Chapter3 bách khoa dà nẵng tín hiệu số hay

Hay

1. CHƢƠNG 3
BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG
- The Z-transform
- Z-transform properties
- Inversion of Z-transform
- Analysis of LTI systems in the z-domain

2. Biến đổi Z
1. Định nghĩa
2. Miền hội tụ (Region of convergence)
3. Ví dụ

3. Z-Transform (ZT)
Biến đổi Laplace : 



 dtetfsF
st
)()( 




n
n
znfzF ][)(
Biến đổi Z có thể xem như là phiên bản rời rạc (thời gian rời
rạc) của biến đổi Laplace :

4. Cho tín hiệu rời rạc x[n] = …, x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2], …
Biến đổi Z hai chiều của x[n] định nghĩa như sau:
Giả sử tồn tại z để tổng trên hội tụ. z nhận giá trị phức 




n
n
znxnxZTzX ][][)(
n nhận
giá trị
nguyên

5. Cực (pole) và điểm không (zero)
Poles p
k  X(p
k) = ∞
Zeros z
k  X(z
k) = 0 




n
n
znxnxZTzX ][][)(
Cực là nghiệm của mẫu số
Điểm không là nghiệm của tử số
Chú ý: trước hết cần đơn giản hóa và xét các đa thức theo z

6. 1. Definition of the Z-transform
2. Region of convergence
3. Examples of Z-transform

7. ROC: tập hợp giá trị z để X(z) hội tụ
Ta xét các trường hợp sau:
1.Right-sided signal (x[n] = 0, n<n
0) (tín hiệu bên
phải)
2.Left-sided signal (x[n] = 0, n>n
0) (tín hiệu bên trái)
3.Two-sided signal (-∞<n<+∞) (tín hiệu “hai bên”)
4.Finite-duration signal (tín hiệu thời gian hữu hạn)
Miền hội tụ (ROC)

8. Right-sided signal
Sum goes
from n
0 to
infinity

9. Right-sided signal

10. Right-sided signal
Nếu x[n] không nhân quả thì X(z) không hội tụ tại z = ∞
 ROC không chứa ∞
Ex: x[n] = u[n+1]
ROC: r
max < |z| < ∞

11. Left-sided signal

12. Left-sided signal

13. Left-sided signal
Nếu x[n] có giá trị (khác không) tại thời điểm > 0, X(z)
không hội tụ tại z = 0  ROC không chứa 0
Ex: x[n] = u[-n+1]
ROC: 0 < |z| < r
min

14. Two-sided signal (tín hiệu “hai
bên”)
Two-sided signal = Left-sided signal + right-sided signal
Note: if |a| ≥ |b| then X(z) does not exist

15. Finite-duration signal (tín hiệu
thời gian hữu hạn)
ROC: mọi giá trị của z, trừ:
z = 0 if k > 0
z = ∞ if k < 0 m
n
n
zz)mn()z(X




 )mn()n(x 
For 




2
1
2
1
][)(][][][
n
nk
k
n
nk
zkxzXknkxnx 

16. Ví dụ
1. Definition of the Z-transform
2. Region of convergence
3. Examples of Z-transform

17. Tìm biến đổi Z các tín hiệu sau:
12
[ ] [ ] and [ ] ( ) [ 1]
nn
x n a u n x n a u n     |a||z|,
az
z
1|az|
1|az|
az1
1
)az(za)z(X
1
1
1
0n
n1
0n
nn
1






















18. 12
[ ] [ ] and [ ] ( ) [ 1]
nn
x n a u n x n a u n     |a||z|,
az
z
1|za|
1|za|
za1
za
)za(za)z(X
1
1
1
1
1n
n1
1n
nn
2























 ROC phải được xác định để biến đổi Z hai chiều là duy nhất

19. Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau: [ ] 3 [ 1] 4 [ 1]
nn
x n u n u n      

20. Tìm biến đổi Z của tín hiệu (hai bên) sau: []
n
x n a



21. Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau: [ ] ( 5) [ 1] 3 [ 1]
nn
h n u n u n      

22. Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau:
Examples of Z-transform
x[n] =

23. Tính chất của biến đổi Z
1. tuyến tính (linearity)
2. Dịch thời gian (time shifting)
3. Tỉ lệ tần số (Frequency scaling)
4. Nhân với n (Multiplication by n)
5. tích chập trong miền thời gian (Convolution in time)
6. Giá trị đầu (Initial value)
7. Giá trị cuối (Final value)

24. Tuyến tính (Linearity)
The new ROC is the intersection of ROC{X(z)} and ROC{Y(z)}
If aX(z) + bY(z) cancels pole then the new ROC is bigger [ ] [ ] ( ) ( )
Z
ax n by n aX z bY z  

