Cifras de pi
JohannaMenaGonzlez
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Mar 26, 2014
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Números famosos: El número pi.
Introducción
π (pi) es la relación entre las longitudes de una circunferencia y su diámetro, en
Geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas
más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El
valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia,
siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la
física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones
desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la
circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.
1.- Momentos históricos más importantes
La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un
esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas
aproximaciones históricas de π son las siguientes.
Antiguo Egipto
El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba
egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind, donde se emplea un
valor aproximado de π afirmando que: el área de un círculo es similar a la de un
cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a
8/9 del diámetro. En notación moderna:
Introducción
π (pi) es la relación entre las longitudes de una circunferencia y su diámetro, en
Geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas
más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El
valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia,
siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la
física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones
desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la
circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.
1.- Momentos históricos más importantes
La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un
esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas
aproximaciones históricas de π son las siguientes.
Antiguo Egipto
El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba
egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind, donde se emplea un
valor aproximado de π afirmando que: el área de un círculo es similar a la de un
cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a
8/9 del diámetro. En notación moderna:
Antigua Grecia
El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de
π, entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor
máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que
oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usado por Arquímedes era
muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en
circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con
hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a
polígonos de 96 lados.
En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:
Renacimiento europeo
A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la
posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemático Leonardo Pisano, en su
«Practica Geometriae», amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un
intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Vieta, usaron
polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse con buena precisión a
3,141592653.
El matemático inglés John Wallis (1616–1703) desarrolló en 1655 la conocida serie
Producto de Wallis:
El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de
π, entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor
máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que
oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usado por Arquímedes era
muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en
circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con
hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a
polígonos de 96 lados.
En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:
Renacimiento europeo
A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la
posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemático Leonardo Pisano, en su
«Practica Geometriae», amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un
intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Vieta, usaron
polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse con buena precisión a
3,141592653.
El matemático inglés John Wallis (1616–1703) desarrolló en 1655 la conocida serie
Producto de Wallis:
.
De la misma forma Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente
serie matemática que lleva su nombre:
2.- El número pi en las diferentes ramas de las matemáticas
Muchos han sido los modos de abordar este número:
En probabilidad
• La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos
entre sí es:
6/π²
• Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de
que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es:
(π-2)/4
• El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos
cuadrados perfectos es
π/4 (el orden es relevante).
En análisis matemático
• Fórmula de Leibniz:
• Producto de Wallis:
De la misma forma Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente
serie matemática que lleva su nombre:
2.- El número pi en las diferentes ramas de las matemáticas
Muchos han sido los modos de abordar este número:
En probabilidad
• La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos
entre sí es:
6/π²
• Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de
que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es:
(π-2)/4
• El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos
cuadrados perfectos es
π/4 (el orden es relevante).
En análisis matemático
• Fórmula de Leibniz:
• Producto de Wallis:
• Euler:
• También como desarrollo en series:
• Formas de representación aproximada a π
3.-Aguja de Buffon
Sin lugar a dudas la aproximación empírica más intuitiva es la dada por el
naturalista francés Buffon en 1733 y reproducido por él mismo ya resuelto en 1777.
La aguja de Buffon es un clásico problema de probabilidad geométrica, de inmediata
realización práctica y cuyo interés radica en que es un método sencillo para ir
aproximando el valor del número π a partir de sucesivos intentos.
Se trata de lanzar una aguja de longitud l repetidamente sobre una superficie en la que
se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí, en t unidades, de manera
uniforme (con t > l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja se
lanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces se puede aproximar
π,
usando el Método de Monte Carlo (Anexo 1), lanzándola gran cantidad de veces:
Aunque este resultado es matemáticamente impecable, no puede usarse más que
para determinar unos cuantos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólo
tres dígitos correctos (incluyendo el "3" inicial) requiere de millones de lanzamientos, y
el número de lanzamientos crece exponencialmente con el número de dígitos
deseados. Además, cualquier error en la medida de las longitudes l y t se transfiere
directamente como un error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de
un simple átomo en una aguja de 10 centímetros podría acarrear errores en el noveno
dígito del resultado. En la práctica, incertidumbres en la determinación de si la aguja
en realidad cruza una línea que parece estar solo tocándola lleva el límite de precisión
alcanzable a mucho menos de 9 dígitos.
• También como desarrollo en series:
• Formas de representación aproximada a π
3.-Aguja de Buffon
Sin lugar a dudas la aproximación empírica más intuitiva es la dada por el
naturalista francés Buffon en 1733 y reproducido por él mismo ya resuelto en 1777.
La aguja de Buffon es un clásico problema de probabilidad geométrica, de inmediata
realización práctica y cuyo interés radica en que es un método sencillo para ir
aproximando el valor del número π a partir de sucesivos intentos.
