Complete Download Foundations of Signal Processing Martin Vetterli PDF All Chapters

Secure Foundations of Signal Processing Martin Vetterli with immediate download after payment at https://ebookgate.com/product/foundations-of-signal-processing-martin-vetterli. Browse more textbooks and ebooks in https://ebookgate.com Download full chapter PDF.

1. Visit https://ebookgate.com to download the full version and
explore more ebooks
Foundations of Signal Processing Martin Vetterli
_____ Click the link below to download _____
https://ebookgate.com/product/foundations-of-signal-
processing-martin-vetterli/
Explore and download more ebooks at ebookgate.com

2. Here are some recommended products that might interest you.
You can download now and explore!
Mathematical Foundations for Signal Processing
Communications and Networking 1st Edition Erchin Serpedin
(Editor)
https://ebookgate.com/product/mathematical-foundations-for-signal-
processing-communications-and-networking-1st-edition-erchin-serpedin-
editor/
ebookgate.com
DSP for MATLAB and LabVIEW I Fundamentals of Discrete
Signal Processing Synthesis Lectures on Signal Processing
Isen
https://ebookgate.com/product/dsp-for-matlab-and-labview-i-
fundamentals-of-discrete-signal-processing-synthesis-lectures-on-
signal-processing-isen/
ebookgate.com
The Digital Signal Processing Handbook Video Speech and
Audio Signal Processing 2nd Edition Vijay K. Madisetti
https://ebookgate.com/product/the-digital-signal-processing-handbook-
video-speech-and-audio-signal-processing-2nd-edition-vijay-k-
madisetti/
ebookgate.com
Information Fusion in Signal and Image Processing Digital
Signal and Image Processing 1st Edition Isabelle Bloch
https://ebookgate.com/product/information-fusion-in-signal-and-image-
processing-digital-signal-and-image-processing-1st-edition-isabelle-
bloch/
ebookgate.com

3. Multimedia Signal Processing Saeed V. Vaseghi
https://ebookgate.com/product/multimedia-signal-processing-saeed-v-
vaseghi/
ebookgate.com
Applications in Time Frequency Signal Processing
Electrical Engineering Applied Signal Processing Series
1st Edition Antonia Papandreou-Suppappola
https://ebookgate.com/product/applications-in-time-frequency-signal-
processing-electrical-engineering-applied-signal-processing-
series-1st-edition-antonia-papandreou-suppappola/
ebookgate.com
Digital Signal Processing 1st Edition J.S. Chitode
https://ebookgate.com/product/digital-signal-processing-1st-edition-j-
s-chitode/
ebookgate.com
Modern Digital Signal Processing 1st Edition Roberto
Cristi
https://ebookgate.com/product/modern-digital-signal-processing-1st-
edition-roberto-cristi/
ebookgate.com
Essentials of Digital Signal Processing 1st, draft Edition
B. P. Lathi
https://ebookgate.com/product/essentials-of-digital-signal-
processing-1st-draft-edition-b-p-lathi/
ebookgate.com

5. ThecoverillustrationcapturesanexperimentfirstdescribedbyIsaacNewtonin
Opticksin1730,showingthatwhitelightcanbesplitintoitscolorcomponentsand
thensynthesizedbackintowhitelight.Itisaphysicalimplementationofadecom-
positionofwhitelightintoitsFouriercomponents–thecolorsoftherainbow–
followedbyasynthesistorecovertheoriginal.

7. FoundationsofSignalProcessing
Thiscomprehensiveandengagingtextbookintroducesthebasicprinciplesandtech-
niquesofsignalprocessing,fromthefundamentalideasofsignalsandsystemstheory
to real-world applications.
•Introducesstudentstothepowerfulfoundationsofmodernsignalprocessing,
includingthebasicgeometryofHilbertspace,themathematicsofFouriertransforms,
and essentials of sampling, interpolation, approximation, and compression.
•Discussesissuesinreal-worlduseofthesetoolssuchaseffectsoftruncationand
quantization, limitations on localization, and computational costs.
•Includesover160homeworkproblemsandover220workedexamples,specifically
designedtotestandexpandstudents’understandingofthefundamentalsofsignal
processing.
•Accompaniedbyextensiveonlinematerialsdesignedtoaidlearning,including
Mathematica

resources and interactive demonstrations.
M ARTINVETTERLIisaProfessorofComputerandCommunicationSciencesatthe ´
Ecole
PolytechniqueF ´ed´ eraledeLausanne,andthePresidentoftheSwissNationalScience
Foundation. Hehasformerly heldpositionsat ColumbiaUniversityand theUniversity
of California,Berkeley, and hasreceived the IEEESignal Processing SocietyTechnical
AchievementAward(2001)andSocietyAward(2010).HeisaFellowoftheACM,
EURASIP,andtheIEEE,andisaThomsonReutersHighlyCitedResearcherin
Engineering.
J ELENAKOVA
ˇ
CEVI
´
CistheDavidEdwardSchrammProfessorandHeadofElectricaland
Computer Engineering,anda ProfessorofBiomedical Engineering,atCarnegie Mellon
University.ShehasbeenawardedtheBelgradeOctoberPrize(1986),theE.I.Jury
Award(1991)fromColumbiaUniversity,andthe2010PhilipL.DowdFellowshipat
CarnegieMellonUniversity.SheisaformerEditor-in-ChiefofIEEETransactionson
ImageProcessingand a Fellow of the IEEE and EURASIP.
V IVEKKGOY ALis anAssistantProfessorof Electrical andComputerEngineeringat Boston
University,andaformerEstherandHaroldE.EdgertonAssociateProfessorofElec-
tricalEngineeringattheMassachusettsInstituteofTechnology.Hehasbeenawarded
theIEEE SignalProcessing SocietyMagazineAward (2002)and theEliahuJury Award
(1998) fromthe University ofCalifornia, Berkeley, for outstandingachievement in sys-
tems, communications, control, and signal processing. He is a Fellow of the IEEE.

8. “FoundationsofSignalProcessingbyMartinVetterli,JelenaKovacevic,andVivekKGoyal
livesuptoitstitlebyprovidingathoroughtourofthesubjectmatterbasedonselectedtools
fromrealanalysiswhichallowsufficientgeneralitytodevelopthefoundationsoftheclassical
Fourier methods along with modern wavelet approaches. Akey distinction of the book isthe use
ofHilbertspaceideastoprovideageometricinterpretationandintuitionthatenhancesboththe
classicand modernapproachesby providingaunifiedview oftheirsimilarities andrelativemerits
inthemostimportantspecialcases.Manyofthespecificexamplesofsignalprocessingconsid-
ered can be viewed as examples of projections onto subspaces, whichyield immediate properties
anddescriptionsfromthe underlyingfundamentals.Thedevelopmentisbothpedagogicallyand
theoreticallysound,proceedingfromtheunderlyingmathematicsthroughdiscrete-timesystems
tothemorecomplicatedcontinuoustimesystemsintoawonderfullygeneralandenlightening
treatmentofsamplingandinterpolationoperations connectingdiscreteandcontinuoustime.All
of theimportantsignalclassesare consideredandtheirbasicpropertiesandinterrelationsdevel-
opedandsummarized.Thebookthendevelopsimportanttopicsnotordinarilyfoundinsignal
processingtexts–theaccuracyofapproximationsinvolvingthetruncationofseriesexpansions
andthequantizationofseriescoefficients,andthelocalizationofsignalsinthetime-frequency
plane.
The completenessofthe bookresultsinalengthyvolumeofroughly800pages,butit iseasy
tonavigatetoextractportionsofinterestwhilesavingthemanybywaysandspecialtopicsfor
futurereference.Thechapterintroductionsareparticularlygoodatsettingthestageinasimple
butinformativecontextandthensketchingthedetailstocomefortheremainderofthechapter.
Eachchaptercloses witha‘Chapterataglance’section highlightingtheprimaryideasandresults.
Thebookwillbeawelcomeadditiontothelibraryofstudents,practitioners,andresearchersin
signal processing for learning, reviewing,and referencing thebroad array oftools andproperties
now available to analyze, synthesize, and understand signal processing systems.”
RobertM.Gray,StanfordUniversityandBostonUniversity
“Finallya wonderfuland accessiblebook forteaching modernsignalprocessing toundergraduate
students.”
St´ ephaneMallat,
´
EcoleNormaleSup ´erieure
“This is amajorbookabout aserioussubject–the combinationofengineeringand mathematics
thatgoesintomodernsignalprocessing:discretetime,continuoustime,sampling,filtering,and
compression. The theory is beautiful and the applications are so important and widespread.”
GilStrang,MassachusettsInstituteofTechnology
“Thisbook(FSP)anditscompanion(FWSP)bringarefreshingnew,andcomprehensiveapproach
toteachingthefundamentalsofsignalprocessing,fromanalysisanddecompositions,tomulti-
scalerepresentations,approximations,andmanyotheraspectsthathaveatremendousimpact
inmoderninformationtechnology.Whereasclassicaltextswereusuallywrittenforstudentsin
electricalorcommunicationengineeringprograms,FSPandFWSPstartfrombasicconceptsin
algebraandgeometry,withthebenefitofbeingeasilyaccessibletoamuchbroadersetofread-
ers, and also help those readersdevelop strong abstractreasoning and intuitionabout signals and
processing operators. A must-read!”
RicoMalvar,MicrosoftResearch
“Thisisawonderfulbookthatconnectstogetheralltheelementsofmodernsignalprocessing.
Fromfunctionalanalysisandprobabilitytheory,tolinearalgebraandcomputationalmethods,
it’s allhere andseamlesslyintegrated,alongwithasummaryof historyanddevelopmentsinthe
field. A real tour-de-force, and a must-have on every signal processor’s shelf!”
RobertD.Nowak,UniversityofWisconsin–Madison

9. “Mostintroductorysignalprocessingtextbooksfocusonclassicaltransforms,andstudyhow
these canbe used.Instead, FoundationsofSignalProcessingencourages readersto thinkof sig-
nals first. It developsa ’signal-centric’ view, onethat focuses onsignals, theirrepresentation and
approximation, through theintroduction of signal spaces.Unlike most entry-level signalprocess-
ingtexts,thisgeneralview,whichcanbeappliedtomanydifferentsignalclasses,isintroduced
right atthebeginning. Fromthis,startingfrombasic concepts,andplacinganemphasis onintu-
ition, this book developsmathematical tools thatgive the readersa freshperspective on classical
results,whileprovidingthem withthetoolstounderstandmanystate-of-the-artsignalrepresen-
tation techniques.”
AntonioOrtega,UniversityofSouthernCalifornia
“Foundationsof SignalProcessingby Vetterli,Kova ˇcevi´ c,and Goyal,is apleasureto read.Draw-
ing onthe authors’richexperience ofresearchand teachingof signalprocessingand signalrep-
resentations, itprovidesanintellectuallycohesiveandmodernviewofthesubjectfrom the geo-
metric pointofviewofvectorspaces.EmphasizingHilbert spaces,wherefinetechnicalitiescan
be relegatedtobackstage,thistextbookstrikesan excellent balancebetween intuitionandmath-
ematical rigor, that will appeal to both undergraduate and graduate engineering students. The last
two chapters, on samplingand interpolation, and on localization and uncertainty, take full advan-
tageofthemachinerydevelopedinthepreviouschapterstopresentthesetwoveryimportant
topics ofmodernsignalprocessing,that previouslywere onlyfoundin specializedmonographs.
The explanations of advanced topics areexceptionally lucid, exposing the reader to the ideas and
thoughtprocesses behindtheresultsand theirderivation.Studentswill learnnotonlya substantial
bodyofknowledgeandtechniques,butalsowhythingswork,atadeeplevel,whichwillequip
themforindependentfurtherreadingandresearch.Ilookforwardtousingthistextinmyown
teaching.”
YoramBresler,UniversityofIllinoisatUrbana-Champaign

11. FoundationsofSignalProcessing
´ ´´

12. University Printing House, Cambridge CB2 8BS, United Kingdom
Cambridge University Press is part of the University of Cambridge.
It furthers the University’s mission by disseminating knowledge in the pursuit of
education, learning and research at the highest international levels of excellence.
www.cambridge.org
Information on this title: www.cambridge.org/9781107038608
c M. Vetterli, J. Kova ˇcevi´c & V. K. Goyal 2014
This publication is in copyright. Subject to statutory exception
and to the provisions of relevant collective licensing agreements,
no reproduction of any part may take place without the written
permission of Cambridge University Press.
First published 2014
Printed and bound in the United Kingdom by TJ International Ltd. Padstow Cornwall
AcataloguerecordforthispublicationisavailablefromtheBritishLibrary
ISBN 978-1-107-03860-8 Hardback
Additional resources for this publication at www.cambridge.org/vetterli
and www.fourierandwavelets.org
Cambridge University Press has no responsibility for the persistence or accuracy of
URLs for external or third-party internet websites referred to in this publication,
and does not guarantee that any content on such websites is, or will remain,
accurate or appropriate.

13. ToMarie-Laure,forher∞patienceandmanyotherqualities,
ThomasandNo´emie,whomImightstillconvinceofthebeautyofthismaterial,
andmyparents,whogavemealltheopportunitiesonecanwishfor.
—MV
ToDanicaandGiovanni,whomakelifebeautiful.
Tomyparents,whomademewhoIam.
—JK
ToAllie,Sundeep,andmyfamily,whoencouragemeunceasingly,and
totheeducatorswhomademewanttobeoneofthem.
—VKG

15. Contents
Quickreference page
Acknowledgments xxiii
Preface xxv
1Onrainbowsandspectra 1
2FromEuclidtoHilbert 9
2.1Introduction 10
2.2Vectorspaces 18
2.2.1Definitionandproperties 18
2.2.2Innerproduct 23
2.2.3Norm 27
2.2.4Standardspaces 30
2.3Hilbertspaces 35
2.3.1Convergence 36
2.3.2Completeness 37
2.3.3Linearoperators 40
2.4Approximations,projections,anddecompositions 50
2.4.1Projectiontheorem 51
2.4.2Projectionoperators 54
2.4.3Directsumsandsubspacedecompositions 60
2.4.4Minimummean-squarederrorestimation 63
2.5Basesandframes 69
2.5.1BasesandRieszbases 69
2.5.2Orthonormalbases 76
2.5.3Biorthogonalpairsofbases 86
2.5.4Frames 101
2.5.5Matrixrepresentationsofvectorsandlinearoperators 109
2.6Computationalaspects 119
2.6.1Cost,complexity,andasymptoticnotations 120
2.6.2Precision 123
2.6.3Conditioning 126
2.6.4Solvingsystemsoflinearequations 129
2.AElementsofanalysisandtopology 135
2.A.1Basicdefinitions 135
xi
xvii

16. xii Contents
2.A.2Convergence 136
2.A.3Interchangetheorems 138
2.A.4Inequalities 139
2.A.5Integrationbyparts 140
2.BElementsoflinearalgebra 141
2.B.1Basicdefinitionsandproperties 141
2.B.2Specialmatrices 147
2.CElementsofprobability 151
2.C.1Basicdefinitions 151
2.C.2Standarddistributions 154
2.C.3Estimation 155
2.DBasisconcepts 159
Chapterataglance 161
Historicalremarks 162
Furtherreading 162
Exerciseswithsolutions 163
Exercises 169
3Sequencesanddiscrete-timesystems 181
3.1Introduction 182
3.2Sequences 185
3.2.1Infinite-lengthsequences 185
3.2.2Finite-lengthsequences 192
3.2.3Two-dimensionalsequences 193
3.3Systems 195
3.3.1Discrete-timesystemsandtheirproperties 195
3.3.2Differenceequations 202
3.3.3Linearshift-invariantsystems 205
3.4Discrete-timeFouriertransform 216
3.4.1DefinitionoftheDTFT 216
3.4.2ExistenceandconvergenceoftheDTFT 218
3.4.3PropertiesoftheDTFT 221
3.4.4Frequencyresponseoffilters 227
3.5z-transform 233
3.5.1Definitionofthez-transform 234
3.5.2Existenceandconvergenceofthez-transform 235
3.5.3Propertiesofthez-transform 240
3.5.4z-transformoffilters 249
3.6DiscreteFouriertransform 252
3.6.1DefinitionoftheDFT 252
3.6.2PropertiesoftheDFT 255
3.6.3Frequencyresponseoffilters 259
3.7Multiratesequencesandsystems 264
3.7.1Downsampling 265
3.7.2Upsampling 268
3.7.3Combinationsofdownsamplingandupsampling 270
3.7.4Combinationsofdownsampling,upsampling,andfiltering 272
3.7.5Polyphaserepresentation 278
3.8Stochasticprocessesandsystems 285
3.8.1Stochasticprocesses 285

