Conjuntos Numéricos

Conjunto de los Números: Naturales, Entero, Racionales, Irracionales, Reales

1. Prof. JoannolisHernández
Universidad Bolivariana de Venezuela
Programa de Formación de Grado Informática para la Gestión Social
Unidad Curricular: Matemática I
Sede Monagas
Conjunto de los
Números Naturales lN,
Conjunto de los Números Enteros Z,
Conjunto de los
Números Racionales Qy Conjunto de
los Números Irracionales I

2. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Conjunto de los
Números Naturales
lN

3. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
El Conjunto de los Números Naturales lN
DesdesuapariciónenlafazdelaTierra,elhombrehatenidonecesidaddecomunicarse,usandosímbolos
quepermitenestablecervínculosconsussemejantes.Deesanecesidad,lacuantificacióndeobjetossurgió
comopartedelaculturahumana.Comoconsecuencia,seinventarondiversosmétodosparacontarlas
cosas,basadosenlaculturapropiadecadacivilización.Esrelevantemencionarquelamayoríadelos
sistemasdenumeraciónestánrelacionadosconelnúmerodededosdelhombre,incluyendolosdelas
manosylosdelospies.
Lacivilizaciónmaya,queseextendíadesdelapenínsuladeYucatán,enMéxico,hastaelnortedeHonduray
CostaRica,produjoimportanteslogrosmatemáticosyteníanunsistemadenumeraciónqueincluíaelcero.
Lainvencióndelceroporlosmayasconstituyóunaprimiciamundial,noconcebidaantesporningúnotro
pueblo.Auncuandoenlaactualidadelceroseusaimperceptiblementeenlascuentasqueadiariohacemos,
suapariciónenlaMatemáticatuvounimpactofundamental.Susistemadenumeracióneraunsistema
vigesimal,basadoenelnúmerodededosdemanosypies.Esdecir,contabande20en20,enlugarde10en
10,comocomúnmentelohacemos.
Aloshindúestambiénselesatribuyelainvencióndelceroporelaño500denuestraeracristiana.Sin
embargo,deacuerdoaregistroshistóricos,losmayasenelaño35A.C.yautilizabanestesímbolo.Los
hindúesdenominaronalceroconelvocablosunya,queensuidiomaquieredecirvacío.Losárabes
asimilaronestesímboloylollamaroncéfer.Deestapalabraseoriginaronlosvocabloscastellanos“cero”
y“cifra”.Losnúmerosarábigossustituyeronalossistemasdenumeraciónromanaqueseusabanenel
imperioromano.Elsistemadenumeraciónárabe,conalgunasvariacionesensurepresentación,fue
adoptadouniversalmenteenlospaísesoccidentalesyhaceusodelosnumerales1,2,3,4…

4. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
El Conjunto de los Números Naturales lN
Losgriegosteníanunsistemadenumeraciónenelcualseasociabalasletrasdesualfabetoalosnúmeros.
Losincasdesarrollaronunsistemadecimalposicionalqueusabacuerdas(quipú),enlascualesse
colocabannudospararepresentarlasunidades,decenasycentenas.Estosnudosguardabanunadistancia
determinadaentresíysuausenciaenunaposiciónindicabalapresenciadeuncero.
Losaborígeneswarao,habitantedelosestadosvenezolanosDeltaAmacuroyMonagas,noteníansímbolos
pararepresentarlosnúmerosysereferíanaellosutilizandovocablosdesulengua.Susistemade
numeración,aligualqueeldeloscaribes,eraquinario–vigesimal,basadoenlos5dedosdelasmanosy
los20dedosdeunapersona.
Comosepuedeinferirdelossistemasdenumeración
inventadosporlasdistintascivilizaciones,elprocesode
contarsiempreestabarelacionadoconlosdedosdelas
manos(enalgunoscasosdelospies),estableciéndoseuna
identificaciónconloqueahoraconocemoscomolos
numerales1,2,3,…Deestaforma,sellegóaunasucesiónde
números,lacualseconocecomoelconjuntodelos
númerosnaturales,sedesignaconlaletraNysuexpresión
matemáticaeslasiguiente:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Dondelospuntossuspensivosindicanquelacantidadde
númerosnaturalesesinfinita.
Figuera (2009)
1 jisaka 8
Mojo/matanadijanamo
(mano otro lado-tres)
2 Manamo 9
Mojo/matanaorakabaya
(mano otro lado-cuatro)
3 Dijanamo 10
Mojo/reko
(mano-ambas)
4 Orabakaya 11
Mojo/rekoaraljisaka
(mano-ambas sobre uno)
5 Mojabasi 12
Mojo/rekoaralmanamo
(mano-ambas sobre dos)
6
Mojo/matanajisaka
(mano otro lado-uno)
20
Waraojisaka(persona
uno)
7
Mojo/matanamanamo
(mano otro lado-dos)
40
Waraomanamo(persona
uno)
NumeralesenlenguajeWarao

