Classical General Equilibrium Theory Mckenzie Lionel W

Classical General Equilibrium Theory Mckenzie
Lionel W download
https://ebookbell.com/product/classical-general-equilibrium-
theory-mckenzie-lionel-w-56388212
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Covariant Physics From Classical Mechanics To General Relativity And
Beyond 1st Edition Moataz H Emam
https://ebookbell.com/product/covariant-physics-from-classical-
mechanics-to-general-relativity-and-beyond-1st-edition-moataz-h-
emam-23677316
The Mathematical Structure Of Classical And Relativistic Physics A
General Classification Diagram 1st Edition Enzo Tonti Auth
https://ebookbell.com/product/the-mathematical-structure-of-classical-
and-relativistic-physics-a-general-classification-diagram-1st-edition-
enzo-tonti-auth-4340928
Intellectual Intuition In The General Metaphysics Of Jacques Maritain
A Study In The History Of The Methodology Of Classical Metaphysics
European Philosophy And History Of Religions New Edmund Morawiec
https://ebookbell.com/product/intellectual-intuition-in-the-general-
metaphysics-of-jacques-maritain-a-study-in-the-history-of-the-
methodology-of-classical-metaphysics-european-philosophy-and-history-
of-religions-new-edmund-morawiec-52165928
Recent Developments In Anisotropic Heterogeneous Shell Theory General
Theory And Applications Of Classical Theory Volume 1 1st Edition
Alexander Ya Grigorenko
https://ebookbell.com/product/recent-developments-in-anisotropic-
heterogeneous-shell-theory-general-theory-and-applications-of-
classical-theory-volume-1-1st-edition-alexander-ya-grigorenko-5359240

Athenian Generals Military Authority In The Classical Period Debra
Hamel
https://ebookbell.com/product/athenian-generals-military-authority-in-
the-classical-period-debra-hamel-46469882
The Classical Art Of Command Eight Greek Generals Who Shaped The
History Of Warfare 1st Edition Joseph Roisman
https://ebookbell.com/product/the-classical-art-of-command-eight-
greek-generals-who-shaped-the-history-of-warfare-1st-edition-joseph-
roisman-51480492
Britain As Germanys Vassal Classic Reprint General Friedrich Von
Bernhardi
https://ebookbell.com/product/britain-as-germanys-vassal-classic-
reprint-general-friedrich-von-bernhardi-55501048
The General Society Of Mayflower Descendants Meetings Officers And
Members Arranged In State Societies Ancestors And Their Descendants
Classic Reprint General Society Of Mayflower Descendants
https://ebookbell.com/product/the-general-society-of-mayflower-
descendants-meetings-officers-and-members-arranged-in-state-societies-
ancestors-and-their-descendants-classic-reprint-general-society-of-
mayflower-descendants-58481662
The Vermont Country Store Cookbook Recipes History And Lore From The
Classic American General Store Diehl
https://ebookbell.com/product/the-vermont-country-store-cookbook-
recipes-history-and-lore-from-the-classic-american-general-store-
diehl-6627806

Classical General Equilibrium Theory

This page intentionally left blank

Classical General Equilibrium Theory
Lionel W. McKenzie
The MIT Press
Cambridge, Massachusetts
London, England

(2002 Massachusetts Institute of Technology
All rights reserved. No part of this book may be reproduced in any form by any electronic or
mechanical means (including photocopying, recording, or information storage and retrieval)
without permission in writing from the publisher.
This book was set in Times New Roman on 3B2 by Asco Typesetters, Hong Kong and was
printed and bound in the United States of America.
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
McKenzie, Lionel W.
Classical general equilibrium theory / Lionel W. McKenzie.
p. cm.
Includes bibliographical references and index.
ISBN 0-262-13413-6 (hc : alk. paper)
1. Equilibrium (Economics) 2. Equilibrium (Economics)—History. I. Title.
HB145 .M39 2002
339.5—dc21 2002023017

To the memory of my beloved wife of 56 years,
Blanche Veron McKenzie,
without whose faithful support the work could not have been done

This page intentionally left blank

Contents
Preface xi
1 Theory of Demand 1
1.1 A Direct Approach to Demand Theory 1
1.2 Demand Theory without Transitivity 13
1.3 The Classical Theory 15
1.4 The Method of Revealed Preference 22
1.5 Market Demand Functions 25
Appendixes
A. Continuity ofm
xðpÞ 33
B. Negative Semideﬁniteness of½m
ijðp? 34
C. Euler’s Theorem forfðpÞ 35
D. Quasi-linear Preferences 35
E. The Law of Demand and Risk Aversion 36
F. The Strong Axiom of Revealed Preference 38
G. Group Demand Functions 40
2Taˆtonnement Stability of Equilibrium 45
2.1 Excess Demand Functions 45
2.2 Market Equilibrium 50
2.3 Matrices with Quasi-dominant Diagonals 50
2.4 The Process of Taˆtonnement 52
2.5 Local Stability of the Taˆtonnement 54
2.6 Taˆtonnement with Expectations 64
2.7 An Economy of Firms 69
2.8 An Economy of Activities 77
2.9 Taˆtonnment with Trading 82
2.10 Global Stability with Gross Substitutes 89
Appendixes
A. Individual and Market Excess Demand Functions 96
B. The Gross Substitute Assumption 98
C. The Weak Axiom of Revealed Preference and Local
Stability 102
D. Stability in a Temporary Equilibrium Model 104

3 Leontief Models of Production 109
3.1 The Simple Leontief Model 109
3.2 A Simple Leontief Model of Growth 114
3.3 The Simple Model with Variable Coe‰cients 118
3.4 Nonsubstitution with Capital Stocks 122
3.5 Current Prices and Interest Rates 129
Appendix
Continuity ofm
AðsÞ 129
4 Comparative Statics 133
4.1 The Local Theory of Comparative Statics 133
4.2 The Morishima Case 140
4.3 Global Comparative Statics 143
4.4 Comparative Statics for the Individual Agent 145
4.5 Comparative Statics and Supermodularity 150
Appendixes
A. Local Uniqueness of Equilibrium 153
B. Jacobi’s Theorem 157
C. Negative Deﬁniteness under Constraint 158
D. Maximization under Constraint 161
E. Matrices Whose Roots Have Negative Real Parts 163
5 Pareto Optimality and the Core 165
5.1 Pareto Optimum and Competitive Equilibrium 165
5.2 Competitive Equilibrium and the Core 171
5.3 Nonemptiness of the Core 181
5.4 The Existence of Competitive Equilibrium 183
6 Existence and Uniqueness of Competitive Equilibrium 189
6.1 Existence in an Economy of Activities 189
6.2 Existence in an Economy of Firms 197
6.3 Interiority and Irreducibility 207
6.4 Existence of Competitive Equilibrium with an
Inﬁnite Commodity Space 214
6.5 Uniqueness of Equilibrium 229
Appendix
Existence of a Zero of the Excess Demand Functions 235
Contentsviii

7 Competitive Equilibrium over Time 239
7.1 The von Neumann Model 240
7.2 Turnpike Theorems for the von Neumann Model 244
7.3 A Generalized Ramsey Growth Model 248
7.4 Turnpike Theorems over an Inﬁnite Horizon 255
7.5 The Generalized Ramsey Model with Discounting 259
7.6 A Turnpike Theorem for the Quasi-stationary
Model 264
7.7 The Turnpike in Competitive Equilibrium 272
Appendix
A Leontief Model with Capital Coe‰cients as a von
Neumann Model 293
References 301
Index of Economist Citations 309
Subject Index 311
Contents ix

This page intentionally left blank

Preface
General equilibrium theory in the modern sense was ﬁrst developed in the
second half of the nineteenth century by Francis Edgeworth, Alfred Mar-
shall, and Le´on Walras, most systematically by Walras. In the ﬁrst half of
the century some earlier moves in the direction of formal analysis of com-
petitive markets using mathematics had been made by Augustin Cournot
and Jules Dupuit. Then in the early twentieth century Vilfredo Pareto and
Gustav Cassel added some additional formulations to this theory. How-
ever, the modern elaboration and rigorous development of general equi-
librium theory from these foundations was begun in the 1930s and 1940s
by John Hicks and Paul Samuelson, in the tradition of academic eco-
nomics but with liberal appeal to mathematics, and by Abraham Wald
and John von Neumann, from a rigorous mathematical viewpoint. Frank
Ramsey in the late 1920s and von Neumann in the 1930s had laid the
ground for optimal growth theory, which I relate to general equilibrium
over time. However, the general equilibrium theory that this book is con-
cerned to present was developed in the second half of the twentieth century
primarily by Kenneth Arrow, Gerard Debreu, and me but with many
contributions from others. In particular, Tjalling Koopmans should be
mentioned for his activity analysis and optimal growth theory. Morgen-
stern, Samuelson, Hicks, and Koopmans were my teachers. Of the authors
whose work is cited here Hiroshi Atsumi, Robert Becker, Sho-Ichiro
Kusumoto, Leonard Mirman, Tapan Mitra, Anjan Mukherji, Kazuo
Nishimura, Jose´Scheinkman, and Makoto Yano were my students. I
apologize to my many students whose valuable contributions to economics
happened not to be relevant to this book. However, I must mention Jerry
Green (1977) and Charles Wilson (1976) who were pioneers in the study of
markets with asymmetric information. General equilibrium is far from the
whole of economics.
I characterize the general equilibrium theory that I will discuss as clas-
sical to indicate that it is the theory developed in the 1950s and 1960s
along with continuations in the period after that. It was then that theo-
rists began to derive theorems in a more satisfactory way from the same
basic assumptions and to provide natural extensions of the original
results. The assumptions that I refer to, in the case of the existence, opti-
mality, and turnpike theorems, are perfect foresight for each future state
of the world, or equivalently one initial market in which all transactions
are made for the whole future and for all states of the world. The traders
in both models are assumed to continue to live throughout the period,

ﬁnite or inﬁnite, to which the market refers. On the other hand, for the
stability theory which is the Walrasian taˆtonnement, it is assumed that
equilibrium is reached before transactions are made ﬁnal. This theory
received much attention in the 1930s, 1940s, and 1950s While not realis-
tic, it gives an indication of the conditions for stability in the very short
run. It may also be relevant to later theories of temporary equilibrium
where the question of how expectations are formed is important.
In the literature after 1970 these assumptions were generalized in some
fundamental ways. In the existence theory the case was treated of re-
peated markets in which assets including stocks, bonds, and money are
traded. However, perfect foresight of future prices in each state of the
world is still assumed. Thus what is achieved is the description of the
relations between asset prices and other prices. These relations depend on
asset payo¤s for di¤erent states of the world whose objective probabilities
are unknown and will be estimated di¤erently by di¤erent traders (see
Magill and Quinzii 1996). This elaboration of the model may be com-
pared with the elaboration in optimal growth theory that retains the
assumption of perfect foresight but examines the progress of capital ac-
cumulation in these circumstances leading to turnpike theorems. (See
Becker and Boyd 1997 for many extensions of this theory beyond the
scope of this book.) Perfect foresight means that the future state of the
world is known. Thus the assumption is actually stronger than that used
in the classical existence theory where trading takes place for goods that
include a speciﬁcation of the state in which they are to be delivered but
perfect foresight of the future state is not assumed. In another direction
the assumption that traders live through the whole future that is covered
by the market is replaced by the assumption of an inﬁnite sequence of
overlapping generations. (See Balasko, Cass, and Shell 1980 for an exis-
tence proof.) In macro models of optimal capital accumulation uncer-
tainty was introduced by Brock and Mirman (1972; see also Stokey and
Lucas 1989). Finally in recent years much attention has been given in one
sector models to chaotic paths of capital accumulation (see, for example,
Majumdar and Mitra 1994; Nishimura and Sorger 1999).
This book does not attempt to cover these many amendments of the
classical theory. It is aimed rather at presenting a detailed and rigorous
treatment of the classical model itself in which proofs of the basic theo-
rems are given step by step. This does not mean that the argument is easy.
Every step of the proofs is given, but in many cases the individual steps
Prefacexii

require some elaboration by the reader to achieve a full understanding. I
believe this is the only way to obtain a mastery of the method that will
allow the student to go beyond what has been done already and derive
new results. The class notes that are the original form of the material of
the book owe a great deal to the suggestions of my students over the
years. Also I am grateful to many of my former students for their assis-
tance in removing errors and misprints from earlier versions of my
manuscript. These are too numerous to list, but I owe a special debt to
Kazuo Nishimura and Makoto Yano who used some of the chapters in
their own general equilibrium seminars and to Hajime Kubota who came
to Rochester during several summers to give my chapters their most
careful reading. Of course, I know from experience that not all errors
have been removed or ever will be removed, but I think that unfortunate
circumstance should be laid at my door.
Preface xiii

This page intentionally left blank

1Theory of Demand
The two foundations of the theory of competitive markets are the theory
of demand and the theory of production. This was made quite clear in the
earliest mathematical formulation of competitive theory by Leon Walras
(1874–77). His demand theory is based on consistent choice under budget
constraints by a consumer acting independently of the choices of other
economic agents. This is still the classical paradigm. The choices are
derived from the maximization of a utility function given the budget
constraints. Today an alternative approach is to introduce a binary rela-
tion, the preference relation, from which optimal choices under constraint
may be shown to exist with or without the intervention of a utility func-
tion. However, in the classical theory a utility index is still used as a de-
vice to facilitate the derivation of the theorems on demand. A standard
reference for this way of proceeding is the appendix of Hicks’Value and
Capital(1939). On the other hand, Samuelson (1947) shows how the basic
theorems on demand can be derived when starting from the demand
functions that are assumed to exist and to satisfy a consistency condition.
Finally a method was introduced by McKenzie (1956–57) in which these
results are derived from a function of prices that gives the minimum in-
come needed to achieve commodity bundles as good as a given bundle.
We call this the direct approach, and this is the approach that we will
treat as primary.
1.1 A Direct Approach to Demand Theory
We suppose there is a ﬁnite list of commodities that the consumer may
enjoy, indexed from 1 ton. A commodity bundle may be represented as a
point inR
n
, the Cartesian product ofncopies of the real line with a
Euclidean topology. The commodity bundle may contain negative as well
as positive components. Negative components represent goods provided
by the consumer, for example, various types of labor service, while posi-
tive components represent goods taken by the consumer. LetCbe the set
of commodity bundles that it is possible for the consumer to trade. In the
spaceR
n
a setSis closed if and only ifx
s
ASfors¼1;2;,andx
s
converging toximplies thatxAS(see Berge 1963, p. 88). We make the
following assumptions.
assumption 1Cis not empty, andCis closed and bounded from below.

assumption 2A binary relation is deﬁned onCthat is denoted byR
and referred to as a preference relation. We interpretxRyto mean that
the commodity bundlexispreferredtoy; that is,xas good as or better
thany.
assumption 3The relationRis complete and transitive. That is to say,
for anyxandyACeitherxRyoryRx, or both. AlsoxRyandyRz
implyxRz.
It is clear that assumption 3 implies thatxRxholds.
assumption 4The relationRis closed. This means if sequences of bun-
dlesx
s
andy
s
satisfyx
s
!xandy
s
!y, andx
s
Ry
s
for alls, thenxRy.
The form taken by the assumptions on preferences is inﬂuenced by the
role they play in the theory of the competitive economy. For example, the
assumption that the set of possible consumption bundles is bounded be-
low is used in the proof that a competitive equilibrium exists. Additional
assumptions will be needed for that proof, which will not be made at this
point, for example, that the possible consumption setCis convex and
that the preferences have a convexity property as well. Other assumptions
will be used in other parts of the theory, such as smoothness of prefer-
ences to allow for continuous or di¤erentiable demand functions in the
theories of stability and comparative statics. But for most of this chapter
we will make do with the assumptions we have just listed. With them it is
possible to obtain all the basic classical theorems on demand in a rather
general form and with economical proofs.
We also deﬁne thepreference correspondence RonCby
RðxÞ1fzjzACandzRxg:
In other wordsRðxÞincludes all commodity bundles that are as good as
or better thanx. It is nonempty since it containsx. Deﬁne thestrict pref-
erencerelationPbyxPyif and only ifxRyand notyRx. Thestrict
preference correspondence Pis deﬁned onCby
PðxÞ1fyjyACandyPxg:
PðxÞmay be empty. We also deﬁne anindi¤erence relationIbyxIyif
xRyandyRx, and theindi¤erence correspondence IðxÞis deﬁned in the
analogous way toRðxÞandPðxÞ. I should mention here that in chapter 5,
Chapter 12

we will introduce the assumption thatRðxÞis the closure ofPðxÞat points
xofCfor which preferred bundles exist. This assumption is stronger than
assumption 4 because it excludes thick indi¤erence setsIðxÞexcept at
points of satiation.
The e¤ect of combiningPandRis given by
lemma 1wPz and zRx implies wPx. Also wRz and zPx implies wPx.
Finally wPz and zPx implies wPx.
Proof wRxfollows fromwPzandzRxby transitivity ofR. Suppose
xRwheld. ThenzRxandxRwimplieszRwby transitivity ofR, but this
contradictswPz. A similar argument proves the second proposition.
The third proposition is an immediate implication of either of the ﬁrst
two.
9
LetR
n
þ
¼fpAR
n
jpb0g. (In our use ofbandabetween vectors of
R
n
the inequality applies to each component of the vectors taken sepa-
rately.) ForxACandpAR
n
þ
, theminimum income function mx:Rþ!R
is deﬁned by
m
xðpÞ1inffpzforzARðxÞg:
SinceRðxÞis not empty andCis bounded below, it is clear thatm
xðpÞis
well deﬁned forpb0. The minimum income function is illustrated in
ﬁgure 1.1. If negative prices are allowed, form
xðpÞto be well deﬁned, it
would be necessary to assume thatCis bounded.
Deﬁne thebudget set Hðp;mÞforpAR
n
þ
andma real number by
Hðp;mÞ1fzjzACandpzamg:
Thedemand correspondence fðp;mÞis deﬁned forpAR
n
þ
andma real
number by
fðp;mÞ1fxjxAHðp;mÞandzPximplieszBHðp;mÞg:
With these assumptions and deﬁnitions we are able to prove the prelimi-
nary results that lead up to the properties of consumer demand as de-
scribed in the classical theory. It is a fundamental fact about this theory
that it completely isolates the consumer from society except for his par-
ticipation in the market. That is, his preferences are not dependent on the
choices of other persons. This is an abstraction from reality, but it is an
abstraction that makes the theory possible in the general form in which
Theory of Demand 3