17. Contents
3.8.2Systems 288
3.8.3Discrete-timeFouriertransform 292
3.8.4Multiratesequencesandsystems 294
3.8.5Minimummean-squarederrorestimation 300
3.9Computationalaspects 303
3.9.1FastFouriertransforms 303
3.9.2Convolution 307
3.9.3Multirateoperations 311
3.AElementsofanalysis 313
3.A.1Complexnumbers 313
3.A.2Differenceequations 315
3.A.3Convergenceoftheconvolutionsum 316
3.A.4Diracdeltafunction 316
3.BElementsofalgebra 318
3.B.1Polynomials 318
3.B.2Vectorsandmatricesofpolynomials 321
3.B.3Kroneckerproduct 324
Chapterataglance 325
Historicalremarks 328
Furtherreading 328
Exerciseswithsolutions 329
Exercises 336
4Functionsandcontinuous-timesystems 343
4.1Introduction 344
4.2Functions 345
4.2.1Functionsontherealline 345
4.2.2Periodicfunctions 351
4.3Systems 351
4.3.1Continuous-timesystemsandtheirproperties 352
4.3.2Differentialequations 355
4.3.3Linearshift-invariantsystems 355
4.4Fouriertransform 359
4.4.1DefinitionoftheFouriertransform 359
4.4.2ExistenceandinversionoftheFouriertransform 360
4.4.3PropertiesoftheFouriertransform 365
4.4.4Frequencyresponseoffilters 373
4.4.5Regularityandspectraldecay 374
4.4.6Laplacetransform 379
4.5Fourierseries 380
4.5.1DefinitionoftheFourierseries 381
4.5.2ExistenceandconvergenceoftheFourierseries 383
4.5.3PropertiesoftheFourierseries 385
4.5.4Frequencyresponseoffilters 394
4.6Stochasticprocessesandsystems 395
4.6.1Stochasticprocesses 395
4.6.2Systems 397
4.6.3Fouriertransform 399
Chapterataglance 401
Historicalremarks 403
xiii

18. Contents
Furtherreading 403
Exerciseswithsolutions 404
Exercises 406
5Samplingandinterpolation 411
5.1Introduction 412
5.2Finite-dimensionalvectors 420
5.2.1Samplingandinterpolationwithorthonormalvectors 421
5.2.2Samplingandinterpolationwithnonorthogonalvectors 425
5.3Sequences 429
5.3.1Samplingandinterpolationwithorthonormalsequences 430
5.3.2Samplingandinterpolationforbandlimitedsequences 437
5.3.3Samplingandinterpolationwithnonorthogonalsequences 442
5.4Functions 447
5.4.1Samplingandinterpolationwithorthonormalfunctions 449
5.4.2Samplingandinterpolationforbandlimitedfunctions 452
5.4.3Samplingandinterpolationwithnonorthogonalfunctions 470
5.5Periodicfunctions 477
5.5.1Samplingandinterpolationwithorthonormalperiodicfunctions477
5.5.2Samplingandinterpolationforbandlimitedperiodicfunctions 481
5.6Computationalaspects 489
5.6.1Projectionontoconvexsets 491
Chapterataglance 496
Historicalremarks 498
Furtherreading 498
Exerciseswithsolutions 499
Exercises 503
6Approximationandcompression 507
6.1Introduction 508
6.2Approximationoffunctionsonfiniteintervalsbypolynomials 513
6.2.1Least-squaresapproximation 514
6.2.2Lagrangeinterpolation: Matchingpoints 517
6.2.3Taylorseriesexpansion:Matchingderivatives 520
6.2.4Hermiteinterpolation:Matchingpointsandderivatives 522
6.2.5Minimaxpolynomialapproximation 523
6.2.6Filterdesign 529
6.3Approximationoffunctionsbysplines 537
6.3.1Splinesandsplinespaces 538
6.3.2Basesforuniformsplinespaces 541
6.3.3Strang–Fixconditionforpolynomialrepresentation 548
6.3.4Continuous-timeoperatorsinsplinespacesimplementedwithdiscrete-
timeprocessing 554
6.4Approximationoffunctionsandsequencesbyseriestruncation 560
6.4.1Linearandnonlinearapproximations 560
6.4.2Linearapproximationofrandomvectorsandstochasticprocesses566
6.4.3Linearandnonlineardiagonalestimators 571
6.5Compression 576
6.5.1Losslesscompression 577
6.5.2Scalarquantization 579
xiv

19. Contents xv
6.5.3Transformcoding 584
6.6Computationalaspects 591
6.6.1Huffmanalgorithmforlosslesscodedesign 591
6.6.2Iterativedesignofquantizers 593
6.6.3Estimatingfromquantizedsamples 594
Chapterataglance 597
Historicalremarks 598
Furtherreading 599
Exerciseswithsolutions 600
Exercises 606
7Localizationanduncertainty 615
7.1Introduction 616
7.2Localizationforfunctions 619
7.2.1Localizationintime 620
7.2.2Localizationinfrequency 622
7.2.3Uncertaintyprincipleforfunctions 624
7.3Localizationforsequences 627
7.3.1Localizationintime 629
7.3.2Localizationinfrequency 630
7.3.3Uncertaintyprincipleforsequences 633
7.3.4Uncertaintyprincipleforfinite-lengthsequences 637
7.4Tilingthetime–frequencyplane 638
7.4.1Localizationforstructuredsetsoffunctions 638
7.4.2Localizationforstructuredsetsofsequences 640
7.5ExamplesoflocalFourierandwaveletbases 645
7.5.1LocalFourierandwaveletbasesforfunctions 645
7.5.2LocalFourierandwaveletbasesforsequences 651
7.6Recapandaglimpseforward 656
7.6.1Tools 657
7.6.2Adaptingtoolstoreal-worldproblems 658
7.6.3Musicanalysis,communications,andcompression 659
Chapterataglance 666
Historicalremarks 667
Furtherreading 667
Exerciseswithsolutions 668
Exercises 671
Imageandquoteattribution 673
References 675
Index 681

21. Quickreference
Abbreviations
AR Autoregressive
ARMA Autoregressivemovingaverage
AWGN AdditivewhiteGaussiannoise
BIBO Boundedinput,boundedoutput
CDF Cumulativedistributionfunction
DCT Discretecosinetransform
DFT DiscreteFouriertransform
DTFT Discrete-timeFouriertransform
DWT Discretewavelettransform
FFT Fast Fourier transform
FIR Finiteimpulseresponse
i.i.d. Independentandidenticallydistributed
IIR Infiniteimpulseresponse
KLT Karhunen–Lo`evetransform
LMMSELinearminimummean-squarederror
LPSV Linearperiodicallyshift-varying
LSI Linearshift-invariant
MA Movingaverage
MAP Maximumaposterioriprobability
ML Maximumlikelihood
MMSE Minimummean-squarederror
MSE Mean-squarederror
PDF Probabilitydensityfunction
PMF Probabilitymassfunction
POCS Projectionontoconvexsets
rad Radians
ROC Regionofconvergence
SNR Signal-to-noiseratio
SVD Singularvaluedecomposition
WSCS Wide-sensecyclostationary
WSS Wide-sensestationary
Abbreviationsusedintablesandcaptionsbutnotinthetext
FT Fouriertransform
FS Fourierseries
LT Laplacetransform
xvii

22. xviii Quickreference
Sets
naturalnumbers N 01,,...
integers Z ...,−101,,,...
positiveintegers Z
+
12,,...
rationalnumbers Q Zp/q,p,q∈,q=0
realnumbers R ( )−∞,∞
positiverealnumbers R
+
(0,∞)
complexnumbers C a+jborre
jθ
witha,b,r,θ∈R
agenericindexset I
agenericvectorspace V
agenericHilbertspace H
closureofsetS S
Realandcomplexanalysis
sequence x
n
argumentnisaninteger,n∈Z
function xt() argumenttiscontinuous-valued,t∈R
orderedsequence (x
n
)
n
setcontainingx
n
{x
n
}
n
vectorxwithx
n
aselements [x
n
]
Kroneckerdeltasequence δ
n
δ
n
=1for=0;n δ
n
=0otherwise
Diracdeltafunction δt()

∞
−∞
xtδt x x()()dt=(0)forcontinuousat0
indicatorfunctionofintervalI1
I
1
I
(t)=1fortI∈;1
I
(t)=0otherwise
integrationbyparts

udv=uv−

vdu
complexnumber z a+,jbre
jθ
, , 2)a,b∈Rr∈[0,∞),θ∈[0,π
conjugation z
∗
a−jb,re
−jθ
realpartof · () (+ajb)=a,a,b∈R
imaginarypartof · () (+ajb)=b,a,b∈R
conjugationofcoefficients X
∗
()z X
∗
(z
∗
)
principalrootofunity W
N
e
−j2π/N
Asymptoticnotation
bigO xOy∈()0≤x
n
≤γy
n
forallnn≥
0
;
somen
0
andγ>0
littleo xoy∈()0≤x
n
≤γy
n
forallnn≥
0
;
somen
0
,anyγ>0
Omega x∈Ω(yx)
n
≥γy
n
forallnn≥
0
;
somen
0
andγ>0
Theta x∈Θ(yxOy) ∈()andx∈Ω(y)
asymptoticequivalence xy lim
n→∞
x
n
/y
n
=1

23. Quickreference xix
Standardvectorspaces
Hilbertspaceofsquare-summable
sequences

2
()Z

x:ZC→






n
|x
n
|
2
<∞

with
innerproductx,y=

n
x
n
y
∗
n
Hilbertspaceofsquare-integrable
functions
L
2
()R

x:RC→





||xt()
2
dt<∞

with
innerproductx,y=

xtyt()()
∗
dt
normedvectorspaceofsequences
withfinite
p
norm,1≤ ∞p<

p
()Z

x:ZC→






n
|x
n
|
p
<∞

with
normx
p
=

n
|x
n
|
p

1/p
normedvectorspaceoffunctions
withfiniteL
p
norm,1≤ ∞p<
L
p
()R

x:RC→





||xt()
p
dt<∞

with
normx
p
=

||xt()
p
dt

1/p
normedvectorspaceofbounded
sequenceswithsupremumnorm

∞
()Z

x:ZC→




sup
n
|x
n
|∞<

with
normx
∞
=sup
n
|x
n
|
normedvectorspaceofbounded
functionswithsupremumnorm
L
∞
()R

x:RC→




esssup
t
||∞xt()<

with
normx
∞
=esssup
t
||xt()
Basesandframesforsequences
standardbasis {e
k
} e
k,n
=1fornke=;
k,n
=0otherwise
vector,elementofbasisorframe ϕ whenapplicable,a vector
basisorframe Φ setofvectors{ϕ
k
}
operator Φ concatenationof{ϕ
k
}inalinear
operator: [ϕ
0
ϕ
1
... ϕ
N−1
]
vector,elementofdualbasisorframeϕ whenapplicable,a vector

Φ setofvectors{ϕ
k
}
operator

Φ concatenationof{ϕ
k
}inalinear
operator: [ϕ
0
ϕ
1
...ϕ
N−1
]
expansionwithabasisorframe x=Φ

Φ
∗
x

24. xx Quickreference
Discrete-timesignalprocessing
x
n
signal,vector
linear hx∗

k∈
x
k
h
nk−
circular
(N-periodicsequences)
hx
N−1

k=0
x
k
h
(nk−)modN
( )hx∗
n
convolutionresultatn
v
n
eigenvector
infinitetime v
n
=e
jωn
hvHe∗=(
jω
)v
finitetime v
n
=e
j2πkn/N
hvH=
k
v
eigenvaluecorrespondingtov
n
infinitetime He(
jω
)

n∈
h
n
e
−jωn
finitetime H
k
N−1

n=0
h
n
e
−j2πkn/N
=
N−1

n=0
h
n
W
kn
N
Continuous-timesignalprocessing
xt() signal
linear hx∗

∞
−∞
xτhtτ()(−)dτ
circular
(T-periodicfunctions)
hx

T/2
−T/2
xτhtτ()(−)dτ
(hx∗)(t) convolutionresultatt
vt() eigenvector
infinitetime vt()=e
jωt
hvHωv∗=()
finitetime vt()=e
j2πkt/T
hvH=
k
v
eigenvaluecorrespondingtovt()
infinitetime Hω()

∞
−∞
hte()
−jωt
dt
finitetime H
k

T/2
−T/2
hτe()
−j2πkτ/T
dτ

25. Quickreference
Spectralanalysis
Fouriertransform xt()
FT
←→Xω Xω() ()=

∞
−∞
xte()
−jωt
dt
inverse xt()=
1
2π

∞
−∞
Xωe()
jωt
dω
Fourierseriescoefficients xt()
FS
←→X
k
X
k
=
1
T

T/2
−T/2
xte()
−j(2π/T)kt
dt
reconstruction xt()=

k∈
X
k
e
j(2π/T)kt
discrete-timeFouriertransformx
n
DTFT
←→Xe(
jω
) (Xe
jω
)=

n∈
x
n
e
−jωn
inverse x
n
=
1
2π

π
−π
Xe(
jω
)e
jωn
dω
discreteFouriertransform x
n
DFT
←→X
k
X
k
=
N−1

n=0
x
n
W
kn
N
inverse x
n
=
1
N
N−1

n=0
X
k
W
−kn
N
z x-transform
n
ZT
←→Xz Xz() ()=

n∈
x
n
z
−n
xxi

27. Acknowledgments
Thisbookwouldnotexistwithoutthehelpofmanypeople,whomweattemptto
listbelow.Weapologizeforanyomissionsandwelcomecorrectionsandsuggestions.
WearegratefultoProfessorLiberoZuppiroliofEPFLandChristianeGrimm
forthe photograph that graces the cover;Professor Zuppiroli proposed anex-
perimentfromNewton’streatise, Opticks[70], asemblematicof thebook, and
Ms.Grimmbeautifullyphotographedtheapparatusthathedesigned.Fran¸coise
Behn,JocelynePlantefol,andJacquelineAeberhardtypedpartsofthemanuscript,
EricStrattmanassistedwithsomeofthefigures,KristaVanGuilderdesignedand
implemented the initialbook website,and JorgeAlbaladejo Pomaresdesigned
andimplementedthebookblog.Wethankthemfortheirdiligenceandpatience.
S.GraceChangandYannBarbotinhelpedorganizeandedittheproblemcompan-
ion,whilePatrickVandewalledesignedandimplementedanumberofMATLAB
R
problemsavailableonthebookwebsite.
1
Wethankthemfortheirexpertiseand
insight.WeareindebtedtoGeorgeBeckforhisMathematica
R
editorialcomments
onWolframDemonstrationsinspiredbythisbook.WearegratefultoGiovanni
Pacificiforthemanyusefulscriptsforautomatingvariousbook-writingprocesses.
WethankJohnCozzensoftheUSNationalScienceFoundationforhisunwavering
supportoverthelasttwodecades.AtCambridgeUniversityPress,StevenHolt
heldustohighstandardsinourwritingandtypesettingthroughmanycorrections
andsuggestions;ElizabethHorneandJonathanRatcliffecoordinatedproduction
expertly;and,lastbutnotleast,PhilMeylerrepeatedly(andmostgracefully)re-
mindedusofourdesiretofinishthebook.
Manyinstructorshavegamelytestedpre-alpha,alpha,andbetaversionsof
thismanuscript.Ofthese,AminaChebira,FilipeCondessa,MihailoKolundˇzija,
YueM.Lu,Truong-ThaoNguyen,RezaParhizkar,andJayakrishnanUnnikrishnan
havedonefarmorethantheirshareinprovidinginvaluablecommentsandsugges-
tions.WealsothankRobertGrayforreviewingthemanuscriptandprovidingmany
importantsuggestions,inparticularabetterapproachtocoveringtheDiracdelta
function;ThierryBlufor,amongotherthings,providingasimpleproofforapartic-
ularcaseoftheStrang–Fixtheorem;MatthewFickusforconsultingonsomefiner
mathematicalpoints;MichaelUnserforhisnotesandteachingapproach;andZoran
Cvetkovi´c,MinhN.Do,andPhilipSchniterforteachingwiththemanuscriptand
providingmanyconstructivecomments.Usefulcommentshavealsobeenprovided
1
http://www.fourierandwavelets.org
xxiii