5. Prof. JoannolisHernández
Propiedades de los Números Naturales lN
Losnúmerosnaturalesposeelassiguientespropiedades:
Dadocualquiernúmeronatural,siempreexistiráotronúmeronaturalmayor:estosedebe
aquelasucesióndenúmerosnaturalesesinfinita,porejemplositomamoselnúmero
natural234,existiráelnúmeronatural235,queesmayor.
Dadosdosnúmerosnaturalesconsecutivosnoexisteunnúmeronaturalentreellos.Así,
entrelosnúmeros23y24,nohayningúnnúmeronatural.
Dadounnúmeronaturalcualquiera,éste,conexcepcióndelcero(0),siempretieneun
antecesoryunsucesor.Tomemoselnúmeronatural56,suantecesoresel55ysu
sucesoresel57
Figuera (2009)
ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición

6. Prof. JoannolisHernández
Orden en el Conjunto lN
Losnúmerosnaturalesseutilizanparacontaryordenarelementosdeunconjunto.Elorden
consisteencomparardosnúmerosnaturalesydeterminarcualdeelloseselnúmeromenoro
elnúmeromayor,segúnseaelcaso.Cuandosecomparandosnúmerosnaturalesaybse
cumplesolounadelassiguientescondiciones:
aesmayorqueb.estarelaciónseescribea>b.
aesmenorqueb.estarelaciónseescribea<b..
aesigualqueb.estarelaciónseescribea=b.
Santillana (2012)
Dadosdosnúmerosnaturales,puede
ocurrirunadelassiguientes
posibilidades:queseaniguales(a=b);
queaseamenorqueb(a<b)oquea
seamayorqueb(a>b)
R
E
S
U
M
E
N
=igualque
<menorque
>mayorque
≤menoroigualque
≥mayoroigualque
≠o<>diferenteque
Operadores relacionales
ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición

7. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Operaciones del Conjunto lN
+suma
-resta
xo.Multiplicación
/o÷división
modmódulooresiduo
Operadores aritméticos
Losnúmerosnaturalescomprendealgunas
operacionesbásicaslascualessonlas
siguientes:
Adición.
Sustracción.
Multiplicación
División
R
E
S
U
M
E
N
()[]{}signosdeagrupación
Símbolos matemáticos
Símbolos matemáticos

8. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Adición y Sustracción en lN
Operación Definición Ejemplo
Adición
DadosaybϵlN,alsumarestosdos
números(a+b)seobtieneotronúmeroc
tambiénpertenecientealosnaturaleslN;
dondeaybsereconocencomosumandos
yccomolasuma
235 + 432 = 667
sumandos suma
Sustracción
DadosaybϵlN,alrestarestosdos
números(a-b)seobtieneotronúmeroc
pertenecientealosnaturaleslNsiempre
quea=b+c;reconociéndoseacomo
minuendoybcomosustraendo,yel
resultadoobtenidoccomoladiferenciao
resta
220 -132 = 88
minuendo sustraendo resta
Nota:lasustracciónenlos
númerosnaturalesseráposible
siempreycuandoelminuendosea
mayorqueelsustraendo
Prof. JoannolisHernández
Operaciones del Conjunto lN

9. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Propiedades de la Adición en lN
Propiedad Definición Ejemplo
Conmutativa
Dadodosnúmeroa,bϵlN.Elordende
lossumandonoalteralasuma
a + b = b + a
28 + 13= 13 + 28
41 = 41
Asociativa
Dadotresnúmeroa,b,cϵlN.Al
agruparestossumandosdediferentes
formasseobtienelamismasuma
(a + b) + c = a+ (b + c)
(28 + 13) + 10= 28 + (13 + 10)
41 + 10 =28 + 23
51 = 51
Elemento Neutro
Cualquiernúmeronaturalsumadocon
cerodacomoresultadoelmismo
númeronatural
a + 0 = a
63 + 0 =63

10. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Multiplicación y División en lN
Operación Definición Ejemplo
Multiplicación
DadosaybϵlN,lamultiplicaciónesuna
adicióndesumandosiguales
anúmerodeveces
a . b = b + b + b + b + . . . + b = c
Dondeaybsonlosfactoresycel
producto,ademáscesunnúmeronatural
15 . 32 = 480
factoresproducto
División
DadosD,d,cyrϵlN,(d≠0;r<d),se
cumplequeD=d.c+r;dondeDesel
dividendo,deldivisor,celcocienteyrel
residuooresto(tambiénconocidocomo
módulo)
dividendo divisor
244
06
cociente
residuo
Prof. JoannolisHernández
Nota:Estadivisiónesexacta.,portantose
cumpleD=d.C,esdecir,24=4.6
Operaciones del Conjunto lN

11. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Propiedades de la Multiplicación en lN
Propiedad Definición Ejemplo
Conmutativa
Dadodosnúmeroa,bϵlN.Elordendelos
factoresnoalteraelproducto
a . b = b . a
28 . 13= 13 . 28
364= 364
Asociativa
Dadotresnúmeroa,b,cϵlN.Alagrupar
estosfactoresdediferentesformasse
obtieneelmismoproducto
(a . b) . c = a. (b . c)
(28 . 13) . 10= 28 . (13 . 10)
364 . 10 =28 . 130
3640 = 3640
Elemento Neutro
Cualquiernúmeronaturalmultiplicadopor1
dacomoresultadoelmismonúmero
natural
a . 1 = a
63 . 1 =63
Distributiva
(multiplicacióncon
respecto a la adición)
Sia,bycϵlN,entonceslapropiedad
distributivaseexpresacomo:
a. (b + c) = a . b + a . c
28 . (13 + 10) = 28 . 13 + 28 . 10
364 + 280
644
Elemento absolvente
Cualquiernúmeronaturalmultiplicadopor
0dacomoresultado0
a . 0 = 0
23. 0 = 0

12. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Potencia en lN
Operación Definición Ejemplo
Potencia
Lapotenciaesunamultiplicación
abreviada.SiaynϵlN,sepuedeescribir
lapotenciamediante
nveces
a
n
= a xa xa x. . . xa = b
Dondeaeslabase,nelexponenteybla
potencia
exponente
5
3
= 5 . 5 . 5 = 125
base potencia
Todonúmero(exceptoelcero)elevadoal
exponenteceroesiguala1
5
0
= 1
Todonúmeroelevadoelexponente1esigual
alnúmerodado
25
1
= 25
Elnúmero1elevadoacualquierexponente
esiguala1
1
24
= 1
Casos especiales de la potencia
Nota:Labaseindicaelfactorquese
repite,elexponenteelnúmerodeveces
queserepiteelfactor

13. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
()[]{}
Potencia
MultiplicaciónyDivisión
AdiciónySustracción
Jerarquía de los operadores aritméticos
Elelementoneutroenla
adiciónes0
Elelementoneutroenla
multiplicaciónes1
Recuerda

14. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Conjunto de los
Números Enteros
Z

15. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
¿Cómosurgenlosnúmeros
negativos?
Loshindúesfueronlosprimerosen
utilizarlosnúmerosnegativos,enlos
siglosVIyVIId.C.
Suusofuecomercial,yaqueestos
númerosseusaronpararepresentar
débitosodeudas.Posteriormente,los
númerosnegativostranscendieronsu
usocomercialyjuntoalosnúmeros
positivosyelcerodieronpasoaun
conceptoabstracto:elconjuntodelos
númerosenteros
(Santillana, 2002)
Z
Curiosidades
Matemáticas
El Conjunto de los Números Enteros Z
Elconjuntodelosnúmerosenteros,estácompuesto
por:elcero,elconjuntodelosnúmerosnaturalesNy
susopuestos,

16. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Subconjuntos Notables de Z
ElconjuntodelosnúmerosenterosZ,seencuentrancincosubconjuntosnotablesloscualesson:
Elsubconjuntodelosnúmerosenterospositivos,loscualesserepresentancomoZ
+
,comprende
todoslosnúmerosnaturalessinincluirelcero,comomostramosacontinuación
Z
+
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, …)
Elsubconjuntodelosnúmerosenterosnegativos,loscualesserepresentancomoZ
-
,
Z
-
= (…, -4, -3, -2, -1 }
Elsubconjuntodelosnúmerosenteros(tantopositivoscomonegativos)sinincluirelcero,su
representaciónesZ
*
Elsubconjunto{0},elnúmeroceronoseconsiderapositivoninegativo
Porúltimo,elsubconjuntodelosnúmerosnaturalesN,yaqueseencuentrasumergidoenZ
Z
lN

17. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
ConjuntoR
•Definición
•Subconjunto
NotableenR
•OperacionesenR
Prof. JoannolisHernández
Geométricamente,elvalorabsolutodeunnúmeroenteroacorrespondea
ladistanciaquehaydesdeahastacero(0),yserepresentalalseleevalor
absolutodea.Engeneral,comolosnúmerosenterossondelaforma+a,-a
o0,setieneque
l +a l = a ; l -a l = a; y l 0 l = 0
Valor Absoluto
Ejemplo
Resumiendopodemosdecir:
1.Siaesunenteropositivo,suvalor
absolutoeselmismonúmeroa
2.Siaesunenteronegativo,suvalor
absolutoeselnúmeroopuestodea
3.Sia=0,suvalorabsolutoes
tambiéncero
Z
TIPS

18. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Orden en Z
Dados dos números enteros cualesquiera ay b, siempre se cumple una de las siguientes
condiciones:
Si ay bson positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Por ejemplo, 4 > 2, ya
que | 4 | >| 2 |
Sia>0yb<0,secumplequea>b,yaquetodoenteropositivoesmayorque
cualquierenteronegativo.Porejemplo,34>-232
Si ay bson ambos negativos, entonces es mayor el que tiene menorvalor absoluto. Por
ejemplo, -8 > -12 , porque | -8 | < | -12 |
Elcero(0)esmayorque
cualquierenteronegativoy
menorquecualquierentero
positivo
Z
TIPS

19. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Adición y Sustracción en Z
Operación Definición Ejemplo
Adición
a.Adicióndeenterosconsignosiguales
Parasumarnúmerosenterosconigual
signo,sesumaelvalorabsolutodelos
númerosyseprocedeacolocarelsignos
delossumandos.Esdecir,paraaybϵZ,
secumpleque:
(+a) + (+b) = +(a + b)
(-a) + (-b) = -(a + b)
b.Adicióndeenterosconsignos
diferentes
Parasumarnúmerosenterosconsignos
diferentes,serestanelvalorabsolutode
losnúmerosyseprocedeacolocarel
signodelsumandoquetengamayorvalor
absoluto.
(+4)+ (+5) =+9
(-12)+(-6) = -(12 + 6) = 18
(-4)+ (+5) =+(5 –4) = +1
(+6) +(-12) = -(12 -6) = -6
Prof. JoannolisHernández
Operaciones del Conjunto Z

20. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Adición y Sustracción en Z
Operación Definición Ejemplo
Sustracción
Dadodosnúmerosenteros,ayb,la
sustraccióndeambos,a–b,eselnúmero
enteroquesumándoloconbnosdaa.Es
decir,lasustraccióndelenteroaconel
númeroenterob,esigualalasumadea
conelopuestodeb
a –b = a + (-b)
19 –25= 19 + (-25) = -(25 –19) = -6
Prof. JoannolisHernández
Operaciones del Conjunto Z

21. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Propiedades de la Adición en Z
Propiedad Definición Ejemplo
Conmutativa
Dadodosnúmeroa,bϵZ.Elordende
lossumandonoalteralasuma
a + b = b + a
(-125) + (+84)= -(125 –84) = -41
(+84) + (-125) = -(125 –84) = -41
Asociativa
Dadotresnúmeroa,b,cϵZ.Al
agruparestossumandosdediferentes
formasseobtienelamismasuma
(a + b) + c = a+ (b + c)
[(-3) + 8] + (-2) = (+5) + (-2) = 3
(-3) + [8 + (-2)] = (-3) + (+6) = 3
Elemento Neutro
DadoaϵZ,lasumadeaconceroda
comoresultadoa
a + 0 = a
(-11)+ 0 = -11
Elemento
Opuesto
Dadounelementocualquieraa,
pertenecientealconjuntoZ,siempre
existeotroenteroquesumándolocon
élseobtienecomoresultadoel
elementoneutro(0).Esdecir,el
opuestoosimétricodeaes
–a, porque a + (-a) = 0
(-11) + (-11)= 0

22. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Multiplicación y División Z
Prof. JoannolisHernández
Operación Definición Ejemplo
Multiplicación
a.Multiplicacióndenúmerosenteroscon
signosiguales
Paramultiplicardosnúmerosenterosconigual
signo,semultiplicaelvalorabsolutodelos
númerosyseaplicalaregladelossignos.El
productosiempreesunnúmeroenteropositivo.
Esdecir,paraaybϵZ,secumpleque:
(+a) . (+b) = +(a . b)
(-a) . (-b) = +(a . b)
b.Multiplicacióndenúmerosenteroscon
signosdiferentes
Paramultiplicardosnúmeroenterosconsignos
diferentes,semultiplicaelvalorabsolutodelos
númerosyseaplicalaregladelossignos.El
productosiempreseráunenteronegativo
(+a) . (-b) = -(a . b)
(-a) . (+b) = -(a . b)
(+2) . (+3) = +(2 . 3) = 6
(-2) . (-8) = +(2 . 8) = 16
(+2) . (-3) = -(2 . 3) = -6
(-2) . (+8) = -(2 . 8) = -16
Operaciones del Conjunto Z
REGLADE LOS SIGNOS
SIGNOS
IGUALES
+ . + = +
-. -= +
SIGNOS
DIFERENTES
+ . -= -
-. + = -
(+ . + = +)
(-. -= +)
(+ . -= -)
(-. + = -)

23. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Multiplicación y División en Z
Operación Definición Ejemplo
División
Parahallarelcocienteexactodedos
númerosenterossedividenlosvalores
absolutosdelosnúmeros;sieldividendoy
eldivisortienenigualsigno,elcocientees
positivo,ysieldividendoyeldivisortiene
diferentessignos,elcocienteesnegativo
Prof. JoannolisHernández
(+48)/(+12)=+4
(-48)/(-12)=+4
(-48)/(+12)=-4
(+48)/(-12)=-4
Operaciones del Conjunto Z

24. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Propiedades de la Multiplicación en Z
Propiedad Definición Ejemplo
Conmutativa
Dadodosnúmeroa,bϵZ.Elordendelos
factoresnoalteraelproducto
a . b = b . a
(-3) . 15 = 15 . (-3) = -45
Asociativa
Dadotresnúmeroa,b,cϵZ.Alagrupar
estosfactoresdediferentesformasse
obtieneelmismoproducto
(a . b) . c = a. (b . c)
[(-5) . 9] . (-10) = (-5) . [9 . (-10)]
(-45).(-10)= (-5)-(-90)
450 = 450
Elemento Neutro
Cualquiernúmeroenteromultiplicadopor
1dacomoresultadoelmismonúmero
entero
a. 1 = a
(-6) . 1 = -6
Distributiva
(multiplicacióncon
respecto a la adición)
Sia,bycϵZ,entonceslapropiedad
distributivaseexpresacomo:
a. (b + c) = a . b + a . c
(-5) . [14+ 3] = (-5) . 14 + (-5) . 3
= -70 + (-15)
= -70 –15 = -85
(-5) . [14+ 3] =(-5) . 17 = -85
Elemento absolvente
Cualquiernúmeroenteromultiplicadopor
0dacomoresultado0
a . 0 = 0
(-11). 0 = 0

25. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
R
Prof. JoannolisHernández
Potencia en Z
Operación Definición Ejemplo
Potencia
SiaϵZ,nϵlNyn≥2,entonces,
nveces
a
n
= a xa xa x. . . xa
Sedefinequea
0
=1ya
1
=aparaa≠0
exponente
(-2)
3
= -8
base potencia
Cuandolabasedeunapotenciaespositiva,
elresultadoobtenidoseráunenteropositivo
3
3
= (+3). (+3) . (+3) =27
Silabaseesnegativa,sepresentados
casos:
a.Conexponentepar
(-2)
4
= (-2) . (-2) . (-2) . (-2) =16
a.Conexponenteimpar
(-2)
3
= (-2) . (-2) . (-2) =-8
CONSIDERAR

26. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Propiedades de la Potencia en Z
Propiedad Definición Ejemplo
Multiplicación de
potencia de igual base
DadosaϵZ
*
,mynϵN,setieneque
a
m
. a
n
= a
m + n
Divisiónde potencia de
igual base
DadosaϵZ
*
,mynϵN,setieneque
a
m
÷a
n
= a
m -n
Siempre que m ≥ n
Potencia de un producto
DadosaybϵZ
*
,nϵN,setieneque
(a . b)
n
= a
n
. b
n
Potencia de un cociente
DadosaybϵZ
*
,nϵN,setieneque
(a ÷b)
n
= a
n
÷b
n
Potencia de una potencia
DadosaϵZ
*
,mynϵN,setieneque
(a
m
)
n
= a
m . n5
2
.5
4
=5
2+4
=5
6
5
4
.5
2
=5
4−2
=5
2
(2 .5)
3
= 2
3
.5
3