25. The new ROC is the same as ROC{X(z)} except for z = 0 if
n
0>0 and z = ∞ if n
0<0
Proof:
Dịch thời gian (Time shifting) 0
0
[ ] ( )
Z
n
x n n z X z

 
Delay of k means that the Z-transform is multiplied by z
-k

26. Ví dụ áp dụng dịch thời gian   ]5[)3()1(
4
1
][
5


nunw
nn
Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau:

27. The new ROC is the scaled ROC{X(z)} with factor |a|
(bigger or smaller)
Proof:
Frequency scaling 






a
z
Xnxa
Z
n
][ 





















a
z
X
a
z
nx
znxanxaZT
n
n
n
nnn
][
][]}[{
Multiplication by a
n
results in a complex scaling in the z-domain

28. Ví dụ ][][ nuanx
n

Tìm biến đổi Z:

29. The new ROC is the same ROC{X(z)}
Proof:
Multiplication by n dz
zdX
znnx
Z
)(
][  dz
zdX
zznnxnnxZT
znnx
z
znnx
dz
zdX
znxzX
n
n
n
n
n
n
n
n
)(
][]}[{
][
1
][
)(
][)(
1

















30. Example of applying the
multiplication-by-n property ][][ nunanx
n

Tìm biến đổi Z:

31. Tích chập trong miền thời gian [ ] [ ] [ ] ( ) ( )
Z
y n x n h n X z H z  
The new ROC is the intersection of ROC{X(z)} and ROC{Y(z)}
If poles cancel zeros then the new ROC is bigger
Proof: [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ ]]
Z
n
nk
y n x n h n x k h n k z


 
    )().(
][][
][][)(
)(
zHzX
zknhzkx
zknhkxzY
kn
knk
k
n
n
k















Switching the order of
the summation:

32. Áp dụng tính chất tích chập
x[n]
h[n]
X(z)
H(z)
ZT
ZT
ZT
-1

x[n]*h[n]

33. Tính tích chập của hai tín hiệu sau:
x
1[n] = δ[n] - 2δ[n-1] + δ[n-2]
x
2[n] = δ[n] + δ[n-1] + δ[n-2] + δ[n-3] + δ[n-4] + δ[n-5]
Ví dụ

34. If x[n] is causal then x[0] is the initial value of the function x[n]


Proof:
Định lý giá trị đầu
(Initial value theorem) )(lim]0[ zXx
z
 0,,
...]2[]1[]0[][)(
21
0








n
n
n
zzasObviously
zxzxxznxzX

35. If x[n] = 0 with n < n
0 then x[n
0] is the initial value, and


Proof:
Initial value theorem )]([lim][
0
0 zXznx
n
z
 ][)(,
...]2[]1[][)(
...]2[]1[][][)(
0
2
0
1
00
)2(
0
)1(
00
0
0
000
0
nxzXzzAs
znxznxnxzXz
znxznxznxznxzX
n
n
nnn
nn
n










36. If this limit exists then x[n] has a final value (steady-state
value)


Proof: Exercise
Định lý giá trị cuối
(Final value theorem) )]()1(lim[][][lim
1
zXzxnx
z
n




37. Biến đổi Z ngƣợc

38. Bảng biến đổi Z 1)n( m
z)mn(

 az
z
]n[ua
n

 2
n
)az(
az
]n[una

 3
n2
)az(
)az(az
]n[uan


 22
cos2
)cos(
][)cos(
aazz
azz
nuna
n


 22
cos2
sin
][)sin(
aazz
az
nuna
n



1
2
3
4
5
6
7

39. 2
25
( ) 3
( 2)( 3)
zz
X z z
zz

  
 Ví dụ: )n(u)23()n(x
3|z|,
2z
1
3z
1
)3z)(2z(
)3z()2z(
)3z)(2z(
5z2
z
)z(X
nn












Phân tích thành phân số
Chia X(z) cho z, (giữ z lại)

40. 2|z|,
)1z(
C
1z
B
2z
A
)1z)(2z(
1
z2
)z(X
22








 ;1C;1B;1A
1)2z(C)2z)(1z(B)1z(A
2

 2|z|,
)1z(
z
1z
z
2z
z
2)z(X
2












 2z,
)1z)(2z(
z2
)z(X
2


 Cực lặp lại
(repeated poles) )n(u)n12(2)n(x
n

Examples (cont)

41. Dịch thời gian
Examples (cont) 4
2
( ) 3
23
z
W z z
zz

  
 54
1
4
15
2
5
z
3z1z)3z)(1z(
z
3z2z
z
z
)z(W
















 ]5n[u)3(
4
1
]5n[u)1(
4
1
]n[w
5n5n



42. Examples (cont)
Given h(n) = a
n
u(n) (|a|<1) and x(n) = u(n).
Find y(n) = x(n)*h(n) ]n[u
a1
a1
]n[y
1n





43. Examples (cont)
Find the output y(n) to an input x(n) = u(n) and an LTI
system with impulse response h(n) = -3
n
u(-n-1) ]1[)3(
2
3
][
2
1
][  nununy
n

