 94, se toma 94: 3 = 31, resto 1. Ahora el producto es 111 × 31.
2. Se divide el cociente del paso anterior entre 9. El cociente se multiplica por
999 (= 1000 - 1) y el resto por 111.
unidades con decenas.
Ejemplo: multiplicar 28 × 99
28 × 99 = 28 × (100 - 1) = 2800 - 28 = 2772
Otro ejemplo: multiplicar 37 × 121
121 es el cuadrado de 11, así que lo que se pide es lo mismo que multiplicar 37
por 11 y el resultado de nuevo por 11: 37 × 121 = 37 ×(10 + 1) × 11 = (370 + 37) ×
11 = 407 × 11 = 4477
Además multiplicar por 11 resulta fácil: se separan las cifras y luego se escribe
siempre cifra de las unidades y seguidamente se van sumando grupos de dos
cifras seguidas poniendo el resultado o la última cifra de la suma llevando un
acarreo de 1 si la suma es mayor que 10, y finalmente se coloca la cifra más
significativa, así:
Multiplicar:
12345 × 11: 1° las unid 5, 5+4=9, 4+3=7, 3+2=5,2+1=3, y finalmente 1; ahora
colocar en orden inverso: 135795
8946 × 11: 1° las unid 6, 6+4=10 (0 y lleva 1), 4+9+1(acarreo)=14 (4 y lleva 1),
9+8+1(acarreo)=18 (8 y lleva 1), y finalmente 8+1(acarreo)=9; ahora colocar en
orden inverso: 98406
Análogamente, se puede aplicar esto a las multiplicaciones por potencias de 2, o
de 5, más 1. Por ejemplo, 26, 17, 124 y 63.
Multiplicación por 37
Primero, basta recordar lo siguiente:
37 × 3 = 111
37 × 27 = (37 × 3) × 9 = 999 = 1000 - 1
El procedimiento es este:
1. Se divide el otro factor entre 3. Hay que recordar el cociente y el resto. Si el
resto es 1, al resultado final habrá que sumar 37; si es 2, habrá que sumar
74.
Ejemplo: en 37 × 94, se toma 94: 3 = 31, resto 1. Ahora el producto es 111 × 31.
2. Se divide el cociente del paso anterior entre 9. El cociente se multiplica por
999 (= 1000 - 1) y el resto por 111.
En el ejemplo anterior, 31: 9 = 3, resto 4. Ahora tenemos la suma de dos
productos: 999 × 3 (= 2997, o, si se prefiere, 3000 - 3) y 111 × 4 = 444. Como el
resto del primer cociente que hicimos era 1, al resultado habrá que sumar 37.
3. Se suma todo.
3000 - 3 + 444 + 37 = 3000 + 444 + 37 - 3 (a menudo es más fácil organizar los
términos de esta forma, dejando el número que se resta al final) = 3444 + 34 =
3478.
Una variante es tomar por exceso y no por defecto el cociente de la división del
primer paso. Esto significa que se suma uno al cociente y al resto se le restan 3.
Así, en lugar de un número de la forma 3 × Q + R (donde R = 1 ó 2) tenemos uno
de la forma 3 × (Q + 1) + R' (donde R' = -2 ó -1, respectivamente), y al resultado
final se le restará 74 o 37 (porque el nuevo "resto" de la división es negativo).
Más ejemplos:
37 × 54 = 111 × 18 = 999 × 2 = 2000 - 2 = 1998
37 × 79 (método usual) = 111 × 26 + 37 = 999 × 2 + 111 × 8 + 37 = 2000 - 2 + 888
+ 37 = 2925 - 2 = 2923
37 × 79 (variante) = 111 × 27 - 74 = 999 × 3 - 74 = 3000 - 3 - 74 = 3000 - 77 =
2923
Como se puede comprobar, en este caso la variante es más fácil, aunque no tiene
por qué ser siempre así. En general, si el factor es uno o dos menos que un
múltiplo de 27 (recordar que 37 × 27Q = 999Q), es más sencillo ir a por ese
múltiplo de 27.
Si uno de los factores del producto no es 37 pero sí un múltiplo, se puede
reformular la multiplicación haciendo que uno de los factores sea 37. Probemos
por ejemplo con los siguientes cuadrados:
74 × 74 = 37 × 2 × 74 = 37 × 148 = 111 × 49 + 37 = 999 × 5 + 111 × 4 + 37 = 5000
- 5 + 444 + 37 = 5444 + 32 = 5476
111 × 111 = 37 × 3 × 111 = 37 × 333 = 999 × 12 + 333 = 12000 - 12 + 333 = 12321
(en este caso, como ya teníamos el 333, el procedimiento era más sencillo)
148 × 148 = 37 × 4 × 148 = 37 × 592 = 111 × 198 - 74 (en este caso se vuelve a
emplear la variante porque 594 es múltiplo de 27) = 999 × 22 - 74 = 22000 - 22 -
74 = 21904
Métodos así funcionan cuando uno de los factores de la multiplicación tiene a su
vez un múltiplo que es una concatenación de nueves. Se trata pues de encontrar
ese múltiplo. Otro ejemplo notable es el número 142857. No sólo el producto de
este número por 7 es igual a 999999, sino que su tabla de multiplicar es muy
productos: 999 × 3 (= 2997, o, si se prefiere, 3000 - 3) y 111 × 4 = 444. Como el
resto del primer cociente que hicimos era 1, al resultado habrá que sumar 37.
3. Se suma todo.
3000 - 3 + 444 + 37 = 3000 + 444 + 37 - 3 (a menudo es más fácil organizar los
términos de esta forma, dejando el número que se resta al final) = 3444 + 34 =
3478.
Una variante es tomar por exceso y no por defecto el cociente de la división del
primer paso. Esto significa que se suma uno al cociente y al resto se le restan 3.
Así, en lugar de un número de la forma 3 × Q + R (donde R = 1 ó 2) tenemos uno
de la forma 3 × (Q + 1) + R' (donde R' = -2 ó -1, respectivamente), y al resultado
final se le restará 74 o 37 (porque el nuevo "resto" de la división es negativo).
Más ejemplos:
37 × 54 = 111 × 18 = 999 × 2 = 2000 - 2 = 1998
37 × 79 (método usual) = 111 × 26 + 37 = 999 × 2 + 111 × 8 + 37 = 2000 - 2 + 888
+ 37 = 2925 - 2 = 2923
37 × 79 (variante) = 111 × 27 - 74 = 999 × 3 - 74 = 3000 - 3 - 74 = 3000 - 77 =
2923
Como se puede comprobar, en este caso la variante es más fácil, aunque no tiene
por qué ser siempre así. En general, si el factor es uno o dos menos que un
múltiplo de 27 (recordar que 37 × 27Q = 999Q), es más sencillo ir a por ese
múltiplo de 27.
Si uno de los factores del producto no es 37 pero sí un múltiplo, se puede
reformular la multiplicación haciendo que uno de los factores sea 37. Probemos
por ejemplo con los siguientes cuadrados:
74 × 74 = 37 × 2 × 74 = 37 × 148 = 111 × 49 + 37 = 999 × 5 + 111 × 4 + 37 = 5000
- 5 + 444 + 37 = 5444 + 32 = 5476
111 × 111 = 37 × 3 × 111 = 37 × 333 = 999 × 12 + 333 = 12000 - 12 + 333 = 12321
(en este caso, como ya teníamos el 333, el procedimiento era más sencillo)
148 × 148 = 37 × 4 × 148 = 37 × 592 = 111 × 198 - 74 (en este caso se vuelve a
emplear la variante porque 594 es múltiplo de 27) = 999 × 22 - 74 = 22000 - 22 -
74 = 21904
Métodos así funcionan cuando uno de los factores de la multiplicación tiene a su
vez un múltiplo que es una concatenación de nueves. Se trata pues de encontrar
ese múltiplo. Otro ejemplo notable es el número 142857. No sólo el producto de
este número por 7 es igual a 999999, sino que su tabla de multiplicar es muy
sencilla, ya que en la cadena 142857142857... Basta con tomar seis dígitos
consecutivos a partir de una posición dada:
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
Probemos a calcular el cuadrado de este número de seis cifras (!):
142857 × 142857 = (142857 × 7) × (142857: 7) = 999999 × 20408 + 142857
(Como el resto de 142857 : 7 da 1, al resultado de la multiplicación hay que
sumarle 142857. Es lo mismo que se hacía en la multiplicación por 37) =
(1.000.000 - 1) × 20.408 + 128.857 = 20.408.000.000 - 20.408 + 142857 =
20.408.000.000 + 122.449 = 20.408.122.449
Igualdades notables y cálculo de cuadrados
Las llamadas igualdades notables pueden aplicarse al cálculo mental:
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b) (a - b) = a² - b²
Cálculo del cuadrado de un número cualquiera de dos cifras
Las dos primeras identidades se pueden aplicar al cálculo de cuadrados perfectos.
Supongamos que queremos calcular 52². 52 = 50 + 2, así que aplicamos la
identidad correspondiente al cuadrado de la suma, donde a = 50 y b = 2.
(50 + 2)² = 50² + 2 × 2 × 50 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704
Más ejemplos:
17² = (10 + 7)² = 10² + 2 × 7 × 10 + 7² = 100 + 140 + 49 = 289
76² = (70 + 6)² = 70² + 2 × 6 × 70 + 6² = 4900 + 840 + 36 = 5776
95² = (90 + 5)² = 90² + 2 × 5 × 90 + 5² = 8100 + 900 + 25 = 9025
Con este método también es fácil calcular el cuadrado de un número con una cifra
entera y un decimal, sólo hay que acordarse del lugar que ocupa cada cifra:
consecutivos a partir de una posición dada:
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
Probemos a calcular el cuadrado de este número de seis cifras (!):
142857 × 142857 = (142857 × 7) × (142857: 7) = 999999 × 20408 + 142857
(Como el resto de 142857 : 7 da 1, al resultado de la multiplicación hay que
sumarle 142857. Es lo mismo que se hacía en la multiplicación por 37) =
(1.000.000 - 1) × 20.408 + 128.857 = 20.408.000.000 - 20.408 + 142857 =
20.408.000.000 + 122.449 = 20.408.122.449
Igualdades notables y cálculo de cuadrados
Las llamadas igualdades notables pueden aplicarse al cálculo mental:
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b) (a - b) = a² - b²
Cálculo del cuadrado de un número cualquiera de dos cifras
Las dos primeras identidades se pueden aplicar al cálculo de cuadrados perfectos.
Supongamos que queremos calcular 52². 52 = 50 + 2, así que aplicamos la
identidad correspondiente al cuadrado de la suma, donde a = 50 y b = 2.
(50 + 2)² = 50² + 2 × 2 × 50 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704
Más ejemplos:
17² = (10 + 7)² = 10² + 2 × 7 × 10 + 7² = 100 + 140 + 49 = 289
76² = (70 + 6)² = 70² + 2 × 6 × 70 + 6² = 4900 + 840 + 36 = 5776
95² = (90 + 5)² = 90² + 2 × 5 × 90 + 5² = 8100 + 900 + 25 = 9025
Con este método también es fácil calcular el cuadrado de un número con una cifra
entera y un decimal, sólo hay que acordarse del lugar que ocupa cada cifra:
2,4² = (2 + 0,4)² = 0,1² × 14² = 0,01 × (20² + 2 × 4 × 20 + 4²) = 0,01 × (400 + 160 +
16) = 0,01 × 576 = 5,76
Algoritmo para elevar al cuadrado un número de dos cifras que empieza con 4:
(4*10+u)^2 = (15+u) y (10-u)^2 Ejemplo: 47^2= (15+7) y (10-7)^2 = 22 y 09 =2209,
ya que 47^2= 40x40 + 40x7x2 + 7x7 = 1600 + 560 + 49 = 2209.
