Circunferencia y sus elementos

1. Srta. Yanira Castro Lizana CIRCUNFERENCIA

2. CIRCUNFERENCIA .- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.

3. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA A B M N Recta tangente Recta secante Flecha o sagita Diámetro AB ( ) Centro  T  Punto de tangencia Q  P  Radio Arco BQ Cuerda PQ

4. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.- Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. R L

5. 02 .- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca ( divide en dos segmentos congruentes ). P Q M N R

6. 03.- Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. A B C D

7. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A B C D Cuerdas congruentes Arcos congruentes Las cuerdas equidistan del centro

8. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS .- Tienen el mismo centro. r R d = Cero ; d : distancia

9. R r Distancia entre los centros (d) 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES .- No tienen punto en común. d > R + r R r

10. d = R + r 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES .- Tienen Un punto común que es la de tangencia. r R R r Punto de tangencia Distancia entre los centros (d)

11. d R d = R - r 04 .- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES .- Tienen un punto en común que es la de tangencia. d : Distancia entre los centros R r Punto de tangencia

12. 05 .- CIRCUNFERENCIAS SECANTES .- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. R r ( R – r ) < d < ( R + r ) Distancia entre los centros (d)

13. 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES .- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. d 2 = R 2 + r 2 Distancia entre los centros (d) r R

14. 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES .- No tienen puntos comunes. R r d d < R - r d : Distancia entre los centros

15. 1 .- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES AP = PB A B P R R  

16. 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES .- Son congruentes AB = CD A B C D R R r r

17. 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES .- Son congruentes. AB = CD A B C D R R r r

18. TEOREMA DE PONCELET. - En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a b c r R R Inradio Circunradio

19. TEOREMA DE PITOT. - En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. a + c = b + d d a b c Cuadrilátero circunscrito

20. Corolario: Todo ángulo inscrito en una semi circunferencia es recto . o

21. ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

22.  1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL .- Es igual a la medida del arco que se opone. A B C r r  = mAB

23.  A C B D 2 .- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR .- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos

24.  A B C 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO .- Es la mitad de la medida del arco opuesto.

25.  4 .- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO .- Es igual al medida del arco opuesto. A B C

26.  A B C 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO .- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.

27.  A B C O 6.- ÁNGULOS EXTERIORES .- Son tres casos: a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes .- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.  + mAB = 180°

28.  A B C O D b.- Ángulo formado por dos rectas secantes .- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

29.  A B C O c .- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante .- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

30. PROBLEMAS RESUELTOS

31. 50° 70º+x X R S Q 140° 2X X + (X+70) + 50° = 180° X = 30° Por ángulo semi-inscrito PQS Problema Nº 01 RESOLUCIÓN P Reemplazando: En el triángulo PQS: Resolviendo la ecuación: PSQ = x Se traza la cuerda SQ Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ.

32. 20° 70° X X = 40° R Q H En el triángulo rectángulo RHS 140° Es propiedad, que: 140° + X = 180° Por ángulo inscrito Problema Nº 02 RESOLUCIÓN P S m  S = 70º Resolviendo: PSQ = x mQR = 140° Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si m HRS=20º; calcule la mQPR.

33. x 130° A C B D X = 40° 50° Problema Nº 03 RESOLUCIÓN P Resolviendo: APD = x Medida del ángulo interior Medida del ángulo exterior mBC = 50° Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.

34. x X = 18° M N 54° x x Problema Nº 04 RESOLUCIÓN P A B APN = x Se traza el radio OM: o Dato: OM(radio) = PM Luego triángulo PMO es isósceles Ángulo central igual al arco Medida del ángulo exterior Resolviendo: En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m APN.

35. x 70° Medida del ángulo inscrito : X = 55° A B C P Q R 110° Problema Nº 05 RESOLUCIÓN PRQ = x Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: Resolviendo: 70° + mPQ = 180° mPQ = 110° En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la m PRQ.

36. Calcule la medida del ángulo “X”. Problema Nº 06 70° B A X P Resolución

37. RESOLUCIÓN Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: Medida del ángulo inscrito : 70° B A X P C 140º 140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º mAB=140º

38. Calcular la medida del ángulo “x” Problema Nº 07 B A X P 130º Resolución

39. RESOLUCIÓN B A X P 130º C Medida del ángulo inscrito : En la circunferencia: 260º Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 80º mAB = 260º mACB = 100º mACB + x = 100º 260º + mACB = 360º

40. Calcule el perímetro del triángulo ABC. Problema Nº 08 2 5 5 A B C Resolución

41. Teorema de Poncelet : a + b = 10 + 2(2) Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2p) = 24 RESOLUCIÓN 2 5 5 A B C a b a + b = 14 (1) (2) Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10

42. X PLANTEAMIENTO Q R S 80º P a a Problema Nº 09 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular m  QPR . Resolución

43. 2a + 80º = 360º a = 140º Medida del ángulo exterior: X = 30º En la circunferencia: RESOLUCIÓN X Q R S 80º P a a

44. P Q R S 2 3 PLANTEAMIENTO Problema Nº 10 En un cuadrilátero ABCD m  Q = m  S = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR Resolución

45. Teorema de Poncelet: a b c d PQR  a + b = PR+2(3) + a +b + c + d = 2PR + 10 PR = 6cm Dato: a + b + c + d = 22cm PSR  c + d = PR+2(2) 22 = 2PR + 10 RESOLUCIÓN P Q R S 2 3