Se trata de lanzar una aguja de longitud l repetidamente sobre una superficie en la que
se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí, en t unidades, de manera
uniforme (con t > l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja se
lanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces se puede aproximar
π,
usando el Método de Monte Carlo (Anexo 1), lanzándola gran cantidad de veces:
Aunque este resultado es matemáticamente impecable, no puede usarse más que
para determinar unos cuantos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólo
tres dígitos correctos (incluyendo el "3" inicial) requiere de millones de lanzamientos, y
el número de lanzamientos crece exponencialmente con el número de dígitos
deseados. Además, cualquier error en la medida de las longitudes l y t se transfiere
directamente como un error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de
un simple átomo en una aguja de 10 centímetros podría acarrear errores en el noveno
dígito del resultado. En la práctica, incertidumbres en la determinación de si la aguja
en realidad cruza una línea que parece estar solo tocándola lleva el límite de precisión
alcanzable a mucho menos de 9 dígitos.
Representación del experimento en el modelo de la "aguja de Buffon", se lanzas dos
agujas (a, b) ambas con longitud l. En el dibujo la aguja a está cruzando la línea
mientras que la aguja b no.
Se trata de lanzar una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas
distanciadas entre sí de manera uniforme. Se puede demostrar que si la distancia
entre las rectas es igual a la longitud de la aguja, la probabilidad de que la aguja cruce
alguna de las líneas es 2/Pi. De esa manera:
siendo N el número total de intentos y A el número de veces que la aguja ha cruzado
alguna línea.
Si hacemos una simulación informática (en este caso hemos utilizado el programa
Java) obtenemos con una aguja casi cualquier resultado en las estimaciones del
número pi. Mostramos aquí algunos ejemplos:
agujas (a, b) ambas con longitud l. En el dibujo la aguja a está cruzando la línea
mientras que la aguja b no.
Se trata de lanzar una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas
distanciadas entre sí de manera uniforme. Se puede demostrar que si la distancia
entre las rectas es igual a la longitud de la aguja, la probabilidad de que la aguja cruce
alguna de las líneas es 2/Pi. De esa manera:
siendo N el número total de intentos y A el número de veces que la aguja ha cruzado
alguna línea.
Si hacemos una simulación informática (en este caso hemos utilizado el programa
Java) obtenemos con una aguja casi cualquier resultado en las estimaciones del
número pi. Mostramos aquí algunos ejemplos:
Con 10 agujas se obtienen también resultados muy lejanos con mucha frecuencia:
Ya con 100 agujas:
Ya con 100 agujas:
Con 1000 agujas se obtienen dos o tres dígitos correctos con mucha frecuencia:
Si la aguja es más corta que la distancia entre las rectas la probabilidad disminuye
proporcionalmente al cociente entre la longitud de la aguja y la distancia entre las
rectas, tomando el valor (2L)/(D Pi) donde L es la longitud de la aguja y D la
interdistancia entre las rectas. En este caso:
Todavía habría una tercera situación, en que la longitud de la aguja es mayor que la
distancia entre las rectas lleva a un resultado bastante más complicado.
Una generalización obvia de este problema es el problema de la Aguja de Buffon-
Laplace, donde la aguja, en vez de lanzarse sobre un papel rayado, se lanza sobre
una cuadrícula. Se llama de Buffon-Laplace pues aunque Buffon lo resolvió también en
1777, su solución contenía un error. Fue corregido por Laplace en 1812.
Bibliografía
• Webs:
http://www.wikipedia.org
http://www.google.com
• Libros de consulta:
proporcionalmente al cociente entre la longitud de la aguja y la distancia entre las
rectas, tomando el valor (2L)/(D Pi) donde L es la longitud de la aguja y D la
interdistancia entre las rectas. En este caso:
Todavía habría una tercera situación, en que la longitud de la aguja es mayor que la
distancia entre las rectas lleva a un resultado bastante más complicado.
Una generalización obvia de este problema es el problema de la Aguja de Buffon-
Laplace, donde la aguja, en vez de lanzarse sobre un papel rayado, se lanza sobre
una cuadrícula. Se llama de Buffon-Laplace pues aunque Buffon lo resolvió también en
1777, su solución contenía un error. Fue corregido por Laplace en 1812.
Bibliografía
• Webs:
http://www.wikipedia.org
http://www.google.com
• Libros de consulta:
Castellet, M. y Llerena , J. (1991). Álgebra y Geometría. Editorial Reverté.
Gardner, M. Nuevos pasatiempos matemáticos. Editorial Alianza Editorial
Rey Pastor, J. y Babini, J. Historia de la matemática. Gedisa Editorial
Aspray , W. (1992) J. Von Neumann y los orígenes de la computación moderna.
