Conjuntos Numericos e Intervalos

Polígrafo

1. CONJUNTOS NUM

ERICOS E
INTERVALOS
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Conjuntos Numericos
CONJUNTO DOS N UMEROS NATURAIS
N=f0;1;2;3; : : :g
N

=N f0g=f1;2;3; : : :g
CONJUNTO DOS N UMEROS INTEIROS
Z=f: : : ;3;2;1;0;1;2;3; : : :g
Z
+
=f1;2;3; : : :g=N

Z

=f: : : ;3;2;1g
CONJUNTO DOS N UMEROS RACIONAIS
O numeros racionais s~ao aqueles que podem ser expressos na forma de uma
raz~ao ou frac~aoa=b, ondea2Zeb2Z

. O conjunto dos numeros racionais
e representado porQ.
Q=
n
a
b


a2Z^b2Z

o
Exemplos:
3=4, ondea= 3 eb= 4
1;21, ondea= 121 eb= 100 (1;21 = 121=100).
1

2. Todos os numeros racionais podem ser classicados em tr^es casos, se-
gundo a ocorr^encia decasas decimais(as casas decimais s~ao formadas pelos
algarismos do numero que pertence aordem das decimas, que aparecem a
direita da vrgula):
1. O numero n~ao possui casas decimais. Neste caso, o denominador da
frac~aoa=be 1 e o numero e tambem um inteiro. Por exemplo, 15=1 =
15;
2. O numero possui um certo numero nito de casas decimais. Por exem-
plo, 237=100 = 2;37, que possui duas casas decimais, 2;37;
3. O numero possui innitas casas decimais que se repetem de tanto
em tando, formando asdzimas periodicas. Por exemplo 1706=333 =
5;123123123: : :, cuja dzima periodica e 123, 5;123123123: : :, com
perodo 3.
CONJUNTO DOS N UMEROS IRRACIONAIS
O conjunto dos numeros irracionais e denotado porQ
0
. Um numero irra-
cional e aquele que n~ao pode ser expresso na forma de uma raz~aoa=b, onde
a2Zeb2Z

.
Exemplos:

p
2 = 1;414213562: : :
= 3;141592654: : :
e= 2;718281828459: : :
No caso dos numeros irracionais, as casas decimais se prolongam inni-
tamente, sem que ocorra uma dzima periodica.
CONJUNTO DOS N UMEROS REAIS
O conjunto dos numeros reais, denotado porR, e a uni~ao dos numeros
racionais e dos irracionais:
R=Q[Q
0
Observe queNZQR.
2

3. Os numeros reais podem ser representados sobre uma reta, chamada de
reta R. Sobre ela podemos marcar alguns numeros reais que ja conhecemos:
2 Desigualdades e Intervalos em R
DESIGUALDADES
< >
Exemplos:
3<10
72
26>5
INTERVALOS
Observe que
0x <8
e satisfeito por todox2Rque seja maior ou igual a 0 e menor que 8, o que
determina um intervalo emR.
3 Tipos de Intervalos em R
3.1 Intervalos Limitados
INTERVALO ABERTO
(a; b) =]a; b[=fx2Rja < x < bg
3

4. INTERVALO FECHADO
[a; b] =fx2Rjaxbg
INTERVALO SEMI-ABERTO A ESQUERDA
(a; b] =]a; b] =fx2Rja < xbg
INTERVALO SEMI-ABERTO A DIREITA
[a; b) = [a; b[=fx2Rjax < bg
3.2 Intervalos Ilimitados
[a;+1) =fx2Rjxag
(a;+1) =fx2Rjx > ag
4

5. (1; a] =fx2Rjxag
(1; a) =fx2Rjx < ag
Observe que (1;+1) = R
4 Operac~oes com Intervalos
Exemplo: Sejam os intervalosA= (3;4) eB= [0;6]. DetermineA[B,
A\BeAB.
Determinac~ao deA[B:
Logo,A[B= (3;6] ouA[B=fx2Rj 3< x6g.
Determinac~ao deA\B:
5

6. Logo,A\B= [0;4) ouA\B=fx2Rj0x <4g.
Determinac~ao deAB:
Logo,AB= (3;0) ouAB=fx2Rj 3< x <0g.
6