we study it. It is interesting that the originator of the theory, Le´on Walras,
was inﬂuenced by the theory of static equilibrium in classical mechanics.
According to Ja¤e´(1954) he was familiar with the book by Poinsot (1803)
in which the theory of statics in mechanics is derived from axioms. In a
similar manner the theory of the competitive market is derived from
axioms inThe Theory of Valueby Debreu (1959). In this book I will con-
tinue the practice of deriving theory from a set of axioms or assumptions.
Let us ﬁrst prove some simple properties ofR,m
x, andf. Thegraphof
a correspondenceF, which mapsXintoY, is the setfðx;yÞjx;yAY;
andyAFðxÞg.
lemma 2(Berge 1963, p. 111)Assumption 4 is equivalent to assuming
that the graph of the correspondence R is closed.
ProofMake assumption 4. Letx
s
!xandy
s
!ywherex
s
AX,
y
s
AY, andx
s
ARðy
s
Þ. SinceCis closed by assumption 1,xACand
yAC. By the deﬁnition ofRðxÞ, we have thatx
s
Ry
s
for alls. Therefore
xRyby assumption 4 andxARðyÞ. The converse implication is obvious.
9
Figure 1.1
The goods are laborðLÞand foodðFÞ. Labor is nume´raire.m
xðpÞis the minimum income
needed at pricespto reach the preference level given by the consumption vectorx.
Chapter 14

lemma 3m xis positive homogeneous of degree 1, concave, and continuous.
ProofThe equality ofm
xðtpÞandtm xðpÞis immediate from the deﬁ-
nitions whentb0. This is positive homogeneity of degree 1. To prove
concavity, letp¼tp
0
þð1tÞp
00
,0ata1. For anye>0 there is
zARðxÞsuch thatm
xðpÞ>pze. In other words, for thiszande,
m
xðpÞ>tp
0
zþð1tÞp
00
ze:
Therefore, by deﬁnition ofm
x,
m
xðpÞ>tm xðp
0
Þþð1tÞm xðp
00
?e:
Since this holds for alle>0, we have
m
xðpÞbtm xðp
0
Þþð1tÞm xðp
00
Þ:
This is concavity form
x.
Forp>0 the continuity ofm
xfollows from its concavity (Fenchel
1953, p. 75; Rockafellar 1970, p. 82). A general proof forpb0 is given
in appendix A.
9
Figure 1.2 illustrates the concavity ofm x.
lemma 4For any p>0and xAC, m
xðpÞ¼pw, for some wARðxÞ.
Proof Hðp;mÞis closed as the intersection of closed sets (Berge 1963,
p. 68). Consider the setB
x¼RðxÞXHðp;pxÞ.B xis the set of preferred
points that cost no more thanx.B
xis not empty, since it containsx
(recall that we are using the term ‘‘preferred to’’ to mean ‘‘as good as or
better than’’).B
xis compact as the intersection of a closed set and a
compact set. Thereforepzassumes its minimum value at somewAB
x
(Berge 1963, p. 69).9
Ifp>0 does not hold, the inﬁmum that deﬁnesm xðpÞmay not be
attained as ﬁgure 1.3 illustrates.
lemma 5If p>0,Hðp;mÞis compact. If Hðp;mÞis not empty, fðp;mÞ
is not empty.
ProofConsiderB
n
x
1Rðx nÞXHðp;mÞ,n¼1;;k. Since the relation
Ris complete and transitive, by assumption 3, there is a functionnðjÞ
such thatB
x
nð1Þ
HBx
nð2Þ
HHB x
nðkÞ
, wherenðjÞmapsf1;;kgonto
itself. In other words, the setsB
xn
are nested. Therefore7
k
n¼1
Bxn
¼
Theory of Demand 5

Bx
nð1Þ
0j. Thus any ﬁnite subset of the collectionfB xgforxAHðp;mÞ
has a nonempty intersection. SinceHðp;mÞis compact,7
x
BxforxA
Hðp;mÞis not empty (Berge 1963, p. 69). However,yin this intersection
implies thatzBHðp;mÞifzPy,soyAfðp;mÞ. AlsozAHðp;mÞandz
not in this intersection implies thatyPzandyAfðp;mÞ,sozBfðp;mÞ.
Thusfðp;mÞ¼7B
xover allxAHðp;mÞandfðp;mÞ0j. 9
In order to state the next three lemmas, it is convenient to introduce
two assumptions that are only made when they are explicitly mentioned.
assumption 5Local better point. GivenxAC, letUbe an arbitrary
neighborhood ofx. There isx
0
AUXCwithx
0
Px.
assumption 6Local cheaper point. GivenxACandpb0,p00, letU
be an arbitrary neighborhood ofx. There isx
0
AUXCandpx
0
<px.
Assumption 5 is an assumption of local nonsatiation for a particular
consumption bundlex. Assumption 6 says for a particular commodity
bundlexand a particular price vectorpthere is a possible consumption
that is nearby and cheaper. Now we may state
Figure 1.2
Given the values ofmðp
0
Þandmðp
00
Þthe smallest possible value formðpÞism. The con-
sumption bundlesx
0
andx
00
are indi¤erent.
Chapter 16

lemma 6If assumption 5 holds for xAfðp;mÞ, then px¼m.If assump-
tion 5 holds for all zAfðp;mÞand xAfðp;mÞ, then px¼m
xðpÞ.
ProofThe deﬁnition offðp;mÞimpliespxam. Supposepx<m. Then
there is a neighborhoodUofxsuch thatzAUXCimpliespz<m.
Therefore, by assumption 5, there iswPxandpw<m. This contradicts
the deﬁnition offðp;mÞ,sopx¼m. If there werezwithzRxand
pz<m, then by a repetition of the preceding argument there iswPz
andpw<m. ThenwPxby lemma 1. This contradicts the deﬁnition of
fðp;mÞ. Thereforem¼m
xðpÞ. 9
Lemma 6 says that local nonsatiation at a pointx¼fðp;mÞof the
demand set implies that all income is spent and that local nonsatiation
throughout the demand set implies that incomemis minimal for the level
of preference achieved. We next establish conditions under which pur-
chases made at income levelsm
xðpÞlie in the indi¤erence set containing
x. RecallxIyif and only ifxRyandyRx.
Figure 1.3
The inﬁmum ofpzis not attained overPðxÞ.
Theory of Demand 7

lemma 7Let zAfðp;m xðpÞÞ. Suppose that assumption 6 is satisﬁed at
ðz;pÞand p>0. Then zIx.
ProofBy deﬁnition off,
pzam
xðpÞ: ð1Þ
By lemma 4, sincep>0, there iswARðxÞfor whichpw¼m
xðpÞ. But by
deﬁnition off,wPzdoes not hold. Then, by deﬁnition ofP, eitherwRz
does not hold orzRwholds. However, by completeness, ifwRzdoes not
hold,zRwmust hold. AlsowARðxÞimplieswRx. Therefore, by tran-
sitivity,zRx.
By assumption 6 there is a sequencefz
s
g,z
s
AC, andz
s
!z, such that
pz
s
<pz: ð2Þ
Together (1) and (2) implypz
s
<mxðpÞ,soz
s
BRðxÞ. Thus by complete-
nessxRz
s
. Since by assumption 4 the preference relation is closed,xRz.
This together withzRximplieszIx.
9
Lemma 7 shows that it is the assumption of a local cheaper point that
leads bundles demanded at minimum costm
xðpÞto lie in the indi¤erence
set forx. See ﬁgure 1.4. This fact plays a critical role in two later proofs,
the proof that a Pareto optimum may be realized as a competitive equi-
librium, and the proof that a competitive equilibrium exists.
LetR
n
þþ
¼fpAR
n
jp>0g. We deﬁne the correspondencef x:R
n
þþ
!
Cby
f
xðpÞ1fðp;m xðpÞÞ:
LetzAf
xðpÞ. Over a neighborhood ofpfor whichf xðpÞsatisﬁes assump-
tion 6,f
xðpÞis acompensated demand correspondence. The correspondence
f
xðpÞassociates prices with bundles in the indi¤erence set ofx, which
may be demanded at those prices given appropriate incomes. Of course,
some bundles inIðxÞmay not be bought at any prices and incomes if
the setsRðxÞare not convex. Also if the indi¤erence set is thick, some
bundles that are indi¤erent withxmay be too expensive to buy atm
xðpÞ.
We may now approach the proof of the major theorems on demand.
Whenfðp;mÞorf
xðpÞare single element sets over a neighborhood,fand
f
xmay be regarded as ordinary functions, and they may have derivatives
over the neighborhood.
Chapter 18

lemma 8Suppose p>0and assumption 5 holds at f xðpÞ.Then, if the
derivatives exist,
p
qfxðpÞ
qp
i

¼0;i¼1;;n:
ProofWe may assume thatf
xis a function. Then there isz¼f xðpÞ.By
lemma 4, there iswARðxÞsuch thatpw¼m
xðpÞ. I claim thatzARðxÞ.
Suppose not. ThenxPz. SincewRxandxPz, it follows thatwPz. Since
pw¼m
xðpÞandwPz,zcannot be a value off xðpÞ. This is a contradic-
tion. ThereforezARðxÞ.
Lety¼f
xðqÞ. Forqnearp, we have thatq>0, soyARðxÞby lemma
4 also. By deﬁnition off
xðpÞ,pzam xðpÞ. On the other hand,yARðxÞ
implies that
m
xðpÞapy¼pf xðqÞ:
But lemma 6 impliespz¼m
xðpÞ. Thuspz¼pf xðpÞ¼minpf xðqÞ
forqin a neighborhood ofp. Then, if the derivatives exist, it follows from
the necessary conditions for a minimum that
Figure 1.4
AlthoughzAfðp;m
xðpÞÞ;zis preferred tox. However assumption 5 is not met.
Theory of Demand 9

qðpf xðqÞÞ
qq
i
¼p
qfxðqÞ
qq
i
¼0;i¼1;;n;
atq¼p.
9
lemma 9Suppose that p>0, and assumption 5 holds at f xðpÞ.If the
derivatives exist,qm
xðpÞ=qp i¼fxiðpÞ, andqf xiðpÞ=qp j¼q
2
mxðpÞ=qp jqpi,
i;j¼1;;n.
ProofThe lemma is implied by the following series of equalities
qmxðpÞ
qp
i
¼
qðpf xðpÞÞ
qp
i
¼fxiðpÞþp
qfxðpÞ
qp
i
¼fxiðpÞ:
The last equality is justiﬁed by lemma 8. As this formula suggests, the
existence of the ﬁrst partial derivatives ofm
xatprequires thatf xbe
single valued there but not that it have partial derivatives there.
9
Figure 1.5 illustrates the proof of lemma 8. The ﬁrst basic fact about
demand correspondences is their homogeneity.
lemma 10The demand correspondence fðp;mÞis positively homogeneous
of 0 degree inðp;mÞ.The compensated demand correspondence f
xðpÞis
positively homogeneous of 0 degree in p.
ProofThe homogeneity offðp;mÞis immediate from the deﬁnitions.
Forf
xðpÞwe have the following series of equalities
f
xðpÞ¼fðp;m xðpÞÞ ¼fðtp;tm xðpÞÞ ¼fðtp;m xðtpÞÞ ¼f xðtpÞ
for allt>0. The second equality uses the ﬁrst part of the lemma and the
third equality uses lemma 3.
9
The more subtle results of demand theory for a compensated demand
function are contained in the ﬁrst theorem. Deﬁne thenbyn substitution
matrix S
xðpÞbyS xðpÞ¼½qf xiðpÞ=qp j,i;j¼1;;n.
theorem 1On assumptions 1 to 5, for any xAC, S
xðpÞexists for almost
all p>0.Moreover
i.S
xðpÞis symmetric.
ii.z
T
SxðpÞz is negative semideﬁnite.
iii.p
T
SxðpÞ¼0and S xðpÞp¼0.
Chapter 110

ProofBy lemma 9,S xðpÞ¼½q
2
mxðpÞ=qp jqpiwhen the derivatives exist.
By lemma 3,m
xðpÞis concave. Therefore the second di¤erential ofm xðpÞ
exists almost everywhere in the interior of the positive orthant (Fenchel
1953, p. 142; Alexandro¤ 1939). By Young’s theorem, the existence of the
second di¤erential implies that
q
2
mxðpÞ
qp
iqpj
¼
q
2
mxðpÞ
qp
jqpi
;
orS
xðpÞis symmetric. (For the case where the second derivatives are
continuous in a neighborhood, see Wilson 1911, p. 102.) The concavity of
m
xðpÞfrom lemma 3 implies that the second di¤erential is negative semi-
deﬁnite. Finally (iii) follows from lemma 8 and (i). Of course, (iii) may
also be derived from lemma 10 and (i).
9
The fundamental theorem for the demand functionfðp;mÞ, sometimes
referred to as the Walrasian demand function, is that the price derivatives
may be decomposed into a substitution e¤ect and an income e¤ect. Here
the substitution e¤ect is the derivative of the compensated demand func-
Figure 1.5
pðx
00
xÞ¼0 andpðx
0
xÞconverges to 0 asx
0
converges tox. ThuspD pfxðpÞ¼0.
Theory of Demand 11

tion, which is sometimes referred to as the Hicksian demand function. It
should be recalled thatf
xðpÞis a compensated demand function if as-
sumption 6 is met but not necessarily otherwise. It may happen thatf
xðpÞ
is strictly preferred tox. See ﬁgure 1.4. The decomposition is called the
Slutsky relation for its discoverer (Samuelson 1947, p. 103).
theorem 2Let assumptions 1 through 5 hold at fðp;mÞ.Ifp>0and the
derivatives exist, and p>0,
qfxiðpÞ
qp
j
¼
qfiðp;mÞ
qp
j
þfjðp;m?
qfiðp;mÞ
qm
;i;j¼1;;n;
where x¼fðp;mÞ.If assumption 6 holds f
xðpÞis a compensated demand
function.
ProofBy lemma 6,px¼m¼m
xðpÞ. By the deﬁnition
f
xiðpÞ1f iðp;m xðpÞÞ: ð3Þ
Therefore
qfxiðpÞ
qp
j
¼
qfiðp;m xðpÞÞ
qp
j
¼
qfiðp;mÞ
qp
j
þ
qfiðp;mÞ
qm

qmxðpÞ
qp
j

¼
qfiðp;mÞ
qp
j
þfjðp;mÞ
qfiðp;mÞ
qm

;
where the derivatives are evaluated atm¼m
xðpÞ.
The last equality is implied by lemma 9. Thatf
xðpÞis a compensated
demand function when assumption 6 holds is implied by lemma 7.
9
Deﬁne thegross substitutionmatrixF, a function ofpandm,byF¼
½qf
iðp;mÞ=qp j,i;j¼1;;n. LetY¼½f jðp;m?qf iðp;mÞ=qm,i;j¼
1;;n, be the matrix of income e¤ects. Then the Slutsky relation may
be expressed succinctly byF¼SY, where it is understood that the
matrices depend onpandmin the ways described. It is worth noting that
negative semideﬁniteness will hold forFon the subspaceðfðpÞÞ
?
ortho-
gonal to the demand vector, since on this subspaceYx¼0. As we will see
later there is a generalization of this property to market demand so long
as the number of consumers is smaller than the number of goods.
Chapter 112

corollaryIf the vector of price changes v lies in the orthogonal subspace
of the demand vector fðp;mÞ, then v
T
Fva0.That is, F is negative semi-
deﬁnite on this subspace.
ProofThe corollary follows from the fact thatYv¼0.
9
The most striking feature of the direct approach to demand theory is
the very great latitude given to the set of possible consumption bundles.
For example, the theory is applicable to consumption sets containing in-
divisible goods. Of course, the derivatives of the demand for indivisible
goods with respect to the prices will always be zero when they exist, but
this does not interfere with the use of the matricesF,S, andY, which may
contain many nonzero entries for goods that are divisible.
1.2 Demand Theory without Transitivity
It may be thought that it is not reasonable to assume that the relationR
is transitive, since such consistency is usually not observed in practice.
Moreover the completeness ofRmay be called into question. On the other
hand, if the consumer cannot compare two bundles, it seems quite reason-
able to treat them as indi¤erent in his sight. However, indi¤erence does not
enter the deﬁnition of demand we are using. Thus it is su‰cient to take
the strict preference relationPas primitive and deﬁne the correspondence
Rby means of the correspondenceP,
RðxÞ1fzACjnotxAPðzÞg:
We also deﬁne the correspondenceLby
LðxÞ1fzACjxAPðzÞg:
The value of the correspondenceLatxis called thelower sectionofP
atx.
Replace assumptions 1 through 4 in this section by
assumption 7Cis not empty andCis convex, closed, and bounded
from below.
assumption 8A binary relation is deﬁned onCdenoted byPand re-
ferred to as a relation of strict preference.
Theory of Demand 13