28. xxiv Acknowledgments
byPedroAguilar,GaneshAjjanagadde,A.Avudainayagam,JerryBauch,Anirud-
dhaBhargava,OzanC¸aˇglayan,Andr´eTomazdeCarvalho,GustavoCorach,Todd
Doucet,S.Esakkirajan,Germ´anGonz´alez,AlexandreHaehlen,MinaKarzand,Ull-
richM¨onich,JuanPabloMuszkats,HosseinRouhani,NoahD.Stein,JohnZ.Sun,
ChristopheTournery,andLavR.Varshney.
MartinVetterlithankscurrentandformerEPFLgraduatestudentsandpost-
docswhohelpeddevelopthematerial,solveproblems,catchtypos,andsuggestim-
provements,amongotherthings.TheyincludeFlorenceB´en´ezit,AminaChebira,
MinhN.Do,IvanDokmani´c,PierLuigiDragotti,AliHormati,IvanaJovanovi´c,
MihailoKolundˇzija,J´erˆomeLebrun, YueM.Lu,PinaMarziliano,FritzMenzer,
RezaParhizkar,PaoloPrandoni,JuriRanieri,OlivierRoy,RahulShukla,Jayakr-
ishnanUnnikrishnan,PatrickVandewalleandVladanVelisavljevi´c.Hegratefully
acknowledgessupportfromEPFL,theSwiss NSFthroughawards2000-063664,
200020-103729,and200021-121935,andtheEuropeanResearchCouncilthrough
awardSPARSAM247006.Inaddition,thesupportfromQualcomm,inparticular
fromDr.ChongLee,isgratefullyacknowledged.
JelenaKovaˇcevi´cthanksherpresentandpastgraduatestudentsRamamurthy
Bhagavatula,AminaChebira,Kuan-ChiehJackieChen,SihengChen,FilipeCon-
dessa,CharlesJackson,XindianLong,MichaelT.McCann,AnupamaKuruvilla,
ThomasE.Merryman,VivekOak,AliakseiSandryhaila,andGowriSrinivasa,many
ofwhomservedasTAsforherclassesatCMU,togetherwithPabloHenningsYeo-
mans.ThanksareduealsotoallthestudentsinthefollowingclassesatCMU:
42-431/18-496,42-540/42-698,42-703/18-799,42-731/18-795,and42-732/18-790,
taughtfrom2003to2013. ShegratefullyacknowledgessupportfromtheUSNSF
throughawards1017278,1130616,515152,633775,and331657;theNIHthrough
awards EB008870, EB009875, and 1DC010283;the Carnegie Institute of Tech-
nologyatCMUthroughanInfrastructureforLarge-ScaleBiomedicalComputing
award; thePennsylvaniaState TobaccoSettlement, theKamlet–SmithBioinfor-
maticsGrant;andthePhilipandMarshaDowdTeachingFellowship.
VivekGoyalthanksTAsandstudentsatMITandBUforsuggestions,inpar-
ticularGiuseppeBombara,BarisErkmen,Ying-zongHuang,ZahiKaram,Ahmed
Kirmani,SrilalithaKumaresan,RankoSredojevi´c,RameshSridharan,Watchara-
panSuwansantisuk,VincentTan,ArchanaVenkataraman,AdamZelinski,andSer-
hiiZhak.HegratefullyacknowledgessupportfromtheUSNSFthroughawards
0643836, 0729069,1101147, 1115159,and 1161413;Texas Instruments through
itsLeadershipUniversityProgram;Hewlett–Packard; Qualcomm; Siemens; MIT
throughtheEstherandHaroldE.EdgertonCareerDevelopmentChair;andthe
CentreBernoulliofEPFL.

29. Preface
Ourmaingoalsinthisbookanditscompanionvolume,FourierandWaveletSignal
Processing(FWSP)[57],aretoenableanunderstandingofstate-of-the-artsignal
processingmethodsandtechniques,aswellastoprovideasolidfoundationforthose
hopingtoadvancethetheoryandpracticeofsignalprocessing.Webelievethatthe
bestwaytograspandinternalizethefundamentalconceptsinsignalprocessingis
throughthegeometryofHilbertspaces,asthisleveragesthegreatinnatehuman
capacityforspatialreasoning.Whileusinggeometryshouldultimatelysimplifythe
subject,theconnectionbetweensignalsandgeometryisnotinnate.Thereaderwill
havetoinvestefforttoseesignalsasvectorsinHilbertspacesbeforereapingthe
benefitsofthisview;webelievethatefforttobewellplaced.
Manyoftheresultsandtechniquespresentedinthetwovolumes,whilerooted
inclassicFouriertechniquesforsignalrepresentation,firstappearedduringaflurry
ofactivityinthe1980sand1990s.NewconstructionsoflocalFouriertransformsand
orthonormalwaveletbasesduringthatperiodweremotivatedbothbytheoretical
interestandbyapplications,multimediacommunicationsinparticular.Newbases
withspecifiedtime–frequencybehaviorwerefound,withimpactwellbeyondthe
originalfieldsofapplication. Areasasdiverseascomputergraphicsandnumerical
analysisembracedsomeofthenewconstructions–nosurprisegiventhepervasive
roleofFourieranalysisinscienceandengineering.
Manyofthesenewtoolsforsignalprocessingweredevelopedintheapplied
harmonicanalysiscommunity.Theresultinghighlevelofmathematicalsophistica-
tionwasabarriertoentryformanysignalprocessingpractitioners.Nowthatthe
dusthassettled,someofwhatwasnewandesoterichasbecomefundamental;we
wanttobringthesenewfundamentalstoabroaderaudience.TheHilbertspace
formalismgivesusawaytobeginwiththeclassicalFourieranalysisofsignalsand
systemsandreachstructuredrepresentationswithtime–frequencylocalityandtheir
variedapplications.Wheneverpossible,weuseexplanationsrootedinelementary
analysisoverthosethatwouldrequiremoreadvancedbackground(suchasmeasure
theory).Wehopetohavebalancedthecompetingvirtuesofaccessibilitytothe
student,rigor,andadequateanalyticalpowertoreachimportantconclusions.
Thebookcanbeusedasaself-containedtextonthefoundationsofsignal
processing,wherediscreteandcontinuoustimearetreatedonequalfooting.All
thenecessarymathematicalbackgroundisincluded,withexamplesillustratingthe
applicabilityoftheresults.Inaddition,thebookservesasaprecursortoFWSP,
whichreliesontheframeworkbuilthere;thetwobooksarethusintegrallyrelated.
xxv

30. xxvi Preface
FoundationsofSignalProcessingThisbookcoversthefoundationsforanin-
depthunderstandingofmodernsignalprocessing. Itcontainsmaterialthatmany
readersmayhaveseenbeforescatteredacrossmultiplesources,butwithoutthe
Hilbertspaceinterpretations,whichareessentialinsignalprocessing.Ouraimis
toteachsignalprocessingwithgeometry,thatis,toextendEuclideangeometricin-
sightstoabstractsignals;weuseHilbertspacegeometrytoaccomplishthat.With
thisapproach,fundamentalconcepts– suchaspropertiesof bases, Fourierrep-
resentations,sampling,interpolation,approximation,andcompression–areoften
unifiedacrossfinitedimensions,discretetime,andcontinuoustime,thusmaking
iteasiertopointoutthefewessentialdifferences.Unifyingresultsgeometrically
helpsgeneralizebeyondFourier-domaininsights,pushingtheunderstandingfarther,
faster.
Chapter2,FromEuclidtoHilbert,isourmainvehiclefordrawingoutunifying
commonalities;itdevelopsthebasicgeometricintuitioncentraltoHilbertspaces,
togetherwiththenecessarytoolsunderlyingtheconstructionsofbasesandframes.
Thenexttwochapterscoversignalprocessingondiscrete-timeandcontinuous-
timesignals,specializinggeneralconceptsfromChapter2.Chapter3,Sequences
anddiscrete-timesystems,isacrashcourseonprocessingsignalsindiscretetimeor
discretespacetogetherwithspectralanalysiswiththediscrete-timeFouriertrans-
formanddiscreteFouriertransform.Chapter4,Functionsandcontinuous-time
systems, is itscontinuous-time counterpart, includingspectralanalysiswith the
FouriertransformandFourierseries.
Chapter5,Samplingandinterpolation,presentsthecriticallinkbetweendis-
creteandcontinuousdomainsgivenbysamplingandinterpolationtheorems.Chap-
ter6,Approximationandcompression,veersfromexactrepresentationstoapprox-
imateones.Thefinalchapterinthebook,Chapter7,Localizationanduncertainty,
considerstime–frequencybehavioroftheabstractrepresentationobjectsstudied
thusfar.Italsodiscussesissuesarisinginapplicationsaswellaswaysofadapting
thepreviouslyintroducedtoolsforuseintherealworld.
FourierandWaveletSignalProcessingThecompanionvolumefocusesonsignal
representationsusinglocalFourier andwaveletbasesand frames.Itcoversthe
two-channelfilterbankindetail,andthenusesitastheimplementationvehicle
forallsequencerepresentationsthatfollow.ThelocalFourierandwaveletmethods
arepresentedside-by-side,withoutfavoringanyoneinparticular;thetruthisthat
eachrepresentationisatoolinthetoolboxofthepractitioner,andtheproblemor
applicationathandultimatelydeterminestheappropriateonetouse.Weendwith
examplesofstate-of-the-artsignalprocessingandcommunicationproblems,with
sparsityasaguidingprinciple.
TeachingpointsOuraimistopresentasynergisticviewofsignalrepresentations
andprocessing,startingfrombasicmathematicalprinciplesandgoingalltheway
toactualconstructionsofbasesandframes,alwayswithaneyeonconcreteapplica-
tions.Whilethebenefitisaself-containedpresentation,thecostisarathersizable
manuscript.Referencinginthemaintextissparse;pointerstothebibliographyare
giveninFurtherreadingattheendofeachchapter.

31. Preface xxvii
Thematerialgrewoutofteachingsignalprocessing,wavelets,andapplications
invarioussettings.Twoofus(MVandJK)authoredagraduatetextbook,Wavelets
and Subband Coding(originally withPrenticeHall in 1995,now open access ),
whichweandothersusedtoteachgraduatecoursesatvariousUSandEuropean
institutions.Withthematuringofthefieldandtheinterestarisingfromandfor
thesetopics,thetimewasrightforthethreeofustowriteentirelynewtextsgeared
towardabroaderaudience. Weandothershavetaughtwiththesebooks,intheir
entiretyorinparts,anumberoftimesandtoanumberofdifferentaudiences:from
seniorundergraduatetograduatelevel,andfromengineeringtomixesthatinclude
life-sciencestudents.
Thebooksandtheirwebsite provideanumberoffeaturesforteachingand
learning:
Exercisesareanintegralpartofthematerialandcomeintwoforms:solved
exerciseswithexplicitsolutionswithinthetext, andregularexercisesthat
allowstudentstotesttheirknowledge.Regularexercisesaremarkedwith ,
,or inincreasingorderofdifficulty.
Numerousexamplesillustrateconceptsthroughoutthebook.
Anelectronicversionofthetextisprovidedwiththeprintedcopy.Itincludes
PDFhyperlinksandanadditionalcolortoenhanceinterpretationoffigures.
Afree electronic versionofthe textwithout PDFhyperlinks, exercisesor
solvedexercises,andwithfiguresingrayscale,isavailableatthebookwebsite.
AMathematica
companion,whichcontainsthecodetoproduceallnumerical
figuresinthebook,isprovidedwiththeprintedversion.
SeveralinteractiveMathematica
demonstrationsusingthefreeCDFplayer
areavailableatthebookwebsite.
Additionalmaterial,suchaslectureslides,isavailableatthebookwebsite.
Toinstructors,weprovideaSolutionsManual,withsolutionstoallregular
exercisesinthebook.
NotationalpointsTotraversethebookefficiently,itwillhelptoknowthevarious
numberingconventionsthatwehaveemployed.Ineachchapter,asinglecounteris
usedfordefinitions,theorems,andcorollaries(whichareallshaded)andanother
forexamples(whichareslightlyindented).Equations,figures,andtablesarealso
numbered withineachchapter.A prefixE.– inthenumberof anequation,
figure,ortableindicatesthatitispartofSolvedExercise.inChapter.The
letterPisusedsimilarlyforstatementsofregularexercises.
MartinVetterli,JelenaKovaˇcevi´c,andVivekKGoyal

33. Chapter1
Onrainbowsandspectra
“Onecanenjoyarainbowwithoutnecessarilyforgettingthe
forcesthatmadeit.”
—MarkTwain
Inthelatethirteenthcentury,TheodoricofFreiberg,
aDominicanmonk, theologian,andphysicist,per-
formedasimpleexperiment:withhisbacktothesun,
heheldasphericalbottlefilledwithwaterinthesun-
light.Byfollowingthetrajectoryoftherefractedand
reflectedlightandhavingthebottleplaythesame
roleasasinglewaterdrop,hegaveascientificex-
planationofrainbows,includingsecondaryrainbows
withweaker,reversedcolors.Hisgeometricanaly-
sis,describedinhisfamoustreatiseDeiride(Onthe
Rainbow,c.1310),was“perhapsthemostdramaticdevelopmentoffourteenth-and
fifteenth-centuryoptics”[60].
TheodoricofFreibergfellshortofacompleteunderstandingoftherainbow
phenomenonbecause,likemanyofhiscontemporaries,hebelievedthatcolorswere
simplyintensitiesbetweenblackandwhite.Afullunderstandingemergedthree
hundredyearslaterwhenRen´eDescartesandIsaacNewtonexplainedthatdisper-
siondecomposeswhitelightintospectralcomponentsofdifferentwavelengths–the
colorsoftherainbow.In1730,Newton,inhislandmarkbookonoptics[70],de-
scribeswhatisoftencalledtheexperimentumcrucis(crucialexperiment)toprove
thatwhitelightcanbedecomposedintoconstituentcolorsandthenrecombined
intowhitelight.Thisexperimentisaphysicalimplementationofdecomposinglight
intoitsFouriercomponents–purefrequenciesorcolorsoftherainbow,followedby
asynthesistorecovertheoriginal;thecoverphotographofthebookdepictsthis
experiment.
4
Thisbitofhistoryevokestwocentralthemesofthisbook:geometricthinking
4
ThisisarealizationofFigure7inPartIIofNewton’sFirstBookofOpticks.
1

34. 2 Onrainbowsandspectra
isagreattoolindeducingexplanationsofphenomena; anddecomposinganen-
tityintoitsconstituentcomponentscanbeakeystepinunderstandingitsessential
character,aswellasanenablingtoolinmodifyingthesecomponentspriortorecom-
bination.Therainbow’sappearanceisexplainedbythefactthatsunlightcontains
acombinationofallwavelengthswithinthevisiblerange;separationofwhitelight
bywavelength,aswithaprism,enablesmodificationspriortorecombination.The
collectionofwavelengthsis,aswewillsee,thespectrum.
AFrenchphysicistandmathematician,JosephFourier,formalizedthenotion
ofthe spectrumintheearlynineteenthcentury.Hewasinterestedin theheat
equation–thedifferentialequationgoverningthediffusionofheat.Fourier’skey
insightwastodecomposeaperiodicfunctionxt()=xtT(+)intoaninfinitesumof
sinesandcosinesofperiodsT/k,k∈Z
+
. Sincethesesineandcosinecomponents
areeigenfunctionsoftheheatequation,thesolutionoftheproblemissimplified:one
cananalyzethedifferentialequationforeachcomponentseparatelyandcombinethe
intermediateresults,thankstothelinearityofthesystem.Fourier’sdecomposition
earnedhimacovetedprizefromtheFrenchAcademyofSciences,butwithamention
thathisworklackedrigor.Indeed,thequestionofwhichfunctionsadmitaFourier
decompositionisadeepone,andittookmanyyearstosettle.Fourier’sworkis
oneofthefoundationalblocksofsignalprocessingandattheheartofthepresent
bookaswellasitscompanionvolume[57].Fouriertechniqueshavebeenjoinedin
thepasttwodecadesbynewtoolssuchaswavelets,theotherpillarwecover.
SignalrepresentationsTheideaofadecompositionandapossiblemodificationin
thedecomposedstateleadstosignalrepresentations,wheresignalscanbesequences
(discretedomain)orfunctions(continuousdomain).SimilarlytowhatFourierdid,
whereheusedsinesand cosinesfordecomposition, wecan imagineusing other
functionswithparticularproperties.Callthesebasisvectorsanddenotethemby
ϕ
k
,k∈Z.Then
x=

k∈Z
X
k
ϕ
k
(1.1)
is calledan expansionofx with respect to {ϕ
k
}
k∈Z
,with {X
k
}the expansion
coefficients.
OrthonormalbasesWhenthebasisvectorsformanorthonormalset,thecoeffi-
cientsX
k
areobtainedfromthefunctionxandthebasisvectorsϕ
k
throughan
innerproduct
X
k
=x,ϕ
k
. (1.2)
Forexample,Fourier’sconstructionofaseriesrepresentationforperiodicfunctions
withperiodT=1canbewrittenas
xt()=

k∈Z
X
k
e
j2πkt
, (1.3a)
where
X
k
=

1
0
xte()
−j2πkt
dt. (1.3b)

35. 3
(a)
0
()=1. (b)
1
()=
2
. (c)
2
()=
4
.
ExampleFourierseriesbasisfunctionsfortheinterval[01).Realpartsare
shownwithsolidlinesandimaginarypartsareshownwithdashedlines.
Wecandefinebasisvectorsϕ
k
,k∈Z,ontheinterval[0,1),as
ϕ
k
(t)=e
j2πkt
, ,0≤t<1 (1.4)
andtheFourierseriescoefficientsas
X
k
=x,ϕ
k
=

1
0
xtϕ()
∗
k
()=tdt

1
0
xte()
−j2πkt
dt,
exactlythesameas(1.3b).Thebasisvectorsformanorthonormalset(thefirst
fewareshowninFigure1.1):
ϕ
k
,ϕ
i
=

1
0
e
j2πkt
e
−j2πit
dt=

1 =;,forik
0,otherwise.
(1.5)
WhiletheFourierseriesiscertainlyakeyorthonormalbasiswithmanyout-
standingproperties,otherbasesexist,someofwhichhavetheirownfavorableprop-
erties.Earlyinthetwentiethcentury,AlfredHaarproposedabasiswhichlooks
quitedifferentfromFourier’s.Itisbasedonafunctionψt()definedas
ψt()=
⎧
⎨
⎩
1,for0≤t<
1
2
;
−1,for
1
2
≤t<1;
0,otherwise.
(1.6)
Fortheinterval[0,1),wecanbuildanorthonormalsystembyscalingψt()bypowers
of2,andthenshiftingthescaledversionsappropriately,yielding
ψ
m,n
(t)=2
−m/2
ψ

tn−2
m
2
m

, (1.7)
withm∈{012,−,−,...}andn∈{01 2,,...,
−m
−}1(afewareshowninFig-
ure1.2).Itisquiteclearfromthefigurethatthevariousbasisfunctionsareindeed
orthogonaltoeachother,astheyeitherdonotoverlap,orwhentheydo,onechanges
signovertheconstantspanoftheother. Wewillspendaconsiderableamountof
timestudyingthissysteminthecompanionvolumetothisbook,[57].

