Combinatoria: conceptos y ejercicios resueltos

Conceptos fundamentales y ejemplos resueltos de ejercicios de combinatoria: variaciones, permutaciones, combinaciones (y sin repetición)

1. COMBINATORIA Matemáticas ESO

2. Diagrama de árbol… ¿Y si se pueden repetir las cifras? 123 132 213 231 312 321 ¿Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse con los dígitos 1, 2,3 sin repetir cifras?

3. Entre los 5 jugadores de un equipo elijo a 2 para que recojan los balones ¿cuántas elecciones diferentes puedo hacer? ¿En qué se diferencia este caso de los anteriores? ¿ Q ué información necesito para responder a estas preguntas sobre agrupaciones? Número de elementos en cada grupo  Orden Número de elementos de los que dispongo  Base ¿Se puede repetir los elementos? ¿Importa el orden? (¿ABC= CBA?) COMBINATORIA

4. ¿Cuántas palabras de tres letras pueden formarse? (alfabeto de 25 letras) ¿De cuántas formas diferentes puede quedar la clasificación de la liga de fútbol? ¿ C uántas “manos de cinco cartas” diferentes pueden repartirse con una baraja de póker? ¿Cuántas de ellas son póker (cuatro cartas iguales? ¿ Diagramas de árbol? ¡No! COMBINATORIA

5. COMBINATORIA Estudia los grupos distintos que pueden formarse con elementos de un conjunto dado Permite realizar esos cálculos de modo sistemático Aplicación en: Probabilidad Estadística Organización empresarial Optimización de procesos (ingeniería) Juegos de azar ….

6. Serán casos distintos en función de: ¿Importa el orden de los elementos? Nº de elementos en cada grupo Número de elementos disponibles ¿Se pueden repetir los elementos?

7. Casos que estudiaremos Variaciones - Sin repetición - Con repetició n Permutaciones - Sin repetición - Con repetición Combinaciones - Sin repetición - Con repetición

8. Variaciones sin repetición Variaciones ordinarias Ej : Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4 sin repetir ninguna Sí importa el orden (123  no es igual que 213) Proceso de formación…. Regla de la multiplicación…

9. Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4 sin repetir ninguna Nº de elementos: Nº elementos por grupo: ¿Importa el orden? ¿Se pueden repetir?     Variaciones sin repetición 4 3 Sí No Variaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3

10. Dispongo de m elementos Grupos de n elementos No se pueden repetir El orden importa Los grupos se diferencian unos de otros en los elementos que los componen o en el orden de colocación de los mismos Variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n   Variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n (variaciones ordinarias) Las variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n se calculan por el producto de n factores enteros consecutivos y decrecientes siendo el primero de ellos m y el último (m-n+1)

11.   Variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n (variaciones ordinarias) Las variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n se calculan por el producto de n factores enteros consecutivos y decrecientes siendo el primero de ellos m y el último (m-n+1)  

12. ¿Cuántas palabras de 3 letras (con o sin significado) pueden formarse con las letras de la palabra TEJAS sin repetir ninguna letra? ¿De cuántas formas diferentes pueden entregarse las medallas en la final olímpica de 100 m lisos (8 participantes)? Piensa ejemplos y resuélvelos

13. V 5,5 = 5 .4 . 3 .2 . 1 C uando m y n son iguales , se toman todos los elementos, solo cambia el orden de los elementos… ¿De cuántas formas distintas puede quedar la clasificación de una carrera si participan 5 personas? Permutaciones Los grupos se forman cambiando la posición “ permutando ” los elementos ABCDE , ACBDE, EDCBA…. Nº de elementos: Nº elementos por grupo: ¿Importa el orden? ¿Se pueden repetir? 5 5 Sí N o

14.   P ermutaciones Las Permutaciones sin repetición de m elementos se calculan por el producto de todos los factores enteros consecutivos y decrecientes siendo el primero de ellos m y el último 1   Los grupos solo se diferencian unos de otros en la posición de los elementos

15. Factorial de un número 6!     Muy importante Por convenio: 1! = 1 0! = 1 Factorial de un número entero m es igual a ….