LetAbe a set of points inR
n
. Thenconvex hull Ais the set of all
convex combinations of members ofA. That is, the set of all sums
t
1x1??t nxnin whichx iAA,t ib0,
P
t i¼1, wherenis arbitrary.
assumption 9xBconvex hullPðxÞ.
assumption 10The correspondencePhas open lower sections relative
toC.
Note thatRðxÞis the complement ofLðxÞinC, and thereforeRðxÞis
closed.
We wish to prove with these assumptions that the demand correspon-
dencefðp;mÞis not empty, a result due to Sonnenschein (1971). The new
assumptions are weaker in that transitivity is dropped and continuity is
weakened. However they are stronger by the introduction of convexity
conditions. Denote byKðAÞthe convex hull of a set A. We will need a
lemma of Knaster, Kuratowski, and Mazurkiewicz (KKM) (Berge 1963,
p. 172).
lemma 11Let A¼fa
0;a1;;a rgbe an arbitrary collection of rþ1
points inR
n
. LetfS 0;S1;;S rgbe a collection of closed sets, and I¼
f0;1;;rg. Assume that for all JHI, the convex hull Kðfa
ig
iAJ
ÞH
6
iAJ
Si, then7
iAI
Si0j.
theorem 3Under assumptions 7 through 10, the demand correspondence
fðp;mÞis not empty for p>0and Hðp;mÞ0j.
ProofLetfx
0;x1;x2;;x rgbe an arbitrary set ofrþ1 points in
Hðp;mÞ. LetI¼f0;1;;rg. LetJHI. Deﬁne forwAHðp;mÞthe set
B
w¼RðwÞXHðp;mÞ. This is the set of commodity bundles inHðp;mÞ
that are as good asw. ThuszBB
wimplieswPz. I claim that
Kðfx
ig
iAJ
ÞH6
iAJ
Bxi
: ð4Þ
Suppose not. Then there iszAKðfx
ig
iAJ
Þsuch thatzB6
iAJ
Bxi
. But this
impliesx
iPzfor alliAJ. Sincex iAPðzÞforiAJ, we haveKðfx ig
iAJ
ÞH
convex hullPðxÞ. ThuszAconvex hullPðzÞin contradiction to the as-
sumption 9. Therefore (4) holds. TheB
xi
are closed as the intersections of
closed sets. Apply the lemma to establish that7
iAI
Bxi0j.
Chapter 114

Butp>0 implies thatHðp;mÞis bounded and thus compact by as-
sumption 7. SoHðp;mÞhas the ﬁnite intersection property (Berge 1963,
p. 69). SinceB
zis closed forzAHðp;mÞ, as an intersection of closed sets,
and thex
iare arbitrarily chosen points ofHðp;mÞ, the ﬁnite intersection
property implies that7
zAHðp;mÞ
Bz0j. Letxlie in this intersection.
ThenxRzholds for allzAHðp;mÞ,sozPximplieszBHðp;mÞ, and
xAfðp;mÞby the deﬁnition.
9
The loss of transitivity has required a new and somewhat more di‰cult
proof that the demand correspondence is well deﬁned forp>0. Also
lemma 7 can no longer be proved, sof
xðpÞmay not be characterized as a
compensated demand function even though assumption 6 holds. Other-
wise, the theory expounded in section 1.1 is unchanged. In particular,
f
xðpÞis well deﬁned forp>0 sinceRðxÞis closed. We may remove the
conditionp>0ifCis taken to be bounded and therefore compact.
1.3 The Classical Theory
In the classical theory, rather than a preference relation, the point of de-
parture is a utility functionuðxÞdeﬁned on the relevant part of the com-
modity space. Then the demand correspondence is derived by maximizing
this function over the budget setHðp;mÞ. Often in the formal develop-
ment the set of commodity bundles that the consumer can trade is
assumed to be the positive orthant ofR
n
. However, we will ﬁnd that it
is positive prices that permit the analysis to proceed, while commodity
bundles that are traded can be allowed to contain negative quantities of
goods, to represent goods that are provided by the consumer, as well as
positive quantities to represent goods that are taken. On the other hand,
the analysis is conﬁned to the interior ofCto avoid the complications
that occur on the boundary. We will ﬁnd in the classical approach one
loses the advantages that come from the use of the concave function
m
xðpÞ. To compensate for this loss, it is assumed that the commodities
are divisible and that the utility function is quasiconcave. A continuous
real-valued functiongdeﬁned onR
n
is quasiconcave ifgðxÞ¼gðyÞ
impliesgððxþyÞ=2ÞbgðxÞ. It is strictly quasiconcave if this inequality is
strict wheneverx0y. In developing the classical theory we will use the
following assumptions.
Theory of Demand 15

assumption 11(Free disposal) The set of possible consumption bundles
CHR
n
is convex with a nonempty interior. AlsoCis closed and
bounded from below. IfxAC, thenyACforybx.
assumption 12(Monotonicity) A utility functionuis deﬁned onC.We
interpretuðxÞbuðyÞto meanxRyanduðxÞ>uðyÞto meanxPy. For
anyxandyAC,xby, andx0yimplies thatuðxÞ>uðyÞ.
assumptions 13(Smoothness) The functionuis continuous and strictly
quasiconcave inCand at least twice continuously di¤erentiable in the
interior ofC. AlsoquðxÞ=qx
i>0,i¼1;;n.
In section 1.1 we derived the functionm
xðpÞfrom the preference rela-
tionRand used that function to derive theorems on demand. It is also
possible to derive a utility functionuðxÞfrom the relationR(Debreu
1954). Moreover, given some smoothness properties forR, the function
uðxÞwill be continuously di¤erentiable (Debreu 1972).
The classical deﬁnition of the demand correspondencefðp;mÞis
fðp;mÞ¼fxjxAHðp;mÞanduðxÞbuðyÞfor allyAHðp;mÞg:
SinceuðxÞis strictly quasiconcave by assumption 13, the demand corre-
spondence is single valued and deﬁnes a function. In the presence of a
utility function this deﬁnition is equivalent to the deﬁnition given earlier.
lemma 12Under assumptions 11 through 13 the demand function fðp;mÞ
is well deﬁned for p>0and Hðp;mÞ0j.
ProofSinceHðp;mÞis compact, by lemma 1.5, the supremum is
attained for a continuous function (Berge 1963, p. 69). Sinceuis strictly
quasiconcave the supremum is attained at a unique point. Thusfðp;mÞis
well deﬁned whenHðp;mÞis not empty.
9
From the deﬁnition offðp;mÞifxis the value of demand for a partic-
ular choice ofpandm, the setHðp;mÞand the setPðxÞare disjoint.
Therefore in the interior ofCwhere the ﬁrst derivativeDuðxÞofuexists,
for any variationzofxsuch thatpz¼0, it must be thatxþzBPðxÞ.
ThusDuðx?za0. Sincezis also a variation that remains inC, it fol-
lows thatDuðx?z¼0 wheneverpz¼0. This implies thatDuðxÞ¼lp
for some real numberl. See proposition 1 in section 2.5. But monoto-
nicity implies thatlis positive. This assumption also implies that all in-
Chapter 116

come is spent orpx¼m. Thus the following conditions must hold at a
valuexoffðp;mÞwhenxlies interior toC,
Duðx?lp¼0;
pxm¼0:
ð5Þ
The fact thatxþzBPðxÞforpz¼0 also implies thatDuðx?zþ1=2z
D
2
uðx?za0 forpz¼0, whereD
2
uðxÞis the Hessian matrix ofuand
deﬁnes the second di¤erential ofuatx. SinceDuðx?z¼0, this means
that the quadratic form deﬁned byD
2
uðxÞis negative semideﬁnite on the
hyperplaneHðpÞ¼fzjpz¼0gwhenxis a value offðp;mÞinterior to
C.IfD
2
uðxÞis continuous and negative deﬁnite onHðpÞ, we will say that
xis aregular valueoffðp;mÞ. LetU¼½u
ij. Thebordered Hessianofuat
x¼fðp;mÞis given by
Up
p
T
0

, whereU¼½u
ij,i;j¼1;;n, and
u
ij¼q
2
u=qx jqxi.
lemma 13If the Hessian matrix of u at x is negative deﬁnite on HðpÞ,
where x¼fðp;mÞfor p>0, the bordered Hessian of u at x is nonsingular.
ProofLet the Hessian matrixUbe negative deﬁnite onHðpÞ. Suppose
the bordered Hessian is singular. Then
Up
p
T
0

z
l

¼0 for some
z
l

00: ð6Þ
Supposez00. Ifl¼0, then½u
ijz¼0. Sincepz¼0 from (6), this
contradicts the assumption of a negative deﬁnite Hessian onHðpÞ. Thus
we may setl¼1. Then½u
ijz¼pandpz¼0, soz
T
½uijz¼pz¼0, which
again contradicts the assumption that the Hessian is negative deﬁnite on
HðpÞifz00. However,z¼0 impliesl¼0 from (6), which contradicts
ðzlÞ00. Thus the bordered Hessian must be nonsingular.
9
Lemma 13 allows us to prove that the demand function is smooth at
regular values, a result that was not available under the weaker assump-
tions of section 1.1.
theorem 4Under assumptions 11 through 13, the demand function
fðp;mÞhas continuous ﬁrst derivatives at regular values.
ProofObserve that the bordered Hessian is the Jacobian matrix of the
equation system (5) whenxandlare the dependent variables. Letx
0
¼
Theory of Demand 17

fðp
0
;m
0
Þbe a regular value off, and letl
0
be the corresponding value
oflin equations (5). Then by the implicit function theorem (Dieudonne´
1960, p. 265) there exist functionsh
iðp;mÞ,i¼1;;n, andh 0ðp;mÞ
deﬁned over a neighborhoodWofðp
0
;m
0
Þsuch that (5) is satisﬁed for
x¼hðp;mÞandl¼h
0ðp;mÞandhðp
0
;m
0
Þ¼x
0
,h0ðp
0
;m
0
Þ¼l
0
. More-
over these functions have continuous ﬁrst partial derivatives inW.
We must show thathðp;mÞ1fðp;mÞforðp;mÞinW. ConsiderDuðxÞ
forx¼hðp;mÞ. Sinceuis strictly quasiconcave,DuðxÞstrictly supports
the convex setRðxÞ. That is,Duðx?z>0 forz00 andxþzARðxÞ.
This implies by (5) thatpz>0 forxþzARðxÞ. Since by (5) it also holds
thatpx¼m, the conditions are met forx¼fðp;mÞby the deﬁnition
off.
9
From the proof of Theorem 4 we know that conditions (5) are satisﬁed
by the demand function in the neighborhood of a regular value. Therefore
we may study the variation of demand with price and income by di¤er-
entiating (5) totally. This gives
Up
p
T
0

dx
dl

¼
ldp
xdpdm

: ð7Þ
Therefore
dx
dl

¼
Sv
v
T
w

lI0
x
T
1

dp
dm

; ð8Þ
where
Sv
v
T
w

¼
Up
p
T
0

1
: ð9Þ
Consider that
Duðx?dx¼
X
n
1
quðxÞ
qx
i

dx
i¼lpdx byð5Þ:
Sincem¼pxfrom monotonicity, di¤erentiation gives
dm¼pdxþxdp: ð10Þ
ThereforeDuðx?dx¼lpdx¼0 impliesdm¼xdp. This is the compen-
sationdmrequired to hold utility constant after the price changedp.
Chapter 118

Substituting in (8), we ﬁnd thatDuðx?dx¼0 impliesdx¼lSdp.Aswe
have seen,l¼0 is not possible ifxis regular. ThuslSis the substitution
matrix½qf
xiðpÞ=qp j, wheref xis the compensated demand function atx.
Also by (8),dp¼0 impliesdx¼vdm,sovis the vector of derivatives of
demand with respect to incomeqf
iðp;mÞ=qm. Multiplying the matrix on
the left in (9) by its inverse on the right, we obtainpv¼1; that is,
pqfðp;mÞ=qm¼1. Finally by (8) if we putdm¼0, we obtain
dx¼lSdp?xdpÞv;
which is the Slutsky relation of theorem 2 in matrix form.
The relations of theorem 1 are also implied by (8) for regular values of
fðp;mÞ. We may prove
lemma 14If x is a regular value of f atðp;mÞ, the substitution matrix S
atðp;mÞis symmetric and satisﬁes p
T
S¼0. AlsoSisnegative semi-
deﬁnite of rank n1.
ProofThe symmetry ofSis immediate from the symmetry ofU. To see
thatSp¼0, consider
Sv
v
T
w

Up
p
T
0

¼
I
n0
01

: ð11Þ
Thenp
T
S¼0 follows by symmetry ofS. This leaves the negative semi-
deﬁniteness and rank ofSto be proved.
From (11) we deriveSUþvp
T
¼In. ThusSUSþvp
T
S¼S. Since
p
T
S¼0, we haveSUS¼S. Alsop
T
Sy¼0 for allyAR
n
. SinceUis
negative deﬁnite on allx00 that satisfypx¼0, we ﬁnd thaty
T
Sy¼
y
T
SUSya0, In other words,Sis negative semideﬁnite.
The bordered substitution matrix is nonsingular as the inverse of the
bordered Hessian. However, the bordered substitution matrix may be ex-
panded by its last row and last column wherev
ivjfori;j<nmultiplies
the minor ofSwith theith column and thejth row eliminated, with an
appropriate sign, andwmultipliesjSj. We know from lemma 13 that the
bordered Hessian is nonsingular. Also we have proved above thatjSj¼0.
If all then1 minors ofSwere 0, it would be implied by the expansion
described that the bordered substitution matrix was also 0. Since this
would be a contradiction, somen1 minor is not 0 and thereforeShas
rankn1.
9
Theory of Demand 19

corollaryz
T
Sz¼0if and only if z¼ap.
ProofSinceSis symmetric, the characteristic vectors on the left are
transposes of characteristic vectors on the right with the same character-
istic values. Moreover the characteristic vectors belonging to di¤erent
characteristic vectors must be orthogonal, and those belonging to the same
characteristic value may be chosen to be orthogonal. Letz¼
P
n
i¼1
aizi,
where thez
iare the orthogonal characteristic vectors. Thenz
T
Sz¼
P
n
i¼1
a
2
i
b
iz
2
i
, where theb
iare the characteristic values. SinceSis negative
semideﬁnite, theb
i
are nonpositive. Thereforez
T
Sz¼0 if and
only ifa
2
i
b
i
¼0 for alli. Buta
2
i
b
i
¼0 if and only ifa ib
i
¼0, orSz¼
P
n
i¼1
aib
i
zi¼0. Sincepis the only characteristic vector, except for
nonzero multiples ofp, with the characteristic value 0, it follows that
z
T
Sz¼0 if and only ifz¼ap. 9
A remarkable condition has been found by Mitiushin and Polterovich
(see Mas-Colell 1991, p. 282) that implies that the gross substitution
matrixF¼½qf
iðp;mÞ=qp jis negative deﬁnite. In the language of choice
under uncertainty, the condition is that the coe‰cient of risk aversion,
which is deﬁned asx
T
½uijðx?x=xDuðxÞ, be less than 4.
theorem 5Make assumptions 11 through 13. Ifx
T
½uijðx?x=xDuðxÞ<4
for all xAinterior C, x>0, where x¼fðp;mÞ, then½qf
iðp;mÞ=qp jis
negative deﬁnite.
ProofSee appendix E.
9
Note that income is held constant as prices are changed in theorem 5.
If all consumers have their coe‰cient of relative risk aversion less than 4
and the incomes of all consumers remain constant, the market demand
function satisﬁes the Law of Demand, since the negative deﬁnite property
for matrices is preserved under summation. Mas-Colell points out that if
the income of theith consumer is derived from the sale of initial resources
o
iando i¼aiowhereois the vector of total resources in the economy
and 0aa
ia1, then the individual consumer has a constant income if
the total income of consumers is constant. Thus under these conditions
the Law of Demand holds for the market demand function between price
vectorspandqif all consumers satisfy the condition on relative risk
aversion andpo¼qo.
Chapter 120