36. 4 Onrainbowsandspectra
(a)
00 (). (b)
11
(). (c)
21
().
ExampleHaarseriesbasisfunctionsfortheinterval[01).Theprototype
functionis()=
00().
Whilethesystem(1.7)isorthonormal,itcannotbeabasisforallfunctionson
[0,1);forexample,therewouldbenowaytoreconstructaconstant1.Weremedy
thatbyaddingthefunction
ϕ
0
(t)=

1,for0≤t<1;
0,otherwise,
(1.8)
intothemix,yieldinganorthonormalbasisfortheinterval[0,1).Thisisavery
differentbasisfromtheFourierone;forexample,insteadofbeinginfinitelydiffer-
entiable,noψ
m,n
isevencontinuous.Wecannowdefineanexpansionasin(1.3),
xt()=x,ϕ
0
ϕ
0
(t)+
0

m=−∞
2 −1

n=0
X
m,n
ψ
m,n
()t, (1.9a)
where
X
m,n
=

1
0
xtψ()
m,n
()tdt. (1.9b)
Itisnaturaltoaskwhichbasisisbetter.Suchaquestiondoesnothavea
simpleanswer,andtheanswerwilldependontheclassoffunctionsorsequenceswe
wishtorepresent,aswellasourgoalsintherepresentation. Furthermore,wewill
havetobecarefulindescribingwhatwemeanbyequalityinanexpansionsuchas
(1.3a);otherwisewecouldbemisledthesamewayFourierwas.
ApproximationOnewaytoassessthequalityofabasisistoseehowwellitcan
approximateagivenfunctionwithafinitenumberofterms.Historyisagainen-
lightening. Fourierseriesbecamesuchausefultoolduringthenineteenthcentury
thatresearchersbuiltelaboratemechanicaldevicestocomputeafunctionbased
onFourierseriescoefficients.Theybuiltanalogcomputers,basedonharmonically
relatedrotatingwheels,whereamplitudesofFouriercoefficientscouldbesetand
thesumcomputed.Onesuchmachine,theHarmonicIntegrator,wasdesignedby
thephysicistsAlbertMichelsonandSamuelStratton,anditcouldcomputeaseries
with80terms.Tothedesigners’dismay,thesynthesisofasquarewavefromits
Fourierseriesledtooscillationsaroundthediscontinuitythatwouldnotgoaway

37. 5
(a)Serieswith9,65,and513terms. (b)Detailof(a).
Approximationsofaboxfunction(dashedlines)withaFourierseriesbasis
using9,65,and513terms(solidlines,fromlightesttodarkest). Theplotsillustratethe
Gibbsphenomenon–oscillationsthatdonotdiminishinamplitudewhenapproximating
adiscontinuousfunctionwithtruncatedFourierseries.
(a)Serieswith8,64,and512terms. (b)Detailof(a).
Approximationofaboxfunction(dashedlines)withaHaarbasisusingthe
first8(=012),64(=01 5),and512(=01 8),terms
(solidlines,fromlightesttodarkest),with=01 2
1. Thediscontinuityisat
theirrationalpoint1 2.
evenastheyincreasedthenumberofterms;theyconcludedthatamechanicalprob-
lemwasatfault. Notuntil1899,whenJosiahGibbsprovedthatFourierseriesof
discontinuousfunctionscannotconvergeuniformly,wasthismythdispelled.The
phenomenonwastermedtheGibbsphenomenon, referringtotheoscillationsap-
pearingaroundthediscontinuitywhenusinganyfinitenumberofterms.Figure1.3
showsapproximationsofaboxfunctionwithaFourierseriesbasis(1.3a)usingX
k
,
k K=−K,−+1,...,K−1,K.
SowhatwouldtheHaarbasisprovideinthiscase?Surely,itseemsmore
appropriateforaboxfunction.Unfortunately,takingthefirst2
−m
termsinthe
natural ordering(the termcorrespondingto thefunctionϕ
0
(t)plus2
−m
terms
correspondingtoeachscalem=0,,−1−2,...)leadstoasimilarlypoorperfor-
mance,showninFigure1.4.Thispoorperformanceisdependentonthepositionof
thediscontinuity;approximatingaboxfunctionwithadiscontinuityataninteger
multipleof2
−k
forsomek∈Zwouldleadtoamuchbetterperformance.
However,changingtheapproximationprocedureslightlymakesabigdiffer-

38. 6 Onrainbowsandspectra
(a)Serieswith8and15terms. (b)Detailof(a).
Approximationofaboxfunction(dashedlines)withaHaarbasisusingthe
8(light)and15(dark)largest-magnitudeterms.The15-termapproximationisvisually
indistinguishablefromthetargetfunction.
ence.Uponretainingthelargestcoefficientsinabsolutevalueinsteadofsimply
keepingafixedsetofterms,theapproximationqualitychangesdrastically,asseen
inFigure1.5.Inthisadmittedlyextremeexample,foreachm,thereisonlyonen
suchthatX
m,n
isnonzero(thatforwhichthecorrespondingHaarwaveletstraddles
thediscontinuity).Thus,approximatingusingcoefficientslargestinabsolutevalue
allowsmanymorevaluesofmtobeincluded.
Throughthiscomparison,wehaveillustratedhowthequalityofabasisfor
approximationcandependonthemethodofapproximation.Retainingapredefined
setofterms,asintheFourierexamplecase(Figure1.3)orthefirstHaarexample
(Figure1.4)iscalledlinearapproximation. Retaininganadaptivesetoftermsin-
stead,asinthesecondHaarexample(Figure1.5),iscallednonlinearapproximation
andleadstoasuperiorapproximationquality.
OverviewofthebookThepurposeofthisbookistodeveloptheframeworkfor
themethodsjustdescribed,namelyexpansionsandapproximations,aswellasto
showpracticalexampleswherethesemethodsareusedinengineeringandapplied
sciences.Inparticular,wewillseethatexpansionsandapproximationsareclosely
relatedtotheessentialsignalprocessingtasksofsampling,filtering,estimation,and
compression.
,introducesthebasicmachineryof
Hilbertspaces.Thesearevectorspacesendowedwithoperationsthatinduceintu-
itivegeometricproperties.Inthisgeneralsetting,wedevelopthenotionofsignal
representations,whichareessentiallycoordinatesystemsforthevectorspace.When
arepresentationiscompleteandnotredundant,itprovidesabasisforthespace;
whenitiscompleteandredundant,itprovidesaframeforthespace.Akeyvirtue
forabasisisorthonormality;itscounterpartforaframeistightness.
Chapters 3and4focus ourattentiononsequenceandfunctionspaces for
whichthedomaincanbeassociatedwithtime,leadingtoaninherentorderingnot
necessarilypresentinageneralHilbertspace.In
,avectorisasequencethatdependsondiscretetime,and
animportantclassoflinearoperatorsonthesevectorsisthosethatareinvariant

39. 7
totimeshifts;theseareconvolutionoperators.Theseoperatorsleadnaturallyto
signalrepresentationsusingthediscrete-timeFouriertransformand,forcircularly
extendedfinite-lengthsequences,thediscreteFouriertransform.
, parallelsChap-
ter3;avectorisnowafunctionthatdependsoncontinuoustime,andanimportant
classoflinearoperatorsonthesevectorsareagainthosethatareinvarianttotime
shifts;theseareconvolutionoperators.Theseoperatorsleadnaturallytosignalrep-
resentationsusingtheFouriertransformand,forcircularlyextendedfinite-length
functions,orperiodicfunctions,theFourierseries.ThefourFourierrepresentations
fromthesetwochaptersexemplifythediagonalizationoflinear,shift-invariantop-
erators,orconvolutions,inthevariousdomains.
,makes fundamentalconnec-
tions between Chapters3 and4.Associating adiscrete-timesequence witha
givencontinuous-timefunctionissampling,andtheconverseisinterpolation;these
arecentralconceptsinsignalprocessingsincedigitalcomputationsoncontinuous-
domainphenomenamustbeperformedinadiscretedomain.
,introducesmanytypesof
approximationsthatarecentraltomakingcomputationallypracticaltools.Ap-
proximationbypolynomialsandbytruncationsofseriesexpansionsarestudied,
alongwiththebasicprinciplesofcompression.
, introduces time, frequency,
scale, andresolutionproperties ofindividual vectors; these properties buildour
intuitionforwhatmightormightnotbecapturedbyasinglerepresentationcoeffi-
cient.Wethenstudythesepropertiesforsetsofvectorsusedtorepresentsignals.In
particular,timeandfrequencylocalizationleadtotheconceptofatime–frequency
plane,whereessentialdifferencesbetweenFouriertechniquesandwavelettechniques
become evident:Fouriertechniquesusevectorswithequalspacinginfrequency
whilewavelettechniquesusevectorswithpower-lawspacinginfrequency;further-
more,Fouriertechniquesusevectorsatequalscalewhilewavelettechniquesuse
geometricallyspacedscales.Weendwithexampleswithrealsignalstodevelop
intuitionaboutvarioussignalrepresentations.

41. Chapter2
FromEuclidtoHilbert
“Mathematicsistheartofgivingthesamenametodifferent
things.”
—HenriPoincar´e
Contents
2.1Introduction 10
2.2Vectorspaces 18
2.3Hilbertspaces 35
2.4Approximations,projections,anddecompositions 50
2.5Basesandframes 69
2.6Computationalaspects 119
2.AElementsofanalysisandtopology 135
2.BElementsoflinearalgebra 141
2.CElementsofprobability 151
2.DBasisconcepts 159
Chapterataglance 161
Historicalremarks 162
Furtherreading 162
Exerciseswithsolutions 163
Exercises 169
Westartourjourneyintosignalprocessingwithdifferentbackgroundsandperspec-
tives.Thischapteraimstoestablishacommonlanguage,developthefoundations
forourstudy,andbegintodrawoutkeythemes.
Therewillbemoreformaldefinitionsinthischapterthaninanyother,to
approachtheidealofaself-containedtreatment.However,wemustassumesome
backgroundincommon:Ontheonehand,weexpectthereadertobefamiliarwith
linearalgebraatthelevelof[93,Ch.1–5](seealsoAppendix2.B)andprobability
9

42. 10 FromEuclidtoHilbert
at the level of [6,Ch. 1–4] (see alsoAppendix 2.C).(The textbooks we have
citedarejustexamples;nothinguniquetothosebooksisnecessary.)Ontheother
hand,wearenotassumingpriorknowledgeofgeneralvectorspaceabstractions
ormathematicalanalysisbeyondbasiccalculus; wedevelopthesetopicshereto
extendgeometricintuitionfromordinaryEuclideanspacetospacesofsequences
andfunctions.Formoredetailsonabstractvectorspaces,werecommendbooksby
Kreyszig[59],Luenberger[64],andYoung[111].
2.1Introduction
Thissectionintroducesmanytopicsofthechapterthroughthefamiliarsettingof
therealplane.Inthemoregeneraltreatmentofsubsequentsections,theintuition
wehavedevelopedthroughyearsofdealingwiththeEuclideanspacesaroundus
(R
2
andR
3
)willgeneralizetosomenot-so-familiarspaces.Readerscomfortable
withvectorspaces, innerproducts, norms,projections,andbasesmayskipthis
section;otherwise,thiswillbeagentleintroductiontoEuclid’sworld.
Realplaneasavectorspace
LetusstartwithalookatthefamiliarsettingofR
2
,thatis,realvectorswithtwo
coordinates.Weadopttheconventionofvectorsbeingcolumnsandoftenwrite
themcompactlyastransposesofrows,suchasx=

x
0
x
1


.Thefirstentryis
thehorizontalcomponentandthesecondentryistheverticalcomponent.
Addingtwovectorsintheplaneproducesathirdonealsointheplane;mul-
tiplyingavectorbyarealscalarproducesasecondvectoralsointheplane.These
twoingrainedfactsmaketherealplanebeavectorspace.
Innerproductandnorm
Theinnerproductofvectorsx=

x
0
x
1


andy=

y
0
y
1


intherealplaneis
x,y=x
0
y
0
+x
1
y
1
. (2.1)
Othernamesforinnerproductarescalarproductanddotproduct.Theinnerprod-
uctofavectorwithitselfissimply
x,x=x
2
0
+x
2
1
,
anonnegativequantitythatiszerowhenx
0
=x
1
=0.Thenormofavectorxis
x=

x,x=

x
2
0
+x
2
1
. (2.2)
Whilethenormissometimescalledthelength,weavoidthisusagebecauselength
canalsorefertothenumberofcomponentsinavector.Avectorofnorm1iscalled
aunitvector.
In(2.1),theinnerproductcomputationdependsonthechoiceofcoordinate
axes.Letusnowderiveanexpressioninwhichthecoordinatesdisappear.Consider

43. 2.1Introduction 11
θ
y
y
1
−x
1
θ
x
θ
y
0
−x
0
x
0
y
0
x
1
y
1
x
y
xy−
Figure2.1ApairofvectorsinR
2
.
x yandas shown inFigure 2.1.Define the anglebetween x and thepositive
horizontalaxisasθ
x
(measuredcounterclockwise),anddefineθ
y
similarly.Usinga
littlealgebraandtrigonometry,weget
x,y=x
0
y
0
+x
1
y
1
=(xcosθ
x
)(ycosθ
y
)+(xsinθ
x
)(ysinθ
y
)
=xy θ(cos
x
cosθ
y
+sinθ
x
sinθ
y
)
=xycos(θ
x
−θ
y
). (2.3)
Thus,theinnerproductofthetwovectorsistheproductoftheirnormsandthe
cosineoftheangle=θθ
x
−θ
y
betweenthem.
Theinnerproductmeasuresboththenormsofthevectorsandthesimilarity
oftheirorientations.Forfixedvectornorms,thegreatertheinnerproduct,the
closerthevectorsareinorientation.Theorientationsareclosestwhenthevectors
arecollinearandpointinginthesamedirection,thatis,whenθ=0;theyarethe
farthestwhenthevectorsareantiparallel,thatis,when=θπ.Whenx,y=0,
thevectorsarecalledorthogonalorperpendicular.From(2.3),weseethatx,y
iszeroonlywhenthenormofonevectoriszero(meaningthatoneofthevectors
isthevector

00


)orthecosineoftheanglebetweenthemiszero(θ=±
1
2
π).
So,atleastinthelattercase,thisisconsistentwiththeconventionalconceptof
perpendicularity.
Thedistancebetweentwovectorsisdefinedasthenormoftheirdifference:
d xy(x,y)=−=

− −xy,xy=

(x
0
−y
0
)
2
+(x
1
−y
1
)
2
.(2.4)
Subspacesandprojections
Alinethroughtheoriginisthesimplestcaseofasubspace,andprojectiontoa
subspaceisintimatelyrelatedtoinnerproducts.