16. ¿De cuántas formas puede quedar la clasificación de la liga de fútbol (20 equipos)? Piensa ejemplos y resuélvelos 2,43 . 10 18   Nº de elementos: Nº elementos por grupo: ¿Importa el orden? ¿Se pueden repetir? 20 20 Sí N o

17. Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, (si puedo repetir los números) Nº de elementos: Nº elementos por grupo: ¿Importa el orden? ¿Se pueden repetir?   n   Variaciones con repetición 4 3 Sí Sí Variaciones con repetición de 4 elementos tomados de 3 en 3 Proceso de formación…

18. ¿ C uántas palabras de cinco letras pueden formarse usando las letras A, B? Piensa ejemplos y resuélvelos Nº de elementos: Nº elementos por grupo: ¿Importa el orden? ¿Se pueden repetir? 2 5 Sí Sí Variaciones con repetición de 2 elementos tomados de 5 en 5  

19. Nº de elementos: Nº elementos por grupo: ¿Importa el orden? ¿Se pueden repetir? Permutaciones con repetición 5 5 Sí Sí** Permutaciones con repetición Proceso de formación… ¿ C uántas palabras de cinco letras formarse usando tres veces la letra A y dos veces la B?

20. = 10   ( a+b+c =m)  

21. De un grupo de cinco, selecciono 3 personas para realizar un trabajo Nº de elementos: Nº elementos por grupo: ¿Importa el orden? ¿Se pueden repetir? Combinaciones 5 3 NO No Combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 Proceso de formación… Combinaciones no importa el orden

22. De un grupo de cinco, selecciono 3 personas para realizar un trabajo Combinaciones Combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 A B C D E A B C A B D A B E A C D A C E A D E B C D B C E B D E C D E Los grupos se diferencian unos de otros solo en los elementos que los componen El orden no influye 10 Combinaciones

23. Combinaciones Combinaciones de m elementos tomados de n en      

24. 4 personas llegan a una reunión y todos se saludan entre sí ¿Cuántos saludos se producen? Nº de elementos: Nº elementos por grupo: ¿Importa el orden? ¿Se pueden repetir? 4 2 No No 6   Combinaciones

25. Combinaciones frente a Variaciones ¿Influye el orden?      

26. En un tren hay personas de tres países diferentes. Se selecciona a 6 para realizar una encuesta ¿de cuántas formas diferentes pueden resultar las nacionalidades de los seleccionados? Nº de elementos: Nº elementos por grupo: ¿Importa el orden? ¿Se pueden repetir? Combinaciones con repetición m =3 n=6 No Combinaciones con repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3 Combinaciones con repetición no importa el orden, se pueden repetir Sí A A B C C C A A B B B C B B B C C C …..

27. Combinaciones con repetición En un tren hay personas de tres países diferentes. Se selecciona a 6 para realizar una encuesta ¿de cuántas formas diferentes pueden resultar las nacionalidades de los seleccionados?     Nº de elementos: m=3 Nº element por grupo: n=6 ¿Importa el orden? No ¿Se pueden repetir? Sí

28. Quieres llevar música en tu teléfono, de tus 6 discos solo te entran 3 ¿de cuántas formas puedes hacerlo? El entrenador de baloncesto tiene 10 jugadores y debe poner a 5 a jugar ¿Cuántas alineaciones diferentes puede hacer? ¿De cuántas formas se pueden ordenar 5 personas en cinco sillas? Tienes 3 camisas 4 pantalones y 2 pares de zapatos ¿De cuantas formas diferentes puedes vestirte? (te debes poner una camisa, un pantalón y unos zapatos) ¿Cuántos números de 3 cifras puedes hacer con los número 0, 1, 2, 3, 4, 5? No pueden repetirse Pueden repetirse Puedes comprar cinco de los 8 juegos que hay disponibles en una tienda ¿Cuántas compras diferentes puede hacer?

29. Resumen Combinatoria

30. Resumen Combinatoria