When a utility function is available, the minimum cost approach to
demand theory can be rephrased withm
xðpÞreplaced bym uðpÞandu¼
uðxÞ.m
uðpÞis deﬁned by
m
uðpÞ1infpzforuðzÞbu:
We may also write the compensated demand function as f
uðpÞ¼
fðp;m
uðpÞÞ. Under the assumptions of this section assumptions 5 and 6
are always met in the interior ofC. Thus lemmas 6 and 7 hold there. Also
the di¤erentiability conditions of lemmas 8 and 9 hold at regular values
offðp;mÞby theorem 4. Finally theorem 4 implies that the conditions of
theorems 1 and 2 are met at regular values.
It is useful to deﬁne anindirect utility function vðp;mÞby
vðp;mÞ1uðfðp;mÞÞ:
Demand theory using the indirect utility function was developed by Roy
(1947). A relation often referred to as Roy’s identity is proved in
lemma 15Assume that x¼fðp;mÞis a regular value, then
f
iðp;mÞ¼
qvðp;mÞ=qp i
qvðp;mÞ=qm
;i¼1;;n:
ProofBy the deﬁnitionsubvðp;m
uðpÞÞmust hold. Since the cheaper
point assumption holds, if the inequality were strict, continuity ofu
would imply thatm
uðpÞwas not minimal. Therefore equality must hold.
By theorem 4, regularity allows di¤erentiation of both sides with respect
top
iwithuconstant. This gives form¼m uðpÞ
0¼
qvðp;mÞ
qp
i
þ
qvðp;mÞ
qm

qmuðpÞ
qp
i
: ð12Þ
Alsopqf
uðpÞ=qp i¼0 by the analogue of lemma 8, andm uðpÞ¼pf uðpÞ
by deﬁnition. Therefore
qmuðpÞ
qp
i
¼fuiðpÞþp
qfuðpÞ
qp
i
¼fuiðpÞ: ð13Þ
From (12) and (13) we obtain, form¼m
uðpÞ,
qvðp;mÞ
qp
i
þ
qvðp;mÞ
qm

f
uiðpÞ¼0:
Sincem¼m
uðpÞ, we may replacef uiðpÞbyf iðp;mÞto obtain
Theory of Demand 21

qvðp;mÞ
qp
i
þ
qvðp;mÞ
qm

f
iðp;mÞ¼0:9
This is essentially the result obtained earlier (see lemma 9) that the rate
of compensation per unit price change that will hold utility constant
when the price of theith commodity changes is the quantity of that com-
modity bought. However, it is now expressed in terms of the indirect utility
function.
1.4 The Method of Revealed Preference
A further approach to the theory of demand is to postulate demand
functions themselves as the objects given and to impose consistency con-
ditions on them. This approach was pioneered by Samuelson (1947). The
demand functionfðp;mÞis deﬁned for allðp;mÞsuch thatpAR
n
,p>0,
andmAR
1
withm>minpxforxAC. We will make
assumption 14Ifx¼fðp;mÞandy¼fðq;m
0
Þ, theny0xandpxb
pyimpliesqx>qy.
assumption 15The demand functionfðp;mÞis continuous.
assumption 16Ifx¼fðp;mÞ, thenpx¼m.
Assumption 14 is called the Weak Axiom of Revealed Preference. It
was stated by Wald (1934–35) and used to prove a theorem on existence
of competitive equilibrium. LetDx¼yxandDp¼qp. Then the
weak axiom may be stated alternatively as
pDxa0 impliesðpþDp?Dx<0ifDx00: ð14Þ
lemma 16Assumptions 14 and 16 imply that fðp;mÞis positive homoge-
neous of 0 degree.
ProofLetq¼apandm
0 0
¼am, wherea>0:Thenapx¼am¼m
0
¼
qy¼apyby assumption 16. Thereforepx¼py, which impliesqx¼qy.
This contradicts assumption 14 unlessx¼y.
9
Deﬁne a relationDbyxDyif and only if there is a price vectorpand
an incomemsuch thatx¼fðp;mÞandpxbpy. The weak axiom
amounts to assuming thatDis antisymmetric. That is,xDyandyDx
Chapter 122

impliesx¼y. A weak weak axiom may also be stated. DeﬁneD
0
by
xD
0
yif and only if there exists a price vectorpand an incomemsuch that
px>py. Then the weak weak axiom states thatxD
0
yimplies@yD
0
x;
that is,D
0
is asymmetric.
We may deﬁne a function in the theory of revealed preference analo-
gous to the compensated demand function. Supposex¼fðp;mÞ. Deﬁne
f
x
by
f
xðqÞ1fðq;qxÞ:
The functionf
xdescribes the o¤er surface fromx, a construction often
used in the theory of international trade. This contrasts with the function
f
xdeﬁned earlier, which under classical assumptions takes its values on
the indi¤erence surface throughx. In the theory of revealed preference
the indi¤erence surface is not deﬁned. However, if the function
f
xis ap-
plied in the classical theory, at the pricepwherex¼fðp;mÞ¼f
xðpÞ¼f
xðpÞ, the o¤er surface and the indi¤erence surface are tangent. Some-
timesf
x
is referred to as theovercompensated demand functionand its use
to derive a Slutsky relation is referred to as the method of overcompensa-
tion. Figure 1.6 illustrates the relationship between the compensated and
the overcompensated demand functions. Let thenbynmatrixSxðpÞ¼
qf
xðqÞ=qqevaluated atq¼p. Recall thatx¼fðp;mÞ. That is, if the
derivatives existSxðpÞ¼½qf iðq;qxÞ=qq j
q¼p
wherex¼fðp;pxÞ.
theorem 6Make assumptions 15 through 16. When the matrixSxðpÞis
well deﬁned, it satisﬁes
i.SxðpÞis negative quasi-semideﬁnite with rankan1.
ii.p
T
SxðpÞ¼0andSxðpÞp¼0.
ProofLety¼fðq;qxÞandx¼fðp;pxÞ. Thenqx¼qyorqDy¼0.
By the weak axiom (14),qDy¼0 impliesðqþDq?Dy<0, provided
thatDy00. ThereforeDqDy¼DpDx<0 forDx00. LetDp¼dz
whered>0. Asd!0,Dx!ðqfðp;pxÞ=qpÞDpandDpDx!d
2
z
T
ðqfðp;pxÞ=qpÞz<0, whenðqfðp;pxÞ=qpÞz00. However, the positive
homogeneity offðp;pxÞof zero degree by lemma 16 implies that
ðqfðp;pxÞ=qpÞz¼0ifz¼ap. (See appendix C.) Sincezis arbitrary,
qfðp;pxÞ=qp¼q
f
xðpÞ=qp¼SxðpÞis negative quasi-semideﬁnite with
rankan1. (The preﬁx ‘‘quasi’’ means that the matrix is not required
to be symmetric.)
Theory of Demand 23

Consider the o¤er curve fromx, that is,f
xðqÞ1fðq;qxÞ, wherex¼
fðp;pxÞ. Puttingm¼qx, we have
qf
xiðqÞ
qq
j
¼
qfiðq;mÞ
qq
j
þ
qfiðq;mÞ
qm
f
jðp;pxÞ: ð15Þ
Di¤erentiating the budget equationqfðq;mÞ¼mwithmconstant
givesqqfðq;mÞ=qq
j?f jðq;mÞ. Also di¤erentiating the budget equa-
tion withqconstant givesqqfðq;mÞ=qm¼1. Then multiplying (15)
through byq
iand summing overi¼1;;ngivesq?q
f
x
ðqÞ=qq j?
f
jðq;mÞþf jðp;pxÞ¼0atq¼p. In other words,p
T

SxðpÞ¼0. As
mentioned earlier,Sxðp?p¼0 is implied by the positive homogeneity of
fðq;qxÞ.
9
Note that the properties of
SxðpÞ(wherex¼fðp;pxÞÞcorrespond to
those ofS
xðpÞ, when a preference order is present (wherex¼fðp;m xðpÞÞ,
as stated in theorem 1 except that
SxðpÞhas not been proved to be sym-
metrical nor of rankn1 for regular values. In fact, as Gale (1960)
showed by example,SxðpÞmay not be symmetrical). However, there is
an important di¤erence betweenS
xðpÞand
SxðpÞ. The substitution ma-
trixS
xðpÞis deﬁned for anyp>0 and anyxACfor which the deriva-
Figure 1.6
y¼fðp
0
;p
0
xÞandyAPðxÞ.z¼fðp
0
;mxðp
0
ÞÞandzAIðxÞ.x¼fðp;pxÞ.
Chapter 124

tives exist, whileSxðpÞhas been deﬁned for anyp>0 andx¼fðp;pxÞ
for which the derivatives exist. A broader deﬁnition ofSdoes not appear
to have any uses. On the other hand, when bothSxðpÞandS xðpÞare well
deﬁned andx¼fðp;pxÞ, they are identical. This is clear from a com-
parison of (15) with Theorem 2. In this caseSis symmetric. It may be
shown that the converse is also true. IfSxðpÞis symmetric for allp>0
then a relationRexists satisfying assumptions 1, 2, 3, and 4, from which
fðp;mÞmay be derived so thatS
xðpÞis well deﬁned (Hurwicz and
Uzawa 1971).
1.5 Market Demand Functions
The market demand function is the sum of the individual demand func-
tions over the set of consumers who are present in the market. Properly
the individual demand function should be writtenf
h
ðp;mÞwith a super-
script to identify the consumer to whom it belongs. The superscript
has been omitted in the previous discussion to lighten the notation. Sup-
pose there areHconsumers in the market indexed from 1 toH. Then
themarket demand functionmay be writtenfðp;m
1
;;m
H
Þ, where
fðp;m
1
;;m
H
Þ¼
P
H
h¼1
f
h
ðp;m
h
Þ. The properties we have found for
demand functions apply to individual demand functions. It is important
to ask to what extent these or similar properties may be found for market
demand functions.
Let~x x¼ðx
1
;;x
H
Þ.Ifacompensated market demand function f ~x xðpÞ
is deﬁned as the sum of the individual compensated demand functions
f
h
~x x
ðpÞ, it will have the same properties that the individual compensated
demand functions have. That is, the Jacobian, when it exists, will be
symmetric and negative semideﬁnite, since the sum of matrices with these
properties retain them. Similarly the Jacobian premultiplied or post-
multiplied by the price vector gives 0. These results follow from our deﬁn-
ing compensation for the market as compensation for each consumer in
the market.
On the other hand, the properties of the Walrasian demand function
for the market di¤er signiﬁcantly from those for the individual consumer.
The individual demand functions, if they are di¤erentiable, must satisfy
the Slutsky equation, that is, the equation of theorem 2, and this equation
restricts the set of functions that may be individual demand functions.
Theory of Demand 25

Otherwise, the individual demand functions have been shown to be posi-
tive homogeneous of zero degree in lemma 10 and to satisfy Walras’ law
in lemma 6. It is clear that these properties will also hold of the sum of
individual demand functions and therefore of the market demand function.
However, we will see that the restrictions based on the Slutsky equation are
removed as the number of consumers increases. That is, the dimension-
ality of the subspace on which the Jacobian of the Walrasian demand
functions must be negative semideﬁnite is reduced.
Suppose there areNgoods andHconsumers whereN>H. Assume
p>0 and that the individual demand functions are continuously di¤er-
entiable. Then summing the Slutsky equations over the set of consumers
gives
qfiðp;m
1
;;m
H
Þ
qp
j
¼
X
H
h¼1
qf
h
i
ðp;m
h
Þ=qpj
¼
X
H
h¼1
qf
h
i
ðpÞ=qp j
X
H
h¼1
f
h
j
ðp;m
h
?qf
h
i
ðp;m
h
Þ=qm
h
;
or
Fðp;m
1
;;m
H
Þ¼Sðp;m
1
;;m
H
?
X
H
h¼1
f
h
j
f
h
im
"#
;
wheref
h
i
ðpÞis the compensated demand function evaluated atx
h
¼
f
h
ðp;m
h
Þ. Consider anM-tuple ofn-dimensional vectorsðv
1
;;v
M
Þthat
are chosen to span the subspace orthogonal to the subspace spanned by
thef
h
ðp;m
h
Þ,h¼1;;H.Mis greater than or equal toNH, and
v
k
f
h
¼0 fork¼1;;Mand allh. That is, income e¤ects are 0 for price
changes in this subspace. LetA¼½v
1
;;v
M
.Ais a matrix of order
NM. Then½
P
h
f
h
j
f
h
im
A¼0 where the product matrix isNM. Let
FandSnow represent sums of the Jacobian matrices of the respective
individual demand functions over the set of consumers. Thus over this
subspaceA
T
FA¼A
T
SA, which isMM. SinceSis symmetric, so is
A
T
SA. ThusA
T
FAis symmetric. SinceSis negative semideﬁnite,A
T
FA
is negative semideﬁnite. In other words, the JacobianFof the Walrasian
market demand functions, with prices as the independent variables and
incomes ﬁxed, is negative semideﬁnite on the subspace spanned by thev
k
Chapter 126

which has dimension at leastNH.Ifthef
h
are linearly independent,
the dimension of the orthogonal subspace is exactlyNH. If there is
only one consumer, the subspace has dimensionN1. However, the re-
quirement thatFbe negative semideﬁnite on a nontrivial subspace re-
mains until the number of consumers with linearly independent demands
is at least equal toN. We may state (Diewert 1977)
theorem 7Make assumptions 1 through 5 for individual demand func-
tions. Let the distribution of income be given. When the Jacobian of the
market demand functions with respect to prices exists, it is negative semi-
deﬁnite on a subspace of dimension N^H H, where N is the number of goods
and^H H is the number of consumers with linearly independent demands.
Note that in the case of a single consumer, the price change leaves the
consumer on his o¤er locus (curve in the case of two goods) which is
tangent to the consumer’s indi¤erence locus at the vector of quantities
demanded. For the case of many consumers, the price change leaves all
consumers on their o¤er loci. Thus all changes in quantities demanded
are substitution e¤ects. If the loci are translated so that the vectors of
quantities demanded are carried to the origin, we ﬁnd that the quantity
changes then lie in the intersection of the translated o¤er loci. Except for
special cases, the dimensionality of this intersection will beNM.
If additional assumptions are made on the variety of preference orders
or on the distribution of income, it may be possible to restrict further the
functions that may be market demand functions. A result of this type has
been reached by Hildenbrand (1983). One of his goals is to discover con-
ditions that imply thatFis negative semideﬁnite for all positive price
vectors. In particular, the diagonal elements ofFwill be negative, so de-
mand for theith good as a function of the price of theith good will fall as
the price rises. This is the condition that demand curves slope downward,
which is a familiar assumption in partial equilibrium economic analysis.
It is often referred to as the Law of Demand.
To simplify the mathematics and to reach an exact result, we will use a
continuous distribution of income and demand rather than a discrete set
of consumers. The distribution may be thought of as the limit of a histo-
gram as the number of consumers increases without limit, or as the ap-
proximation of a histogram when the number of consumers is large. Also
the consumers are assumed to have the same preference order. However,
Theory of Demand 27

this is slightly less restrictive than it seems, since each set of consumers
with a given preference order may be considered separately.
LetP¼fpAR
n
jp>0g. Letfðp;mÞbe a continuously di¤erentiable
demand function deﬁned onPR
þ. The conditions on preferences that
lead to such a demand function will be examined more closely in chapter
2. However, the assumptions made for the classical theory in section 1.3
would be appropriate together with the assumption thatfðp;mÞis reg-
ular for allðp;mÞAPR
þþ. Letrbe the density of an income distri-
bution with positive mean which is continuous and nonincreasing. The
densityrmaps a closed interval½0;bintoR
þþ. Also
Ð
b
0
rðmÞdm¼1
and
Ð
b
0
mrðmÞdm>0. Since the income distribution is ﬁxed, market de-
mand depends only on prices. Deﬁne market demandfðpÞbyfðpÞ¼
Ð
b
0
fðp;mÞrðmÞdmforpAP.
theorem 8With these assumptions:
i.For every pAP the Jacobian matrix½f
ijðp?is negative quasi-deﬁnite.
ii.For every p and q in P with p0q,ðpq??fðp?fðqÞÞ<0,which
implies the weak axiom of revealed preference.
Proof of (i)LetSfðp;mÞbe the Jacobian of the compensated demand
function atðp;mÞ. LetAðp;mÞbe½a
ij???qf iðp;mÞ=qm?f jðp;m?,the
matrix of income e¤ects atðp;mÞ. LetJfðp;mÞ¼½f
ijðp;m?the gross
substitution matrix. ThenJfðp;mÞ¼Sfðp;m?Aðp;mÞby the Slutsky
equation. By Leibniz’s rule (Dieudonne´1960, p. 172) the Jacobian of
the market demand functionfðpÞisJfðpÞ¼
Ð
b
0
ðSfðp;m?Aðp;mÞÞ
rðmÞdm. But lemma 14 implies thatv
T
ðSfðp;mÞÞv<0 forv0tpfor any
tby regularity off. Thereforev
T
ð
Ð
b
0
Sfðp;mÞdmÞv<0 forv0tp.
To ﬁnish the proof, we must show thatAðpÞ¼
Ð
b
0
Aðp;mÞrðmÞdmis
positive quasi-semideﬁnite and thatv
T
AðpÞv>0ifv¼tpfor somet>0.
But
v
T
AðpÞv¼
X
i
X
j
vivj
ð
b
0
qfiðp;mÞ
qm

f
jðp;mÞrðmÞdm
¼
ð
b
0X
i
qfiðp;mÞ
qm

v
i
!
X
j
fjðp;mÞv j
!
rðmÞdm
Chapter 128

¼
ð
b
0qfðp;mÞ
qm
v

ðfðp;m?vÞrðmÞdm
¼
1
2
ð
b
0
qðfðp;m?vÞ
2
qm
!
rðmÞdm:
Sinceris nonincreasing, the second mean value theorem (Dieudonne´
1960, p. 169) implies that
v
T
AðpÞv¼
1
2
rð0Þ
ð
x
0
qðfðp;m?vÞ
2
qm
!
dm;
for somex, where 0axab. Therefore
v
T
AðpÞv¼
1
2
rð0Þ½ðfðp;m?vÞ
2

x
0
b0:
Ifv¼tp, thenfðp;m?v¼tmby Walras’ law. Therefore
v
T
AðpÞv¼
1
2
rð0Þ½ðtmÞ
2

