Circuitos de Primer y Segundo Orden PARA CIRCUITOS RCL

PRESENTACIÓN INTERESANTE

1. Circuitos de Primer y Segundo Orden

2. Capacitor (Condensador) [C] Elemento pasivo almacenador de energía en forma de campo eléctrico (voltaje) por medio de unas placas dieléctricas. Unidad: Faradio [F]. No permite cambios instantáneos de Voltaje. Relación Corriente Voltaje:     t=0 -> Corto t= ∞ -> Abierto

3. Inductor (Bobina) [L] Elemento pasivo almacenador de energía en forma de campo magnético (corriente). Unidad: Henrio [H]. No permite cambios instantáneos de Corriente. Relación Corriente Voltaje:     t=0 -> Abierto t= ∞ -> Corto

4. Circuitos de Primer Orden RC y RL Se caracterizan por ecuaciones diferenciales de 1er orden. Se analizan aplicando leyes de Kirchhoff en circuitos con o sin fuentes. Constan de un solo elemento almacenador de energía (Capacitor o Inductor) con un resistor. El orden del sistema lo da el número de elementos almacenadores de energía. Hay 4 situaciones: Circuito RC sin fuente. Circuito RL sin fuente. Circuito RC con fuente. Circuito RL con fuente.

5. Circuitos de Primer Orden RC y RL Un circuito RC sin fuente ocurre cuando su fuente de cd se desconecta súbitamente. La energía ya almacenada en el capacitor se libera hacia los resistores. 1. Circuitos RC sin fuente En t=0 el capacitor se encuentra cargado, así:   Aplicando LCK en nodo superior se tiene una ecuación diferencial de primer orden, cuya solución es:   Respuesta Natural -> comportamiento (en términos de tensiones y corrientes) del circuito, sin fuentes externas de excitación.

6. Circuitos de Primer Orden RC y RL La función decrece en términos de la constante de tiempo Tau ( τ ). 1. Circuitos RC sin fuente La constante de tiempo de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta disminuya en un factor de 1/e, o 36.8% de su valor inicial Voltios   Un grande, es un circuito de respuesta lenta; en 5 se alcanza el estado estable. Y la corriente por ley de Ohm en R es:   = RC   Así, la respuesta natural es: Amperios  

7. Circuitos de Primer Orden RC y RL Sea . Halle ,   1. Circuitos RC sin fuente (Ejemplo) V   Por lo tanto: =   1. Siempre calculamos primero Vc , para esto, sacamos la resistencia equivalente. 8 y 12 en serie y en paralelo con 5:

8. Circuitos de Primer Orden RC y RL 2. Para hallar , se toma el capacitor como fuente con voltios y por divisor de voltaje hallo .   1. Circuitos RC sin fuente (Ejemplo) V     V   3. Por último , por ley de ohm.  

9. Circuitos de Primer Orden RC y RL Un circuito RL sin fuente ocurre cuando su fuente de cd se desconecta súbitamente y la energía almacenada como corriente en el inductor se dirige a los resistores. 2 . Circuitos RL sin fuente En t=0 el tiene una corriente inicial Io así:   Se obtiene la respuesta natural como la corriente que fluye por el inductor:   Respuesta Natural ->

10. Circuitos de Primer Orden RC y RL 2 . Circuitos RL sin fuente La función decrece en términos de la constante de tiempo Tau ( τ ), para circuitos RL es: =   Amperios   Un grande, es un circuito de respuesta lenta; en 5 se alcanza el estado estable. Y la tensión por ley de Ohm en el resistor es:   Así, la respuesta natural es: Voltios  

11. Circuitos de Primer Orden RC y RL Se produce al conectar una fuente DC de repente (Respuesta al escalón). 3. Circuitos RC con fuente   Se puede concebir la respuesta completa como una componente Transitoria y otra Permanente : Rta . Completa = Rta . Transitoria + Rta . En estado estable Donde: + -> = ( ) ->  

12. Circuitos de Primer Orden RC y RL La respuesta transitoria es la respuesta temporal del circuito, la cual se extinguirá con el tiempo . La respuesta en estado estable es el comportamiento del circuito mucho tiempo después de aplicada una excitación externa. 3. Circuitos RC con fuente Así, la respuesta del circuito viene dada por: V  

13. Circuitos de Primer Orden RC y RL Se produce al conectar una fuente DC de repente (Respuesta al escalón). 4 . Circuitos RL con fuente   Se puede concebir la respuesta completa como una componente Transitoria y otra Permanente : Rta . Completa = Rta . Transitoria + Rta . En estado estable Donde: + -> = ( ) ->  

14. Circuitos de Primer Orden RC y RL Así, la respuesta del circuito viene dada por: 4 . Circuitos RL con fuente A   Donde i(0) e i( ) son los valores inicial y final de i. Así para hallar la repuesta escalón de un circuito RL se requieren 3 datos:  

15. Circuitos de Segundo Orden RC y RL Se caracterizan por ecuaciones diferenciales de 2do orden. Se analizan aplicando leyes de Kirchhoff en circuitos con o sin fuentes. Constan de dos elementos almacenadores de energía (Capacitor e Inductor) con un resistor. Hay 4 situaciones: Circuito RLC en serie sin fuente. Circuito RLC en paralelo sin fuente. Circuito RLC en serie con fuente. Circuito RLC en paralelo con fuente.