Gedisa Editorial
Anexo 1: Método de Monte Carlo
La invención del método de Monte Carlo se asigna a Stan Ulam y a John von
Neumann. Ulam ha explicado cómo se le ocurrió la idea mientras jugaba un solitario
durante una enfermedad en 1946. Advirtió que resulta mucho más simple tener una
idea del resultado general del solitario haciendo pruebas múltiples con las cartas y
contando las proporciones de los resultados que computar todas las posibilidades de
combinación formalmente. Se le ocurrió que esta misma observación debía aplicarse a
su trabajo de Los Álamos sobre difusión de neutrones, para la cual resulta
prácticamente imposible solucionar las ecuaciones íntegro-diferenciales que gobiernan
la dispersión, la absorción y la fisión. “La idea consistía en probar con experimentos
mentales las miles de posibilidades, y en cada etapa, determinar por casualidad, por
un número aleatorio distribuido según las probabilidades, qué sucedería y totalizar
todas las posibilidades y tener una idea de la conducta del proceso físico”.
Podían utilizarse máquinas de computación, que comenzaban a estar disponibles,
para efectuar las pruebas numéricas y en efecto reemplazar el aparato experimental
del físico. A principios de 1947 Von Neumann envió una carta a Richtmyer a Los
Álamos en la que expuso de modo influyente tal vez el primer informe por escrito del
método de Monte Carlo. Su carta fue encuadernada junto con la respuesta de
Richtmyer como un informe de Los Álamos y distribuida entre los miembros del
laboratorio. Von Neumann sugería aplicar le método para rastrear la generación
isotrópica de neutrones desde una composición variable de material activo a lo largo
del radio de una esfera. Sostenía que el problema era adecuado para el ENIAC y
Gardner, M. Nuevos pasatiempos matemáticos. Editorial Alianza Editorial
Rey Pastor, J. y Babini, J. Historia de la matemática. Gedisa Editorial
Aspray , W. (1992) J. Von Neumann y los orígenes de la computación moderna.
Gedisa Editorial
Anexo 1: Método de Monte Carlo
La invención del método de Monte Carlo se asigna a Stan Ulam y a John von
Neumann. Ulam ha explicado cómo se le ocurrió la idea mientras jugaba un solitario
durante una enfermedad en 1946. Advirtió que resulta mucho más simple tener una
idea del resultado general del solitario haciendo pruebas múltiples con las cartas y
contando las proporciones de los resultados que computar todas las posibilidades de
combinación formalmente. Se le ocurrió que esta misma observación debía aplicarse a
su trabajo de Los Álamos sobre difusión de neutrones, para la cual resulta
prácticamente imposible solucionar las ecuaciones íntegro-diferenciales que gobiernan
la dispersión, la absorción y la fisión. “La idea consistía en probar con experimentos
mentales las miles de posibilidades, y en cada etapa, determinar por casualidad, por
un número aleatorio distribuido según las probabilidades, qué sucedería y totalizar
todas las posibilidades y tener una idea de la conducta del proceso físico”.
Podían utilizarse máquinas de computación, que comenzaban a estar disponibles,
para efectuar las pruebas numéricas y en efecto reemplazar el aparato experimental
del físico. A principios de 1947 Von Neumann envió una carta a Richtmyer a Los
Álamos en la que expuso de modo influyente tal vez el primer informe por escrito del
método de Monte Carlo. Su carta fue encuadernada junto con la respuesta de
Richtmyer como un informe de Los Álamos y distribuida entre los miembros del
laboratorio. Von Neumann sugería aplicar le método para rastrear la generación
isotrópica de neutrones desde una composición variable de material activo a lo largo
del radio de una esfera. Sostenía que el problema era adecuado para el ENIAC y
estimaba que llevaría 5 horas calcular la acción de 100 neutrones a través de un curso
de 100 colisiones cada uno.
Ulam estaba particularmente interesado en el método Monte Carlo para evaluar
integrales múltiples. Una de las primeras aplicaciones de este método a un problema
determinista fue llevada a cabo en 1948 por Enrico Fermi, Ulam y von Neumann
cuando consideraron los valores singulares de la ecuación de Schrödinger.
Anexo 2: Algunas cifras del número pi
Pi = 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 : 50
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 : 100
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 : 150
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 : 200
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 : 250
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 : 300
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 : 350
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 : 400
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 : 450
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 : 500
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 : 550
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 : 600
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 : 650
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 : 700
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 : 750
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 : 800
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 : 850
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 : 900
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 : 950
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 : 1000
3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 : 1050
0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 : 1100
5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983 : 1150
8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012 : 1200
8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 : 1250
9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912 : 1300
9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511 : 1350
2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279 : 1400
6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745 : 1450
5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955 : 1500
3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356 : 1550
6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000 : 1600
8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548 : 1650
1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333 : 1700
4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542 : 1750
de 100 colisiones cada uno.
Ulam estaba particularmente interesado en el método Monte Carlo para evaluar
integrales múltiples. Una de las primeras aplicaciones de este método a un problema
determinista fue llevada a cabo en 1948 por Enrico Fermi, Ulam y von Neumann
cuando consideraron los valores singulares de la ecuación de Schrödinger.
Anexo 2: Algunas cifras del número pi
Pi = 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 : 50
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 : 100
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 : 150
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 : 200
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 : 250
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 : 300
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 : 350
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 : 400
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 : 450
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 : 500
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 : 550
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 : 600
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 : 650
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 : 700
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 : 750
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