x
0
>0 fort>0:
ThereforeJFðpÞis negative quasi-deﬁnite.
Proof of (ii)Let
gðtÞ¼ðpqÞ
T
Fðtpþð1tÞqÞ;0ata1:
Then
g
0
ðtÞ¼ðpqÞ
T
½fijðtpþð1tÞq??pqÞ:
By the mean value theorem (Dieudonne´1960, p. 153)gð1?gð0Þ¼
g
0
ðt
0
Þð10Þ, somet
0
,0at
0
a1. That is,gð1?gð0Þ¼ðpqÞ
T
½fijðp
0
Þ
ðpqÞ, wherep
0
¼t
0
pþð1t
0
Þq. Since½f ijðp
0
?is negative deﬁnite,
p0qimpliesgð1?gð0Þ<0. In other words,pfðp?qfðpÞ<pfðq?
qfðqÞ,orpfðpÞbpfðqÞimpliesqfðqÞ<qfðpÞwhenp0q. This is the
weak axiom.
9
Since the market demand functions have been deﬁned as the sum of in-
dividual demand functions, there is no problem of the existence of market
demand functions so long as the individual demand functions do not
depend on the consumptions of other individuals. However, it is not ob-
vious that market demand functions exist when the choices of di¤erent
Theory of Demand 29

consumers are interdependent. We will prove existence for the market de-
mand correspondence where there is interdependence of choice and where
the preference relations are not assumed to be transitive or complete. As
for the market demand function the market demand correspondence
is deﬁned to be the sum of the individual demand correspondences
given the distribution of incomes. Write~x xas theH-tupleðx
1
;;x
H
Þand
write~x x
ðhÞas the correspondingðH1Þ-tuple with thehth argument
omitted. LetC
h
be the set of commodity bundlesx
h
AR
n
, which can be
accepted by thehth consumer.P
h
is now deﬁned on
~
C C¼
Q
H
1
C
h
HR
nH
.
The strict preference correspondence with interdependence is written
P
h
ðx
h
j~x x
ðhÞÞand refers to the set of commodity bundles strictly preferred
tox
h
by thehth consumer when other consumers are choosing~x x
ðhÞ.
Deﬁne
f
h
ðp;m
h
j~x xðhÞÞ
¼fy
h
AHðp;m
h
Þjy
h
AC
h
andy
h
AP
h
ðx
h
j~xxðhÞÞimpliesy
h
BHðp;m
h
Þg:
Thenfðp;m
1
;;m
H
Þ¼
P
H
h¼1
f
h
ðp;m
h
j~x x
ðhÞÞ, where the componentsx
k
of thex
ðhÞsatisfy the relationsx
k
Af
k
ðp;m
k
j~x x
ðkÞÞ,k¼1;;H.We
must show that these relations can be satisﬁed for anyp>0. Then the
correspondencefexists forp>0. Since we will assume the distribution of
incomes to be ﬁxed, we may also write the market demand correspon-
dence asfðpÞ.
The proof of existence forfðpÞwill imply the existence of the individ-
ual demand function of section 1.2. Indeed the method of proof here is
closely related to the proof of section 1.2, since the ﬁxed point theorem
which we will use may itself be proved by use of the KKM lemma. The
lower sectionL
h
ðx
h
j~xx
ðhÞÞ¼fy
h
jðx
h
j~x x
ðhÞÞAP
h
ðy
h
j~x x
ðhÞÞg. We will assume
as in section 1.4 that the lower sections are open. A correspondenceFis
lower semicontinuousat a pointzin its domainDifz
s
!z,s¼1;2;;
withz
s
ADimplies for anyyAFðzÞ, there isy
s
AFðz
s
Þandy
s
!y.
EquivalentlyFislower semicontinousatzif for anyyAFðzÞand neigh-
borhoodVofythere is a neighborhoodUofzsuch thatz
0
AUXD
implies there isy
0
AVXDandy
0
AFðz
0
Þ(Berge 1963, p. 109).Fis said
to belower semicontinuousif it is lower semicontinous at all points in its
domain. We callfxAXjyAFðxÞgalower sectionofFatx.
Chapter 130

lemma 17If the graph of a correspondenceF:X!subsets of Y has all
lower sections open thenFis lower semicontinuous.
ProofConsideryAFðxÞ. By the assumption of open lower sections,
there is a neighborhoodUofxsuch thatx
s
AUimpliesyAFðx
s
Þ.If
x
s
!x,s¼1;2;;for larges,x
s
AU. ThereforeyAFðx
s
Þfor larges.
In the deﬁnition of lower semicontinuity lety
s
¼yfor larges. 9
The ﬁxed point theorem that we need was proved by Gale and Mas-
Colell (1975, 1979) and used to prove an existence theorem for competitive
equilibrium. A correspondenceFðxÞis said to beupper semicontinuousif
for any neighborhoodWofFðxÞthere is a neighborhoodVofxsuch that
yAVimpliesFðyÞHW. However, if the range ofFis contained in a
compact set a correspondence is upper semicontinuous if and only if it
has a closed graph, that is, if and only ify
s
AFðx
s
Þ,y
s
!y, andx
s
!x
implyyAFðxÞ(Berge 1963, pp. 109, 112).
lemma 18Let X¼
Q
m
i¼1
Xi, where Xiis a nonempty, compact, convex
subset ofR
n
. LetF
i
map X!convex subsets of X i(includingj), i¼
1;2;;m. If theF
i
are lower semicontinuous for all i, then there is xAX
such that x
i
AF
i
ðxÞorF
i
ðxÞ¼j.
ProofLetU
i¼fxAXjF
i
ðxÞ0jg. ThenF
i
is a convex and non-
empty-valued correspondence on the setU
iwhich is lower semicon-
tinuous, andU
iis open relative toX. To see thatU iis open relative toX,
consider a pointxon the boundary ofU
ithat is not on the boundary of
X, and supposexAU
i. In every neighborhood ofxthere is a pointx
0
such thatF
i
ðx
0
Þis empty. We will show that this contradicts the lower
semicontinuity ofF
i
. We letylie inF
i
ðxÞ. Then we may choose a se-
quencex
s
that converges toxbut for which there is no corresponding
sequencey
s
!ywithy
s
AF
i
ðx
s
ÞsinceF
i
ðx
s
Þis empty. This is a con-
tradiction. ThereforeU
iis open.
SinceF
i
is lower semicontinous onU iand convex valued, by Michael’s
selection theorem (Michael 1956, thm. 3.1
000
Þthere is a continuous func-
tionf
i
:Ui!X
i
such thatf
i
ðxÞAF
i
ðxÞfor allxAU i. Deﬁne a corre-
spondenceC
i
:X!X
i
byC
i
ðxÞ¼ff
i
ðxÞgifF
i
ðxÞ0jandC
i
ðxÞ¼
X
i
otherwise. LetC¼
Q
m
i¼1
C
i
. ThenC:X!nonempty convex subsets
ofX, andXis convex and compact. MoreoverCis upper semicontinuous.
Therefore by Kakutani’s ﬁxed point theorem (Berge 1963, p. 174) there
Theory of Demand 31

isxAXsuch thatxACðxÞ. Then for eachieitherx
i
AF
i
ðxÞorF
i
ðxÞ¼
j.
9
Assume that the consumptions setsC
h
are convex. LetC¼C
1

C
H
. We also make assumptions 7, 8, 9, and 10 for the consumption sets
C
h
and the relationsP
h
which now depend on the consumptionsx
ðhÞfor
other consumers. Then the correspondenceP
h
is deﬁned on
~
CCby means
of the relationP
h
of strict preference, andP
h
maps
~
C Cinto subsets ofC
h
.
Interpret assumption 10 to mean that the correspondenceP
h
has open
lower sections relative to
~
C C.
theorem 9Under the assumptions above, if Hðp;m
h
Þ0jfor all h and
p>0then the market demand correspondence fðp;m
1
;;m
H
Þis well
deﬁned.
Proof P
h
ðx
h
;~x xðhÞÞhas open lower sections by assumption 10. Deﬁne
P
h
onC
h
byP
h
ðx
h
j~x x
ðhÞÞ¼convex hullP
h
ðx
h
j~x x
ðhÞÞ. Givenðp;~m mÞ, let
B
h
ðx
h
j~x x
ðhÞÞforx
h
AC
h
be
P
h
ðx
h
j~x x
ðhÞÞXHðp;m
h
Þ.B
h
maps
Q
H
1
Hðp;m
h
Þ
into convex subsets ofHðp;m
h
Þ. AlsoHðp;m
h
Þis compact by lemma 5
and not empty by the hypothesis. If we can show thatB
h
ðx
h
j~x x
ðhÞÞalso has
open lower sections relative toHðp;m
h
Þ, this will imply by lemma 17 that
B
h
ðx
h
j~x x
ðhÞÞis lower semicontinuous. Then theB
h
and the setsHðp;m
h
Þ
will satisfy the conditions of lemma 18 forF
i
andX
i
. Therefore there is
~x xA
Q
H
h¼1
Hðp;m
h
Þ¼Hðp;~m mÞsuch thatx
h
AB
h
ðx
h
j~xx
ðhÞÞorB
h
ðx
h
j~x x
ðhÞÞ¼
j, sayx
h
¼x
h
. Howeverx
h
AB
h
ðx
h
j~x x
ðhÞÞcontradicts assumption 9.
ThereforeB
h
ðx
h
;x

ðhÞ
Þ¼jfor allh. This implies thatx
h
Afðp;m
h
jx

ðhÞ
Þ
for allh. In other words,fðp;m
1
;;m
H
Þis well deﬁned. Hence the
proof of theorem 9 is completed when we have proved the next lemma.
lemma 19The correspondence B
h
has open lower sections relative to
Hðp;m
h
Þ.
ProofConsiderðz
h
;z
ðhÞÞAðB
h
Þ
1
ðx
h
Þ, which is equivalent tox
h
A
B
h
ðz
h
;z
ðhÞÞ. By deﬁnition ofB
h
,x
h
can be expressed as
x
h
¼
X
nþ1
i¼1
lix
h
i
;wherel ib0;
X
l i¼1;x
h
i
AP
h
ðz
h
jz
ðhÞÞ: ð16Þ
Then, by assumption 10, there is an open neighborhoodU
hofðz
h
jz
ðhÞÞ
relative toC
h
such that for anyy
h
AUhwe haveðy
h
jz
ðhÞÞAðP
h
Þ
1
ðx
h
i
Þ.
Chapter 132

LetU¼7
H
h¼1
Uh. Thenðy
1
;;y
H
ÞAUXHðp;mÞimpliesðy
h
;y
ðhÞÞA
ðP
h
Þ
1
ðx
h
i
Þ. Thusx
h
i
AP
h
ðy
h
;y
ðhÞÞ. Finally (16) implies thatx
h
A
P
h
ðy
h
;y
ðhÞÞ. Using the deﬁnition ofB
h
we ﬁnd thatUXHðp;mÞH
ðB
h
Þ
1
ðx
h
ÞorðB
h
Þ
1
ðx
h
Þis open relative toHðp;mÞ. 9
Theorem 9 implies theorem 3 as the special case in whichH¼1.
Moreover the general method of proof will apply to the existence of a
competitive equilibrium in chapter 6. This comes from the fact that both
of these results involve maximization of preference, by one individual or
many. If the demand is deﬁned directly, and not derived from a system of
preferences, even nontransitive preferences, so that maximization does
not play the central role, a di¤erent approach to the existence of compet-
itive equilibrium must be taken (see McKenzie 1954 and Debreu 1970,
p. 183).
Appendix A: Continuity ofm
x(p)
The concavity ofm
xðpÞimplies that it is continuous in the interior of its
domain, that is, forp>0. However, a general proof may be given that
includes the boundary points and depends on the special properties of
m
xðpÞ.
propositionm
xðpÞis continuous for pb0.
ProofSupposem
xðpÞis not continuous at somepb0. Then there
ise>0 and a sequencep
s
b0,s¼1;2;;such thatp
s
!pand
jm
xðp
s
?m xðpÞjbefor alls. Then there is a subsequencep
s
!p(retain
notation) and either
i.m
xðp
s
Þbm xðpÞþe,or
ii.m
xðp
s
Þam xðp?e.
Consider case i. LetwARðxÞbe a point such that
pwam
xðpÞþ
e
2
: ðA1Þ
According to case i and the deﬁnition ofm
xðpÞ, there isp
s
!pand
p
s
wbm xðpÞþe. But by (A1) for largeswe havep
s
w<m xðpÞþe.
Therefore case i cannot arise.
Theory of Demand 33

Consider case ii. Letw
s
ARðxÞbe a point where
p
s
w
s
am xðp
s
Þþ
e
4
: ðA2Þ
According to case ii,p
s
w
s
am xðp?3e=4 fors¼1;2;;andp
s
!p.
LetJ¼fijp
i>0gandJ
0
¼fijp i¼0g. For alli,w
s
i
is bounded below.
This implies
X
iAJ
0
p
s
i
w
s
i
b
e
4
ðA3Þ
for larges.IfJ¼j, clearly, case ii is not possible. SupposeJ0j.Note
thatw
s
i
is bounded above foriAJ, sincep
s
w
s
am xðp?e<px. Therefore
X
iAJ
ðpip
s
i
Þw
s
i
!0: ðA4Þ
Forslarge enough we have
m
xðpÞapw
s
¼
X
iAJ
piw
s
i
a
X
iAJ
p
s
i
w
s
i
þ
e
4
¼p
s
w
s

X
iAJ
0
p
s
i
w
s
i
þ
e
4
ap
s
w
s
þ
e
2
am
xðp
s
Þþ
3e
4
:ðA5Þ
The second inequality is implied by (A4). The third inequality is im-
plied by (A3). The fourth inequality is implied by (A2). However, (A5)
contradicts case ii. Thus case ii cannot arise either.
9
Appendix B: Negative Semideﬁniteness of [m ij(p)]
We will use this property for concave functions of one variable to prove
the property for concave functions of many variables.
propositionz
T
½mijðp?z is negative semideﬁnite for p>0.
ProofWe haved=dt mðtpþð1tÞp
0
Þ¼
P
n
i¼1
miðtpþð1tÞp
0
??p ip
0
i
Þ,
wherepandp
0
are positive andm iðpÞ¼qmðpÞ=qp i. Also we have
d
2
=dt
2
mðtpþð1tÞp
0
Þ¼
P
n
i¼1
P
n
j¼1
mijðtpþð1tÞp
0
??p ip
0
i
Þðpjp
0
j
Þ,
wherem
ijðpÞ¼q
2
mðpÞ=qp iqpj. Fortclose to 1,p
0
may be chosen freely
in a small neighborhood. Nowd
2
=dt
2
mðtpþð1tÞp
0
Þa0 fortnear 1 by
Chapter 134

concavity for functions of one variable. Therefore, evaluating the deri-
vatives att¼1, we have that
P
n
i¼1
P
n
j¼1
mijðpÞzizjis negative semi-
deﬁnite.
9
Appendix C: Euler’s Theorem forf(p)
Euler’s theorem on homogeneous functions is best known in economics
for its application to the theory of production where it implies that in the
absence of increasing returns and external economies all factors may be
paid their marginal products and this will exactly exhaust the product
when the production functions are homogeneous of the ﬁrst degree.
However, the theorem also applies to demand functions.
propositionIf the derivatives exist
P
n
j¼1
pjqfiðpÞ=qp j¼0.
ProofBy lemma 10,f
iðtpÞ¼f iðpÞ. Therefore taking derivatives with
respect tot, we have
P
n
j¼1
pjqfiðtpÞ=qp j¼0. Taket¼1 to obtain the
result.
9
By the same method one may show that
gðtxÞ¼t
r
gðxÞimplies
X
n
j¼1
xjqgðxÞ
qx
j
¼rgðxÞ:
In this casegis said to be homogeneous of degreerwherermay be any
real number.
Appendix D: Quasi-linear Preferences
A special type of preference order calledquasi-linear preferencesis some-
times assumed in order to eliminate the e¤ect of income changes on de-
mand forn1 of the goods. In a quasi-linear preferences order one good
plays a special role. This good may be chosen as the nume´raire. Let the
nume´raire have the index 1. Then the consumption setCis taken to be
RR
n1
þ
where negative amounts of good 1 are allowed. Also good 1 is
always desired; that is,ðxþð1;0;...;0ÞÞPxholds for anyx. Finally the
indi¤erence sets are parallel displacements of each other along the ﬁrst
axis. Letx
ð1Þ¼ðx 2;;x nÞ.
theorem 10If the preferences are quasi-linear the utility function may be
written uðxÞ¼x
1þfðx
ð1ÞÞ.
Theory of Demand 35

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

VII.
Pâvel Petrôwitsh sai kasvatuksensa ensin kotona, kuten nuorempikin
veli, sittemmin paashi-opistossa. Pienestä pitäin hän oli herättänyt
huomiota erinomaisella kauneudellaan. Sen ohella hän oli itseensä
luottava, hiukan ivallinen, jossain määrin hauskan ärtyisä: häneen
täytyi mieltyä. Upseeriksi päästyään hän alkoi käydä kaikkialla. Häntä
kannettiin käsillä, ja itsekin hän hemmotteli itseänsä, jopa kiekailikin,
virnaili; mutta sekin oli hänessä somaa. Naiset olivat hänestä ihan
pyörällä päin; miehet sanoivat häntä teeskentelijäksi ja kadehtivat
häntä.
Hän eli, kuten jo on mainittu, yhdessä veljensä kanssa ja rakasti
veljeänsä vilpittömästi, vaikk'ei ollut lainkaan hänen kaltaisensa.
Nikolai Petrôwitsh onnahteli hiukan, kasvonpiirteet olivat hänellä
heikot, miellyttävät, mutta hiukan surumieliset, silmät mustat,
pienet, tukka pehmeä, ohut. Mielellään hän laiskotteli, mutta
mielellään lukikin ja pelkäsi seuroja. Pâvel Petrôwitsh ei ollut yhtään
iltaa kotona, oli kuuluisa rohkeudestaan ja notkeudestaan (aikoi jo
panna alkuun voimisteluharjoituksiakin ylhäisen nuorison
keskuudessa) ja ennätti lukea kaikkiansa viisi kuusi franskalaista
kirjaa. Kahdeksannellakolmatta vuodellaan hän oli jo kapteeni;
loistava elämän-ura oli hänellä edessä. Mutta äkkiä muuttui kaikki.

