Composição de Funções

polígrafo

1. COMPOSIC
~
AO DE FUNC
~
OES
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
DEFINIC~AO
Dadas duas func~oesf:A!Beg:B!C, a func~ao composta degcom
f, denotada porgf, e denida como:
(gf)(x) =g(f(x))
DOMINIO
O domnio degfe o conjunto de todos os pontos dexno domnio def
tal quef(x) esta no domnio deg.
dom(gf) =fx2dom(f)jf(x)2dom(g)g
Uma comparac~ao metaforica pode ser feita com um sistema de pontes e
ilhas. Na metafora, um conjunto de pontes conecta um conjunto de ilhas. As
ilhas s~ao os elementos nos tr^es conjuntosA,BeC, que seriam arquipelagos, e
as pontes s~ao as setas conectando os valores. Se uma primeira seta, partindo
de um ponto deA, digamosa, chega em um valor deB, o qual n~ao esta
1

2. conectado com nenhum valor deC(n~ao partem setas deBpara nenhum
valor deC), ent~ao o pontoado domnio def, no conjuntoA, deve ser
retirado do domnio degf, pois n~ao ha um caminho conectando o ponto
acom qualquer elemento deC(ou n~ao ha pontes a serem atravessadas para
la chegar).
EXEMPLOS
A) Sejam
f(x) =
p
x f: [0;+1)![0;+1)
e
g(x) = 2x3g:R!R
Encontregf,fge domnios.
1.gf
(gf)(x) =g(f(x)) =g(
p
x) = 2
p
x3
Determinando domnios e imagens para vericar o domnio degf:
dom(f) = [0;+1)
img(f) = [0;+1)
dom(g) =R
Como
img(f)dom(g)
ent~ao,
dom(gf) = dom(f) = [0 +1)
Neste caso, img(f)dom(g) signica que todof(x) na imagem de
festa no dom(g), ent~ao todos osxem dom(f) est~ao no dom(gf),
n~ao havendo nada a descontar. Na metafora das pontes e como se toda
ponte que leva deAateB, encontra-se emBuma ponte para levar ate
C.
2

3. 2.fg
(fg)(x) =f(g(x)) =f(2x3) =
p
2x3
Determinando domnios e imagens para vericar o domnio defg:
dom(g) =R
img(g) =R
dom(f) = [0;+1)
Como
img(g)6dom(f)
teremos de descontar do dominio dagos valores que n~ao satisfazem
essa relac~ao. Estes valores s~ao os valores em que 2x3<0. Logo,
os valores do domnio degque satisfazem a relac~ao s~ao os valores da
soluc~ao de 2x30, ou seja,x3=2.
Concluimos que dom(fg) = [3=2;+1).
B) Sejamf(x) =
1
x
eg(x) =
1
x1
. Determinarfge seu domnio.
(fg)(x) =f(g(x)) =f

1
x1

=
1
1
x1
=x1
Facil vericar que dom(f) =R f0ge que dom(g) =R f1g.
Alem disto, observe que a func~aogpossui uma assntota horizontal em
y= 0, ja que a func~ao n~ao assume o valor zero (basta ver que o numerador
e a constante 1). Logo, img(g) =R f0g.
Determinando o domnio defg:
dom(g) =R f1g
img(g) =R f0g
dom(f) =R f0g
Como
img(g)dom(f)
ent~ao,
dom(fg) = dom(g) =R f1g
3

4. C) Sejamf(x) =
1
p
x
eg(x) = 1x
2
. Determinefge seu domnio.
(fg)(x) =f(g(x)) =f(1x
2
) =
1
p
1x
2
Sabemos que dom(f) = (0;+1) e que dom(g) =R.
A determinac~ao de img(g) n~ao e t~ao direta. Podemos usar o fato de
g(x) = 1x
2
ser uma func~ao par, portanto com simetria em relac~ao ao eixo
y. Sabemos que se o coeciente principal da parabola e negativo, o vertice e
o maior valor do domnio. Como a func~ao apresenta simetria em relac~ao ao
eixoy, o ponto em que a curva da func~ao intercepta o eixoye o vertice:
g(0) = 10
2
= 1
Assim, o vertice esta em (0;1) e img(g) = (1;1].
Outra possibilidade para determinar a imagem dege esbocar o graco
da func~ao por transformac~ao de func~oes e vericar as projec~oes da curva no
eixoy. Basta perceber que a func~ao e uma parabola com a concavidade para
baixo (x
2
), com uma translac~ao no eixoypara cima (+1):
Ent~ao:
dom(g) =R
img(g) = (1;1]
dom(f) = (0;+1) ouR
+
4

5. Assim, img(g)6dom(f). Os valores do conjunto img(g) que n~ao est~ao no
conjunto dom(f) s~ao aqueles determinados por 1x
2
0. Logo, 1x
2
>0
e a soluc~ao para o domnio da composta, ou seja, dom(fg) = (1;1)
Interessante ver o graco da func~aofgpara comprovar o domnio cal-
culado.
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