Chpt 02 Statistical Fundamentals for Semiconductor Manufacturing and Engineering

本课件为《半导体制造与统计工程》第二章，系统讲解概率与统计在工程中的应用基础，主要内容包括：

常用概率分布：均匀分布、指数分布、正态分布、三角分布、伽马分布、爱尔朗分布等连续分布；伯努利、二项、泊松、几何、负二项等离散分布；以及卡方分布、t分布、F分布等复杂分布。

统计推断方法：参数估计、置信区间构建（均值、方差、比例等）。

假设检验：包括单样本与双样本均值检验、方差检验、两类错误分析、检验效能等。

应用背景：紧密结合半导体制造过程中的质量控制和过程分析，适用于工程类、统计类课程教学。

关键词：概率分布、假设检验、置信区间、统计推断、质量工程、半导体制造

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2. 概率与统计基础 PROBABILISTIC AND STATISTICAL FUNDAMENTALS

3. 基本概念 随机性 Randomness/uncertainty 世界充满了随机性？上帝不扔骰子？质量、变化性、加工时间、订单、缺陷 概率分布 Probability distribution 用概率分布（ Probability Distributions ）表示随机性 密度函数、密度 Probability density function (PDF) ， f ( x ) 累积概率分布函数 Cumulative distribution function(CDF) 概率质量函数、概率 Probability mass function ， p ( x ) ， 抽样 Sampling 根据某种概率分布抽样产生随机值   3 Simulation System 观测 拟合 Output Input Actual System Probability Distribution 抽样   样本    

4. 常用的概率分布模型 连续分布 Continuous distributions (1) 均匀 Uniform (7) 贝塔 Beta (2) 指数 Exponential (8) 韦伯 Weibull (3) 正态 Normal (9) 爱尔朗 Erlang (4) 三角 Triangular (5) 对数正态 Lognormal (6) 伽马 Gamma 离散分布 Discrete Distributions (1) 泊松 Poisson (4) 二项 Binominal (2) 伯努利 Bernoulli (5) 几何 Geom (3) 离散 Discrete Uniform (6) 负二项 Negative Binominal 更复杂的分布 (1) 卡方分布 Chi-Square (2) t 分布 (3) F 分布 4

5. 均匀分布 Uniform 表示形式 参数 均值： ( a + b )/2, 方差： ( a + b ) 2 /12 应用 常用于取值在有限区间内大致均匀的场合 有时候也用于只知道取值范围，而缺乏其他信息的情况 在缺少信息的情况下，均匀分布的方差大于其它分布，比如三角分布 5

6. 指数分布 Exponential 表示形式 参数含义 均值： b 顾客进入系统的时间间隔 方差 : b 2 密度函数 累积分布函数 应用 常用于表示随机到达和随机故障的时间间隔 6

7. 正态分布 Normal Distribution 又称高斯分布，表示形式 参数含义 总体平均值（ Mean ）：  方差（ Variance ） :  2 密度函数 应用 常用于表示取值对称的分布 根据中心极限定理（ Central limit theorem ）， 常用于取值是其他值之和的场合 转化为标准正态分布 正态分布具有线性组合的特性 7

8. 三角分布 Triangular distribution 下限  a 、众数  c 、上限  b 密度函数   应用 通常用于准确的分布形式未知但比较容易估计最小值、 最大值、最可能值的场合。很多情况下，这三个参数 易于通过分析判断来确定。 在风险成本分析中应用比较多。 8

9. 伽玛分布 Gamma 表示 X ~ Γ( α , β ) α 形状参数 , β 尺度参数，均值 k  ，方差 k  2 性质 当 α = 1 时， Γ(1, β ) 就是参数为 β 的指数 分布 , 记为 exp ( β )  α = n ， Γ( n , β ) 就是 Erlang 分布 可加性：随机变量 X 1 , X 2 , …, X n 相互独立， 并且都服从 Gamma 分布，即 X i ～ Γ( β i , α ) ， 则 X 1 + X 2 + …+ X n ～ Γ( β 1 + β 2 + …+ β n , α ) 应用 常用于表示某些任务所需的时间 9

10. 爱尔朗分布 Erlang 表示： X ~ Erl （ k ,  ） k 阶分布 , 取值 [0, +  ], 均值 k  ，方差 k  2 应用 实际上就是 k 个参数为  的 IID 指数分布随机变量之和，因此通常用于表示一个多阶段的过程，每个阶段符合指数分布，比如 k 个串联的服务台。 多用来表示完成一个任务所需的时间，类似指数分布。 指数分布是爱尔朗分布的一个特例， k = 1 时，变为指数分布。 k > 30 时，可近似为正态分布。 指数分布是伽马分布的一个特例，其中形状参数 取整数时 （ k ）。 10

11. 伯努利试验 Bernoulli X ~Bern ( p ) 二个条件 又称 两点分布 或者 0-1 分布：任何一次试验有且仅有二种相互对立的结果，而且必须是其中的一种。 相互独立：任何一次试验的结果都是相互独立的。 成功则 x = 1 ，失败则 x = 0 。 p 是成功概率， q = 1 - p 是失败概率。 11

12. 二项分布 Binomial 含义 X ~ B ( n , p ) n 次相互独立的试验中获得 x 次成功的概率 分布参数 均值： 方 差： 要求 试验是伯努利过程 当 n   = 1 时，二项分布就是伯努利分布   12    