Algoritmo idem, para los que empieza con 5.- (5*10+u)^2 =(25+u) y u^2; ejemplo:
53^2= (25+3) y 3^2 = 2809
Algoritmo idem, para los que empiezan con 9.- (9*10+u)^2= (80+2u)y(10-u)^2;
ejemplo: 96^2=(80+2*6)y(10-6)^2= 92y16= 9216
Algoritmo idem, para los de tres cifras que empieza con 10.- (10*10+u)^2=
(100+2u)y u^2; ejemplo 108^2= (100+2*8)y8^2 = 116y64= 11664
Algunos calculistas conocen de memoria las tablas de multiplicar del 1 al 100, por
lo que pueden utilizar este método fácilmente para hallar el cuadrado de un
número de cuatro cifras o más. Esto sólo se consigue tras mucho entrenamiento,
pero simplifica enormemente el cálculo como se puede observar:
5782² = (5700 + 82)² = 5700² + 2 × 82 × 5700 + 82² = 32.490.000 + 934.800 +
6.724 = 33.431.524
Producto de dos números equidistantes de un número cuyo cuadrado es
conocido
El número cuyo cuadrado es conocido generalmente será uno acabado en 0. Por
ejemplo, a la hora de calcular 58 × 62 nos apoyaremos en el 60, ya que ambos
están a la misma distancia (2 unidades) de 60. Aquí se puede utilizar la tercera
identidad, la del producto de suma por diferencia, donde a = 60 y b = 2.
(60 + 2) (60 - 2) = 60² - 2² = 3600 - 4 = 3596
Más ejemplos:
77 × 83 = (80 - 3) (80 + 3) = 6400-9= 6391
95 × 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10000-25= 9975
128 × 152 = (140 - 12) (140 + 12) = 19600-144= 19456
Cuadrado de un número acabado en 5
El cálculo del cuadrado de un número que acabe en 5 puede simplificarse
utilizando la tercera identidad. Aquí a será el número inicial (por ejemplo, 65), y b =
5: (a + 5) (a - 5) = a² - 25
Por tanto, se tiene que: (a + 5) (a - 5) + 25 = a²
Si a = 65, el resultado es el siguiente:
16) = 0,01 × 576 = 5,76
Algoritmo para elevar al cuadrado un número de dos cifras que empieza con 4:
(4*10+u)^2 = (15+u) y (10-u)^2 Ejemplo: 47^2= (15+7) y (10-7)^2 = 22 y 09 =2209,
ya que 47^2= 40x40 + 40x7x2 + 7x7 = 1600 + 560 + 49 = 2209.
Algoritmo idem, para los que empieza con 5.- (5*10+u)^2 =(25+u) y u^2; ejemplo:
53^2= (25+3) y 3^2 = 2809
Algoritmo idem, para los que empiezan con 9.- (9*10+u)^2= (80+2u)y(10-u)^2;
ejemplo: 96^2=(80+2*6)y(10-6)^2= 92y16= 9216
Algoritmo idem, para los de tres cifras que empieza con 10.- (10*10+u)^2=
(100+2u)y u^2; ejemplo 108^2= (100+2*8)y8^2 = 116y64= 11664
Algunos calculistas conocen de memoria las tablas de multiplicar del 1 al 100, por
lo que pueden utilizar este método fácilmente para hallar el cuadrado de un
número de cuatro cifras o más. Esto sólo se consigue tras mucho entrenamiento,
pero simplifica enormemente el cálculo como se puede observar:
5782² = (5700 + 82)² = 5700² + 2 × 82 × 5700 + 82² = 32.490.000 + 934.800 +
6.724 = 33.431.524
Producto de dos números equidistantes de un número cuyo cuadrado es
conocido
El número cuyo cuadrado es conocido generalmente será uno acabado en 0. Por
ejemplo, a la hora de calcular 58 × 62 nos apoyaremos en el 60, ya que ambos
están a la misma distancia (2 unidades) de 60. Aquí se puede utilizar la tercera
identidad, la del producto de suma por diferencia, donde a = 60 y b = 2.
(60 + 2) (60 - 2) = 60² - 2² = 3600 - 4 = 3596
Más ejemplos:
77 × 83 = (80 - 3) (80 + 3) = 6400-9= 6391
95 × 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10000-25= 9975
128 × 152 = (140 - 12) (140 + 12) = 19600-144= 19456
Cuadrado de un número acabado en 5
El cálculo del cuadrado de un número que acabe en 5 puede simplificarse
utilizando la tercera identidad. Aquí a será el número inicial (por ejemplo, 65), y b =
5: (a + 5) (a - 5) = a² - 25
Por tanto, se tiene que: (a + 5) (a - 5) + 25 = a²
Si a = 65, el resultado es el siguiente:
65² = 70 × 60 + 25 = 4200 + 25 = 4225.
Más ejemplos:
35 × 35 = 40 × 30 + 25 = 1225
105 × 105 = 110 × 100 + 25 = 11025
255 × 255 = 260 × 250 + 25 = 65025
En este último caso, para calcular 260 × 250 se puede optar por formularlo de esta
manera: 260 × 250 = (250 + 10) × 250 = 250² + 2500, y ya sabemos calcular con
facilidad 250², así, quedaría 62500 + 2500 + 25 = 65025.
Cubos y potencias superiores
El cálculo de cubos y potencias superiores mediante el uso de igualdades notables
es progresivamente más difícil, y a menudo es más sencillo hallar la cuarta
potencia de un número como el cuadrado de su cuadrado:
95
4
= (95²)² = 9025² = (9000 + 25)² = 9000² + 2 × 25 × 9000 + 25² = 81.000.000 +
450.000 + 625 = 81.450.625 (Facilita mucho el cálculo el hecho de que la segunda
cifra de 9025 sea un cero)
Cálculo de logaritmos (en base 10)
Para aproximar el logaritmo común o en base 10 con una o dos cifras
significativas, se requiere conocer algunas propiedades de los logaritmos y la
memorización de algunos logaritmos. En particular, es necesario saber lo
siguiente:
log(ab) = log(a) + log(b)
log(a : b) = log(a) - log(b)
log(0) si existe
log(1) = 0
log(2) ~ 0,33
log(3) ~ 0,48
log(7) ~ 0,85
log(10) = 1
Si a > b, forzosamente log(a) > log (b). En lenguaje matemático, se dice que
la función logaritmo es creciente.
A partir de esta información, se puede calcular el logaritmo de cualquier número
del 1 al 9:
Más ejemplos:
35 × 35 = 40 × 30 + 25 = 1225
105 × 105 = 110 × 100 + 25 = 11025
255 × 255 = 260 × 250 + 25 = 65025
En este último caso, para calcular 260 × 250 se puede optar por formularlo de esta
manera: 260 × 250 = (250 + 10) × 250 = 250² + 2500, y ya sabemos calcular con
facilidad 250², así, quedaría 62500 + 2500 + 25 = 65025.
Cubos y potencias superiores
El cálculo de cubos y potencias superiores mediante el uso de igualdades notables
es progresivamente más difícil, y a menudo es más sencillo hallar la cuarta
potencia de un número como el cuadrado de su cuadrado:
95
4
= (95²)² = 9025² = (9000 + 25)² = 9000² + 2 × 25 × 9000 + 25² = 81.000.000 +
450.000 + 625 = 81.450.625 (Facilita mucho el cálculo el hecho de que la segunda
cifra de 9025 sea un cero)
Cálculo de logaritmos (en base 10)
Para aproximar el logaritmo común o en base 10 con una o dos cifras
significativas, se requiere conocer algunas propiedades de los logaritmos y la
memorización de algunos logaritmos. En particular, es necesario saber lo
siguiente:
log(ab) = log(a) + log(b)
log(a : b) = log(a) - log(b)
log(0) si existe
log(1) = 0
log(2) ~ 0,33
log(3) ~ 0,48
log(7) ~ 0,85
log(10) = 1
Si a > b, forzosamente log(a) > log (b). En lenguaje matemático, se dice que
la función logaritmo es creciente.
A partir de esta información, se puede calcular el logaritmo de cualquier número
del 1 al 9:
log(1) = 0
log(2) ~ 0,30
log(3) ~ 0,48
log(4) = log(2 × 2) = log(2) + log(2) ~ 0,60
log(5) = log(10 : 2) = log(10) - log(2) ~ 0,70
log(6) = log(2 × 3) = log(2) + log(3) ~ 0,78
log(7) ~ 0,85
log(8) = log(2 × 2 × 2) = log(2) + log(2) + log(2) ~ 0,90
log(9) = log(3 × 3) = log(3) + log(3) ~ 0,96 (en realidad, se acerca más a
0,95)
log(10) = 1
El primer paso para aproximar el logaritmo común de un número es expresar dicho
número en la notación científica. Por ejemplo, el número 45 en notación científica
es 4,5 × 10
1
. En general, tendremos un número de la forma a × 10
b
, donde a es un
número entre 1 y 10. El segundo paso es utilizar lo que se llama interpolación
lineal para estimar el logaritmo que queramos calcular a partir de dos ya
conocidos. En el ejemplo del 45 (= 4,5 × 10), se parte de que log(4) ~ 0,60 y log(5)
~ 0,70, y como 4,5 está a medio camino entre 4 y 5, log(4,5) estará
aproximadamente a medio camino entre log(4) y log(5), por tanto, será
aproximadamente 0,65. En realidad, el resultado correcto siempre es ligeramente
mayor de lo esperado, de hecho, log(4,5) = 0,6532125... El tercer y último paso,
una vez obtenido log(a), es sumarle b para obtener el logaritmo deseado. En este
caso, como log(4,5) ~ 0,65, basta añadir 1 para obtener log(45) ~ 1,65. El valor
real es log(45) ~ 1,6532125...
El mismo proceso se puede emplear para calcular el logaritmo de un número entre
0 y 1. Por ejemplo, 0,045 en notación científica se expresa como 4,5 × 10
-2
. Hay
que tener cuidado con este exponente, que es negativo. Esto dará lugar al
resultado log(0,045) ~ 0,65 - 2 = -1,35.
Otro método es calcular el logaritmo del número a partir de una factorización de
números cuyos logaritmos sean conocidos. En el ejemplo anterior, 45 = 9 × 5, por
tanto, log(45) = log(9) + log(5) ~ 0,96 + 0,70 = 1,66.
Verificar el resultado
Hay varias formas de comprobar si el resultado al que se ha llegado es el correcto:
Orden de magnitud: Si, tras multiplicar dos números menores de 100, el
resultado es mayor de 10.000, seguro que hay algún problema. En una
multiplicación de dos factores, hay que comprobar que el resultado tiene un
log(2) ~ 0,30
log(3) ~ 0,48
log(4) = log(2 × 2) = log(2) + log(2) ~ 0,60
log(5) = log(10 : 2) = log(10) - log(2) ~ 0,70
log(6) = log(2 × 3) = log(2) + log(3) ~ 0,78
log(7) ~ 0,85
log(8) = log(2 × 2 × 2) = log(2) + log(2) + log(2) ~ 0,90
log(9) = log(3 × 3) = log(3) + log(3) ~ 0,96 (en realidad, se acerca más a
0,95)
log(10) = 1
El primer paso para aproximar el logaritmo común de un número es expresar dicho
número en la notación científica. Por ejemplo, el número 45 en notación científica
es 4,5 × 10
1
. En general, tendremos un número de la forma a × 10
b
, donde a es un
número entre 1 y 10. El segundo paso es utilizar lo que se llama interpolación
lineal para estimar el logaritmo que queramos calcular a partir de dos ya
conocidos. En el ejemplo del 45 (= 4,5 × 10), se parte de que log(4) ~ 0,60 y log(5)
~ 0,70, y como 4,5 está a medio camino entre 4 y 5, log(4,5) estará
aproximadamente a medio camino entre log(4) y log(5), por tanto, será
aproximadamente 0,65. En realidad, el resultado correcto siempre es ligeramente
mayor de lo esperado, de hecho, log(4,5) = 0,6532125... El tercer y último paso,
una vez obtenido log(a), es sumarle b para obtener el logaritmo deseado. En este
caso, como log(4,5) ~ 0,65, basta añadir 1 para obtener log(45) ~ 1,65. El valor
real es log(45) ~ 1,6532125...