Siihen aikaan esiintyi Pietarin ylhäisissä piireissä silloin tällöin
muuan nainen, jota yhä vieläkin muistellaan, ruhtinatar P. Hänen
puolisonsa oli hienosti sivistynyt ja sievä, mutta typeränpuoleinen
mies. Lapsia heillä ei ollut. Ruhtinatar se välisti läksi aivan äkkiä
ulkomaille ja äkkiä taas palasi Venäjälle, viettäen yleensä varsin
kummallista elämää. Häntä pidettiin kevytmielisenä kokettina; hän
heittäysi kaikenlaisten huvituksien huimaan pyörteesen, tanssi
uupumukseen asti, naureskeli ja laski leikkiä nuorten miesten
kanssa, ottaen heitä vastaan puoli hämäräisessä vieraskamarissa,
mutta öisin hän itki ja rukoili, missään lepoa löytämättä. Hamaan
aamuun asti hän useinkin käveli rauhatonna huoneessaan,
tuskaisesti käsiänsä väännellen, tahi istui kalpeana ja kylmänä
psalttarin ääressä. Päivän valjettua hänestä jälleen kuontui ylhäisen
maailman nainen, ja silloin hän ajeli jälleen seurasta toiseen, nauroi
ja haastella jaaritteli, ikäänkuin pyrkien heittäymällä heittäymään
kaiken sen syliin, mikä hänelle suinkin saattoi hauskuutta tuoda.
Ihmeteltävä oli hänen olentonsa. Palmikko, kullan värinen ja
raskaskin kuin kulta, ulottui alapuolelle polven. Kauniiksi ei häntä
kumminkaan kukaan olisi sanonut: kasvoissa ei muuta kaunista
ollutkaan kuin silmät, eikä edes itse silmätkään — ne olivat
pienenpuoleiset ja harmaat — vaan niitten katse, nopea ja syvä,
huimuuteen saakka huoleton ja alakuloisuuteen asti miettiväinen, —
arvoituksen tapainen koko tuo katse. Siinä välkähteli jotain
tavattoman kirkasta silloinkin kuin kieli jokelsi aivan turhanpäiväisiä.
Puku oli hänellä aina hieno ja aistikas.
Pâvel Petrôwitsh kohtasi hänet baaleissa kerran, tanssi hänen
kanssaan masurkan, jonka aikana ruhtinatar ei virkkanut yhtään
kunnon sanaa, ja — Pâvel Petrôwitsh rakastui häneen intohimoisesti.
Tottunut hän oli voittoihin, ja pääsi tarkoituksensa perille pian
tässäkin, mutta voiton helppous ei laimentanut silti hänen intoansa.

Päinvastoin hän kiintyi entistä tuskaisemmin, entistä lujemmin
tuohon naiseen, jossa silloinkin, kun hän antautui kokonansa, oli
ikäänkuin yhä vieläkin jotain taikaperäistä, saavuttamatonta, mihin ei
kukaan päässyt tunkeutumaan. Mitä lie tuossa sielussa piillytkään, —
ties Herra, Näytti kuin hän olisi ollut jonkinlaisten salaperäisten,
hänelle itselleenkin tuntemattomain voimain vallassa. Ne leikittelivät
hänen kanssaan mielin määrin: hänen pikkuinen ymmärryksensä ei
osannut pitää puoliaan niitten oikkuja vastaan. Koko hänen
menettelynsä oli yhtämittaista epäsuhtaisuutta. Ainoat kirjeet, jotka
olisivat olleet omiansa herättämään hänen miehessään oikeutettuja
epäluuloja, hän kirjoitti sellaiselle henkilölle, jota hän tuskin
tunsikaan, mutta hänen rakkautensa oli surunsekaista: hän ei
naureskellut eikä lasketellut leikkiä sen miehen kanssa, jonka
kulloinkin oli suosikikseen valinnut, vaan kuunteli häntä,
neuvottomana tuijotellen häneen. Välisti, enimmäkseen äkkiä, tämä
neuvottomuus muuttui kylmäksi kauhuksi; hänen kasvojensa ilme oli
silloin kuollutta ja vierasta; hän sulkeutui niinä aikoina huoneesensa,
ja kamarineitsyt saattoi, pitäen korvaa avaimen reiän kohdalla, kuulla
hänen pidätettyjä nyyhkytyksiänsä.
Hellistä kohtauksista palatessaan Kirsânow tunsi sydämessään
monastikin tuota raastavaa, katkeraa harmia, joka seuraa lopullista
epäonnistumista.
— Mitäpäs minä vielä lisää tahtoisin? — kyseli hän itseltään, mutta
sydäntä vain ahdisti yhä edelleen.
Kerran hän lahjoitti ruhtinattarelle sormuksen, jonka nastakiveen
oli piirretty sfinksi.
— Mikäs tuo? — kysyi ruhtinatar. — Sfinksikö?

— Niin on, — vastasi hän; — ja tämä sfinksi olette te.
— Minäkö? — kysäsi ruhtinatar, verkalleen kohottaen häneen tuon
selittämättömän katseensa. — Tuo on, tiedättekö, sangen
mairittelevaa, — lisäsi hän, hiukan ivallisesti myhähtäen, mutta yhä
tuijottaen häneen niin kummallisesti.
Raskaalta tuntui Pâvel Petrôwitshista silloinkin kuin ruhtinatar P.
häntä rakasti, mutta kun ruhtinattaren lempi laimeni, ja se tapahtui
jotenkin pian, silloin hän oli vähällä menettää järkensä. Hän kärsi
tuskia, oli mustasukkainen, ei antanut ruhtinattarelle rauhaa, kulki
hänen jäljissään kaikkialle. Ruhtinatar kyllästyi hänen
hellittämättömiin ahdistelemisiinsa ja matkusti ulkomaille. Pâvel
Petrôwitsh otti eron sotapalveluksesta, huolimatta toveriensa
pyynnöistä ja päällikkönsä varottelemisista, ja läksi hänen jälkeensä.
Neljän vuoden verran hän oleskeli vieraissa maissa, milloin
seuraten hänen jälkiään, milloin tahallansa kadottaen hänet
näkyvistään. Hän häpesi omaa itseänsä, moitti arkamaisuuttaan,
mutta ei apua mistään. Tuon naisen kuva, tuo käsittämätön, melkein
tympeä, mutta lumoava kuva oli liian syvälle imeytynyt hänen
sieluunsa. Badenissa hän jälleen sai uudistaneeksi entiset välit
ruhtinattaren kanssa; näytti kuin ei tämä vielä milloinkaan olisi
rakastanut häntä niin intohimoisesti … mutta kuukauden kuluttua oli
taas kaikki lopussa … tuli oli leimahtanut viimeistä kertaa ja sammui
ainaiseksi. Välttämätöntä eroa aavistellessaan, Pâvel Petrôvitsh olisi
tahtonut pysyä edes hänen ystävänänsä, ikäänkuin ystävyys
sellaisen kanssa olisi mahdollista… Ruhtinatar läksi salaa Badenista
ja kartteli häntä sen koommin lakkaamatta.
Kirsânow palasi Venäjälle, koetti ruveta elämään vanhaan
tapaansa, mutta ei voinut enää päästä entisille laduille. Huumauneen

lailla hän samoili paikasta toiseen. Seuroissa hän kävi yhä vieläkin,
entiset ylhäisen maailmanmiehen tavat hänellä oli yhä tallella,
saattoipa kerskaista parista, kolmesta uudesta voitostakin, mutta ei
hän mitään erinomaista odottanut itseltään eikä muiltakaan, eikä
ryhtynyt mihinkään toimiin. Hän vanheni, harmaantui. Hänelle kävi
nyt välttämättömäksi istua illoin klubissa, tuntea ärtymystä, olla
ikävissä, kylmäkiskoisesti kinastella naimattomien miesten seurassa,
— sangen paha merkki, niinkuin tietty on. Naimisiin menoa hän ei
tietysti ajatellutkaan.
Täten kului kymmenen vuotta, kului kukitta, hedelmittä ja
nopeaan, hirmuisen nopeaan. Ei riennä aika missään niin joutuisasti
kuin Venäjällä; vankilassa kuuluu kuluvan vieläkin nopeammin.
Klubin päivällispöydässä hän sitten kerran sai tiedon ruhtinatar P:n
kuolemasta. Hän oli kuollut Parisissa, ollen jo melkein hourupäiseksi
tulemaisillaan. Kirsânow nousi pöydästä ja käveli klubissa kauan
aikaa huoneesta huoneesen, pysähdellen kuin kivettynyt
korttipöytäin ääreen, mutta ei kumminkaan tullut kotia varhemmin
kuin ennenkään. Jonkun ajan perästä hän sai omalle nimellensä
osoitetun paketin; siinä oli sormus, jonka hän aikoinaan oli
lahjoittanut ruhtinattarelle. Vainaja oli piirtänyt sfinksin yli ristin ja
käskenyt sanoa Kirsânowille, että risti on arvoituksen selitys.
Tämä tapahtui 1848 vuoden alussa, samaan aikaan, jolloin Nikolai
Petrôwitsh, leskeksi jäätyään, käväisi Pietarissa. Pâvel Petrôwitsh ei
ollut nähnyt veljeänsä melkein siitä saakka kuin tämä oli asettunut
maalle. Nikolai Petrôwitshin häät oli vietetty juuri niinä päivinä,
jolloin Pâvel Petrôwitsh oli tutustunut ruhtinattaren kanssa.
Ulkomailta palattuaan hän läksi veljensä luokse maalle, aikoen viipyä
siellä pari kuukautta, nauttiakseen heidän onnestaan, mutta ei

kestänyt siellä kuin viikon päivät. Veljesten olot, itsekunkin, olivat
siksi kovin erilaiset. Vuonna 1848 tämä erotus ei ollut enää niin
räikeä: Nikolai Petrôwitsh oli kadottanut vaimonsa, Pâvel Petrôwitsh
oli kadottanut entiset muistonsa; ruhtinattaren kuoltua hän koetti
olla muistelematta häntä. Mutta Nikolai Petrôwitshissa oli tallella
tietoisuus säännöllisesti vietetystä elämästä, ja poikakin se kasvoi ja
varttui hänen silmissään. Pâvel sitä vastoin, yksinäinen, naimaton
mies, oli astumassa tuohon himmeään, usmaisaan aikaan, jolloin
ihmisessä elähtelee toiveitten kaltaisia surkutteluja ja surkuttelujen
kaltaisia toiveita, jolloin nuoruus on mennyt, mutta vanhuus vasta
tuloansa tekee.
Tämä aika oli Pâvel Petrôwitshille raskaampaa kuin kenellekään
muulle: kadotettuaan menneisyytensä, hän oli kadottanut kaikki.
— En minä nyt enää sinua kutsu Mârjinoon — virkkoi hänelle veli
kerran. (Hän oli näet kylänsä pannut vaimonsa nimikoksi.) — Maria
vainajankin aikana sinun tuli siellä ikävä olla, mutta nyt sinä kaiketi
siellä ihan menehtyisit ikävästä.
— Silloin minä vielä olin tyhmä ja hyörin ja pyörin sinne tänne, —
vastasi Pâvel Petrôwitsh. — Sen koommin olen talttunut, eilenhän
viisastunutkaan. Nyt minä päinvastoin olen valmis asettumaan sinun
luoksesi ainaiseksi, jos sallit.
Vastauksen asemesta Nikolai Petrôwitsh sulki hänet syliinsä, mutta
puolitoista vuotta kului vielä tästä keskustelusta, ennenkuin Pâvel
Petrôwitsh päätti panna aikeensa toimeen. Vaan sittenpä hän, kerran
maalle muutettuansa, ei sieltä enää lähtenytkään, ei edes niinäkään
talvikausina, jotka Nikolai Petrôwitsh vietti poikansa kanssa
Pietarissa. Hän rupesi lukemaan, enimmäkseen englanninkielistä
kirjallisuutta, ja asetti elämänsä muutenkin englantilaiseen malliin.

Harvoin hän seurusteli naapuriensa kanssa, ei käynyt kaupungissa
muulloin kuin aatelisvaaleissa. Sielläkin hän oli enimmäkseen ääneti,
silloin tällöin vain härnäten ja säikyttäen vanhan kuosin tilan-
omistajia vapaamielisyyden puuskauksilla ja pysyen loitolla
uudemman sukupolven edustajista.
Niin vanhan kuin nuorenkin kannan ihmiset pitivät häntä
korskeana miehenä, mutta niin toiset kuin toisetkin näkivät hänessä
paljon arvoa ansaitsevia puolia: hänellä oli niin miellyttävä,
aristokraatinen käytöstapa; hänellä oli ollut niin paljon voittoja
naismaailmassa; hän kävi varsin hienossa puvussa, asui parhaimman
hotellin parhaimmassa numerossa, yleensä söi pulskia päivällisiä,
olipa kerran ollut Wellingtonin kanssa päivällisillä Louis Filipin luona,
hänellä oli kaikkialla mukanaan täysihopeinen matka-nécessaire ja
matka-amme; hänestä tuoksusi aina tavattoman hyviltä, ihmeellisen
"jaloilta" hajuvesiltä; hän pelasi mainiosti whistiä ja joutui aina
tappiolle. Ja vihdoin pidettiin häntä arvossa hänen mallikelpoisen
rehellisyytensäkin tähden. Naisten silmissä hän oli viehättävä
melankooliko, mutta naisten tuttavuudesta hän ei välittänyt.
* * * * *
— Katsopas nyt, Jevgêni, — virkkoi Arkâdi, päätettyään
kertomuksensa; — nyt huomaat, kuinka väärin sinä olet setää
tuominnut. En nyt puhukaan siitä, että hän on monta monituista
kertaa pelastanut isäni pulasta, antaen hänelle kaikki rahansa —
omaisuus, kuten tietänet, on heillä jakamatta, — mutta hän on
valmis auttamaan ketä hyvänsä ja muun muassa pitää aina
talonpoikain puolta, vaikka heidän kanssaan haastellessaan tosin
rypisteleekin kulmiansa ja haistelee eau-de-colognea…
— Tietty se: hermot näet… — keskeytti Bazârow.

— Kenties, mutta hyvä on hänellä sydän. Älyä ei häneltä
myöskään puutu. Kuinka hyödyllisiä neuvoja olenkaan saanut
häneltä … vallankin … vallankin naisiin nähden.
— Ahaa! Omassa puurossa suunsa poltti ja vieraasen velliin
puhaltaa.
Kyllä minä tuon tiedän.
— Sanalla sanoen, — jatkoi Arkâdi: — hän on hyvin onneton, usko
minua; synti on halveksia häntä.
— Kukas se häntä sitten halveksii? — vastasi Bazârow. — Mutta
sen minä kumminkin sanon, että semmoinen mies, joka on pannut
koko elämänsä naisen rakkauden kortille ja sitten, nähtyään, että
toiset tuon kortin häneltä kattoivat, lyyhistyy ja raukenee siihen
määrin, ett'ei enää kykene mihinkään, — semmoinen ei ole mies,
vaan koiras. Hän on onneton muka; sen sinä mahdat parhaiten
tietää; mutta mieltä hän ei vaan ole päähänsä saanut. Minä olen
vakuutettu hänen pitävän itseänsä kunnon miehenä siitä syystä, että
lukee jotain Galjaanin pahaista ja kerran kuukaudessa pelastaa
pieksiäisistä talonpojan.
— Mutta otahan lukuun hänen kasvatuksensa ja se aika, jossa hän
on elänyt, — huomautti Arkâdi.
— Kasvatusko? — huudahti Bazârow. — Joka ihminen on
velvollinen kasvattamaan itse itseänsä, niinkuin, no vaikkapa niinkuin
esimerkiksi minä… Ja mitä taas aikaan tulee, niin miksikä minun
pitäisi olla ajasta riippuvainen? Riippukoon ennen aika minusta. Ei,
veikkonen! Kaikki tuo on semmoista löyhää, tyhjänpäiväistä! Ja mitä
ne sitten ovat nuo miehen ja naisen salaiset muka välit? Kyllä me
"fysiologit" tiedämme, mitä ne ovat. Otapas ja tutki silmän

anatomiaa: mistä ne, niinkuin sinä sanot, arvoituksen tapaiset
katseet siihen tulee? Kaikki se on romanttisuutta, hörön-töröä,
mätää, taidetta. Tule pois, mennään katsomaan koppakuoriaista.
Ja ystävykset menivät Bazârowin huoneesen. Sinne oli jo
ennättänyt asettua tuommoinen medisiini-kirurgillinen haju, johon oli
sekaantunut halvan tupakan löyhkää.