44. 12 FromEuclidtoHilbert
0
S
ϕ
x
•
x
θ
•
•
0
S
ϕ
x
•x•
•
(a)OrthogonalprojectionsontoS. (b)ObliqueprojectionsontoS.
Figure2.2ExamplesofprojectionsontoasubspaceSspecifiedbyaunitvectorϕ.
Startingwithavectorxandapplyinganorthogonalprojectionoperatoronto
somesubspaceresultsinthevectorxclosest(amongallvectorsinthesubspace)
tox.Theconnectiontoorthogonalityisthatthedifferencebetweenthevector
anditsorthogonalprojectionx−xisorthogonaltoeveryvectorinthesubspace.
OrthogonalprojectionisillustratedinFigure2.2(a);thesubspaceSisformedby
thescalarmultiplesofthevectorϕ,andthreeorthogonalprojectionsontoSare
shown.Asdepicted,theactionoftheoperatorislikelookingattheshadowthat
theinputvectorcastsonSwhenlightraysareorthogonaltoS.Thisoperation
islinear,meaningthattheorthogonalprojectionofxy+equalsthesumofthe
orthogonalprojectionsofxandy. Also,theorthogonalprojectionoperatorleaves
vectorsinSunchanged.
Givenaunitvectorϕ,theorthogonalprojection ontothesubspacespecified
byϕisx ϕ=x,ϕ.Thiscanalsobewrittenas
x ϕ=x,ϕ=(xϕ θϕcos)
()a
=(xcosθ)ϕ, (2.5)
where(a)usesϕ=1,andθistheanglemeasuredcounterclockwisefromϕtox,
asmarkedinFigure2.2(a).Whenϕisnotofunitnorm,theorthogonalprojection
ontothesubspacespecifiedbyϕis
x
()a
=(xcosθ)
ϕ
ϕ
=(xϕ θcos)
ϕ
ϕ
2
()b
=
1
ϕ
2
x,ϕϕ, (2.6)
where(a)expressestheorthogonalprojectionusingtheunitvectorϕ/ϕ;and(b)
uses(2.3).
Projection ismoregeneral thanorthogonal projection;forexample,Fig-
ure2.2(b)illustrates oblique projection.Theoperatoris stilllinearand vectors
inthesubspacearestillleftunchanged;however,thedifference(x−x)isnolonger
orthogonaltoS.

45. 2.1Introduction 13
α
0
α
1
ϕ
0
ϕ
1
x
α
0
ϕ
0
α
1
ϕ
1
ϕ
0
ϕ
1
x
ϕ
0
ϕ
0
ϕ
1ϕ
1
(a)Expansionwithan (b)Expansionwitha (c)Basis{ϕ
0
,ϕ
1
}and
orthonormalbasis. nonorthogonalbasis. itsdual{ϕ
0
,ϕ
1
}.
Figure2.3ExpansionsinR
2
.
Basesandcoordinates
Wedefinedtherealplaneasavectorspaceusingcoordinates:thefirstcoordinateis
thesigneddistanceasmeasuredfromlefttoright,andthesecondcoordinateisthe
signeddistanceasmeasuredfrombottomtotop.Indoingso,weimplicitlyused
thestandardbasis e
0
=

10


,e
1
=

01


,whichisaparticularorthonormal
basisforR
2
.Expressingvectorsinavarietyofbasesiscentraltoourstudy,and
vectors’coordinateswilldifferdependingonthechoiceofbasis.
OrthonormalbasesVectorse
0
=

10


ande
1
=

01


constitutethestan-
dardbasisandaredepictedinFigure2.3(a).Theyareorthogonalandofunitnorm,
andarethuscalledorthonormal.Wehavebeenusingthisbasisimplicitlyinthat
x=

x
0
x
1

=x
0

1
0

+x
1

0
1

=x
0
e
0
+x
1
e
1
(2.7)
isanexpansionofxwithrespecttothebasis{e
0
,e
1
}.Forthisbasis,itisobvious
thatanexpansionexistsforanyxbecausethecoefficientsoftheexpansionx
0
and
x
1
aresimplytheentriesofx.
Thegeneralconditionfor{ϕ
0
,ϕ
1
}tobeanorthonormalbasisforR
2
is
ϕ
i
,ϕ
k
=δ
ik−
fori,k∈{01,}, (2.8)
whereδ
ik−
isaconvenientshorthanddefinedas
5
δ
ik−
=

1 =;,forik
0,otherwise.
(2.9)
5
δn iscalledtheKroneckerdeltasequenceandisformallydefinedinChapter3,(3.8).

46. 14 FromEuclidtoHilbert
From the ik=case,thebasisvectorsareorthogonaltoeachother;fromtheik=
case,theyareofunitnorm.Withanyorthonormalbasis{ϕ
0
,ϕ
1
},onecanuniquely
findthecoefficientsoftheexpansion
x α=
0
ϕ
0
+α
1
ϕ
1
(2.10)
simplythroughtheinnerproducts
α
0
=x,ϕ
0
and α
1
=x,ϕ
1
.
Theresultingcoefficientssatisfy
|α
0
|
2
+|α
1
|
2
=x
2
(2.11)
bythePythagoreantheorem,becauseα
0
andα
1
formthesidesofarighttriangle
withhypotenuseoflengthx(seeFigure2.3(a)).Theequality(2.11)isanexample
ofaParsevalequality
6
andisrelatedtoBessel’sinequality;thesewillbeformally
introducedinSection2.5.2.
Anexpansionlike(2.10)isoftentermedachangeofbasis,sinceitexpresses
x ϕwithrespectto{
0
,ϕ
1
} {,ratherthaninthestandardbasise
0
,e
1
}.Inother
words,thecoefficients(α
0
,α
1
)arethecoordinatesofxinthisnewbasis{ϕ
0
,ϕ
1
}.
BiorthogonalpairsofbasesExpansionslike(2.10)donotneed{ϕ
0
,ϕ
1
}tobe
orthonormal.Asanexample,considertheproblemofrepresentinganarbitrary
vectorx=

x
0
x
1


asanexpansionα
0
ϕ
0
+α
1
ϕ
1
withrespecttoϕ
0
=

10


andϕ
1
=

1
2
1


(seeFigure2.3(b)).Thisisnotatrivialexercisesuchastheone
ofexpandingwiththestandardbasis,butinthisparticularcasewecanstillcome
upwithanintuitiveprocedure.
Sinceϕ
0
hasnoverticalcomponent,weshoulduseϕ
1
tomatchthevertical
componentofx α,yielding
1
=x
1
.(Thisisillustratedwiththediagonaldashed
lineinFigure2.3(b).) Then,weneedα
0
=x
0
−
1
2
x
1
forthehorizontalcomponent
tobecorrect.Wecanexpresswhatwehavejustdonewithinnerproductsas
α
0
=x, ϕ
0
 andα
1
=x, ϕ
1
,
wherethevectors
ϕ
0
=

1−
1
2


andϕ
1
=

01


areshowninFigure2.3(c).Wehavethusjustderivedaninstanceoftheexpansion
formula
x α=
0
ϕ
0
+α
1
ϕ
1
=x, ϕ
0
ϕ
0
+x, ϕ
1
ϕ
1
, (2.12)
where{ϕ
0
,ϕ
1
} {isthebasisdual tothebasisϕ
0
,ϕ
1
},andthetwobasesforma
biorthogonal pairofbases.Foranybasis,thedualbasisisunique.Thedefining
characteristicforabiorthogonalpairis
ϕ
i
,ϕ
k
=δ
ik−
fori,k∈{01,}. (2.13)
6
WhatwecalltheParsevalequalityinthisbookissometimescalledPlancherel’sequality.

47. 2.1Introduction 15
Wecancheckthatthisissatisfiedinourexampleandthatanyorthonormalbasis
isitsowndual.Clearly,designingabiorthogonalbasispairhasmoredegreesof
freedomthandesigninganorthonormalbasis.Thedisadvantageisthat(2.11)does
nothold,and,furthermore,computationscanbecomenumericallyunstableifϕ
0
andϕ
1
aretooclosetocollinear.
FramesThesignalexpansion(2.12)hastheminimumpossiblenumberofterms
toworkforeveryx∈R
2
,namelytwotermsbecausethedimensionofthespaceis
two.Itcanalsobeusefultohaveanexpansionoftheform
x=x, ϕ
0
ϕ
0
+x, ϕ
1
ϕ
1
+x, ϕ
2
ϕ
2
. (2.14)
Here,an expansionwill exist as longas {ϕ
0
,ϕ
1
,ϕ
2
}are not collinear.Then,
evenaftertheset{ϕ
0
,ϕ
1
,ϕ
2
}hasbeenfixed,thereareinfinitelymanydualsets
{ϕ
0
,ϕ
1
,ϕ
2
}suchthat(2.14)holdsforallx∈R
2
. Suchredundantsetsarecalled
framesandtheir(nonunique)dualsetsarecalleddualframes. Thisflexibilitycan
beusedinvariousways.Forexample,settingacomponentofϕ
i
tozerocouldsave
amultiplicationandanadditionincomputinganexpansion,or,thedual,whichis
notunique,couldbechosentomakethecoefficientsassmallaspossible.
Asanexample,letusstartwiththestandardbasis{ϕ
0
=e
0
,ϕ
1
=e
1
},add
avectorϕ
2
=−e
0
−e
1
toit,
ϕ
0
=

1
0

,ϕ
1
=

0
1

,ϕ
2
=

−1
−1

, (2.15)
andseewhathappens(seeFigure2.4(a)).AstherearenowthreevectorsinR
2
,they
arelinearlydependent;indeed,asdefined,ϕ
2
=−ϕ
0
−ϕ
1
.Moreover,thesethree
vectorsmustbeabletorepresenteveryvectorinR
2
sinceeachtwo-elementsubset
isabletodoso.Toshowthat,weusetheexpansionx=x,ϕ
0
ϕ
0
+x,ϕ
1
ϕ
1
and
addazerotoittogive
x=x,ϕ
0
ϕ
0
+x,ϕ
1
ϕ
1
+(x,ϕ
1
−x,ϕ
1
)ϕ
0
+(x,ϕ
1
−x,ϕ
1
)ϕ
1
 
=0
.
Wenowrearrangeitslightly:
x=x,ϕ
0
+ϕ
1
ϕ
0
+ 2x,ϕ
1
ϕ
1
+x,ϕ
1
−(ϕ
0
−ϕ
1
)=
2

k=0
x, ϕ
k
ϕ
k
,
withϕ
0
=ϕ
0
+ϕ
1
,ϕ
1
=2ϕ
1
,ϕ
2
=ϕ
1
.Thisexpansionisexactlyoftheform
(2.14)andisreminiscentoftheoneforbiorthogonalpairsofbaseswhichwehave
seenearlier, except thatthe vectorsinvolvedin theexpansion arenowlinearly
dependent.Thisshowsthatwecanindeedexpandanyx∈R
2
intermsofthe
frame{ϕ
0
,ϕ
1
,ϕ
2
} {andoneofitspossibledualframesϕ
0
,ϕ
1
,ϕ
2
}.
Canwenowgetaframetosomehowmimicanorthonormalbasis?Consider
ϕ
0
=

2
3
0

,ϕ
1
=

−
1
√
6
1
√
2

,ϕ
2
=

−
1
√
6
−
1
√
2

, (2.16)

48. 16 FromEuclidtoHilbert
1
ϕ
0
1
ϕ
1
−1
−1
ϕ
2

2
3
ϕ
0
1
√
2
ϕ
1
−
1
√
6
−
1
√
2ϕ
2
(a)Standardbasisplusavector. (b)Tightframe.
Figure2.4Illustrationsofovercompletesetsofvectors(frames).
showninFigure2.4(b).Byexpandinganarbitraryx=

x
0
x
1


,wecanverify
thatx=

2
k=0
x,ϕ
k
ϕ
k
holdsforanyx.Theexpansionlooksliketheorthonormal
basisone,wherethesamesetofvectorsplaysbothroles(insidetheinnerproduct
andoutside). Thenormispreservedsimilarlytowhathappenswithorthonormal
bases(

2
k=0
|x,ϕ
k
|
2
=x
2
),exceptthatthenormsoftheframevectorsarenot
1,butrather

2/3. Aframewiththispropertyiscalledatightframe.Wecould
haverenormalizedtheframevectorsby

3/2tomakethemunit-normvectors,in
whichcase

2
k=0
|x,ϕ
k
|
2
=
3
2
x
2
,where
3
2
indicatestheredundancyoftheframe
(wehave
3
2
timesmorevectorsthanneededforanexpansioninR
2
).
MatrixviewofbasesandframesAnexpansionwithabasisorframeinvolves
operationsthatcanbeexpressedconvenientlywithmatrices.
Takethebiorthogonalbasisexpansionformula(2.12).Thecoefficientsinthe
expansionaretheinnerproducts
α
0
=x, ϕ
0
=ϕ
00
x
0
+ϕ
01
x
1
,
α
1
=x, ϕ
1
=ϕ
10
x
0
+ϕ
11
x
1
,
where ϕ
0
=

ϕ
00
ϕ
01


and ϕ
1
=

ϕ
10
ϕ
11


.Rewritetheaboveasamatrix–
vectorproduct,
α=

α
0
α
1

=

x, ϕ
0

x, ϕ
1


=

ϕ
00
ϕ
01
ϕ
10
ϕ
11

 

Φ


x
0
x
1

=

Φ

x.
Thematrix

Φ

withϕ

0
andϕ

1
asrowsiscalledtheanalysisoperator,andleftmul-
tiplyingavectorxbyitcomputestheexpansioncoefficients(α
0
,α
1
)withrespect
tothebasis{ϕ
0
,ϕ
1
}.Thereconstructionofx αfrom(
0
,α
1
)isthrough
x α=
0
ϕ
0
+α
1
ϕ
1
.

49. 2.1Introduction 17
Thiscanbewrittenwithamatrix–vectorproductas
x=

x
0
x
1

=α
0

ϕ
00
ϕ
01

+α
1

ϕ
10
ϕ
11

=

ϕ
00
ϕ
10
ϕ
01
ϕ
11

 
Φ

α
0
α
1

=

ϕ
0
ϕ
1


α
0
α
1

=Φα=Φ

Φ

x,
whereϕ
0
=

ϕ
00
ϕ
01


andϕ
1
=

ϕ
10
ϕ
11


.ThematrixΦwithϕ
0
andϕ
1
as
columnsiscalledthesynthesisoperator,andleftmultiplyinganexpansioncoefficient
vectorαbyitperformsthereconstructionofxfrom(α
0
,α
1
).
Thematrixviewmakesitobviousthattheexpansionformula(2.12)holds
foranyx∈R
2
whenΦ

Φ

istheidentitymatrix.Inotherwords,wemusthave
Φ
−1
=

Φ

,whichisequivalentto(2.13).Theinverseexistswhenever{ϕ
0
,ϕ
1
}isa
basis,andinvertingΦdeterminesthedualbasis{ϕ
0
,ϕ
1
}.
Inthecaseofanorthonormalbasis,Φ
−1
=Φ

,thatis,thematrix–vector
equationsaboveholdwith

Φ=Φ.
Thecaseof athree-elementframeissimilar, withmatricesΦand

Φeach
havingtworowsandthreecolumns.Thevalidityoftheexpansion(2.14)hingeson
Φbeingaleftinverseof

Φ

.Intheexamplewesawearlier,
Φ=

10−1
01−1

, (2.17a)
anditsdualframewas

Φ=

100
121

. (2.17b)
Suchaleft inverse,

Φ

, is neverunique;thusdual framesare notunique.For
example,thedualframe

Φ=

011−−
−10−1

(2.17c)
wouldworkaswell.
Chapteroutline
Thenextseveralsectionsfollowtheprogressionoftopicsinthis briefintroduc-
tion.InSection2.2,weformallyintroducevectorspacesandequipthemwithinner
productsandnorms.Wealsogiveseveralexamplesofcommonvectorspaces.In
Section2.3,wediscusstheconceptofcompletenessthatturnsaninnerproduct
spaceintoaHilbertspace. Moreimportantly,wedefinethecentralconceptofor-
thogonalityandthenintroducelinearoperators.Wefollowwithapproximations,
projections,anddecompositionsinSection2.4.InSection2.5,wedefinebasesand
frames.Thisstepgivesusthetoolstoanalyzesignalsandtocreateapproximate
representations. Section2.5.5developsthematrixviewofbasisandframeexpan-
sions.Section2.6discussesafewalgorithmspertainingtothematerialcovered.
Thefirstthreeappendicesreviewsomeelementsofanalysisandtopology,linear
algebra,and probability.The finalappendix discussessomefiner mathematical
pointsontheconceptofabasis.

50. Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

51. »Hän kantaa pienokaisensa sairaalaan», ajatteli Rossi.
Mutta kääntyen pienelle Borgolle Rossi huomasi, että vaimo meni
löytölasten seimen luo, polvistui sen eteen, suuteli lasta yhä
uudelleen, asetti sen seimeen, veti kelloa ja sitten läksi pois itkien
katkerasti.
Rossi muisti oman äitinsä, ja inhimillinen hellyys hiipi hänen
sydämeensä. Noin oli hänen äitinsä tehnyt kolmekymmentäviisi
vuotta sitten. Hän näki tuon kaiken kuin salaperäisessä valossa, joka
valaisi menneet ajat.
Äkkiä hän muisti, että löytölasten seimi oli suljettu aikoja sitten, ja
siitä syystä oli mahdotonta, että kukaan oli pannut lapsen seimeen.
Eikä hän ollut kuullut kellon ääntäkään eikä naisen askeleita eikä
hänen ääntään, kun hän itki.
Hän seisahtui katsomaan taaksensa. Nainen palasi Pietarin
piazzalle päin. Vastustamaton voima pakotti Rossin seuraamaan
häntä. Rossi sai hänet kiinni ja katsoi hänen kasvoihinsa.
Taas hän luuli näkevänsä Roman. Noissa kauniissa kasvoissa oli
sama jalous, värisevässä suussa sama hellyys ja suurissa, tummissa
silmissä sama ylevyys. Mutta Rossi tiesi selvästi, kuka tuo nainen oli.
Se oli hänen äitinsä.
Hänestä ei tuntunut ollenkaan oudolta, että äiti oli täällä.
Taivaallisesta kodistaan hän oli tullut varjelemaan poikaansa. Hän oli
aina varjellut poikaansa. Ja nytkin, kun poika oli petettynä ja
masentuneena, nytkin, kun hän oli murtuneena ja yksin…

52. Rossin voimat olivat lopussa. »Äiti, äiti! Minä tulen luoksesi! Kaikki
ovet ovat minulta suljetut eikä minulla ole suojaa missään. Minä
tulen… Tulen!»
Silloin henki seisahtui ja osoittaen Vatikaanin pronssiporttia sanoi
äärettömän hellästi:
»Mene sinne!»
YHDEKSÄS OSA.
KANSA.

53. I.
Hänen pyhyytensä paavi Pius X oli sinä päivänä pitänyt salaisen
konsistorionkokouksen Vatikaanin apostolisessa palatsissa
ilmoittaakseen viidentoista uuden kardinaalin nimityksestä kirkolle.
»Kunnianarvoisat veljet», sanoi hän, »tänään me suomme
Rooman purppuran kunnian viidelletoista miehelle, joista puhuimme
kruunauksemme vuosipäivänä.»
Kun kardinaali oli lukenut noiden pappien nimet ja arvonimet,
lisäsi paavi:
»Mitä te siitä arvelette, kunnianarvoisat veljet?»
Mutta odottamatta vastausta hän jatkoi:
»Siitä syystä, Kaikkivaltiaan Jumalan antamalla vallalla sekä pyhien
apostolien Pietarin ja Paavalin antamalla vallalla ja omalla
vallallamme me täten nimitämme ja määräämme kardinaaleiksi
nämä viisitoista hurskasta miestä, jotka hartaasti ja viisaasti ovat
palvelleet kirkkoa ja apostolista istuinta.»

54. Paavin puhe, jonka hän piti latinaksi, käsitteli kysymystä
maallisesta vallasta. Oli niitä, jotka olivat yhtä mieltä kanonistien
kanssa siitä, että paavilla oli molempien miekkojen valta, henkisen ja
maallisen miekan, Kristuksen omien sanojen nojalla, jotka kuuluvat:
»Minä annan sinulle avaimet.» Toiselta puolen oli niitä, jotka olivat
samaa mieltä kuin aikaisemmat paavit, että pyhän hallinnon ei
mitenkään pitäisi hankkia itselleen valtaa ajallisissa asioissa. Toiset
väittivät, että paavin oli mahdoton luopua vallastaan ilman pyhän
kollegion, papiston ja hengellisten seurakuntain yksimielistä
suostumusta, he näet sanoivat, että paavi oli kirkon maallisen vallan
hoitaja eikä omistaja ja että hän ei koskaan voinut päästä valastaan,
joka sitoi hänet apostolisen istuimen vartiaksi, eikä luopua
vallastaan. Toiset taas olivat sitä mieltä, ettei paavi ollut
kardinaaliensa ja papiston alamainen eikä voinut alistua heidän
tahtonsa alaiseksi eikä ollut millään valalla sidottu heihin ja että
koska kirkon maallinen valta oli lakannut, paavi ei voi luopua
sellaisesta, mitä hän ei koskaan ole omistanut.
»Kunnianarvoisat veljet», jatkoi paavi, »koska olemme tottuneet
ilmaisemaan ilomme ja huolemme, emme voi olla mainitsematta tätä
seikkaa, varsinkin nyt, kun ne vaikeudet ja vaarat, jotka asettuvat
paavin maallista valtaa vastaan, alituisesti tulevat näkyviin, nyt, kun
on välttämättömämpää kuin koskaan seisoa järkähtämättömästi
Jumalan ja Cæsarin välillä, minkä puolesta marttyyrit ovat
vuodattaneet verensä ja kun on selvää, että paavin maallinen valta
ei voi saavuttaa täydellistä riippumattomuutta, ellei se ulotu koko
maailmaan eikä yksistään Roomaan.
»Kunnianarvoisat veljet, me pyydämme teitä miettimään näitä
sanoja: 'Joka on suuri teidän seurassanne, hän olkoon teidän
palvelijanne' ja tarkoin punnitsemaan sitä ääretöntä taakkaa, jonka

55. tuo uusi dogmi paavin erehtymättömyydestä on laskenut paavin
herruudelle. Herran palvelijat ovat ihmisiä eikä enkeleitä, ja eikö
kirkon menestystä uhkaa mitä suurin vaara siinä, että syntinen,
erehtyväinen mies koettaa kantaa maailman vallan taakkaa, jossa
taivaallinen johto ei häntä vartioi?
»Mutta oi, kuinka onnellisia me olemme katolisessa uskossamme,
veljeni, ja siinä varmuudessa, että Jumala tahtoo pelastaa
palvelijansa, ei kruunun loistolla, vaan ristin nöyryydellä! Ja oi
Rooma, mikä kunnia on varattu sinulle, sinä kaupunkien äiti, kun
pyhä kirkko ilman maallisia armeijoja on saavuttanut vallan koko
maailmassa ja hallitsee sitä pyhässä tuomiokirkossamme, johon nuo
kalliit sanat ovat piirretyt: 'Sinä olet Pietari, ja tälle kalliolle tahdon
minä rakentaa seurakuntani, eikä helvetin porttien pidä häntä
voittaman'.»
Kun puhe oli lopussa, tunsi jokainen, että tuntemattomasta syystä
paavin sotatorvi ei kajahtanut yhtä kovaa enää kuin kruunauksen
vuosipäivänä. Ja pyhä isä tiesi, että paavi, joka aikoi luopua
maallisen vallan vaatimuksista, oli kohtaava paljon suurempia
vaikeuksia omassa lähimmässä ympäristössään kuin maailman
laajassa valtakunnassa.
Mutta kuitenkin lausuttiin samat kohteliaisuudet ja onnittelut,
samat Vatikaanin kumarrukset kumarrettiin, tavalliset Vatikaanin
hymyt hymyiltiin ja kardinaalit palasivat asuntoihinsa juomaan uusien
toveriensa maljan ja vastaanottamaan korkealle pyrkivien ystävien
runollisia tervehdyksiä.
Paavi meni huoneeseensa ajattelemaan ja rukoilemaan.

56. II.
Sinä yönä paavi nukkui huonosti. Sytyttäen valon, joka riippui hänen
päänsä yläpuolella, hän vietti unettomat tunnit lukemalla sen päivän
sanomalehtiä, joissa kerrottiin Rossin vangitsemisesta Chiassossa ja
selitettiin säälimättömällä tavalla syy, miksi Roma oli hänet pettänyt.
»Raukka! Nyt hän on vankilassa. Ja tyttö — lapsiraukka…»
Paavi huokasi, otti toisen lehden ja luki: »Epäilemättä hänen
majesteettinsa luontainen hellyys pyrkii antamaan anteeksi
kurjimmatkin vehkeet hänen henkeään ja yleisön rauhaa vastaan,
mutta kansa on itse päättävä, onko oikein valtiota ja hallitusta
kohtaan, että sellaista kuninkaallista armoa käytetään.»
Tuo oli pääministerin puhetta, ja paavi ajatteli: »Hän lupasi minulle
juhlallisesti pelastaa tuon nuoren miehen hengen, mutta nyt…»
Tunne siitä, että häntä oli petetty, masensi paavia, ja hän luki
eteenpäin päästäkseen kiusallisista ajatuksista. Kello oli yli yhden,
kun hän sammutti valon, ja yhä vieläkin hän kuuli soittokuntien
sävelet kaupungilta ja näki tulikipinät Pinciolta.

57. Seuraavana aamuna paavi heräsi kukon laulaessa ja soitti
luokseen kamaripalvelijansa maatessaan vielä vuoteessaan. Cortis
saapui hyvin kiihoittuneen näköisenä.
»Mitä on tapahtunut, Gaetano?» kysyi paavi.
»Eräs hullu mies, teidän pyhyytenne, on täällä», sanoi
kamaripalvelija. »Minua vaadittiin herättämään teidän pyhyytenne,
mutta minä en tahtonut sitä tehdä. Eräs hullu mies on pronssiportilla
ja tahtoo välttämättömästi tavata teidän pyhyyttänne.»
Samassa maestro di camera tuli sisään. Hän oli hyvin kiihoittunut.
»Mitä Cortis kertoo jostakin raukasta, joka on pronssiportilla?»
kysyi paavi.
»Tulin kertomaan teidän pyhyydellenne», vastasi maestro di
camera, »että mies selittää olevansa vainottu ja pyytää pyhää
pakopaikkaa.»
»Kuka hän on?»
»Hän sanoo ilmaisevänsä nimensä ainoastaan pyhälle isälle, mutta
hänen kasvonsa…»
»Hän on hullu», sanoi kamaripalvelija.
»Vaiti, Gaetano. Mies, joka pyytää pyhää pakopaikkaa, on
oikeutettu salaamaan nimensä.»
»Mutta hänen kasvonsa», lisäsi maestro di camera, »ovat tutut…»
Paavi istuutui vuoteeseensa ja sanoi: »Se on ehkä…?»

58. »Niin on, teidän pyhyytenne. Siitä syystä en tahtonut antaa
heittää ulos häntä, ennenkuin…»
»Missä hän on nyt?»
»Hän on tunkeutunut Sala Clementinaan asti, ja ainoastaan
väkivalta voi…»
Väitteleviä ääniä kuului etäisestä huoneesta. Paavi kuunteli ja
sanoi:
»Antakaa miehen tulla tänne heti.»
»Tänne, teidän pyhyytenne?»
»Tänne.»
Maestro di camera oli tuskin mennyt pois paavin makuuhuoneesta,
kun valtiosihteeri astui sisään nopein askelin.
»Teidän pyhyytenne», sanoi hän, »ei mitenkään voine
vastaanottaa tuota miestä? On päivänselvää, että hän on paennut
poliisien käsistä yöllä, luultavasti toveriensa avulla, ja hänen
suojaamisensa tuottaisi rettelöitä viranomaisten kanssa.»
»Nuori mies pyytää pyhää pakopaikkaa, teidän
kunnianarvoisuutenne, ja olkootpa seuraukset mitkä tahansa, ei
meillä ole oikeutta kieltää sitä.»
»Mutta pyhä pakopaikka on vanhentunut käsite, teidän
pyhyytenne. Sitä ei ole käytetty sataan vuoteen.»
»Ei mikään taivaallinen käsite voi vanhentua, teidän
kunnianarvoisuutenne. Pyhä pakopaikka on Jumalan säätämä.

59. Kuinka me voisimme sanoa sen lakanneen olemasta?»
»Mutta, teidän pyhyytenne, se voi tulla kysymykseen ainoastaan
valtion suostumuksella, ja nykyjään kirkon ja Italian valtion suhde…»
»Se antaa Vatikaanille vain kaksinkertaisen voiman
turvapaikkana.»
»Mutta valtion laki, joka vakuuttaa pyhälle isälle…»
»Teidän kunnianarvoisuutenne, minä pyydän teitä saattamaan
miehen tänne.»
»Teidän pyhyytenne, minä rukoilen, miettikää…»
»Päästäkää nuori mies sisään teidän kunnianarv…»
Paavi ei ollut lopettanut, kun sanat tarttuivat hänen suuhunsa, sillä
ovella seisoi nuori mies, katse hurjana, sieraimet värähdellen ja
vaatteet riippuen repaleina hänen ympärillään, aivan kuin ne olisivat
äskeisessä taistelussa repeytyneet. Hänen kasvonsa osoittivat
epätoivoa ja kärsimystä, ja kumminkin paavista tuntui, kuin hän olisi
nähnyt omat kasvonsa kuvastimessa.
Sveitsiläisen kaartin jäseniä seisoi nuoren miehen ympärillä, ja
maestro di camera astui hänen edellään. Kun mies oli saapunut
paavin eteen, joka istui tyynyjen nojassa vuoteellaan, vaikeni hänen
kova äänensä, ja hän seisoi vaiti huoneen kynnyksellä.
Paavi puhui ensiksi. Hellällä, värähtelevällä äänellä hän sanoi:
»Mitä tahdotte sanoa minulle, poikani?»

60. Nuori mies näytti tointuvan, mutta polvistumatta tai edes
kumartamatta hän lausui hiukan vihamielisesti: »Nimeni on Davido
Leone. Minua sanotaan Rossiksi, koska se oli äitini nimi, ja sanotaan,
ettei minulla ole oikeutta isäni nimeen. Olen roomalainen ja kaksi
kuukautta olen nyt ollut ulkomailla. Kymmenen vuotta olen tehnyt
työtä kansan hyväksi, mutta nyt minut on petetty ja annettu poliisin
huostaan. Kolme päivää sitten minut vangittiin tullessani Italiaan ja
eilisiltana pääsin toverien avulla pakoon karabinieerien käsistä. Mutta
kaikki portit ovat suljetut minulta, enkä minä voi päästä pois
Roomasta. Tämä on Vatikaani ja se on pyhättö. Siitä syystä se on
ainoa paikka, jonne petetty ja vainottu mies voi paeta. Otatteko
minut tänne?»
Paavi katsoi sveitsiläisen kaartin upseereihin ja sanoi samalla
värähtelevällä äänellä: »Hyvät herrat, ottakaa tämä nuori mies
asuntoonne ja pitäkää huolta siitä, että karabinieerit eivät saa
vangita häntä minun tietämättäni.»
»Teidän pyhyytenne!» vastusti kardinaalisihteeri, mutta paavi
kohotti kättään ja sai hänet vaikenemaan.
Rossin vihamielinen käytös muuttui. »Odottakaa!» sanoi hän.
»Ennenkuin otatte vastaan minut, täytyy teidän tietää kaikki ja
kuulla mistä minua syytetään. Minä olen parlamentinjäsen Rossi,
jonka sanotaan olevan syynä viimeisiin meteleihin.
Vangitsemiskäskyssä minua syytetään vehkeilystä edellisen
kuninkaan henkeä vastaan. Se ei ole totta, mutta voitte itse katsoa
sitä. Täällä se on.»
Niin sanoen hän aikoi ottaa taskustaan jotakin, mutta sitten hän
sanoi:
»Se on poissa — nyt muistan — heitin sen pettäjäni eteen.»

61. »Hyvät herrat», sanoi paavi, yhä vielä sveitsiläisen kaartin
upseereille, »jos viranomaiset koettavat vangita tämän nuoren
miehen, tulee teidän vaatia heiltä kirjoitettu vakuutus hänen
henkensä säilyttämisestä.»
Rossin hurja katse alkoi sulaa.
»Te olette hyvin hyvä», sanoi hän, »enkä minä tahdo pettää teitä.
Vaikka olen syytön siihen rikokseen, josta minua syytetään, olen
rikkonut Jumalan ja tämän valtakunnan lakia vastaan, ja jos te
vähääkään pelkäätte seurauksia, tulee teidän ajaa minut pois, kun
vielä on aikaa.»
»Teidän pyhyytenne», sanoi kardinaalisihteeri ja koetti kuiskata
jotakin paaville, mutta vielä kerran sai paavi hänet vaikenemaan
kohottamalla kätensä.
Rossin ääni alkoi murtua. »Te kokoatte tulisia hiiliä pääni päälle.
En ole koskaan ollut Vatikaanin ystävä, ja jos annatte minulle suojaa,
suojelette sellaista henkilöä, joka on koettanut syöstä teidät pois
valtaistuimeltanne.»
»Hyvät herrat», sanoi paavi, »sen sijaan että asettaisitte tämän
nuoren miehen omaan asuntoonne, antakaa hänen käytettäväkseen
tyhjä huoneisto, joka on minun huoneistoni alla ja jossa ennen
valtiosihteeri asui.»
Rossi murtui kokonaan ja vaipui polvilleen. Paavi kohotti kaksi
sormea ja siunasi häntä.
»Menkää huoneeseenne lepäämään, poikani, ja suokoon Jumala
teille hiukan rauhaa.»