El mismo proceso se puede emplear para calcular el logaritmo de un número entre
0 y 1. Por ejemplo, 0,045 en notación científica se expresa como 4,5 × 10
-2
. Hay
que tener cuidado con este exponente, que es negativo. Esto dará lugar al
resultado log(0,045) ~ 0,65 - 2 = -1,35.
Otro método es calcular el logaritmo del número a partir de una factorización de
números cuyos logaritmos sean conocidos. En el ejemplo anterior, 45 = 9 × 5, por
tanto, log(45) = log(9) + log(5) ~ 0,96 + 0,70 = 1,66.
Verificar el resultado
Hay varias formas de comprobar si el resultado al que se ha llegado es el correcto:
Orden de magnitud: Si, tras multiplicar dos números menores de 100, el
resultado es mayor de 10.000, seguro que hay algún problema. En una
multiplicación de dos factores, hay que comprobar que el resultado tiene un
número de cifras igual, o una unidad mayor (según el caso) que la suma de
las cifras de los factores. A menudo los errores en el orden de magnitud se
deben a una mala posición de uno de los números a la hora de sumar los
productos parciales. Por ejemplo, multiplicar 65 × 205 en lugar de 65 × 25,
o viceversa.
Cifra de las unidades: Consiste en comprobar que la última cifra del
resultado es correcta vista la última cifra de cada uno de los números con
que se parte. Por ejemplo, 73 × 64 debe terminar en 2, ya que 3 × 4 = 12.
Esta verificación permite conocer una cifra con certeza.
Prueba del nueve: Esta verificación se basa en la suma de las cifras de
cada uno de los factores y del resultado hasta que sólo queden números de
una cifra. Por ejemplo, si nos queda 73 × 64 = 4662, podemos comprobar si
es cierto sumando las cifras de cada uno de los números:
7 + 3 = 10, 1 + 0 = 1
6 + 4 = 10, 1 + 0 = 1
4 + 6 + 6 + 2 = 18, 1 + 8 = 9
Sin embargo, 1 × 1 no es igual a 9, así que el resultado no es correcto. Habría que
revisar de nuevo la multiplicación o realizarla de nuevo. (El resultado correcto es
4672) Este método es bueno para detectar errores de acarreo.
Conclusión
En general, el cálculo mental consiste en modelar los números de la forma más
conveniente para realizar las operaciones prescritas. Para desarrollar una mayor
agilidad en el cálculo mental, es útil:
Conocer algunas potencias de números pequeños, como 2, 3 y 5. En
muchos casos, un producto se puede escribir de otra forma más
conveniente si se juega con los factores. Por ejemplo, 65 × 27 es más fácil
de calcular si se entiende el producto por 27 como productos sucesivos por
3.
Conocer algunos cuadrados y saber utilizar las igualdades notables y la
propiedad distributiva de la multiplicación para simplificar el cálculo. Por
ejemplo, 13 × 18 es lo mismo que 13 × (17 + 1) = 13 × 17 + 13. Mediante
las igualdades notables, 13 × 17 = 225 - 4 = 221, así que el resultado final
es 234.
las cifras de los factores. A menudo los errores en el orden de magnitud se
deben a una mala posición de uno de los números a la hora de sumar los
productos parciales. Por ejemplo, multiplicar 65 × 205 en lugar de 65 × 25,
o viceversa.
Cifra de las unidades: Consiste en comprobar que la última cifra del
resultado es correcta vista la última cifra de cada uno de los números con
que se parte. Por ejemplo, 73 × 64 debe terminar en 2, ya que 3 × 4 = 12.
Esta verificación permite conocer una cifra con certeza.
Prueba del nueve: Esta verificación se basa en la suma de las cifras de
cada uno de los factores y del resultado hasta que sólo queden números de
una cifra. Por ejemplo, si nos queda 73 × 64 = 4662, podemos comprobar si
es cierto sumando las cifras de cada uno de los números:
7 + 3 = 10, 1 + 0 = 1
6 + 4 = 10, 1 + 0 = 1
4 + 6 + 6 + 2 = 18, 1 + 8 = 9
Sin embargo, 1 × 1 no es igual a 9, así que el resultado no es correcto. Habría que
revisar de nuevo la multiplicación o realizarla de nuevo. (El resultado correcto es
4672) Este método es bueno para detectar errores de acarreo.
Conclusión
En general, el cálculo mental consiste en modelar los números de la forma más
conveniente para realizar las operaciones prescritas. Para desarrollar una mayor
agilidad en el cálculo mental, es útil:
Conocer algunas potencias de números pequeños, como 2, 3 y 5. En
muchos casos, un producto se puede escribir de otra forma más
conveniente si se juega con los factores. Por ejemplo, 65 × 27 es más fácil
de calcular si se entiende el producto por 27 como productos sucesivos por
3.
Conocer algunos cuadrados y saber utilizar las igualdades notables y la
propiedad distributiva de la multiplicación para simplificar el cálculo. Por
ejemplo, 13 × 18 es lo mismo que 13 × (17 + 1) = 13 × 17 + 13. Mediante
las igualdades notables, 13 × 17 = 225 - 4 = 221, así que el resultado final
es 234.
Método Trachtenberg
El método Trachtenberg es un sistema de cálculo mental, algo parecido a la
matemática védica de Bharati Krishna Tirtha. Fue desarrollado por el ingeniero
ruso Jakow Trachtenberg con el fin de mantener su mente ocupada cuando era
prisionero en un campo de concentración nazi.
El sistema consiste de un número de patrones memorizables con gran facilidad
que le permiten a uno realizar computaciones aritméticas sin ayuda de lápiz y
papel.
El resto de este artículo presenta algunos de los métodos diseñados por
Trachtenberg.
Índice
1 Multiplicar por 12
2 Multiplicar por 11
3 Multiplicar por 5
4 Multiplicar por 6
El método Trachtenberg es un sistema de cálculo mental, algo parecido a la
matemática védica de Bharati Krishna Tirtha. Fue desarrollado por el ingeniero
ruso Jakow Trachtenberg con el fin de mantener su mente ocupada cuando era
prisionero en un campo de concentración nazi.
El sistema consiste de un número de patrones memorizables con gran facilidad
que le permiten a uno realizar computaciones aritméticas sin ayuda de lápiz y
papel.
El resto de este artículo presenta algunos de los métodos diseñados por
Trachtenberg.
Índice
1 Multiplicar por 12
2 Multiplicar por 11
3 Multiplicar por 5
4 Multiplicar por 6
5 Multiplicar por 7
6 Multiplicar por 8
7 Multiplicar por 9
8 Enlaces externos
Multiplicar por 12
Regla: para multiplicar por 12, duplicar el dígito antes de sumarlo al dígito a
su derecha y luego volver a copiar el primer dígito:
Ejemplo: 314 × 12 = 3.768:
4 × 2 = 8
1 × 2 + 4 = 6
3 × 2 + 1 = 7
Volver a copiar 3
Multiplicar por 11
Regla: para multiplicar por 11, vuelva a copiar el último dígito. Luego, dos
por dos, añada los dígitos uno al otro. Vuelva a copiar el primer dígito.
Ejemplo: 3.422 × 11 = 37.642
Volver a copiar 2
2 + 2 = 4
4 + 2 = 6
3 + 4 = 7
Volver a copiar 3
Multiplicar por 5
'Regla:' si multiplicaras 14× 5 solo tendrías que dividir 14 ÷2 =7 y agregarle
un 0 o sea 70, agregar 0 si el dígito de la derecha es par y un 5 si es impar
Multiplicar por 6
Regla: para multiplicar por 6:
1. Agregar la mitad del vecino a cada dígito
2. Si el dígito es impar, reducirlo al número entero más bajo.
3. Si el resultado es impar, agregar 5.
6 Multiplicar por 8
7 Multiplicar por 9
8 Enlaces externos
Multiplicar por 12
Regla: para multiplicar por 12, duplicar el dígito antes de sumarlo al dígito a
su derecha y luego volver a copiar el primer dígito:
Ejemplo: 314 × 12 = 3.768:
4 × 2 = 8
1 × 2 + 4 = 6
3 × 2 + 1 = 7
Volver a copiar 3
Multiplicar por 11
Regla: para multiplicar por 11, vuelva a copiar el último dígito. Luego, dos
por dos, añada los dígitos uno al otro. Vuelva a copiar el primer dígito.
Ejemplo: 3.422 × 11 = 37.642
Volver a copiar 2
2 + 2 = 4
4 + 2 = 6
3 + 4 = 7
Volver a copiar 3
Multiplicar por 5
'Regla:' si multiplicaras 14× 5 solo tendrías que dividir 14 ÷2 =7 y agregarle
un 0 o sea 70, agregar 0 si el dígito de la derecha es par y un 5 si es impar
Multiplicar por 6
Regla: para multiplicar por 6:
1. Agregar la mitad del vecino a cada dígito
2. Si el dígito es impar, reducirlo al número entero más bajo.
3. Si el resultado es impar, agregar 5.
Ejemplo: 657.832 × 6 = 3.946.992
Volver a copiar 2
3 + (2 / 2) + 5 = 9; 3 es impar se suma 5
8 + (3 / 2) = 9; 3 es impar se reduce a 2
7 + (8 / 2) + 5 = 16; 7 es impar se suma 5, y se lleva 1
5 + (7 / 2) + 1 + 5 = 14; 5 es impar se suma 5, y 1 que se llevaba. 7 es impar se
reduce a 6
6 + (5 / 2) + 1 = 9; se suma 1 que se llevaba. 5 es impar se reduce a 4
6 × 6 = 36
Multiplicar por 7
Regla: para multiplicar por 7:
1. Multiplicar por dos cada dígito.
2. Añadir la mitad de su vecino.
3. Si el dígito es impar, añadir 5.
Ejemplo: 657.832 × 7 = 4.604.824
2 × 2 = 4
3 × 2 + (2 / 2) + 5 = 12; 3 es impar se suma 5
8 × 2 + (3 / 2) + 1 = 18; Se suma 1 que se llevaba. 3 es impar se reduce a 2.Se
lleva 1
7 × 2 + (8 / 2) + 1 + 5 = 24; Se suma 1 que se llevaba. 19 es impar se suma 5, y se
llevan 2
5 × 2 + (7 / 2) + 2 + 5 = 20; Se suman 2 que se llevaban. 15 es impar se suma 5. 7
es impar se reduce a 6
6 × 2 + (5 / 2) + 2 = 16; se suman 2 que se llevaban. 5 es impar se reduce a 4
6 × 7 = 42
Multiplicar por 8
Regla: para multiplicar por 8:
1. Substraer el último dígito de 10 y duplicar.
2. Substraer 9 de los otros dígitos.
Volver a copiar 2
3 + (2 / 2) + 5 = 9; 3 es impar se suma 5
8 + (3 / 2) = 9; 3 es impar se reduce a 2
7 + (8 / 2) + 5 = 16; 7 es impar se suma 5, y se lleva 1
5 + (7 / 2) + 1 + 5 = 14; 5 es impar se suma 5, y 1 que se llevaba. 7 es impar se
reduce a 6
6 + (5 / 2) + 1 = 9; se suma 1 que se llevaba. 5 es impar se reduce a 4
6 × 6 = 36
Multiplicar por 7
Regla: para multiplicar por 7:
1. Multiplicar por dos cada dígito.
2. Añadir la mitad de su vecino.
3. Si el dígito es impar, añadir 5.
Ejemplo: 657.832 × 7 = 4.604.824
2 × 2 = 4
3 × 2 + (2 / 2) + 5 = 12; 3 es impar se suma 5
8 × 2 + (3 / 2) + 1 = 18; Se suma 1 que se llevaba. 3 es impar se reduce a 2.Se
lleva 1
7 × 2 + (8 / 2) + 1 + 5 = 24; Se suma 1 que se llevaba. 19 es impar se suma 5, y se
llevan 2
5 × 2 + (7 / 2) + 2 + 5 = 20; Se suman 2 que se llevaban. 15 es impar se suma 5. 7
es impar se reduce a 6
6 × 2 + (5 / 2) + 2 = 16; se suman 2 que se llevaban. 5 es impar se reduce a 4
6 × 7 = 42
Multiplicar por 8
Regla: para multiplicar por 8:
1. Substraer el último dígito de 10 y duplicar.
2. Substraer 9 de los otros dígitos.
3. Quitar dos al dígito de la derecha y sumar si se lleva.
Multiplicar por 9
Regla: para multiplicar por 9:
1. Substraer el último dígito de 10. (Ex.: 10 - 3 = 7)
2. Substraer los otros números de 9 y añadir al dígito a la derecha.
3. Quitar uno del primer dígito.
Multiplicar por 9
Regla: para multiplicar por 9:
1. Substraer el último dígito de 10. (Ex.: 10 - 3 = 7)
2. Substraer los otros números de 9 y añadir al dígito a la derecha.
3. Quitar uno del primer dígito.
LOS MÉTODOS DE CÁLCULO MENTAL VERTIDOS
POR LA TRADICIÓN REFLEJADA EN LOS LIBROS DE
ARITMÉTICA
Bernardo Gómez Alfonso.
Resumen
En este artículo se presentan los métodos de cálculo mental que se han obtenido
a partir de un extenso análisis histórico bibliográfico. La finalidad del mismo es
aportar un catálogo de los mismos, actualizado en su lenguaje y organizado con
criterios estructurales, conducente a dar una visión de conjunto, global y
unificadora.
1. Introducción
En primer lugar, se hace una breve exposición acerca de la motivación educativa
actual del cálculo mental
1. Después se discuten los criterios que se han tomado en cuenta para el
compendio y organización de sus métodos. Por último, se hace una presentación
detallada, e ilustrada con ejemplos, de los métodos seleccionados.
2. Interés educativo del cálculo mental
El cálculo mental en el anterior currículum oficial español (MEC,1970) no aparecía
explícitamente, aunque se establecía entre los objetivos específicos del área de
matemáticas el "Desarrollo de la agilidad mental", expresión cuyo significado no
era explicada en el texto donde se recogía la propuesta.
Posteriormente, en los programas renovados del año 1981 (MEC,1981), sí se
mencionaba el cálculo mental, relacionándolo con la aplicación 2 de las
propiedades de las operaciones y con la resolución de situaciones de la vida real,
en un enfoque vinculado al cálculo rápido.
Así queda reflejado en la cita siguiente:
Cálculo mental y rápido de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Desarrollo de la agilidad mental en el cálculo de estas cuatro operaciones.
POR LA TRADICIÓN REFLEJADA EN LOS LIBROS DE
ARITMÉTICA
Bernardo Gómez Alfonso.
Resumen
En este artículo se presentan los métodos de cálculo mental que se han obtenido
a partir de un extenso análisis histórico bibliográfico. La finalidad del mismo es
aportar un catálogo de los mismos, actualizado en su lenguaje y organizado con
criterios estructurales, conducente a dar una visión de conjunto, global y
unificadora.
1. Introducción
En primer lugar, se hace una breve exposición acerca de la motivación educativa
actual del cálculo mental
1. Después se discuten los criterios que se han tomado en cuenta para el
compendio y organización de sus métodos. Por último, se hace una presentación
detallada, e ilustrada con ejemplos, de los métodos seleccionados.
2. Interés educativo del cálculo mental
El cálculo mental en el anterior currículum oficial español (MEC,1970) no aparecía
explícitamente, aunque se establecía entre los objetivos específicos del área de
matemáticas el "Desarrollo de la agilidad mental", expresión cuyo significado no
era explicada en el texto donde se recogía la propuesta.
Posteriormente, en los programas renovados del año 1981 (MEC,1981), sí se
mencionaba el cálculo mental, relacionándolo con la aplicación 2 de las
propiedades de las operaciones y con la resolución de situaciones de la vida real,
en un enfoque vinculado al cálculo rápido.
Así queda reflejado en la cita siguiente:
Cálculo mental y rápido de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Desarrollo de la agilidad mental en el cálculo de estas cuatro operaciones.
Aplicar las propiedades conocidas para simplificar y agilizar el cálculo mental.
(MEC, 1981)
En esta propuesta, de carácter funcional, no se explicitaban los métodos que
había que enseñar.
En cambio, en el nuevo modelo educativo español (LOGSE), donde se otorga al
cálculo mental un renovado protagonismo, si que se señalan (DCB 1989) algunos
de ellos.
Concretamente, en el cálculo mental aditivo: la conmutación, descomposición,
redondeo, conteo y duplicado; y, en el cálculo mental multiplicativo: la distribución
y la factorización.
Lo innovador del enfoque actual es que está orientado hacia el cálculo flexible,
bajo una perspectiva que defiende la autonomía, la exploración y la reflexión sobre
los procedimientos mismos (DCB 1989); se proyecta en la educación secundaria y
se fundamenta en la valoración del papel que el cálculo mental tiene en la
adquisición de los conceptos relacionados con las operaciones (DBR, 1990).
También en otros países la propuesta oficial u oficialista discurre por estos
derroteros, así por ejemplo, la propuesta Norteamericana, plasmada en el
documento “Standards” (NCTM, 1989), para los años 90 recomienda repensar el
cálculo enfatizando más variación y menos predominio de cálculo escrito.
En definitiva, puede verse en los documentos oficiales que hay una serie de
planteamientos innovadores en relación a la anterior propuesta del currículum
donde el cálculo mental atendía a un requerimiento utilitario, centrado en el Ciclo
Medio, que es la época del aprendizaje de las operaciones.
3 Para desarrollar este nuevo planteamiento, se requiere precisar dos puntos
principales: uno es el del contenido que debe enseñarse, es decir, los métodos de
cálculo mental que se deben considerar con interés educativo; y el otro es la forma
de presentarlos, es decir, la secuencia didáctica de enseñanza que asegure su
apropiación óptima por parte de los estudiantes, de acuerdo con los objetivos
propuestos.
En relación con el primer punto se puede considerar, de acuerdo con Schubring
(1987), que la enseñanza práctica no está tanto más determinada por los decretos
ministeriales y programas oficiales como por los libros de texto usados para la
enseñanza. Esto puede interpretarse en el sentido de que para establecer una
lista de métodos de cálculo mental para la enseñanza, que pueda ser aceptada
(MEC, 1981)
En esta propuesta, de carácter funcional, no se explicitaban los métodos que
había que enseñar.
En cambio, en el nuevo modelo educativo español (LOGSE), donde se otorga al
cálculo mental un renovado protagonismo, si que se señalan (DCB 1989) algunos
de ellos.
Concretamente, en el cálculo mental aditivo: la conmutación, descomposición,
redondeo, conteo y duplicado; y, en el cálculo mental multiplicativo: la distribución
y la factorización.
Lo innovador del enfoque actual es que está orientado hacia el cálculo flexible,
bajo una perspectiva que defiende la autonomía, la exploración y la reflexión sobre
los procedimientos mismos (DCB 1989); se proyecta en la educación secundaria y
se fundamenta en la valoración del papel que el cálculo mental tiene en la
adquisición de los conceptos relacionados con las operaciones (DBR, 1990).
También en otros países la propuesta oficial u oficialista discurre por estos
derroteros, así por ejemplo, la propuesta Norteamericana, plasmada en el
documento “Standards” (NCTM, 1989), para los años 90 recomienda repensar el
cálculo enfatizando más variación y menos predominio de cálculo escrito.
En definitiva, puede verse en los documentos oficiales que hay una serie de
planteamientos innovadores en relación a la anterior propuesta del currículum
donde el cálculo mental atendía a un requerimiento utilitario, centrado en el Ciclo
Medio, que es la época del aprendizaje de las operaciones.
3 Para desarrollar este nuevo planteamiento, se requiere precisar dos puntos
principales: uno es el del contenido que debe enseñarse, es decir, los métodos de
cálculo mental que se deben considerar con interés educativo; y el otro es la forma
de presentarlos, es decir, la secuencia didáctica de enseñanza que asegure su
apropiación óptima por parte de los estudiantes, de acuerdo con los objetivos
propuestos.
En relación con el primer punto se puede considerar, de acuerdo con Schubring
(1987), que la enseñanza práctica no está tanto más determinada por los decretos
ministeriales y programas oficiales como por los libros de texto usados para la
enseñanza. Esto puede interpretarse en el sentido de que para establecer una
lista de métodos de cálculo mental para la enseñanza, que pueda ser aceptada
por el profesorado, debe tenerse en cuenta lo que ha sido la tradición vertida en
los libros.
En cuanto al segundo punto, cabe admitir que cualquier acción de enseñanza de
los métodos de cálculo mental siempre producirá un avance en su conocimiento,
uso y aplicabilidad; pero no es esto lo único que interesa, sino, más bien, que el
avance se produzca en una determinada dirección. En este sentido, lo que se
persigue es que la enseñanza de los métodos de cálculo mental conduzca a
conseguir una disminución del énfasis en los automatismos en favor del análisis y
la expresión significativa de las acciones sobre las situaciones numéricas.
En consideración a lo dicho con relación al primer punto se ha procedido de la
siguiente manera 2:
3. Criterios para la selección, organización y presentación de los métodos de
cálculo mental
La lista o catálogo de métodos de partida
Las listas o catálogos de métodos de cálculo que recoge cada uno de los libros de
aritmética revisados 3 son, vistas una a una, incompletas; esto es, ningún libro
recoge todos los métodos. No obstante, todas ellas en 4 conjunto permiten
elaborar una lista lo suficientemente exhaustiva para el propósito de este trabajo.
En la medida en que los métodos de cálculo mental no se pueden desligar de los
métodos del cálculo escrito, ya que no hay una línea divisoria clara entre los que
son para ser aplicados por escrito y los que son para ser aplicados mentalmente,
cualquier lista que se elabore, a partir de poner juntos los métodos que aparecen
en los diversos libros, ha de recoger tanto a los unos como a los otros.
Ahora bien, para elaborar esta lista es necesario establecer criterios para la
presentación, organización y lenguaje de los métodos, que, siendo convincentes
puedan ser admitidos por la comunidad de educadores, eviten redundancias o
dobles inclusiones, permitan agruparlos para facilitar una visión de conjunto y
contribuyan a la actualización y unificación del lenguaje.
