Ciclo trigonometrico apresentacao e sua representação gráfica

Ciclo ou circunferêcnai trigonométrica, circunferência de centro na origem de raio 1, quandrantes no plano, radianos, arcos cõngruos, função seno, cosseno e simetria das funções seno e cosseno, relações importantes, relação fundamental da trigonometria, teorema de pitágoras, gráfico das funções seno e cosseno, simetria entre os quadrantes, identidades das relações de seno cosseno, similaridades e particularidades das funções seno e cosseno, alguns valores particulares entre o arco, seno e cosseno.

1. Circunferência e Relações
Trigonométricas
Prof. Elionardo Rochelly

2. O x
A’ A
y
B
B’
1
1
P
+
-
CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA
TRIGONOMÉTRICA

3. •Circunferência de centro na origem do sistema, de raio
unitário r = 1;
•Arcos de origem ponto A (1,0);
•Medidas algébricas positivas no sentido anti-horário,
negativas sentido horário;
•Divisão dos quatros quadrantes sentido anti-horário

4. Radiano
•Radiano (1 rad) é o ângulo definido em um círculo por um arco
de circunferência com o mesmo comprimento que o raio do
círculo.

5. Radiano
•Dizemos que a medida do arco é igual a 1 radiano ou seja 1
rad. Assim, podemos definir um radiano como sendo um arco
onde a sua medida é a mesma do raio da circunferência que
contém o arco.
•O valor do ângulo α será igual a 1 radiano, se somente se, o
valor do arco correspondente a ele for igual a 1 radiano.

6. •Por exemplo: como calcularíamos o comprimento de
uma circunferência em radianos sabendo que o seu
comprimento é igual a 2π r, utilizaremos da mesma
regra de três do exemplo anterior.
rad comprimento
1 --------------------r
x --------------------2π r
xr = 2π r
x = 2π r
r
x = 2π rad

7. Ângulos côngruos
30º
E se o ângulo for 390º? E se o ângulo for 750º?
Caso Geral
α em graus
α + k.360º, k εZ
α em radianos
α + k.2π, k εZ
390º= 360º+30

8. Plano cartesiano
Cosseno
Seno

9. Plano cartesiano
Cosseno
Seno

10. π/ 2
90°
-1
1
45°
π/ 4 π
180°
3π/2
270°
2π
360°
90°= π/ 2
180°= π
270°= 3π/ 2
360°
2π
Função senx

11. 2π
360°
90°= π/ 4
270°= 3π/ 2
360°
2π
4π
720°

12. Cos
Sen
30°2
3 5,0
2
1

Queremos saber o
seno e o cosseno
deste arco de 30°.
Observe as
projeções
Cosseno de 30°= 0,86602540378...
Seno de 30°, = 0,5, ou 1/2.

13. 30°2
3 5,0
2
1

Cosseno de 30°=0,87 ou
A projeção vertical, ou seja, o
seno de 150°tem o mesmo
valor do seno de 30°.
150°
180 –150 = 30°
Para saber o seno e o
cosseno de 150°, pense:
quanto falta para 180°?
Podemos então “reduzir”
150°para 30°
O cosseno de 150°tem o mesmo valor do cosseno
de 30°, porém com sinal contrário (é negativo),
valendo então -0,87 ou 2
3

14. 60°2
3 5,0
2
1

240°
240°=180°+ 60°2
3
Estes arcos azuis são
opostos pelo vértice.
Sendo congruentes, suas
projeções também tem o
mesmo valor.
Seno de 240°= -seno de 60°= -0,87
Seno de 60°= 0,87
Cos 60°= 0,5
Cos 240°= -cos 60°= -0,5

15. Observe esta reta, que é
tangenteao círculo
trigonométrico, ou seja, toca o
círculo em um ponto apenas.
Este é o arco cuja
tangente
queremos medir
Traçamos uma reta
desde a origem dos
eixos, passando
pela extemidade
do arco, até a reta
tangente...
Eis então que surge a
representação da
tangentedo ângulo
considerado!

16. Aumente o arco,
para ver o que
acontece com sua
tangente...
Imagine agora o
valor da tangente
para ângulos
maiores ainda.
Pergunta: há um
ângulo que terá
um valor absurdo
de tangente. Que
ângulo é esse?

17. Se o arco tem mais
que 90º e menos que
180º...
Neste caso, é preciso
traçar uma reta desde a
extremidade do arco até
a reta tangente, passando
pela origem.

18. Seno no ciclo trigonométrico: alguns valores particulares.
arco seno
0º 0
90º 1
180º 0
270º -1
360º 0

19. Variação da função seno1 sen 1  

20. Paridade da função seno
1.A função seno é ímpar, isto é,
para esta função, elementos
simétricos possuem imagens
simétricas.
2.Exemplo:
sen 30º = 1/2
sen (-30º) = -1/2

21. Simetria

22. Redução ao primeiro quadrante:
função seno.sen x- x)-(2sen
sen x- x)(sen
sen x x)-(





sen
sIdentidade

23. Paridade da função cosseno
1.A função cosseno é par, isto é,
para esta função, elementos
simétricos possuem a mesma
imagem.
2.Exemplo:
cos 60º = 1/2
cos (-60º )= 1/2

24. Simetria

25. Redução ao primeiro quadrante:
função cosseno. xcos x)-(2 cos
xcos - x)( cos
xcos- x)-( cos







sIdentidade

26. Relação fundamental da trigonometria1cos
cos1
)()()(
22
222
2
1
2
1
2





sen
sen
OPPPOP

27. Relações importantesCB
BC
BC
ˆ90ˆ
ˆ90ˆ
90ˆˆ





 )ˆ(90 cosBˆ
)ˆ(90sen Cˆ cos
Bˆ ˆcos
ˆ
ˆcos
Bsen
C
senC
a
b
Bsen
a
b
C






