CAMPOS CONCEITUAIS VERGNAUD.ppt

Apresentação sobre os principais conceitos

1. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
1
GerardVergnaud:
“O longo e o curto prazo na
aprendizagem da Matemática”

2. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
2
Base Teórica:
Teoria dos Campos Conceituais
O longo prazo e o curto prazo
na aprendizagem da Matemática
Vergnaud(2011)refere-seao“longoprazo”
comoperspectivadedesenvolvimento,ou
seja,hádeserespeitarotempode
aprendizagemdosujeitodeaprendizageme
queoresultadonãoéinstantâneo,necessita
decertoperíododeacomodaçãodos
conhecimentosjáadquiridos.
o“curtoprazo”refere-seàsituaçãonaqualo
alunoestáagindoemdeterminadasituação
deaprendizagem,utilizandoosesquemasde
ações,envolvendoasinvariantes
operacionais,ousejaosteoremaseos
conceitosem ação,previamente
estabelecidoseoprofessoréoentede
ligação,quelhedácondiçõesparafacilitare
guiaroprocessodeaquisição.

3. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
3
Piaget e Vergnaud
Para Vergnaud, Piaget reduz seu estudo às estruturas lógicas
gerais, independentes do conteúdo do conhecimento:
“complexidade lógica geral”.
Piaget não trabalhou em contextos escolares, centro de interesse
de Vergnaud.
Vergnaud retoma os princípios de Piaget, porém adota como
referência o conteúdo do conhecimento.

4. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
4
Considerou-se um epistemólogo genético porque investigou a natureza e a
gênese do conhecimento nos seus processos e estágios de desenvolvimento.
Fonte: PORTAL EDUCAÇÃO -Cursos Online : Mais de 1000 cursos online com
certificado
http://www.portaleducacao.com.br/psicologia/artigos/26650/principios-sobre-o-
desenvolvimento-para-jean-piaget#ixzz2gZMDWmQj

5. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
5
Vergnaud(1994),defineCampoConceitual,da
seguintemaneira:
“...umconjuntodesituaçõescujotratamento
implicaesquemas,conceitoseteoremasem
estreitarelação,assimcomorepresentações
linguísticasesimbólicasquepodemutilizar-se
parasimbolizá-los”.
(VERGNAUD, 1994, p. 75)

6. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
6
apropostadeVergnaudéqueseidentifique,valorizee
estudeasaçõesdosestudantesnomomentoemqueeles
estãoresolvendoproblemas,poisénessemomentoque
osconceitoseconhecimentostraduzidosemformade
invariantesimplícitos,istoéquandoaparecemos
esquemasdeaçãodosujeito,formandoassimos
elementosconstitutivosdosesquemasdessesalunos,e
queoesquemaé“umaespéciedemodofinalizadopela
intençãodosujeitoeestruturadopelosmeiosqueeste
empregaparaalcançarseuobjetivo”VergnaudeLaborde
(1994,p.68).

7. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
7
Mapa Conceitual

8. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
8
Esquema
Conceito
Invariantes
ParaVergnaud,esquemaéoconceito
maisimportantedapsicologia
cognitiva,quandosetrataemteorizar
sobreaçãoeatividade,poisamaior
partedenossasatividadescognitivasé
efetuadaatravésdeesquemas.
Pensaréumgesto,soboaspectode
produzirsequênciasdeações,ou
operaçõessobcertascircunstâncias,
comobjetivos,ousub-objetivos,de
agruparinformaçõeseprocessá-las

9. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
9
Esquema Vergnaud, (1998), destaca quatro
características principais em um esquema:
1.Objetivos e antecipações;
2.Regras de ação, procura de informação
e controle;
3.Invariantes Operacionais (conceitos em
ação e teoremas em ação), que pilotam
o reconhecimento pelo sujeito dos
elementos pertinentes da situação e da
coleta de informações sobre a maneira
da situação a tratar.
4.Possibilidades de Inferências;

10. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
10
Conceito
-Conjuntodeesquemaspostosem
prática
-Conjuntodeinvariantesutilizáveisna
ação.
-Nestecasonãosediscuteavalidade
ounãodeumconceito,massimouso
depalavras,enunciadosesignos.
-Istolevaaconsiderarqueumconceito
éumatríadedosconjuntos:
C=(S,I,R)

11. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
11
Tríade
(S,I,R)
S:éoconjuntodassituaçõesquedão
sentidoaoconceito(areferência);
I:éoconjuntodeinvariantessobreos
quaisdescansaaoperacionalidadedos
esquemas(ossignificados);
R:éoconjuntodeformaslinguísticase
nãolinguísticasquepermitem
representarsimbolicamenteoconceito,
suaspropriedades,assituaçõeseos
procedimentosdetratamento(os
significantes).

12. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
12
Invariantes operatórios
I.Conceitos em ação.
II.Teoremas em ação.

13. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
13
I.Conceitos
em ação.
ConceitosemAçãosãorelevantesounão
ousãoparcialmenterelevantespara
identificareselecionarainformação,
porémrelevânciaouirrelevâncianão
significam:verdadeirooufalso,nãohá
significadoemdizerqueosconceitosdo
triângulo,ounúmero,ousimetriaou
operaçãoescalar,outransformaçõessão,
elasmesmas,verdadeirasoufalsas;e
aindaestesconceitossãoconceitos
matemáticosrelevantesparacaracterizar
representaçãoeaçãoemtarefas
matemáticas.

14. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
14
II.Teoremas
em ação
TeoremasemAçãosãodefinidoscomo
relaçõesmatemáticasquedevemser
levadosemconsideraçãopelosalunos
quandoelesescolhemumaoperação
ouumasequênciadeoperaçõespara
resolverumproblema.Estasrelações
geralmentenãosãoexpressas
verbalmentepelosalunos.Assim,
TeoremasemAçãonãosãoteoremas
desensoconvencionalporquea
maioriadelesnãosãoexplícitos.

15. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
15
II.Teoremas
em ação
Portanto,teoremasemação,são
formasdeanalisarasestratégias
intuitivasdosalunose
consequentementeajudá-losà
transformarconhecimentointuitivo
emconhecimentoexplícitoetambém
oferecerumcaminhopara
diagnosticaroconhecimentodoaluno
eassimoferecersituaçõesque
permitirãoconsolidarseu
conhecimento.

16. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
16
Campo Conceitual das Estruturas
Aditivas

17. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
17
Aditiva:
Composição de Medidas;
Transformação de Medidas;
Comparação de Medidas.
Multiplicativa:
Multiplicação;
Divisão por Partes;
Divisão por Cotas.

18. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
18
Definição.
[...]ocampoconceitualdasestruturas
aditivasésimultaneamenteoconjunto
desituaçõescujotratamentoimplica
umaouváriasadiçõesousubtrações,é
oconjuntodeconceitoseteoremasque
permitemanalisaressassituaçõescomo
tarefasmatemáticas.
Sãoelementosdasestruturasaditivas,
osconceitosdecardinal,medida,
transformação,temporalporaumento
oudiminuição,relaçãodecomparação
qualitativa,inversão.(VERGNAUD,
1990,p.146.)

19. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
19
Categorias
SegundoVergnaud(1991)asrelações
aditivassãorelaçõesternáriasque
podemserarticuladasdediversas
maneiraseoferecerumagrande
variedadedeestruturasaditivas.O
autoridentificaseisesquemasternários
básicos,elencadosaseguir.

20. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
20
Categorias
1.Composição de
duas medidas
em uma terceira
Duasmedidassecompõemparadar
lugaràoutramedida;(composição
protótipo);
Tipologia:Nestacategoriaestão
essencialmenteosproblemasdereunião
oudodesmembramentodecoleçõescom
valoresmensuráveis.Deacordocomque
sepede,otodoouumadaspartes,a
operaçãoassociadaseráumaadiçãoou
umasubtração.

21. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
©Alex Sandro Gomes e José Castro Filho
Composição de Medidas
•Ex.: Paulo tem seis
bolas de vidro e oito
de aço. Quantas ele
tem ao todo?
6
8
14

22. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
22
Categorias
2.Relação de
transformação
de estados
Umatransformaçãooperasobreuma
medidaparadarlugaraumaoutramedida
Tipologia:Estacategoriatratade
enunciadosquedescrevemassituaçõesque
sãodesenvolvidasfrequentementeno
tempo,emqueépossívelidentificarum
estadoinicial,umatransformação
(positivaounegativa)equeoperesobre
estadoparachegaraumestadofinal.Esta
estruturadefineaindaoutrasseis
categoriasdeproblemas,segundootipode
transformação:positivaounegativaesea
buscalevaaumestadofinalouumestado
inicial.

23. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
©Alex Sandro Gomes e José Castro Filho
Transformação de estados
•Paulo tinha sete bolas antes de jogar. Ele ganhou
quatro. Quantas ele tem agora ?
7
+4
11

24. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
24
Categorias
3.Relação de
comparação
aditiva
Umarelaçãoqueuneduasmedidas.
Tipologia:Aquitemosdoisestados
relativosaduasmedidasmensuráveis
oulocalizáveis,secomparamde
maneiraaditiva,ondeumadasmedidas
desempenhaumpapeldereferentea
outrareferido.Arelaçãoseenuncia
medianteasexpressões“amais”ou“a
menos”.

25. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
©Alex Sandro Gomes e José Castro Filho
Relação entre Medidas
•Paulo tem oito bolas.
José tem cinco bolas a
menos. Quantas bolas
tem José ?
8
3
-5

26. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
26
Categorias
4.Composições de
transformações
duastransformaçõessecompõempara
darlugaraumaterceiratransformação.
Tipologia:Duastransformaçõesoumaisse
aplicamentresientreestados
desconhecidos(poisseforemconhecidos,
cairiamnafamíliade“relaçõesde
transformações”).Atransformaçãoúnica,
compostaporestastransformações,
permitetransformaroestadoinicialno
estadofinalobtidoapósaaplicaçãode
todasastransformaçõesimplicadas.

27. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
©Alex Sandro Gomes e José Castro Filho
Composição de Transformações
•Paulo ganhou seis bolas ontem e perdeu nove
bolas hoje. Quantas ele perdeu ao total ?
+6
-3
-9

28. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
28
Categorias
5.Transformação
de uma relação
Uma transformação opera sobre um
estado relativo (uma relação) para dar
lugar a um estado relativo.

29. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
©Alex Sandro Gomes e José Castro Filho
Transformação de Relações
•Paulo devia seis bolas a Henrique. Ele deu-lhe
quatro. Quantas ele deve agora ?
-6
+4
-2

30. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
30
Categorias
6.Composição de
duas
transformações
Dois estados relativos (relações) se
compõem para dar lugar a um estado
relativo.
Tipologia:Estesdoisúltimoscasos
podemserdescritosdemaneiraanáloga
àsduasprimeirascategorias.Nãoexiste
nenhumtipodeproblema,destasduas
últimascategorias,quepodeser
aplicadonassériesiniciaisdoensino
fundamental.

31. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
©Alex Sandro Gomes e José Castro Filho
Composição de Transformações
•Paulo ganhou seis bolas ontem e perdeu nove
bolas hoje. Quantas ele perdeu ao total ?
+6
-3
-9

32. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
32
Quadro Resumo
Campo Conceitual
das Estruturas
Aditivas
COMPOSIÇÃO
Parte
X
B
Parte
A
Todo
Protótipo
Parte
B
X
Parte
A
Todo
1ª Extensão
Emumjardimencontramos
rosasecravos,contaram-se
10rosase12cravos,qualéo
totalderosasecravosdeste
jardim?
Emumjardimforam
contadas22floresentre
cravoserosas,destasflores
12eramcravos,quantas
rosasexistiamnojardim?

33. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
33
Quadro Resumo
Campo Conceitual
das Estruturas
Aditivas
TRANSFORMAÇÃO
X
T
I
Protótipo
FI
X
1ª Extensão
T
-t
X F
2ª Extensão
Em um dado momento de um campeonato,
uma equipe possuía 20 pontos, ao vencer
um jogo ela acumulou 3 pontos. Qual é a
pontuação desta equipe neste momento do
campeonato?
Luzia tinha 4 figurinhas, participou de um
jogo de bafo e no final do jogo ficou com 10
figurinhas. O aconteceu no jogo?
Paulo comprou 10 quilos de arroz para sua
casa e verificou que ficou com 40 quilos de
arroz. Qual era o seu estoque inicial?

34. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
34
Problemas Mistos
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
Nestaclassedeproblemasexisteacomposiçãode
transformações,sendoqueumamedidasofreuma
transformação,queresultaemumatransformação
intermediáriaeposteriormentesofreoutratransformação
resultandoemestadofinal.

35. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
35
Problemas Mistos
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
Pedrojogouduaspartidasdebolinhasdegude.Durantea
primeirapartida,eleganhou7bolinhas.Elejogoua
segundapartida.Fazendoascontasparaasduaspartidas,
eleviuqueperdeuaotodo2bolinhas.Oqueocorreuna
segundapartida?

36. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
36
Problemas Mistos
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
PEDROJOGOUDUASPARTIDASDEBOLINHASDEGUDE.DURANTEA
PRIMEIRAPARTIDA,ELEGANHOU7BOLINHAS.ELEJOGOUASEGUNDA
PARTIDA.FAZENDOASCONTASPARAASDUASPARTIDAS,ELEVIUQUE
PERDEUAOTODO2BOLINHAS.OQUEOCORREUNASEGUNDA
PARTIDA?
1º Aspecto do pensamento.
Um raciocínio que pode ser utilizado aqui seria
o princípio da equivalência, da seguinte
maneira: se na primeira partida ele ganhou 7
bolinhas, para saber o quanto ele tinha
anteriormente basta subtrair 7 bolinhas, ou
seja, anulamos os resultados.

37. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
37
Problemas Mistos
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
PEDROJOGOUDUASPARTIDASDEBOLINHASDEGUDE.DURANTEA
PRIMEIRAPARTIDA,ELEGANHOU7BOLINHAS.ELEJOGOUASEGUNDA
PARTIDA.FAZENDOASCONTASPARAASDUASPARTIDAS,ELEVIUQUE
PERDEUAOTODO2BOLINHAS.OQUEOCORREUNASEGUNDA
PARTIDA?

38. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
38
Problemas Mistos
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
PEDROJOGOUDUASPARTIDASDEBOLINHASDEGUDE.DURANTEA
PRIMEIRAPARTIDA,ELEGANHOU7BOLINHAS.ELEJOGOUASEGUNDA
PARTIDA.FAZENDOASCONTASPARAASDUASPARTIDAS,ELEVIUQUE
PERDEUAOTODO2BOLINHAS.OQUEOCORREUNASEGUNDA
PARTIDA?
2º Aspecto do pensamento.
Seanteriormentehavíamossubtraído7para
sabermosoquantoeletinhadebolinhasao
iniciarapartida,entãoovalorrelativoda
primeiratransformaçãoé-7esenasegunda
partidaeleperdeu2(-2),entãoacomposição
dasmedidasrelativasé-9,queéonúmero
relativoquerepresentaovalordex,pois(-9)
+(+7)=(-2)

39. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
39
Problemas Mistos
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
PEDROJOGOUDUASPARTIDASDEBOLINHASDEGUDE.DURANTEA
PRIMEIRAPARTIDA,ELEGANHOU7BOLINHAS.ELEJOGOUASEGUNDA
PARTIDA.FAZENDOASCONTASPARAASDUASPARTIDAS,ELEVIUQUE
PERDEUAOTODO2BOLINHAS.OQUEOCORREUNASEGUNDA
PARTIDA?

40. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
40
Problemas Mistos
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
PEDROJOGOUDUASPARTIDASDEBOLINHASDEGUDE.DURANTEA
PRIMEIRAPARTIDA,ELEGANHOU7BOLINHAS.ELEJOGOUASEGUNDA
PARTIDA.FAZENDOASCONTASPARAASDUASPARTIDAS,ELEVIUQUE
PERDEUAOTODO2BOLINHAS.OQUEOCORREUNASEGUNDA
PARTIDA?

41. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
41
Campo Conceitual das Estruturas
Multiplicativas

42. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
42
Definição.
Asrelaçõesmultiplicativasbásicas,
segundoVergnaud(1991),nãosão
relaçõesternárias,elassãoquaternárias,
poisosproblemasmaissimplesde
multiplicaçãoedivisãoimplicamna
proporçãosimplesdeduasvariáveisuma
emrelaçãoaoutra.
Asrelaçõesmultiplicativasestão
divididasemdoisgrandesgrupos;o
isomorfismodemedidaseoprodutode
medidas.

43. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
43
Asrelaçõesquaternárias,segundoVergnaud(1991),
sãoasmaisutilizadasnaescolaprimária,quandose
introduzamultiplicaçãoefazempartedaformaçãoda
grandemaioriadosproblemasdetipomultiplicativo.
Comooprópriodiz,elasserelacionamentresi
atravésdequatroquantidades,sendoasduasprimeiras
medidasdecertotipoqueserelacionamcomduasdeoutro
tipodemedidas.
Pertencemàclassedasrelaçõesquaternáriasos
problemasdeisomorfismosdemedidas,ouseja,os
problemasdemultiplicação,adivisãocomopartição,a
divisãocomoquotiçãoeaquartaproporcional.

44. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
44
Jáasrelaçõesternárias,consistem
emrelaçõesentretrêsquantidades,detal
formaqueumaéoprodutodasoutras
duas,ouseja,oprodutodemedidas,tanto
noplanonuméricocomonoplano
dimensional,estãoinseridosneste
contextoosproblemasquedizemrespeito
aoprodutocartesiano,proporções
múltiplasecomparaçãomultiplicativa.

45. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
45

46. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
46

47. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
47

48. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
48
Categorias
1.Isomorfismo de
Medidas.
RELAÇÕES
QUATERNÁRIAS
Tenho 3 pacotes de bombons, com
10 bombons cada. Qual é a minha
quantia total de bombons?Multiplicação
1
3
10
X
Multiplicou
por 10
Multiplicou
por 3
Multiplicar
por 10 (30)
Multiplicar
por 3 (30)
1
3
10
X
PacotesBombons

49. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
49
Categorias
1.Isomorfismo de
Medidas.
1
4 40
x
RELAÇÕES
QUATERNÁRIAS
Pela compra de 4 carrinhos, Carlos
gastou R$ 40,00. Quanto ele
gastou em cada carrinho?
Divisão como
partição
Multiplicou
por 4
Multiplicou
por 10
1
4 40
x
CarrinhoValor
Multiplicar
por 10 (10)
Dividir por 4
(10)

50. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
50
Categorias
1.Isomorfismo de
Medidas.
RELAÇÕES
QUATERNÁRIAS
Divisão como
quota
Pedro tem R$ 30,00 e quer comprar
alguns pacotes de bombons que
custam R$ 6,00 cada pacote. Qual
é a quantidade de pacotes que
Pedro irá comprar?
1 6
30x
PacotesValor
1 6
30x
Multiplicou por 6
Multiplicou por 5Multiplicar por 5 (5)
Dividir por 6 (5)

51. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
51
Categorias
1.Isomorfismo de
Medidas.
1
3
10
X
1
4 40
x
1 6
30x
RELAÇÕES
QUATERNÁRIAS
Tenho 3 pacotes de bombons, com
10 bombons cada. Qual é a minha
quantia total de bombons?
Pela compra de 4 carrinhos, Carlos
gastou R$ 40,00. Quanto ele
gastou em cada carrinho?
Multiplicação
Divisão como
partição
Divisão como
quota
Pedro tem R$ 30,00 e quer comprar
alguns pacotes de bombons que
custam R$ 6,00 cada pacote. Qual
é a quantidade de pacotes que
Pedro irá comprar?

52. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
52
Categorias
1.Isomorfismo de
Medidas.
RELAÇÕES
QUATERNÁRIAS
Quarta
Proporcional
Paraexecutarcertoserviçoem6
horas,necessitode4funcionários.
Quantosfuncionáriosserão
necessáriosparaexecutarestemesmo
serviçoem3horas?
6
3
4
X
Tempo (h)funcionários
6
3
4
X
Dividiu por 2 Multiplicar por por 2
“metade”
de 6
“dobro” de
4 = 8

53. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
53
Categorias
2.Produtos de
medidas
RELAÇÕES
TERNÁRIAS
Proporções
múltiplas
Uma dada receita foi descrita da seguinte maneira: para cada
copo de leite são necessários 3 ovos, e para cada ovo são
necessários 2 xícaras de farinha. Pretende-se fazer esta receita
com 2 copos de leite, quantas xícaras de farinha serão
necessárias?

54. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
54
1 3
1 2
2 6 12
TAXA = 3
TAXA = 2

55. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
55
Categorias
2.Produtos de
medidas
RELAÇÕES
TERNÁRIAS
Produto
Cartesiano -
Bilinearidade
Um parque de diversão cobra 2 reais para brincar em
qualquer brinquedo por 1 hora.
Maria quer levar seus três filhos para brincar no parque por
quatro horas. Quanto ela pagará?
Crianças
Horas
3
4
Par: (criança x horas)
3 x 4
Taxa: x 2
Valor a
pagar
x

56. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
56

57. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
57
Categorias
2.Produtos de
medidas
RELAÇÕES
TERNÁRIAS
Produto
Cartesiano
Em uma sorveteria, o sorvete de uma bola pode ser servido
em casquinha ou copinho. Existem quatro variedades de
sabores: menta, baunilha, chocolate ou morango. De
quantas maneiras diferentes podemos montar um sorvete de
uma bola.
R= {a,b}, (sendo a= casquinha e b= copinho) o conjunto dos recipientes
S= {c, d, e, f}, (c= menta, d= baunilha, e=chocolate, f=morango) o
conjunto dos sabores
R
S
c d e f
a (a,c) (a,d) (a,e) (a,f)
b (b,c) (b,d) (b,e) (b,f)

58. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
58
Categorias
2.Produtos de
medidas
RELAÇÕES
TERNÁRIAS
Espaço
Contínuo
Em uma sala de aula em formato retangular, existem 8
filas de carteiras, com 5 carteiras cada. Quantas
carteiras a sala possui?
Par (horizontal x
vertical) = nº de
carteiras na horizontal
x nº de carteiras na
vertical

59. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
59
Categorias
3.Comparação
multiplicativa
RELAÇÕES
TERNÁRIAS
Comprei uma boneca por R$ 21,00 e uma bola por
R$ 3,00. Quantas vezes a boneca foi mais cara que
a bola?
A
B
Referido
Referente
÷? Relação

60. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
60

61. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
61
Categorias
3.Comparação
multiplicativa
RELAÇÕES
TERNÁRIAS
Comprei uma bola por R$ 3,00 e comprei uma
boneca 7 vezes mais cara que a bola. Quanto
custou a boneca.
x
B
Referido
Referente
X 7 Relação

62. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
62

63. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
63
Oconceitodeesquemaaliadoaosinvariantes
operatórios,sãoospontoscentraisdaTeoriados
CamposConceituais,nestateoriaoconceitode
esquemaserefereàorganizaçãoestruturaldas
açõesdosujeitofrenteaumadadaclassede
situaçõesepossuemduascaracterísticasdistintas,a
primeiradáosentidoorganizadordoesquema,pois
éelequeorganizaedásentidoàsações,aoutra
caracterizaadinâmicadoesquemacomo
assimiladoreantecipador,poiselepodemudarsua
significaçãoesetransformarnodecursodasações.

64. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
Slide
64
Referências
bibliográficas.
VERGNAUD. G. -A Teoria dos Campos Conceptuais: in
Didáctica das Matemáticas, Brun, J (Dir), Lisboa:
Instituto Piaget, 1996, 280 p., Cap. 3, 155-191
____________. -El Niño, las Matemáticas y la
Realidad, México: Editorial Trilhas, 1991.
____________A Comprehensive Theory of
Representation for Mathematics Education, in Journal of
Mathematical Behavior, 17, vol. 2, pp 167 –181, 1998.
YAMANAKA.O.Y -Um Estudo sobre a Introdução
Algébrica nas Séries Iniciais –2009. 156 f. Dissertação (
Mestrado Acadêmico) –Pontifícia Universidade Católica
de São Paulo, São Paulo, 2009.