Las diferentes formas de enunciar de los métodos
Una mirada detenida a los enunciados de los métodos tal y como aparecen
recogidos en las Aritméticas revisadas muestra tres enfoques diferentes: métodos
que se enuncian vinculándolos a una cifra particular como, por ejemplo, los
métodos para multiplicar por 5, 25, 9, 45, etc.; métodos que se enuncian
vinculándolos a condiciones particulares que cumplen los datos como, por
ejemplo, ser próximos a la unidad seguida de ceros, ser parte alícuota de la
los libros.
En cuanto al segundo punto, cabe admitir que cualquier acción de enseñanza de
los métodos de cálculo mental siempre producirá un avance en su conocimiento,
uso y aplicabilidad; pero no es esto lo único que interesa, sino, más bien, que el
avance se produzca en una determinada dirección. En este sentido, lo que se
persigue es que la enseñanza de los métodos de cálculo mental conduzca a
conseguir una disminución del énfasis en los automatismos en favor del análisis y
la expresión significativa de las acciones sobre las situaciones numéricas.
En consideración a lo dicho con relación al primer punto se ha procedido de la
siguiente manera 2:
3. Criterios para la selección, organización y presentación de los métodos de
cálculo mental
La lista o catálogo de métodos de partida
Las listas o catálogos de métodos de cálculo que recoge cada uno de los libros de
aritmética revisados 3 son, vistas una a una, incompletas; esto es, ningún libro
recoge todos los métodos. No obstante, todas ellas en 4 conjunto permiten
elaborar una lista lo suficientemente exhaustiva para el propósito de este trabajo.
En la medida en que los métodos de cálculo mental no se pueden desligar de los
métodos del cálculo escrito, ya que no hay una línea divisoria clara entre los que
son para ser aplicados por escrito y los que son para ser aplicados mentalmente,
cualquier lista que se elabore, a partir de poner juntos los métodos que aparecen
en los diversos libros, ha de recoger tanto a los unos como a los otros.
Ahora bien, para elaborar esta lista es necesario establecer criterios para la
presentación, organización y lenguaje de los métodos, que, siendo convincentes
puedan ser admitidos por la comunidad de educadores, eviten redundancias o
dobles inclusiones, permitan agruparlos para facilitar una visión de conjunto y
contribuyan a la actualización y unificación del lenguaje.
Las diferentes formas de enunciar de los métodos
Una mirada detenida a los enunciados de los métodos tal y como aparecen
recogidos en las Aritméticas revisadas muestra tres enfoques diferentes: métodos
que se enuncian vinculándolos a una cifra particular como, por ejemplo, los
métodos para multiplicar por 5, 25, 9, 45, etc.; métodos que se enuncian
vinculándolos a condiciones particulares que cumplen los datos como, por
ejemplo, ser próximos a la unidad seguida de ceros, ser parte alícuota de la
misma, etc.; y, por último, métodos que se enuncian vinculándolos a principios
generales de actuación, con independencia de cualquiera que sea el dato como,
por ejemplo, los que se enuncian como métodos de descomposición en sumandos
o en factores, o métodos que consisten en completar a la decena, centena,
superior, etc.
Las relaciones notables que sustentan los métodos
Algunos autores (Lacroix, 1797, Bruño, 1932) han destacado que el cálculo mental
debería basarse en el aprovechamiento de las relaciones 5 numéricas notables de
los datos. Así, han sugerido basarse en el número redondo, operar cambiando
multiplicación por división o viceversa, cuando esto haga más fácil obtener el
resultado; reducir los números decimales a fracciones, o aprovechar el que un
dato sea el doble, triple, mitad, etc., que el otro.
La estructura común
Los métodos de cálculo mental se basan, en gran medida, en la aplicación de las
mismas propiedades de las operaciones y en el uso de los mismos hechos del
sistema de numeración. Concretamente, se basan en la aplicación, sea cual sea la
operación implicada, de las propiedades conmutativa, asociativa o distributiva y de
los valores de orden de unidad de las cifras.
El lenguaje horizontal
Algunos autores (Smith, 1923, y Sánchez Pérez, 1949) han recurrido a abreviar la
presentación de los métodos mediante su formulación algebraica, pero esto
conlleva el riesgo de no dejar ver con facilidad la casuística a la que se aplican.
Para solventar este problema, lo que se ha hecho en los textos escolares actuales
es presentarlos con el lenguaje horizontal tomado del álgebra de igualdades y
paréntesis, pero usando siempre ejemplos numéricos, en vez de expresiones
estrictamente literales.
La presentación
En definitiva, los puntos que se acaban de señalar: lista exhaustiva, formas de
enunciar, relaciones numéricas notables, estructura común y lenguaje horizontal,
son elementos cuyo aprovechamiento conduce necesariamente a un determinado
modelo de presentación: enunciado, orden y enlace de los métodos.
6
Previamente, es obligado hacer ciertas precisiones con el fin de eliminar
ambigüedades y de disponer de terminología apropiada.
generales de actuación, con independencia de cualquiera que sea el dato como,
por ejemplo, los que se enuncian como métodos de descomposición en sumandos
o en factores, o métodos que consisten en completar a la decena, centena,
superior, etc.
Las relaciones notables que sustentan los métodos
Algunos autores (Lacroix, 1797, Bruño, 1932) han destacado que el cálculo mental
debería basarse en el aprovechamiento de las relaciones 5 numéricas notables de
los datos. Así, han sugerido basarse en el número redondo, operar cambiando
multiplicación por división o viceversa, cuando esto haga más fácil obtener el
resultado; reducir los números decimales a fracciones, o aprovechar el que un
dato sea el doble, triple, mitad, etc., que el otro.
La estructura común
Los métodos de cálculo mental se basan, en gran medida, en la aplicación de las
mismas propiedades de las operaciones y en el uso de los mismos hechos del
sistema de numeración. Concretamente, se basan en la aplicación, sea cual sea la
operación implicada, de las propiedades conmutativa, asociativa o distributiva y de
los valores de orden de unidad de las cifras.
El lenguaje horizontal
Algunos autores (Smith, 1923, y Sánchez Pérez, 1949) han recurrido a abreviar la
presentación de los métodos mediante su formulación algebraica, pero esto
conlleva el riesgo de no dejar ver con facilidad la casuística a la que se aplican.
Para solventar este problema, lo que se ha hecho en los textos escolares actuales
es presentarlos con el lenguaje horizontal tomado del álgebra de igualdades y
paréntesis, pero usando siempre ejemplos numéricos, en vez de expresiones
estrictamente literales.
La presentación
En definitiva, los puntos que se acaban de señalar: lista exhaustiva, formas de
enunciar, relaciones numéricas notables, estructura común y lenguaje horizontal,
son elementos cuyo aprovechamiento conduce necesariamente a un determinado
modelo de presentación: enunciado, orden y enlace de los métodos.
6
Previamente, es obligado hacer ciertas precisiones con el fin de eliminar
ambigüedades y de disponer de terminología apropiada.
Diferenciación entre estrategia, método, procedimiento, etc.
Aunque estrategia, método y procedimiento se usan en el cálculo unas veces
como sinónimos4 y otras no5, según quien sea el autor, en este trabajo, se ha
considerado (siguiendo la tendencia oficial del currículum español) por razones de
organización y descripción, que son términos que se refieren a hechos diferentes.
Así:
Las estrategias de cálculo mental son los principios directores generales de la
resolución, y por lo tanto, que funcionan con cualquiera que sea la operación
atendiendo a la manera de tratar los datos.
Los métodos de cálculo mental son las formas en que se concretan las estrategias
al tomar en cuenta las operaciones, los hechos y las relaciones numéricas
involucradas en los datos6. Las modalidades de los métodos son sus diversas
variantes según que se aplique a uno o al otro dato, o sobre una u otra operación.
Y, por último, los procedimientos son las secuencias ordenadas y explícitas de
cálculos que desarrollan los métodos hasta llegar al resultado.
4. Esquema global de los métodos de cálculo mental
Con la diferenciación entre estrategia (en mayúsculas) y método (en minúsculas)
junto con los criterios señalados antes, se ha elaborado el siguiente esquema:
1. ARTIFICIOS
1.1 DE COLUMNAS
Además de los usuales, cuatro variantes en la resta (llevando, prestando,
complementando y aditiva.
1.2 REGLAS
Multiplicación reglada de números terminados en ceros, de números formados
sólo por unos, de números formados sólo por nueves, de los números de la Tabla
Mayor, y, de números con coma decimal
Multiplicación por Complementos. Multiplicación Cruzada o Cruceta
1.3 FÓRMULAS
Cuadráticas y Numéricas
7
2. DESCOMPOSICIONES
Aunque estrategia, método y procedimiento se usan en el cálculo unas veces
como sinónimos4 y otras no5, según quien sea el autor, en este trabajo, se ha
considerado (siguiendo la tendencia oficial del currículum español) por razones de
organización y descripción, que son términos que se refieren a hechos diferentes.
Así:
Las estrategias de cálculo mental son los principios directores generales de la
resolución, y por lo tanto, que funcionan con cualquiera que sea la operación
atendiendo a la manera de tratar los datos.
Los métodos de cálculo mental son las formas en que se concretan las estrategias
al tomar en cuenta las operaciones, los hechos y las relaciones numéricas
involucradas en los datos6. Las modalidades de los métodos son sus diversas
variantes según que se aplique a uno o al otro dato, o sobre una u otra operación.
Y, por último, los procedimientos son las secuencias ordenadas y explícitas de
cálculos que desarrollan los métodos hasta llegar al resultado.
4. Esquema global de los métodos de cálculo mental
Con la diferenciación entre estrategia (en mayúsculas) y método (en minúsculas)
junto con los criterios señalados antes, se ha elaborado el siguiente esquema:
1. ARTIFICIOS
1.1 DE COLUMNAS
Además de los usuales, cuatro variantes en la resta (llevando, prestando,
complementando y aditiva.
1.2 REGLAS
Multiplicación reglada de números terminados en ceros, de números formados
sólo por unos, de números formados sólo por nueves, de los números de la Tabla
Mayor, y, de números con coma decimal
Multiplicación por Complementos. Multiplicación Cruzada o Cruceta
1.3 FÓRMULAS
Cuadráticas y Numéricas
7
2. DESCOMPOSICIONES
2.1 DISOCIACIONES
A) DISOCIACIONES POR DESCABEZAMIENTO
De un dato: Agregar, segregar, distribuir
De los dos datos: Primeros Dígitos reagrupando, recuperando, cambiando
B) DISOCIACIONES SUBSIDIARIAS
Resta haciendo la misma terminación, resta prestando y resta por Patrones-
Hecho conocido
2.2 FACTORIZACIONES
A) FACTORIZACIONES SIMPLES
B) FACTORIZACIONES SUBSIDIARIAS
3. COMPENSACIONES
3.1 COMPENSACIONES INTERMEDIAS
Añadir y quitar, Promediar, Doble y mitad, Conservar y Alicuotar
3.2 COMPENSACIONES FINALES.
Redondeo
Incremento Subsidiario
4. RECUENTOS
4.1 CONTAR A SALTOS
Repetición de grupo
5. Catálogo de los métodos de cálculo mental, ilustrado con ejemplos.
A continuación, se detalla el esquema anterior ilustrando la casuística con
ejemplos tomados de la literatura.
El hecho de que no hayan ejemplos de todos los métodos en todas las
operaciones debe entenderse como que los diversos autores no los han
considerado relevantes.