VIII.
Pâvel Petrôwitsh ei ollut kuin vähän aikaa läsnä veljen keskustellessa
voudin kanssa. Tämä vouti oli pitkä, laiha mies, ääni imelänkäheä
niinkuin keuhkotautisilla, silmissä veijarimaisuus. Kaikkiin Nikolai
Petrôwitshin huomautuksiin hän vastaili: "Ka herrainen aika, se on
vissi se", ja koetti saada talonpojat juomarin ja varkaan kirjoihin.
Äskettäin käytäntöön pantu uudenlainen maatalous se vonkui kuin
pyörä voiteen puutteessa, paukahteli kuin tuoreesta puusta kotona
tehty huonekalu. Nikolai Petrôwitsh ei tuosta mieleltään masentunut,
mutta huokaili sentään usein ja vaipui mietteisinsä: hän tunsi, että
asian onnistuminen kysyy rahoja, mutta rahat olivat häneltä melkein
lopussa.
Arkâdi oli ollut oikeassa: Pâvel Petrôwitsh oli monastikin auttanut
veljeänsä. Useinkin, nähdessään velimiehen puuhailevan ja
ponnistelevan, päätänsä särkien, mitenkä taaskin päästä pulasta,
usein Pâvel Petrôwitsh silloin astui akkunan luo ja kädet
housuntaskussa jupisi hampaittensa välitse: Mais je puis vous
donner de l'argent,[10] ja antoi hänelle rahoja. Mutta tänään ei
hänellä niitä ollut, ja senvuoksi hän katsoi parhaaksi vetäytyä pois.
Taloudelliset harmit olivat hänestä sangen ikäviä. Sitä paitsi tuntui
hänestä, että niin paljon kuin Nikolai Petrôwitsh puuhaileekaan ja

hommaa, ei hän sittenkään ota asiata siitä päästä kiinni kuin pitäisi,
vaikk'ei hän suinkaan olisi osannut nimenomaa sanoa, missä kohden
velimies milloinkin erehtyy.
"Veli ei ole tarpeeksi käytännöllinen", arveli hän itsekseen; "muut
puijaavat häntä."
Nikolai Petrôwitsh sitä vastoin piti veljeänsä erinomaisen
käytännöllisenä miehenä ja kysyi myötäänsä häneltä neuvoa.
— Minä olen tuommoinen heikko, hempeä mies, ikäni elänyt
erämaassa, — puheli hän; — mutta sinä sensijaan olet niin paljon
seurustellut ihmisten kanssa, sinä tunnet heidät; sinulla on kotkan
silmä.
Pâvel Petrôwitsh ei vastannut tuohon mitään, kääntyihän vaan
pois, koettamatta kumminkaan saada veljeänsä luopumaan moisista
luuloista.
Veljensä huoneesta tultuaan, hän läksi astumaan kartanon etu- ja
takaosan välistä käytävää myöten ja tultuaan erään matalan oven
eteen, pysähtyi miettiväisenä, kieritteli viiksiänsä ja kolkutti oveen.
— Kuka siellä? Käykää sisään! — kuului Fênitshkan ääni.
— Minä, — virkkoi Pâvel Petrôwitsh ja avasi oven.
Fênitshka kavahti pystyyn tuolilta, jossa hän oli istunut lapsi
sylissä. Annettuaan sen lapsentytölle, joka heti kohta vei sen pois,
hän pikimmältään korjasi huiviansa.
— Suokaa anteeksi, jos häiritsin, — sanoi Pâvel Petrôwitsh,
katsomatta häneen. — Minä olisin vaan pyytänyt … tänään on

luullakseni asiata kaupunkiin … pyytänyt, että käskisitte ostamaan
minulle viheriäistä teetä.
— Kyllä, — vastasi Fênitshka; — kuinka paljon suvaitsette?
— Puoli naulaa riittänee yllinkyllin… Teillähän näkyy täällä olevan
uutta — lisäsi hän, heittäen ympärilleen pikaisen silmäyksen, joka
kosketti Fênitshkankin kasvoja. — Uutimet ikkunoissa, tarkoitan, —
selitti hän, huomattuaan, ett'ei toinen häntä ymmärrä.
— Jaa, niin, uutimet kyllä. Nikolai Petrôwitsh hyvällä hyvyyttään
lahjoitti ne meille. Johan ne on olleet kauan aikaa akkunoissa.
— Kauanpa aikaa minäkin olen ollut käymättä teillä. Täällä näyttää
olevan sangen mukavaa.
— Nikolai Petrôwitshin suosiosta, — kuiskasi Fênitshka.
— Onko teidän parempi olla täällä kuin entisessä vanhassa
kylkirakennuksessa? — kysäisi Pâvel Petrôwitsh kohteliaasti, mutta
vähääkään myhähtämättä.
— Parempi on, tiettävästi.
— Kukas sinne pantiin teidän sijaanne?
— Siell'on pesijät nyt.
— Vai niin!
Pâvel Petrôwitsh vaikeni.
"Nyt se kai lähtee", arveli Fênitshka itsekseen, mutta eipä hän
lähtenytkään. Fênitshka seisoi hänen edessään kuin suolapatsas,

hiljalleen nyppien sormiaan.
— Miksikäs te käskitte viedä poikanne pois? — virkkoi Pâvel
Petrôwitsh vihdoin. — Minä olen hyvin lapsirakas; näyttäkääs se
minulle.
Fênitshka punastui; hän kävi hämille ja ihastui yhtaikaa. Hän
pelkäili Pâvel Petrôwitshia, joka tuskin koskaan oli puhellut hänen
kanssaan.
— Dunjâsha! — huusi hän, — Tuokaa Mitja tänne (Fênitshka
teititteli talossa kaikkia). — Tai malttakaa, pannaan hänelle koltti
päälle.
Fênitshka kääntyi ovea kohti.
— Samahan se on, — huomautti Pâvel Petrôwitsh.
— Minä tulen heti, — vastasi Fênitshka, lähtien kiireesti toiseen
huoneesen.
Pâvel Petrôwitsh, jäätyään yksikseen, loi erittäin tarkkaavaisen
katseen ympärilleen. Tämä pienenläntä, matala huone oli sangen
siisti ja kodikas. Siinä tuntui vereksen lattiamaalin, juhannuskukan ja
mesiruohon haju. Seinuksilla seisoi tuoleja lyyramaisine
selkämyksineen. Ne oli jo kenraali vainaja aikoinaan ostanut
Puolasta, ollessaan sotaretkellä siellä. Yhdessä nurkassa oli
musliniuutimien verhoama pieni sänky ja sen vieressä kupukantinen,
rautavanteinen arkku. Nurkassa vastapäätä sitä paloi pikkuinen
lamppu suuren pyhimyskuvan edessä, joka esitti Nikolaita
Ihmeittentekijää; sädekehästä riippui punaisessa nauhassa
pikkuruinen poslinimuna pyhimyksen rinnalla. Ikkunalaudoilla oli

viimevuotisilla marjasylteillä täytettyjä lasipurkkeja, joitten läpi
päivänvalo viheriänä kuulsi. Niitten suulle oli huolellisesti sidottu
paperipäällykset, joihin Fênitshka itse oli suurilla kirjaimilla
merkinnyt: "karviaismarja". Se oli Nikolai Petrôwitshin lempisylttiä.
Katosta riippui pitkässä nuorassa häkki, jossa lyhythäntäinen
keltasirkku myötäänsä hypiskeli tirskutellen ja pannen häkin
yhtämittaa heilumaan ja vavahtelemaan, jolloin hampun siemeniä
aina pudota pirahteli maahan. Väliseinällä, pienen piirongin
yläpuolella riippui jotenkin huonoja, kiertävän taiteilijan ottamia
valokuvia Nikolai Petrôwitshista jos millaisissakin asennoissa. Siinä
riippui Fênitshkankin kuva, kerrassaan onnistumaton: tummissa
puitteissa oli jotain kasvojen tapaista, silmiä vailla, suupielissä
ponnistettu hymy; muuta ei siinä erottanut. Fênitshkan yläpuolella
taas itse kenraali Jermôlow, huopaviitta yllään, ankaran tuimana
tuijotteli kohti Kaukaasian kaukaisia kukkuloita pienen,
kengänmuotoisen silkkisen neulatyynyn alta, joka oli painunut ihan
kenraalin otsalle asti.
Kului viiden minutin verran. Viereisestä huoneesta kuului kahinaa
ja supatusta. Pâvel Petrôwitsh otti piirongilta tahratun, hajallisen
nidoksen Masáljskin Stréltseja ja selaili sitä hiukan… Ovi aukeni, ja
sisään astui Fênitshka Mitja sylissä. Hän oli pukenut pojan päälle
punaisen paidan, jonka kauluksessa oli kiiltonauhainen reunus,
kammannut pojan pään ja pessyt silmät. Poika hengitti lujasti,
kurotteli ruumistaan ja nytkäytteli käsiään, niinkuin terveitten lasten
on tapa, mutta uhkea paita se nähtävästikin teki tehtävänsä:
tyytyväisyyden ilme heijasti koko hänen pulleasta olennostaan.
Fênitshka oli laittanut omankin tukkansa järjestykseen ja sitaissut
päähänsä paremman huivin, mutta hän olisi huoleti saattanut jäädä
entiseen asuunsa. Ja todellakin, oliko maailmassa mitään sen
viehättävämpää kuin nuori äiti, terve lapsi sylissään?

— Kas tuota pallukkaa, — virkkoi Pâvel Petrôwitsh, kutkuttaen
Mitjaa kaksoisleuasta etusormensa pitkän kynnen päällä. Poikanen
kiinnitti katseensa keltasirkkuun ja rupesi nauramaan.
— Setä se on, — virkkoi Fênitshka, painaen kasvojansa lasta
vasten ja hiljalleen puistellen häntä, Dunjâshan asetellessa ikkunalle
savupyperöä vaskirahan päälle.
— Kuinkas vanha hän onkaan? — kysäsi Pâvel Petrôwitsh.
— Kuusi kuukautta, pian kääntyy seitsemännelle, yhdentenätoista
päivänä ensi kuuta.
— Eiköhän kahdeksannelle jo, Feodôsia Nikolâjewna? — virkkoi
Dunjâsha hiukan arkaillen.
— Eihän toki! Seitsemännelle. Mitäs sinä nyt! — Lapsi rupesi taas
nauramaan, käänsi sitten huomionsa arkkuun ja tarttui äkkiä koko
kourallaan äitiään nenään ja huuliin. — Vallaton veitikka! — puheli
Fênitshka, vetämättä kasvojaan pois pojan kourasta.
— Hän on veljeni näköinen, — huomautti Pâvel Petrôwitsh.
"Kenenkäpäs se olisikaan näköinen?", ajatteli Fênitshka.
— Niin, niin, — puheli Pâvel Petrôwitsh ikäänkuin itsekseen; —
ihan velimiehen näköinen.
Hän loi Fênitshkaan tarkan, melkein murheellisen katseen.
— Setä se on, — virkkoi Fênitshka, nyt jo kuiskaamalla.
— Kas, Pâvel! Täälläkös sinä oletkin? — kuului äkkiä Nikolai
Petrôwitshin ääni.

Pâvel Petrôwitsh kääntyi kiireesti ympärinsä, kulmiaan rypistäen,
mutta veli katsahti häneen niin iloisasti, niin kiitollisena, että toisen
täytyi väkisinkin myhähtää hänelle.
— Sinullahan on koko pulska poika, — sanoi hän, kelloonsa
katsahtaen. — Minä poikkesin tänne puhumaan teestä…
Ja sen sanottuaan Pâvel Petrôwitsh läksi pois, varsin levollinen
ilme kasvoissa.
— Itsestäänkö hän tuli? — kysäisi Nikolai Petrôwitsh Fênitshkalta.
— Itsestään tulivat; oveen kopauttivat ja tulivat sisään.
— Entäs Arkâsha? Eikö hän ole enää käynyt sinun luonasi?
— Eivät ole. Enköhän minä muuta tuonne kylkirakennukseen,
Nikolai
Petrôwitsh?
— Miksi niin?
— Eiköhän se olisi parasta ensi aluksi?
— Nnno … eipä sentään, — äännähti Nikolai Petrôwitsh, änkytellen
ja otsaansa hieraisten. — Kun olisi ennen… No terve, sinä mötys, —
virkkoi hän sitten, äkkiä vilkastuen, lähestyi lasta ja suuteli häntä
poskeen. Senjälkeen hän, kumartui hiukan ja kosketti huulillaan
Fênitshkan kättä, joka kuulsi valkoisena kuin maito Mitjan punaisen
paidan päällä.
— Nikolai Petrôwitsh! Mitäs te nyt? — sopotti Fênitshka, laskien
silmänsä maahan, mutta kohottaen ne jälleen ylös… Soma oli hänen

silmäinsä välke, hänen katsellessaan kulmainsa alta ja naurahdellen
lempeästi ja hiukan typerästi.
* * * * *
Nikolai Petrôwitsh oli tutustunut Fênitshkaan seuraavalla tavalla.
Kerran, noin kolme vuotta sitten, hän oli matkoillaan yöpynyt
majataloon eräässä kaukaisessa maaseutukaupungissa.
Odottamattoman mielihyvän teki hänelle erinomainen järjestys siinä
huoneessa, minkä oli saanut, ja sänkyvaatteiden puhtaus.
"Saksalainenkohan täällä lieneekin emäntä?" iski hänen mieleensä.
Mutta emäntänä olikin venakko, noin viidenkymmenen vanha vaimo,
siistissä puvussa, kasvot somat ja puhe arvokasta. Nikolai Petrôwitsh
puuttui pakinoille hänen kanssaan, teetä juodessaan, ja varsin hyvän
vaikutuksen häneen emäntä tekikin.
Nikolai Petrôwitsh oli siihen aikaan vast'ikään muuttanut uuteen
maakartanoonsa, jossa ei tahtonut pitää äärellään maaorjia, vaan
haeskeli palkkaväkeä. Emäntä puolestaan valitteli matkustajain
vähyyttä ja kallista aikaa. Nikolai Petrôwitsh tarjosi hänelle silloin
emännöitsijän paikan hovissaan, ja toinen suostuikin. Hänen
miehensä oli kuollut jo kauan sitten, jätettyään äidin huostaan
ainoan tyttären, Fênitshkan.
Parin viikon kuluttua Arina Sâvishna (se oli uuden emännöitsijän
nimi) muuttikin tyttärineen Mârjinoon ja asettui asumaan
kylkirakennukseen. Nikolai Petrôwitsh näytti osanneen oikeaan. Arina
pani talon hyvään järjestykseen. Fênitshkasta, joka silloin jo oli
täyttänyt seitsemäntoista vuotta, ei puhunut talossa kukaan, eikä
häntä kukaan nähnytkään, hän kun eleli hiljalleen ja yksikseen.

Sunnuntaisin vain Nikolai Petrôwitsh huomasi pitäjän kirkossa,
jossain syrjäisessä paikassa, hänen vaikeitten kasvojensa profilin.
Näin kului toista vuotta.
Aamulla kerran Arina tuli isäntänsä huoneesen ja, tehtyään
tavanmukaisen syvän kumarruksen, kysyi, eikö hän voisi auttaa
hänen tytärtään, jolle kipinä uunista oli lentänyt silmään. Nikolai
Petrôwitsh, niinkuin muutkin kotona-kykkijät, harjoitti tautien
parantelemista; olipa hankkinut taloonsa homeopaatillisen
apteekinkin. Hän käski Arinan tuoda sairaan heti sisään. Fênitshka,
kuultuaan herran kutsuvan häntä luokseen, säikähti
pahanpäiväiseksi, mutta seurasi sentään äitiänsä. Vietyään hänet
akkunan eteen, Nikolai Petrôwitsh otti häntä molemmin käsin päästä,
tutki tarkoin tuon punaisen, tulehtuneen silmän ja valmisti hänelle
samassa omin käsin haudevettä, repäsi sitten nenäliinansa ja neuvoi,
mitenkä hautoa. Fênitshka kuunteli häntä loppuun asti ja aikoi lähteä
tiehensä.
— Suutele toki herran kättä, tyttö riepu! — sanoi Alina hänelle.
Mutta Nikolai Petrôwitsh ei sallinut hänen suudella kättä, vaan
joutui hämille itsekin ja suuteli tyttöä kumartuneesen päähän
jakauksen kohdalle.
Fênitshkan silmä parani pian, mutta se vaikutus, minkä hän oli
isäntäänsä tehnyt, ei hälvennyt niinkään pian. Yhä vain Nikolai
Petrôwitshin silmissä kuvastuivat nuo puhtaat, hennot, arasti
kohotetut kasvot; hän tunsi kämmeniensä koskettelevan tuota
pehmeätä tukkaa, näki nuo viattomat, puoleksi avonaiset huulet,
joitten välitse helmimäiset hampaat kosteina väikähtelivät

päivänvalossa. Hän rupesi entistä tarkkaavammin katselemaan häntä
kirkossa ja koetti päästä puheisin hänen kanssaan.
Fênitshka vierasti häntä ensi alussa. Niinpä kerrankin, kun Nikolai
Petrôwitsh kohtasi hänet kapealla, tuuhean ruispellon kautta
kulkevalla polulla, hän puikahti piiloon korkeakortiseen, sankkaan
peltoon, jossa rukiinen juurella kasvoi tiheässä ruiskukkia ja
koiruohoa. Nikolai Petrôwitsh huomasi hänen päänsä kortten
kultaisen verkon lävitse, josta hän katsella kurkisteli kuin pikku eläin.
— Hyvää iltaa, Fênitshka! — huusi hän tytölle lempeällä äänellä. —
En minä pure.
— Jumal' antakoon! — kuiskasi toinen, tyyssijaansa jättämättä.
Vähitellen hän alkoi tottua Nikolai Petrôwitshiin, vaikka yhä
vieläkin pelkäili hänen läsnäollessaan, kunnes Arina, hänen äitinsä,
äkkiä kuoli koleraan. Minnekä oli tyttö nyt joutuva? Hän oli perinyt
äidiltään rakkauden järjestykseen, järkevyyteen ja arvokkaisuuteen,
mutta olihan hän vielä niin nuori, niin yksinäinen. Nikolai Petrôwitsh
itse oli niin hyväntahtoinen, siivo…
Tarpeetonta on kertomusta enää jatkaa…
— Vai tuli se veli noin vaan? — tiedusteli Nikolai Petrôwitsh. —
Oveen kolkutti ja astui sisään?
— Niin.
— No se on hyvä se. Annas kun hypittelen Mitjaa. Ja Nikolai
Petrôwitsh rupesi hypittelemään poikaa melkein lakeen saakka. Kovin
oli pienonen itse siitä hyvillään, mutta levoton oli äiti. Joka kerta kuin

poikanen lennähti ylös, joka kerta hän ojensi kätensä lapsen
paljastuneita jalkoja kohti.
Mutta Pâvel Petrôwitsh palasi uhkeaan kabinettiinsa. Seinillä oli
sirot, omituisen väriset tapetit, kirjavalla persialaisella matolla riippui
ampuma-aseita; huonekalut olivat pähkinäpuusta, tummanvehreällä
shaggilla päällystetyt; kirjakaappi oli vanhaa tammea, renaissance-
stiiliä, komealla kirjoituspöydällä seisoi pieniä pronssisia statuetteja;
nurkassa kamini-uuni. Hän heittäysi seljälleen sohvalle, pani kätensä
niskan taa ja katseli liikahtamatta, melkein epätoivoisena kattoon.
Lieneekö hän sitten tahtonut itse seiniltäkin kätkeä, mitä hänen
kasvoillansa ilmenee, vai mikä lienee ollut syynä, mutta hän nousi,
veti raskaat uutimet akkunain eteen ja heittäytyi sohvalle jälleen.