62. »Isä!»
Äkillisen vastustamattoman tunteen vallassa Rossi oli noussut
polviltaan, astunut pari askelta eteenpäin ja polvistuen vuoteen
ääreen hän painoi huulensa paavin käteen.
Kertoiko yliluonnollinen ääni, jota eivät muut kuulleet kuin hän
itse, veriheimolaisuuden salaperäisestä voimasta? Kuka voi sen
sanoa?
Mutta eräälle tuossa pienessä seurueessa, joka seisoi aamun
hämärässä valossa, jo Rossin äänikin tuntui yliluonnolliselta.
Kolmekymmentä vuotta paavin elämästä oli vyörynyt taaksepäin, ja
hänen nuoruutensa oli taas hänen edessään kuin haamu menneiltä
ajoilta.
Kostein silmin, jotka loistivat harmaiden kulmakarvojen alla, paavi
saattoi vierastaan, kunnes hän sveitsiläisen kaartin upseerien kanssa
poistui huoneesta. Sitten pyhä isä meni yksityiseen kappeliinsa
aikaiseen messuun.

63. III.
Puoli tuntia myöhemmin eräs huhu kulki läpi Vatikaanin aivan kuin
tuuli myrskyn edellä. Paavi huomasi jotakin tullessaan messusta.
»Mitä on tapahtunut, Gaetano?» kysyi hän.
»Kerrotaan jotakin murhasta», sanoi kamaripalvelija, ja paavi
seisoi kuin ukkosen iskemänä, sillä hän ajatteli Rossia ja kuningasta.
Vähän ajan kuluttua tuo epämääräinen huhu kävi varmemmaksi.
Ei kuningas, vaan pääministeri oli surmattu.
Paavin yksityisasuntoon alkoi kokoontua kalpeita kasvoja. Siellä oli
kardinaalisihteeri, maestro di camera ja vihdoin myöskin pieni
majordomo. Erityissanoma tapahtumasta oli jo saapunut Vatikaaniin,
joten saatettiin keskustella asiasta. Pääministeri oli löydetty
kuolleena palatsistaan Piazza Navonan varrelta. Hän oli ollut
illallisella Kvirinaalissa ja viipynyt siellä tanssiaisten alkuun asti, eikä
siis voinut saapua Palazzo Braschiin ennen kello 11 tai 12. Kaksi
laukausta oli kuultu puoliyön aikaan, ja ruumis oli löydetty aikaisin
aamulla.
Paavi kuunteli ääneti.

64. Kardinaalisihteeri kertoi toisen kertomuksen. Parlamentinjäsen
Rossi, joka oli tuotu Roomaan Genevestä tulevalla junalla juuri kello
11.45, oli metelöitsijöiden avulla päässyt pakoon asemalla.
Vapauttaminen oli edeltäkäsin järjestetty, ja Rossi oli heittäytynyt
vaunuihin ja ajanut pois täyttä vauhtia pitkin Via Nazionalea, ja
vähää ennen kahtatoista samojen vaunujen oli nähty kääntyvän
Piazza Navonalle. Sattumalta karabinieerit, jotka ajoivat takaa
pakenijaa, olivat huomanneet murhan.
Paavi ei vieläkään sanonut mitään, mutta hänen päänsä oli
kumarassa ja hänen sielunsa oli surun vallassa.
Papit katsoivat toisiinsa epäluuloa ja kauhua kertovin katsein.
Myrsky oli nousemaisillaan Vatikaanissa, ja kuka saattoi sanoa, mitä
tapahtuisi, jos paavi pysyisi entisessä päätöksessään? Vihdoin
kardinaalisihteeri lähestyi hänen pyhyyttään ja sanoi polvistuen:
»Pyhä isä, antakaa anteeksi tänä epäilyksen ja epätietoisuuden
hetkenä, jos sanoissani ei ole alamaisuutta, mutta minä pelkään,
että isällinen sydämenne on pettänyt teidät ja saattanut teidät
suojelemaan rikoksellista. Siinä ei ole kyllin, että tuo mies, Rossi, on
vallankumouksellinen ja että häntä syytetään valtakunnan hallitusta
vastaan tähdätyistä vehkeistä. Se ehkä antaisi teille oikeuden
suojella häntä valtiollisena pakolaisena, joka on paennut tähän
taloon kuin vieraaseen maahan. Mutta epäilemättä hän on myöskin
murhaaja, ja jos pidätte häntä täällä, rikotte jokaisen sivistyneen
maan lakeja ja saatatte itsenne alttiiksi maailman moitteelle.»
Paavi ei vastannut. Toiset sanat, toinen ääni kaikui hänen
korvissaan, ja niiden sisällys oli uusi ja kaamea: »Minä olen rikkonut
Jumalan ja tämän valtakunnan lakia vastaan, ja jos te vähääkään

65. pelkäätte seurauksia, tulee teidän ajaa minut pois, kun vielä on
aikaa.»
»Teidän pyhyytenne muistanee myöskin», sanoi kardinaalisihteeri,
»että valtakunnan laissa, joka määrää pyhän isän oikeudet ja vallan,
on nimenomaan sanottu, ettei hänellä ole mitään valtaa, joka on
ristiriidassa valtion lakien ja yleisen järjestyksen kanssa. Siitä syystä
rikoksellisen suojaaminen jo itsessään on rikos, ja Jumala yksin
tietää, mitä seurauksia siitä voisi olla Vatikaanille ja kirkolle.»
»Oi, vaiti! Vaiti!» huudahti paavi kohottaen kasvonsa, jotka
osoittivat mitä syvintä tuskaa. »Minulla on toisia ja korkeampia,
peloittavampia asioita ajateltavana kuin mahdolliset seuraukset.
Jättäkää minut! Jättäkää!»
Kardinaalisihteeri ja toiset papit kumarsivat syvää nöyryyttä
osoittaen paaville ja poistuivat huoneesta. Hetken perästä nuori
monsignor astui sisään. Hän toi sanomalehden, sillä hän oli paavin
lukija.
»Pyhä isä», alkoi hän hermostuneesti, »tuon teille pahoja uutisia.»
»Mitä, poikani?» kysyi paavi tuskallisesti.
»Pääministerin murhaaja on eräs henkilö, jonka…»
»Mitä?»
»Jonka te tunnette, pyhä isä.»
»Älkää pelätkö pyhää isää… Sanokaa suoraan, monsignor.»
»Eräs nainen, teidän pyhyytenne.»

66. »Nainen!»
»Hänet on vangittu ja hän on tunnustanut.»
»Tunnustanut?»
»Se on Donna Roma Volonna, teidän pyhyytenne. Hän ampui
pääministerin revolverilla, ja syynä siihen oli kosto.»
Paavi kohotti päätään ja loi nuoreen monsignoreen katseen, jota ei
mikään kieli voi kuvata. Vapahdus, ilo, häpeä ja katumus kuvastuivat
salaman tavoin hänen vanhoilla kasvoillaan. Hän oli vaiti hetken ja
sanoi sitten:
»Ei tule kertoa tästä sille nuorelle miehelle, joka on huoneistossa
täällä alhaalla. Koska hän on pyhätössä, täytyy hänen saada olla
rauhassa. Hän ei saa kuulla mitään ulkomaailmasta muilta kuin
minulta. Ilmoittakaa tämä käskyni kaikille. Ja nyt suokoon Jumala,
joka on säälinyt palvelijaansa, armonsa meille kaikille!»

67. IV.
Rangaistukseksi siitä ilosta, jota hän tunsi kuullessaan, että Roma
eikä Rossi oli ministerin surmaaja, paavi rupesi Romaa puolustamaan
itselleen ja haki tilaisuutta pelastaakseen hänet. Joka päivä viikon
ajan monsignor Mario luki sanomalehdet paaville, jotta hän voisi
tarkoin seurata tapahtumia.
Ensimmäisenä päivänä sanomalehdet lyhyesti mainitsivat
rikoksesta. Murhan kamala hengetär oli lentänyt kaupungin yli
keskiyön aikana, ja Rooman kansalaiset heräsivät aamulla
kuulemaan kamalaa uutista, hämmästyksen, häpeän ja kauhun
uutista. Tämä tapahtuma melkein kylliksi selittää, miksi ulkomailla
pidetään Italiaa murhaajien kotipaikkana.
Iltalehdissä oli kirjoituksia, joissa kiitettiin vainajan jaloa luonnetta.
Hän oli Italian Richelieu, maansa ylevä ja harras palvelija, meidän
aikamme jaloimpia henkilöitä. Muutamat olivat arvelleet liian
ankariksi hänen äskeisiä toimenpiteitään, mutta ehkä hän tiesi
paremmin kuin hänen moittijansa hetken vaaran. Olkoonpa niin, että
muutamat pilvet himmensivät häntä, varmaa oli, että hänen täytyi
taistella melkein voittamattomia voimia vastaan, taloudellisia
vaikeuksia, suuren armeijan rasittavaa taakkaa ja Vatikaanin

68. leppymätöntä vihamielisyyttä vastaan. Mutta hänellä oli valtiomiehen
ja hallitsijan vaisto, ja hän on nyt poistunut juuri sillä hetkellä, jolloin
hänen murehtiva maansa olisi kipeimmin tarvinnut hänen voimaansa
ja vaikutusvaltaansa.
»Julma kohtalo todellakin», sanoi Koitto, »pakottaa yhtymään
englantilaisen runoilijan sanoihin: 'Hyvät kuolevat ensin, ja ne, joiden
sydän on kuiva kuin kesän tomu, palavat tarkalleen loppuhiukkaseen
asti'.»
Ylimääräiset lehdet olivat täynnä kertomuksia siitä, kuinka
kaupunki otti vastaan ensimmäisen sanoman murhasta. Rooma oli
todellakin surupuvussa. Kaikkialla liput puolitangossa, kaikki julkiset
laitokset, ulkomaiden lähetystöt, kahvilat ja huvipaikat suljetut.
Suuria ihmisjoukkoja oli kokoontunut Corsolle, Piazza Colonnalle ja
pääkaduille, ja kiihkeästi odottava parvi seisoi Palazzo Braschin
edustalla. Diplomaattikuntien jäsenet menivät ulkoasiainministeriöön
lausumaan hallitsijainsa nimessä surunvalituksensa ja kauhunsa.
Sitten seurasi tarkka kertomus siitä, kuinka tuo kamala uutinen
ilmoitettiin kuninkaalle. Aamulla adjutantti oli viitannut siihen, että
suuri onnettomuus oli kohdannut Italiaa, mutta kun kuningas kysyi,
mikä se oli, ei adjutantti sanonut tietävänsä. Tuntia myöhemmin
Kvirinaalin järjestyksen valvoja tuli sanomaan, että diktaattori oli
sairas, ja vähää myöhemmin kuningatar kertoi kuninkaalle, että
paroni oli kuollut. Hänen majesteettinsa, joka oli äärettömästi
kauhuissaan, oli huudahtanut: »Kuka nyt on hallitseva Italiaa?» Sen
jälkeen hän oli kutsunut kokoon muut ministerit, käskenyt kieltää
jälellä olevan riemujuhlan vieton (joka riemujuhlakin oli todistus
kuolleen ministerin hartaasta rakkaudesta kuninkaaseen). Sitten oli
kuningas laskenut seppeleen kuolleen kirstulle.

69. Paavi oli hämmästyksissään ja lähetti ylimyskaartin upseerin kreivi
de
Raymondin kaupungille ottamaan selkoa asioista.
Kun kreivi de Raymond palasi, oli hänellä toisenlainen kertomus.
Kansa, joka paheksui rikosta, ei ollut ollenkaan hämmästynyt. Paroni
Bonelli ei ollut tahtonut ymmärtää kansan tarpeita. Hän oli kohdellut
kansaa kuin orjajoukkoa ja vuodattanut sen verta kaduille. Siellä,
missä tätä ei suoraan sanottu, vallitsi synkkä äänettömyys.
Ihmisryhmiä seisoi lyhtyjen valossa Corsolla lukemassa iltauutisia.
Joskus nousi joku tuolille ryhmien eteen Cafe Aragnon edustalla ja
luki ääneen viimeisen lisälehden. Joukko kuunteli hetkisen ja läksi
sitten pois.
Seuraavana päivänä lehdet olivat täynnä kertomuksia
murhaajasta. Valpas ja nopeasti toimiva poliisi oli saanut hänet kiinni
heti surman jälkeen, ja nyt hän oli varmassa tallessa vankilassa. Se
oli Donna Roma Volonna, murhatun holhokki. Tuommoinen
tapahtuma on jo itsessään omiaan panemaan koko ihmiskunnan
sydämet kuohuksiin. Murhaaja sanoo jonkinmoista kostoa syyksi
tekoonsa ja vakuuttaa, ettei hänellä ole mitään rikostovereita. Sitä
poliisi ei kumminkaan usko, vaan otaksuu pätevillä syillä, että tässä
on kysymys kirkollisesta ja anarkistisesta yhteissalaliitosta, jonka
tarkoituksena oli hallituksen kukistaminen. Muutamia päiviä sitten
kerrottiin, kuinka murhaaja ilmiantoi Davido Rossin, mutta se näyttää
olleen ainoastaan kavala temppu. On huomattava, että Rossi, jonka
meluavat puuhat ovat tällä hetkellä joutuneet unohduksiin
tärkeämpien tapahtumien vuoksi, on päässyt pakenemaan
toveriensa avulla ja on yhä vielä vapaana.

70. Mitä murhaajaan itseensä tulee, on hänen luonteessaan monta
käsittämätöntä puolta, ellei sitä avaa oikealla avaimella. Hän on nuori
ja onnettoman kaunis, haaveileva, rohkea ja suuri keimailija, joka on
aina levittänyt ympärilleen petoksen ja naisellisen alennustilan
tunteen. Hän on noita naisia, joiden elämä on mitä inhoittavinta
vehkeilyä, ja hänen viimeinen uhrinsa oli hänen paras ystävänsä.
Borgiainkin murhia muistellen täytyi Italian tällä hetkellä tuntea mitä
syvintä kauhua ja häpeää tunnustaessaan, että sellainen nainen
saattoi olla roomalainen ruhtinatar, kun taasen se mies, jonka
rakkauden tähden hän nähtävästi oli luonnottoman rikoksensa
tehnyt, oli nimetön löytöläinen köyhäinkodista.
»Me emme voi muuta kuin surkutella», lisäsi valtion
äänenkannattaja, »ettei hirsipuurangaistus ole voimassa
tuommoisesta rikoksesta, joka sotii kaikkea inhimillisyyttä vastaan, ja
toivoisimme, että tuomioistuin eikä jury tulisi tässä asiassa
päättämään, koska tuomioistuin epäilemättä on vähemmin
taipuvainen minkäänlaiseen sentimentaalisuuteen.»
Taas paavi oli hämmästyksissään ja hän lähetti upseerin
kaupungille. Kreivi de Raymond palasi kertoakseen, että kahvilain
nurkissa ihmiset puhuivat paronista kuin kuolleesta koirasta ja
sanoivat, että Donna Roma oli surmatessaan hänet tehnyt hyvän
työn, josta Jumala on häntä palkitseva.
»Ah, ei mitään saada ilman maksua, eikä Jumala koskaan maksa
epäsuhtaisesti», sanoi paavi.
Tuomioistuin oli juuri toimessa, ja asia otettiin esille seuraavana
päivänä. Kun vangilta kysyttiin, sanoiko hän olevansa syyllinen vai
syytön, vastasi hän olevansa syyllinen. Mutta tuomioistuin pyysi
häntä vielä miettimään, määräsi hänelle puolustajan ja vaarinotti

71. kaikki tavalliset muodollisuudet. Oikeusjutun päätarkoituksena oli
ollut saada selville rikostoverit, mutta vanki vakuutti, ettei hänellä ole
mitään tovereita. Hän ei kieltänyt eikä pienentänyt tekoaan, ja hän
myönsi sen edeltäkäsin mietityksi. Kun häntä pyydettiin selittämään
syy, sanoi hän, että syynä oli viha niitä keinoja kohtaan, joita tuo
mies oli käyttänyt valtiollisten vastustajiensa masentamiseksi, ja
vakava päätös lähettää Kaikkivaltiaan tuomioistuimen eteen
semmoinen mies, joka oli asettunut ihmislakien ulkopuolelle.
»Tuo lörpötys», sanoi Koitto, »oli hänen ainoa puolustuksensa, ja
hän piti kiinni siitä taipumattoman itsepäisesti huolimatta selvistä
todistuksista, että hän on toiminut tottuneen politikoitsijan neuvosta
ja verta himoitsevan kamalan joukkion yllyttämänä.»
Paavi lähetti ylimyskaartin upseerin seuraavana päivänä
oikeussaliin kuulemaan tutkimusta, ja kun kreivi de Raymond palasi,
olivat hänen silmänsä itkusta punaiset. Nuoren vangin kauniit,
surulliset kasvot häkin kaltaisen rautaristikon takana olivat
herättäneet sääliä kaikissa. Hänen tyyneytensä, hänen surunsa,
hänen jaloutensa, joka huolimatta siitä, että häntä syytettiin
murhasta, ilmeni selvästi hänen suloisessa äänessään, oli liikuttanut
kaikkia kyyneliin asti. Ja tutkimus oli ollut hyvin alentavaa laatua,
kun häneltä kyseltiin hänen käynneistään Vatikaanissa ja koetettiin
sekoittaa Davido Rossi asiaan sen kirjeen nojalla, jonka Donna Roma
oli kirjoittanut hänelle Milanon vankilaan.
»Mutta minähän sen tein», sanoi nuori vanki yhä uudelleen
kiihkeästi ja vain silloin ilmaisten pelkoa, kun revolveri näytti
saattavan vaaranalaiseksi poissaolevan Davido Rossin.
Lääkärit olivat eri mieltä siitä, oliko kuolemaan syynä pistoolin
laukaus, ja myöskin oli tullut ilmi hämmästyttäviä seikkoja poliisin