1. ARTIFICIOS
A) DISOCIACIONES POR DESCABEZAMIENTO
De un dato: Agregar, segregar, distribuir
De los dos datos: Primeros Dígitos reagrupando, recuperando, cambiando
B) DISOCIACIONES SUBSIDIARIAS
Resta haciendo la misma terminación, resta prestando y resta por Patrones-
Hecho conocido
2.2 FACTORIZACIONES
A) FACTORIZACIONES SIMPLES
B) FACTORIZACIONES SUBSIDIARIAS
3. COMPENSACIONES
3.1 COMPENSACIONES INTERMEDIAS
Añadir y quitar, Promediar, Doble y mitad, Conservar y Alicuotar
3.2 COMPENSACIONES FINALES.
Redondeo
Incremento Subsidiario
4. RECUENTOS
4.1 CONTAR A SALTOS
Repetición de grupo
5. Catálogo de los métodos de cálculo mental, ilustrado con ejemplos.
A continuación, se detalla el esquema anterior ilustrando la casuística con
ejemplos tomados de la literatura.
El hecho de que no hayan ejemplos de todos los métodos en todas las
operaciones debe entenderse como que los diversos autores no los han
considerado relevantes.
1. ARTIFICIOS
1.1 DE COLUMNAS. Es la reproducción o emulación mental del algoritmo
estándar de lápiz y papel, o algunas de sus variantes. Se actúa siempre en
términos de posición, por columnas tomando las cifras o grupos de cifras
aisladamente 7.
Resta: 672-458
Llevando: "12 menos 8, 4; 7 menos 6, 1; 6 menos 4, 2. Total 214".
Natural o Prestando: "12 menos 8; 6 menos 5 y 6 menos 4".
8 Complementando: "el complemento de 8, 2; 2 y 2 son 4; el complemento de 5, 5;
5 y 6, 11; el complemento de 4, 6; 6 y 6, 12".
Aditiva: "8 y 4, 12, llevo una, 5 y 1, 6; 6 y 1, 7; 4 y 2 son 6".
1.2 REGLAS. Son las recogidas por la tradición escrita en las Aritméticas antiguas
como tales.
Multiplicación de números terminados en ceros
Suma, cuando los sumandos terminan en ceros, sumando sólo las cifras
significativas: 600+700+4500= "son 6+7+45 cientos, 5800".
Multiplicación por números que terminan en ceros: 7x1000="son 7 y añado tres
ceros, 7000". 7x300= "son 7x3 y añado dos ceros, 2100".
División cuando el dividendo y divisor terminan en ceros, o sólo el divisor:
36000:500= "son 360:5, 72 y resto 0”.
Multiplicación reglada de números formados sólo por unos
Multiplicación por 11: 57x11="dejo el 7; sumo 5+7,12; dejo el 2 y llevo 1 al 5, que
son 6. Total 627”.
Multiplicación de 101 por un número de 2 cifras, y 1.001 por uno de tres:
58x101=“a 58 le añado 58. Total 5858”. 988x1001=“988 y añado 988. Total
988988”.
Multiplicación reglada de números formados sólo por nueves
47x99=...“a 47 le quito 1, 46; luego 100-47, 53. Total 4653”.
Multiplicación de números de dos cifras o Tabla Mayor. Son las reglas que
resultan al agrupar los factores comunes que resultan de aplicar la doble
distribución a números comprendidos entre 10 y 100.
estándar de lápiz y papel, o algunas de sus variantes. Se actúa siempre en
términos de posición, por columnas tomando las cifras o grupos de cifras
aisladamente 7.
Resta: 672-458
Llevando: "12 menos 8, 4; 7 menos 6, 1; 6 menos 4, 2. Total 214".
Natural o Prestando: "12 menos 8; 6 menos 5 y 6 menos 4".
8 Complementando: "el complemento de 8, 2; 2 y 2 son 4; el complemento de 5, 5;
5 y 6, 11; el complemento de 4, 6; 6 y 6, 12".
Aditiva: "8 y 4, 12, llevo una, 5 y 1, 6; 6 y 1, 7; 4 y 2 son 6".
1.2 REGLAS. Son las recogidas por la tradición escrita en las Aritméticas antiguas
como tales.
Multiplicación de números terminados en ceros
Suma, cuando los sumandos terminan en ceros, sumando sólo las cifras
significativas: 600+700+4500= "son 6+7+45 cientos, 5800".
Multiplicación por números que terminan en ceros: 7x1000="son 7 y añado tres
ceros, 7000". 7x300= "son 7x3 y añado dos ceros, 2100".
División cuando el dividendo y divisor terminan en ceros, o sólo el divisor:
36000:500= "son 360:5, 72 y resto 0”.
Multiplicación reglada de números formados sólo por unos
Multiplicación por 11: 57x11="dejo el 7; sumo 5+7,12; dejo el 2 y llevo 1 al 5, que
son 6. Total 627”.
Multiplicación de 101 por un número de 2 cifras, y 1.001 por uno de tres:
58x101=“a 58 le añado 58. Total 5858”. 988x1001=“988 y añado 988. Total
988988”.
Multiplicación reglada de números formados sólo por nueves
47x99=...“a 47 le quito 1, 46; luego 100-47, 53. Total 4653”.
Multiplicación de números de dos cifras o Tabla Mayor. Son las reglas que
resultan al agrupar los factores comunes que resultan de aplicar la doble
distribución a números comprendidos entre 10 y 100.
Los dos nºs son iguales en decenas: (10a+b)(10a+c)=10a(10a+b+c)+bc.
“Uno más unidades del otro por decenas y añado unidades por unidades”.
25x27=(25+7)x2x10+7x5=675. 13x18=(18+3)x10+3x8=234.
103x106=(103+6)x100+3x6=10918. 1005x1008=1013x1000+5x8=1013040.
Los dos nºs son iguales en decenas, y sus unidades suman diez:
(10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc. “Primero por siguiente y añado
9 unidades por unidades”. 47x43=40x50+3x7=2021. 35x35=“12 y añado
25”=1225.
Los dos números son iguales en unidades y sus decenas suman diez:
(10a+b)(10c+b)=100(ac+b)+b2). “uno por otro más unidades y añado el
cuadrado de las unidades”. 34x74= (3x7+4)100+4x4=2516.
Multiplicación por Complementos. Son las reglas que resultan al apoyarse
en el producto de los complementos aritméticos, cuando éste es más
fácil que el producto de los dados.
Multiplicación por la regla de "los Perezosos": ab=(10-a)(10-b)+10[a-
(10-b)]). 8x7=“10-8=2; 10-7=3; 8-3=5, son las decenas, y 2x3=6 son las
unidades. Total 56”.
Multiplicación por la regla de "San Andrés": ab=(100-a)(100-b)+100[a-
(100-b)]. 89x98=“100-98=2, 100-89=11, 98-11=87, esto son las centenas;
2x11=22, esto son las unidades”=8722. 989x998=11x2+(998-11)x1000
=987022.
Multiplicación Cruzada o Cruceta. Consiste en sumar los parciales del
mismo orden de unidad, al tiempo que se obtienen, para ahorrarse
filas de las que salen en el algoritmo escrito. 17x16= “6x7, 52, 2 y me
llevo 4. 6 y 7, 13. 13 y 4 que me llevo 17, 7 y me llevo 1. Siempre 1 y
“Uno más unidades del otro por decenas y añado unidades por unidades”.
25x27=(25+7)x2x10+7x5=675. 13x18=(18+3)x10+3x8=234.
103x106=(103+6)x100+3x6=10918. 1005x1008=1013x1000+5x8=1013040.
Los dos nºs son iguales en decenas, y sus unidades suman diez:
(10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc. “Primero por siguiente y añado
9 unidades por unidades”. 47x43=40x50+3x7=2021. 35x35=“12 y añado
25”=1225.
Los dos números son iguales en unidades y sus decenas suman diez:
(10a+b)(10c+b)=100(ac+b)+b2). “uno por otro más unidades y añado el
cuadrado de las unidades”. 34x74= (3x7+4)100+4x4=2516.
Multiplicación por Complementos. Son las reglas que resultan al apoyarse
en el producto de los complementos aritméticos, cuando éste es más
fácil que el producto de los dados.
Multiplicación por la regla de "los Perezosos": ab=(10-a)(10-b)+10[a-
(10-b)]). 8x7=“10-8=2; 10-7=3; 8-3=5, son las decenas, y 2x3=6 son las
unidades. Total 56”.
Multiplicación por la regla de "San Andrés": ab=(100-a)(100-b)+100[a-
(100-b)]. 89x98=“100-98=2, 100-89=11, 98-11=87, esto son las centenas;
2x11=22, esto son las unidades”=8722. 989x998=11x2+(998-11)x1000
=987022.
Multiplicación Cruzada o Cruceta. Consiste en sumar los parciales del
mismo orden de unidad, al tiempo que se obtienen, para ahorrarse
filas de las que salen en el algoritmo escrito. 17x16= “6x7, 52, 2 y me
llevo 4. 6 y 7, 13. 13 y 4 que me llevo 17, 7 y me llevo 1. Siempre 1 y
una que me llevo son 2. Total 272”.
1.3 FÓRMULAS. Son las identidades literales o numéricas conocidas.
Cuadráticas.
Cuadrado de un nº por la fórmula del binomio (a+b)2=a2+2ab+b2:
312=(30+1)2=302+2x1x30+1=961. 182=(20-2)2=... 10012=(1000+1)2 ...
Multiplicación por la fórmula de la diferencia de cuadrados: axb=[
a+b
2
]2 - [
a-b
2 ]2, en los casos de cero o de cinco central: 19x21=202-1=399.
6,5x7,5=72-0,52=49-0,25=48,75. 64x66=652-1=4224.
Cuadrado de números comprendidos entre 25 y 50, por el método de
las diferencias a 25 y 50: a2=100x(a-25)+(50-a)2. 46x46=“46-25=21; 50-
46=4. 21x100+4x4 ó a 21 le añado 16. Total 2116".
Numéricas
10
Suma de secuencias nºs naturales limitadas: 1+2+...+ n, o trozos de ella
por la fórmula correspondiente: 1+2+3+ ... +40=40x41:2=820.
61+63+65+67+69=5x65=325.
2. DESCOMPOSICIONES. Uso de cantidades menores que las dadas.
2.1 DISOCIACIONES. Son las descomposiciones en sumandos.
A) DISOCIACIONES POR DESCABEZAMIENTO. Cuando los sumandos
son los que resultan al completar las cifras con sus ceros correspondientes
o con sus órdenes de unidad.
1.3 FÓRMULAS. Son las identidades literales o numéricas conocidas.
Cuadráticas.
Cuadrado de un nº por la fórmula del binomio (a+b)2=a2+2ab+b2:
312=(30+1)2=302+2x1x30+1=961. 182=(20-2)2=... 10012=(1000+1)2 ...
Multiplicación por la fórmula de la diferencia de cuadrados: axb=[
a+b
2
]2 - [
a-b
2 ]2, en los casos de cero o de cinco central: 19x21=202-1=399.
6,5x7,5=72-0,52=49-0,25=48,75. 64x66=652-1=4224.
Cuadrado de números comprendidos entre 25 y 50, por el método de
las diferencias a 25 y 50: a2=100x(a-25)+(50-a)2. 46x46=“46-25=21; 50-
46=4. 21x100+4x4 ó a 21 le añado 16. Total 2116".
Numéricas
10
Suma de secuencias nºs naturales limitadas: 1+2+...+ n, o trozos de ella
por la fórmula correspondiente: 1+2+3+ ... +40=40x41:2=820.
61+63+65+67+69=5x65=325.