44. Phân tích hệ thống LTI trong miền Z
1. Hàm truyền (Transfer function)
2. Tính chất của hệ thống LTI (LTI system properties
from transfer function)

45. Hàm truyền
Cho đáp ứng xung h(n), biến đổi Z của nó gọi là hàm truyền
(Transfer Function) H(z)
Xét H(z) = N(z)/D(z)
Nghiệm của N(z): điểm không của hệ thống
Nghiệm của D(z): cực của hệ thống
D(z) = 0: phương trình đặc tính (characteristic equation)

46. Xác định hàm truyền
1.Từ đáp ứng xung h(n): thực hiện biến đổi Z
2. Từ phương trình sai phân:
-Thực hiện biến đổi Z hai vế
-Tính Y(z)/ X(z)
3…

47. 





M
0r
r
r
N
0k
k
k )z(Xzb)z(Yza 






N
0k
k
k
M
0r
r
r
za
zb
)z(X
)z(Y
)z(H
Y(z) = X(z) . H(z)
ZT

Hàm truyền từ phƣơng trình sai phân 


M
0r
r
N
0k
k ]rn[xb]kn[ya
-Linear
-Time-shift

48. 










N
k
k
k
N
r
r
r
N
k
k
k
M
r
r
r
za
zb
za
zb
zX
zY
zH
0
0
0
0
)(
)(
)(
Nhân tử và mẫu với z
N
:
Giả sử M = N

49. For the α-filter:

Its transfer function:


For example: y[n] – 0.9y[n-1] = 0.1x[n]  α = 0.1
Ví dụ )()1()1()( nxnyny   1
0
0
)1(1
)(









z
za
zb
zH
N
k
k
k
M
r
r
r

 9.0
1.0
)(


z
z
zH

50. Tính chất của hệ thống LTI
1. Transfer function
2. LTI system properties from transfer function

51. Nhân quả
Nhắc lại:
hệ thống nhân quả 
h(n) là tín hiệu “bên phải”  ROC của hàm truyền là


Hệ thống LTI là nhân quả nếu và chỉ nếu ROC của hàm
truyền nằm ngoài vòng tròn bán kính r
max < ∞ bao gồm cả
điểm z = ∞ 00][  nnh max
r|z|

52. Nhân quả
Với hệ thống nhân quả, bậc của tử số của H(z) không thể
lớn hơn bậc của mẫu số
Nếu bậc của tử nhỏ hơn hoặc bằng mẫu thì hệ thống có
nhân quả không ??? NOT SURE!!!
Xét hệ thống: 6.0
9.0
6.0
9.04.0
)(
2






z
z
z
z
zz
zH
Unit advance y[n]=x[n+1]
 noncausal

53. Example
Bậc mẫu = bậc tử = 1; but it is non- causal!!!
Xét hệ thống sau: 1|:|
1
)(
]1[][




zROC
z
z
zH
nunh

54. Ổn định
Nhắc lại:
Hệ thống ổn định 

Its transfer function:


n
nh][ 










n
n
n
n
n
n
|z||]n[h||z]n[h||)z(H|z]n[h)z(H 



n
|]n[h||)z(H|
Unit circle |z| = 1 
The ROC includes |z| = 1
Hệ thống LTI là ổn định BIBO nếu và chỉ nếu ROC của hàm
truyền chứa vòng tròn đơn vị.

55. Điều kiện nhân quả và ổn định độc lập nhau, “cái này không
suy ra cái kia”
4 trường hợp:
-Nhân quả và ổn định
-Không nhân quả và ổn định
-Nhân quả và không ổn định
-Không nhân quả và không ổn định
Hệ nhân quả là ổn định nếu tất cả các cực của H(z) đều nằm
trong vòng tròn đơn vị.
Nhân quả và ổn định

56. Ex1: Given an LTI system:
Examples 48.096.15.2
9.06.12
)(
23
2



zzz
zz
zH
The poles of H(z):
den = [1 -2.5 1.96 -0.48];
p = roots(den)
1. |z|>1.2: causal, unstable
2. 0.8<|z|<1.2: non-causal, stable
3. 0.5≠|z|<0.8: non-causal, unstable
 p = 1.2 0.8 0.5

57. Ex2: A LTI system is characterized by:
Examples 3
2
5.05.15.3
)43(
5.15.31
43
)(
221
1












z
z
z
z
zz
zz
zz
z
zH
Xác định ROC trong các trường hợp sau và xác định h(n) tương ứng:
1.Hệ thống ổn định
2.Hệ thống nhân quả
3.Hệ thống phản nhân quả (anti-causal)