13. 二项分布举例 13 此处原著有错

14. 负二项分布 （ Negative Binomial ） 表示 K ~ NB( r , p ) 进行伯努力试验， p 是成功概率， 所有到成功 r 次时即终止的独立试验中，失败次数 x 是一个随机变量，其概率为 实际上进行了 r + x 次伯努利试验 又称 Pascal 分布 分布参数 均值： 方 差：   14

15. 几何分布（ Geometric ） 表达式 含义 平均不合格率为 p , 那么检测多少个部件才能发现第 1 个不合格部件？ x 是第 1 个不合格部件出现的试验总数。 15

16. 超几何分布（ Hypergeometric ） 定义： 设 N 表示某个有限集合的大小， D 是其中的一部分（ D  N ），如果从集合 N 中随机抽取 n 项，那么被抽中的样本在 D 中的数量 x 是一个随机变量，服从超几何分布，概率为 ， 分布参数 均值 方差   16

17. 泊松分布 Poisson 表示形式： 均值 :  =  , 方差 :  2 =  概率质量函数 与指数分布的关系：  =1/  应用 表示某个时间段发生的随机事件个数 随机批次的大小   17 在 IC 制造中

18. 对二项分布的近似 二项分布的计算非常复杂 正态分布对二项分布的近似 当 p 接近 0.5 时，正态分布是二项分布的一个很好的近似，即使在样本数量非常小的情况下也是如此 在 p 偏离 0.5 时，近似的效果就会变得很差 ， 但是，对于 p 显著偏离 0.5 的值， n 值越大，正态分布对二项分布的近似效果会更好 在 np  5 正态分布的近似效果依然很好 ， 泊松分布对二项分布的近似 对于很小的 p 和很大的 n , np  5 时，用泊松分布近似二项分布   18

19. 卡方分布（ Chi-Square Distribution ）： χ 2 如果 n 个随机变量服从标准正态分布 N (0, 1) ，则其平方和服从 Chi 方分布，自由度为 n 如果 n 个随机抽样取自 N (  ,  2 ) ，则 卡 方分布常用于检验 ，对正态分布的 方差做出判断 19

20. 如果 x 属于标准正态分布，而 方分布，则随机变量服从自由度为 k 的 t 分布，密度函数为 如果 n 个随机抽样取自 N (  ,  2 ) ，则 常用做构建置信区间， 对正态分布 的均值 做出判断   t 分布 20

21. F 分布 如果 和 是自由度为 u 和 v 的卡方分布，则它们的比值服从自由度为 u 和 v 的 F 分布 , 密度函数为 如果 n 1 个随机抽样取自 N (  1 ,  1 2 ) ， n 2 个随机抽样取自 N (  2 ,  2 2 ) ，它们 相互独立，则 用途：对两个正态分布的方差之比 做出推断   21

22. 估计 (Estimation) 随机变量，我们需要知道它们的真值，比如均值（  ） 和方差（  2 ） 通常用样本均值（ ）和样本方差（ ）来估计 大小为 n 的样本 ( … ) 估计的准不准？ 用置信区间进行表示 中心极限定理 ( Central-limit theorem ） 设从均值为 μ 、方差为 σ 2 的任意一个总体中抽取样本量为 n 的样本，当 n 充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为 μ 、方差为 σ 2 / n 的正态分布   22 对已知方差样本均值的置信区间 其中 z 是标准正态分布的分位点 置信水平 100(1- )% 解释置信区间的含义 注意区间宽度与置信水平的关系 注意如何缩短区间（  , n ） 估计精度

23. 置信区间 (Confidence Interval) 对 未 知方差样本均值的置信区间 其中 t 是自由度为 ( n -1) 的 t 分布的分位点 23 方差的置信区间 其中 χ 2 是自由度为 ( n -1) 的 χ 2 分布的分位点 已知方差两个均值之差的置信区间

24. 置信区间 (Confidence Interval) 未 知方差两个均值之差的置信区间 两 方差之比的置信区间 其中 u = n 1 -1, v = n 2 -1 24

25. 假设检验（ HYPOTHESIS TESTING ） 根据某个标准对一个假设的正确性做出估计 假设检验的表述 其中 是未知均值， 是其一个假设的值 表述 H 是一个空假设，而表述 H 1 是一个替代假设。 计算一个值，据此判断是否接受上述假设 两类错误 I 类 : 为 H 真但拒绝：虚警 false alarm ，概率是  II 类 : 为 H 假但接受：漏警 missed alarm ，概率是  检验的效率 Power = 1 − β = P( 拒绝 H |H 错的 ) 25 已知方差的均值检验 样本统计量为 如果 则拒绝 H , 否则接受 H 其中 z 是标准正态分布的分位点 可以进一步扩展为检验两个均值之差 已知方差的两个均值的检验 样本统计量为 拒绝 H 的判据为

26. 假设检验（ HYPOTHESIS TESTING ） 未知方差的均值检验 26 样本统计量为 未知方差的两个均值的检验 如果两个样本的方差相等，则统计量为 如果两个样本的方差不相等，则统计量及自由度为 拒绝 H 的判据为 拒绝 H 的判据为 方差的检验 样本统计量为 拒绝 H 的判据为 类似的检验还有

27. 本章结束，谢谢聆听！ 27