2. DESCOMPOSICIONES. Uso de cantidades menores que las dadas.
2.1 DISOCIACIONES. Son las descomposiciones en sumandos.
A) DISOCIACIONES POR DESCABEZAMIENTO. Cuando los sumandos
son los que resultan al completar las cifras con sus ceros correspondientes
o con sus órdenes de unidad.
Descabezamiento de un dato
Agregar, o sumar sucesivamente empezando por la cifra de orden superior
completada: 63+45=63+40+5=108.
Segregar, o restar sucesivamente empezando por la cifra de orden superior
completada: 894-632=894-600-30-2=262.
Distribuir, o multiplicar sucesivamente empezando por la cifra de orden superior
completada: 46x32=(40+6)x32=40x32+6x32.
División sucesiva de los diversos órdenes de unidad del dividendo:
1500:25=1000:25+500:25=60.
Descabezamiento de los dos datos o por "primeros dígitos" Resta descabezando y
recuperando: 725-443=((700-400)+25)-43.
Suma descabezando y reagrupando: 154+26=(150+20)+(4+6).
Resta descabezando y cambiando el signo de la resta parcial cuando la parte que
hace de sustraendo es mayor que la que hace de minuendo:
725-443=(700-400)-(43-25).
B) DISOCIACIONES SUBSIDIARIAS. Descomposición de uno de los datos en
función del otro.
Resta haciendo la misma terminación: 461-166=461-161-5=295.
Resta prestando: 13-8,25=(12-8)+(1-0,25).
Suma, resta, multiplicación o división por patrones o hechos conocidos:
Dobles, 25+28=25+25+3=53. Complementos, 54+48= 54+46+2=102.
Cuadrados, 25x26=25x(25+1)=650. Cuartos, 36x1,25= 36x(1+1/4)=45.
11 Mitades, 38x1,5=38x(1+1/2)=57. tercios, 27:0,75= 27x(1+1/3)=36. Otros,
46x22=46x(20+20/10)=“Doble de 46, 92, 920 y añado su décima parte”.
Análogamente, con 33, 44 ... , 110.
Multiplicación de 5, 25, 35,... por un número no par:
25x17=25x(16+1) =50x8+25=425.
Multiplicación por 25, 1215, 1125, 75, 175, 15, 150, 155:
Agregar, o sumar sucesivamente empezando por la cifra de orden superior
completada: 63+45=63+40+5=108.
Segregar, o restar sucesivamente empezando por la cifra de orden superior
completada: 894-632=894-600-30-2=262.
Distribuir, o multiplicar sucesivamente empezando por la cifra de orden superior
completada: 46x32=(40+6)x32=40x32+6x32.
División sucesiva de los diversos órdenes de unidad del dividendo:
1500:25=1000:25+500:25=60.
Descabezamiento de los dos datos o por "primeros dígitos" Resta descabezando y
recuperando: 725-443=((700-400)+25)-43.
Suma descabezando y reagrupando: 154+26=(150+20)+(4+6).
Resta descabezando y cambiando el signo de la resta parcial cuando la parte que
hace de sustraendo es mayor que la que hace de minuendo:
725-443=(700-400)-(43-25).
B) DISOCIACIONES SUBSIDIARIAS. Descomposición de uno de los datos en
función del otro.
Resta haciendo la misma terminación: 461-166=461-161-5=295.
Resta prestando: 13-8,25=(12-8)+(1-0,25).
Suma, resta, multiplicación o división por patrones o hechos conocidos:
Dobles, 25+28=25+25+3=53. Complementos, 54+48= 54+46+2=102.
Cuadrados, 25x26=25x(25+1)=650. Cuartos, 36x1,25= 36x(1+1/4)=45.
11 Mitades, 38x1,5=38x(1+1/2)=57. tercios, 27:0,75= 27x(1+1/3)=36. Otros,
46x22=46x(20+20/10)=“Doble de 46, 92, 920 y añado su décima parte”.
Análogamente, con 33, 44 ... , 110.
Multiplicación de 5, 25, 35,... por un número no par:
25x17=25x(16+1) =50x8+25=425.
Multiplicación por 25, 1215, 1125, 75, 175, 15, 150, 155:
34x25= 34x(10x2+10/2). 36x125=36x(100+100/4). 36x1125=36x(1000+
100+100/4). 36x75=36x(50+25)=36x(100/2+50/2). 38x15=38x(10+10/2).
División, descomponiendo el dividendo en sumandos que son
múltiplos del divisor:
792:11=(770+22):11=770:11+22:11=72.
2.2 FACTORIZACIONES. Descomposición de uno o ambos datos en
factores.
A) FACTORIZACIONES SIMPLES
Multiplicación por 12, 15, 22, 33, 44, ... :
37x12=37x3x4=111x4=444. 18x15=9x2x5x3=27x10=270.
26x33=(26x11)x3.
División descomponiendo el divisor en factores: 75:15=75:3:5=5.
B) FACTORIZACIONES SUBSIDIARIAS
División descomponiendo el dividendo en factores:
1500:25= 15x(100:25)=15x4=60.
3. COMPENSACIONES. Es servirse del incremento de uno o los dos datos
compensando adecuadamente el resultado.
3.1 COMPENSACIÓN INTERMEDIA. Compensar antes de operar los parciales.
Añadir y quitar. Añadir a un dato unidades que se quitan al otro.
Suma completando decenas: 81+59=80+60.
Suma doblando el número central, conocida como procedimiento del
“número misterioso”(Green, 1985): 34+36=35+35=70.
Promediar. Hallar la media de productos equidistantes:
60x25=...60x20=1200, 60x30=1800. Luego 60x25=(1200+1800)/2=1500.
12
100+100/4). 36x75=36x(50+25)=36x(100/2+50/2). 38x15=38x(10+10/2).
División, descomponiendo el dividendo en sumandos que son
múltiplos del divisor:
792:11=(770+22):11=770:11+22:11=72.
2.2 FACTORIZACIONES. Descomposición de uno o ambos datos en
factores.
A) FACTORIZACIONES SIMPLES
Multiplicación por 12, 15, 22, 33, 44, ... :
37x12=37x3x4=111x4=444. 18x15=9x2x5x3=27x10=270.
26x33=(26x11)x3.
División descomponiendo el divisor en factores: 75:15=75:3:5=5.
B) FACTORIZACIONES SUBSIDIARIAS
División descomponiendo el dividendo en factores:
1500:25= 15x(100:25)=15x4=60.
3. COMPENSACIONES. Es servirse del incremento de uno o los dos datos
compensando adecuadamente el resultado.
3.1 COMPENSACIÓN INTERMEDIA. Compensar antes de operar los parciales.
Añadir y quitar. Añadir a un dato unidades que se quitan al otro.
Suma completando decenas: 81+59=80+60.
Suma doblando el número central, conocida como procedimiento del
“número misterioso”(Green, 1985): 34+36=35+35=70.
Promediar. Hallar la media de productos equidistantes:
60x25=...60x20=1200, 60x30=1800. Luego 60x25=(1200+1800)/2=1500.
12
Doble y mitad. Doblar un dato y dimidiar el otro simultáneamente.
Multiplicación de 15, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95, por un número par:
28x35=14x70=980.
Multiplicación por un número que es potencia de 2:
16x36= 8x72=4x144=2x288=576.
Conservar. Sumar o restar el mismo número al minuendo y al
sustraendo, para hacer decenas, centenas, ..., completas.
Resta sumando a los datos el complemento del sustraendo: 46-18 =48-
20=28.
Alicuotar. Aplicar las relaciones alícuotas (ser divisor) de un dato.
Multiplicación por 5, 2 y 1/2 o 2,5, 25, 125, 75, 375, 625, 875 etc., o
cualquier otro número que sea parte alícuota de 10, 100, 1000:
420x5=420x10/2; 82x(2 y 1/2) ó 82x2,5=82x10/4; 64x25=64x100/4;
36x75=(36:4)x3x100; 72x125=72x1000/8; 64x375=64x3000/8, 64x625=
64x5000/8, 64x875=64x7000/8.
División por 5; 25; 125; 75; 0,50; 0,25; 0,125; 0,75; 1,25; 1,5; etc., y en
general cuando el divisor es parte alícuota de 10, 100,... : 48:5=48x2/10;
2400:25=2400x4/100.
Multiplicación por 0,5; 0,25; 0,2; 0,125: 28x0,5=28x(1/2): 36x0,25=
36x(1/4); 18x0,2=18:5.
División por 0,5; 0,25; 0,2; 0,125: 36:0,5=36x2; 38:0,25=38x4; 18:0,2=18x5
Multiplicación por 0, 75 1,25; 1,5: 28x0,75=(28:4)x3; 24x1,25=24x5/4;
34x1,5=(34:2)x3/2.
División por 0,75; 1,25; 1,5: 69:0,75=(69:3)x4.
División por un número al que a su inverso le falta una parte alícuota
Multiplicación de 15, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95, por un número par:
28x35=14x70=980.
Multiplicación por un número que es potencia de 2:
16x36= 8x72=4x144=2x288=576.
Conservar. Sumar o restar el mismo número al minuendo y al
sustraendo, para hacer decenas, centenas, ..., completas.
Resta sumando a los datos el complemento del sustraendo: 46-18 =48-
20=28.
Alicuotar. Aplicar las relaciones alícuotas (ser divisor) de un dato.
Multiplicación por 5, 2 y 1/2 o 2,5, 25, 125, 75, 375, 625, 875 etc., o
cualquier otro número que sea parte alícuota de 10, 100, 1000:
420x5=420x10/2; 82x(2 y 1/2) ó 82x2,5=82x10/4; 64x25=64x100/4;
36x75=(36:4)x3x100; 72x125=72x1000/8; 64x375=64x3000/8, 64x625=
64x5000/8, 64x875=64x7000/8.
División por 5; 25; 125; 75; 0,50; 0,25; 0,125; 0,75; 1,25; 1,5; etc., y en
general cuando el divisor es parte alícuota de 10, 100,... : 48:5=48x2/10;
2400:25=2400x4/100.
Multiplicación por 0,5; 0,25; 0,2; 0,125: 28x0,5=28x(1/2): 36x0,25=
36x(1/4); 18x0,2=18:5.
División por 0,5; 0,25; 0,2; 0,125: 36:0,5=36x2; 38:0,25=38x4; 18:0,2=18x5
Multiplicación por 0, 75 1,25; 1,5: 28x0,75=(28:4)x3; 24x1,25=24x5/4;
34x1,5=(34:2)x3/2.
División por 0,75; 1,25; 1,5: 69:0,75=(69:3)x4.
División por un número al que a su inverso le falta una parte alícuota
de 1, 10, 100,... : 65:1,25=65x(1-1/5); 93:1,5=93x(1-1/3).
3.2 COMPENSACIÓN FINAL. Compensar al acabar las operaciones
parciales.
Redondeo. Completar la decena, centena,..., inmediata superior de
alguno de los datos.
Suma añadiendo a cualquiera de los sumandos para hacer una
cantidad exacta de decenas, centenas, ... : 56+17=(56+20)-3
13
Resta añadiendo al sustraendo para hacer una cantidad exacta de
decenas, centenas, ... : 265-199 =265-200+1.
Multiplicación por un número cualquiera de nueves: 9, 99,... :
84x9=84x(10-1)=840-84; 47x99=47x(100-1)=4700-47.
Multiplicación por un número próximamente menor que un número
múltiplo 10, 100, 1000: 34x19=34(20-1); 25x47=25x(50-3).