2
5

3
=
2
3
5
3
3
2

4
= 3
2.4
=3
8

27. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Resuelveprimerolasoperacionesque
seencuentradentrodelossignosde
agrupación,paréntesis,corchetesy
llaves.
Aplicalaspropiedadesconmutativay
asociativas,creadosgrupos:ungrupo
contodoslosnúmerospositivosyotros
contodoslosnegativos.
Sumaloselementosinvolucradosen
cadagrupo,yasíobtendrásdos
resultados,acadaresultadocolocael
signoscorrespondiente
Porúltimo,sumalosdosresultadosy
asígnaleelsignodelnúmerocuyovalor
absolutoseamayor
Z
TIPS
Ejemplos
Operaciones combinadas

28. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Conjunto de los
Números Racionales
Q

29. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
El Conjunto de los Números Racionales Q
Losegipcios,unos1650añosantesde
Cristo,escribieronvariosproblemas
quehanllegadohastanosotrosa
travésdeunospapiros,enloscuales
desarrollaronlosnúmerosquehoy
conocemoscomonúmeros
racionales.Losproblemasque
involucraneltodocortadoenpartes
sepuedenresolverconlosnúmeros
racionalesqueestánformadoporlas
fracciones.Estosnúmerosdeben
contenerlosnúmerosenterosy
preservarsuspropiedadesmás
importantes;porestarazón,los
llamadosnúmerosracionalessonuna
extensiónoampliacióndelosnúmeros
enterosZ
(Santillana,2002)
Sabias que…
Elconjuntodelosnúmerosracionalescontieneel
conjuntodelosnúmerosenteros;porestarazón,los
númerosracionalessonunaextensiónoampliación
delconjuntodelosnúmerosenteros(Z).Entonces,se
puededefinirelconjuntodelosnúmerosracionales
(Q)así:
0
2
1
3
-3
-27
-11
-7
N
Z
Q

30. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Orden en el Conjunto Q
LacomparacióndenúmerosracionalespermiteestablecerunarelacióndeordenenQ.Dos
númerosracionalesaybsepuedencompararsiserepresentanenlarectanumérica,de
maneraqueaesmenorquebsiestáalaizquierdadebenlarecta.Tambiénsepuede
compararvariosracionales,demaneraque,sisusdenominadoressoniguales,elracional
mayoreselquetienemayornumerador,yelmenorelquetienemenornumerador.Silos
denominadoressondiferentesysetienesólodosracionales,estossepuedencomparar
segúnelproductocruzado,comoseindicaacontinuación:
Dadosdosnúmerosyracionalessecumpleque:

31. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Recta numérica
0-1-2-3 1 2 3
3 partes
0-1-2-3 1 2 3

32. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Fracciones
Unafracciónrepresentalaspartesquesetomandeuna
unidadyseexpresadelaforma,dondeaϵZesel
numeradordelafracciónybϵZ*eseldenominador
Unafracciónrepresenta
unadivisión,enlacualel
numeradoreseldividendo
yeldenominadoresel
divisor
Q
TIPS
Términos de Fracciones
Unafracciónconstadedostérminos,elnumerador
yeldenominador
Numerador
Denominador
Eldenominadorbindicalas
parteigualesenquese
divideeltodoounidad,yel
numeradoraindicalas
partesquesetoman
Q
Recuerda
b
a

33. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Clasificación de las Fracciones
FracciónUnidad
FraccionesPropias
FraccionesImpropias
Lafracciónunidadesaquellafracciónenlacualel
numeradoresigualaldenominador.Esdecir:
Unafracciónespropiasielvalorabsolutodel
numeradoresmenorqueelvalorabsolutode
denominador.Esdecir
Unafracciónesimpropiasielvalorabsolutodel
numeradoresmayorqueelvalorabsolutode
denominador.Esdecir

34. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Clasificación de las Fracciones
FraccionesNulas
FraccionesDecimales
Unafracciónesnulasielnumeradordelafracciónesigualacero(0).Esdecir
FraccionesEnteras
Unafracciónesenterasielnumeradordela
fracciónesmúltiplodeldenominador.Demanera
quealdividirelnumeradorentreeldenominador
elcocienteesunnúmeroentero.Esdecir,
12
4
3
12 = 4 . 3, por tanto
12 es múltiplo de 4
0
cociente
3 ϵZ
Unafracciónesdecimalsisudenominador
eslaunidadseguidadeceros.
Unidad seguida de
ceros

35. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Número Mixto
Elnúmeromixto,esaquelqueestáformadoporunnúmeroenteroyunafracciónpropia
Partesdeunnúmeromixto
Fracciónpropia
Númeroentero
Ejemplo:
Cómopasarunnúmeromixtoaunafracción
Paraconvertirunnúmeromixtoenunafracciónimpropia,semultiplicaelnúmeroenteroporel
denominadordelafracción,aesteproductosesumaelnumeradordelafracción,elresultado
seráelnumeradordelanuevafracciónyeldenominadorsemantiene
Ejemplo:
Cómopasarunnúmeromixtoaunafracción
Sedivideelnumeradorporeldenominador.Elcocienterepresentaelnúmeroenteroylaparte
fraccionariaseobtienecolocandoelresiduocomonumeradorycomodenominadorelmismo
delafracción
Ejemplo:Convertirlasiguientefracción
enunnúmeromixto
114
23
CocienteResiduo

36. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Fracciones equivalentes
Dosfraccionesy,sonequivalentesia.d=b.c,dondea,b,c,dϵZconb≠0yd≠0
Porejemplo,lasfraccionesy ,son
equivalentesentresíporquelosproductor
cruzadossoniguales;2.21=42y3.14=42,es
decir2.21=3.14
Lasfraccionesy,nosonequivalentes
yaquelosproductorcruzadossondiferentes;
1.12=12y3.5=15,esdecir1.12≠3.5

37. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Simplificación y Amplificación de Fracciones
Operación Definición Ejemplo
Simplificación
Simplificarunafracciónconsisteen
dividirsusdostérminosentreun
divisorcomúnparaobtenerasíuna
fracciónequivalente
Ampliación
Amplificarunafracciónconsisteen
multiplicarsusdostérminosporun
mismoenterodistintodecero(0)
paraobtenerasíunafracción
equivalente

38. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Subconjuntos Notables de Q
EnelconjuntodelosnúmerosenterosQ,seencuentranlossiguientessubconjuntosnotableslos
cualesson:
SubconjuntodelosNúmerosracionalespositivos
Agrupatodoslosnúmerosracionalesconsignospositivos
SubconjuntodelosNúmerosracionalesnegativos
Comprendelosnúmerosracionalesconsignosnegativos.
SubconjuntodelosNúmerosracionalesdiferentedecero
Abarcalosnúmerosracionalespositivosynegativos
No olvides….

39. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Adición y Sustracción de números racionales con iguales denominadores
Operación Definición Ejemplo
Adición
Paraefectuarlaadicióndedosomás
fraccionesdeigualdenominador,seconservael
mismodenominadorysesumanlos
numeradores.Esdecir:
Sustracción
Paraefectuarlasustraccióndedosnúmeros
racionalesa/byc/b,coniguales
denominadores,sesumaalafraccióna/bel
opuestodelafracciónc/b.Esdecir,
Prof. JoannolisHernández
Operaciones del Conjunto Q

40. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Adición y Sustracción de números racionales con diferentes denominadores
Operación Definición Ejemplo
Adición
Métododelproductocruzado
1.Multiplicamoselnumeradordela
primerafracciónporeldenominadorde
lasegundafracción.
2.Multiplicamoseldenominadordela
primerafracciónporelnumeradordela
segundafracción.
3.Losdosfactoresobtenidosenlospasos
anteriorsesuman,esteresultadoes
numeradordelafracciónresultante
4.Porúltimo,semultiplicanlos
denominadoresyelresultadoseráel
denominadordelafracciónresultante.
Prof. JoannolisHernández
Operaciones del Conjunto Q

41. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Adición de números racionales con diferentes denominadores
Operación Definición Ejemplo
Adición
Métododelmínimocomún
denominador
Consisteenreducirlasfraccionesaun
denominadorcomún,yluegosumarlas
fraccionesresultantes.Acontinuación
semencionaelprocedimiento:
1.Sehallaelmínimocomúnmúltiplo
delosdenominadores
2.Seamplificacadafracciónpor
numeroqueseobtienealdividirel
m.c.m.entrecadadenominador
3.Seconstruyelasfracciones
originalesporlasfracciones
obtenidasysecalculalasuma
Prof. JoannolisHernández
Operaciones del Conjunto Q

42. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Propiedades de la Adición en Q
Propiedad Definición Ejemplo
Conmutativa
Asociativa
Elemento
Neutro
Elemento
opuesto

43. Multiplicación y División en Q
Operación Definición Ejemplo
MultiplicaciónElproductodedosnúmerosracionaleses
otronúmeroracional,cuyonumeradores
elproductodelosnumeradoresyel
denominadoreselproductodelos
denominadores.Esdecir,
DivisiónParadividirdosnúmerosracionales,se
multiplicalamismafracciónporel
inversodelasegundafracción,esdecir
Prof. JoannolisHernández
Operaciones del Conjunto Q
ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición

44. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Propiedades de la Multiplicación en Q
Propiedad Definición Ejemplo
Elemento Neutro
Todonúmeroracionalmultiplicadopor1da
comoresultadoelmismonúmeroracional,
esdecir.
Elemento inverso
(inversomultiplicativo)
Todonúmeroracionaldistintodecero
tieneuninversoquealmultiplicarsepor
él,dacomoresultadoelelementoneutro,
esdecir1

45. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Propiedades de la Multiplicación en Q
Propiedad Definición Ejemplo
Conmutativa
Asociativa

46. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Propiedades de la Multiplicación en Q
Propiedad Definición Ejemplo
Distributiva
(multiplicacióncon
respecto a la adición)

47. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Potencia en Q
Operación Definición Ejemplo
Potencia

48. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Potencia en Q con exponente positivo
CasoNº1
CasoNº1
Exponentepar
Exponenteimpar

49. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Potencia en Q con exponente negativo
Ejemplo:

50. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Propiedades de la Potencia en Q
Propiedad Definición Ejemplo
Multiplicación de
potencia de igual
base
Divisiónde
potencia de igual
base

51. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
Prof. JoannolisHernández
Propiedades de la Potencia en Q
Propiedad Definición Ejemplo
Potencia de un
producto
Potencia de un
cociente
Potencia de una
potencia

52. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
ConjuntoR
•Definición
•Subconjunto
NotableenR
•OperacionesenR
Prof. JoannolisHernández
Expresiones decimales
Laexpresióndecimardeunafraccióneselnúmeroqueseobtienededividirel
numeradoraentreeldenominadorb
Clasificación de las Expresiones decimales
Expresiones decimales
Su cantidad decimal es finita
Ejemplo: 2,5
Limitada
Su cantidad decimal es infinita
Ejemplo: 2,896 23…
Ilimitada
Tiene un decimal o grupo de decimales que se
repiten consecutiva e infinitamente. Ejemplo:
12, 796 796 …
Periódicas
No tiene un grupo de decimales que se repitan
continua o infinitamente. Ejemplo: 24, 359 87…
No Periódicas
Los decimales que se repiten aparecen
inmediatamente después de la coma
Ejemplo; 3, 454 454 454…
Puras
Los decimales que se repiten no
aparecen inmediatamente después de
la coma. Ejemplo: 3, 063 636 363…
Mixtas

53. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
ConjuntoR
•Definición
•Subconjunto
NotableenR
•OperacionesenR
Prof. JoannolisHernández
Conjunto de los
Números Irracionales
I

54. ConjuntoN
Historia
PropiedadesdeN
OrdenenN
OperacionesenN
PotenciaenN
ConjuntoZ
•Definición
•Subconjunto
NotableenZ
•Valorabsoluto
•OrdenenZ
•OperacionesenZ
•Potencia
•Ejemplo
ConjuntoQ
•Definición
•Orden
•Fracciones
•Clasificación de
fracciones
•NúmeroMixto
•Fracción
equivalente
•Simplificación y
Amplificación de
Fracciones
•Subconjunto
NotablesenQ
•OperacionesenQ
•PotenciaenQ
•Expresiones
decimales
ConjuntoI
•Definición
ConjuntoR
•Definición
•Subconjunto
NotableenR
•OperacionesenR
Prof. JoannolisHernández
Números Irracionales (I)
Elconjuntodelosnúmerosirracionaleseselformadoporlosdecimalesinfinitosno
periódicos.LosnúmerosirracionalessedenotanconlaletraI
Unnúmeroracionalpuede
tenerunacantidadfinitade
cifrasdecimales,obienuna
cantidadinfinitadecifras
decimales,peroconalgún
período
Recuerda…
Alguienpudierapensarquelosnúmerosirracionalessonalgo
“excepcional”;peronoesasí,existenmuchosmásirracionales
quenúmerosnaturales,enterosyracionales.Algunosnúmeros
irracionalesquedestacanporsusmúltiplesaplicacionesson:
ElnúmerodeEuler:e≈2,718281828459045235360287…
Elnúmerodeoro(selee“phi”):
Laraízcuadradade2:
Laraízcúbicade2:
Porotraparte,seconocequesixesunnúmeroirracional,ya
esunnúmeroracionalnonula(a≠0),entoncesa.xesirracional.
Sibesunnúmeroracionalcualquiera,entoncesx+bes
irracional