IX.
Samana päivänä Bazârowkin tutustui Fênitshkaan. Bazârow oli
Arkâdin kanssa kävelyllä puutarhassa, selitellen ystävälleen, miksikä
eivät kaikki puut ole ottaneet juurtuakseen, varsinkaan pienet
tammet.
— Tänne pitäisi istuttaa enemmän hopeapoppeleita ja kuusia,
vaikkapa lehmuksiakin, ja panna ruokamultaa lisää. Tuo lehtimaja,
katsos, se on menestynyt hyvin — lisäsi hän — sillä akaasia ja syreni
ne ovat kelpo poikia ne, eivät kysy hoitoa. Mutta … siellähän on
joku! Lehtimajassa istui Fênitshka Dunjâshan ja Mitjan kanssa.
Bazârow pysähtyi, mutta Arkâdi nyökäytti Fênitshkalle päätä,
niinkuin vanha tuttava ainakin.
— Kuka se on? — kysyi Bazârow, heti kuin oli kuljettu lehtimajan
ohi. — Soma naikkonen!
— Kumpaisestako sinä puhut?
— Tietty se, kestä; yksihän siellä oli soma.
Aina väliin hämilleen joutuen Arkâdi kertoi hänelle lyhyesti, ken
Fênitshka on.

— Ahaa — virkkoi Bazârow. — Näkyypä sinun isäsi tietävän, mikä
on vettä mikä mettä. Hän on reipas poika kerrassaan, tuo sinun
isäsi; hän miellyttää minua, miellyttää totta maar niinkin. Mutta
pitäähän sitä tutustua, — lisäsi hän, kääntyen lehtimajalle päin.
— Jevgêni! — huudahti säikähtäneenä Arkâdi hänen jälkeensä. —
Ole,
Herran tähden varovainen!
— Ole huoleti, — vastasi Bazârow, — me ollaan monessa liemessä
keitettyä väkeä; ei sitä niinkään pelkkiä maamoukkia olla.
Fênitshkaa lähestyessään hän otti lakin päästään.
— Sallikaa minun esitellä itseni, — alkoi hän, kumartaen
kohteliaasti. — Arkâdi Nikolâitshin ystävä ja vallan sävyisä mies.
Fênitshka nousi seisomaan ja katseli häntä arasti.
— Tuopas on kerrassaan sievä lapsi, — jatkoi Bazârow. — Olkaa
huoleti, ei mull' ole silmät noidan silmät. Miksikäs sillä posket noin
hehkuu? Hampaitako saa?
— Niin, — vastasi Fênitshka, — neljä on jo puhjennut, ja nyt on
ikenet taas pöhössä.
— Näyttäkääs … älkää peljätkö; minä olen tohtori. Bazârow otti
lapsen syliinsä, ja kovin kummastelivat niin Fênitshka kuin
Dunjâshakin, ett'ei poika pyristellyt vastaan eikä ensinkään
vierastanut.
— Jaha, jaha… Kaikki on niinkuin olla pitää: poika saa uhkeat
hampaat. Jos mitä joskus sattuu, pankaa sana minulle. Oletteko te

itse terve?
— Terve olen, Jumalan kiitos.
— Jumalan kiitos; sehän onkin paras kaikista. Entäs te? — lisäsi
Bazârow, kääntyen Dunjâshaan.
Dunjâsha, tyttönen tuikea tuvassa ja rasavilli tanhualla, tirskautti
vaan, eikä vastannut mitään.
— No niin. Tuoss'on pulska prinssinne. Fênitshka otti pojan
syliinsä.
— Että hän viihtyi teillä niin hyvin! — virkkoi hän puoliääneen.
— Minulla viihtyy lapset aina, — vastasi Bazârow; mull' on
tiedossani taika semmoinen.
— Lapset tuntee kyllä, kuka heitä rakastaa, — huomautti
Dunjâsha.
— Se on vissi se, — vahvisti Fênitshka. — Niinkuin Mitjakin: välisti
ei menisi vieraan syliin, ei vaikka.
— Entäs minun? — kysäsi Arkâdi, joka oli seisonut kotvan aikaa
taampana ja nyt läheni lehtimajaa.
Hän kurotti kätensä Mitjaa kohti, mutta poikanen kääntyi pois ja
rupesi uikuttamaan. Fênitshka joutui hämille.
— Kylläpähän tulee vielä, jahka tottuu, — virkkoi Arkâdi suopeasti.
Ystävykset läksivät lehtimajasta.

— Mikä hänen nimensä olikaan? — kysyi Bazârow.
— Fênitshka … Feodôsia.
— Entäs isännimeltä? Pitäähän se tietää sekin.
— Nikolâjewna.
— Bene. Minua miellyttää hänessä se, ett'ei hän kainostele liiaksi.
Toinen kukaties juuri moittisi häntä siitä. Joutavia! Mitäs siinä olisi
kainostelemista? Hän on äiti, ja niinmuodoin hän on oikeassa.
— Hän on kyllä oikeassa, — virkkoi Arkâdi, — mutta isä…
— Isä on oikeassa kanssa, — keskeytti Bazârow.
— Ei minun mielestäni.
— Niin, niin: yksi perillinen lisää, se nähkääs harmittaa meitä
hiukan.
— Ettes häpeä, luullessasi minun ajattelevan tuollaista! —
huudahti Arkâdi kiivaasti. — En minä siltä kannalta katso isän olevan
väärässä; isän pitäisi minun mielestäni naida hänet.
— Vai niin, vai niin! — virkkoi Bazârow tyynesti. — Kas kuinka me
ollaankaan jalomielisiä! Sinun mielestäsi siis avioliitolla on vielä jotain
merkitystä. Sitä en olisi sinulta odottanut.
Ystävykset astuivat muutamia askeleita ääneti.
— Minä olen nähnyt kaikki sinun isäsi laitokset, — puheli taas
Bazârov. — Karja on kehnoa ja hevoset työllä tapetuita. Rakennukset
ne hiukan rasahtelevat nekin, työväki on laiskaa ja vetelää, mutta

vouti se on joko tomppeli tai veijari, en ole vielä päässyt perille,
kumpaako.
— Kovinhan sinä olet ankara tänään, Jevgêni Vasíljitsh.
— Ja kunnonkin talonpojat ne vielä saavat isäsi puijatuksi, usko
pois. Ilmankos sananlasku sanoo: "Venäläinen musikka pistää
Jumalankin poskeensa."
— Minä alan olla yhtä mieltä sedän kanssa, — virkkoi Arkâdi: —
sinulla on kerrassaan huono ajatus venäläisistä.
— Jopa sitten jotain! Ei venäläisessä muuta hyvää olekaan kuin se,
että hänellä on peräti huono ajatus itsestään. Kaks kertaa kaks on
neljä — se se jotain on; muu kaikki on hölynpölyä.
— Luontokin? — virkkoi Arkâdi, miettiväisenä katsellen tuonne
kauas yli moniväristen peltojen, joihin mailleen jo kallistuva aurinko
loi kaunista, lempeätä valoa.
— Ja hölynpölyä se on luontokin, siinä merkityksessä, jossa sinä
sitä käsität. Ei luonto ole mikään temppeli; paja se on ja ihminen
seppänä siinä.
Samassa kuului kartanosta viivähteleviä violoncellon säveleitä.
Joku siellä soitti tunteellisesti, vaikka epävarmalla kädellä, Schubertin
Träumereitä, ja hunajana hajaantui ilmassa suloinen melodia.
— Mitäs tuo on? — kysyi Bazârow kummastellen.
— Isä soittaa.
— Soittaako sinun isäsi celloa?

— Kyllä.
— Mutta kuinka vanha hän on?
— Neljäkymmentä neljä. Bazârow räjähti nauramaan.
— Mitäs sinä naurat?
— No mutta, hyvä ystävä! Mies viidennellä viidettä, pater familias,
asuu täällä maan sydänmaassa ja — soittaa celloa!
Bazârow nauraa hohotti edelleen, mutta Arkâdi, niin syvästi kuin
kunnioittakaan mestariansa, ei tällä kertaa edes myhähtänytkään.

X.
Kului pari viikkoa. Elämä Mârjinossa kulki kulkuansa: Arkâdi vietti
makean leivän päiviä, Bazârow teki työtä. Talossa olivat jo kaikki
ennättäneet tottua häneen, hänen leväperäiseen menettelytapaansa,
hänen jyrkkäpuheisuuteensa. Fênitshka varsinkin oli jo niin
tutustunut häneen, että yöllä kerran käski herättää hänet: Mitja oli
saanut suonenvetoja. Ja Bazârow tuli, tapansa mukaan, puoleksi
leikkiä laskien, puoleksi haukotellen, istui hänen luonaan parisen
tuntia ja sai lapsen entiselleen.
Pâvel Petrôwitsh sitä vastoin oli ruvennut vihaamaan häntä koko
sydämensä pohjasta, pitäen häntä röyhkeänä, öykkärinä, kyynillisenä
miehenä, plebeijinä. Hän aavisteli, ett'ei Bazârow pidä häntä
arvossa, melkeinpä halveksii häntä, — häntä, Pâvel Kirsânowia!
Nikolai Petrôwitsh pelkäili hiukan tätä nuorta "nihilistiä", epäillen,
tokko hänen vaikutuksensa Arkâdiin lienee hyvinkään edullista,
mutta mielellään hän kuunteli Bazârowia, mielellään oli läsnä hänen
fyysillis-kemiallisissa kokeissaan. Bazârow oli tuonut mikroskopin
mukanaan ja hääräili tuntimäärin sen ääressä.

Palvelijat olivat hekin kiintyneet häneen, vaikka hän usein teki
heistä pilkkaakin. He tunsivat, että siinä se on sentään meikäläinen
mies eikä herra. Dunjâsha se mielellään nauraa hihitteli hänen
kanssaan, ja heitti häneen vihjaavia silmäyksiä, juosta
puikahdellessaan hänen ohitsensa. Pjotr, mies peräti itserakas ja
typerä, otsa alati rypyssä, mies, jonka ainoa ansio oli siinä, että osasi
katsoa ihmisiä kohteliaasti silmiin ja sai tavaamalla kirjasta selvän ja
usein harjaili tukkaansa, — hänkin rupesi myhähtelemään ja
kirkastui kasvoiltaan, milloin vain Bazârow kiinnitti häneen huomiota.
Palvelusväen pojat ne juoksentelivat "tohtorismiehen" perässä kuin
pienet koirat. Ukko Prokôfjitsh se vain ei sietänyt häntä. Tuiman
näköisenä hän pöydässä passaili tuota "sammakonnylkijää" ja
"lipilaaria", ja vakuutti, että tuo partaniekka roikale on — sika
kaalismaassa. Prokôfjitsh oli tavallaan yhtä hyvä aristokraati kuin
Pâvel Petrôwitshkin.
Tuli vuoden herttaisin aika, kesäkuun ensimmäiset päivät. Säät
olivat ihanat. Kansaa uhkasi kyllä jälleen kolera, mutta X:n läänin
asukkaat olivat jo tottuneet näkemään sitä vieraanansa. Bazârowin
oli tapana nousta aamulla hyvin aikaisin ja lähteä astumaan parin
kolmen virstan päähän, ei kävelemään — kävely ilman mitään
tarkoitusta oli hänestä peräti vastenmielistä, — vaan keräämään
kasveja ja hyönteisiä. Väliin hän otti mukaansa Arkâdinkin.
Paluumatkalla he tavallisesti joutuivat väittelyyn, jossa Arkâdi
useimmiten jäi alle kynsin, vaikka pitikin enemmän ääntä kuin
toinen.
Kerran he olivat viipyneet tavallista kauemmin. Nikolai Petrôwitsh
läksi heitä vastaan puutarhaan. Tultuansa lehtimajan kohdalle hän
kuuli äkkiä nopeita askelia, ja odottelemiensa nuorten miesten

puhetta. He kulkivat lehtimajan toiselta puolen eivätkä voineet nähdä
häntä.
— Sin'et tunne isää tarpeeksi, — kuului Arkâdi sanovan.
Nikolai Petrôwitsh painautui piiloon.
— Sinun isäsi on kelpo poika, — virkkoi Bazârow; — mutta hän on
jo virkaheitto; hänen laulunsa on laulettu loppuun.
"Virkaheitto" seisoi paikallaan minutin, vieläpä toisenkin, ja läksi
sitten verkalleen astua laahustamaan kotia.
— Toissapäivänä, — jatkoi Bazârow, — toissapäivänä minä tapasin
hänet lukemasta Púshkinia. Selitä toki hänelle, ett'eihän
semmoisesta ole mihinkään. Eihän hän enää mikään poika ole;
heittäis jo mokomankin höröntörön. Olla romantikona nykyaikoina …
että hän viitsii! Anna hänelle jotain kunnollisempaa luettavaksi.
— Mitähän hänelle antaisi? — kysyi Arkâdi.
— Vaikkapa ensi hätään Büchnerin "Stoff und Kraft". — Niinpä
niinkin, — vastasi Arkâdi hyväksyvästi. — "Stoff und Kraft" on
kirjoitettu kansantajuisesti…
* * * * *
— Ja niinpä, näetkös meistä, sinusta ja minusta, — puheli samana
päivänä iltapuoleen Nikolai Petrôwitsh veljelleen, istuen hänen
kabinetissansa, — meistä tuli kuin tulikin virkaheitot, ja laulettu se
on loppuun meidän laulummekin: No niin. Oikeassa kenties Bazârow
onkin. Mutta yksi asia minusta sentään tuntuu katkeralta: minä
toivoin näet, että nythän minä pääsen oikein sydämellisen

ystävyyden kannalle Arkâdin kanssa, mutta näyttääkin siltä, että
minä olen jäänyt jälkeen ja hän mennyt eteenpäin; emme me enää
voi ymmärtää toisiamme.
— Milläs tavoin hän sitten on mennyt eteenpäin? Ja missäs hän on
niin paljoa etevämpi meitä? — huudahti Pâvel Petrôwitsh
maltittomasti. — Sen kaiken on hänelle ajanut päähän tuo signor,
tuo nihilisti. Min'en voi sietää tuota puoskaria; hän on minun
mielestäni ilmeinen charlataani; minä olen varma siitä, ett'ei hän
kaikkine sammakoineenkaan ole kovin pitkällä luonnontieteissä.
— Älä, veikkonen, sano niin; Bazârow on älykäs mies, ja tietoja on
hänellä paljon.
— Ja niin inhottavan itserakas, — keskeytti jälleen Pâvel
Petrôwitsh.
— Totta kyllä, — virkkoi Nikolai Petrôwitsh, — itserakas hän on,
mutta eipä sitä vailla näy saattavan olla. Yksi asia kumminkin on,
jota en saa päähäni. Minähän luullakseni teen kaikki, jott'en jäisi
ajastani jälkeen: olen järjestänyt alustalaisteni olot, olen pannut
kuntoon farmin, niin että minua jo yli koko läänin sanotaan
punaiseksi; minä luen, hankin tietoja, koetan ylipäänsä päästä
tasakannalle nykyaikaisten vaatimusten kanssa, — mutta nyt minulle
sanotaan, että minun lauluni on laulettu loppuun. Alanpa, veli hyvä,
itsekin jo olla sitä mieltä, että eiköhän jo lienekin tuo laulu loppuun
laulettu.
— Kuinka niin?
— Niinpä niin. Tänään esimerkiksi olin lukemassa Púshkinia.
"Mustalaiset" muistaakseni sattui siinä eteeni… Äkkiä astuu Arkâdi

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Classical General Equilibrium Theory Mckenzie Lionel W

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Classical General Equilibrium Theory Mckenzie Lionel W

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79