Multiplicación por un número próximamente menor que 10, 100, 1000
al que le falta un número que es parte alícuota de alguno de éstos:
36x7,5=36x(10-1/4 de 10); 32x75=32x(100-1/4 de 100); 48x0,75= 48x(1-
1/4); 64x87,5=64x(100-1/8 de 100); 48x875=48x(1000-1/8 de 1000).
División cuando al dividendo le falta un múltiplo del divisor para ser
100, 1000, ... : 975:25=(1000-25):25.
Multiplicación por un número al que le falta 1/10 de su decena
inmediata superior: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 91: 67x18=67x(20-1/10 de
20).
Incremento Subsidiario . Suplir un dato por otro mayor que tiene un
método vinculado o da lugar a un hecho de resultado conocido.
3.2 COMPENSACIÓN FINAL. Compensar al acabar las operaciones
parciales.
Redondeo. Completar la decena, centena,..., inmediata superior de
alguno de los datos.
Suma añadiendo a cualquiera de los sumandos para hacer una
cantidad exacta de decenas, centenas, ... : 56+17=(56+20)-3
13
Resta añadiendo al sustraendo para hacer una cantidad exacta de
decenas, centenas, ... : 265-199 =265-200+1.
Multiplicación por un número cualquiera de nueves: 9, 99,... :
84x9=84x(10-1)=840-84; 47x99=47x(100-1)=4700-47.
Multiplicación por un número próximamente menor que un número
múltiplo 10, 100, 1000: 34x19=34(20-1); 25x47=25x(50-3).
Multiplicación por un número próximamente menor que 10, 100, 1000
al que le falta un número que es parte alícuota de alguno de éstos:
36x7,5=36x(10-1/4 de 10); 32x75=32x(100-1/4 de 100); 48x0,75= 48x(1-
1/4); 64x87,5=64x(100-1/8 de 100); 48x875=48x(1000-1/8 de 1000).
División cuando al dividendo le falta un múltiplo del divisor para ser
100, 1000, ... : 975:25=(1000-25):25.
Multiplicación por un número al que le falta 1/10 de su decena
inmediata superior: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 91: 67x18=67x(20-1/10 de
20).
Incremento Subsidiario . Suplir un dato por otro mayor que tiene un
método vinculado o da lugar a un hecho de resultado conocido.
Multiplicación por 7, 6, 4, 45: 256x4=256x(10/2 -1).
4. RECUENTOS
4.1 CONTANDO A SALTOS
Repetición de grupo. Es servirse de actuaciones aditivas repetitivas que
involucran a las pautas recurrentes de la secuencia numérica.
División restando del dividendo múltiplos del divisor:
570:38="570-38x10, que son 570-380, 190, y 190 son 5x38 Total 10+5;
1500:25=4 veces 25 son 100, 1000 serán 40, y 500 la mitad, 20. Total 60.
Notas
1. El cálculo Mental es el cálculo de cabeza o de memoria (sin ayuda externa) y
con datos exactos. Esto incluye tanto a la emulación o adaptación mental de los
artificios estándar de columnas como a cualquier otro método alternativo. Debe
entenderse que el cálculo Mental es diferente del cálculo Estimado, del cálculo
Abreviado y del cálculo
Aproximado, aunque para algunas personas éstas sean denominaciones
14 sinónimas. En efecto, el cálculo Estimado es el cálculo cuando los números
que se operan son aproximaciones subjetivas de los datos para obtener una
respuesta razonablemente cercana del resultado real. El cálculo Aproximado es el
cálculo cuando los números que se operan son aproximaciones objetivas, por
restricciones obligadas o limitaciones derivadas de una medida, acotación o
magnitud del error acordada. Por último, el cálculo Abreviado, es el escrito con
datos exactos pero con métodos alternativos, o adaptaciones particulares de los
algoritmos estándar que ahorran o simplifican tarea.
2. El segundo punto ha sido abordado en una fase posterior a la que aquí se
presenta, en el marco de un trabajo de investigación que ha sido reflejado en la
tesis doctoral del autor.
3. La metodología seguida para la revisión fue la de consultar varios textos
renombrados de tres clases cronológicas de aritméticas: Textos anteriores al siglo
XIX, textos del siglo XIX y textos del siglo XX.
Fundamentalmente se ha trabajado sobre la información documentada por Smith
(1923) y Sánchez Pérez (1949), y sobre los textos de Treviso
4. RECUENTOS
4.1 CONTANDO A SALTOS
Repetición de grupo. Es servirse de actuaciones aditivas repetitivas que
involucran a las pautas recurrentes de la secuencia numérica.
División restando del dividendo múltiplos del divisor:
570:38="570-38x10, que son 570-380, 190, y 190 son 5x38 Total 10+5;
1500:25=4 veces 25 son 100, 1000 serán 40, y 500 la mitad, 20. Total 60.
Notas
1. El cálculo Mental es el cálculo de cabeza o de memoria (sin ayuda externa) y
con datos exactos. Esto incluye tanto a la emulación o adaptación mental de los
artificios estándar de columnas como a cualquier otro método alternativo. Debe
entenderse que el cálculo Mental es diferente del cálculo Estimado, del cálculo
Abreviado y del cálculo
Aproximado, aunque para algunas personas éstas sean denominaciones
14 sinónimas. En efecto, el cálculo Estimado es el cálculo cuando los números
que se operan son aproximaciones subjetivas de los datos para obtener una
respuesta razonablemente cercana del resultado real. El cálculo Aproximado es el
cálculo cuando los números que se operan son aproximaciones objetivas, por
restricciones obligadas o limitaciones derivadas de una medida, acotación o
magnitud del error acordada. Por último, el cálculo Abreviado, es el escrito con
datos exactos pero con métodos alternativos, o adaptaciones particulares de los
algoritmos estándar que ahorran o simplifican tarea.
2. El segundo punto ha sido abordado en una fase posterior a la que aquí se
presenta, en el marco de un trabajo de investigación que ha sido reflejado en la
tesis doctoral del autor.
3. La metodología seguida para la revisión fue la de consultar varios textos
renombrados de tres clases cronológicas de aritméticas: Textos anteriores al siglo
XIX, textos del siglo XIX y textos del siglo XX.
Fundamentalmente se ha trabajado sobre la información documentada por Smith
(1923) y Sánchez Pérez (1949), y sobre los textos de Treviso
(1478), Juan Pérez de Moya (1563), José Mariano Vallejo (1813), Sylvestre
François Lacroix (1797), Dalmáu Carles (1898), Bruño (1932), Anaya
(1986) y Santillana (1982 y 1988).
4. "Método de cálculo o estrategia es un procedimiento esquemático que
descompone su
trabajo en una preorganizada secuencia de pasos" (Hunter, 1978).
5. "... el aprendizaje de una serie de métodos y estrategias que permitan al
alumno operar" (DCB, 1989)
6. Se han utilizado estos hechos y relaciones para agrupar los métodos y
asignarles nombre, guardando en lo posible correspondencia con lo que
son denominaciones históricas, más o menos reconocidas.
7. En esta estrategia sólo se han encontrado métodos alternativos del tipo de
columnas
en el caso de la resta, en la suma, multiplicación y división sólo aparece el método
usual
Referencias bibliográficas
Anaya: EGB. AZIMUT. Equipo Signo. Madrid. Ediciones Anaya. 1986.
Serie reeditada.
Bruño:Tratado Teórico-Práctico de Aritmética Razonada. Curso Sup. (2ª. Ed.) y
Solucionario. Madrid, Barcelona. Ed. “La instrucción popular”. S. A. 1932.
15
Dalmáu Carles. J.:Aritmética razonada y Nociones de álgebra. Tratado
teóricopráctico
demostrado con aplicación a las diferentes cuestiones mercantiles para
uso de las Escuelas Normales y de las de Comercio. Libro del alumno. Grado
profesional. Barcelona, Madrid y Gerona. 1898. Serie reeditada.
D. B. R.: Documento Base para la reforma de la EGB . Valencia. Consellería de
François Lacroix (1797), Dalmáu Carles (1898), Bruño (1932), Anaya
(1986) y Santillana (1982 y 1988).
4. "Método de cálculo o estrategia es un procedimiento esquemático que
descompone su
trabajo en una preorganizada secuencia de pasos" (Hunter, 1978).
5. "... el aprendizaje de una serie de métodos y estrategias que permitan al
alumno operar" (DCB, 1989)
6. Se han utilizado estos hechos y relaciones para agrupar los métodos y
asignarles nombre, guardando en lo posible correspondencia con lo que
son denominaciones históricas, más o menos reconocidas.
7. En esta estrategia sólo se han encontrado métodos alternativos del tipo de
columnas
en el caso de la resta, en la suma, multiplicación y división sólo aparece el método
usual
Referencias bibliográficas
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Serie reeditada.
Bruño:Tratado Teórico-Práctico de Aritmética Razonada. Curso Sup. (2ª. Ed.) y
Solucionario. Madrid, Barcelona. Ed. “La instrucción popular”. S. A. 1932.
15
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Cultura. E. y C. de la C. Valenciana. 1990.
D. C. B.:Documento Diseño curricular base. Madrid. Ministerio de educación
y Ciencia (MEC). 1989.
Gómez, Alfonso, B.: Cognición y competencia en cálculo mental. En Joao
Pedro da Ponte y Joao Filipe Matos.Actas del XVIII congreso internacional
del PME (vol. 2, pp. 9-15). Lisboa. 1994. 29 Julio-3 Agosto.
Gómez Alfonso, B.: Los métodos de cálculo mental en el contexto educativo y
los procesos cognitivos involucrados en los errores que cometen los estudiantes al
aplicarlos. Doctoral dissertation, Universidad de Valencia-España. 1994.
Green, G.: Math-Facts Memory Made Easy. Arithmetic Teacher 33, 21-25.
1985.
Hunter, I. M. L.: The role of memory in expert mental calculations. In M.
M. Gruneberg; P. E. Morris y R. N. Sykes (eds.), Practical aspects of memory.
Londres. Academic Press, 339-345 (Cit. Hope, 1984). 1978.
Lacroix, S. F.: Tratado elemental de Aritmética. Traducción española de
Rebollo Morales. Edición de 1846. Madrid. Imprenta Nacional. 1797.
MEC. Nuevas Orientaciones Pedagógicas para la Educación General
Básica. Magisterio Español. Madrid. Ministerio de Educación y Ciencia.
1970
MEC . Programas Renovados de E.G.B. Ciclo Medio y Ciclo Superior.
Escuela española. Madrid. Ministerio de Educación y Ciencia. 1981.
NCTM (1989). Curriculum and evaluation. Standards for School Mathematics.
Reston, VA. National Council of Teachers of Mathematics.
Pérez de Moya, J.: Tratado de Mathematica en que se contienen cosas de
Arithmetica, Cosmografía, y Philosophia natural. Alcalá de Henares. 1573.
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y Ciencia (MEC). 1989.
Gómez, Alfonso, B.: Cognición y competencia en cálculo mental. En Joao
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del PME (vol. 2, pp. 9-15). Lisboa. 1994. 29 Julio-3 Agosto.
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los procesos cognitivos involucrados en los errores que cometen los estudiantes al
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M. Gruneberg; P. E. Morris y R. N. Sykes (eds.), Practical aspects of memory.
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Rebollo Morales. Edición de 1846. Madrid. Imprenta Nacional. 1797.
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1970
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Escuela española. Madrid. Ministerio de Educación y Ciencia. 1981.
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Reston, VA. National Council of Teachers of Mathematics.
Pérez de Moya, J.: Tratado de Mathematica en que se contienen cosas de
Arithmetica, Cosmografía, y Philosophia natural. Alcalá de Henares. 1573.
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