16. Circuitos de Segundo Orden RC y RL Considérese el circuito RLC en serie. Este circuito se excita con la energía inicialmente almacenada en el capacitor y el inductor. Aplicando LVK se obtiene una ecuación diferencial de 2do orden: 1. Circuitos RLC en paralelo sin fuente   En t=0 -> i(0) = Io Aplicando LVK: -> v(0) = Vo   Importante para hallar los valores de constantes A1 y A2.  

17. Circuitos de Segundo Orden RC y RL 1. Circuitos RLC en serie sin fuente Pasando a Laplace la ecuación de 2do orden y con , se obtiene:   Ec. Característica->     Las soluciones son: Donde:     Frecuencias naturales S1 y S2 Así la respuesta del sistema:   A1 y A2 se obtienen con las condiciones iniciales y la derivada de i.

18. Circuitos de Segundo Orden RC y RL 1. Circuitos RLC en serie sin fuente Hay 3 tipos de solución: Caso Sobreamortiguado: Se demora en estabilizarse     Caso Críticamente amortiguado : Tiende a cero rápidamente     Caso Subamortiguado : Tiende a cero oscilando      

19. Circuitos de Segundo Orden RC y RL 1. Circuitos RLC en serie sin fuente (ejemplo)

20. Circuitos de Segundo Orden RC y RL Considérese el circuito RLC en paralelo; tienen el mismo voltaje los elementos, así por medio de LCK se obtiene una ecuación diferencial de 2do orden: 2 . Circuitos RLC en paralelo sin fuente   En t=0 -> i(0) = Io = -> v(0) = Vo     Importante para hallar los valores de constantes A1 y A2. Aplicando LCK:

21. Circuitos de Segundo Orden RC y RL 2 . Circuitos RLC en paralelo sin fuente Pasando a Laplace la ecuación de 2do orden se obtiene como ecuación característica:   Las soluciones son: Donde:     Frecuencias naturales S1 y S2 Así la respuesta del sistema:   A1 y A2 se obtienen con las condiciones iniciales y la derivada de v.

22. Circuitos de Segundo Orden RC y RL 1. Circuitos RLC en paralelo sin fuente Hay 3 tipos de solución: Caso Sobreamortiguado: Se demora en estabilizarse     Caso Críticamente amortiguado : Tiende a cero rápidamente     Caso Subamortiguado : Tiende a cero oscilando      

23. Circuitos de Segundo Orden RC y RL 2. Circuitos RLC en paralelo sin fuente (ej.)

24. Circuitos de Segundo Orden RC y RL Considérese el circuito RLC en serie; al igual que en los circuitos RL y RC con fuente, se presenta la respuesta al escalón pero con una ecuación diferencial de 2do orden al aplicar LVK. 3 . Circuitos RLC en serie con fuente   La solución a esta ecuación tiene dos componentes, una Transitoria y otra en Estado Estable. El estado estable viene dado por la tensión en el infinito, es decir el valor de la fuente Vs y el estado transitorio por la respuesta del circuito RLC en serie sin fuente.

25. Circuitos de Segundo Orden RC y RL 3 . Circuitos RLC en serie con fuente Hay 3 tipos de solución: Caso Sobreamortiguado:     Caso Críticamente amortiguado :     Caso Subamortiguado :            

26. Circuitos de Segundo Orden RC y RL 3 . Circuitos RLC en serie con fuente (ej.)

27. Circuitos de Segundo Orden RC y RL Considere el circuito RLC en paralelo. Interesa hallar la i debida a la aplicación repentina de una corriente de cd . Aplicando LCK al nodo superior: 4. Circuitos RLC en paralelo con fuente   La solución a esta ecuación tiene dos componentes, una respuesta Natural y otra respuesta Forzada. La repuesta natural es igual que la del circuito RLC en paralelo sin fuente, y la forzada es el valor final de i, es decir la fuente Is .

28. Circuitos de Segundo Orden RC y RL 4. Circuitos RLC en paralelo con fuente Hay 3 tipos de solución: Caso Sobreamortiguado:     Caso Críticamente amortiguado :     Caso Subamortiguado :            

29. Circuitos de Segundo Orden RC y RL 4. Circuitos RLC en paralelo con fuente (ej.)

30. Referencias Alexander, Ch. Sadiku , M ”Fundamentos de Circuitos El´ectricos ”. Mc Graw Hill, 3a edici´on , 2006. Ref : 621.381 5 C417. Biblioteca Alfonso Borrero Cabal