72. turmeluksesta ja vankilahirmuvallasta. Eräs sotaoikeuden tuomari oli
ilmaissut pöyristyttäviä seikkoja pääministerin rikos-osuudesta
inhoittavassa asiassa, joka loppui siten, että Donna Roman
miespalvelija teki itsemurhan itse tutkintovankilassa. Eräs vanha
garibaldilainen oli tunkeutunut esiin väkijoukosta huutaen:
»Pääministeri oli musta konna. Jumala varjelkoon meitä saamasta
toista samanlaista.»
Tämä valtioviisauden keinojen paljastaminen oli herättänyt suurta
hämmästystä, ja itse tuomarikin, joka oli rehellinen mies, oli luonut
katseensa alas syytetyn edessä. Kun vanki vietiin takaisin pyhän
Angelon linnan ja sotaopiston ohi, olivat joukot huutaneet »eläköön»
hänelle koko matkan, ja istuessaan avonaisissa vaunuissa
karabinieerin vieressä Donna Roma oli näyttänyt pelästyneeltä, kun
hän huomasi, että häntä pidettiin sankarittarena eikä pahantekijänä.
»Lapsiraukka», sanoi paavi. »Mutta kuka ymmärtää kaitselmuksen
tarkoitukset, tulkootpa ne esille Hänen vanhurskautensa tai Hänen
armonsa teillä.»
Seuraavana päivänä, kun upseeri taas palasi Vatikaaniin, hän
tuskin saattoi kertoa kertomustaan. Tutkinto oli lopussa ja vanki oli
tuomittu. Epäröiden tuomari oli tuominnut hänet elinkautiseen
vankeuteen. Roma oli säilyttänyt saman ylevän tyyneyden loppuun
asti, kiittänyt puolustajaansa, vieläpä tuomareitaan ja juryäkin, sekä
sanonut, että, he olivat oikein tuominneet hänen tekonsa. Hänen
suuret silmänsä olivat sanomattoman tummat ja hänen kasvonsa
läpikuultavat kuin alabasteri.
»Te olitte oikeassa tuomitessanne minut», sanoi hän, »mutta
Jumala, joka näkee kaikki, on punnitseva tekoani pyhän

73. vanhurskauden vaa'alla». Kaikkien läsnäolevain silmät olivat
kyynelissä.
Kun aika tuli, jolloin Donna Roma oli vietävä pois, juoksi väki ulos
nähdäkseen hänet vilahdukselta vielä viimeisen kerran. Siellä oli
suljetut vaunut ja joukko karabinieereja, mutta liikutettu väkijoukko
oli voimakkaampi, se koetti pelastaa vangin. Tämä tapahtui lähellä
Angelon linnaa, ja kun portit olivat auki, työnsivät sotilaat Donna
Roman kiireesti sinne turviin. Hän oli nyt siellä.
Pääministerin hautajaiset olivat seuraavana päivänä. Huoneestaan
Vatikaanista paavi kuuli hautajaismarssin.
»Mutta jyrisevät rummut eivät voi estää Jumalan ääntä
kuulumasta», sanoi paavi ja taas hän lähetti upseerin katsomaan
noita menoja.
Nuori soturi palasi kertoen kamalan jutun. Kuningas ja hallitus
olivat aikoneet antaa haudata paronin valtion kustannuksella, ja
saattojoukko oli ollut hyvin loistava. Siinä oli vieraitten valtioiden
lähettiläitä edustamassa hallitsijoitaan, kenraaleja edustamassa
armeijaa, kuntien lähetystöjä, tuomareita punaisissa viitoissaan,
senaattoreja, parlamentinjäseniä ja loistaviin univormuihin puettua
ratsuväkeä. Torvet ja rummut olivat soittaneet hautausmarssin,
Angelon linnan kanuuna oli jyrähtänyt joka viides minuutti, ja Monte
Citorion sekä Capitoliumin kellot olivat soineet hitaasti ja kumeasti.
Requiem-messu oli laulettu kirkossa, ja hovisaarnaaja oli antanut
synninpäästön uskottoman ruumiille. Mutta kun saattojoukon tuli
lähteä Campo Santolle, oli väkijoukko Corsolla käynyt uhkaavaksi, ja
rauhattomuuksien estämiseksi muutettiin saaton suunta. Kulkien
Campo de' Fiorin yli se oli saapunut Tiberin rannalle, ja siellä
väkijoukko oli seisahduttanut sen ympäröiden ruumisvaunut ja

74. heittäen kirstun sillalta jokeen. Samana iltana tuhansia tulisoihtuja
hehkui Roomassa, ja miehet marssivat Corsolla laulaen ilovirsiä kuin
juhlapäivänä.
»Kauheata!» sanoi paavi. »Mutta voi sitä, joka ei kuule Jumalan
ääntä siinä myrskyssä, joka kaataa tammen juurineen.»
Kun parlamentti avattiin pääsiäisloman jälkeen, lähetettiin kreivi de
Raymond siviilipuvussa sen ensimmäiseen istuntoon. Lehterit olivat
täpösen täynnä. Hillittyä kiihkoa näkyi kaikissa. Odottaessa
muutamat astuivat salista lehterille, toiset lehtereiltä saliin. Jokainen
kyseli naapuriltaan. Huhu kertoi, että hallitus oli luopunut toimestaan
ja kuningas, joka oli epätoivoissaan, ei ollut voinut muodostaa toista
ministeristöä. Eräs oikeiston johtajista oli sanonut, että Donna Roma
oli tehnyt yhdessä päivässä kansan hyväksi enemmän kuin mitä
vastustuspuolue olisi voinut saada aikaan sadassa vuodessa. »Jos
noilla vasemmiston yllyttäjillä on ainoatakaan kunnollista
valtiomiestä, on hänen aikansa nyt tulla esiin» oli hän sanonut.
Mutta mitä parlamentti tulisi sanomaan vainajasta? Puheenjohtaja
astui sisään ja asettui istuimelleen. Kun pöytäkirja oli luettu, syntyi
hetken äänettömyys. Ei sanaakaan sanottu, ei hiiskausta kuulunut.
»Siirtykäämme seuraavaan asiaan», sanoi puheenjohtaja.
Sillävälin kerääntyi kansaa Roomaan kaikilta lähiseuduilta. Paronin
kuolema ja Roman tuomio olivat herättäneet Italian omantunnon.
Kaikki olivat syvästi liikutetut, ja kansa seisoi vavisten tulevien
tapahtumien kynnyksellä. Jokaiselle alkoi selvitä, että Rooma nyt oli
lähellä historiansa uutta jaksoa. Se saattoi johtaa hallitsijasuvun
turmioon ja se oli ehkä muuttava paavin kansainvälisen aseman.
Mutta missä oli Rossi? Hän oli joka tapauksessa jalosydäminen ja
rehellinen mies, ja vaikka politikoitsijat olivat nimittäneet häntä

75. uneksijaksi oli hän ehkä oikeassa siinä, että vanha järjestelmä oli
tuomittu kuolemaan. »Katakombeja ei ole kaivettu yksistään
Campagnalle», sanoi joku.
»Totta, totta!» sanoi paavi.
Paavi huomasi hämmästyksekseen tuntevansa jonkinmoista
ylpeyttä ja liikutusta. Tämä vei hänen ajatuksensa taas Romaan. Ah,
jos hän ei olisi ollut syypää tuohon rikokseen, kuinka toisin asiat
olisivat käyneet! Mutta hän oli veren tahraama, eikä ylevä ja
rehellinen mies voinut enää seistä hänen vieressään.
Tämä sai paavin yhä syvemmin tuntemaan oman
vastuunalaisuutensa. Vaikkei Donna Roma ollut mitään virkkanut
eikä syyttänyt ketään, oli hänen rikoksensa ilmeisesti seuraus siitä,
että hänet pakotettiin pettämään miehensä. Kuinka paljon siinä oli
paavin syytä?
Paavi lähetti upseerinsa Angelon linnaan kysymään vangin vointia,
ja nuori soturi palasi kertoen surkean tarinan. Donna Roma oli sairas,
eikä häntä voitu vielä muuttaa muuanne. Hänen hermostonsa oli
aivan pilalla, eikä kukaan voinut sanoa mitä saattaisi tapahtua. Siitä
huolimatta hän oli hyvin uljas, hyvin suloinen ja hyvin iloinen, ja
kaikki rakastivat häntä. Linnassa asusti insinööriupseereja, ja
komentajamajuri oli hyvä katolilainen, pyhän isän uskollinen poika.
Hän oli sijoittanut vangin valoisaan huoneistoon, jossa paavit ennen
olivat asuneet, vaikka vankila, joka oli varattu rikoksellisille, oli pimeä
koppi keskellä linnaa. Roma oli pyytänyt, että hänet kastettaisiin, ja
oli anonut, että majuri lähettäisi pyytämään isä Pifferiä sinne.
»Mene takaisin majurin luo ja sano, että minä tulen itse», sanoi
paavi.

76. »Pyhä isä!»
»Kysy häneltä, voidaanko vielä avata salainen käytävä Vatikaanin
ja
Angelon linnan välillä.»
Kreivi de Raymond palasi sanoen, että majuri oli antava avata sen.
Nykyisen valtiollisen hämmingin aikana ei kukaan voinut sanoa, mitä
huomenna tapahtuisi, mutta joka tapauksessa majuri otti
vastatakseen seurauksista.
Upseerilla on neljä avaamatonta kirjettä kädessään. Osoite, jossa
oli Rossin nimi, oli naisen käsialalla kirjoitettu, ja kirjeet olivat
saapuneet parlamenttitaloon Lontoon, Pariisin ja Berliinin kautta.
»Eräs postivirkamies antoi minulle nämä kysyen, voisinko toimittaa
ne perille», sanoi nuori soturi.
»Poikani, poikani, etkö huomannut, että se on ansa?» sanoi paavi.
»Mutta sama se! Anna ne minulle. Jättäkäämme kaikki Pyhän
Hengen huomaan!»

77. V.
»Yksinkertainen papin puku tänään, Gaetano», sanoi paavi, kun
kamaripalvelija saapui seuraavana aamuna hänen huoneeseensa.
Pukeuduttuaan mustaan kaapuun paavi katsoi suureen peiliin
hymyillen. »He eivät pitäneet pyhää isää kyllin mustana äskettäin,
mutta nyt hän on ainakin musta.»
Kamaripalvelija nauroi leikille suunnattomasti ja alkoi puhua
Rossista, jolle hän juuri oli vienyt aamiaista.
»Hän on mielipuoli, teidän pyhyytenne! Koko päivän hän istuu pää
käden varassa, ja kun hänelle puhuu, nostaa hän katseensa aivan
kuin luullen näkevänsä aaveen.»
»Ehkä hän on mielipuoli, poikani», sanoi paavi huoaten.
Kamaripalvelija oli kantanut sisään lyijypäisen kepin ja asettanut
sen vuoteen viereen.
»Teidän pyhyytenne ei sallinut minun lukita portaitten ovea, ja
taivas tiesi mitä tapahtuu, jos tuollainen mieletön tulee tänne
keskellä yötä.»

78. »Gaetano», sanoi paavi vakavasti, »heitä ulos tuo keppi
ikkunasta».
»Teidän pyhyytenne!»
»Heitä se ulos!»
Kamaripalvelija rypisti huultaan ja totteli.
Messun jälkeen ja kardinaalisihteerin käytyä paavin luona tämä
kutsui luokseen kreivi de Raymondin.
»Menkäämme ensin tervehtimään vierastamme», sanoi hän
pistäen viittansa taskuun kirjeet, jotka upseeri oli hänelle antanut.
Vatikaanista Angelon linnaan vievään salaiseen käytävään johtivat
rautaportaat, jotka kulkivat valtiosihteerin entisen asunnon ohi.
Komea nuori upseeri kulki alas ensin, ja vanha paavi seurasi häntä
hitaasti.
»Minäkin olin kerran notkea kuin sinä, Ikabod! Ah! Elämäntie on
pitkä, mutta armollinen Jumala ei pakota meitä kulkemaan sitä kahta
kertaa.»
He löysivät Rossin istumassa suuressa niukasti kalustetussa
huoneessa, melkein koskemattoman aamiaisensa ääressä. Hän
kohotti päätään kuullessaan askeleita ja nousi seisomaan paavin
astuessa sisään. Hänen kalpeat, ilmehikkäät kasvonsa osoittivat mitä
syvintä toivottomuutta. »Jotakin on kuollut hänessä», ajatteli paavi
tuntien polttavaa tuskaa, joka oli vaivannut hänen sydäntään monta
päivää.
»Onko teidän hyvä olla tässä vanhassa talossa, poikani?»

79. »On, teidän pyhyytenne.»
»Onko teillä kaikki mitä tarvitsette?»
»Paljon enemmän kuin ansaitsen, teidän pyhyytenne.»
»Te olette kärsinyt, poikani. Mutta Jumala yksin tietää, mitä vielä
voi tapahtua.»
»Ei Jumalakaan voi tehdä tehtyä tekemättömäksi, teidän
pyhyytenne.»
»Älkää olko epätoivoinen. Uskokaa vanhaa miestä — elämä on
elämisen arvoista. Pyhä isä on kokenut sen huolimatta suurista
suruista.»
Säälivä hymy levisi nuoren miehen kasvoille. »Minun suruani ei
teidän pyhyytenne ole voinut tuntea — minä olen kadottanut
vaimon», sanoi hän.
Syntyi hetken äänettömyys. Sitten paavi sanoi äänellä, joka värisi
hiukan: »Ettehän tarkoita, että vaimonne on kuollut, vaan
ainoastaan…»
»Ainoastaan!» sanoi Rossi ivallisesti hymyillen. »Hän on
ainoastaan pettänyt minut.»
Taas syntyi äänettömyys.
»Se on kovaa, poikani, hyvin kovaa. Mutta kuka tietää mitkä
vaikuttimet…»
»Kirotut vaikuttimet, olivatpa ne mitä tahansa, kun ne saattoivat
vaimon pettämään miehensä.»

80. Paavi, joka piti molemmilla käsillä kepistään, vavahti
huomattavasti. »Poikani», sanoi hän, »teillä on paljon, mikä puhuu
puolustukseksenne, enkä minä tahdo vastustaa teitä kokonaan.
Mutta Jumala hallitsee maailmaansa oikeudenmukaisesti, ja ellei tätä
olisi tapahtunut, olisi teille ehkä tapahtunut jotakin pahempaa.»
»Ei mitään pahempaa olisi voinut tapahtua minulle, teidän
pyhyytenne, kuin että ainoa olento minut petti, ainoa, jonka
uskollisuuteen luotin koko sielullani.»
Paavi ajatteli. »Hänen ihanteensa, se se on kuollut hänessä.»
Sitten hän sanoi ääneensä: »Niin, kyllä ymmärrän, millaista on, kun
rakentaa uskonsa ihmisperustuksiin. Perustus pettää, ja silloin sydän
masentuu, sielu horjuu. Mutta vaikka tämä… tämä petos tuntuu
vaikealta, olette hyvin väärässä, ellette tahdo nähdä, että se on
pelastanut teidät seurauksista — niistä kamalista seurauksista
Jumalan ja ihmisten edessä — joihin suunnittelemanne toiminta olisi
teidät johtanut.»
Rossi katsoi paaviin. »Mikä toiminta, teidän pyhyytenne?»
»Se kamala aie, johon teidän piti ryhtyä Roomassa.»
»Tarkoitatteko… mitä sanomalehdet kertoivat?» Paavi nyökäytti
päätään.
»Salaliittoa, jonka tarkoituksena oli surmata kuningas?» Taas paavi
nyökäytti päätään.
»Ja teidän pyhyytenne uskoi sen?»
»Minun täytyi uskoa.»

81. Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and
knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a
vast collection of books, ranging from classic literary works to
specialized publications, self-development books, and children's
literature. Each book is a new journey of discovery, expanding
knowledge and enriching the soul of the reade
Our website is not just a platform for buying books, but a bridge
connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With
an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system,
we are committed to providing a quick and convenient shopping
experience. Additionally, our special promotions and home delivery
services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading.
Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and
personal growth!
ebookgate.com